5.3 Geração e Detecção de FM e PM5.3 Geração e Detecção de FM e PM

O fato da amplitude dos sinais modulados exponencialmente ser constante é uma vantagem em termos de hardware.

Nã i ã di i ã i d ê i l ã d idNão existe preocupação com dissipação excessiva de potência ou ruptura por alta tensão devido a picos de envoltória (como na modulação AM).

A imunidade s distorção não linear permite o uso de dispositivos eletrônicos não lineares, motivo d d ã d l ã lide grande preocupação na modulação linear.

Consequentemente, uma tolerância considerável é possível no projeto e seleção dos equipamentos.

Em particular, emprega-se FM em enlaces com repetidoras de microondas para comunicação por p , p g p p ç plongas distâncias, porque os amplificadores lineares banda larga exigidos na modulação AM não são disponíveis, ou então, são pouco eficientes nessas frequências.

FM Di t VCOFM Direto e VCOs

O processo de FM direto é imediato e requer apenas um oscilador controlado por tensão (VCO –Voltage Controlled Oscillator), cuja frequência de oscilação exibe uma dependência linear com a t ã li dtensão aplicada.

Pode-se modular um circuito oscilador* sintonizado convencional pela introdução de um elemento de reatância variável como parte de um circuito ressonante RLC paralelo._____________________________________________________________*Ver o Adendo no final desse item

Se a capacitância equivalente tem uma dependência temporal da forma:Se a capacitância equivalente tem uma dependência temporal da forma:

e, se Cx(t) for pequeno e lento o suficiente, então, o oscilador produz )(cos)( tAtx ccc 1111onde

Como ,

)()/(1

1

2

1

)]([2

1

)(2

1)(

000 txCCLCtCxCLtLCtf

)(2)( tftc

Sabendo-se que, 1,...642

5.3.1

42

3.1

2

11

1 32 aaaaq

pode-se expandir como

,6.4.24.221 a

)(tc

)](2

11[

1)( tx

C

C

LCtc

pois .

Chamando , a frequência de saída do oscilador na ausência de sinal (frequência da t d )

2 00CLC

1/)( 0 CtCx

0/1 LCc portadora)

ou

)](2

11[)(

0

txC

Ct cc

__________________________________________________________Portanto:

dxftftt

cc )(22)(

para

confirmando que f depende do circuito empregado.q f p p g

Visto que x(t) 1, esta aproximação podes ser boa dentro de 1%, quando C/C0 < 0,013. (Mostrar isto!)

Neste caso, o desvio de frequência associado está limitado a:

a qual quantifica a condição de Cx(t) ser pequeno o suficiente.

Similarmente, a condição W << fc assegura que Cx(t) é lento o suficiente.

Obs: O diodo varactor (ou varicap )Obs: O diodo varactor (ou varicap )

C

+v

Opera sob polarização reversa.

vC

linear range

Quando reversamente polarizados, os diodos apresentam em sua junção PN uma capacitância devidoà presença de portadores de carga separados pela região de depleção; ao se variar a tensão nos terminais do diodo, varia-se a largura da camada de depleção (o que equivale a aumentar o meio dielétrico entre as placas de um capacitor) e daí sua capacitânciadielétrico entre as placas de um capacitor), e daí, sua capacitância.

Os varicaps* são construídos de modo a se ampliar esse efeito capacitivo, tornando-os mais sensíveis a variações de tensão.___________________________________________________________* Malvino, A., Electronic Principles, 7th ed., McGraw-Hill, 1986. (continua)

Torna-se necessário polarizar o varicap para operar na sua região mais linear (em torno do ponto Q).

Um valor DC, igual a C0, está presente na saída do dispositivo.

C(t)=C0Cx(t)CC

Q

(t)

vt

Q C0C0

VQ v(t)

x(t)

t

São usados na implementação de geradores de frequência variável, em sintonia automática de canais de televisão etc #

t

televisão, etc. #

Na Fig 5 3-1 tem-se um oscilador com um diodo varactor polarizado para se obter Cx(t)Na Fig. 5.3 1 tem se um oscilador com um diodo varactor polarizado para se obter Cx(t).

O transformador de entrada, choque de RF e bloqueio DC servem para isolar a baixa frequência, alta frequência e termo DC entre si.

A f V l i C i f bl i DC i d V dA fonte VB polariza reversamente Cv no ponto quiescente; o trafo e o bloqueio DC impedem VB de atingir x(t) ou xc(t).

O choque RFC se comporta como um curto-circuito para x(t) no secundário do trafo, e assim, d l C d d ( ) /Nmodula Cv de acordo com x(t) /N.

Este sinal não consegue atravessar o bloqueio DC.

O circuito oscilador percebe em sua saída o seguinte sistema equivalente:O circuito oscilador percebe em sua saída o seguinte sistema equivalente:

C

Cv

C

A f ê i d t d é d fi id1

f

output resonantcircuit (fc)

)(0 txN

CCCv

A frequência da portadora é definida por:

A frequência instantânea deve ser:

)(2 01 CCLfc

11)(tf

Desvantagem: como o varactor é um semicondutor, C0 é susceptível à variações de temperatura, e

)]([2)(2

)(

01 txN

CCCL

tLCtf

v

g , 0 p ç p ,assim, a frequência portadora fc tende a sofrer deriva e precisa ser estabilizada por controle de frequência realimentado.

Osciladores controlados por tensão à base de circuito integrado linear podem gerar uma forma de p g p gonda FM direta que é relativamente estável e exata.

Contudo necessitam de vários componentes externos como o mostrado na Fig 5 3-2 para oContudo, necessitam de vários componentes externos, como o mostrado na Fig. 5.3 2, para o transmissor de FM direto usando o CI da Motorola MC1376, de 8 pinos.

O VCO é bem linear entre 2 e 4 V, opera com portadoras entre 1,4 e 14 MHz e pode produzir um pico de desvio de frequência de aproximadamente 150 kHz.

Devido a sua baixa potência de saída, são mais adequados para aplicações como telefone sem fio.

Reatância capacitiva com JFET

O circuito mostrado na figura abaixo ilustra como sintetizar uma capacitância controlada por tensão usando-se um transistor JFET, em substituição ao varicap.

id

s

A corrente AC de dreno é calculada como:RR

impedância de entrada

modelo equivalente

Escolhendo-se Xc >> R, determina-se a impedância de entrada vista pelos terminais AA’:

vjXR

Rgvgiv

jXR

RRiv

cmgsmd

ccgs

jXjXRv

Trata-se de uma reatância capacitiva com impedância equivalente:

Rg

jX

Rg

jXR

i

vz

m

c

m

c

d

RCgCX

X c 11

RCgCfCRfCgRg

X meqeqmm

ceq

22

RCgCX

X c 11

RCgCfCRfCgRg

X meqeqmm

eq 22______________________________________________________________

Trata-se de uma capacitância equivalente, que pode ser variada pela tensão de polarização DC, via modulação da transcondutância gm.

Alternativamente, se C e R forem intercambiados no circuito, e, R >> Xc , obtém-se:

jXjX )(

Como R >> Xc , resulta:

vjXR

jXgvgiv

jXR

jXRiv

c

cmgmd

c

ccg

)(

c jRjRX

jXRvz

)(

1

A partir da qual, obtém-se a indutância equivalente:

mcc

mcmcd gXjRX

gXgjXiz

)(

RCfCRR 2

a qual pode ser controlada pela tensão de polarização DC do circuito.

meqeq

mmceq g

RCLfL

g

fCR

gX

RX

22

Em geral, não se costuma empregar o JFET nesta configuração para modulação de FM direto.

Adendo: Circuitos Osciladores

Considere-se o diagrama de blocos mostrado abaixo:

V VVi Vo

Vf

A tensão de saída é: sendo )]()()[()( sVsVsGsV fio )()()( sVssV of

e assim,

O ganho do oscilador será:

)()()]()(1)[()]()()()[()( sVsGssGsVsVssVsGsV iooio

)(1

)(

)()(1

)(

)(

)()(

sL

sG

ssG

sG

sV

sVsA

i

of

na qual o ganho de malha é dado por:

Se V = 0 em = 0 a única forma de ocorrer V diferente de zero é que

)()()()(i

)()()( ssGsL

1)()()( GLSe Vi 0 em 0 , a única forma de ocorrer Vo diferente de zero é que .

Nesta condição, a saída será finita mesmo quando a entrada externa Vi for nula.

Critério de Barkhausen:

1)()()( 000 GL

1)()( 00 G

Critério de Barkhausen:

0)]()(arg[ 00 G(continua...)

Operação do oscilador:

Vi=0 Vo Vo

Vf

Logo que se liga a alimentação do oscilador, os únicos sinais no sistema são as tensões de ruído.

Para partida do oscilador, se faz G > 1 na frequência 0, sendo que é um circuito ressonante tal que o desvio de fase é 0o em 0 (realimentação positiva).

O ruído de entrada é amplificado, aparece na saída, realimenta o circuito ressonante e é filtrado de modo a haver apenas uma componente senoidal com fase exatamente correta para a realimentação positiva, que ocorre em 0.

Quando o sinal atinge a amplitude desejada, diminui-se G para 1 (caso contrário, o amplificador G seria conduzido à saturação) e a oscilação prossegue por si só.

Condições: GG G ç

(continua...)

O método das três impedâncias

Quando se emprega uma rede de amplificadores G(s) em configuração inversora (desvio de fase de 180º entre saída e entrada), torna-se necessário usar uma rede de realimentação (s) que produza uma defasagem de 180º entre seus terminais.

Isto pode ser obtido através de três impedâncias dispostas como na figura abaixo:

V

VV0R0

G(s)

V

0

AvV

Vf

Z1 Z2

(s)

Foi considerado que a impedância de entrada do amplificador é infinita, e assim, não flui corrente docircuito de realimentação (s) para a entrada do amplificador G(s).

Z3

ç ( ) p p ( )

Considera-se que a impedância de saída do amplificador seja R0. (continua...)

Aplicando o divisor de tensão à malha de realimentação:

V VR

G(s) donde se conclui que

031

10 V

ZZ

ZVVf

V

VV0

0

AvV

R0

Além disso, observa-se que a impedância

31

1

0 ZZ

Z

V

Vf

VZ1 Z2

0, q p

Zp, na saída do amplificador G(s), é:

R0

V0

Vf

Z3

(s) V0 I0 ZpAvV

VVA

321

312312

)()//(

ZZZ

ZZZZZZZ p

pp

v

Z

V

ZR

VAI 0

00

Desta forma, a corrente I0 vale:

e daí, obtém-se o ganho do amplificador pv

ZR

ZA

V

VG

0

pZRV 0

(continua...)

pvZAVG

0 312 )(

)//(ZZZ

ZZZZ

1ZVf p

p

ZRVG

0

0

321

312312 )//(

ZZZZZZZ p

______________________________________________________________

)()(

)( 312

ZZZZZZR

ZZZAG v

310 ZZV

O ganho de malha é dado por:)()( 3123210 ZZZZZZR

)()(21

ZZZZZZR

ZZAG v

Se Z1 = jX1 , Z2 = jX2 e Z3 = jX3,

)()( 3123210 ZZZZZZR

)()(21

XXXXXXjR

XXAG v

ou

Esta igualdade é obedecida se ambas, a parte real e parte imaginária, forem nulas.

)()( 3123210 XXXXXXjR

0)()( 321021312 XXXRjGXXAXXXG v

g , p p g ,

Fazendo a parte imaginária igual a zero: , pois G, e R0 são não nulos.

Uma alternativa possível ocorre quando X1 e X2 são reatâncias do mesmo tipo, por exemplo, iti (i d ti ) X é d ti t j i d ti ( iti )

0321 XXX

capacitiva (indutiva), e X3 é do tipo oposto, ou seja, indutiva (capacitiva).

Fazendo a parte real igual a zero, resulta:31

1

XX

XAG v

assumindo-se que é não nulo.)( 312 XXX (continua...)

31

1

XX

XAG v

)( 312 XXX 31 XX

____________________________________________________________Neste caso,

2

1

X

XAG v

Aplicando-se o critério de Barkhausen, para que a oscilação se mantenha é necessário que G = 1 e arg [G , ou seja

1

2

2

1 1X

XA

X

XAG vv

Conforme será visto adiante, no oscilador Colpitts, X1 e X2 são reativos capacitivos e X3 é reativo indutivo.

Chamando: XXXX )( 312

tem-se, da malha com I2:

lh

VV0R0

G(s)<0

222220 jXIIjXIZV

Da malha com I1:

Logo:

V

0

AvV

11311310 )()( jXIIXXjIZZV

IIIjXIjXI 1212VV Logo:

Assim:

1111 )( XIXIjXVf

Vf

(s)<0C2

LC1

V0

I2

I1

IIIjXIjXI 1212V0Vf

22220 XIXIjXVL

(continua...)

III 12_________________________________________________________________

G(s)<0

V

VV0

AvV

R0

Vf

0

VI2

Vf

(s)<0C2

LC1

V0

I1

V

V0R0

V

0

AvV 0 A

0 A 0 A

Vf

C2C1

V0

I=I2I

0 A

III LI I

III 12

1111 )(

X

X

IX

IX

IjX

IjX

V

Vf

22220 XIXIjXV___________________________________________________________

Portanto, o ganho da rede de realimentação (s) vale:

210 )2/(1 CCf

V

+Vcc

com Vf a180º fora de com a saída V0, proporcionando realimentação positiva.

120 )2/(1 CCf

L

V0

Vf

0

G(s)

Pelo critério de Barkhausen, a oscilação se mantém quando

2

1111

C

CGGG

C1 C2 (s)

(s)

A oscilação começa quando:2

2

111C

CGGG V0

Vf

Em altas frequências, costumam-se utilizar osciladores transistorizados, dentre os quais se destacam:

Oscilador ColpittsO il d H l Oscilador Hartley

Oscilador por deslocamento de fase (Phase Shift Oscillator) Oscilador com coletor sintonizado (Tuned Collector Oscillator) Oscilador em ponte de Wien O p W Oscilador a cristal

(continua...)

Oscilador Colpitts

Osciladores que utilizam transistores (FETs ou TBJs) e circuitos sintonizados como elementos de realimentação são usados na faixa de frequência de 100 kHz até centenas de MHz.

O oscilador Colpitts é mostrado abaixo:p

O choque de RF (RFC) fornece alta reatância na frequência de oscilação 0, mas baixa resistência em DC.

Em DC, os capacitores C1 e C2 estão abertos, e, os indutores L e RFC estão em curto circuito.

(Na verdade, deve restar uma pequena resistência em série com o coletor, devido ,às perdas do indutor L.)

Em geral, RB1 e RB2 são da ordem de dezenas a centenas de k.

(continua...)

Recordação: transistores em altas frequências*

Em frequências de RF, o modelo do TBJ exibe uma resistência (rx, da ordem de algumas dezenas de ohms) e duas capacitâncias (C, da ordem de pF até algumas de pF, e C, entre frações de pF até alguns pF) parasitas.

D f i il MOSFET ib d itâ i (C d d d d d fF C dDe forma similar, o MOSFET exibe duas capacitâncias (Cgs, da ordem de dezenas de fF, e Cgd, da ordem de alguns fF) parasitas. (femto, f = 10-15)

(rx é nulo e r é infinito)

______________________________________________________________* Sedra, A. S. & Smith, K. C., Microeletrônica, 5ª. Edição, Pearson/ Prentice Hall, Brasil, 2007.

(continua...)

Em AC, os capacitores de passagem entram em curto-circuito e o choq e de RF fica em abertochoque de RF fica em aberto.

Como rx << r (da ordem de k), este pode ser desconsiderado.

O resistor R ficará em paralelo com r para o TBJ ou com infinitoO resistor RB2 ficará em paralelo com r para o TBJ, ou com infinito,para o MOSFET, e, sendo RB2 e r muito elevados, tal associação pode ser desprezada (aberto).

O resistor R modela a combinação das resistências de carga e a resistência de saída do transistor (ro).

No modelo em condição de oscilação despreza se a capacitânciaNo modelo em condição de oscilação, despreza-se a capacitância C (faixa de fração de pF até alguns pF).

A capacitância C (faixa de alguns pF até dezenas de pF) pode ser considerada como parte de C2.

(continua...)

Modelo de 3 impedâncias:

L

Vo

R

C2 C1

D d d i ê i //R ( b ) áli AC TBJ MOSFET

C2 C1

Desprezando-se a grande resistência r//RB2 (aberto), as análises AC para o TBJ e MOSFET tornam-se equivalentes.

(continua...)

Pode-se observar o amplificador de ganho G(s) e a malha de realimentação positiva (s) no circuito

Vo

Vo

equivalente à direita:G(s) C

V

R

L

VosC1

0 V

Vo

L

C2C1

Aplicando-se a lei de Kirchhoff ao nó C:

(s)

012 VgR

VsCVVsC m

oo

Quando as oscilações estiverem estabelecidas V 0 e então pode ser eliminada da equação:

12 gR mo

0)1(1

22

12

VgVLCssC

RVsC m

Quando as oscilações estiverem estabelecidas, V 0, e então, pode ser eliminada da equação:

0)1

(2122

212

RgCCs

R

LCsCLCs m

(continua...)

0)1

(2122

212

RgCCs

R

LCsCLCs m RR_____________________________________________________________

Substituindo-se: s = j, s2 = 2 e s3 = j3, vem

0])([1

213

212

2

CLCCCjLC

gm

Esta igualdade ocorre se as partes real e imaginária são nulas.

Igualando-se a parte real à zero, tem-se a frequência de oscilação:

])([ 2121

jRR

gm

Igualando se a parte real à zero, tem se a frequência de oscilação:

21

21

021

212021

20210

10])[(

CC

CCL

CLC

CCCLCCC

Igualando a parte real a zero, para o valor de 0 acima resulta:21 CC

RgC

C

RC

C

RRg

R

LC

Rg mmm

1

2

1

222

011

01

Nestas condições, o ganho de malha deve estar na condição unitária: .

O ganho G, da base para o coletor, é:

11

1)()()( ssGsL

RgV

GRVgV mm 0

0g , p ,

e portanto, para manter a oscilação, G = gmR (em módulo) deve ser igual a razão C2/C1 :

gV

g mm

0

2CRgG

(continua...)1C

RgG m

2CRgG

1CRgG m

_______________________________________________________Para que as oscilações tenham início, o ganho de malha L(s) = G(s) (s) deve ser maior do que a Unidade, o que pode ser obtido aumentando-se G(s), mantendo-se (s) fixo.

Esta condição pode ser declarada como:

Com as oscilações aumentando em amplitude, as características não lineares do TBJ diminuem o 1

2

C

CRgm

valor efetivo de gm .

BE

Cm dv

dig 1

12 mm gg

Com a diminuição do ganho efetivo gmR, reduz-se o ganho de malha até o ponto em que L(s) = 1 é exatamente satisfeito, mantendo-se, portanto, as oscilações (oscilador auto-realimentado).

(continua...)

Oscilador HartleyOscilador Hartley

O circuito AC do oscilador Hartley é mostrado no circuito baixo (dual do oscilador Colpitts):

A frequência de oscilação é:

CLL )(

1

21

0

As características não-lineares do TBJ implicam que a forma de onda da corrente no coletor também será distorcida de modo não-linear.

Entretanto, o sinal de tensão de saída ainda será senoidal de alta pureza por causa da ação de filtro e a o, o s a de e são de sa da a da se á se o da de a a pu e a po causa da ação de odo circuito LC sintonizado. (fim do Adendo)#

Moduladores de fase e FM indireto

Moduladores de PM são interessantes porque:

Sua implementação é relativamente fácil;A portadora pode ser suprida por uma fonte de frequência estável como um oscilador controladoA portadora pode ser suprida por uma fonte de frequência estável, como um oscilador controlado

a cristal; Integrando-se o sinal de entrada do modulador de fase, se produz uma saída modulada em frequência.

Modulador de fase com banda estreita (NBPM)

Sejam as equações da seção 5.1:

ttxAtAtx ccccc sin)(cos)( Assim, justifica-se o circuito por:

ttxAtAtx ccccc sin)(cos)( ______________________________________________Alternativamente, o circuito NBPM pode ser obtido através de um modulador balanceado:

x(t)

cc

c

Este circuito opera adequadamente se a condição f x(t) <<1 rad for satisfeita.

Desvios de fase menores que 100 resultam em modulação distorcida.

Moduladores de frequência com banda estreita (NBFM)Moduladores de frequência com banda estreita (NBFM)

A forma geral de um sinal FM (bandas estreita ou larga) é:

ou

sendo

)](2cos[])(2cos[)( tgftAdxftAtx cc

t

ccc

dxtgt

)()( se do

Se f(t)=f g(t)<<1 rad, para f pequeno, tem-se um caso análogo ao NBPM.

x(t) g(t)

Problema: torna-se difícil trabalhar com f pequeno, uma vez que os sistemas de rádios comerciais

NBPM

f p q , qoperam com f elevados (normalmente, f = 75 kHz).

Adendo: ComparadoresAdendo: Comparadores

Alimentação simétrica: vo

v1

v2

vo= A (v2v1)A

v2v1

Se 001221 ovvvvv

Se

Alimentação simples:

001221 ovvvvv

v

v2v1

vo

v1

v2

vo= A (v2v1)A

Se o

V

vvvvv 0

001221

Se sato Vvvvvv 01221

Adendo: Flip-flop JK mestre-escravop p

+Vcc

J QCLK

J

K

Q

Q

CLK J K Qn+1

0 0 Qn

0 1 0 0 1 0

1 1 1

1 1 nQ

CLK

Q

Modulador de fase banda larga com circuito de chaveamentoModulador de fase banda larga com circuito de chaveamento

O sinal de modulação x(t) e a onda dente-de-serra no dobro da frequência portadora são aplicados a um comparador.

1/2fc

1/2fc

A saída do comparador vai a nível alto sempre que x(t) excede a onda dente-de-serra, e, o flip flopA saída do comparador vai a nível alto sempre que x(t) excede a onda dente de serra, e, o flip flopchaveia a entrada a cada borda de subida de um pulso do comparador.

O flip-flop produz uma onda quadrada modulada em fase (tal qual a saída de um limitador), e, a filtragem passa-banda gera xc(t).filtragem passa banda gera xc(t).

x(t)

dente-de-serra

x(t)

saída do comparador

saída do flip flop

=0 1 2 31>02>13>2

1/fc1/fc

Modulação de FM banda larga com multiplicador de frequênciasModulação de FM banda larga com multiplicador de frequências

A necessidade de operar com = f/W elevado para FM é equivalente à operação com índice de modulação AM () elevado, de forma a tornar barato o receptor.

E NBFM ã d b lh f d i ( ) d á di ãEntretanto, a NBFM não pode trabalhar com f grande, pois xc(t) poderá apresentar distorção em seus terminais: f grande C/C0 grande torna-se necessário mais termos na sua série binomial termos em x2(t) distorção.

C t d d bt FM b d l tili d bl bá i FM b d t itContudo, pode-se obter FM banda larga utilizando-se como bloco básico o FM banda estreita.

Para fm e Am fixos, e, sendo = (f Am )/ fm , varia-se f . fm

NBFM, << 1

])(2cos[ t

cc dxftA

Este bloco fornece informações sobre o espaçamento entre linhas, fm.

D j f >> f])(2[)( t

dftAtDeseja-se: , com f >> f .

este fator permanece o mesmo

])(2cos[)( 22 ccc dxftAtx

])(2cos[)( 22 t

ccc dxftAtxDeseja-se: , com f >> f .

este fator permanece o mesmo_______________________________________________________

fm

Alterando-se f do sistema, pode-se aumentar= (f A )/ f sem alterar f surgem mais= (f Am )/ fm sem alterar fm surgem mais linhas aumenta-se a banda de mensagem.

Uma forma de aumentar f utiliza uma cadeia de duplicadores e triplicadores de frequênciaUma forma de aumentar f utiliza uma cadeia de duplicadores e triplicadores de frequência, formando um conjunto multiplicador de frequência.

Os multiplicadores típicos consistem de unidades duplicadoras ou triplicadoras como a indicada na Figura 5 2 6b:Figura 5.2-6b:

Figura 5.2-6b

ein eout

_________________________________________________Importante: o processo de multiplicação é sutil, afetando a faixa da variação de frequência mas não a sua taxaa sua taxa.

Por exemplo, numa modulação de tom, a multiplicação de frequência aumenta a frequência da portadora e o índice de modulação, mas não a frequência de modulação, tal que a amplitude das linhas de banda lateral é alterada enquanto o espaçamento de linhas permanece o mesmolinhas de banda lateral é alterada, enquanto o espaçamento de linhas permanece o mesmo.

Exemplo: Multiplicador com dispositivo de lei quadrática

d ])(2[)( t

dfAEntrada NBFM:

Saída FM:

])(2cos[)( 11 ccin dxftAte

])(222cos[12

1])(2[cos)()( 1111

22 dxftdxfttetet

c

t

cinout

sendo:

R d DC b é

])(22cos[12

122 dxft

t

c

1212 22 ffcc

])(22[1

)( dft

Removendo-se o termo DC, obtém-se:

o qual possui a forma geral do sinal FM, porém, com f mais elevado que em NBFM.Tanto o desvio de frequência do sinal de saída quanto a portadora são iguais ao dobro dos valores

])(22cos[2

)( 22 dxftte cout

q q p gcorrespondentes ao sinal de entrada. #

Modelo de FM indireto (ou de Armstrong)Modelo de FM indireto (ou de Armstrong)

Prosseguindo, se T for a constante de proporcionalidade do integrador,

)(])(1

2[)( AdfAt

a frequência instantânea do sinal NBFM é:

)(cos])(2cos[)( 1111 tAdxT

ftAtx ccccc

)()(21

)(1

)( 1 tftf

fttf

sendo = 2 f1 .

O desvio de frequência inicial, portanto, é igual a /2T , e deve ser aumentado para o valor

)(2

)(2

)(2

)( 11

11 txT

ftxT

ffttf ccc

O desvio de frequência inicial, portanto, é igual a /2T , e deve ser aumentado para o valor desejado f , através de um multiplicador de frequências.

)()( 111 tx

T

fftf c

_____________________________________________________________

na entrada na saída.)()()()( 221

112 txfftxT

fnnftfntf cc

onde , ou seja, .T

nT

fn

T

fnf

2

12

2

1 11

fO valor de n adequado depende do desvio de frequência final desejado, f:

Normalmente, isto resulta em fc2 >> fc1 , e assim, a frequência central pode atingir valores muito elevados

11

f

fn

elevados.

Portanto, a Fig. 5.3-5 inclui um conversor de frequência que translada o espectro, intacto, para uma frequência mais baixa , e assim, a frequência total torna-se .O último componente do sistema é um amplificador de potência desde que todas as operações

LOcc fnff 1 )()( txfftf c O último componente do sistema é um amplificador de potência, desde que todas as operações anteriores devem ser utilizadas sob baixos índices de potência.

Exemplo 5 3 1: FM indiretoExemplo 5.3-1: FM indireto

Transmissor de Armstrong para FM comercial: fc1 = 200 kHz, /2T = 15 Hz e f = 75 kHz.

O valor 75 Hz pequeno garante que para W = 15 kHz ocorre: ff 12O valor 75 Hz pequeno, garante que, para W = 15 kHz, ocorre:

TTT1

22 3

31

max11 101015

15

TT

W

f

pequeno, a condição necessária para NBFM sem problemas de distorção.

Como o desvio de frequência desejado é f = 75 kHz, ,000.515

75

1

k

f

fn

o qual pode ser obtido com uma cadeia de 4 triplicadores e 6 dobradosres, pois n = 34 26 = 5.184.

Porém, fc2 = nfc1 = 5.000200 kHz = 1.000 MHz, um valor muito grande.

1f

Utiliza-se um estágio de heterodinagem, com um segundo oscilador a cristal, para transladar o espectro para um local conveniente: 88 MHz a 108 MHz para FM comercial.

Por exemplo para a emissão com f = 100 MHz usa se f = 900 MHz (ver diagrama a seguir)Por exemplo, para a emissão com fc = 100 MHz, usa-se fOL = 900 MHz. (ver diagrama a seguir)

(continua...)

Transmissor de FM indireto: fc1 = 200 kHz, /2T = 15 Hz e f = 75 kHz.Transmissor de FM indireto: fc1 200 kHz, /2T 15 Hz e f 75 kHz.

f

f = n f1 = 75 kHzfc2 = nfc1 = 1.000 MHz

Hz15,kHz200 11

T

ffc

fc = 100 MHz

fOL = (1000100) MHz

FM com onda triangular (FM triangular wave)

O método gera modulação sem distorção em frequência portadora até 30 MHz, e, é bastante conveniente para aplicações em instrumentação eletrônica.

O FM triangular será definido recorrendo-se a comO FM triangular será definido recorrendo-se a com

onde o deslocamento de fase inicial foi incluído tal que .)0( 0)0( c

Esta fase inicial não afeta a frequência instantânea

Um sinal de FM triangular de amplitude unitária é expresso em termos de como )(tc

a qual define uma forma de onda triangular quando [e, por isso, ]:0)0( 0)( t

ct cosct x (t) = (2)arcsin[cosct ]

0 1 (2) arcsin1= (2) /2=1

x

/2 0 (2) arcsin0 = 0

1 (2) arcsin(1)=(2) (/2) = 1

3 0 (2) arcsin0 = 0

+1

1

0 ct 3 ( )

2 1 (2) arcsin1 = 01

________________________________________________Mesmo quando (t) 0, a equação (5.3-5a) representa uma função triangular periódica de c :

)(cos)(sin)](arcsin[cos2

)( ttxttx

a) )()](1[2

)(cos)](1[2

cos)(cos2

)(2

cos ttxttxttx ccc

)(cos)(2

sin)](arcsin[cos)( ttxttx cc

b) )()](3[2

)(cos)](3[2

cos)(cos2

3)(

2cos ttxttxttx ccc

Portanto,

e assim por diante, para c > 2.

Figura 5.3-6(a)

Adendo: Schmitt trigger (circuito biestável não inversor)*Adendo: Schmitt trigger (circuito biestável não inversor)

Circuito usando amplificador operacional:

realimentação positivaç p

Quando a tensão de entrada aumenta e ultrapassa VTH a saída chaveia do estado baixo (L) para alto (+L+).alto ( L+).Ocorre o inverso quando a entrada diminui e fica menor que VTL .

Tensões de disparo:R R

2

1

R

RLVTL

2

1

R

RLVTH

(fim do Adendo)_____________________________________________________* Sedra, A. S. & Smith, K. C., Microeletrônica, 5ª. Edição, Pearson/ Prentice Hall, Brasil, 2007.

A Fig. 5.3-6(b) mostra o diagrama de blocos de um sistema que produz x(t) a partir da tensão:

a qual é prontamente obtida a partir da mensagem x(t).

O circuito consiste de um inversor analógico, um integrador e um Schmitt trigger que controla uma chave eletrônica.

_______________________________________________O trigger coloca a chave na posição upper sempre que x(t) aumenta para +1, e, coloca a chave na posição lower sempre que x(t) decresce para 1.

Supõe se que o sistema opera em t = 0 com x (0) = +1Supõe-se que o sistema opera em t = 0 com x(0) = +1, e com a chave na posição upper x(0) = +1.

Então, para 0 < t < t1 :t = t1

upper t = 0

x(t)+11

tal que x(t) percorre a rampa decrescente na Fig. 5.3-6a, até o tempo t1 , quando x(t1) = 1, lower

t = t2

correspondendo a c(t1) = .

x(t) percorre a rampa decrescente até o tempo t1 , quando x(t1) = 1 e c(t1) = .

t = t1

upper t = 0

t = t

_________________________________________________O trigger leva a chave para a posição lower:

x(t)+11

t = 0 t = t2

lower

t = t2

t = t1

lower

A seguir, x(t) percorre a rampa ascendente, até o tempo t2 , quando x(t2) = +1 com c(t1) = 2:

A chave retorna à posição upper, e o ciclo de operação segue periodicamente, para t > t2 .

Exemplo: fc = 10 kHz, fm = 1 kHz, = 5.Exemplo: fc 10 kHz, fm 1 kHz, 5.

tttftftxtttt mcccc 10002cos000.1022cos2)()()(

x(t)x(t)

x(t)

Um sinal FM senoidal é obtido a partir de x(t) usando um formatador de onda não-linear, com característica de transferência:

que executa a operação inversa da Eq. (5.3-6a).

)(

2sin)]([ txAtxT c

(continua...)

)(sin)]([ txAtxT

)(

2sin)]([ txAtxT c

______________________________________________________________

)]0()(cos[)](cossin[arcsin)arcsin(cos2

2sin)(

2sin

ttAAAtxA ccccccc

Outra alternativa, é aplicar x(t) a um hard limiter para produzir FM com onda quadrada:

+Ac

Act

A seguir um filtro passa banda pode gerar uma onda FM de amplitude constante desde que asA seguir, um filtro passa banda pode gerar uma onda FM de amplitude constante, desde que as componentes da forma de onda ceifada não tenham sobreposição espectral.

Detectores de Frequência (Discriminadores de FM)Detectores de Frequência (Discriminadores de FM)

Um detector de frequência, frequentemente chamado de discriminador, produz uma tensão de saída que varia linearmente na frequência instantânea de entrada.

Se o sinal de entrada do discriminador de FM obedecer a (5.1-7), ou seja, a:

sua saída será:

onde KD é a sensibilidade do discriminador.

])(2[)( dxfKtyt

DD

A maioria dos circuitos para detecção de frequência se enquadra numa das quatro categorias abaixo:

i – Conversor de FM para AM;ii – Discriminador por deslocamento de fase;ii Discriminador por deslocamento de fase;iii – Detecção de cruzamento de zero;iv – Realimentação de frequência.

sendo que as três primeiras são discutidas neste capítulo enquanto a quarta (PLL – Phase Lockedsendo que as três primeiras são discutidas neste capítulo, enquanto a quarta (PLL Phase LockedLoop) é estudada no capítulo 7.

A detecção de fase analógica (PM) não será discutida, pois raramente é utilizada na prática.A detecção de fase analógica (PM) não será discutida, pois raramente é utilizada na prática.

Além disso, isto pode ser realizado integrando-se a saída de um detector de frequências.

Lembre-se que a modulação PM é definida por (5.1-1), ou seja, por:

com

jou seja:

Em PM ocorre:)(

2

1txfc

e então, o sinal na entrada de um discriminador de FM seria:

)](cos[)](cos[)( txtAttAtx ccccc

)(2

fc

Na saída do discriminador, se teria um sinal proporcional a frequência instantânea:

)()()( txKtKty DDFM

D

)]([)]([)( ccccc

Portanto, integrando-se yD(t) no tempo, recupera-se o sinal de mensagem:

)()( txKty DPM

D

i - Conversão de FM para AM

Qualquer dispositivo ou circuito cuja saída é igual à derivada temporal da entrada produz conversão de FM para AM.

Seja com)(cos)( tAtx )]([2)( txfft Seja com .

Então, diferenciando:

)(cos)( tAtx ccc )]([2)( txfft cc

mensagem + bias DC portadora

O diagrama da Fig. 5.3-7a esquematiza o detector de frequência baseado na Eq. (5.3-6):

(5.3‐6)

O diagrama da Fig. 5.3-7a esquematiza o detector de frequência baseado na Eq. (5.3-6):

___________________________________________________________________Li i d d d i i õ ú i d li d d ( ) i jLimitador de entrada: remove quaisquer variações espúrias de amplitude de xc(t) antes que atinjam o

detector de envoltória.Boqueio DC: remove o offset constante produzido pela frequência portadora do sinal na saída.

LPF d ti id d f d d i f ilit dif i ãLPF: remove descontinuidades na forma de onda, e assim, facilita a diferenciação.

Para a implementação prática do conversor FM para AM, recorda-se o fato que um diferenciador ideal tem H(f)=2f.

Ligeiramente acima e abaixo da ressonância (f0), a resposta em frequência de um circuito sintonizado, como a mostrada na Fig. 5.3-8a, se aproxima da resposta linear em amplitude desejada, ao longo de uma pequena faixa de frequências.

ffc ffc

ffc

cfcf cfresonance

correspondênciaentre FM e AM

)(2 txfAc

f0

cc fA 2carrier

)()( txfftf c

Há conversão de f(t) em hertz para x(t) em volts: fx(t), Hz Ac2f fx(t), Hz; fc Ac2fc, volts.

A operação em torno dos pontos A ou A´ é indiferente (apenas introduz um desvio de fase de 1800

ao sinal detectado)ao sinal detectado).

Exemplo: Discriminador de FM com circuito RLExemplo: Discriminador de FM com circuito RL

Detector de inclinação + receptor de AM não sintonizado.

DC+Kd fx(t)

discriminador detector de envoltória

Problema: pouca sensibilidade e bias DC.p

Exemplo: Circuito RLC sintonizado em fc<f0

DC+Kd fx(t)

discriminador detector de envoltória

A ibilid d lh é ã é it li t bi DCA sensibilidade melhora, porém, não é muito linear e apresenta bias DC.

Discussão: O problema do bias DC

As redes anteriores tornam necessária a utilização de um bloqueio DC nas suas saídas, devido à presença do bias DC.

Entretanto, o capacitor de bloqueio eliminaria uma característica inerente da modulação FM, qual , p q ç , qseja, que a FM responde à DC.

H(f)output

d A

KfKD

conversão de FM para AM

fc tf 00

Kfftxfftf cc )()(0

i l d

t

sinal demensagem

x(t) = K

Torna-se interessante um circuito que não gere um bias DC na saída.

Exemplo: Discriminador balanceado (detector Round-Travis)Exemplo: Discriminador balanceado (detector Round Travis)

Uma linearidade extendida pode ser obtida com o circuito discriminador balanceado da Fig. 5.3-8b:

(continua...)

O sistema apresenta dois circuitos ressonantes no secundário, um sintonizado na frequência 1,O sistema apresenta dois circuitos ressonantes no secundário, um sintonizado na frequência 1, H1() acima da portadora c, e outro, H2(), sintonizado em 0, abaixo de c.

A lt t H( ) é d i d d S d di i i d õ id tA curva resultante, H(), é denominada de curva-S do discriminador por razões evidentes.(continua...)

Análise gráfica: ponto de vista do diodo superior

outputafter D1

signalbefore D1

output afterDC block

0 0

DC block

1

FM to AM envelope

FM to AM envelope detector (continua...)

Análise gráfica: ponto de vista do diodo inferior

signalbefore D1

outputafter D2

output afterDC blockDC block

0 0

FM to AM envelope detector

FM to AM envelope detector

2

(continua...)

Análise gráfica: Ao se conectar ambos os circuitos, H(f) assume a forma da curva-S

Para todos os efeitos, o diodo superior enxerga a porção acima de fc, ....

)( fHoutputsignal

+fc

pafter D1

S-curve

gbefore D1

+f

fc0 0 t

0 )(tf

freq ência

+frequênciainstantânea

1

FM to AM envelope

t

FM to AM envelope detector (continua...)

....enquanto o diodo inferior enxerga a porção da reta abaixo de fc.....enquanto o diodo inferior enxerga a porção da reta abaixo de fc.

)( fHoutputafter D

signalb f D after D2

S-curvebefore D1

f 0 0 tfc

0 )(tf

frequência FM to AM envelope detectorfrequênciainstantânea

FM to AM envelope detector

2

t (continua...)

Análise circuital: f1 > fc

++ +

xc1

yc1

yD1

+x (t)

+xc0

+

yc0

+

yD0

yc

xc(t)

c0

Sinais de entrada: Xc1() = Xc0() tal que Xc1() = (N0 /N1) Xc().

f0 < fc

Conforme f(t) varia, as variações de amplitude estão em sentidos opostos, de modo que a diferença entre essas variações gera a saída:

)()]()([)()()()()()()( 101101101 cccccc XHHXHXHYYY

aproximadamente linear com (continua...)

)()]()([)()()()()()()( 101101101 cccccc XHHXHXHYYY _____________________________________________________________

Portanto, com , para 0 < < 1 .

A resposta em frequência resultante forma a bem conhecida curva-S do discriminador de FM:

)()()( 1 cc XHY )()()( 01 HHH

p q

O discriminador de FM proporciona um sinal de saída cuja amplitude depende do desvio de frequência instantânea em relação à frequência portadora.

Para radiodifusão de FM com desvio de frequência máximo de f = 75 kHz, a característica do q fdiscriminador de FM desejado é mostrado acima. #

Análise teórica do detector Round-Travis*Análise teórica do detector Round Travis

Um discriminador de frequência consiste de um circuito de inclinação seguido por um detector de envoltória.

U i i d i li ã id l é i d f ê i éUm circuito de inclinação ideal é caracterizado por uma resposta em frequência que é puramente imaginário, variando linearmente com a frequência dentro de uma faixa de frequência prescrita.

fH bp )()1(

j

1cf

21

Wfc

21

Wfc

21

Wfc

1cf21

Wfc

2

22,

22

)()1( Wff

Wf

Wffj

Wff

Wf

Wffaj

fH

ccc

bp

outside0

22,

22

)(fffffaj

fHccc

bp

_________________________________________________________*Haykin, S., Communication Systems, 4th edition, John Wiley & Sons, NY, 2001.

fH )))1(O sistema equivalente passa-baixa será:

j

fH p )))1(

O sistema equivalente passa baixa será:

outside022

,2

2)()1(

Wf

WWfaj

fH p

2

W

2

W

O sinal de FM de entrada é:

t

Recorrendo-se a (4.1-5),

])(2cos[)( t

ccc dxftAtx

e (4.1-11b),

bté i l i l t b i d t dobtém-se o sinal equivalente passa-baixa da estrada:

])(2exp[2

)( 0 dxfjA

tx tcp

22,

22

)()1(W

fWW

fajfH

])(2exp[)( dxfjA

tx tc

_______________________________________________Seja o sinal equivalente passa-baixa na saída, cujo espectro é:)()1( ty p

outside0222)()( ffj

fH p])(2exp[

2)( 0 dxfjtx p

outside022

),(2

2)()()(

)1()1()1()1(

Wf

WfX

Wfaj

fXfHfY pppp

onde é a TF de .

Usando o teorema da diferenciação (2.3-8).ou seja

)( fX p )()1( tx p

deduz-se que

)()(

)()1( tWxjtdx

aty pp

p

Derivando-se no tempo se obtém:

)()( jdt

y pp

)()1( tx p

)( dAtx ttt

e assim

])(2exp[)(])(2exp[]})(2{exp[2

)(000 dxfjtxfAjdxfjdxfj

dt

dA

dt

tx tc

ttcp

])(2exp[2

1)( 0

)1( dxfjW

fWaAjty t

cp

])(p[

2)( 0fj

Wjy cp

])(2exp[1

)( 0)1( dxfj

fWaAjty t

____________________________________________________A resposta desejada é obtida aplicando-se (4.1-12):

1)1()1( f ttj

])(2exp[2

)( 0 dxfjW

WaAjty cp

])(2exp[)(2

1Re2])(Re[2)(

0

)1()1( dxfttxW

fWaAjetyty cc

tjpbp

c

2)(2exp)(

2

1Re2)(

0

)1( dxfttxW

fWaAjty

t

ccbp

2)(22cos)(

2

1

22

0

0

dxftftxW

fWaA

W

t

cc

2 fEscolhendo-se para todo t, pode-se usar um detector de envoltória para recuperar as

variações de amplitude, recorrendo-se a (4.1-5), ou seja:

1)(2

txW

f

)](cos[)()( 1 tttAty cbp

Com

O bias DC (W a Ac)/2 é proporcional à inclinação “a “ da resposta em frequência do circuito de

)(22

1)(1 tx

W

fWaAtA c

( c) p p ç p qinclinação.

Isto sugere que o bias pode ser removido subtraindo-se da saída do detector de envoltória, A1(t), a saída de um segundo detector de envoltória precedido por um circuito de inclinação complementarg p p ç p

, tal que fc1 fc2 = W .)()2( fH bp

)(22

1)(1 tx

W

fWaAtA c

fH bp )()2(

2

W

2

W

______________________________________________Segundo detector de envoltória precedido por um circuito de inclinação complementar , tal que fc1 fc2 = W :

)()2( fH bp

)(

2)(1 Wc

j

1cf2cf

2

Wfc

22

Wfc

2 2

2cf1cf

22f c

22

Wfc

f

22

Wfc

Procedendo-se a uma análise similar à anterior, mostra-se que a segunda envoltória será:

1 f

A diferença entre as duas envoltórias é:

)(22

1)(2 tx

W

fWaAtA c (mostrar isto!)

)(4)()()( fAAA

a qual está livre do bias.

Isto sugere que a resposta em frequência global seja obtida a partir de:

)(4)()()( 21 txaftAtAtA

)()()( )2()1( fHfHfH bpbpbp

j

fH bp )()1(

1cf

Wf W

f

21

Wfc

21

Wfc

21f c

1cf21f c

j

fH bp )()2(

f f22

Wfc

1cf2cf

2f 1cf

22

Wfc

22

Wfc

A diferença entre as duas respostas em frequência será: )()()( )2()1( fHfHfH bpbpbp

2cf 1cf

22

Wfc

)( fHbpResposta em frequência global

cfcf21

Wfc

22

Wfc

0f

Pode-se modelar o discriminador de frequência ideal como um par de circuitos de inclinação com resposta em frequência e , seguido por detector de envoltória e um somador.)()1( fHbp )()2( fHbp

)()1( fHbp

)(txc

)()()( )2()1( fHfHfH bpbpbp

)()2( fH bp

Este esquema pode ser realizado usando o detector Round-Travis:

Detector Round-Travis: D1

Metade superior

1

Metade i f i

p

inferior

D2

)( fHbp Resposta em frequência vista pela metade superior

Resposta em frequência vista pela metade inferior

cfcf Wf W

f0

f

vista pela metade superiorvista pela metade inferior

21f c 22fc

Resposta em frequência vista pela metade inferior

Resposta em frequência vista pela metade superior

As seções de filtros ressonantes, superior e inferior, estão sintonizadas em frequências acima (fc1) e abaixo (fc2) da frequência da portadora não modulada (fc), respectivamente.

Assume-se que ambos os filtros possuam fatores Q elevados

A linearidade da porção útil da resposta em frequência total é determinada pela separação

A separação de frequência de 3 dB proporciona resultados satisfatórios, onde 2B é a largura de banda

frequência total é determinada pela separação das duas frequências de ressonâncias.

A separação de frequência de 3 dB proporciona resultados satisfatórios, onde 2B é a largura de banda de 3 dB de cada filtro. #

ii - Discriminador por desvio de fase

Os discriminadores por desvio de fase envolvem circuitos com resposta linear de fase, em contraste com a resposta linear de amplitude da detecção de inclinação.

O princípio básico vem da aproximação para diferenciação no tempo:O princípio básico vem da aproximação para diferenciação no tempo:

desde que t seja pequeno comparado à variação de v(t)desde que t1 seja pequeno comparado à variação de v(t).

Dado que um sinal de FM possui , tem-se )(2)( txft

sendo que (tt1) pode ser obtido com a ajuda de uma linha de retardo ou, equivalentemente, comuma rede de desvio de fase linear.

No primeiro caso, tem-se o circuito desenhado abaixo, com uma rede de retardo de fase t1:No primeiro caso, tem se o circuito desenhado abaixo, com uma rede de retardo de fase t1:

1/t1envelopedetector

DCblock+

xc(t) yD(t)+

1 detector block

delay line t1

)(2)( 1 txtft

)()()( 11 ttxtxtt cc )()( 1f

envelope DCx (t) yD(t)+

1/t1envelopedetector

DCblock

delay line t1

+xc(t) yD(t)

somador

)()()( 11 ttxtxtt cc )(2)( 1 txtft

_____________________________________________________O fator t1 deve ser pequeno reativamente às variações temporais de xc(t): t1 << 1/fc.

Problema: o amplificador linear de alto ganho 1/t1 é de difícil implementação.

Detector de quadraturaDetector de quadratura

Na rede abaixo, tem-se um discriminador por desvio de fase com uma rede tendo group delay t1 e carrier delay t0, tal que ct0 = 900, o qual é chamado de detector de quadratura.

lti li dmultiplicador

______________________________________________________Da Eq. 5.2-11a,

o sinal deslocado em fase é proporcional a

A multiplicação por gera:

)](sin[)](90cos[ 110 tttttt cc

)](cos[ ttc

)(sin)(sincossin)(sin)(coscos

)(cos)(sinsin)(cos)(coscossin

)](sinsin)(cos[cos)](sincos)(cos[sin

112

12

1

11

ttttttttt

ttttttttt

tttttttttt

ccc

cccc

)(sin)(sincossin)(sin)(coscos 11 ttttttttt ccc

)]()(cos[)]()(sin[2sin)]()(sin[)]()(sin[2cos1

2

)]()(sin[)]()(sin[

2

2cos1

2

)]()(cos[)]()(cos[

2

2sin

1111

1111

tttttttttttttt

tttttttttttttt

cc

cc

Após passar por um filtro passa-baixa, gera-se um sinal proporcional a:

2

)]()([)]()([

22

)]()([)]()([

21111 cc

assumindo-se que t1 é pequeno o suficiente, tal que . )()( 1ttt

Si l d íd i lSinal de saída proporcional a______________________________________________________

Portanto,

sendo KD = 2t1.

A despeito dessas aproximações, um detector de quadratura proporciona melhor linearidade que um discriminador balanceado e frequentemente é usado em receptores de alta qualidadediscriminador balanceado, e, frequentemente é usado em receptores de alta qualidade.

iii – Detector de cruzamento de zeros

O sinal de FM após o hard limiter dispara um gerador de pulsos monoestável, que produz um pulso curto de amplitude A e duração , fixos, a cada subida (ou descida) no cruzamento de zero do sinal de FM.

Se for possível invocar o ponto de vista quase-estático, no qual o intervalo de tempo T é tal queW<<1/T<< fc , a largura de cada onda retangular após o hard limiter varia lentamente dentro do intervalo de observação T (pois W<<1/T), e, que cabem muitos pulsos de v(t) dentro desse intervalo (pois 1/T<<fc).

Nesta situação, a saída do monoestável v(t) se parece com um trem de pulsos retangular com período aproximadamente constante, igual a 1/f(t).

Então, existirão aproximadamente pulsos no intervalo T.

Por outro lado integrando-se v(t) ao longo de T :

)()](/1/[ tfTtfTnT

Por outro lado, integrando-se v(t) ao longo de T :

)]([ txffA c

a qual se torna após o bloqueio DC.

Detectores de cruzamento de zero podem apresentar linearidades melhores que 0,1%, e, operar em frequências fc de 1 Hz a 10 MHz.

)()( txfKty DD

O uso de maiores frequências de portadora fc, mantendo-se W e 1/T fixados, promove o aparecimento de um número muito grande de pulsos de v(t), podendo comprometer a relação n = T f(t) (este valor pode exceder em alguns ciclos este número, ou o inverso).

Um contador com divisor por 10 inserido após o hard limiter extende a faixa até 100 MHz.

Atualmente, a maioria dos dispositivos de comunicação por FM utilizam circuitos integrados paraAtualmente, a maioria dos dispositivos de comunicação por FM utilizam circuitos integrados para detecção de FM.

Suas confiabilidade, pequeno tamanho e facilidade de projeto têm incentivado o crescimento de FM two-way portátil e sistema de comunições celulares por rádio.two way portátil e sistema de comunições celulares por rádio.