I. - TRIGONOMETRÍA DETERMINACION DE UNA RAZON EN FUNCION DE OTRA

En función del coseno del ángulo doble:

FÓRMULAS BÁSICAS En función del seno: (Usadas para integrar)

s e nα =c

a cosec

senα

α= =

1 a

c c o se c

se nα

α=

1 cos senα α= −1 2

sencos

αα

=−1

2

2 sen

cosα α2

1

2=

−

c o sα =b

a sec

cosα

α= =

1 a

bsec

senα

α=

−1

1 2 tansen

senα

αα

=−1 2 cos

cosα

α=

+1

2

2 cos

cosα α2

1

2=

+

tansen

cosα

αα

= =c

b cotan

tanα

α= =

1 b

c ctgsen

senα

αα

=−1 2

tancos

cosα

αα

=−+

1

1

2

2 tan

cos

cos

α αα2

1

1=

−+

sen cos2 2α α+ = 1 ta n c o ta nα α× = 1 En función del coseno: RAZONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA

1 2 12

2+ = =tancos

secαα

α

a

b

cα

sen cosα α= −1 2 ( )sen sen cos cos senα β α β α β± = ±

( )cos cos cos sen senα β α β α β± =

1122

2+ = =cotansen

cosecαα

α seccos

αα

=1

coseccos

αα

=−

1

1 2

( )tantan tan

tan tanα β

α βα β

± =±

1

( )( )

sen sensen sen

tan

tan

α βα β

α β

α β

+−

=+

−

121

2LINEAS TRIGONOMÉTRICAS

c o t g c o t g c o t g c o t g

c o s c o sc o s c o s

tan

sen sen

sen sen

tan tan

tan

P r i m e r C u a d r a n t e S e g u n d o C u a d r a n t e T e r c e r C u a d r a n t e C u a r t o C u a d r a n t e

tancos

cosα

αα

=−1 2

En función de la tangente:

ctgcos

cosα

αα

=−1 2

costan

αα

=+

1

1 2

( )ctgctg ctg

ctg ctgα β

α βα β

± =±

1

cos cos

cos coscotan

sα βα β

α β α β+−

= −+ −2 2

TRANSFORMACION DE SUMAS A PRODUCTOS Y VICEVERSA(Estas expresiones se utilizan en la resolución de triángulos con el empleo de logaritmos)

SUMAS a PRODUCTOS

Ángulos complementarios:Su suma vale π/2 radianes (90°) c tg

ta nα

α=

1 sec tanα α= +1 2

sen sen sen cosα βα β α β

+ =+ −

22 2

sen sen cos senα βα β α β

− =+ −

22 2

REDUCCION AL 1er

CUADRANTEsen (π/2 − α) = cos αcos (π/2 − α) = sen αtan (π/2 − α) = ctg α

cosectan

tanα

αα

=+1 2

sentan

tanα

αα

=+1 2 cos cos cos cosα β

α β α β+ =

+ −2

2 2

cos cos sen senα βα β α β

− = −+ −

22 2

Ángulos suplementarios:Su suma vale π radianes (180°)

Ángulos que difieren en π/2 radianes:

En función de la tangente del ángulo mitad(Usadas para integrar) tan tan

sen( )

cos cosα β

α βα β

+ =+

PRODUCTOS a SUMAS

sen (π − α) = sen α cos (π − α) = − cos α

sen (π/2 + α) = cos α cos (π/2 + α) = − sen α

tan (π − α) = − tan α tan (π/2 + α) = − ctg α ( )( )sen

tan /

tan /α

αα

=+2 2

1 22 sentan

tan2

2

1 2αα

α=

+tan tan

sen( )

cos cosα β

α βα β

− =+ ( ) ( )[ ]sen sen cos cosα β α β α β= − − +

1

2

Ángulos que se diferencian π radianes:

Ángulos opuestos: ( )( )co s

tan /

tan /α

αα

=−+

1 2

1 2

2

2 costan

tan2α

αα

=−+

1

1

2

2ctg ctg

sen ( )

sen senα β

α βα β+ =

+ ( ) ( )[ ]sen cos sen senα β α β α β= + + −1

2 sen (π + α) = − sen α cos (π + α) = − cos α tan (π + α) = tan α

sen (− α) = − sen(α) cos (− α) = cos α tan (− α) = − tan α

( )( )tan

tan /

tan /α

αα

=−2 2

1 22 tantan

tan2

2

1

2

2ααα

=−

ctg ctgsen( )sen sen

α ββ α

α β− =− ( ) ( )[ ]cos cos cos cosα β α β α β= + + −

1

2

FUNCIONES DE LOS MÚLTIPLOS DE UN ÁNGULO

Ángulo doble Ángulo tripleTEOREMAS IMPORTANTES:

Teorema de los senos:FUNCIONES DEL ÁNGULO SUMA/DIFERENCIA

sen sen cos2 2α α α=

sen sen sen3 3 4 3α α α= −

cos cos sen2 2 2α α α= −

cos cos cos3 4 33α α α= −

tantan

tan2

2

1 2αα

α=

− tan

tan

tan3

3

1 3 2αα

α=

−FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

arcsen arccos arccosx x x= − = −12

2 π

A

B

C

ac

b

R

cosBa c b

ac=

+ −2 2 2

2

a

A

b

B

c

CR

sen sen sen= = = 2

Teorema de los cosenos:

cos Ab c a

bc=

+ −2 2 2

2

cosCa b c

ab=

+ −2 2 2

2

( )Sh Sh Ch Sh Chα β α β β α+ = +

( )Sh Sh Ch Sh Chα β α β β α− = −

( )Ch Ch Ch Sh hα β α β β α+ = + S

( )Ch Ch Ch Sh Shα β α β α β− = −

( )ThTh Th

Th Thα β

α βα β+ =+

+1 ( )Th

Th Th

Th Thα β

α βα β− =−

−1

FUNCIONES DEL ÁNGULO DOBLE/MITAD

Sh Sh Ch2 2α α α= Ch Sh Ch2 2 2α α α= +

ThSh Ch

Sh Ch2

22 2α

α αα α

=+

arccos arcsen arcsenx x x= − = −12

2 π Teorema de las tangentes ( )Sh Ch

αα

2

1

21= −

( )Ch Chα

α2

1

21= +

ThCh

Ch

α αα2

1

1=

−+

arctan arcsen arctgxx

xx=

+= −

1 22

π

( )arcsen arcsen arcsenx y x y y x+ = − + −1 12 2

a ba b

A BA B

A B

A B+−

=+−

=

+

−sen sensen sen

tan

tan

2

2

TRANSFORMACION DE PRODUCTOS A SUMAS

( ) ( )[ ]Sh Sh Ch Chα β α β α β= + − −1

2

( ) ( )[ ]Ch Ch Ch Chα β α β α β= + + −1

2

( )arcsen arcsen arcsenx y x y y x− = − − −1 12 2

( ) ( )[ ]arccos arccos arccosx y xy x y+ = − − −1 12 2

AREA DEL TRIÁNGULO

S ab C cb A ac B= = =1

2

1

2

1

2sen sen sen

( ) ( )[ ]Sh Ch Sh Shα β α β α β= + + −1

2

( )Ch Sh Ch Shα α α α± = ±n

n nFUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS

( )ArgSh lnx x x= + +2 1 ( )ArgCh lnx x x= + −2 1

( ) ( )[ ]arccos arccos arccosx y xy x y− = + − −1 12 2

arctan arctanx yx y

xy+ =

+−1

arctan arctanx yx y

xy− =

−+1

FÓRMULAS DE BRIGGS

Para las tangentes de los ángulos mitad, se dividen las expresiones análogas miembro a miembro. Para el ángulo entero se utilizan las fórmulas que dan las razones de un ángulo en función del coseno del ángulo doble. Estas fórmulas ya se han tratado anteriormente.

(Fórmula de Herón)

( ) ( ) ( )S p p a p b p c= − − −

S prabc

R

p

R= = =

4 2

pa b c

=+ +

2

A

B

C

ac

b

Rr

ArgTh lnxx

x=

+−

1

2

1

1

ArgSh ArgCh ArgThx xx

x= + =

+2

21

1

ArgCth lnxx

x=

+−

1

2

1

1

ArgCh ArgSh ArgThx xx

x= − =

−2

2

11

ArgTh ArgSh ArgCh ArgCthxx

x

x

x x=

−=

−=

1 1

12 2

AREA DE UN CUADRILÁTERO

( ) ( )sen

A

2=

− −p b p c

bcA

B

C

a

b

c SAC BD

=2

senαB

A

D

C

α

RELACIONES ENTRE FUNCIONES CIRCULARES E HIPERBÓLICAS

( )sen x e ex x= − −1

2ii i ( )cos x e ex x= + −1

2i i

( )cos

B

2=

−p p b

ac

II.- FUNCIONES HIPERBÓLICASFÓRMULAS BÁSICAS

Sh seni ix x= sen Shi ix x=

e x xxi i= +cos sen

Ch cosix x= cos Chix x=

e x xx− = −i icos sen

( ) ( )sen

C

2=

− −p b p a

ab

( )cos

C

2=

−p p c

ab

( )cos

A

2=

−p p c

bc p

a b c=

+ +2

Shαα α

=− −e e

2

Chαα α

=+ −e e

2

Sh Chα α α+ = e

ThSh

Chα

αα

α α

α α= =−+

−

−

e e

e e

Ch Shα α α− = −e

C Sh h2 2 1α α− =

Th tani ix x= tan Thi ix x= arcsen Arg Shi ix x=

( )sen sen Ch cos Shx y x y x y+ = +i i arccos Arg Chi ix x= −

( )cos cos Ch sen Shx y x y x y+ = −i i

arctan Arg Th lni i ix xx

x= =

+−

1

2

1

1