УДК517.984.50 ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА В …...ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА В КЛАССЕ БЕЗВИХРЕВЫХ ПОЛЕЙ 5 2. Градиент

УДК517.984.50ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА В КЛАССЕ

БЕЗВИХРЕВЫХ ПОЛЕЙ И ОПЕРАТОР ∇DIV

Р.С. Сакс

Аннотация. Пространства Соболева полезны при исследовани эллипти-ческих краевых задач как удобный инструмент. Шкала этих пространствHk(G) при k = 1, 2, ..., учитывая вложения:Hk(G) ⊃ Hk+1(G), - этонабор иструментов. Каждой задаче нужен свой набор иструментов 1.

В этой статье мы рассмотрим модельный оператор градиент дивергенции:∇divu второго порядка с младшим слагаемым λu в произвольной ограничен-ной области G с гладкой границей Γ и с краевым условием: на границеΓ задан след γ(n · u) ее нормальной компоненты.

В п.2.1 дается формулировка краевой задачи в пространствах Соболева.В п.2.2 мы вводим понятие обобщенно эллиптической матрицы класса

[REEMp] и показываем, что при λ 6= 0 матричный оператор ∇div + λIимеет эллиптическое расширение Б.Вайнберга и В.Грушина и, значит,принадлежит классу [REEM1] , а краевая задача удовлетворяет условиямэллиптичности В.Солонникова.

В п.2.3 выписаны пространства оператора B расширенной элиптическойкраевой задачи и утверждается, что, согласно Теореме1.1 Солонникова,этот оператор имеет левый регуляризатор, конечномерное ядро и выполняетсяважная априорная оценка.

Откуда вытекают свойства решений спектральной задачи оператора∇div: а)его ненулевые собственные значения имеют конечную кратность,б)их ( обобщенные) собственные функции из L2(G) бесконечно дифферен-цируемы вплоть до границы области.

С другой стороны, гильбертово пространство L2(G) имеет разложениена ортогональные подпространства: классы A и B потенциальных (irro-tational) и соленоидальных полей. Классу A принадлежат градиентыфункций из H1(G), а класс B ортогонален A в L2(G).

Собственные поля ∇div позволяют построить ортогональный базис вклассеA и каждый его элемент представить рядом Фурье по собственнымвектор-функциям этого оператора. Эти ряды составляют подпространствоAγ ⊂ A. В A выделяются также цепочка подпространств

Aγ ⊃ A2γ ⊃ ... ⊃ A2k

γ , где A2kγ = u ∈ Aγ(G), ..., (∇div)ku ∈ Aγ(G)−

пространство Соболева порядка 2k > 0 в классе A безвихревых полей.Вводится операторNd : Aγ −→ Aγ с областью определения A2

γ , совпадаю-щий с ∇div на A2

γ ⊂ H2(G).

1см. С.М.Никольский "Соболева пространство" и М.А.Шубин"Элиптический оператор статьи в МЭ том 5

1

2 Р.С. Сакс

Он является самосопряженным расширением∇div на пространствоAγ рядов Фурье и имеет простое спектральное представление. Мыпоказываем, что оператор Nd замкнут и обратим. Его обратныйоператор N−1

d - вполне непрерывен (компактен). Их собственныевекторы образуют ортогональный базис в классеA, который позволяетвыписать представления операторовNd+λ I и (Nd+λ I)

−1 и доказатьфредгольмовость оператора Nd + λ I в Aγ.

В §3 указана связь собственных полей оператора∇div и собственныхфункций оператора Лапласа-Неймана, полезная при построениибазиса и выписаны его явные формулы в шаре.

В §4 методом Фурье в шаре решена модельная краевая задачаВыделены шкалы пространств Соболева и доказано, что оператор∇div + λI при почти всех λ отображает их взаимно однозначно инепрерывно.

Попутно изложены некоторые результаты для оператора ротори его самосопряженного расширения S в классе B соленоидальныхполей.

Эта работа есть продолжение исследований автора [31]– [33].(см. такжеarXiv:1704.05699v1, arXiv:1710.06428v1 и arXiv:1712.03804).

1. Введение

1.1. Основные пространства. Мы рассматриваем линейные пространстванад полем C комплексных чисел.

Через L2(G) обозначаем пространство Лебега вектор-функций,квадра-тично интегрируемых в G с внутренним произведением(u,v) =

∫G

u · v dx и нормой ‖u‖ = (u,u)1/2.Пространство Соболева порядка s > 0, состоящее из вектор-

функций, принадлежащих L2(G) вместе с обобщенными производнымидо порядка s, обозначается через Hs(G), ‖f‖s -норма его элемента f ;H0(G) совпадает с L2(G). Замыкание в Hs(G) пространства C∞0 (G)обозначается через Hs

0(G). Пространство Соболева отрицательногопорядка H−s(G) двойственно к Hs

0(G) (см. W (l)p (Ω) при p = 2 в §3

гл. 4 [1] , Hk(Q) в §4 гл. 3 [8] и гл.1 в [14]).В областиG с гладкой границей Γ в каждой точке y ∈ Γ определена

нормаль n(y) к Γ. Вектор-функция u из Hs+1(G) имеет след γ(n·u)на Γ ее нормальной компоненты, который принадлежит пространствуСоболева-Слободецкого Hs+1/2(G), |γ(n · u)|s+1/2- его норма.

1.2. Операторы ротор,градиент, дивергенция и их свойства.Операторы градиент, ротор и дивергенция определяются в трехмерном

ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА В КЛАССЕ БЕЗВИХРЕВЫХ ПОЛЕЙ 3

векторном анализе [9]. Им соответствует оператор d внешнего дифферен-цирования на формах ωk степени k = 0, 1 и 2. Соотношения ddωk =0 при k = 0, 1 имеют вид rot∇h = 0 и div rotu = 0.

Формулы u ·∇h+hdivu = div(hu), u · rotv− rotu ·v = div[v,u],где [v,u] - векторное произведение, и интегрирование по областиG используются при определении операторов div u и rotu в L2(G)и в D′(G).

Пусть функция h ∈ H1(G), а u = ∇h - ее градиент. Через A(G)обозначим класс A(G) = ∇h, h ∈ H1(G),- подпространство вL2(G). Он содержит пространство

(1) Aγ = ∇h, h ∈ H2(G), γ(n · ∇)h = 0,Aγ плотно в A(G) и содержит пространство

(2) A2γ = u ∈ Aγ(G) : ∇divu ∈ Aγ(G).

Рассмотрим операторNd : Aγ(G) −→ Aγ(G) с областью определенияA2

γ, совпадающий с ∇div на A2γ. Он является расширением ∇div на

пространство Aγ. В §2 мы покажем, что A2γ ⊂ H2(G), оператор

Nd - самосопряжен и обратим. Обратный оператор N−1d : Aγ → A2

γ

вполне непрерывен. Следовательно, оператор ∇div имеет полнуюсистему собственных функций qj(x), отвечающих ненулевым собственнымзначениям:

−∇divqj = µjqj, µj > 0, ‖qj‖ = 1,

и при исследовании вектор-функций f(x) из классаA можно использоватьряды Фурье:

f(x) =∑0<µj

(f ,qj)qj(x).

Автор доказал, что условие f ∈ A2kγ (G) необходимо и достаточно

для сходимости ряда Фурье поля f ∈ A по собственным функциямqj(x) в норме пространства H2k(G) порядка 2k > 0 (Теорема 3).

1.3. Класс B(G) ортогонален классу A(G) в L2(G) [4]. Z.Yoshidaи Y.Giga в [21] обозначили его как L2

σ(G), А.Фурсиков в [15]– какV(G). Часто его обозначают еще так:

B(G) = u ∈ L2(G) : div u = 0, n · u|Γ = 0.Если граница области G имеет положительный род ρ, то B(G)содержит конечномерное подпространство

(3) BH = u ∈ L2(G) : rotu = 0, div u = 0, n · u|Γ = 0.Его размерность равна ρ [23], а базисные поля hj ∈ C∞(G) [4].

4 Р.С. Сакс

Далее, V0(G)-это ортогональное дополнение BH в B(G). Так что

(4) L2(G) = A(G)⊕ B(G), B(G) = V0(G)⊕ BH(G).

Замечание. Разложение L2(Ω) на ортогональные подпространства изучалиГ.Вейль [4], С.Л.Соболев [2], О.А.Ладыженская [3], К.Фридрихс [6],Н.Е.Кочин, И.А.Кибель, Н.В.Розе [10], Э.Быховский и Н.Смирнов [11],Z.Yoshida и Y.Giga [21]. Мы воспользовались разложением [21].

Пространство V0(G) содержит подпространство

W1 = u ∈ V0(G) : rotu ∈ V0(G).

Z.Yoshida и Y.Giga [21] показали, что оператор S : V0 → V0 собластью определения W1, совпадающий с rotu на W1 ⊂ H1(G)– самосопряжен, а его обратный оператор– вполне непрерывен.Его собственные поля u±j (x), отвечающие ненулевым собственнымзначениям ±λj, образуют в V0(G) полный ортогональный базис.

1.4. В шареB радиусаR собственные поля u±κ ротора, отвечающиененулевым собственным значениям ±λκ = ±ρn,m/R и собственныеполя qκ градиента дивергенции с собственными значениями −ν2

κ,νκ = αn,m/R, выражаются явными формулами [31], причем

rot u±κ = ±λκ u±κ , ∇ div u±κ = 0, γn · u±κ = 0; κ = (n,m, k),

rot qκ = 0, −∇ div qκ = ν2κqκ, γn · qκ = 0, |k| ≤ n,

где числа ±ρn,m и αn,m - нули функций ψn и их производных ψ′n, а

(5) ψn(z) = (−z)n

(d

zdz

)nsin z

z, n ≥ 0, m ∈ N.

Они составляют базисы в классах A и B из L2(B) [31].

1.5. В гидродинамической интерпретации [10] полям u±κ соответствуютпотоки, имеющие ненулевую завихренность, а полям qκ соответствуютпотенциальные (безвихревые) потоки, ибо rot qκ = 0. .

Профессор Исламов Г.Г. [38], используя формулы автора и Wol-fram Mathematic’у, осуществил визуализацию линий тока поля u+

1,1,0(x)( см. его доклад в http://www.wolfram.com/events/technology-conf.-ru/2016/ resources.html). Траектория отдельной точки похожа нанить, которая наматывается на тороидальную катушку.

Рисунок этого потока, названный "Катушка Исламова", мы приводимв конце работы.

Приложения смотрите в работах [7, 19, 20, 22], а также [27]-[31].


2. Градиент дивергенции в ограниченной области

2.1. Краевая задача: Пусть G - ограниченная область в R3 сгладкой границей Γ, n- внешняя нормаль к Γ. В частности,G можетбыть шаром B, |x| < R, с границей S.

Задача 1. В области G и на ее границе Γ заданы векторная искалярная функции f и g, найти вектор-функцию u ∈ Hs+2(G),такую что

(6) ∇ divu + λu = f в G, f ∈ Hs(G),

(7) n · u|Γ = g, g ∈ Hs+3/2(Γ),

где n · u - скалярное произведение векторов u и n.

Эта задача не эллиптична. Оператор ∇ div+λI второго порядкане является эллиптическим, так как ранг его символической матрицы∇ div(iξ) равен единице при всех ξ ∈ R3\0 и меньше трех [24].

2.2. Классы обобщенно эллиптических систем [REESp]. Б.Вайнберги В.Грушин [12] 1967 определили на гладком многообразии X безкрая класс равномерно неэллиптических систем (РНС) cингулярныхинтегро-дифференциальных уравнений и класс матричных с.и.д.операторов,глобально приводимых к эллиптическим матрицам [REEM]=[REducedto Elliptic Matrix], и доказали их эквивалентность. Эти определениятребуют введения дополнительных понятий.

Мы приведем их для систем дифференциальных уравнений спостоянными коэффициентами, который обозначим как [REESp].

Система дифференциальных уравнений, S(D)u = f порядка m, изэтого класса обладает свойствами:а)ее символическая матрица S0(iξ) имеет постоянный ранг при всехξ ∈ R3\0. Это позволяет построить аннулятор C(D) оператора S0(D)такой, что (CS0)(D)u ≡ 0 на X и определитьб)расширенную систему Su = f, //CSu = Cf порядка m//l.Ее символическая матрица S0(iξ), //(CS)0(iξ) определяется младшей частьюоператора S(D) и дополняет матрицу S0(iξ).в)Если ранг расширенной матрицы максимален, то исходная системаSu = f принадлежит классу [REES1] и степень ее приводимости равнаединице.

г)Если система Su = f такова, что ранг расширенной матрицы немаксимален, но постоянный, то процесс повторяется и при определенныхусловиях система принадлежит классу [REES2]. И так далее.

Б.Вайнберг и В.Грушин [12] доказали, что на замкнутом многооббразииX система Su = f класса [REESp] являются разрешимой по Фредгольмуили Нетеру в пространствах Соболева Hs(X), если f ∈ Hs−m+p(X),

6 Р.С. Сакс

где s ≥ m целое. В качестве примера оператора из класса [REESp]приводится оператор d+ ∗ на дифференциальных формах степени k на2k + 1-мерном многообразии X.

Покажем, что система (6) принадлежит классу [REES1] при λ 6=0. Действительно, оператор ∇ div + λI таков, чтоа) ранг его символической матрицы ∇ div(iξ) равен единице прилюбых ξ 6= 0,б)оператор ∇ div имеет левый аннулятор rot, так как rot∇ divu = 0для любой u ∈ C3(G),в) (6× 3)-оператор ∇ div// λrot порядка 2//1 эллиптичен.

Его символическая матрица имеет максимальный ранг (=3) привыборе определенных порядков sk и tj для его строк и столбцов, аименно при sk = 0 для k = 1, 2, 3 и sk = −1 для k = 4, 5, 6; и приtj = 2 для j = 1, 2, 3 [24]. Ранг матрицы ∇ div(iξ)// λrot(iξ равентрем при всех ξ 6= 0, поэтому расширенная система:

(8) ∇ divu + λu = f , λrotu = rot f

является эллиптической по Даглису-Ниренбергу. В общем случае(при F вместо rot f)эта система переопределена.

Оказывается, что формально переопределенная краевая задача(7), (8), эллиптична по определению В.А.Солонникова [13]. Этоозначает что

1) система (8) эллиптична,2) граничный оператор γn ·u "накрывает" оператор системы (8).Первое утверждение выполняется, если10) однородная система линейных алгебраических уравнений:

(9) λ rot(iξ)w = 0, (∇ div)(iξ)w = 0, ∀ξ 6= 0

c параметром ξ 6= 0 имеет только тривиальное решение w(ξ) = 0;Пусть τ и n- касательный и нормальный векторы к Γ в точке

y ∈ Γ и |n| = 1. Второе утверждение выполняется, если20) однородная система линейных дифференциальных уравнений

( на полуоси z ≥ 0 с параметром |τ | > 0):

(10) λrot(iτ + nd/dz)v = 0, (∇div)(iτ + nd/dz)v = 0

с условиями: n · v|z=0 = 0 и v → 0 при z → +∞ имеет толькотривиальное решение v(y, τ ; z).

Для доказательства 10), 20) воспользуемся соотношением

(11) rot rotv = −∆v +∇divv.

10). Из уравнений (9) вытекает уравнение −∆(iξ)w = 0, котороераспадается на три скалярных уравнения |ξ|2wj(ξ) = 0. Значит,w = 0 ибо |ξ| 6= 0, и система (8) – эллиптична.


20). Из уравнений (10) вытекает уравнение (−|τ |2 + (d/dz)2)v = 0с параметром |τ | > 0. Следовательно, v = we−|τ |z. Эта вектор-функция удовлетворяет уравнениям (10), если вектор w таков, чтоω × w = 0 ω(ω′ · w) = 0, где ω = iτ − |τ |n - вектор-столбец. Таккак ω′ · ω = |τ |2 6= 0, то ω′ ·w = 0.

Уравнения ω× ω = 0, ω′ · ω = 0, имеют решение w = c ω, где c -постоянная. Граничное условие приводит нас к равенству |τ |c = 0.Следовательно, c = 0 ибо |τ | > 0 и v = 0.

Итак, задача (7), (8) эллиптична по Солонникову .Мы скажем в этом случае, что краевая задача (6), (7) при λ 6= 0

является обобщенно эллиптической класса [REES1].

2.3. Оператор задачи 1 в пространствах Соболева. Пусть uпринадлежит пространству Hs+2(G), то-есть каждая компонентаuj ∈ Hs+2(G). Тогда∇divu принадлежит Hs(G) и rot2u принадлежитHs(G). Поэтому вектор-функция f := ∇divu + λu принадлежитпространству

(12) Fs(G) = f ∈ Hs(G) : rot2 f ∈ Hs(G),

которое снабдим нормой ‖v‖Fs = (‖v‖2s+‖rot2v‖2

s)1/2. Функция g :=

γ(n·u) ≡ n·u|Γ принадлежит пространствуHs+3/2(Γ). Следовательно,при λ 6= 0 задаче соответствует ограниченный оператор

(13) Bu ≡(∇div + λ I

γn·

)u : Hs+2(G) →

(Fs(G)

Hs+3/2(Γ)

).

Согласно Теореме 1.1 из работы Солонникова [13], о переопределенныхэллиптических краевых задачах, в ограниченной областиG с гладкойграницей Γ ∈ Cs+2, обобщенно эллиптический оператор (13) имеетлевый регуляризатор, то-есть ограниченный оператор BL такой,что BLB = I + T, где I - единичный, а T - вполне непрерывныйоператоры, область значений замкнута, и существует постояннаяCs > 0 такая, что выполняется оценка:

(14) Cs‖u‖s+2 ≤ |λ| ‖rot2 u‖s + ‖∇div u‖s + |γ(n · u)|s+3/2 + ‖u‖s

где ‖u‖s+2 норма u в Hs+2(G), |γ(n·u)|s+3/2 – норма следа нормальнойкомпоненты u на Γ в Hs+3/2(Γ), s ≥ 0 [13, 24]. Итак, имеет место

Теорема 1. Оператор B в пространствах (13) имеет левый регуляризатор.Его ядроM конечномерно, область значений замкнута и выполняетсяаприорная оценка (14).

Из этой теоремы и оценки следует, что при λ 6= 0a)число линейно независимых решений однородной задачи 1 конечно,

8 Р.С. Сакс

b)любое ее обобщенное решение бесконечно дифференцируемо вплотьдо границы, если граница области бесконечно дифференцируема.

Из этой теоремы и оценки вытекают полезные свойства решенийспектральной задачи оператора градиента дивергенции:а)каждое ненулевое собстенное значение µ имеет конечную кратность,б)любая соответствующая ему обобщенная собственная функциябесконечно дифференцируема вплоть до границы области, то-есть,поле vµ(x) ∈ C∞(G).

Замечание. Оценку (14) я не видел у других авторов. Известна[21] другая оценка: существует постоянная Cs > 0 такая, что

(15) Cs‖u‖s+1 ≤ ‖rotu‖s + ‖div u‖s + |γ(n · u)|s+1/2 + ‖u‖s

2.4. Оператор ∇div+λI в классах A и B. В классе B , оператор∇ divu + λu имеет вид λu.

Согласно п.1.2, пространство Aγ плотно в A, а пространствоA2

γ(G) плотно в Aγ. Ввиду оценки (14), оно содержится в H2(G).Рассмотрим еще операторNd+λ I : Aγ → Aγ с областью определения

A2γ(G), который при u ∈ A2

γ(G) совпадает с (∇div + λ)u.Оператор Nd + λI является эрмитовым [5]. Действительно, по

формуле Гаусса-Остроградского

(16)∫

G

(∇divu + λu) · vdx =

∫G

u · (∇divv + λv)dx+∫Γ

[(n · v)divu + (n · u)divv] dS.

Если вектор-функции u и v принадлежат A2γ(G), то граничные

интегралы пропадают, остальные интегралы сходятся. Следовательно,

(17) ((∇divu + λu),v) = (u, (∇divv + λv)) в A2γ(G).

2.5. Оператор Nd - самосопряжен. Сопряженный оператор N ∗d

определяется равенством

(Nd u,v) = (u,N ∗d v) для любого u ∈ A2

γ ≡ D(Nd).

Его левая часть существует, если v ∈ Aγ. Значит, N ∗d v ∈ Aγ.

При v ∈ D(N ∗d ) линейная форма u → (Nd u,v) непрерывна на

D(Nd) в топологии Aγ и (Nd u,vj) → 0 при vj → 0 в Aγ.В частности, если u ∈ C∞0 (G) ∩ D(Nd), то

(Nd u,v) = (u,∇div v).

Итак, мы видим, что ∇div v ∈ L2(G), если v ∈ D(N ∗d ).

Учитывая оценку (14), получаем, что D(N ∗d ) ⊂ H2(G).

Следовательно, D(N ∗d ) = D(Nd) и N ∗

d = Nd.


2.6. Обратный оператор N−1d . Так как Aγ ортогонально KerNd,

оператор Nd имеет единственный обратный N−1d определенный на

Aγ. Оператор N−1d : Aγ → A2

γ(G) имеет точечный спектр, которыйне содержит точек накопления кроме нуля.

Их множество счетно и каждое из собственных значений µ имеетконечную кратность. Перенумеруем их в порядке возрастания: 0 <µ1 ≤ µ2 ≤ ..., повторяя µk столько раз, какова его кратность.Соответствующие собственные функции обозначим через q1,q2, ...,так чтобы каждому собственному значению µk соответствовала толькоодна собственная функция qk: −Nd qk = µk qk, k = 1, 2, ...

Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственномузначению, выберем ортогональными, используя процесс ортогонализацииШмидта [5]. Собственные функции, соответствующие различнымсобственным значениям, ортогональны. Их нормируем.

Таким образом, в классе A ⊂ L2(G) строится ортонормальныйбазис, состоящий из собственных функций qj(x) оператора −Nd.

2.7. Ряды Фурье по собстенным векторам оператора −Nd.Проекция вектор-функции f ∈ L2(G) на A имеет вид:

(18) fA(x) =∞∑

j=1

(f ,qj)qj(x).

Действительно, частичные суммы fnA этого ряда состоят из элементов,

для которых 0 < µj ≤ N(n):

fnA =

n∑j=1

(f ,qj)qj(x) и ‖fnA‖2 =

n∑j=1

(f ,qj)2 ≤ ‖f‖2,

проекции (f − fnA,qj) = 0, если −∇div qj = µjqj, 0 < µj ≤ N(n),

и‖fA − fn

A‖2 = ‖fA‖2 − ‖fnA‖2 → 0 при n→∞.

Отметим, что fnA ∈ C∞(G), rot fn

A = 0, γnfnA = 0 и при любом n

вектор fnA⊥B в L2(G). Значит, вектор fA ∈ A.

Согласно определению, Ndw = ∇divw, если w ∈ D(Nd) = A2γ.

Следовательно,

(19) NdfA = limn→∞

∇div (fnA) = −

∞∑j=1

µj(f ,qj)qj,

если ряд сходится и принадлежит Aγ. В частности, если f ∈ H2(G).Легко видеть, что оператор Nd замкнут.Следствие. Оператор Nd не зависит не зависит от порядка

выбора частичных сумм wn ∈ A2γ(G) ряда fA.

10 Р.С. Сакс

Рассмотрим пространства

(20) A2kγ (G) = f ∈ Aγ(G), ..., (∇div)k f ∈ Aγ(G) при k ≥ 1.

Согласно оценкам (14) A2γ ⊂ H2(G) и по индукции A2k

γ ⊂ H2k(G).С другой стороны, Aγ ∩H2k ⊂ A2k

γ (G)Поля fn

A при фиксированном n принадлежат любому из этихпространств. Оператор Nd отображает пространство A2k

γ на A2(k−1)γ

при k > 1, а A2γ на Aγ.

Класс A ортогонален ядру оператора Nd в L2(G), поэтому Nd

имеет единственный обратный оператор N−1d в A:

(21) N−1d fA = lim

n→∞N−1

d (fnA) = −

∞∑j=1

µ−1j (f ,qj)qj,

Мы доказываем, что оператор N−1d - компактен.

Следствие. Спектр оператора N−1d точечный с единственной

точкой накопления в нуле, µ−1j → 0 при j →∞.

Пространство N−1d Aγ = A2

γ, и так далее, N−1d A

2(k−1)γ = A2k

γ .

2.8. Полнота класса A. В базисе из собственных функций ∇divскалярное произведение векторов f ,g ∈ A имеет вид:

(22) (f ,g) = limn→∞

(fnA,g

nA) =

∞∑j=1

(f ,qj)(g,qj).

Согласно Владимирову [5] §1.9, ортонормальная система qjj=1,2,...

полна в A, если для любой f ∈ A ее ряд Фурье (18) сходится к f вL2(G). По Теореме 1 из [5] эта система полна в A, тогда и толькотогда, когда для любой функции f ∈ A выполняется равенствоПарсеваля-Стеклова, то-есть уравнение замкнутости:

(23)∞∑

j=1

(f ,qj)2 = ‖f‖2.

Пространство A2γ(G) плотно в A(G). Если f ∈ C∞

0 ∩ A(G), то

‖f‖2A2

γ= ‖f‖2 + ‖∇divf‖2 =

∞∑j=1

(1 + µ2j)(f ,qj)

2 <∞ и

limn→∞

‖fnA‖2 =

∞∑j=1

(f ,qj)2 = ‖f‖2.


Кроме того, если f и g принадлежат A2γ(G), то имеют место равенства

(24) (∇div f ,g) = (f ,∇divg) = −∞∑

j=1

µj(f ,qj)(g,qj),

подтверждающие самосопряженность Nd.

2.9. Оператор Nd+λ I фредгольмов в классе A. По определениюоператор Nd + λ I совпадает с ∇div + λ I на A2

γ и, значит,

(25) (Nd + λ I)f = limn→∞

(∇div + λ I) (fnA) =

∞∑j=1

(λ− µj)(f ,qj)qj(x),

если ряд сходится в L2(G). Это так для всех f ∈ A2γ(G). Причем,

если λ = µj0 при j = j0, то соответствующее слагаемое исчезает.Обратный оператор (Nd + λ I)−1f =

(26) limn→∞

n∑j=1

(λ− µj)−1(f ,qj)qj(x) =

∞∑j=1

(λ− µj)−1(f ,qj)qj(x),

если ни одно из слагаемых этого ряда не обращается в бесконечность,то-есть, если (f ,qj) = 0 при λ = µj = µj0 , а функция f ортогональнавсем собственным функциям qj(x) градиента дивергенции, отвечающимсобственному значению µj0 . Итак, имеет место

Теорема 2. a). Оператор Nd : Aγ → Aγ является самосопряженным.Его спектр σ(Nd) точечный и действительный. Семейство собственныхполей qj(x) образует полный ортонормированный базис в классе A;

b). Если λ не совпадает ни с одним из собственных значенийоператора Nd, в частности, если λ = 0, то оператор Nd + λ Iоднозначно обратим, и его обратный задается формулой (26).

Если λ = µj0, то он обратим тогда и только тогда,когда

(27)∫

G

f · qj dx = 0 для ∀qj : µj = µj0 .

Ядро оператора Nd+µj0 I определяется собственными функциямиqj(x), собственные значения которых равны µj0:

(28) Ker(Nd + µj0 I) =∑

µj=µj0

cj qj(x), для ∀cj ∈ R.

12 Р.С. Сакс

3. Построение собственных функций оператора ∇DIV

3.1. Связь между собственными функциями операторов ∇DIVи Лапласа-Неймана.

Задача 2. Найти все ненулевые собственные значения µ и собственныевектор-функции u(x) в L2(G) оператора минус градиент дивергенциитакие, что

(29) −∇divu = µu в G, n · u|Γ = 0,

где n · u - проекция вектора u на нормальный вектор n.

К области определения оператора задачи 2 мы отнесли все вектор-функции u(x) ∈ A2

γ(G). Согласно п.2.5, оператор имеет самосопряженноерасширение −Nd в пространство Aγ . Решения задачи 2 принадлежатклассу C∞(G), так как Γ ∈ C∞ (см. следствие теоремы 1).

Эта задача связана со спектральной задачей Неймана для скалярногооператора Лапласа.

Задача 3. Найти все собственные значения ν и собственные функцииg(x) скалярного оператора Лапласа −∆ такие, что

(30) −∆g = νg в G, n · ∇ g|Γ = 0.

К области определения оператора задачи 3 относят все функции g(x)класса C2(G) ∩ C1(G), такие что n · ∇ g|Γ = 0 , ∆ g ∈ L2(G).

Эта задача также является самосопряженной [5, 8]. Решения задачи3 принадлежат классу C∞(G), так как Γ ∈ C∞. Легко видеть, что

Лемма 1. Любому решению (µ,u) задачи 2 в области G соответствуетрешение (ν, g) = (µ, div u) задачи 3. Обратно, любому решению (ν, g)задачи 3 соответствует решение (µ,u) = (ν,∇g) задачи 2.

3.2. Явные решения спектральной задачи Лапласа-Неймана вшаре. Согласно книге Владимирова [5]

собственные значения оператора Лапласа-Неймана 3 в шаре B равныν2

n,m, где νn,m = αn,mR−1, n ≥ 0, m ∈ N , а числа αn,m > 0 суть нули

функций ψ′n(z), производных ψn(z), т.е. ψn′(αn,m) = 0. Соответствующие

ν2n,m собственные функции gκ имеют вид:

(31) gκ(r, θ, ϕ) = cκψn(αn,mr/R)Y kn (θ, ϕ),

где κ = (n,m, k)- мультииндекс, cκ-произвольные действительныепостоянные, Y k

n (θ, ϕ) - действительные сферические функции, n ≥ 0,|k| ≤ n, m ∈ N .

Функции gκ(x) принадлежат классу C∞(B) и при различных κ ортогональныв L2(B). Система функций gκ полна в L2(B) [8]. Нормируя их, получимортонормированный в L2(B) базис.


3.3. Решение спектральной задачи 2 для ∇div в шаре. Согласнолемме 1 вектор-функции qκ(x) = ∇gκ(x) являются решениями задачи 3при νn,m = α2

n,mR−2 в L2(B). Их компоненты (qr, qθ, qϕ) имеют вид

(32) qr,κ(r, θ, ϕ) = cκ(αn,m/R)ψ′n(αn,mr/R)Y kn (θ, ϕ),

(qϕ + iqθ)κ = cκ(1/r)ψn(αn,mr/R)HY kn (θ, ϕ).

При κ = (0,m, 0) функция Y 00 (θ, ϕ) = 1, HY 0

0 = 0. Поэтому

(33)qr,(0,m,0)(r) = c(0,m,0)(α0,m/R)ψ′0(α0,mr/R),(qϕ + iqθ)(0,m,0) = 0.

Из этих формул легко выписать величины нормирующих множителейcκ, при которых ‖qκ(x)‖ = 1.

Отметим, что qκ и qκ′ ортогональны при κ′ 6= κ.

3.4. Сходимость ряда Фурье по собственным векторам оператора∇DIV в норме пространства H2k(G). Напомним, что скалярное произведениев Hk(G) С.Л.Соболев определяет так:

(34) (f ,g)k = (f ,g) +∫

G

∑|α|=k

k!α!∂αf · ∂αg dx, k ≥ 1.

В п.2.5 мы определили пространства

(35) A2kγ (G) = f ∈ Aγ(G), ..., (∇div)k f ∈ Aγ(G) при k ≥ 1.

Согласно оценкам (14) A2kγ ⊂ H2k(G). Имеет место

Теорема 3. Для того, чтобы f ∈ Aγ разлагалась в ряд Фурье

(36) f(x) =∞∑

j=1

(f ,qj)qj(x)

по системе собственных вектор-функций qj(x) оператора градиентадивергенции в G, сходящийся в норме пространства Соболева H2k(G),необходимо и достаточно, чтобы f принадлежала A2k

γ (G).Если f ∈ A2k

γ (G), то сходится ряд

(37)∞∑

j=1

µ2kj |(f ,qj)|2

и существует такая постоянная C > 0, не зависящая от f , что

(38)∞∑

j=1

µ2kj |(f ,qj)|2 ≤ C‖f‖2

H2k(G).

Кроме того, если k > 1, то любая вектор-функция f из A2kγ (G) разлагается

в ряд Фурье, сходящийся в пространстве C2k−2(G).

14 Р.С. Сакс

Следствие. Вектор-функция f из A∩C∞0 (G) разлагается в ряд Фурье

(36), сходящийся в пространстве Ck(G) для любого k > 0.Замечание. Итак, A2k

γ (G)–это пространство Соболева порядка 2k вклассе A безвихревых полей. Оно определяется степенями оператора∇ div. Соответственно,Wk(G) = f ∈ V0(G), ..., (rot)k f ∈ V0(G)–это пространство Соболевапорядка k в классе B/BH соленоидальных полей в L2(G). Оно определяетсястепенями оператора rot.

4. Решение краевой задачи в шаре

4.1. Методом Фурье легко решается краевая задача.

Задача 4. Задана вектор-функция f(x) ∈ L2(B). Найти вектор-функциюv(x) в H2(B) такую, что

(39) ∇div v + λv = f в B, γnv = 0,

Определение. Вектор-функция v из L2(B) есть обобщенное решениезадачи при f ∈ F0

γ(B), если она удовлетворяет тождеству

(40) (v, (∇ div + λ)w) = (f ,w) для любой w ∈ H20(B).

Отметим,что F0γ(B) = f ∈ L2(B), rot2f ∈ L2(B), γnf = 0. Если

f = fB ∈ B и λ 6= 0, то v = λ−1fB есть решение уравнения (40).Далее, будем полагать, что f 6= fB.

4.2. Решение краевой задачи 4 при λ∈Sp (−∇div). Имеет место

Теорема 4. Если λ 6= 0, ν2n,m (n ≥ 0, m > 0), f(x) ∈ F0

γ(B), тоединственное решение v задачи 4 есть сумма v1 + v2 рядов

(41) v1 =∑

κ,n≥0

(f ,qκ)λ− ν2

n,m

qκ(x), κ = (n,m, k),

(42) v2 =fBλ≡ 1λ

∑κ,n≥1

[(f ,q+κ )q+

κ + (f ,q−κ )q−κ (x)].

Решение задачи принадлежит пространству Соболева H2γ(B).

Если f ∈ A ⊂ L2(B), то v2 = 0, а v1 принадлежит A2γ ⊂ H2

γ.Если f ∈ D(B), то ряды (41) и (42) Сходятся в любом из пространств

Hs(B), s ≥ 1, и их сумма есть решение задачи класса C∞(B).

Замечание. При суммировании рядов вначале складываются элементы,для которых 0 < νm,n < N (соотв. 0 < λm,n < N), а затем N →∞.

Из соотношений (40) имеем:

(43) (λ− ν2n,m) (v,qκ) = (f ,qκ), λ (v,q±κ ) = (f ,q±κ ).

Формулы (41) и (42) получают из равенств (43).


Ряды (41), (42) сходятся в L2(B), так как f ∈ L2(B) и числа |λ −ν2

n,m)|−1 стремятся к нулю, при νn,m →∞.Доказать существование обобщенного решения не сложно. Единственность

решения задачи 4 вытекает из полноты семейств собственных функцийградиента дивергенции и ротора в классахA и B из L2(B), соответственно.

Далее обосновываем сходимость рядов. Вводим пространствоH2

γδγ(B) = g ∈ H2(B) : γng = 0, γn∇divg = 0 и доказываем, чторешение v задачи принадлежит пространству H2

γδγ(B) и выполняетсяоценка:

(44) ‖v‖H2γδγ(B) ≤ C2

0‖f‖F0γ(B).

Обратно. Пусть v ∈ H2γδγ(B), тогда f ≡ ∇ divv + λv ∈ L2(B), rot2f =

λrot2v ∈ L2(B) и γnf = γn∇divv + λγnv = 0. Значит, f ∈ F0γ(B) и

(45) ‖f‖F0γ(B) ≤ C0

1‖v‖H2γδγ(B).

Таким образом, имеет место следующая

Лемма 2. Если λ∈Sp (−∇div), то-есть если λ 6= 0, ν2n,m, то оператор

∇div+λI осуществляет взаимно однозначное и непрерывное отображениепространств H2

γδγ(B) и F0γ(B).

Не трудно доказать более общее утверждение.

Лемма 3. Если λ∈Sp (−∇div), то оператор ∇div + λI осуществляетгомеоморфизм пространств Hk+2

γδγ (B) и Fkγ(B) при любом k ≥ 0.

4.3. Разрешимость краевой задачи при λ ∈ Sp (−∇div). Из соотношений(43) видим, что

при λ = 0 однородная задача имеет счетное линейно независимыхрешений q±κ (x), а неоднородная задача 5 разрешима тогда и толькотогда, когда (f ,q±κ ) = 0 ∀κ, то-есть fB = 0 или rot f = 0,

при λ = ν2n,m (n,m-фиксированы) однородная задача имеет 2n + 1

линейно независимых решений qκ(x), где κ = (n,m, k), k = −n, ..., n, анеоднородная задача 5 разрешима тогда и только тогда, когда (f ,qκ) =0; значит, задача разрешима по Фредгольму.

16 Р.С. Сакс

Рис. 1. Катушка Исламова

Список литературы

[1] Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука. 1974.810 с.Sobolev, S.L. 1992 Cubature Formulas and Modern Analysis: An Introduc-tion Gordon and Breach, Monteux

[2] Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики. ИзвестияАН СССР серия математическая 18(1954) 3-50


[3] Ладыженская О. А.Математические вопросы динамики вязкойнесжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288с.Ladyzhenskaya, O.A. 1969Mathematical Theory of Viscous Incompressibleflow Gordon and Breach, New York

[4] H.Weyl The method of orthogonal projection in potetial theory // Duke Math.V.7, 1941, 411-444.

[5] Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.512 с.Vladimirov, V.S. 1971Equations of Mathematical Physics Marcel Dekker,NewYork

[6] Fridrichs, K. Differertial form on Riemannian manifolds Comm. Pure Appl.Math., VIII, 2, Nov.1955.

[7] Козлов В.В. Общая теория вихрей. Ижевск: Изд.Дом «Удмурдскийуниверситет». 1998. 240 с.Kozlov, V.V. 1998General Vortex Theory Izhevsk:Udmurd.Univ.

[8] Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных.М.: Наука, 1975. 392с.Mikhailov, V.P. 1978Partial Differential EquationsMoscow: Mir

[9] В.А. Зорич, Математический анализ Часть II М. Наука 1984. 640 с.[10] Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика, ч. II,

Гостехиздат, 1948[11] Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении

пространства L2(Ω) и операторах векторного анализа. Труды МИАНим. В.А.Стеклова LIX. Матем. вопросы гидродинамики и магнитнойгидродинамики для вязкой несжимаемой жидкости. М.,Л.: Изд. АНСССР 1960, с. 5-36.Bykhovski, E.B., Smirnov, N.V. 1960 About orthogonal decomposition of SpacesL2(Ω) and operators of the vector analysisProceeding of Steclov MI LIX. Math-ematical questions of the hidrodymamics and magnit hydrodymamics for a vis-cous incompressible fluids Moskow, Leningrad: Academy Sci. of USSR p.5-36

[12] Вайнберг Б.Р., Грушин В.В.О равномерно неэллиптических задачах I//Мат. Сб. 1967. т. 72 (114) 4. С.602-636.Vainberg, B.R., Grushin, V.V. 1967Uniformly nonelliptic problems IMath.USSR-Sb. v.2(1),111-133.

[13] Солонников В. А. Переопределенные эллиптические задачи // ЗапискиНаучных Сем. ЛОМИ. 1971. Т.21. 5. С.112-158Solonnikov, V.A. 1971Overdeterminate elliptic Problems Leningrad:Notes ofthe Sci. seminar of LOMI vol.21, no. 5, p. 112-158

[14] Агранович М.С. Соболевские пространства, их обобщения иэллиптические задачи в областях с гладкой и липшицевой границей. М.:МЦНМО, 2013, 365 с.

[15] A.Fursikov Local existence theorems with unboundet set of input data andunboundeness of stable invariant manifolds for 3D Navier-Stokes equationsAIMS’ Journal v.3, is.2, pp. 269-289, 2010.

[16] Bourguignon J.P , Brezis H. Remarks on the Euler equation. J. Funct. Anal.v. 15, pp. 341-363 (1974)

[17] Г.Дюво, Ж.-Л.Лионс Неравенства в механике и физике М., Наука, 1980,384 с.

18 Р.С. Сакс

[18] Р.Темам Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ М., Мир,1981, 408 с.Temam, R.I. 1979Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Analy-sisNorth-Holland, Amsterdam

[19] J. B. Taylor Relaxation of toroidal plasma and generation of reverse magneticfields // Phys. Rev. Letters. 1974. V. 33. P. 1139-1141.

[20] D. Montgomery, L. Turner, G. Vahala Three-dimentional magnetohydrodyamicturbulence in cylindrical geometry// Phys. Fluids. 1978. V. 21. 5. P. 757-764.

[21] Z.Yoshida and Y.Giga, Remark on spectra of operator rot. // Math. Z. 1990.V. 204. P. 235-245.

[22] J.Cantarella, D.DeTurck, H.Gluck, M.TeitelThe spectrum of the curl operatoron spherically symmetric domains // Physics of plasmas. 2000, Vol.7, No.7,pp.2766-2775

[23] Borchers W., Sohr H. The equations div u = f and rot v = g with zero boundaryconditions. Hokkaido Math. J. v.19, pp. 67-87, 1990

[24] Р.С. Сакс Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальныхуравнений Новосибирск: НГУ, 1975. 164с.Saks, R.S. 1975Boundary Value Problems for Elliptic Systems of DifferentialEquations Novosibirsk: Gos. Univ. 165p.

[25] Сакс Р.С.О свойствах обобщенно эллиптическихпсевдодифференциальных операторов на замкнутых многообразиях//Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теориифункций. 28 (Записки научн. Семинаров ПОМИ, Т. 243). 1997. С.-П. С.215-269.//

[26] Сакс Р.С. Решение спектральной задачи для оператора ротор иоператора Стокса с периодическими краевыми условиям//Краевыезадачи математической физики и смежные вопросы теории функций. 36(Записки научн. Семинаров ПОМИ, т. 318). 2004. С.-П. С. 246-276.//

[27] Р.С. Сакс, Глобальные решения уравнений Навье-Стокса в равномерновращающемся пространстве Теоретическая и математическая физика2010 Т. 162 2 196-215Saks, R.S. 2010Global solutions of the Navier-Stokes equations in uniformlyrotating space Theor. Math.Phys. v.162, No.2 p. 163-178

[28] Сакс Р.С., Хайбуллин А.Г., Об одном методе численного решения задачиКоши для уравнений Навье-Стокса и рядах Фурье оператора ротор«Доклады Академии Наук». 2009. Т. 429, 1, С. 22-27.

[29] Р.С. Сакс, Задача Коши для уравнений Навье-Стокса, метод ФурьеУфимский математический журнал 2011 Т. 3 1 53-79Saks, R.S. 2011Cauchy Problem for the Navier-Stokes equations, Fouriermethod Ufim. Math. Zh., v.3 No.1, p. 53-79

[30] Сакс Р.С. Спектральные задачи для операторов ротора и Стокса.Доклады Акад. Наук. 2007. Т. 416, 4, С. 446-450.

[31] Р.С. Сакс, Решение спектральных задач для операторов ротора и СтоксаУфимский математический журнал 2013 Т. 5 2 63-81Saks, R.S. 2013Solving of Spectal Problems for the curl and Stokes opera-tors Ufim. Math. Zh., v.5 No.2, p. 63-81


[32] Сакс Р.С. Ортогональные подпространства пространства L2(G)и самосопряженные расширения операторов ротора и градиентадивергенциии. Доклады Акад. Наук. 2015. Т. 462, 3, С. 278-282.

[33] Сакс Р.С.Оператор градиент дивергенции в L2(G) Доклады Акад. Наук.2015. Т. 462, 5, С. 61-65.

[34] Сакс Р.С. Оператор ротор в пространстве L2(G) Таврический вестникинформатики и математики, 1, КФУ им. В.И. Вернадского. (2015), 87-103.

20 Р.С. Сакс

Реферат: Пространства Соболева в классе безвихревых полей и операторградиент дивергенции.

Р.С.СаксИзучается краевая задача для оператора градиент дивергенции с младшим

элементом λu в пространствах Соболева в ограниченной области G сгладкой границей. Особенность этого матричного оператора состоит втом, что при λ 6= 0 он приводим к эллиптическому оператору методомБ.Вайнберга и В.Грушина, а краевая задача удовлетворяет условиямэллиптичености В.Солонникова. Откуда вытекают важные свойства решенийспектральной задачи градиента дивергенции: а)его ненулевые собственныезначения имеют конечную кратность, б)их ( обобщенные) собственныефункции бесконечно дифференцируемы вплоть до границы области.

Оператор градиент дивергенции имеет самосопряженное расширениеNd в подпространствоAγ в L2(G), где он обратим. Его обратный оператор- вполне непрерывен, а система собственных векторов образует полныйортогональный базис в Aγ . Изучены свойства рядов Фурье градиентадивергенции и его расширенияNd, действующего вAγ и в подпространствахA2k

γ , - пространствах Соболева порядка 2k > 0 в A.Выделены шкалы пространств Соболева и доказано, что оператор

∇div+λI при почти всех λ отображает их взаимно однозначно и непрерывно.Приведены формулы базисных полей градиента дивергенции в шаре.

Попутно изложены некоторые результаты для оператора ротор и егосимметричного расширения S в B.

Эта работа есть продолжение исследований автора [31]– [33](см. такжеarXiv:1704.05699v1, arXiv:1710.06428v1 и arXiv:1712.03804).

Ключевые слова: пространства Лебега и Соболева, дифференциальныеоператоры градиент, дивергенция и вихрь ( ротор), эллиптические матрицы,системы, краевые задачи, спектральные задачи, ряды Фурье.

Abstract: Saks R.S. Operator ∇div and the Sobolev spacesBoundary value problem for a gradient of divergence operator with lower

term λu is studied in Sobolev spaces for a bounded domain G with smoothboundary. The peculiarity of this matrix operator is that for λ 6= 0 it isreducible to the elliptic operator (by B.Weinberg and V. Grushin method)and the boundary problem satisfy the V.Solonnikov ellipticity condition. Theimportant properties solutions of spectral problems the operator gradient ofdivergence follow from this: a) each non-zero eigenvalue has a finite multi-plicity, b) any ( generalized) eigenfunction is infinitely differentiable up tothe boundary of the domain.

The gradient of divergence has self-adjoint expansion Nd in subspace Aγ

of L2(G), where is convertible. Its inverse operator is compact and a systemof its eigenvectors is complete orthogonal bases of the space Aγ .

Properties of Fourier series for this operator have been investigated. Op-erator Nd act in the space Aγ and in subspaces A2k that are the SobolevSpaces of order 2k > 0 in Aγ .


The scales of Sobolev spaces are selected and is proved: operator∇div+λIat almost all λ displays them one to one and continuously.The formulas of basic fields of a gradient of divergence in a ball are found.

Keywords: the Lebeg and Sobolev Spaces, differential operators a gradientof divergence and curl (rotor), elliptic matrixes, systems, boundary valueproblems, spectral problems, Fourier series.

Saks Romen SemenovichСакс Ромэн Семенович ведущий научный сотрудник Институт Математики

с ВЦ УНЦ РАН 450077, г. Уфа, ул. Чернышевского, д.112 телефон: (347)272-59-36 (347) 273-34-12 факс: (347) 272-59-36 телефон дом.: (347) 273-84-69 моб. +79173797538

e-mail: [email protected]

Documents

УДК517.984.50 ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА В …...ПРОСТРАНСТВА СОБОЛЕВА В КЛАССЕ БЕЗВИХРЕВЫХ ПОЛЕЙ 5 2. Градиент