513430 - Sismología Aplicada y de Exploración Apuntes ...mttmllr.com/sismologia_files/513430sae_diapositivas.pdf · Usamos el teorema de divergencia de Gauss, H S ainidS = R V ∂a

Sismología Aplicada y de Exploración

513430 - Sismología Aplicada y de Exploración

Apuntes adicionales

Matt Miller

http://mttmllr.com/sismologia.htm

Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismologıa Aplicada y de Exploracion, Clase 1 – p. 1/17

1 Ondas de cuerpo


1.1 Deformación

En una dimensión:

x es una posición en el medio.

u es el desplazamiento de esta posición x desde su punto de equilibrio.

La deformación en esta situación, denominada ǫ11, es:

ǫ11 =l2 − l1

l1=

u(x+ δx)− u(x)

δx≃

δu

δx≃

1

2

(∂u(x)

∂x+

∂u(x)

∂x

)

(1.1)


1.1 Deformación

En tres dimensiones:

u(x+ δx) ≃ u(x) +

∂ux

∂x∂ux

∂y∂ux

∂z∂uy

∂x

∂uy

∂y

∂uy

∂z∂uz

∂x∂uz

∂y∂uz

∂z

dx

dy

dz


1.1 Deformación

En otras palabras ...

u(x+ δx) ≃ u(x) + Jd

Podemos escribir J en componentes simétricos y asimétricos, J = ǫ+Ω:

ǫ =

∂ux

∂x12

(∂ux

∂y+

∂uy

∂x

)12

(∂ux

∂z+ ∂uz

∂x

)

12

(∂uy

∂x+ ∂ux

∂y

)∂uy

∂y12

(∂uy

∂z+ ∂uz

∂y

)

12

(∂uz

∂x+ ∂ux

∂z

)12

(∂uz

∂y+

∂uy

∂z

)∂uz

∂z

Ω =

0 12

(∂ux

∂y−

∂uy

∂x

)12

(∂ux

∂z−

∂uz

∂x

)

12

(∂uy

∂x−

∂ux

∂y

)

0 12

(∂uy

∂z−

∂uz

∂y

)

12

(∂uz

∂x−

∂ux

∂z

)12

(∂uz

∂y−

∂uy

∂z

)

0

Aquí, ǫ es el tensor de deformación y Ω es el tensor de rotación.


1.1 Deformación

Un ejemplo en 2 dimensiones:

JA =

(∂ux

∂x∂ux

∂z∂uz

∂x∂uz

∂z

)

≃

(

0 θ

θ 0

)

; JB ≃

(

0 θ

−θ 0

)

Una deformación del elemento de área tiene un tensor simétrico, y una

rotación tiene un tensor asimétrico. En sismología trabajamos en un marco de

referencia en que el medio no se esta girando, entonces podemos representar

la deformación del medio por el tensor de deformación:

ǫij =1

2

(∂u(xi)

∂xj

+∂u(xj)

∂xi

)

≡1

2

(∂ui

∂xj

+∂uj

∂xi

)

(1.2)


1.2 Esfuerzo

Consideremos un elemento de volumen en el medio:

Los tres vectores de tracción T1, T2 y T3 representan las fuerzas por unidad

de área sobre las tres caras del cubo infinitesimal.

Para describir las fuerzas que actúan en un punto de un medio tres

dimensional, requerimos nueve elementos del tensor de esfuerzo σij . La

relación entre las tracciones y el esfuerzo es:

Ti = σijnj ≡ σjinj (1.3)


1.2 Esfuerzo

En el marco de referencia en que el medio no se esta girando, lo que aplica en

sismología:

Los esfuerzos no dan rotación.

Entonces, el tensor de esfuerzo es simétrico.

Por ejemplo, en el plano x− z, la balanza de los torques significa que

σ13 = σ31


1.3 La ecuación de movimiento

La relación general entre el esfuerzo y la deformación es

σij = cijklǫkl (1.4)

y para un medio homogéneo, isotrópico, continuo y elástico

cijkl = λδijδkl + µ(δikδjl + δilδjk) (1.5)

λ y µ son los parámetros del Lamé, asociados con el medio:

µ es su rigidez (la resistencia contra las fuerzas de cizalle).

κ = λ+ 2

3µ es su módulo de incompresibilidad (la resistencia contra

las fuerzas de compresión).

La combinación de (1.4) y (1.5) da

σij = λδijǫkk + 2µǫij (1.6)

Note que ǫkk ≡ ∆ que representa la dilatación cubica.



La ecuación de movimiento para un cierto volumen V es

∫

V

ρ∂2ui

∂t2dV =

∮

S

TidS +

∫

V

fidV =

∮

S

σijnjdS +

∫

V

fidV (1.7)

Usamos el teorema de divergencia de Gauss,∮SainidS =

∫V

∂ai

∂xidV , y

ignoramos las fuerzas de cuerpo (valida para sismología de frecuencias

& 0.003 Hz), y entonces

∫

V

ρ∂2ui

∂t2dV =

∫

V

∂σij

∂xj

dV (1.8)

Podemos usar la relación entre el esfuerzo y la deformación de antes, y la

simetría del tensor de deformación, para llegar al

ρ∂2ui

∂t2= cijkl

∂

∂xj

∂uk

∂xl

(1.9)



Entonces para un medio simple, con λ y µ constante (esta suposición requiere

mas justificación, porque claramente estos parámetros de Lamé varían dentrode la Tierra, volveremos a este punto en una otra clase),

ρ∂2ui

∂t2= λδijδkl

∂∂xj

∂uk

∂xl+ µδikδjl

∂∂xj

∂uk

∂xl+ µδilδjk

∂∂xj

∂uk

∂xl

= λ ∂∂xi

∂uk

∂xk+ µ ∂

∂xj

∂ui

∂xj+ µ ∂

∂xj

∂uj

∂xi

= λ ∂∂xi

∂uk

∂xk+ µ ∂

∂xj

∂ui

∂xj+ µ ∂

∂xi

∂uj

∂xj

ρ ∂2u

∂t2= λ∇(∇ · u) + µ∇2u+ µ∇(∇ · u)

En la última línea hemos vuelto a la notación vectorial.



Entonces ...ρu = (λ+ µ)∇(∇ · u) + µ∇2

u (1.10)

y usamos la identidad vectorial,

∇2u = ∇(∇ · u)− (∇×∇× u)

para llegar a la ecuación de movimiento usada en sismología:

ρu = (λ+ 2µ)∇(∇ · u)︸︷︷︸

parte dilatacional

−µ(∇×∇× u)︸︷︷︸

parte de cizalle

(1.11)


1.4 Ondas-P

Como hemos visto en GTS, tomando la divergencia de la ecuación (1.11), y

recordando que

∇ · (∇× ~algo) = 0

nos llega al

ρ∂2(∇ · u)

∂t2= (λ+ 2µ)∇2(∇ · u) (1.12)

Esta ecuación muestra que cualquier distorsión que esta asociada con un

cambio en el volumen de los elementos del medio (∇ · u) se va a propagar en

la forma de una onda con una velocidad de

α =

√

λ+ 2µ

ρ=

√

κ+ 43µ

ρ(1.13)

Eso es una onda-P!


1.5 Ondas-S

Tomando el rotor de la ecuación (1.11), usando

∇×∇ ~algo = 0

y una variación en la identidad vectorial usada antes

∇2(∇× ~algo) =

0

∇(∇ · (∇× ~algo))− (∇×∇× (∇× ~algo))

nos llega al

ρ∂2(∇× u)

∂t2= µ∇2(∇× u) (1.14)

Esta ecuación muestra que cualquier distorsión que esta asociada con una

perturbación de cizalle de los elementos del medio (∇× u) se va a propagar

en la forma de una onda con una velocidad de

β =

√µ

ρ(1.15)

Eso es una onda-S!Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismologıa Aplicada y de Exploracion, Clase 1 – p. 14/17

1.6 La descomposición de Helmholtz

En el caso general, el desplazamiento en el medio u puede ser representado

por:

un potencial escalar Φ

y un potencial vectorial (sin divergencia) Ψ

u = ∇Φ +∇×Ψ ; ∇ ·Ψ = 0 (1.16)

Entonces,

∇ · u = ∇2Φ

∇× u = ∇×∇×Ψ =

0

∇(∇ ·Ψ)−∇2Ψ

De las ecuaciones (1.12) y (1.14) entonces:

∇2(∇2Φ)− 1α2

∂2

∂t2(∇2Φ) = 0

∇2[

∇2Φ−1α2

∂2Φ∂t2

]

= 0

−∇2(∇2Ψ) + 1

β2

∂2

∂t2(∇2

Ψ) = 0

∇2[

∇2Ψ−1β2

∂2Ψ

∂t2

]

= 0


1.6 La descomposición de Helmholtz

Del análisis anterior, se puede apreciar que con el desplazamiento u escrito en

esta manera:

Φ representa el desplazamiento asociado con la onda-P.

Ψ representa el desplazamiento asociado con la onda-S.

Para una onda plana que se propaga en el plano x− z (que significa que no

hay ningún variación en las propiedades de la onda (fase, amplitud) en la

dirección y; en términos matemáticos ∂∂y

... = 0), el campo de desplazamiento

es

u = uP + uS =

(∂Φ

∂x−

∂Ψy

∂z

)

x+

(∂Ψx

∂z−

∂Ψz

∂x

)

y +

(∂Φ

∂z+

∂Ψy

∂x

)

z (1.17)

El desplazamiento de esta onda esta en las direcciones x, y y z.

La onda P tiene movimiento particular en el plano x− z (Φ).

La onda S tiene dos componentes, la SH con movimiento particular en

la dirección y (Ψx,Ψz),

y la SV con movimiento particular en el plano x− z (Ψy).Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismologıa Aplicada y de Exploracion, Clase 1 – p. 16/17

1.7 Ondas Planas

Ondas planas, las soluciones a la ecuación de ondas, pueden estar

representadas por:

Φ = Aei(kα·x−ωt) (1.18)

Ψ = Bei(kβ·x−ωt) (1.19)

con

kα =(ω

α

)

k, y kβ =

(ω

β

)

k (1.20)

k es en la dirección de propagación de la onda.


2 Ondas de superficie


2.1 Semi espacio y superficie libre

Un semi espacio es un medio homogéneo que ocupa la mitad de un

volumen infinito.

La superficie libre es la única superficie que tiene un semi espacio.

A una distancia de +δ encima la superficie libre, en el vacío, los

elementos del tensor de esfuerzo están ceros σ31 = σ32 = σ33 = 0.

Hay continuidad de tracción a través de la superficie, entonces la

condición de borde en la superficie es que σ3j = 0.

(Note que la tracción es una medida de presión que una superficie

aplica al elemento de volumen conectado).


2.1.1 Ondas Rayleigh: formulación

Consideremos ondas P y S, viajando en el plano x1 − x3 que

interactúan con la superficie terrestre:

SI ellos generan una onda en la dirección x1 (horizontal), los

potenciales Φ y Ψ están:

Φ que en esta clase llamaremos φ = f(x3)ei(kx1−ωt)

ψ2 que en esta clase llamaremos ψ = g(x3)ei(kx1−ωt)

u2 = h(x3)ei(kx1−ωt)(2.2)

Note que podemos escribir u2 en la forma de ψ1 y ψ3 si

queremos, pero veremos que no vale la pena.


2.1.2 La ecuación de ondas

Los potenciales tienen que satisfacer la ecuación de movimiento en el medio

(ver la sección 1.6)

∇2φ− 1α2

∂2φ∂t2

= 0

∇2ψ − 1β2

∂2ψ∂t2

= 0

Por ejemplo, para el caso φ,

∂2φ

∂x21

+

0

∂2φ

∂x22

+ ∂2φ

∂x23

− 1α2

∂2φ∂t2

= 0(

(ik)2f(x3) +∂2f(x3)

∂x23

− (iω)2

α2 f(x3)

)

ei(kx1−ωt) = 0

f ′′ − k2f + ω2

α2 f = 0

f ′′ +(

ω2

α2 − k2)

f = 0

f ′′ + k2(

c2

α2 − 1)

f = 0

En la última linea, hemos usado ω = ck, donde c es la velocidad aparente de

la onda en la dirección x1, es decir por la superficie (si existe esta onda).



Introducimos

rα =

√

c2

α2− 1 rβ =

√

c2

β2− 1

Entonces, la función f(x3) tiene que satisfacer

f ′′ + k2r2αf = 0 (2.3)

y similarmente g′′ + k2r2βg = 0 y h′′ + k2r2βh = 0. La solución entonces es

f(x3) = A′e−ikrαx3 +Ae+ikrαx3 (2.5)

con soluciones similares para g(x3) y h(x3). En la próxima diapositiva

vamos a ver que para una onda de superficie rα y rβ están imaginarias, y que

en este caso A′ = 0 porque conservación de energía requiere que

f(x3) limx3→∞

→ 0



Los tres posibles soluciones para f , g y h están:

1. β < α < c. En este caso, rα y rβ están reales. Esta situación representa

ondas de cuerpo que se reflectan de la superficie (otro capítulo).

f = A′e−ikrαx3 +Ae+ikrαx3 etc. para g, h

φ ∼ cte.ei(kx1−ωt±krαx3) etc...

note que rα representa la tasa entre los componentes del vector de

onda vertical:horizontal.

2. β < c < α. En este caso, rα esta imaginaria y rβ esta real. Entonces la

onda P se propaga horizontalmente en la forma de una onda

quasi-evanescente (ruido superficial, o, en inglés, ground roll).

f = Ae−k|rα|x3

φ = Ae−k|rα|x3ei(kx1−ωt)

Se nota que φ decae exponencialmente con profundidad (propiedad

evanescente), pero esta onda continuamente pierde energía a las ondas

SV (condiciones de borde) entonces esta onda no se propaga grandes

distancias.



Los tres posibles soluciones (cont...)

3. c < β < α. En este caso ambas rα y rβ están imaginarias, y entonces

φ, ψ, u2 ∼ cte.e−k|rα,β |x3ei(kx1−ωt)

El tercer caso entrega una solución que representa una onda que viaja

horizontalmente a una velocidad c, que es evanescente (atrapada en la

superficie) y que es una cierta mezcla de las contribuciones de las ondas

P, SV y SH.

No hemos encontrado la onda Rayleigh todavía. La onda descrita arriba

solamente existe si cumpla las condiciones de borde en la superficie

libre. ¿Podría satisfacer las condiciones de borde? ¡Revisemos!


2.1.3 Condiciones de borde

Los potenciales están:

φ = Ae[ikrαx3+ik(x1−ct)]

ψ = Be[ikrβx3+ik(x1−ct)]

u2 = Ce[ikrβx3+ik(x1−ct)](2.6)

Y las condiciones de borde en la superficie libre (x3 = 0) están

σ31 = σ32 = σ33 = 0. Recuerde, del capítulo anterior (ver ecuaciones (1.2),

(1.6), (1.16)):

σij = λδijǫkk + 2µǫij

ǫij = 12

(

∂ui∂xj

+∂uj

∂xi

)

u = ∇Φ+∇×Ψ

Entonces, en la notación de esta clase,

u1 = ∂φ∂x1

− ∂ψ∂x3

u3 = ∂φ∂x3

+ ∂ψ∂x1



σ31 = 0

2µǫ31 = 0∂u3

∂x1+ ∂u1

∂x3= 0

∂2φ∂x3∂x1

+ ∂2ψ

∂x21

+ ∂2φ∂x1∂x3

− ∂2ψ

∂x23

= 0

O, en otra notación2φ,31 + ψ,11 − ψ,33 = 0 (2.7a)

σ33 = 0

λ(ǫ11 + ǫ22 + ǫ33) + 2µǫ33 = 0

λ

∂u1

∂x1+

0

∂u2

∂x2+ ∂u3

∂x3

+ 2µ ∂u3

∂x3= 0

Cambiando la notación de nuevo

λ (φ,11 − ψ,31 + φ,33 + ψ,13) + 2µ (φ,33 + ψ,13) = 0

(λ+ 2µ)φ,33 + λφ,11 + 2µψ,13 = 0(2.7b)



σ32 = 0

2µǫ32 = 0

0

∂u3

∂x2+ ∂u2

∂x3= 0

O, en otra notaciónu2,3 = 0 (2.7c)

Para cumplir la condición de borde (2.7c), con las ecuaciones (2.6),

tenemos C = 0. Entonces u2 = 0. La primera condición para que

existe una onda de superficie, hecha por la interacción entre ondas P y

S, es que las ondas SH no entran al sistema. (Esta no es una gran

sorpresa, dado que el sistema P-SV es desacoplado del sistema SH).



Para cumplir las otras condiciones de borde (2.7a) y (2.7b), pongamos las

expresiones para φ y ψ de la ecuación (2.6) dentro de las dos ecuaciones que

dan las condiciones de borde (recuerde que la condición de borde se satisface

en la superficie, es decir x3 = 0):

1.

2φ,31 + ψ,11 − ψ,33 = 0

2A(ikrα)(ik) +B(ik)2 − B(ikrβ)2 = 0

−2Ak2rα − Bk2 +Bk2r2β = 0

2rαA+ (1− r2β)B = 0

(2.8a)

2. [Requiere λ+ 2µ = α2ρ, µ = β2ρ, λ = (α2 − 2β2)ρ]

(λ+ 2µ)φ,33 + λφ,11 + 2µψ,13 = 0

(λ+ 2µ)A(ikrα)2 + λA(ik)2 + 2µB(ik)(ikrβ) = 0

−(λ+ 2µ)Ar2α − λA− 2µBrβ = 0

α2Ar2α + (α2 − 2β2)A+ 2β2Brβ = 0[

α2(r2α + 1)− 2β2]

A+ 2β2rβB = 0

(2.8b)

Buscamos la solución simultanea de (2.8a) y (2.8b) para cumplir las

condiciones de borde.Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismologıa Aplicada y de Exploracion, Clase 2 – p. 11/18


Para el sistema de ecuaciones

(

a b

c d

)(

A

B

)

=

(

0

0

)

la solución no-trivial (A 6= 0, B 6= 0) requiere (ad− bc) = 0. En nuestrocaso

[α2(r2α + 1)− 2β2](1− r2β)− 4rαrββ2 = 0 (2.9)

Usando rα =√

c2

α2 − 1 y rβ =√

c2

β2 − 1:

[

α2(

c2

α2

)

− 2β2] [

2− c2

β2

]

− 4√

c2

α2 − 1√

c2

β2 − 1β2 = 0(

c2 − 2β2)

(

2− c2

β2

)

− 4(

c2

β2 − 1)1/2 (

c2

α2 − 1)1/2

β2 = 0(

c2

β2 − 2)(

2− c2

β2

)

= 4(

c2

β2 − 1)1/2 (

c2

α2 − 1)1/2

(

2− c2

β2

)2= 4

(

1− c2

β2

)1/2 (

1− c2

α2

)1/2

(2.10)

La ecuación (2.10) es el requisito para que existe la onda evanescente que

viaja horizontalmente. Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismologıa Aplicada y de Exploracion, Clase 2 – p. 12/18

2.1.4 Para un sólido de Poisson

Encontraremos la solución para un sólido de Poisson(

λ = µ⇒ α2 = 3β2)

:

(

2− c2

β2

)2= 4

(

1− c2

β2

)1/2 (

1− c2

3β2

)1/2

(

2− c2

β2

)4= 16

(

1− c2

β2

)(

1− c2

3β2

)

16− 32 c2

β2+ 24 c

4

β4− 8 c

6

β6+ c8

β8= 16

(

1− c2

β2− c2

3β2+ c4

3β4

)

−32 c2

β2 + 24 c4

β4 − 8 c6

β6 + c8

β8 = − 643c2

β2 + 163c4

β4

c2

β2

(

c6

β6− 8 c

4

β4+ 56

3c2

β2− 32

3

)

= 0

(2.11)

Las soluciones de (2.11) son:

c2/β2 = 0. Una solución trivial - el medio en equilibrio sin ondas

presentes cumpla las condiciones de borde.

c2/β2 = 4 y c2/β2 = 2 + 2/√3. Significa que β < α < c y entonces,

con rα y rβ números reales, el constraint A′ = 0 puesto en la página 5

no se cumpla. No son soluciones actuales.

c2/β2 = 2− 2/√3 = 0.8453. Significa que c < β < α que implica

que existe una onda de superficie que cumpla las condiciones de

borde. Esta onda es la onda Rayleigh.Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismologıa Aplicada y de Exploracion, Clase 2 – p. 13/18

2.1.5 Onda Rayleigh: propiedades

c2/β2 = 0.8453 ⇒ c = 0.92β (2.12)

La velocidad horizontal de una onda Rayleigh (en un semi espacio

homogéneo) es independiente de su frecuencia y ∼92% de la velocidad de laonda S.

rβ =√

c2

β2 − 1 =√0.8453− 1 = 0.393i , r2β = −0.155

rα =√

c2

α2− 1 =

√

(0.8453/3)− 1 = 0.847i , r2α = −0.718

De la ecuación (2.8):

2rαA+ (1− r2β)B = 0

B = −2rα1−r2

β

A = −1.694i1.155

A ≈ −1.47iA

Ahora estamos preparados para calcular los desplazamientos u1 y u3asociados con la onda Rayleigh (recuerde que u2 = 0).


2.1.5 Onda Rayleigh: propiedades

u1 = ∂φ∂x1

− ∂ψ∂x3

= Aike[ikrαx3+ik(x1−ct)] − Bikrβe[ikrβx3+ik(x1−ct)]

=(

Aike−0.85kx3 − Bikrβe−0.39kx3

)

eik(x1−ct)

= −Ak sin(kx1 − ωt)(

e−0.85kx3 − 0.58e−0.39kx3)

(2.13a)

En x3 = 0, la superficie (usando la definición de un nuevo constante

a = −Ak):

u1 = 0.42a sin(kx1 − ωt) (2.14a)

u3 = ∂φ∂x3

+ ∂ψ∂x1

= Aikrαe[ikrαx3+ik(x1−ct)] + Bike[ikrβx3+ik(x1−ct)]

=(

Aikrαe−0.85kx3 + Bike−0.39kx3)

eik(x1−ct)

= −Ak cos(kx1 − ωt)(

0.85e−0.85kx3 − 1.47e−0.39kx3)

(2.13b)

Y en la superficie:

u3 = −0.62a cos(kx1 − ωt) (2.14b)


2.1.6 Rayleigh: movimiento particular

En nuestro la onda Rayleigh se propaga en la dirección +x.

El eje z representa profundidad: apunta hacia abajo.

En la superficie:

u1 = 0.42a sin(kx1 − ωt) , u3 = −0.62a cos(kx1 − ωt)

En una cierta posición fija (como x1 = 0 por ejemplo):

u1 = −0.42a sin(ωt) , u3 = −0.62a cos(ωt)

ωt u1 u3

0 0 −0.62a

π/2 −0.42a 0

π 0 0.62a

3π/2 0.42a 0

etc.

El movimiento particular es retrogrado elíptico en la superficie de la

Tierra.Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismologıa Aplicada y de Exploracion, Clase 2 – p. 16/18

2.1.6 Rayleigh: movimiento particular

La variación de |u1| y |u3| con profundidad significa que el movimiento

particular cambia de retrogrado elíptico en la superficie al progrado

elíptico a profundidades.


2.1.7 Rayleigh: sismograma

La onda Rayleigh llega en los componentes vertical-radial de un

sismograma con movimiento retrogrado elíptico.


2.2 Ondas Love: formulación

A diferencia de ondas Rayleigh (que tienen desplazamiento P-SVacopladas), las ondas Love contienen solamente movimiento“estiloSH”.

Las ondas Love no pueden existir en un semi espacio uniforme,requieren una estructura de velocidad que varía con la profundidad.

El caso mas simple en que podemos analizar cuantitativamente lapropagación de ondas Love en un medio es el caso de una capahorizontal (densidadρ1, velocidad de onda de cizalleβ1) encima de unsemi espacio (ρ2, β2).

Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismolog´ıa Aplicada y de Exploracion, Clase 3 – p. 1/12

2.2 Ondas Love: formulaciónEn la capa (denominado por el símbolo➀), viaja una onda SH hacia arriba yabajo:

u➀2 (x1, x3, t) = B1e

i(k1x1+k1rβ1x3−ωt) +B′

1ei(k1x1−k1rβ1

x3−ωt) (2.15)

En el semi espacio (➁), suponemos que existe una onda que se propagahorizontalmente:

u➁2 = f(x3)e

i(k1x1−ωt)

Para que la expresión parau2 satisface la ecuación de movimiento:

f(x3) = cte.e±ik1rβ2x3

En la misma manera que antes, hay que elegir el signo positivode eso paracumplir con la conservación de energía, entonces:

u➁2 (x1, x3, t) = B2e

i(k1x1+k1rβ2x3−ωt) (2.16)


2.2 Ondas Love: formulaciónNoten quek1 es el mismo para los dos medios. Eso es una consecuencia de laley de Snell (mostraremos eso en otra clase - sorry). También, noten que

rβ1=

k➀3

k1=

√

c2

β21

− 1 ; rβ2=

k➁3

k1=

√

c2

β22

− 1

Conc la velocidad de la onda que viaja horizontalmente, si esta onda existe.Consideremos el caso cuandoc < β2, y veremos si existe una onda con estacondición que cumpla las condiciones de borde en ambos la superficie y lainterfase. Si existe una solución conc < β2, tendrárβ2

imaginaria,

rβ2=

(

c2

β22

− 1

)1/2

= i

(

1−c2

β22

)1/2

= i|rβ2| (2.17)

y entonces existirá una onda evanescente en el semi espacio.


2.2.1 Condiciones de bordeEn la superficie libre (x3 = 0) la tracción esta cero:

σ23|x3=0 = 0

µ1∂u➀

2

∂x3

∣

∣

∣

∣

x3=0

= 0

µ1(ik1rβ1)(B1 −B′

1)ei(k1x1−ωt) = 0

(2.18)

∴ B1 = B′1

En palabras, tenemos una reflexión interna total en la superficie. Esto no esuna gran sorpresa.


2.2.1 Condiciones de bordeEn la interfase (x3 = h) hay continuidad de tracción y dedesplazamiento:

Continuidad de desplazamiento:

u➀2

∣

∣

x3=h= u➁

2

∣

∣

x3=h

B1

[

eik1rβ1

h + e−ik1rβ1

h]

ei(k1x1−ωt) = B2eik1rβ2

hei(k1x1−ωt)

2B1 cos(k1rβ1h) = B2e

ik1rβ2h

(2.21)

Continuidad de tracción:

µ1∂u➀

2

∂x3

∣

∣

∣

∣

x3=h

= µ2∂u➁

2

∂x3

∣

∣

∣

∣

x3=h

µ1(ik1rβ1)B1

[

eik1rβ1

h − e−ik1rβ1

h]

= µ2(ik1rβ2)B2e

ik1rβ2h

2iµ1rβ1B1 sin(k1rβ1

h) = µ2rβ2B2e

ik1rβ2h

(2.22)


2.2.1 Condiciones de bordeLas condiciones de borde tienen que estar cumplidas simultáneamente,entonces podemos encontrar la condición para que existe unaonda Love:

(2.22)(2.21) ⇒

2iµ1rβ1B1 sin(k1rβ1

h)

2B1 cos(k1rβ1h)

=µ2rβ2

B2eik1rβ2

h

B2eik1rβ2

h

tan(k1rβ1h) =

µ2rβ2

iµ1rβ1

=−iµ2rβ2

µ1rβ1

tan(k1rβ1h) =

µ2|rβ2|

µ1rβ1

≡µ2

√

1− c2

β22

µ1

√

c2

β21

−1

(2.23)

La ecuación (2.23) es la condición para quec < β2, y entonces existe unaonda Love. Noten que cuandoc < β2, rβ2

es imaginaria (rβ2= i|rβ2

|), yentonces:

u➁2 = B2e

i(k1x1−ωt)e−k1rβ2

x3


2.2.2 La soluciónSi tomamos la ecuación (2.23), hagamos la sustitución parak1 = ω/c, ydefinimos una variableξ:

ξ = hc

√

c2

β2

1

− 1

⇒ h2

c2= h2

β2

1

− ξ2

llegamos al

tan

[

ωhc

√

c2

β2

1

− 1

]

=µ2

√

1− c2

β22

µ1

√

c2

β21

−1

tan(ωξ) = µ2

µ1

hc

√

1− c2

β22

hc

√

c2

β21

−1

tan(ωξ) = µ2

µ1

√

h2

c2− h2

β22

ξ

tan(ωξ) = µ2

µ1

√

h2( 1

β21

− 1

β22

)−ξ2

ξ


2.2.2 La soluciónPodemos encontrar la solución a la previa ecuación gráficamente:

Graficamos las dos funciones de la ecuación anterior, dónde las doscurvas se cruzan, tenemos un valor paraξ, y entonces parac, quecumpla las condiciones de borde.

Una cantidad finita de soluciones parac existen, que depende deω, β1,β2, ρ1, ρ2 y h.

Las soluciones se llaman modos, para una cierta frecuencia podríanexistir varios modos.


2.2.3 Love: modos


2.2.3 Love: modosLa ecuación (2.23) solo tiene raíces reales (soluciones) paraβ1 < c < β2.

En la figura anterior, la soluciónn = 0 se llama el modo fundamental.Las otras están modos mayores o armónicos.

El modo fundamental tiene la menor frecuencia, y velocidad,de todoslos modos. Es típicamente lo mas importante para las onda Lovegenerada por terremotos.

Se nota que la velocidad de fase para la onda Love cambia con lafrecuencia. Incluso en este ejemplo simplificado, las ondasLovemuestran dispersión.


2.2.4 Love: movimiento particular


2.2.4 Love: movimiento particular

Las ondas Love están hechas por ondas SH atrapadas en una capa, ydebajo de esta capa la amplitud de la oscilación (u2) decaeexponencialmente (onda evanescente).

En el ejemplo en la diapositiva anterior, la capa de baja velocidadrepresenta la corteza continental. Siempre las ondas Love estánatrapadas en la corteza Terrestre, continental u oceánica.(Pero tambiénondas Love de alta frecuencia pueden estar atrapadas en una capasedimentaria encima de la roca madre de una continente.)

Se puede considerar esta capa como una guía de ondas. Los diferentesmodos representan diferentes configuraciones de ondas atrapadas en lacapa.

Los modos mayores para la onda Love están “equivalentes” a losarmónicos de instrumentos musicales.


2.3 Velocidad de fase y grupo

La velocidad c en las secciones anteriores es la velocidad de fase de las

ondas superficiales (c = ω/k). Es la velocidad con que una fase se

propaga.

En general, las velocidades α y β del medio aumentan con la

profundidad dentro del manto de la Tierra.

Entonces, c disminuye cuando aumenta la frecuencia de las ondas

superficiales. Las ondas están dispersivas.

La energía de una onda dispersiva se propaga con la velocidad del

grupo, u = dω/dk. u y c están diferentes para las ondas de superficie.


2.3.1 Una demostración simple

¿Cuál es la suma de dos ondas armónicas con ω y k ligeramente

diferente entre ellos?

Vamos a usar cos(A+B) + cos(A−B) = 2 cosA cosB

u(x, t) = cos(ω1t− k1x) + cos(ω2t− k2x)

ω1 = ω + δω , ω2 = ω − δω , ω >> δω

k1 = k + δk , k2 = k − δk , k >> δk

∴ u(x, t) = cos(ωt+ δωt− kx− δkx) + cos(ωt− δωt− kx+ δkx)

= 2 cos(ωt− kx) cos(δωt− δkx)

El envolvente tiene velocidad u = δω/δk, la velocidad del grupo.

Cimas individuales tienen velocidades c = ω/k, la velocidad de fase.


2.3.1 Una demostración simple


2.3.2 Relación entre u y c

La relación entre u y c puede estar escrito como:

u = dω

dk= d

dk(ck)

= c+ k dc

dk

= c(

1 + k

c

dc

dk

)

= c

(1−kdc

dω)

1

[(

1 + k

c

dc

dk

)(

1− k dc

dω

)]

= c

(1−kdc

dω)

(2.25)

Entonces la manera de la dispersión de las ondas de superficie

determina su forma física.


Intermezzo

Para demostrar que

A =

(

1 +k

c

dc

dk

)(

1 − kdc

dw

)

= 1

usaremos la siguiente relación:

c = ω

kdc

dω= 1

k−

ω

k2

dk

dω

dc

dk= dc

dω

dω

dk= −

ω

k2+ 1

k

dω

dk

Luego

A =

(

1 + k

c

dc

dk

) (

1 − kdc

dw

)

= 1 + k

c

dc

dk− k

dc

dω−

k2

c

dc

dk

dc

dω

= 1 + k

c

(

−ω

k2+ 1

k

dω

dk

)

− k

(

1

k−

ω

k2

dk

dω

)

−k2

c

(

−ω

k2+ 1

k

dω

dk

) (

1

k−

ω

k2

dk

dω

)

= 1 −ω

kc+ 1

c

dω

dk− 1 + ω

k

dk

dω−

k2

c

(

−ω

k3+ 1

k2

dω

dk+ ω

2

k4

dk

dω−

ω

k3

)

= −ω

kc+ 1

c

dω

dk+ ω

k

dk

dω+ ω

kc−

1

c

dω

dk−

ω2

ck2

dk

dω+ ω

kc

= ω

k

dk

dω−

ω2

ck2

dk

dω+ ω

kc

Recordando que c = ω

kescribimos

A = cdk

dω− c

dk

dω+ 1

= 1


2.3.3 Dispersión en un sismograma

La forma de una onda de superficie en un sismograma contiene inicialmente

bajas frecuencias, después una mezcla de bajas y altas frecuencias, y al final la

fase de Airy. (Por supuesto, siempre es mas complicado que este ejemplo

simplificado).Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismologıa Aplicada y de Exploracion, Clase 4 – p. 6/14

2.3.4 Fase de Airy


2.4 Tierra esférica, ondas de superficie

Las ondas de superficie pueden recorrer la circunferencia de la Tierra varias

veces. Cada vez que pasan a un instrumento muestran mayor dispersión y

tienen menor amplitud.


2.4 Tierra esférica, ondas de superficie

La figura muestra muchos sismogramas (6 horas de datos, componente

vertical) amontonados, por estaciones entre cero y 180 grados de distancia

desde la fuente. Se puede claramente notar R1, R2, R3 y R4, entre otras fases.


2.5 Oscilaciones libres de la Tierra

Cuando la longitud de onda esta comparable con el tamaño de la Tierra,

se deben usar modos normales en vez de la teoría de rayos.

Para una Tierra esférica, homogénea, isotrópica y elástica, podemos

escribir el desplazamiento como:

u = ∇Φ+∇×Ψ = ∇Φ+∇×∇× Sr+∇×Tr (2.26)

Y la ecuación de movimiento es:

α2∇(∇u)− β2

∇×∇× u = u (2.27)

Las soluciones para Φ, Sr y Tr tienen la forma:

Φ(r, θ, φ) =∞∑

l=0

jl(kαr)l

∑

m=−l

Y m

l(θ, φ) (2.28)

Y ml (θ, φ) = Pm

l (cos θ)e±imφ son las funciones armónicas esféricas y

jl(kαr) son funciones esféricas de Bessel.



La solución puede estar escrito en términos de modos esferoidales nSml

(asociados con los potenciales de las ondas P y SV - Φ y Sr), y modos

toroidales nTml (asociados con el potencial de la onda SH - Tr).

n es el número de nodos del desplazamiento radial.

l determina la distribución de desplazamiento con la colatitud.

Existen 2m nodos en 360 de longitud.

Algunos ejemplos de modos se muestran en la próxima diapositiva.

Estos modos significan que la Tierra vibra como una campana después

de grandes terremotos. Las frecuencias resonantes dan pistas sobre las

propiedades elásticas de las diferentes capas de la Tierra.





El espectro de la componente radial, con los modos esferoidales visible, de

240 horas de datos del terremoto de 2004 Sumatra-Andaman (Mw=9.1),

registrado en la estación ARU (en Rusia).


2.6 Rayos y modos: correspondencia

Un rayo puede estar representado por una suma sobre los modos.

La aproximación de rayos asume que el rayo no es sensible a la

estructura bajo del punto del doblamiento del rayo. Actualmente esta

profundidad representa la profundidad en que la solución usando

modos cambia a decaimiento exponencial; entonces la onda es

influenciada por esta estructura de la Tierra debajo de ella.


3.1 El campo de ondas global


3.1 El campo de ondas global

Note que la escala de distancia en el imagen anterior esta dada en

términos de ∆.

Note que el tiempo de viaje es reducido por un factor de 8×∆. ¿Qué

significa eso?


3.1.1 Fases de corteza

Si estamos a cortas distancias de la fuente, podemos tener varias fases de P (y

S) asociadas con la corteza.

Pg - Onda P que dobla en la corteza.

PmP - Onda P que reflecta del Moho.

Pn - Onda P que dobla justo debajo del Moho.


3.1.2 Fases de un sismo profundo

p - onda P en el manto que se origina en la fuente y viaja hacia arriba.

s - onda S en el manto que se origina en la fuente y viaja hacia arriba.

¿Cómo varía el tiempo de llegada entre P y pP con la profundidad del

terremoto?


3.1.3 Fases globales

P - onda P en el manto que se origina en la fuente y viaja hacia abajo.

S - onda S en el manto que se origina en la fuente y viaja hacia abajo.

K - onda P en el núcleo externo.

I - onda P en el núcleo interno.

J - onda S en el núcleo interno.

c - una reflexión en el borde núcleo externo-manto.

i - una reflexión en el borde núcleo interno-núcleo externo.


3.1.4 Fases adicionales - W

La fase es análoga al efecto de una galería susurrante. Se genera por

una interferencia compleja entre ondas de cuero de largo periodo.

La onda viaja en el manto superior, llega entre la fase P y las ondas de

superficie. Se puede sintetizar por la suposición de modos normales.


3.1.4 Fases adicionales - W


3.1.4 Fases adicionales - T

La letra T significa onda terciaria.

La fase T se genera por fuentes cerca los océanos, se propaga dentro del

océano como una onda acústica guiada en la canal SOFAR, y se

convierte a ondas sísmicas en la frontera océano-tierra cerca de la

estación sísmica.

La canal SOFAR es una capa de baja velocidad acústica dentro del

océano, dentro de esta capa la onda acústica puede viajar grandes

distancias con muy poca atenuación.

Comparado con los terremotos típicos, terremotos de ruptura lenta que

pueden generar grandes tsunamis no generan ondas T con gran

amplitud.

La figura siguiente muestra registros de la fase T en estaciones de

Noruega de eventos que se originan en el Océano Atlántico.


3.1.4 Fases adicionales - T


3.2.1 El campo de ondas regional

La figura muestra sismogramas sintéticos generados por el modelo de

velocidades ak135.

Debajo de la litosfera, existe una zona de baja velocidad.

Existen discontinuidades a profundidades de 410 y 660 km.

El campo de ondas regional es afectado por esta estructura de la Tierra.


3.2.1 El campo de ondas regional

Gris: frente de onda P; Negro: frente de onda S.


3.2.2 El campo de ondas global

Arriba: Rayos P; Abajo: Rayos S.

*Les pido ver las figura 28 de los apuntes, que es en color entonces no lo

replicaré en las diapositivas.


4 Localización de terremotos

El epicentro (λ, φ) o (x, y)

El hipocentro (λ, φ, z, t) o (x, y, z, t)

El área de ruptura que tiene un desplazamiento de D(x, t)

Queremos obtener h(x, t). Tenemos: (i) la identificación de las fases

sísmicas, y (ii) Un modelo de velocidades terrestre con que calcular el tiempo

de viaje de las fases.


4.1 Sismos locales

Sismos locales se encuentran a una distancia de . 200 km entre las

estaciones y el sismo (la definición es poco rígida).

La idea básica (usando vp, vs constante), es usar los tiempos S-P para

encontrar la distancia estación-sismo.

Tiempo (S-P) =

(

x

vs− t0

)

−

(

x

vp− t0

)

⇒ x = (S-P)vpvs

vp − vs


4.1 Sismos locales

Note que con un modelo de corteza-manto, la ecuación anterior se

ajuste para tomar en cuenta las fases Pg y Pn.

Con tres estaciones o mas, se puede hacer una simple triangulación

para estimar el epicentro (2D) o el hipocentro (3D).

¿Si los círculos no cruzan, que dice eso sobre las suposiciones?


4.1 Sismos locales

En una computadora:

Tenemos n observaciones de tiempos de llegada (P, S) en diferentes

estaciones.Ta,i = ti(h, xi, yi, zi, v(r)) (4.1)

El a significa “actual”, y i corre de 1 a n. El tiempo de llegada de cada

observación depende de:

1. la ubicación del hipocentro h,

2. la ubicación de la estación xi, yi, zi,

3. y el modelo de velocidades actual en la región v(r).

Hay que elegir un hipocentro inicial h0 y calcular los tiempos de

llegada predichos Tp,i para obtener los residuos ri = Ta,i − Tp,i.

La idea es minimizar los residuos.


4.1 Sismos locales

Un ejemplo lo mas simple posible, con una constante velocidad v, da

Tp,i =√

(x− xi)2 + (y − yi)2 + (z − zi)2/v (4.3)

Pero note que podemos usar un modelo de velocidades mucho mas

complejo que esto para calcular los tiempos de llegada predichos.

Los residuos se pueden escribir en la forma:

Ta,i − Tp,i =∂ti

∂x∆x+

∂ti

∂y∆y +

∂ti

∂z∆z +

1

∂ti

∂t∆t0 (4.4)

Aquí, ∂ti∂x

representa el pendiente ∂t∂x

de la estación que registra el rayo

i. (El cambio en el tiempo de llegada del rayo, con el cambio en la

coordenada-x del hipocentro del evento).


4.1 Sismos locales

Usamos un modelo de velocidades estimada para calcular Tp,i y las

derivadas parciales, y entonces la ecuación 4.4 reduce a un sistema

lineal representado por:

r = G∆h (4.5)

es decir

r1

r2

r3

.

.

.

.

=

∂t1∂x

∂t1∂y

∂t1∂z

1∂t2∂x

∂t2∂y

∂t2∂z

1∂t3∂x

∂t3∂y

∂t3∂z

1

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

∆x

∆y

∆z

∆t0

Esta ecuación puede estar resuelta para obtener ∆h


Intermezzo

r = G∆h

GTr = G

TG∆h

(GTG)−1(GT

r) = ∆h

La matriz transpuesta, denotada por AT , está dada por ATij = Aji, es

decir

1 2

3 4

5 6

T

=

(

1 3 5

2 4 6

)

GTG es una matriz cuadrada, entonces tiene una inversa.

La definición de una matriz inversa es que A−1

A = I .

Eso es un problema inverso, DGEO tiene un curso electivo sobre

problemas inversos en geofísica que recomiendo.

El proceso minimiza E2 =∑N

i=1

(

ri −∑P

j=1Gij∆hj

)2


4.1 Sismos locales

Los pasos para obtener el hipocentro del evento requieren una iteración:

1. Elegir h0 (solamente tiene que estar una ubicación aproximada).

2. Usar el valor de h0 para obtener los residuos ri de los datos.

3. Usar un modelo de velocidades para calcular ∂ti∂x

etc.

4. Resolver el sistema de ecuaciones para ∆h.

5. h0(nuevo) = h0+∆h.

6. Repite pasos 2-6 con el nuevo valor de h0, hasta un punto en que∑

i r2

i no mejora.

Note que∑

i r2

i nunca llega a cero porque:

1. La elección de las fases en los sismogramas lleva un error.

2. El modelo de velocidades usado para calcular los tiempos de viaje

predichos es solamente una aproximación. (¿Podemos iterar el

modelo en la misma manera de los hipocentros? - si, eso es

tomografía).

3. La distribución de estaciones sísmicas puede estar insuficiente.


4.1 Sismos locales

Movimiento lateral en la falla San Andrés resulta en diferentes rocas en

cada lado de la falla.

Si la variación lateral en velocidad sísmica no se toma en cuanta,

resulta en una mala ubicación de los sismos. (Mapa es de ∼ 1970, hoy

en día localizan con un modelo 3D).


4.1 Sismos locales

La distribución de estaciones tiene un gran efecto sobre la precisión de

una ubicación (especialmente su profundidad).


4.2 Método de un evento principal

Este método localiza réplicas de un evento relativo a la ubicación del

evento principal.

Si están en la misma falla y tienen mecanismos similares, entonces las

formas de las ondas en las estaciones están similares para el evento y su

replica.

Podemos usar correlación para calcular los tiempos relativos de llegada(tiempo relativo al evento principal).

Trel,i = Ta,i − Tprincipal,i (4.6)

En la misma manera que antes, podemos encontrar ∆hj , donde

Trel,i =∂ti

∂hj

∆hj (4.7)

∆hj representa la corrección en la ubicación del evento principal para

llegar a la posición de la réplica. Entonces tenemos localizaciones

relativas, que pueden dar información sobre la geometría de la falla.


4.2 Método de un evento principal

La figura muestra una comparación entre las ubicaciones de las réplicas de

cuatro grandes terremotos en el arco de Kurile (entre Japón y Rusia) con las

reubicaciones usando el método de un evento principal.Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismologıa Aplicada y de Exploracion, Clase 6 – p. 12/14

4.3 Método de una estación

El tiempo S-P da la distancia.

La rotación de las componentes del sismómetro (en 3 dimensiones),

para que la energía de la onda P llega en un solo componente, nos da la

orientación.


4.4 Localización global

La localización global toma los mismos principios que la localización

regional: hay más fases, y tenemos que tomar en cuenta la curvatura de la

Tierra para calcular los tiempos de llegada predichos, pero la meta de

minimizar los residuos es la misma. La figura muestra los tiempos de llegada,

y los rangos, para una Tierra esférica.


5.1 Fallas

n - el vector normal al plano de la falla

d - el vector de deslizamiento

φf - el rumbo (strike) de la falla que se mide en sentido horario desde el

Norte (0 - 360)

δ - el manteo/buzamiento (dip)

λ - el ángulo de deslizamiento (rake), entre el eje x1 y d en el plano de

la falla (0 - 360)


5.1 Fallas

Falla de desgarre (strike-slip). λ = 0: lateral-izquierda; λ = 180:

lateral-derecha.

Falla normal λ = 270.

Falla inversa λ = 90.


5.2 El tensor de momento sísmico

Fuentes sísmicas están representadas por un par de fuerzas.

Por la conservación de momento angular, requerimos un par de fuerzas

complementarias - una dobla cupla.


5.2 El tensor de momento sísmico

Un par de fuerzas es anotado por Mij , donde i representa la dirección

en que apuntan las fuerzas, y j representa la dirección en que están

separadas las fuerzas.

Con esta anotación, podemos escribir el tensor de momento como

M =

M11 M12 M13

M21 M22 M23

M31 M32 M33

(5.1)

con |Mij | = fd|d→0

Mij representa las fuerzas que pueden actuar en un punto en el medio,

los elementos del tensor representan torques de fuerza por distancia.

Note que Mij es simétrico por la conservación de momento angular.


5.2.1 Ejemplo: falla de desgarre

Falla de desgarre, lateral derecha:

M12 = M0 (lo que implica M21 = M0).

∴ M =

0 M0 0

M0 0 0

0 0 0

(5.2)

M0 = µDA, el momento sísmico.



Note que dos diferentes tipos de fallas corresponden a la misma dobla

cupla.

Entonces, las dos situaciones producen exactamente el mismo

movimiento/oscilación del medio (en el campo lejano).

Se nota que el mismo tensor de momento puede representar la falla

lateral-derecha, o igualmente una falla lateral-izquierda con una

diferente orientación.



Podemos diagonalizar el tensor M .

M =

M0 0 0

0 −M0 0

0 0 0

(5.4)

En este ejemplo, es una rotación del sistema de coordenadas por 45 en

el plano horizontal.

El sistema de coordenadas ahora estaré alineados por las direcciones de

compresión (P) y tensión (T) máximas.


5.2.2 Patrón de radiación

El patrón de radiación de la energía sísmica, para la onda P, esta

alineado a lo largo de los ejes de compresión y tensión. El plano de la

falla, y el plano auxiliar, son planos nodales.

El patrón de radiación de las ondas S tiene su mayor amplitud en estos

planos nodales.


5.2.3 Relación entre M y la falla

El vector unitario normal al plano de la falla es n = (nx, ny, nz).

El vector unitario de deslizamiento es d = (dx, dy, dz).

Podemos escribir el tensor de momento como

Mij = M0(nidj + njdi) (5.5)

o

M = M0

2nxdx nxdy + nydx nxdz + nzdx

nydx + nxdy 2nydy nydz + nzdy

nzdx + nxdz nzdy + nydz 2nzdz

(5.6)

Note que el tensor de momento es simétrico.

La traza del tensor es TrMij = 2M0nidjδij = 2M0n · d = 0; el

deslizamiento esta en el plano de la falla con vector normal n.

La traza representa un cambio en volumen del medio. Para terremotos,

este esta cero; pero podría estar distinto de cero para otras fuentes

(explosiones etc.).


5.2.3 Relación entre M y la falla

Podemos escribir n y d en términos del rumbo (φf ), manteo (δ) y

ángulo de deslizamiento (λ):

n =

− sin δ sinφf

sin δ cosφf

− cos δ

(5.7)

d =

cosλ cosφf + sinλ cos δ sinφf

cosλ sinφf − sinλ cos δ cosφf

− sinλ sin δ

(5.8)

Las propiedades de la falla entonces determinan M .

El tensor del momento, es decir el mecanismo de un terremoto, puede

estar representado por un mecanismo focal.


5.2.4 Mecanismos focales



La esfera focal es una esfera imaginaria que envuelta el hipocentro.

Se puede dividir la esfera en cuadrantes compresionales y

dilatacionales.

Para terremotos “telesísmicos”, podemos relacionar los primeros

movimientos de sismómetros al hemisferio inferior de esta esfera,

tomando en cuenta el camino del rayo.

(Note que para sismos locales el rayo sale del hemisferio superior).



Para dibujar un mecanismo focal:

Dibuja la falla, y una esfera alrededor del hipocentro.

La esfera se corta por 2 planos perpendiculares (entonces en 4

secciones). Los planos están los nodos con desplazamiento vertical

cero.

Los sectores de dilatación (T) están en color. Los sectores de

compresión (P) están blancas.

La proyección del hemisferio inferior de la esfera es el mecanismo

focal (en la vista de mapa).



Inicialmente, las propiedades de la falla en que se origina un terremoto no

están conocidos. Para obtener un mecanismo focal, y entonces las

propiedades del terremoto, hay que usar datos sísmicos.

Se puede usar la polarización de la onda P, registrada en estaciones a

distancias telesísmicas. La polaridad de la onda P indica si el rayo sale

de la esfera focal de un cuadrante dilatacional o compresional.

Se puede encontrar 2 planos que separan los cuadrantes de la esfera

focal. Uno será el plano de la falla, uno será el plano auxiliar.

Para conocer cuál es el plano de la falla, es necesario obtener mas

información (geología de la zona, etc.).Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismologıa Aplicada y de Exploracion, Clase 7 – p. 14/15


Se puede apreciar los diferentes tipos de mecanismos asociados con la

tectónica en dorsales oceánicas (la figura esta en vista de mapa). ¿Qué esta

pasando aquí?


5.3 La estructura de sismogramas

u(t) = s(t) ∗ g(t) ∗ q(t) ∗ i(t) (5.9)

El desplazamiento de la Tierra en un cierto punto puede estar escrito

como una convolución entre los efectos de la fuente (s), la propagación

(g), la atenuación (q) y la respuesta del instrumento (i).

Además, se debe sumar a eso ruido ambiental de la Tierra asociado con

las vibraciones que no tienen fuentes sísmicas.

La descripción matemática de una convolución es

(f ∗ g)(t) =

∫

∞

−∞

f(τ)g(t− τ)dτ ≡

∫

∞

−∞

f(t− τ)g(τ)dτ


5.3 La estructura de sismogramas

Gráficamente, la convolución entre dos funciones es el área en común a

los dos cuando están sobrepuestos (separados en tiempo por un cierto

tiempo).


5.3.1 Campos cercano y lejano

Podemos escribir el potencial de la onda P (por ejemplo) como:

φ(r, t) =−f(t− r/α)

r(5.10)

El desplazamiento esta dado por el gradiente de este potencial:

u(r, t) =∂φ(r, t)

∂r=

1

r2f(t− r/α)−

1

r

∂f(t− r/α)

∂r(5.11)

El primer término en la ecuación (5.11) representa el desplazamiento en

el campo cercano (deformación permanente de la Tierra que puede

estar medida por una estación GPS).

El segundo término en la ecuación (5.11) representa el desplazamiento

en el campo lejano (la respuesta dinámica a la deformación permanente:

la oscilación de la Tierra que puede estar medida por un sismómetro).


Intermezzo

Se defina un tiempo de demora, τ = t− r/α.

Note que t− r/α es el tiempo, t, reducido por la cantidad de tiempo

que demoraría la onda en viajar una distancia r, entonces es una

medida temporal que representa la fuente.

Entonces:

∂f(t− r/α)

∂r=

∂f(t− r/α)

∂τ

∂τ

∂r= −

1

α

∂f(t− r/α)

∂τ

Y se puede expresar la ecuación (5.11) como:

u(r, t) =1

r2f(t− r/α) +

1

rα

∂f(t− r/α)

∂τ

La respuesta dinámica en el campo lejano esta relacionada con la

derivada temporal del desplazamiento en el campo cercano.


5.3.1 Movimiento en el campo lejano

Para representar una fuente en 3 dimensiones, M(t) es el tensor de

momento sísmico con sus 9 componentes.

Note que la traza que registra un sismómetro generalmente representa

la velocidad u(t).


5.3.2 La fuente de Haskell

Suponemos que la primera partícula en la falla que mueve (en el

hipocentro) demora τa segundos para mover de su posición inicial a su

posición final. (τa se llama el tiempo de aumento).

Además suponemos que la última partícula que desliza en la falla

durante el mismo terremoto empieza su movimiento un tiempo τddespués del tiempo del hipocentro. (τd se llama el tiempo de duración).

Para simplicidad, la última partícula que desliza también demora τasegundos para moverse.



Para cada partícula individual:

Para todas las partículas que mueven, se puede expresar el tiempo de

duración de la ruptura en términos del largo de la ruptura (L), la

velocidad de la ruptura (vr) y el ángulo φ entre la dirección de

propagación de la ruptura y la dirección del hipocentro a la estación que

mide el terremoto.

τd = L

(

1

vr−

cosφ

α

)

(5.12)



La convolución entre τa y τd da la función temporal de la fuente de

Haskell (que representa M(t)). El área debajo de M(t) es proporcional

al momento sísmico M0 del terremoto. Note que τd puede variar con la

ubicación de la estación que registra el terremoto.


5.3.3 Los efectos de propagación

g(t) toma en cuenta los efectos de reflexión y transmisión a lo largo del

camino del rayo entre la fuente y la estación. Un ejemplo simple (y lo

mas importante) enfoca en el efecto de un terremoto profundo, para que

una onda P registrada en una estación es una combinación de P, pP y sP.

El tiempo de retraso de la onda pP, por ejemplo, es

∆tpP = 2h cos i/αsuperficial (5.13)


5.3.4 Los efectos de atenuación

El operador de atenuación, para una cierta frecuencia ω, puede estar

escrito como una oscilación cuya amplitud decae exponencialmente en

tiempo, donde Q es el factor de calidad:

q(t) = Aeiωte−ωt/2Q (5.14)


5.3.5 El efecto del instrumento

Sismómetros solamente pueden estar desarrollados para medir ciertas

frecuencias de oscilaciones. A cada frecuencia existe una ganancia del

instrumento (y potencialmente un cambio en fase) entre la velocidad

del suelo y el voltaje que registra el equipo.


5.3.6 La combinación de los efectos


5.3.7 Mecanismos focales y ondas P

La forma de la onda P en cada estación depende en el mecanismo del

terremoto.

(Note que la reflexión de la onda P en la superficie de la Tierra causa

una inversión de la polaridad para la fase pP).


5.3.8 Profundidad y ondas P


5.3.9 Función temporal de la fuente

A veces, la forma exacta de la fuente de Haskell es difícil determinar.

Pero, en general, para grandes terremotos τd >> τa.


5.3.9 Función temporal de la fuente

Terremotos grandes a veces están construidos de varios subeventos

separados en tiempo y espacio.


5.3.10 Japón 2011


5.3.10 Japón 2011

(a) Time slices of the rupture evolution for the 0.05-0.10 Hz band in

15-second intervals. Coordinates are in km (UTM grid). (b) Moment rate

functions for the three frequency bands obtained from the rupture time slices.

“The earthquake began as a small-size twin rupture, slowly propagating

mainly updip and triggering the break of a larger-size asperity at shallower

depths, resulting in up to 50 m slip and causing high-amplitude tsunami

waves. For a long time the rupture remained in a 100-150 km wide slab

segment delimited by oceanic fractures, before propagating further to the

southwest. ”

N Maercklin, G Festa, S Colombelli, A Zollo (2012). Twin ruptures grew to

build up the giant 2011 Tohoku, Japan, earthquake. Scientific Reports 2: 709

October


5.3.11 Chile 2010


5.3.11 Chile 2010

Pulido, N., Yagi, Y., Nishimura, N. and Kumagai, H. (2010). Source rupture

process and strong motion simulation of the Mw8.8, 2010 Chile Mega

earthquake. Abstracts of the Fall meeting of the Seismological Society of

Japan, B11-07.


6 La teoría de rayos geométricos

Usar rayos en sismología es una aproximación de alta frecuencia.

Funciona bien para ondas propagándose en la corteza, manto, núcleo

externo.

Aún, para la estructura más interna de la Tierra, siempre es mejor usar

modos normales.

La ley de Snell describe la geometría del rayo.

sin i

c= p = (constante) (6.1)

El parámetro del rayo, p, también conocido como la lentitud horizontal,

es constante para un rayo particular que sale de una fuente.


6.1 Geometría de rayos

El frente de onda en un instante puede estar representado por W (x).

El rayo asociado con una cierta posición en este frente de onda puede

estar representado por un elemento de línea con ds ∝ ∇W (x).

Para simplicidad, siempre se puede reorientar los ejes del sistema de

coordenadas para considerar el rayo propagándose en el plano x1 − x3.

Para datos sísmicos, esto es equivalente de una rotación de los ejes

horizontales de un sismómetro de norte, este al radial, transversal.


6.2 Tiempo de viaje

Para simplicidad, consideremos una Tierra plana en esta clase.

La modificación de esta teoría para una Tierra esférica es bastante

simple, se puede ver el libro de Shearer para los detalles.

Note que si la velocidad del medio aumenta con la profundidad, el rayo

se dobla a una cierta profundidad y vuelve a la superficie (mas detalles

vienen en una tarea).


6.2 Tiempo de viaje

Cada elemento de línea del rayo, ds = (dx1, dx3), es un cierto ángulo ide la vertical.

dx1

ds= sin i

dx3

ds= cos i = (1− sin2 i)1/2 (6.2)

Recuerde la ley de Snell, sin i = pc = p/u, con p un constante para el

rayo y u la lentitud del medio que es el inverso de su velocidad

(u = 1/c); entonces:

dx1

ds=

p

u

dx3

ds= u−1(u2

− p2)1/2 (6.3)

Podemos combinar estas expresiones en una ecuación que describe la

geometría del rayo:

dx1

dx3=

p

(u2− p2)1/2

(6.4)


6.2 Tiempo de viaje

Para un modelo de velocidades terrestre que solamente varía con la

profundidad, es decir u = u(x3), podemos encontrar la distancia que

viaja un cierto rayo en términos de su parámetro del rayo y la estructura

de velocidad.

X(p) = 2p

∫ zp

0

dx3

(u2(x3)− p2)1/2(6.5)

En esta expresión, zp es la profundidad del punto de doblamiento del

rayo, y se puede apreciar que el factor de 2 existe porque el rayo viaja

hacia abajo (hasta este punto de doblamiento), y después hacia arriba

en una forma simétrica.


6.2 Tiempo de viaje

Podemos cambiar de un modelo de velocidades continuo a unasecuencia de capas horizontales:

[∫ z2

z1

dx3 = ∆z2

]


6.2 Tiempo de viaje

Para esta secuencia de capas horizontales, la lentitud u es constante

dentro de una cierta capa, y el rayo viaja en todas las capas que

cumplan la relación ui > p. Se puede escribir la ecuación (6.5) en unaforma discreta:

X(p) =2p∆z1

(u2

1− p2)1/2

+2p∆z2

(u2

2− p2)1/2

+ ... +2p∆z3

(u2

3− p2)1/2

= 2p∑

i

∆zi

(u2

i − p2)1/2(6.6)


6.2 Tiempo de viaje

Para convertir entre distancia y tiempo podemos usar la relacióndtds = 1

c = u.

Y entonces:dt

dx3=

dt

ds

ds

dx3=

u2

(u2− p2)1/2

En la misma manera que antes:

T (p) = 2

∫ zp

0

u2(x3)dx3

(u2(x3)− p2)1/2(6.8)

Y para una secuencia de capas, para ui > p:

T (p) = 2∑

i

u2i∆zi

(u2i − p2)1/2

(6.9)


6.2 Tiempo de viaje

Podemos reescribir la ecuación (6.8) en la siguiente manera:

T (p) = 2

∫ zp

0

p2

(u2(x3) − p2)1/2+ (u

2(x3) − p

2)1/2

dx3 = pX + 2

∫ zp

0

η(x3)dx3 (6.10)

η(x3) = (u2(x3)− p2)1/2 es la lentitud vertical.


6.3 Curvas tau-p

Podemos definir un tiempo de retraso:

τ(p) = 2

∫ zp

0(u2(x3)− p2)1/2dx3 = 2

∫ zp

0η(x3)dx3 (6.11)

Tomando la derivada del tiempo de retraso con respecto al p nos da un

valor siempre negativo, dado que X(p) es positivo:

dτ

dp= 2

d

dp

∫ zp

0(u2

− p2)1/2dx3 = −2p

∫ zp

0

dx3

(u2− p2)1/2

= −X(p) (6.13)


6.4 Rayos en una capa homogénea

El caso simple de una capa homogénea sobre un semi-espacio:

Tenemos un rayo directo, una refracción crítica*, una reflexión

pre-crítica y una reflexión post-crítica.

*¿Qué esta pasando actualmente con esta refracción crítica? ¿Por qué vuelve a la superficie?


6.4 Rayos en una capa homogénea


7 Tomografía sísmica

¿Cómo podemos usar las ondas sísmicas para determinar la estructura

3-D de la Tierra?


7.1 Residuos en los tiempos de viaje

tresid = tobs − tpred (7.4)

En sismología, el residuo de un tiempo de viaje es la diferencia entre el

tiempo observado, y un tiempo de referencia predicho por un modelo

de velocidades.

Comúnmente se usa un modelo 1-D para calcular el tiempo de

referencia.

Hemos visto el concepto de residuos anteriormente para la localización

de terremotos, cuando uno intenta encontrar el hipocentro que

minimiza los residuos para un evento.

Podemos extender esta idea, y encontrar un modelo de velocidades tres

dimensional que minimiza los residuos para muchos eventos

simultáneamente - esto es la base de la tomografía sísmica.



Para un rayo, el tiempo de viaje es el integral de los incrementos de

tiempo a través del camino de propagación. Para una onda P:

tA ≈

∫

rayoA

α−1(r)ds (7.2)

El residuo para este rayo entonces tiene la siguiente forma, donde el

subíndice r indica el modelo de referencia:

∆tA =

∫

rayoA

[α−1(r)− α−1

r (r)]ds (7.3)

Si encontramos un modelo de referencia que mas parece la situación

actual, los residuos deberían acercarse al cero.

Pero los residuos nunca van a llegar al exactamente cero, debido a la

imprecisión que existe en la elección de los tiempos de llegada de las

fases sísmicas.



Siempre en estos tipos de problemas se defina el modelo de velocidades

como bloques con una velocidad uniforme.

Se puede usar la ley de Snell para calcular el camino del rayo. Además

se conoce la distancia que viaja el rayo en cada bloque, y entonces el

tiempo que demora el rayo en cada bloque.


7.2 El sistema de ecuaciones para resolver

Con bk el tiempo de viaje dentro del bloque k, y δvk la perturbación

relativa de velocidad dentro del bloque podemos definir el residuo:

tresid ≡ r =∑

k

bkδvk (7.5)

Para n rayos, de diferentes caminos fuente-receptor, y m bloques que

definen el modelo de velocidades:

ri =

m∑

j=1

bijδvj =⇒

r1

r2

r3

.

.

.

rn

=

0 0.2 0 0 ...

1.3 0 0.3 0 ...

0 0 0 0.1 ...

. . . . .

. . . . .

0 0.1 0 0 ...

δv1

δv2

δv3

.

.

.

δvm

(7.6)

Los números en la matriz representan los tiempos de viaje del rayo por

los bloques individuales.


7.2 El sistema de ecuaciones para resolver

La ecuación (7.6) debe ser solucionada simultáneamente para todos los

rayos, es un problema inverso para minimizar los residuos y producir el

modelo 3-D.

Este problema inverso tiene m desconocidos, entonces se necesitan

muchos rayos para resolver los desconocidos.

Además, se necesita que todos los bloques en el modelo de velocidad

están “tocados” por varias rayos.

Para una solución única, también es necesario que los rayos se cruzan.


7.2 Pruebas de resolución

La mejora manera de ver la resolución de la tomografía obtenida es ver

si la geometría de los rayos puede resolver un modelo de velocidades

sintéticos, típicamente de estilo “tablero de ajedrez”.

Una serie de tiempos de viaje sintéticos es creada para un modelo

simple de velocidades usando los mismos rayos que tiene los datos

actuales; los tiempos de viaje sintéticos después son invertidos para ver

si el modelo inicial se recupera.


7.3 Complicaciones

La compensación entre las anomalías de velocidad y las ubicaciones de

los terremotos.

La estructura a pocas profundidades no resuelta.

La embadurnada de anomalías de velocidad (ver Figura).

La desviación del camino del rayo de lo del modelo de referencia.

Las suposiciones de la teoría de rayos.

La otra multitud de aproximaciones y suposiciones que se toman en un

estudio tomográfico.

La sobre-interpretación de los modelos tomográficos. Es difícil saber si

características del modelo al limite de resolución realmente existen.


7.4 Otros tipos de tomografía

Tomografía usando ondas de superficie.

Tomografía de ruido sísmico ambiental (viene muy pronto).


7.5 Modelos de tomografía global


8 Funciones receptoras en sismología

Las funciones receptoras, llamadas “Receiver Functions” en inglés,

pueden ser computados de sismogramas de tres componentes para

mostrar el efecto de las capas de la Tierra debajo de un instrumento.

Generalmente, se usan las ondas P telesísmicas que llegan a una

estación.

La forma de la función receptora depende de ondas convertidas entre P

y S que retumban en la estructura debajo del sismómetro.

Usando este método, se puede encontrar la estructura de la Tierra

debajo de una estación, solamente usando fuentes pasivas.


8.1 Funciones receptoras - teoría

Los rebotes cerca el receptor que generan la forma típica de una

función receptora existen debido a la discontinuidad corteza - manto.

Otras discontinuidades de velocidad a poca profundidad tendrán

influencia sobre la estructura mas finita de la señal.

Las amplitudes de los rebotes dependen del contraste de velocidad en

las interfaces, el tiempo que demoran depende de la profundidad de las

interfases.



Hemos visto en este curso que cada sismograma es una convolución

entre los efectos de la fuente, los efectos de la propagación del rayo, los

efectos de la atenuación y la respuesta del instrumento que mide la

oscilación. Es decir u(t) = s(t) ∗ g(t) ∗ q(t) ∗ i(t).

Los efectos de la propagación depende de efectos cerca la fuente, y

efectos cerca la estación.



Podemos escribir los efectos de la propagación como una combinación

de la estructura a distancia de la estación gd(t) y de la estructura

cercana gc(t).

Debido a las conversiones P - S, la estructura cercana de la estaciónafecta los tres componentes del sismograma en diferentes maneras.Entonces:

uZ(t) = s(t) ∗ q(t) ∗ i(t) ∗ gd(t) ∗ gcZ(t)

uR(t) = s(t) ∗ q(t) ∗ i(t) ∗ gd(t) ∗ gcR(t)

uT (t) = s(t) ∗ q(t) ∗ i(t) ∗ gd(t) ∗ gcT (t) (8.1)

La Tierra se aproxima a una estructura con simetría radial, entonces si

estamos considerando la onda P, esta fase llegará en los componentes

vertical y radial del sismograma. Las conversiones entre las ondas cerca

la estación están P - SV, en el plano del rayo, y entonces el componente

transversal no esta afectado.



Para ver los efectos de propagación cerca la estación, se puede hacer

una deconvolución entre los componentes radial y vertical del

sismograma y ver la señal resultante.

Matemáticamente, la deconvolución esta hecha en el dominio defrecuencia:

ER(ω) =R(ω)Z∗(ω)

Z(ω)Z∗(ω)(8.2)

ω es la frecuencia angular, y Z∗(ω) el complejo conjugado de Z(ω).

Z(ω), R(ω) representan las transformadas de Fourier de los

componentes de movimiento vertical y radial.

La función receptora en el dominio de tiempo es la transformada de

Fourier inversa de ER(ω).


8.2 Funciones receptoras - resultados

En la función receptora, note la ausencia de la fase PpPmp porque

aparece en ambos componentes radial y vertical.



Si la estructura debajo de una estación no tiene variaciones laterales,

entonces las funciones receptoras de diferentes eventos, con un

diferente azimut entre la estación y el epicentro, deberían ser iguales.

Se puede amontonar muchas funciones receptores de la misma estación

para identificar las características claves de la función.





Se puede tomar cortes transversales de varias funciones receptoras

(migradas) para ver las discontinuidades de velocidad que están

presentes en la zona de estudio.

Las funciones receptoras siempre están usadas para encontrar

discontinuidades como el Moho y como su profundidad varía con

distancia a lo largo del corte transversal.


9 La dispersión de ondas de superficie

Para una onda dispersiva, el desplazamiento en una cierta posición y

tiempo es determinado por la integral sobre todas las frecuencias que

contribuyen a la onda.

u(x, t) =

∫ ∞

−∞

A(k)ei(kx−ωt)dk (9.1)

La amplitud, A(k), varía lentamente en comparación con la fase

Φ = (kx− ωt). Este implica que el integral solamente contribuye al

sismograma cuando (kx− ωt) es constante.

Cuando la fase esta estacionaria,

dΦdk

= ddk

(kx− ωt) = x− dωdk

t = x− Ut = 0

=⇒ U ≡ dωdk

∣

∣

∣

k0

= xt

(9.2)

U es la velocidad del grupo, corresponde a la frecuencia ω0, o el

número de onda k0. En un sismograma con posición (x, t), hay

contribución al sismograma u(x, t) de una frecuencia ω0.Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismologıa Aplicada y de Exploracion, Clase 12 – p. 1/10

9.1 Teoría

Se puede hacer una expansión de Taylor alrededor de ω0:

kx−ωt = (k0x−ω0t)+(k−k0)d

dk[kx−ωt]k=k0

+1

2(k−k0)

2 d2

dk2[kx−ωt]k=k0

+...

(9.3)

En esta expansión,

d

dk[kx− ωt]k=k0

= 0

y

d2

dk2[kx− ωt]k=k0

=d

dk[x− Ut]k=k0

= −tdU

dk

∣

∣

∣

∣

k=k0

Entonces:

u(x, t) =∫∞

−∞A(k0)ei(k0x−ω0t) exp

−i 12(k − k0)2

dUdk

t

dk

= A(k0)ei(k0x−ω0t)∫∞

−∞exp

−i 12(k − k0)2

dUdk

t

dk(9.4)


Intermezzo

Se requiere un cambio de variable: ξ2 = (1/2)(k − k0)2(dU/dk)t

Entonces podemos escribir la ecuación (9.4) como:

u(x, t) = A(k0)ei(k0x−ω0t)

∫ ∞

−∞

exp

−iξ2 dk

dξdξ

Y con un poco de manipulación:

d[ξ2]dk

= 2ξ dξdk

= (k − k0)dUdk

t+ 12(k − k0)2

0

ddk

dUdk

t

dξdk

=(k−k0)

dU

dkt

2ξ

dξdk

=(k−k0)

dU

dkt

2√

(1/2)(k−k0)2(dU/dk)t

dξdk

=

√t√

dU

dk√2

En esta expresión cabe recordar que dU

dkes una constante en ω0.


9.1 Teoría

Entonces la ecuación (9.4) se reduce al

u(x, t) = A(k0)ei(k0x−ω0t)[

t2

dUdk

]−1/2

k=k0

√iπ

∫∞

−∞e−iξ2dξ

= A(k0)ei(k0x−ω0t)[

t2

dUdk

]−1/2

k=k0

(iπ)1/2(9.5)

Tomando la parte real de la ecuación:

u(x, t) = A(k0)

[

2π

(x/U)(dU/dk)

]1/2

cos(k0x− ω0t± π/4) (9.6)

Para un cierto (x, t), la energía de la onda dispersiva esta contenida en

la forma de una oscilación de frecuencia ω0, que corresponde ad

dk(kx− ωt) = 0.

La amplitud más grande en el sismograma corresponde al dU

dk= 0, y es

la fase de Airy. (Para calcular la amplitud de la fase de Airy, es

necesario tomar el próximo término en la expansión de Taylor (9.3)).


9.2 Análisis: velocidad de grupo

Velocidad de Grupo: La fase de la onda dispersiva esta dada por

Φ = kx− ωt+ φ± π/4 (9.9)

φ es la fase original de la onda que es típicamente desconocida.

Para la velocidad de grupo, se necesita que la fase es estacionaria

(dΦdk

= 0), entonces

ddk

(kx− ωt+ φ± π/4) = 0

x− dωdk

t+ dφdω

dωdk

= 0

Y, recordando que U = dω

dk,

U =x

t− dφdω

≈x

t(9.10)

En la última ecuación, se supone que la fase introducida por la fuente

del terremoto no cambia con la frecuencia angular.



El método más simple para medir U de un sismograma es medir los

tiempos de un periodo de la onda de superficie. Para una llegada a

tiempo ti, el intervalo ti+1 − ti−1 es una estimación del periodo T de la

llegada a ti. La velocidad del grupo entonces es U(T ) = x/ti. La

curva de U(T ) puede ser modelada para obtener la estructura en

promedio de la región donde pasa la onda. Además, varias curvas de

U(T ) de caminos de propagación que se cruzan dentro de un área

pueden ser usadas para tomografía de las ondas de superficie.



Ejemplos de las curvas de dispersión para unas diferentes regiones de la

Tierra.


9.2 Análisis: velocidad de fase

Velocidad de Fase: Para encontrar la expresión para la velocidad de

fase para una onda dispersiva a un cierto periodo (es decir,

c(T0) = ω0/k0 = 2π/T0k0), hay que considerar la propagación de la

misma fase. En términos matemáticos, buscamos soluciones para

Φ = 2Nπ y la ecuación (9.9), con esta condición, reduce al:

k0x− ω0t+ φ± π/4 = 2Nπ (9.11)

El el siguiente manipulación de la ecuación (9.11) se usa

c(T0) = ω0/k0 y 1/k0 = [c(T0)T0]/2π

x− ω0

k0t+ φ

k0± π

41k0

= 2Nπk0

x− c(T0)t+c(T0)T0φ

2π± π

4c(T0)T0

2π=

2Nπc(T0)T0

2π

con el siguiente resultado (donde φ′= φ/2π)

c(T0) =x

t− (φ′ −N ± 1/8)T0

(9.12)


9.2 Análisis: velocidad de fase

Siempre se usa la propagación de una onda de superficie entre dos

estaciones para calcular la velocidad de fase (que existe en el medio

entre las dos estaciones).

(A:) k0xA − ω0tA + φA ± π/4 = 2NAπ

(B:) k0xB − ω0tB + φB ± π/4 = 2NBπ

La fase asociada con la fuente del terremoto es la misma (para el

mismo evento), entonces si consideremos la propagación entre las dos

estaciones, con ∆N = NB −NA el número de ciclos que separa unafase particular en las dos estaciones,

c(T0) =∆x

∆t+∆NT0(9.14)


9.3 / 9.4 Estudios de casos

En la guía del curso existen dos estudios de los casos de Hawái y el

Pacífico en general. Les ruego revisar estos casos, no les pondré aquí

para evitar imprimir las mismas imágenes en color dos veces.


10 Interferometría sísmica

En sismología, mucha de la señal registrada en una estación sísmica es ruido

ambiental, generado por vibraciones (agua, aire, flora y fauna) bastantes

aleatorias. Un método moderno en sismología es usar esta señal para

determinar las propiedades de la Tierra en que se propaga el ruido. Este tiene

varias ventajas.


10.1 La función de Green en sismología

Existe una función G(~x, t) que podría estar usada para describir la

propagación de ondas dentro de la Tierra. Por ejemplo

G(~x, ~x′; t, t′)− c2∇2G(~x, ~x′; t, t′) = δ(~x− ~x′)δ(t− t′) (10.1)

representa la situación fuente puntual −→ receptor.


10.2 Caso 1-dimensional

(a) Un frente de ondas que sale de la posición xS en un tiempo t = 0 a una

velocidad c. (b) describe la respuesta observada en la estación A; (c) la

respuesta para la estación B. Finalmente, (d) muestra el resultado de la

correlación cruzada entre las señales en A y B.



G(xA, xS , t) es la respuesta captada en la estación xA a la señal

originada en xS

G(xB , xS , t) es la respuesta captada en la estación xB a la señal

originada en xS

Para una fuente de ruido más simple:

G(xA, xS , t) = δ(t− tA), con tA = xA−xS

cy c la velocidad de las

ondas.

G(xB , xS , t) = δ(t− tB), con tB = xB−xS

cy c la velocidad de las

ondas.

La idea de interferometría sísmica es obtener la función de Green que existe

entre las estaciones A y B. Para obtenerla, es necesario hacer la correlación

cruzada entre las señales recibidas.


Intermezzo: correlación cruzada

CCfg(t′) =

∫∞

−∞

f(t)g(t+ t′)dt (10.2)

La correlación cruzada entre las funciones de Green en A y B sería, con

G(xB , xS , t) = f(t) y G(xA, xS , t) = g(t),

G(xB , xS , t) ∗G(xA, xS ,−t) = f(t) ∗ g(−t) = CCfg(t′) (10.3)

Se puede mostrar que

G(xB , xS , t) ∗G(xA, xS ,−t) = G(xB , xA, t′) (10.4)

G(xB , xA, t) representa la respuesta captada en la estación xB a la

señal originada en xA. Esta relacionada con las propiedades sísmicas

de la Tierra entre las dos estaciones A y B.



(a) y (b) representan dos señales registradas en dos estaciones, donde el ruido

viene de una fuente a la izquierda de la estación A. (c) es la correlación

cruzada entre las trazas, se puede apreciar que esta función representa la señal

considerando una estación como una fuente, y la otra como un receptor. La

demora del tiempo es el tiempo de viaje de una onda entre las dos estaciones.



(a) y (b) representan dos señales registradas en dos estaciones, donde el ruido

ahora viene de ambos lados. (c) es la correlación cruzada entre las trazas.

La correlación cruzada debe ser simétrica si las amplitudes de la fuentes de

ruido están similares en ambos lados.



El ruido sísmico proveniente de diversas fuentes no correlacionadas aleatorias

que están distribuidas espacialmente alrededor de los receptores.

La contribución a la correlación cruzada viene de las fuentes que

emiten en la misma línea recta que une las dos estaciones.

Las fuentes que emiten ondas con una trayectoria diferente a ese ángulo

se cancelan.



La correlación cruzada, entre las señales de ruido que están registradas en dos

estaciones, tiene dos peaks con un tiempo de demora en la función de

correlación que depende de la velocidad del medio entremedio de las

estaciones.

¿Qué significa “active” y “passive” en este contexto? ¿Por qué las señales

muestran diferencias entre las dos.


10.4 Interferometría de coda

En el caso de interferometría, la coda que uno considera es el decaimiento

“exponencial” en la función de correlación cruzada entre un par de estaciones.

Se puede mostrar que, para la coda de esta función, la perturbación del

“tiempo de viaje” asociada con el tiempo de demora esta directamente

asociada con la perturbación en la velocidad del medio entre las dos

estaciones, es decir

δv

v= −

< τ >

t(10.5)

Se puede determinar este factor de estiramiento entre dos diferentes días que

entrega la información sobre el cambio en la velocidad del medio entre estos

días.Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismologıa Aplicada y de Exploracion, Clase 13 – p. 10/12


En (a) se muestra dos funciones que muestran la coda de la función de

correlación cruzada. Las dos funciones están calculados por distintos días del

año, y se nota que la función por uno de los días esta estirada comparada con

la otra función. En (b) se calcula teóricamente la cantidad de estiramiento que

requiere un día para mostrar lo mejor similitud con el otro día (mayor

correlación (R)). Note que la cantidad de estiramiento es expresada como una

perturbación de velocidad.



Las perturbaciones en velocidad calculados usando la red IPOC entre 2006 y

2011. Existe una variación periódica anual para la velocidad sísmica en la

zona; también se puede ver una disminución en velocidad del medio cuando

ocurrió el terremoto de Tocopilla, lo que se reajuste dentro de un par de años.


11 Reflexión y transmisión en interfases

La aproximación de rayos es una solución válida para la ecuación de

ondas cuando la frecuencia es suficientemente alta para que los

parámetros elásticos del medio, y la amplitud de la onda, no cambien

apreciablemente en una longitud de onda.

En fronteras entre dos diferentes medios, como corteza-manto, existen

grandes contrastes de velocidad.

En estas fronteras se pueden aplicar condiciones de borde para calcular

como se transmiten o reflectan las ondas sísmicas.

En el anexo A, se muestra que una consecuencia de la continuidad de

desplazamiento y tracciones en una interfase es que k1, el componente

del vector de onda en la dirección horizontal, debe ser igual para cada

onda reflectada o transmitida en una interfase.

Esta condición nos entrega la ley de Snell:

sin i1

α1=

sin i2

α2=

sin j1

β1=

sin j2

β2(A.6)


11.1 SH reflexión y transmisión

La reflexión y transmisión de ondas SH es el caso mas simple, porque

no es acoplado al sistema P-SV.

En el medio 1, existe una onda incidente y una onda reflectada.

u①

2 (x1, x3, t) = B1ei(k1x1+k1rβ1

x3−ωt) +B′

1ei(k1x1−k1rβ1

x3−ωt)(11.2)

En el medio 2, existe una onda transmitida.

u②

2 (x1, x3, t) = B2ei(k1x1+k1rβ2

x3−ωt)(11.3)



Consideremos una interfase fusionada, es decir que el medio mueve en

tal manera para que no aparece rasgaduras en la interfase entre los dos

medios (una buena aproximación para interfases dentro de la Tierra

sujetas a grandes presiones).

Esta suposición introduce una condición de borde: la continuidad de

desplazamiento a través de la interfase.

Definimos la interfase en una posición x3 = 0. Podemos usar un valor

distinto de cero aquí pero el resultado no cambiará (solamente los pasos

intermedios se pongan un poco mas complejo).

u①

2

∣

∣

x3=0= u②

2

∣

∣

x3=0

=⇒ (B1 +B′

1)ei(k1x1−ωt) = B2e

i(k1x1−ωt)

=⇒ B1 +B′

1 = B2

(11.4)

Se puede ver que esta condición de borde introduce una relación entre

las amplitudes de la ondas incidente, reflectadas y transmitidas.



Para cumplir la primera condición de borde, requerimos además la

continuidad de tracciones a través de la interfase.

Las tracciones, las fuerzas por unidad de área, que actúan en la interfase

(con vector normal en la dirección vertical), están

Ti = σijnj = (σ13, σ23, σ33) (11.5)

Para el caso SH, σ13 = σ33 = 0, entonces estos componentes están

automáticamente continuos.

Para la continuidad de σ23 = 2µǫ23 = µ

(

∂u2

∂x3

+

0

∂u3

∂x2

)

= µ∂u2

∂x3

µ1ik1rβ1(B1 − B

′

1)ei(k1x1−ωt) = µ2ik1rβ2

B2ei(k1x1−ωt)

=⇒ (B1 − B′

1) = B2

(

µ2rβ2

µ1rβ1

)

(11.7)



Recuerden que

rβ =k3

k1=

(

c2

β2− 1

)1/2

(A.4)

con

c =β

sin j

Entonces si las propiedades físicas de las dos medios, y el ángulo de

incidencia de la onda SH, están conocidos, podemos calcular las

amplitudes relativas entre B1, B′

1y B2. Estas son los coeficientes de

reflexión y transmisión para el caso SH.

R11

′ =B

′

1

B1=

µ1rβ1−µ2rβ2

µ1rβ1+µ2rβ2

T12 = B2

B1=

2µ1rβ1

µ1rβ1+µ2rβ2

(11.8)



Podemos explícitamente escribir los coeficientes en términos del

ángulo de inclinación de las ondas, y las densidades y velocidades de

los medios. Usamos

rβi=

√

c2

β2

i

− 1 =√

1sin2 ji

− 1 =√

1−sin2 jisin2 ji

= cos jisin ji

≡βi

sin ji

cos jiβi

= P−1 cos jiβi

con P el parámetro del rayo, constante para los dos medios debido al

ley de Snell, y

µi = β2i ρi

Entonces:

R11

′ = ρ1β1 cos j1−ρ2β2 cos j2ρ1β1 cos j1+ρ2β2 cos j2

T12 = 2ρ1β1 cos j1ρ1β1 cos j1+ρ2β2 cos j2

(11.10)



Cosas que notar:

1 +R11

′ = T12.

Hay mayor reflexión cuando hay mayor diferencia entre los medios.

Cuando µ2 = 0 para una superficie libre, hay reflexión total interna con

R11

′ = 1. (¿Qué significa T12 = 2 en este caso?)

La solución cuando el medio 1 ≡ el medio 2 es la solución que se

esperaba.

Con mayor ángulo de incidencia, hay mayor reflexión. Entonces es

posible tener ondas atrapadas en capas de baja velocidad (estilo guía de

ondas).

Sedimentos poco consolidados pueden amplificar ondas sísmicas que

vienen de la roca madre (se ve eso en una tarea).







Existe un ángulo crítico que produce una transmisión horizontal

j2 = 90.

Este ángulo crítico se define: β1

sin jc= β2.

Para ángulos de incidencia mayor que el ángulo crítico, es decir cuandoj1 > jc,

u②

2 = B2ei(k1x1+k1rβ2

x3−ωt)(11.11)

con rβ2imaginaria.

En el medio 2, la amplitud de la onda decae exponencialmente con

distancia de la interfase. Es decir, es una onda evanescente que es

“atrapada” cerca la interfase.


11.2 El caso P-SV

La guía contiene más información sobre la interacción P-SV, que sigue los

mismos principios.


12 Reflexión sísmica

La reflexión de ondas en interfases se usa para construir imágenes de

las capas estratigráficas debajo de la superficie de la Tierra.

Seismic line SPOC-42 crossing a normal part of the continental slope at

around 38S. VE, vertical exaggeration.

Geersen, J. et al. Pleistocene giant slope failures offshore Arauco

Peninsula. Journal of the Geological Society, London, Vol. 168, 2011,

pp. 1237-1248.


12.1 Tiempo de viaje para una capa

La onda directa: Una onda P (o S) que viaja dentro de la Tierra

directamente entre la fuente y el receptor.

Ruido superficial: O “ground roll”. Una onda quasi-Rayleigh, que se

propaga por la superficie con una velocidad menor que la de la onda

directa.

La reflexión: El tiempo de viaje está dado por

tref =

√4z2 + x2

v1

≡

√

t20+

x2

v21

(12.1)



En el caso de un estudio de reflexión sísmica x/v1t0 << 1; es decir

que los ángulos de incidencia de las reflexiones son bastante pequeños.

En este caso,

tref = t0

[

1 +

(

x

v1t0

)

2] 1

2

≈ t0

[

1 +1

2

(

x

v1t0

)

2

+ ...

]

(12.2)

Y podemos definir el término “normal moveout” (NMO) que es la

diferencia entre el tiempo de viaje de la reflexión que llega a la

distancia horizontal x, y el tiempo de viaje de la reflexión que llega a

una distancia de cero:

tref − t0 =x2

2v21t0

(12.3)

NMO es una medida del tiempo adicional para que la señal sísmica

viaja por un camino no vertical.



El imagen muestra datos sintéticos para la reflexión de una capa. Note

que la disminución en la velocidad con profundidad a través de la

interfase da una polarización negativa para la reflexión.


12.2 Tiempo de viaje para múltiples capas

Cuando se consideren múltiples capas, la complejidad de la situación

aumenta un poco.

Polaridades y amplitudes de reflexión depende del cambio en la

propiedades del medio a través de las interfases.

Se nota que las reflexiones que vienen de una interfase más profunda

tienen menos NMO.

Una reflexión de gran amplitud de una interfase puede “esconder” las

interfases a mayor profundidad. Para penetrar a mayores profundidades

en la Tierra, hay que usar fuentes mas grandes.

Para una fuente, los rayos rebotan a diferentes puntos en las superficies

de los reflectores (que complica cosas cuando las interfases no son

horizontales).

Existen múltiples reflexiones de la misma capa, y hay que asegurar que

no son interpretadas como una reflexión de una capa a mayor

profundidad.



(Cabe mencionar que múltiples rebotes en las capas no se muestran en este ejemplo simplificado.)



El imagen muestra los resulta-

dos actuales de un disparo.

La onda directa es la

primera en llegar.

Reflexiones

denominadas B, C, D, E.

Ruido superficial

marcado por A.


12.3 Velocidad interna y promedio

La i-ésmia capa tiene un espesor zi y una velocidad vi.


12.3 Velocidad interna y promedio

La onda sísmica se demora un tiempo τi en la i-ésmia capa.

Podemos definir una velocidad promedio:

V =

∑

zi∑

τi

=

∑

viτi∑

τi

(12.4)

También podemos tomar el promedio de la raíz cuadrada media (rms)de la velocidad:

Vrms,n =

[∑n

i=1v2

i τi∑n

i=1τi

]

1

2

(12.5)


12.4 La ecuación de Dix

Con múltiples capas, se puede mostrar que el el NMO para la n-ésima

reflexión es

∆tn = t− tn =x2

2tnV 2rms,n

(12.6)

(No se muestra explícitamente esta ecuación, pero involucra el uso de la ley de Snell.)

Para cada interfase, podemos medir el NMO a una distancia x, y usarles

para obtener la rms de la velocidad en las capas hasta la interfase.

Vrms,n =

√

x2

2tn∆tn(12.7)

Para cambiar entre las velocidades absolutas y las velocidades rms, se

usa la ecuación de Dix.

vn =

[

V 2rms,ntn − V 2

rms,n−1tn−1

tn − tn−1

] 1

2

(12.8)


12.4 La ecuación de Dix

La ecuación de Dix es una ecuación recursiva. Para saber la velocidad

dentro de una capa, hay que saber las velocidades y espesores de todas

las capas encima de ella.


12.5 Reflexiones múltiples

La existencia de múltiples complica perfiles de reflexión. Existen

métodos de procesamiento de datos para tomarles en cuenta (en una

palabra: deconvolución).


12.6 Reflectores inclinados

La existencia de capas inclinadas debajo la superficie también complica

los perfiles de reflexión. El procesamiento de datos que involucra capas

inclinadas se llama “migración”.


12.7 Fuentes de energía sísmica

Fuentes de energía sísmica para el método de reflexión sísmica

deberían estar económicas, no-destructivas y repetibles.

En la tierra, se pueden usar explosivos (sólo ondas P) o martillos de aire

comprimido (ondas P y S).

En el mar, se pueden usar cañones de aire comprimido.


12.7 Fuentes de energía sísmica

Los cañones de aire sólo generan ondas compresionales, y los

receptores en el mar son hidrófonos que miden la presión de agua.

Noten que, a mayor costo, es posible poner sismómetros de tres

componentes en el fondo del mar (OBS) para recibir las reflexiones

sísmicas.


12.8 Recolectar datos sísmicos

Se pueden usar múltiples disparos y múltiples receptores para seguir las

reflectores lateralmente.

Los puntos de reflexión de los diferentes disparos pueden coincidir,

llamados puntos de medio común (common mid-point). Aplicando

correcciones NMO y promediando las reflexiones mejora la señal.


12.9 Perfil de punto medio común


12.10 Deconvolución

El proceso de deconvolución puede ser usado para eliminar los efectos

de la fuente. Por ejemplo, la oscilación de aire dentro de un cañon de

aire produce una fuente complicada.

(a) Una función típica de la fuente en un experimento marino, s(t). (b) Un

ejemplo de la repuesta de las capas en la Tierra, G(t), que muestra varios

pulsos reflectados. (c) La convolución de (a) y (b), u(t).


12.10 Deconvolución

En el dominio de frecuencia, se puede obtener la señal sin los efectos

de la fuente.

G(ω) =u(ω)

s(ω)

Si no se elimina los efectos de la fuente, es difícil distinguir reflectores

con poca separación.

Izquierda: perfil sin deconvolución. Derecha: la misma perfil después de la

deconvolución.


12.12 Exploración de hidrocarburos

Cabe mencionar que se debe aplicar una técnica más, llamada

migración sísmica, para reflectores inclinados (sección 12.11 en la

guía).

Los perfiles de reflexión compiladas pueden estar usadas para buscar

hidrocarburos y/o gas. El costo de perforaciones es alto, entonces

cualquier pista que ayuda la busqueda sirve económicamente.

Las siguientes diapositivas muestran unos ejemplos de perfiles sísmicas

tomados en reservorios. Para más información, se puede consultar a la

guía, o al libro del curso.

Los datos sísmicos pueden entregar evidencia directa por la presencia

de hidrocarburos (puntos brillantes, interfases de petroleo-agua).

Los datos sísmicos pueden entregar evidencia indirecta por la presencia

de hidrocarburos (arrecifes, trampas estructurales).


12.12 Interfaz petroleo-agua

Ejemplo viene del Mar del Norte

¿Por qué esta interfaz produce una reflexión?

¿Por qué esta interfaz es horizontal?


12.12 Trampas extensionales


12.12 Trampas extensionales

Ejemplo viene del yacimiento de Brent, Mar del Norte

El reservorio se ubica en un anticlinal.

La forma de la trampa es roca sin porosidad encima de sedimentos

porosos inclinados.


12.12 Arrecifes

Ejemplo viene de Intisar D, Libya

Arrecifes enterrados siempre presentan una zona de alta porosidad en

capas impenetrables.


12.13 Ejemplo de un estudio científico

Geersen, J. et al. Pleistocene giant slope failures offshore Arauco

Peninsula. Journal of the Geological Society, London, Vol. 168, 2011,

pp. 1237-1248.








Intermezzo: Snell

Debido a la ley de Snell, el parámetro del rayo,p =sin i

c, no cambia

cuando la onda pasa al segundo medio.

Además, la frecuencia de la onda no cambia (la cantidad de frentes deondas entrando al interfase por segundo es igual a la cantidad saliendo;también se puede usar un argumento en la escala atómica en lainterfase).

Universidad de Concepcion, Geofısica, 513430 Sismolog´ıa Aplicada y de Exploracion, Intermezzo sobre la ley de Snell – p. 1/3

Intermezzo: SnellEn el medio 1:

sin i =k1

√

k21 + k23

y

ω = c|k| = c

√

k21 + k23

entonces el parámetro del rayo es:

p =sin i

c=

k1√

k21 + k23÷ ω

√

k21 + k23=

k1

ω

Ni el parámetro del rayo ni la frecuencia cambia cuando las ondas seinteractúan en la interfase, entoncesk1 se conserva para una onda cuando sepasa al otro medio.


Intermezzo: Snell

Se puede definir la razón entrek3 y k1 en la siguiente manera:r =k3

k1

. Sepuede ver quer define el ángulo del rayo con el vertical:

sin i =k1

√

k21 + k23=

1√1 + r2

y una onda que se propaga en el planox1 − x3 (en la dirección+x1, +x3), seescribe:

u = Aei(k1x1+k1rx3−ωt)

Si la velocidad del medio cambia, el ánguloi cambia debido a la ley de Snell.Entoncesr varia para distintos medios. Tambiénr es distinto para ondasP ySV que están acopladas en un sistema.Para mayor detalle, se puede ver el Anexo A en las apuntes, queademás usalas condiciones de borde en las interfases para demostrar lalay de Snell.


Documents

513430 - Sismología Aplicada y de Exploración Apuntes ...mttmllr.com/sismologia_files/513430sae_diapositivas.pdf · Usamos el teorema de divergencia de Gauss, H S ainidS = R V ∂a