51329866 Simulacion de Sistemas de Telecomunicaciones Isbn978 958 4

5/16/2018 51329866 Simulacion de Sistemas de Telecomunicaciones Isbn978 958 4 - slidepdf.com

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PREFACIO

El proposito fundamental de los autores de esta obra ha sido preparar untexto dirigido a docentes y estudiantes del area de la ingenierıa, especıfi-camente en el area de las Telecomunicaciones, en donde se presentan laspautas que permitan realizar simulaciones de este tipo de sistemas deuna forma amena, clara y sencilla, que las haga atractiva para todosy sobre todo que permita obtener el verdadero provecho de este tipode herramienta en cualquier campo de la ingenierıa. Es de anotar queen muchos campos de la ingenierıa, un gran inconveniente que se hapresentado es el como representar el comportamiento de un sistema enparticular y las variables que lo afectan, es por eso que este texto nosbrinda los mecanismos y bases conceptuales para poder realizar estaactividad. Nuestro deseo es que los lectores puedan descubrir en estaspaginas las ventajas y aplicaciones que la simulacion puede representaren los respectivos campos de la ingenierıa, aunque los ejemplos y activi-dades de simulacion aquı presentadas se inclinan mas al campo de lastelecomunicaciones no quiere decir que no se pueda aplicar a otras ramas.

El libro se encuentra disenado y escrito de una manera didactica. Al ini-cio de cada capıtulo se contextualiza el concepto de una forma general yse va llevando al lector a que lo comprenda y maneje en una forma pro-gresiva, hasta que lo interprete mediante el analisis de algunos ejemplosimplementados; finalmente se propone el desarrollo de algunos ejerciciospor parte del lector para reforzar los conocimientos adquiridos.

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INDICE

PREFACIO i

1. INTRODUCCION 11.1. Simulaciones determinısticas y estocasticas . . . . . . . . 51.2. El papel de la simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3. Por que simular? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1. Naturaleza de los sistemas: variabilidad, relaciones

y complejidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2. Ventajas de la simulacion . . . . . . . . . . . . . 111.3.3. Desventajas de la simulacion . . . . . . . . . . . . 12

1.4. La necesidad de la simulacion . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Cuando simular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. MODELOS DE SIMULACION 152.1. Clasificacion de los modelos de simulacion . . . . . . . . 15

2.1.1. Modelos determinısticos . . . . . . . . . . . . . . 152.1.2. Modelos estocasticos o probabilısticos . . . . . . . 152.1.3. Modelos dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.4. Modelos estaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.5. Modelos continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

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iv INDICE

2.1.6. Modelos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2. Simulacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Proceso de desarrollo de una simulacion . . . . . . . . . . 18

2.4. Diagrama de relacion Modelo-Sistema . . . . . . . . . . . 212.5. Seleccion del lenguaje de simulacion . . . . . . . . . . . . 23

2.5.1. Ventajas y desventajas . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6. Caracterısticas de los lenguajes de simulacion . . . . . . 26

2.7. Clasificacion de los lenguajes de simulacion . . . . . . . . 27

2.8. Codificacion y simulacion del sistema. . . . . . . . . . . . 28

2.8.1. Simulacion mediante un lenguaje general . . . . . 28

2.8.2. Simulacion mediante un lenguaje especıfico . . . . 29

2.9. Distribuciones de probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . 292.9.1. Distribuciones continuas . . . . . . . . . . . . . . 29

2.9.2. Distribuciones discretas . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.10. Pruebas de bondad de ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.10.1. Prueba de bondad de ajuste χ2 . . . . . . . . . . 42

2.10.2. Prueba de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov 45

2.11. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3. GENERACION DE NUMEROS PSEUDOALEATO-RIOS 57

3.1. Metodos de generacion de numeros pseudoaleatorios uni-formes en (0,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.1. Metodos congruenciales . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.1.2. Metodo de cuadrados medios . . . . . . . . . . . 60

3.2. Pruebas Estadısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.1. Prueba de medias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.2.2. Prueba de varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.2.3. Prueba de forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2.4. Pruebas de independencia . . . . . . . . . . . . . 66

3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4. METODOS DE GENERACION DE VARIABLESALEATORIAS 77



INDICE v

4.1. Metodo de la transformada inversa para distribucionescontinuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.1.1. Distribucion exponencial . . . . . . . . . . . . . . 80

4.1.2. Distribucion uniforme general (a, b) . . . . . . . . 804.2. Metodo de la transformada inversa para distribuciones

discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814.2.1. Metodologıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824.2.2. Distribucion de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . 82

4.3. Metodo de rechazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.4. Otros metodos estadısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.5. Resumen para distribuciones continuas . . . . . . . . . . 92

4.5.1. Distribucion uniforme general . . . . . . . . . . . 924.5.2. Distribucion exponencial . . . . . . . . . . . . . . 934.5.3. Dsitribucion Normal . . . . . . . . . . . . . . . . 934.5.4. Distribucion Erlang . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5.5. Distribucion Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5.6. Distribucion Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . 944.5.7. Distribucion χ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.6. Resumen para distribuciones discretas . . . . . . . . . . 954.6.1. Distribucion bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.6.2. Distribucion binomial . . . . . . . . . . . . . . . . 954.6.3. Distribucion Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5. VERIFICACION Y VALIDACION DE RESULTDOS 1015.1. Calculo del numero optimo de simulaciones . . . . . . . . 1015.2. Calculo del numero de replicas . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3. Reduccion de la varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.3.1. Muestreo antitetico . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.3.2. Corridas comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.3.3. Muestreo clasificado . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.3.4. Variaciones de control . . . . . . . . . . . . . . . 1075.3.5. Muestreo estratificado . . . . . . . . . . . . . . . 1085.3.6. Muestreo sesgado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.3.7. Variables Antiteticas . . . . . . . . . . . . . . . . 108



vi INDICE

5.3.8. Variables de Control . . . . . . . . . . . . . . . . 1105.3.9. Muestreo por Importancia de Estados . . . . . . . 112

5.4. Validacion de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

5.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6. TENDENCIAS DE LA SIMULACION 1196.1. La modelizacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.1.1. Seleccion del formalismo de modelizacion. . . . . 1206.1.2. Manipulacion del modelo. . . . . . . . . . . . . . 1206.1.3. Construccion modular del modelo. . . . . . . . . . 121

6.2. Marcos experimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.3. Programas de simulacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.4. Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.5. Sensibilidad, Experimentacion y Monitoreo . . . . . . . . 125

BIBLIOGRAFIA 127



CAPITULO 1

INTRODUCCION

La simulacion es una herramienta que proporciona soporte a laplaneacion, dimensionamiento, diseno y evaluacion de sistemas. Laimportacia de la simulacion crece conforme los sistemas actuales setornan cada dıa mas complejos, mas aun cuando su aplicacion nosolamente se restringe a los sistemas de telecomunicaciones.

El objetivo de la simulacion es permitir estudiar el comportamientode un sistema complejo basado en un modelo de simulacion, dichomodelo no es mas que la representacion logica o matematica del sistemay la simulacion es la implementacion de dicho modelo mediante lautilizacion de herramientas computacionales que permitan realizar unarecopilacion de informacion referente al comportamiento del sistema yposterior analisis estadıstico de dichos resultados, con el fin de obtener

las conclusiones respectivas. Una simulacion simplemente pronostica eldesempeno de la operacion de un sistema de acuerdo a un conjuntode entradas especıficas, por ejemplo, la simulacion de un sistemapuede pronosticar cual es el tiempo promedio de espera de un usuariotelefonico en un centro de atencion de llamadas cuando un numeroparticular de operadores son utilizados, la tarea de quien realiza lasimulacion, es determinar el efecto que tiene en el comportamiento del

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sistema (tiempo promedio de espera por cliente) al variar los parametros(cantidad de operadores), por consiguiente, la simulacion tambien puedeverse como un sistema para la toma de decisiones dado que provee las

facilidades necesarias para conseguir el escenario optimo de desempenodel sistema, de acuerdo a lo anterior, la simulacion puede redefinirsecomo el proceso de experimentaci´ on a partir de un modelo simplificadodel comportamiento de un sistema y de su evoluci´ on a traves del tiempo,con el prop´ osito de estudiar su comportamiento y/o de optimizarlo.

Un desarrollo apropiado de una simulacion es similar a la implementacionde un sistema en el laboratorio, las mediciones pueden realizarse facil-mente en varios puntos del sistema estudiado, estudios parametricos sonfacilmente realizados a partir de valores dados, tales parametros, comoanchos de banda de filtros y relaciones senal a ruido, son parametrosque pueden ser variados para permitir el estudio del sistema de acuerdoal cambio de los mismos.

Los conceptos introducidos por la teorıa de sistemas lineales proporcionalas tecnicas para determinar las relaciones existentes entre las entradasy salidas de estos sistemas, todo ese conocimiento permite representar

los modelos de los sistemas tanto en el dominio del tiempo comoen el dominio de la frecuencia, la arquitectura de los sistemas, lascaracterısticas operacionales de los subsistemas en el sistema tales comomoduladores, ecualizadores, codificadores y detalles de los modelos decanal, deben ser entendidos y simplificados previo al desarrollo de lasimulacion, dado que la simulacion puede ser utilizada para determinarlos valores apropiados de los parametros del sistema, pero el rangode valores practico debe ser conocido previamente al desarrollo de lasimulacion. Alguna vision adecuada del comportamiento del sistema esnecesaria para garantizar que la simulacion arroje resultados apropiadosy razonables dentro de un rango de confianza.

Las herramientas para el procesamiento digital de senales (PDS) sonutilizadas para el desarrollo de algoritmos que constituyen el modelo desimulacion del sistema de comunicaciones, este modelo de simulacion



INTRODUCCION 3

frecuentemente consiste en aproximaciones de tiempo discreto delas senales y componentes de tiempo continuo tales como filtros; unconocimiento de las tecnicas de PDS es necesaria para comprender este

tipo de aproximaciones, de hecho, cada bloque funcional en el modelode simulacion es una operacion PDS y por lo tanto las herramientas dePDS proporcionan la tecnica para la implementacion de simulaciones.

Los conceptos de probabilidad y estadıstica tambien son de fundamentalimportancia en el estudio de sistemas a traves de simulacion. Lasmedidas de desempeno de los sistemas de comunicaciones son frecuente-mente expresadas en terminos probabilısticos, como por ejemplo laprobabilidad de error de bit o de error de sımbolo en un sistema decomunicaciones digital, en sistemas con sicronizacion es de especialinteres la probabilidad de error de fase de acuerdo a la necesidad que noexceda un determinado nivel; la teorıa basica de probabilidad aporta elconcepto de variables aleatorias y funciones de densidad de probabilidad,las cuales no permiten ver que los resultados de multiples corridas desimulacion (llamada simulacion estocastica) no es mas que una variablealeatoria, la cual es frecuentemente una medida de la utilidad y precisionde la simulacion.

Las senales y el ruido que se procesan a traves de simulacion, son enmuchos casos muestras de funciones de un proceso estocastico, luego,el desarrollo de algoritmos que produzcan formas de onda que tenganlas propiedades estadısticas adecuadas, requiere conocimiento de losprocesos estocasticos que permiten modelar las senales y el ruido, esto esde especial utilidad cuando se desea realizar la simulacion de canales decomunicaciones, de acuerdo a que la teorıa de los procesos estocasticosproporciona las herramientas que permiten describir estos procesos enel dominio del tiempo (funcion de autocorrelacion) y en el dominio dela frecuencia (funcion de densidad espectral de potencia), igualmenteen el dimensionamiento de los sistemas de comunicaciones, los proce-sos estocasticos permiten modelar el trafico que cursa a traves de una red.

Algunos de los conceptos basicos de la teorıa de numeros proporcionan



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las herramientas para la generacion de numeros aleatorios, estos numerosson la base fundamental de los genradores de senales y formas de ondaque representan senales digitales, secuencias, ruido e interferencia,

ası como en el caso del estudio de sistemas de trafico, representantiempos de llegadas y de atenciones a usuarios del sistema.

La seleccion del lenguaje de simulacion es importante en el desarrollo dela misma, de acuerdo a que las facilidades de implementacion de la simu-lacion y por ende el tiempo de desarrollo de la simulacion se ven afectadaspor esta decision, mas aun, determina los recursos computacionalesrequeridos para el desarrollo de la simulacion y la portabilidad del codigo.

Las herramientas y conceptos de la teorıa de estimacion permiten eva-luar la efectividad de los resultados de simulacion, donde cada corridade simulacion que se realice, produce un valor correspondiente a unavariable aleatoria y esta variable constituye un estimador de una canti-dad buscada, tıpicamente todos los valores producidos por las diferentesreplicas de simulacion, la idea es que el estimador producido sea inses-gado y consistente, estimadores insesgados son aquellos para los cualesel valor promedio de la estimacion es estadısticamente igual al medido,

un estimador consistente es aquel para el cual la varianza del estimadordecrementa en la medida que el numero de corridas de simulacion seincrementa, en otras palabras si se toman 100 medidas independientesdel peso de una persona y estas se promedian, el estimador producido seaproxima de mejor manera al peso real de la persona que el valor obtenidopor ejemplo de una sola medida; la teorıa de la estimacion proporcionala herramientas analıticas necesarias para evaluar la confiabilidad de losresultados de simulacion.



INTRODUCCION 5

Figura 1.1: Areas que involucra la simulacion de los sistemas de comu-nicaciones.

Simulaciónde

Sistemasde

Telecomunicaciones

Teoríade

TelecomunicacionesTeoríadeProbabilidady

ProcesosEstocásticosProcesamientoDigital

deSeñales

TeoríadeEstimación

TeoríaGeneralde

sistemasAnálisisNumérico

Teoríade Tràfico TeoríadeNúmeros

1.1. Simulaciones determinısticas y estocasticas

Existen basicamente dos tipos de simulacion: la simulacion determinısti-ca y la simulacion estocastica. La simulacion determinıstica es tal vezla mas familiar en el entorno de la simulaion de circuitos electricos yelectronicos, como por ejemplo una simulacion de un circuito electricoRC y su respuesta a cierta entrada determinıstica de nuestro interes en

un programa de simulacion como el Pspice, en este caso, un programase desarrolla, el cual representa los componentes del circuito al igualque la entrada, la simulacion genera la corriente que circula a traves delcircuito y consecuentemente los voltajes presentes en cada elemento delcircuito, estos voltajes y corrientes tıpicamente son representadas porformas de onda, el tiempo de duracion de la forma de onda aplicadaa la entrada del sistema se especifica de manera previa al inicio de la



6 El papel de la simulacion

simulacion; por consiguiente, desde que el circuito no varıe y la senalde entrada sea determinıstica e igual siempre que se ejecute una corridade simulacion, los resultados obtenidos siempre seran los mismos, estos

resultados arrojados por la simulacion pueden obtenerse utilizandotecnicas analıticas tradicionales; la simulacion generalmente es utilizadapara la obtencion de resultados en tiempos menores y evitar posibleserrores matematicos que pueden resultar de un proceso de desarrollo delargos y tediosos calculos matematicos.

Si ahora se presume que la entrada al circuito RC es una forma de ondaaleatoria (una funcion muestral de un proceso estocastico), y de igual ma-nera si se presume que la resistencia del resistor es una variable aleatoriadefinida por una funcion de densidad de probabilidad, los resultados de lasimulacion no seran una forma de onda determinıstica y las muestras deesta forma de onda produciran un conjunto de variables aleatorias; estetipo de simulaciones en las cuales se representan cantidades aleatoriashacen referencia a simulaciones estocasticas.

1.2. El papel de la simulacion

La simulacion es utilizada de manera extensa en muchas de las fases dediseno y desarrollo de procesos en sistemas de comunicaciones, mientrasque la simulacion es utilizada de manera primaria para la evaluaciondel desempeno y estudios de mercado, la simulacion puede ser utilizadapara estabelecer procedimientos de prueba, optimizacion, rendimiento,duracion e investigaciones una vez un sistema ha sido implantadoen el campo. Tanto la metodologıa de simulacion como el modelo desimulacion utilizado para representar el sistema dependen de fases como

el diseno, implementacion y ciclo de vida del sistema. La metodologıa desimulacion tambien puede ser gobernada por el flujo de diseno utilizado.

El diseno de un sistema de comunicaciones complejo se realiza de arribahacia abajo (enfoque ”top-down ”), mientras que en la implementacion dehardware frecuentemente se procede de manera inversa, de abajo haciaarriba (enfoque ”down-top”), es por ello que en el caso de los sistemas de



INTRODUCCION 7

comunicaciones se iniciara al nivel del sistema el cual es el mayor nivelde abstraccion, luego se procede hacia abajo en el nivel de subsistema yfinalmente a nivel de componentes. El desarrollo de la simulacion sigue

un enfoque ”top-down .en el cual se inicia con la simulacion a nivel de sis-tema con un elevado nivel de abstraccion, y posteriormente se procede arealizar un modelo cada vez mas depurado llegando a modelos depuradosa nivel de subsistemas y componentes.

1.3. Por que simular?

En orden a dar respuesta a esta pregunta, tres perspectivas son adop-

tadas. Primero, la necesidad de utilizar la simulacion por la naturalezade los sistemas. Segundo, las ventajas de la simulacion sobre las aproxi-maciones para la comprension y mejoramiento del sistema. Finalmente,las desventajas que son intrınsecas a la simulacion de sistemas, las cualesdeben ser aterrizadas para tomar la decision de el cuando simular y cuan-do no.

1.3.1. Naturaleza de los sistemas: variabilidad, rela-

ciones y complejidad.Muchas de las operaciones de los sistemas son objeto de variaciones,estas variaciones pueden ser predecibles e impredecibles, las variacionespredecibles pueden por ejemplo hacer referencia a cambios en la cantidadde entidades que proporcionan un servicio en el sistema de acuerdo alvolumen de servicio requerido por los clientes del mismo; ası mismolas variaciones pueden ser impredecibles tales como los tiempos en-tre llegadas de las solicitudes de servicio al sistema; los dos tipos de

variaciones se presentan en la mayorıa de los sistemas de comunicaciones.

Igualmente, la mayorıa de los sistemas son tambien interconectados, loscomponentes de los sistemas no trabajan de manera aislada y se afectanunos a otros, lo cual significa que un cambio en una parte del sistemaacarrea cambios en otra parte del sistema, por ejemplo si la maquina dellenado en una embotelladora trabaja mas rapido que la maquina que



8 Por que simular?

tapa las botellas, se producira una cola en la maquina de tapado, que sillega a superar el espacio disponible de espera, se generara un fallo delsistema. Por ello es frecuentemente difıcil predecir los efectos de las conex-

iones de un sistema, especialmente cuando la variabilidad esta presente,tomando el ejemplo ilustrado en la figura 1.2, en el cual los clientes sonservidos pasando a traves de tres etapas interconectadas, si cada etapatarda exactamente 9 minutos, y si los clientes llegan exactamente cada10 minutos cual es el tiempo promedio que tarda un cliente en el sis-tema?; la respuesta a esta pregunta es relativamente sencilla dado que sepresume no existe varibilidad en el sistema, luego se puede calcular queun cliente tarda exactamente 27 minutos en el sistema. Pero si ahora sepresume que los tiempos dados son promedios y no valores exactos tantopara las llegadas de los clientes como para las atenciones en cada etapa,el reponder la pregunta con respecto al tiempo que tarda un cliente enel sistema, ya no es un asunto tan simple ya que se presenta variabilidadtanto del tiempo de llegadas de los clientes como del tiempo de serviciode cada etapa del sistema, lo cual implica que se pueden presentar colastanto en la entrada al sistema como entre las etapas internas del sistema,y la respuesta a la pregunta dependera de la variabilidad de los prome-dios y de las distribuciones probabilısticas de los tiempos ademas de las

interconexiones entre las etapas, lo cual hace que sea muy difıcil predecirel comportamiento del sistema global.

Figura 1.2: Ejemplo de un sistema relacionado sujeto a variaciones.

Servicio 1 Servicio 2 Servicio 3LlegadasdeClientes

10 Min.

9 Min. 9 Min. 9 Min.

Muchos sistemas son complejos, para los propositos de este texto lacomplejidad se comprendera como complejidad combinatoria y complejidad dinamica; la complejidad combinatoria hace referencia al numerode componentes de un sistema o al numero de combinaciones posibles delos componentes del sistema. El problema del viajero es de utilidad parailustrar este tipo de complejidad, en este un viajero hace visitas a clientespotenciales durante un dıa, el objetivo es encontrar la ruta mas corta



INTRODUCCION 9

para visitar a los clientes; si hay ocho ciudades (clientes) para visitar,luego el viajero se enfrenta a 2520 posibles combinaciones de rutas(calculadas como (n − 1)!/2), si la cantidad de ciudades se incrementa

tambien lo hara la cantidad de posibles rutas, luego el problema esobjeto de complejidad combinatoria. La complejidad combinatoria seencuentra presente en la operacion de muchos tipos de sistemas, entreellos los sistemas de comunicaciones, por ejemplo una red en la cual lospaquetes son procesados a traves de una serie de enrutadores, una vez unpaquete es procesado en un enrrutador es pasado a culaquier otro de losenrutadores dependiendo del tipo de paquete, del destino hacia el cualse dirige y del algoritmo de enruamiento utilizado, cuando el numerode enrutadores se incrementa tambien se incrementan las posiblesconexiones a una tasa mayor, la figura 1.3 muestra las posibilidades deinterconexion de los enrutadores en una red con dos, tres, cuatro y cincoenrutadores, hay dos interconexions entre dos enrutadores cualquieray el numero total de interconexiones puede calcularse como n(n − 1),donde n es el numero de enrutadores en la red.

De otro lado la complejidad dinamica no necesariamente se encuentrarelacionada con el tamano, la complejidad dinamica surge de la inter-

accion de los componentes del sistema en el tiempo (Sterman 2000),eso puede ocurrir en sistemas que son pequenos o grandes, tıpicamentelos sistemas que presentan altos niveles de interconexiones son sistemasque presentan complejidad dinamica. Senge (1990) ilustra la complejidaddinamica con el juego de ditribucion de cerveza, este representa una sim-ple cadena de distribucion consistente de un minorista, un distribuidor yla fabrica, el minorista ordena cajas de cerveza al distribuidor, el cual ala vez ordena cerveza a la fabrica, existe un retardo entre la realizacionde la orden y la entrega de las cajas de cerveza, el juego demuestra que

una pequena perturbacion en el numero de cajas de cerveza vendidaspor el minorista pueden causar grandes diferencias en la cantidad de ca-

jas almacenadas por el distribuidor y producidas por la fabrica, luego elsistema es objeto de complejidad dinamica.



10 Por que simular?

Figura 1.3: Red de comunicaciones, interconexiones y complejidadcombinatoria.

2 interconexiones

6 interconexiones

12 interconexiones

20 interconexiones

Senge (1990) describe tres efectos de la complejidad dinamica.

Una accion presenta efectos diferentes en una corrida larga y corta.

Una accion presenta un conjunto diferente de consecuencias en unaparte del sistema que en otro



INTRODUCCION 11

Una accion acarrea consecuencias no obvias.

Estos efectos hacen que sea muy difıcil predecir el desempeno de un

sistema cuando se ejecutan acciones en el sistema o se realizan cambios.

1.3.2. Ventajas de la simulacion

La simulacion no es el unico metodo para analizar y mejorar la operacionde un sistema; en particular es posible experimentar con el sistema realo utilizar otra aproximacion como los modelos analogos, luego, cualesson las ventajas de la simulacion sobre estas aproximaciones?

En lugar de desarollar y experimentar con un modelo de simulacion,experimenar con el sistema real puede acarrear consecuencias indeseadassobre el sistema real:

Costos: La experimentacion con el sistema real puede ser costosamas aun cuando se debe interrumpir la operacion normal del sis-tema en el periodo de tiempo de la experimentacion, a su vez estetiempo de experimentacion puede ser prolongado y puede tomar

desde unas semanas hasta algunos meses o anos antes que el de-sempeno deseado del sistema pueda ser obtenido

Tiempo: Dependiendo del tamano del modelo de simulacion y lacapacidad de procesamiento de la computadora en la cual se ejecu-tara la simulacion, esta puede ejecutarse muchas veces mas rapidoque el sistema real, en consecuencia, los resultados respecto al de-sempeno del sistema pueden obtenerse en minutos o tal vez horas.

Control de las condiciones de experimentacion: Cuando se com-paran alternativas de operacion es de gran utilidad controlar lascondiciones bajo las cuales los experimentos se desarrollan y porconsiguiente permitir realizar comparaciones directas, lo cual esdifıcil cuando se experimenta con el sistema real, por ejemplo no esposible controlar las llegadas de solicitud de llamadas a una centraltelefonica cuando se experimenta con el sistema real mientras que



12 Por que simular?

si se simula el comportamiento del sistema es posible realizar talcontrol, ademas existen eventos que en la realidad se presentan enoportunidades extraordinarias, lo cual no da lugar a repetir el expe-

rimento, mientras que en la simulacion puede conseguirse este tipode situaciones y repetir el experimento cuantas veces sea necesario.

Cuando el sistema real no existe la experimentacion directa es imposibley la unica alternativa es el desarrollo de un modelo.

1.3.3. Desventajas de la simulacion

Existen un numero de problemas con el uso de la simulacion, y estos no

pueden ignorarse cuando se toma la decision de realizar una simulacion:

Costos: El desarrollo de la simulacion no es necesariamente baratadados los costos de desarrollo del modelo los cuales pueden serconsiderables de acuerdo al equipo de modeladores requerido.

Tiempo: Es verdad que los tiempos de ejecucion de la simulacionson generalmente menores que los tiempos de experimentacion conel sistema real, pero los tiempos de desarrollo de la misma son

bastante grandes y por lo tanto los beneficios no son inmediatos.

Volumen de informacion: La mayorıa de los modelos de simulacionrequieren de una gran cantidad de datos, estos no siempre se en-cuentran disponibles de manera inmediata.

Requiere experiencia: El desarrollo de un modelo de simulacion esmucho mas que el desarrollo de un programa de computacion o eluso de un paquete software, este requiere conocimientos, habilida-

des, modelamiento conceptual, validacion, estadıstica y otro tipode conocimientos y habilidades de acuerdo al tipo de sistema quese desea modelar

Falso sentido de confianza: Existe una gran tendencia a visualizartodos los resultados arrojados por una computadora como correc-tos, con la simulacion no necesariamente es cierto de acuerdo a



INTRODUCCION 13

las aproximaciones, presunciones y simplificaciones efectuadas enel modelo de simulacion, lo cual implica un nivel de error en losresultados obtenidos.

1.4. La necesidad de la simulacion

Muchas de las operaciones de los sistemas son operaciones alcanzadasa traves de interconexiones; estos sistemas son objeto de variabilidad ycomplejidad, debido a esto es difıcil predecir el desempeno de un sistema.

Los modelos de simulacion sin embargo, son capaces de representar de

manera explıcita las interconexiones y la complejidad de un sistema, porconsiguiente es posible a traves de la simulacion predecir el desempenodel sistema para realizar comparaciones entre diferentes alternativas ydeterminar los efectos de polıticas en el desempeno con miras a la opti-mizacion del sistema.

1.5. Cuando simular

En terminos generales la simulacion es utilizada cuando se requiere elestudio del comportamiento o la optimizacion de sistemas complejos, enlos cuales al evaluar las ventajas y desventajas que ofrece la simulacion,simplemente prevalecen las ventajas.



14 Cuando simular



CAPITULO 2

MODELOS DE SIMULACION

2.1. Clasificacion de los modelos de simulacion

Un modelo es una representacion de la realidad desarrollado con elproposito de estudiarla. En la mayorıa de los analisis no es necesarioconsiderar todos los detalles de la realidad, entonces, el modelo no solo

es un sustituto de la realidad sino tambien una simplificacion de ella. Losmodelos de simulacion son aquellos en los que se utiliza un conjunto desımbolos en lugar de una entidad fısica para representar a la realidad,estos modelos de simulacion se clasifican a su vez como:

2.1.1. Modelos determinısticos

En estos modelos, los valores de las variables no se ven afectados por

variaciones aleatorias y se conocen con exactitud. Un ejemplo es el modelode inventarios conocido como lote economico.

2.1.2. Modelos estocasticos o probabilısticos

Los valores de las variables dentro de un modelo estocastico sufren modi-ficaciones aleatorias con respecto a un valor promedio; dichas variaciones

15



16 Clasificacion de los modelos de simulacion

pueden ser manejadas mediante distribuciones de probabilidad. Un buennumero de estos modelos se pueden encontrar en la teorıa de lıneas deespera.

2.1.3. Modelos dinamicos

La caracterıstica de estos modelos es el cambio que presentan las variablesen funcion del tiempo; son ejemplo de estos los modelos de series detiempo, pronosticos y programacion dinamica.

2.1.4. Modelos estaticos

En este tipo de modelos no se maneja la variable tiempo, esto es, repre-sentan a un sistema en un punto particular del tiempo; son ejemplo losmodelos de programacion lineal.

2.1.5. Modelos continuos

Son modelos en los que las variables pueden tomar valores reales y mane- jarse mediante las tecnicas de optimizacion clasica. Son ejemplos los mod-elos para el estudio de fluidos, intercambio de calor, entre otros.

2.1.6. Modelos discretos

Las variables del sistema toman valores solo en el rango de numerosenteros. Por ejemplo, los modelos que representen la produccion depiezas en una empresa metal-mecanica.

Independientemente de la clasificacion de un modelo, existe una ten-

dencia a seleccionarlos dependiendo de ciertas caracterısticas, las cualeshacen mas deseables algunos modelos sobre otros.

La siguiente lista muestra las caracterısticas principales que debe tenertodo modelo:

Confiabilidad.



MODELOS DE SIMULACION 17

Sencillez.

Bajo costo de desarrollo y operacion.

Manejabilidad.

De facil entendimiento, tanto el modelo como los resultados.

La relacion costo-beneficio debe ser positiva.

2.2. Simulacion

Simulacion es el desarrollo de un modelo logico-matematico de unsistema, de tal forma que se obtiene una imitacion de la operacion deun proceso de la vida real o de un sistema a traves del tiempo. Searealizado a mano o en una computadora, la simulacion involucra lageneracion de una historia artificial de un sistema; la observacion deesta historia mediante la manipulacion experimental, nos ayuda a inferir

las caracterısticas operacionales de tal sistema. En la definicion anteriorse citan dos pasos basicos de una simulacion: a) desarrollo del modeloy b) experimentacion. El desarrollo del modelo incluye la construccionde ecuaciones logicas representativas del sistema y la preparacion deun programa computacional. Una vez que se ha validado el modelo delsistema, la segunda fase de un estudio de simulacion entra en escena,experimentar con el modelo para determinar como responde el sistemaa cambios en los niveles de algunas variables de entrada.

Los terminos ”sistema 2”modelo”tambien son importantes en la defini-cion descrita. Un sistema es una coleccion de variables que interactuanentre sı dentro de ciertos lımites para lograr un objetivo. El modelo porsu parte es una representacion de los objetos del sistema y refleja demanera sencilla las actividades en las cuales esos objetos se encuentraninvolucrados.



18 Proceso de desarrollo de una simulacion

2.3. Proceso de desarrollo de una simulacion

La metodologıa para la creacion y desarrollo se puede resumir en el di-

agrama de flujo mostrado en la figura 2.1, la cual incluye los siguientespasos:

Figura 2.1: Proceso de desarrollo de una simulacion

DefinicióndelSistema

Análisis

FormulacióndelModelo

SeleccióndelLenguaje

CodificacióndelModelo

Validación

Experimentación

Animación

Implantación

MonitoreoyControl




1. Definicion del sistema. Cada estudio debe comenzar con unadescripcion del problema o del sistema. Si la descripcion es dadapor los tomadores de decisiones, el analista debe asegurarse que se

encuentre completa. Es decir, que exista una correcta identificaciondel objetivo, de las variables de decision, las restricciones, la medidade efectividad y las variables no controlables y su comportamientoestadıstico.

2. Analisis del sistema. Deben describirse las interacciones logicasentre las variables de decision, de tal suerte que se optimice la me-dida de efectividad en funcion de las variables no controlables, sinolvidar las restricciones del sistema. Con el fin de analizar un sis-

tema, es indispensable definir algunos terminos. El estado de un sis-tema es el conjunto de variables que definen al sistema en cualquierinstante. Un evento representa un acontecimiento instantaneo quemodifica el estado del sistema. Una actividad representa el tiem-po requerido para llevar a cabo una operacion. Una entidad escualquier objeto dentro del sistema, esta entidad puede ser estaticao dinamica, en este ultimo caso se denota como una transacciony su principal caracterıstica es su movimiento a traves de las en-tidades estaticas del sistema. Las entidades contienen propiedadesllamadas atributos que permiten crear diferencias entre ellas. Porejemplo, si definimos al sistema como una celda flexible de manu-factura, las transacciones son los pallets que se mueven a traves delsistema transportando el material dentro de la celda; los atributospueden ser el tipo de pieza en el pallet, el peso de los pallets, entreotros; las actividades son las operaciones de procesamiento y trans-porte; las entidades estaticas son las maquinas de control numericoo los robots; los eventos son la llegada o salida de un pallet de ca-

da estacion en la celda y, finalmente, las variables de estado sonel numero de pallets esperando en cada estacion o el numero deestaciones ocupadas.

3. Formulacion del modelo. Consiste en generar un codigo logico-matematico que defina en forma exacta las interacciones entre lasvariables; debe ser una definicion sencilla pero completa del sistema.



20 Proceso de desarrollo de una simulacion

Al generar las interacciones es importante tener en cuenta que se vaa llevar a cabo a traves del tiempo y que el uso de listas o cadenasde eventos daran la pauta en el manejo de las variables. Una lista es

un arreglo en el que se van ordenando las transacciones de acuerdocon la secuenciacion de eventos en el tiempo. Existen dos tipos delistas, las llamadas de eventos futuros donde la secuencia dependedel tiempo de ocurrencia del evento, y las de eventos actuales cuyasecuenciacion depende de la ocurrencia de otro evento. Por ejemplo,el evento fin de proceso de la pieza i, depende de la duracion delproceso de esa pieza, por lo que debe acomodarse en la lista deeventos futuros; el evento inicio de proceso de la pieza i, dependedel evento maquina disponible, por lo que debe acomodarse en lalista de eventos actuales.

4. Seleccion del lenguaje. De la seleccion del lenguaje dependera eltiempo de desarrollo del modelo de simulacion, es importante uti-lizar el lenguaje que mejor se adecue a las necesidades de simulacionque se requieran. La seleccion puede ser desde usar un lenguaje ge-neral como lo es BASIC, PASCAL o FORTRAN hasta hacer uso deun paquete especıficamente desarrollado para simular sistemas de

manufactura como el SIMFACTORY o el STARCEL, pasando porlos ya consolidados GPSS, SLAM, SIMAN, SIMSCRIPT, GASP yDYNAMO.

5. Codificacion del modelo. Consiste en generar las instruccioneso codigo computacional necesario para lograr que el modelo puedaser ejecutado en algun tipo de computadora. La duracion de esteproceso esta directamente relacionado con la seleccion del lenguaje,por ejemplo, un modelo que pueda ser codificado en GPSS en 20minutos, podrıa llevar hasta 5 dıas en FORTRAN o PASCAL.

6. Validacion del modelo. Es el proceso que tiene como objetivodeterminar la habilidad que tiene un modelo para representar larealidad. La validacion se lleva a cabo mediante la comparacionestadıstica entre los resultados del modelo y los resultados reales.




7. Experimentacion. En este paso se determinan las diversas alter-nativas que pueden ser evaluadas, seleccionando las variables deentrada y sus diferentes niveles con la finalidad de optimizar las

variables de respuesta del sistema real. El uso de tecnicas comodiseno de experimentos, superficies de respuesta, Sim-plex EVOP,permiten llevar a cabo este procedimiento en forma estructurada.

8. Implantacion. Una vez seleccionada la mejor alternativa, es im-portante llevarla a la practica; en muchas ocasiones este ultimo pasoes el mas difıcil ya que se tiene que convencer a la alta direccion yal personal de las ventajas de esta puesta en marcha. Para esto serecomienda llevar a cabo un proceso de animacion que permita vi-

sualizar el comportamiento de la variables en el sistema. Existen enel mercado paquetes computacionales que permiten hacerlo en pocotiempo y van desde los mas especıficos como es el STARCELL quese aplica a celdas de manufactura, hasta los muy generales como elPROOF Animation que permite animar sistemas sin importar lafuente de donde provenga el codigo de simulador ya que maneja lascomunicaciones con base en archivos tipo texto. Al implantar hayque tener cuidado con las diferencias que pueda haber con respectoa los resultados simulados, ya que estos ultimos se obtienen, si biende un modelo representativo, a partir de algunas suposiciones.

9. Monitoreo y control. No hay que olvidar que los sistemas sondinamicos y con el transcurso del tiempo es necesario modificar elmodelo de simulacion, ante los nuevos cambios del sistema real, conel fin de llevar a cabo actualizaciones periodicas que permitan queel modelo siga siendo una representacion del sistema.

2.4. Diagrama de relacion Modelo-SistemaEl desarrollo detallado de un modelo de simulacion puede visualizarse me-diante un diagrama de actividades conocido como diagrama de relacionmodelo-sistema. El diagrama se muestra en la figura 2.2, donde se puedenidentificar seis actividades primordiales, algunas de las cuales ya fueronmencionadas.



22 Diagrama de relacion Modelo-Sistema

Figura 2.2: Diagrama de relacion modelo-sistema

SistemaReal

ModelodeSimulación

Optimización

Real

OptimizaciónSimuada

DatosHistóricos

Números Aleatorios

Uniformes (0,1)

Pruebasdeajuste

Variables Aleatorias

Simuladas

Métodosde

Transformación

InformaciónReal

ProbabilisticaResultadosReales

ResultadosdeSimulación

DiseñodeExperimentos

Implantación

Réplicas

1. Informacion historica. Es la busqueda fısica de la informaciony en el caso de variables estocasticas, la transformacion a distribu-ciones de probabilidad. Esta transformacion se realiza mediantepruebas de bondad de ajuste como la de Kolmogorov-Smirnov o lade Ji-cuadrada.

2. Generacion de variables aleatorias. Es el modeladomatematico de la informacion real que presenta variabilidad en sucomportamiento. Este modelado se realiza mediante la obtencion

de numeros pseudoaleatorios, su validacion estadıstica y su posteri-or transformacion a otro tipo de variables mediante metodos comola transformada inversa o composicion.

3. Generacion del modelo computacional. Consiste en lacreacion de un modelo mediante el uso de relaciones matematicas,su representacion en una tabla de eventos y su codificacion en el




lenguaje computacional mas adecuado al sistema; en dicho modelose deben colocar las relaciones existentes entre las variables de en-trada y las variables de salida. El tiempo de desarrollo del modelo

computacional dependera de la magnitud del problema, del gradode detalle que se desee obtener y del lenguaje seleccionado.

4. Ejecucion del modelo. Consiste en el manejo del modelo conel fin de que arroje resultados similares a la realidad, tomando encuenta las condiciones iniciales, el tiempo de estabilizacion de lasvariables y la ejecucion de varias replicas.

5. Validacion de resultados. Es la comparacion estadıstica entre

los resultados obtenidos en el sistema real y los del modelo. Estavalidacion puede realizarse a nivel de medias, variancias, forma delas distribuciones, correlacion.

6. Diseno de experimentos. Una vez que el modelo ha sido vali-dado, es necesario experimentar con el fin de optimizar el modelode simulacion; esto se realiza haciendo cambios en las variables deentrada del sistema y observando el comportamiento de la variablede salida. En este punto son utiles las tecnicas de diseno de ex-perimentos, ingenierıa de calidad, superficies de respuesta, simplexEVOP.

2.5. Seleccion del lenguaje de simulacion

En un principio los programas de simulacion se elaboraban utilizandoalgun lenguaje de proposito general como FORTRAN, ALGOL, LP/1,

entre otros. Esto requerıa un gran trabajo de programacion; con el pasodel tiempo se fueron identificando diferentes situaciones, hasta llegara estandarizar ciertas instrucciones de programacion en rutinas biendefinidas. De este concepto nacio el diseno de lenguajes especıficos paraprogramas de simulacion, con los cuales se ha ido facilitando al usuariola programacion de sus modelos.



24 Seleccion del lenguaje de simulacion

La seleccion del lenguaje es el primer paso para transformar todas lasinteracciones del sistema real en ecuaciones matematicas sencillas quelo representen; de esta decision depende la sencillez o dificultad de la

transformacion de la realidad al modelo. Existen dos opciones a seguir yla decision depende principalmente de varios factores:

1. Debe tomarse en cuenta las necesidades especıficas que tratamos desatisfacer y las caracterısticas de las opciones disponibles; es impor-tante conocer la naturaleza del sistema a simular, sus componentes,sus flujos y sus reglas de comportamiento.

2. Es necesario determinar el objetivo que se persigue, definiendo con

mucha precision las respuestas que esperamos de la simulacion.

3. Hay que cuestionarse sobre el metodo de simulacion necesario paraelaborar el modelo requerido para que se puedan descartar todoslos simuladores no apropiados para la metodologıa.

4. Verificar el equipo computacional con el que se cuenta, para estimarel costo de adecuacion del equipo y valorar tiempo y dinero que hayque invertir para capacitarnos en su uso.

5. Estudiar la existencia de documentacion y libros de consulta, larapidez de programacion, la velocidad de respuesta, los formatosde salida y la flexibilidad para hacer cambios.

6. En caso de que exista el lenguaje, es importante evaluar los benefi-cios que aportarıa invertir en dicho lenguaje y considerar que eseanalisis economico podrıa incluso conducir al uso de un lenguajegeneral.

2.5.1. Ventajas y desventajas

Ya sea que se seleccione un lenguaje de tipo general o especıfico, es precisotener en cuenta las ventajas y desventajas de cada uno de ellos; a conti-nuacion se enumeran algunas:




Lenguajes de tipo general

Ventajas

1. Integracion en las computadoras. La mayorıa de las computado-ras que existen en el mercado traen integrado algun lenguaje detipo general, ası, no es necesario realizar algun tipo de inversionadicional.

2. No se requiere capacitacion del programador porque la actividad estraducir operaciones logicas a un lenguaje que conoce y domina.

3. Permiten mayor flexibilidad de programacion que ciertos lenguajesde simulacion.

4. Un eficiente programa escrito en lenguaje general puede tomarmenos tiempo de ejecucion que uno escrito en un lenguaje de simu-lacion.

Desventajas

1. El tiempo de desarrollo y programacion es mayor pues no poseefunciones de simulacion integradas.

2. El analisis de sensibilidad se dificulta despues de programar el sis-tema original ya que se requiere un tiempo de desarrollo alto paramanejar diferentes escenarios.

3. Alta probabilidad de cometer errores en el momento de realizar laprogramacion principalmente a causa de la gran cantidad de ins-trucciones que requiere el uso de este tipo de lenguajes, situacionque puede llegar a traducirse en mayor numero de pruebas de vali-dacion.



26 Caracterısticas de los lenguajes de simulacion

Lenguajes especıficos de simulacion

Ventajas

1. El tiempo de desarrollo de la programacion es muy corto porque setrata de lenguajes sinteticos basados en programacion por bloques osubrutinas, e incluso algunos de ellos estan encaminados al usuario,de tal forma que ya no es indispensable programar.

2. Permite realizar analisis de sensibilidad facilmente y en un cortotiempo; tienen alta flexibilidad para hacer cambios.

3. Integra funciones como generacion de numeros aleatorios, analisis

estadıstico y graficas.

4. Tienen una alta fiabilidad que conduce a una validacion de resul-tados sencilla y rapida.

5. Permite definir y entender mejor el sistema a simular gracias a quese tiene una visibilidad superior de la estructura general del modeloy se aprecian mas facilmente las interrelaciones.

Desventajas

1. Es necesario invertir en la adquisicion del software.

2. Se requiere invertir tiempo y costo en la capacitacion de los pro-gramadores del nuevo lenguaje.

3. La computadora de la companıa y el software a adquirir deben sercompatibles.

2.6. Caracterısticas de los lenguajes de simulacion

En la actualidad los lenguajes que existen en el mercado tienen unaserie de caracterısticas propias que los distinguen de otros, entre esascaracterısticas estan las siguientes:




1. El procedimiento utilizado para generar los numeros aleatorios uni-formes y las variables no uniformes conocidas.

2. La forma de adelantar el reloj de simulacion, que puede hacerse conincrementos de tiempo fijo como en DYNAMO o con incrementosal proximo evento como es GPSS.

3. Las estadısticas que se obtienen y el formato en que se presentanlos resultados.

4. El lenguaje en que esta escrito, lo cual influye en la forma de de-tectar y reportar los errores de logica.

5. Su compatibilidad de comunicacion con determinado tipo de com-putadoras, con otro lenguaje o, simplemente, con el usuario.

2.7. Clasificacion de los lenguajes de simulacion

Los lenguajes de simulacion se pueden clasificar de la siguiente forma:

1. Lenguajes de proposito general. FORTRAN, ALGOL, ASEM-BLER, PL/1, C, PASCAL, BASIC, JAVA, DELPHI,ETC.

2. Lenguajes de simulacion discreta. Enfoque de flujo de transac-ciones: GPSS, BOSS. Enfoque de eventos: GASPII, SIMSCRIPT,SIMCOM, SIMPAC. Enfoque de procesos: SIMULA OPL, SOL,SIMULATE. Enfoque de actividades: CSL, ESP, FORSIM-IV,MILITRAN.

3. Lenguajes de simulacion discreta y continua GASP-IV, C-SIMSCRIPT, SLAM.

4. Lenguajes de simulacion continua Ecuaciones discretas: DSL-190,MIMIC, GHSI, DYHYSYS. Enfoque de bloques: MIDAS, DY-NAMO, SCADS, MADBLOC, CO-BLOC. Simuladores de apli-cacion especıfica. COMNET, NETWORK, PROMODEL, SIM-FACTORY, WITNESS, XCELL, NS-2, LABVIEW,MATLAB, OP-NET.



28 Codificacion y simulacion del sistema.

Ademas, existen actualmente en el mercado un gran numero de simu-ladores con animacion incluida dentro de su sistema. Al adquirirlos hayque tomar en cuenta que la animacion es util para comunicar, en es-

cena, el modelo de simulacion con los administradores y otras personasinteresadas; esto incrementa la credibilidad hacia el modelo y facilita laventa de ideas, sin embargo, la animacion no es un sustituto de un cuida-doso analisis estadıstico de los datos resultantes, ni tampoco una correctaanimacion.es garantıa de la validez del modelo. Algunos de los lengua-

jes de animacion son: PROOF, SIMAN/Cinema, MIC-SIM, EXTEND,XCELL, MAST, WITTNESS, AUTOMATION MASTER, STARCELL,RESQ, PROMODEL-PC, STELLA, MICRO SAINT, GENETIK, AU-TOMOD y SMARTMODELS.

2.8. Codificacion y simulacion del sistema.

Tanto la codificacion como la modelacion del sistema dependen de laseleccion del lenguaje y consisten en la creacion de diagramas de flujo,instrucciones y corridas de simulacion que interrelacionen, en forma pre-cisa, que las variables de entrada sean probabilısticas o determinısticas,

para obtener los resultados deseados. Debido a la naturaleza de la trans-formacion que se lleva a cabo, este es el paso mas difıcil de todos. Noexiste una formula unica para llevar a cabo tal proceso y esta en fun-cion del proceso mental de cada persona y de la experiencia que en estesentido haya logrado obtener.

2.8.1. Simulacion mediante un lenguaje general

En este caso es necesario, antes de empezar la codificacion del modelo,crear la tabla de eventos, que consiste en simular manualmente la in-terrelacion entre las variables para lograr un resultado mediante la colo-cacion de los calculos en forma tabular. Este metodo ayuda en gran me-dida a entender el comportamiento del sistema y simplifica el proceso decodificacion.




2.8.2. Simulacion mediante un lenguaje especıfico

En este caso es suficiente con iniciar la codificacion del modelo, puesto que

el lenguaje proporciona todos los elementos necesarios para que sea desa-rrollada la simulacion del sistema mediante la modificacion de parametrosde comportamiento.

2.9. Distribuciones de probabilidad

Algunos elementos en el comportamiento de un sistema permanecen

sin cambio a traves del tiempo y se conocen como ”parametros”; lossegundos presentan cambios a traves del tiempo y se conocen como”variables”. Por ejemplo, el modelado de un sistema mediante simu-lacion es util cuando la informacion del sistema tiene caracter dinamicoy probabilıstico, debido principalmente a que la interaccion de esainformacion es, por lo general, difıcil de analizar.

La variabilidad que presenta el segundo tipo de datos debe modelarse deacuerdo con ciertas ecuaciones matematicas que sean capaces de repro-

ducirla; en la mayorıa de los casos dicha variablilidad puede clasificarsedentro de alguna funcion de probabilidad. Ası pues, uno de los pasos masimportantes de todo el proceso de modelado estocastico es la busquedade informacion y su analisis estadıstico posterior, basado principalmenteen la clasificacion de cada serie de datos dentro de alguna distribucionde probabilidad. Algunas de las distribuciones mas comunes se analizana continuacion.

2.9.1. Distribuciones continuas

Este tipo de distribuciones se utilizan para modelar la aleatoriedad enaquellos eventos en los cuales los valores de las variables pueden estardentro de un rango de valores reales. A continuacion se describen algunasde las funciones continuas mas utilizadas.



30 Distribuciones de probabilidad

Distribucion uniforme

La grafica de la funcion de densidad de la distribucion de probabilidad

uniforme y la tabla de caracterısticas se muestran a continuacion.

Figura 2.3: Grafica de funcion de densidad uniformef(x)

xa b

Uniforme U(a,b)

Funcion de Densidad f (x) = 1b−a

si a ≤ x ≤ b

Distribucion Acumulada F (x) = x−ab−a

si a ≤ x ≤ b

Parametros a y b son parametros reales

Rango [a, b]

Media a+b2

Varianza (b−a)2

12

Tabla 2.1: Caracterısticas distribucion uniforme




Distribucion exponencial


exponencial y la tabla de caracterısticas se muestran a continuacion.

Figura 2.4: Grafica de funcion de densidad exponencialf(x)

x

1/λ

0

Exponencial Exp(λ)

Funcion de Densidad f (x) = 1λ

e−xλ si x ≥ 0

Distribucion Acumulada F (x) = 1 − e−xλ si si x ≥ 0

Parametros parametro de escala λ > 0

Rango [0,

∞]

Media λ

Varianza λ2

Tabla 2.2: Caracterısticas distribucion exponencial




Distribucion Weibull


Weibull y la tabla de caracterısticas se muestran a continuacion.

Figura 2.5: Grafica de funcion de densidad Weibullf(x)

x0

1.2

1.0

0.9 2.0

α=3,β=1

0.65

Weibull Weib(α, β )

Funcion de Densidad f (x) = αβ −αxα−1e−(x/β )α si x ≥ 0

Distribucion Acumulada F (x) = 1 − e−(x/β )α si x ≥ 0

Parametros parametros de escala y forma α >0, β > 0

Rango [0, ∞]

Media β αΓ( 1α)

Varianza β 2

α

2Γ( 2

α) − 1

α

Γ( 1

α)2

Tabla 2.3: Caracterısticas distribucion Weibull




Distribucion triangular


triangular y la tabla de caracterısticas se muestran a continuacion.

Figura 2.6: Grafica de funcion de densidad triangularf(x)

x0 a b c

Triangular Trian(a,b,c)

Funcion de Densidad f (x) =

2(x−a)

(c−a)(b−a)si a ≤ x ≤ b

2(c−x)(c−a)(c−b)

si b ≤ x ≤ c

Distribucion Acumulada F (x) =

(x−a)2

(c−a)(b−a)si a ≤ x ≤ b

1 − (c−x)2

(c−a)(c−b)si b ≤ x ≤ c

Parametros parametros de escala y localizacion σ, µ

Rango [a, c]

Media µ

Varianza σ2

Tabla 2.4: Caracterısticas distribucion triangular




Distribucion normal


normal y la tabla de caracterısticas se muestran a continuacion.

Figura 2.7: Grafica funcion de densidad normalf(x)

x0 -σ +σ

Normal N(µ, σ)

Funcion de Densidad f (x) = 12σ√2π

e−1

2(x−µ

σ)2 si − ∞ ≤

x ≤ ∞Distribucion Acumulada No existe ecuacion

Parametros parametros de localizacion y escala µ, σ

Rango (−∞

,∞

)

Media µ

Varianza σ2

Tabla 2.5: Caracterısticas Distribucion Normal




Distribucion lognormal

La grafica de la funcion de densidad de la distribucion de probabilidadlognormal y la tabla de caracterısticas se muestran a continuacion.

Figura 2.8: Grafica funcion de distribucion lognormalf(x)

x0

Lognormal LogN(µ, σ)

Funcion de Densidad f (x) =

1

x√2πσ2 e−1

2( lnx−µ

σ)2

si x > 0Distribucion Acumulada No existe ecuacion

Parametros parametros de escala y forma σ, µ

Rango [0, ∞]

Media e−µ+σ/2

Varianza e−2µ+σ2(e−σ2 − 1)

Tabla 2.6: Caracterısticas distribucion lognormal

2.9.2. Distribuciones discretas

Este tipo de distribuciones sirven para modelar la aleatoriedad de unavariable que solo puede tomar valores enteros. Las siguientes distribu-




ciones son algunas de las mas utilizadas en el modelado de sistemas es-tocasticos.

Distribucion geometrica

La grafica de la funcion de densidad de la distribucion de probabilidadgeometrica y la tabla de caracterısticas se muestran a continuacion

Figura 2.9: Grafica distribucion de probabilidad geometricap(x)

x0 1 162 ………...

p=0.25

Geometrica Ge( p)

Distribucion de Probabili-dad

p(x) = p(1 − p)x

Distribucion Acumulada F (x) = 1 − (1 − p)|x|+1 si x ≥ 0

Rango

{0, 1,...,n

}Media 1− p p

Varianza 1− p p2

Tabla 2.7: Caracterısticas distribucion geometrica




Distribucion Bernoulli


Bernoulli y la tabla de caracterısticas se muestran a continuacion.

Figura 2.10: Grafica distribucion de probabilidad de Bernoullip(x)

x0

p

1-p

1

Bernoulli Be(t, p)


p(x) =

1 − p si x = 0 p si x = 1


0 si x < 01 − p si 0 ≤ x ≤ 1

1 si x ≥ 1

Rango{

0, 1}Media p

Varianza p(1 − p)

Tabla 2.8: Caracterısticas distribucion Bernoulli




Distribucion Uniforme Discreta

La grafica de la funcion de densidad de la distribucion de probabilidaduniforme discreta y la tabla de caracterısticas se muestran a continuacion.

Figura 2.11: Grafica distribucion de probabilidad uniforme discretap(x)

x0

1-p

i j

………….

Uniforme Discreta UD(i, j)

Distribucion de Proba-

bilidad

p(x) = 1( j−i)+1


0 si x < i

(|x|−i)+1( j−i)+1

si i ≤ x ≤ j

1 si x ≥ j

Rango {i, i + 1, i + 2,...,j}Media i+ j

2

Varianza [( j−i)+1]2−112

Tabla 2.9: Caracterısticas distribucion uniforme discreta




Distribucion Binomial


binomial y la tabla de caracterısticas se muestran a continuacion.

Figura 2.12: Grafica distribucion de probabilidad binomialp(x)

x0 1 122 ………...

p=0.25, n=20

Binomial BI(n, p)

Distribucion deProbabilidad

p(x) = n

x

px(1 − p)n−x ∀ x ∈

{0, 1, 2,...,n}

DistribucionAcumulada

F (x) =

0 si x < 0x

i=0

x

ni

pi(1 − p)i si 0 ≤ x < n

1 si x ≥ n

Rango{

0, 1, 2,...,n}Media np

Varianza np(1 − p)

Tabla 2.10: Caracterısticas distribucion binomial




Distribucion Poisson


Poisson y la tabla de caracterısticas se muestran a continuacion.

Figura 2.13: Grafica distribucion de probabilidad de Poissonp(x)

x0 1 162 ………...

λ=8

Poisson PS(λ)


p(x) = e−λλx

x!x ∈ {0, 1, 2,...}

Distribucion Acumulada F (x) = e−λ|x|i=0

λi

i!si x ≥ 0

Rango λ > 0, x

∈ {0, 1, 2,...

}Media λ

Varianza λ

Tabla 2.11: Caracterısticas distribucion Poisson




2.10. Pruebas de bondad de ajuste

Normalmente el paso de busqueda y analisis de la informacion es el que

mas tiempo consume dentro del desarrollo total del modelo; tomandoen consideracion que no se cuenta con ningun tipo de informacion, esposible afirmar que parte puede tomar del 60 al 70 % del tiempo total dedesarrollo del modelo. En la mayor parte de los sistemas, al analizar lainformacion, esta se encuentra disponible en forma de series a traves deltiempo, como se muestra en la figura 2.14.

Figura 2.14: Informacion de un sistema como serie temporal

x

0 1 192 ………...

50

25

Esta informacion, tabulada en dicho formato no es de utilidad cuandose trata de obtener un comportamiento basado en variabilidad con cier-to comportamiento probabilıstico. Ası pues, si el analista desea conocerel comportamiento, es necesario modificar la forma de presentacion de

datos y presentarla como tablas de frecuencia, con la finalidad de re-alizar cualquiera de las siguientes pruebas:

Prueba de bondad de ajuste χ2 .

Prueba de Kolmogorov-Smirnov.



42 Pruebas de bondad de ajuste

2.10.1. Prueba de bondad de ajuste χ2

Como ya se menciono, esta prueba se utiliza para encontrar la distribu-cion de probabilidad de una serie de datos. La metodologıa de la pruebaχ2 es 1a siguiente:

1. Se colocan los n datos historicos en una tabla de frecuencia ob-servada (F.O.) con m ≈ √

n intervalos. Se obtiene la frecuenciaobservada en cada intervalo i (F Oi) como la cantidad de datos encada intervalode tamano T

T =

> dato

−< dato

m (2.1)

Se calcula la media y la variancia de los datos como:

Media =1

n

ni=1

xi (2.2)

V arianza =1

n−

1

n

i=1

(xi

−Media)2 (2.3)

2. Se propone una distribucion de probabilidad de acuerdo con laforma de la tabla de frecuencias obtenida en el paso 1, graficandoun histograma de frecuencia observada versus intervalos.

3. Con la distribucion propuesta, se calcula la frecuencia esperadapara cada uno de los intervalos(F E i) como

F E i = n ∗ F (x) | LS LI (2.4)

donde:

F (x) =

x 0

f (y)dy (2.5)




para distribuciones continuas

F (x) =x

0 p(y) (2.6)

para distribuciones discretas

4. Se calcula el estimador:

C =mi=1

(F E i − F Oi)

2

F E i

(2.7)

5. Si el estimador C es menor o igual al valor correspondiente de ladistribucion χ2 con m − k − 1 grados de libertad (k - numero deparametros estimados de la distribucion) y a un nivel de confiabili-dad de 1−α, entonces se dice que la hipotesis propuesta se ajusta ala distribucion de probabilidad que sigue la informacion historica.En caso contrario debe retornarse al punto 2 y realizar nuevamenteel proceso.

Ejemplo. Mediante la prueba χ

2

determine el tipo de distribucion deprobabilidad que sigue la llegada de solicitudes de llamada a una centraltelefonica a un nivel del 95 %, si a traves del tiempo se ha registradoel comportamiento consignado en la figura 2.15. Obtenga la tabla defrecuencias de la figura 2.15 considerando 7 intervalos y cuantificando lafrecuencia para cada uno de ellos:

Intervalo FO0-1 6

1-3 63-5 55-7 77-9 6

9-11 611-13 5

TOTAL 41




Figura 2.15: Comportamiento de la demanda de circuitos telefonicos

Minutos0 2 404 ………...

12

6

Solicitudesdellamada

La distribucion de probabilidad esperada que se propone, observando los

datos de la columna FO, es una distribucion uniforme entre a = 0 yb = 13 llamadas por minuto, o sea:

f (x) = 1b−a

= 113

obteniendo la funcion de distribucion acumulada se tiene:

F (x) =LS LI

113

dx

F (x) = 1

13(LS

−LI )

donde:LI : Lımite inferior de cada intervaloLS : Lımite superior de cada intervalo

Sustituyendo los valores de los lımites para obtener F (x) y multiplicando-los por el total de datos, se tiene F E para cada intervalo.

Intervalo FO F(x) F E = F(x) ∗ 41

0-1 6 0.1538 6.311-3 6 0.1538 6.313-5 5 0.1538 6.315-7 7 0.1538 6.317-9 6 0.1538 6.31

9-11 6 0.1538 6.3111-13 5 0.1538 6.31




Calculando el estadıstico C con los datos de F E i y F Oi se obtiene C= 4.092. El valor C = 4.092, comparado con el valor de la tabla y dela distribucion χ2 con 6 grados de libertad y 5% de rechazo el cual es

12.59, indica que la hipotesis propuesta se ajusta a la distribucion deprobabilidad que sigue la informacion historica, por lo tanto los datosanteriores se comportan de acuerdo a una distribucion uniforme entre 0y 13 llamadas por minuto con un nivel de confianza del 95 %. Entonces,llegadas de llamadas ≈ U (0, 13) llamadas/minuto.

2.10.2. Prueba de bondad de ajuste deKolmogorov-Smirnov

Si el objetivo es encontrar el tipo de distribucion de probabilidad deuna serie de datos, es posible utilizar la prueba de bondad de ajuste deKolmogorov-Smirnov, la cual, comparandola con la de χ2, es mas eficienteen varios aspectos ya que trabaja con la distribucion de probabilidadacumulada.La metodologıa es la siguiente:

1. Se colocan los n datos historicos en una tabla de frecuencia ob-

servada (F.O.) con m ≈ √n intervalos. Se obtiene la frecuenciaobservada en cada intervalo i (F Oi) como la cantidad de datos encada intervalode tamano T

T => dato− < dato

m(2.8)

Se calcula la media y la variancia de los datos como

Media =1

n

ni=1

xi (2.9)

V arianza =1

n − 1

ni=1

(xi − Media)2 (2.10)




2. Se propone una distribucion de probabilidad de acuerdo con laforma de la tabla de frecuencias obtenida en el paso 1, graficandoun histograma de frecuencia observada versus intervalos.

3. Se calcula la frecuencia observada acumulada (FOA) para cadaintervalo como.

F OAi =i

n=1

F On (2.11)

4. Se calcula la probabilidad observada acumulada (POA) para cada

intervalo como.

P OAi =F OAi

n(2.12)

5. Con la distribucion propuesta se calcula la probabilidad esperada(PE) para cada uno de los intervalos como

P EAi =

F (x) | LS 0

(2.13)

donde:

F (x) =

x 0

f (y)dy (2.14)

para distribuciones continuas

F (x) =x0

p(y) (2.15)

para distribuciones discretas

6. Se calcula la el estimador de maxima diferencia DM como




DM = M ax |P EAi − P OAi| (2.16)

7. Se obtiene el correspondiente valor de la distribucion deKolmogorov-Smirnov (D) para n grados de libertad y a un niv-el de confiabilidad de 1 − α de la tabla de dicha distribucion.

8. El estimador DM se compara con el valor lımite Dn,1−α. Si el esti-mador DM es menor o igual al valor lımite, entonces se dice que lahipotesis propuesta se ajusta a la distribucion de probabilidad quesigue la informacion historica. En caso contrario debe retornarse alpunto 2 y realizar nuevamente el proceso.

Ejemplo. Mediante la prueba de Kolmogorov-Smirnov determine el tipode distribucion de probabilidad que siguen los datos del ejemplo anterior,con un nivel de confianza del 95%. Obtenga la tabla de frecuencias,considerando 7 intervalos:

Intervalo FO FOA POA0-1 6 6 0.1461-3 6 12 0.293

3-5 5 17 0.4145-7 7 24 0.5857-9 6 30 0.738

9-11 6 36 0.87811-13 5 41 1

La distribucion de probabilidad esperada que se propone, segun los datosde columna F O, es una distribucion uniforme entre 0 y 13 llamadas porminuto:

f (x) = 1b−a

= 113

obteniendo la funcion de distribucion acumulada se tiene:

F (x) =LS 0

113

dx F (x) = 113

(LS )




donde:LS : Lımite superior de cada intervalo

Evaluando la ecuacion anterior, se obtiene la tabla siguiente:

Intervalo FO FOA POA PEA0-1 6 6 0.146 0.07691-3 6 12 0.293 0.23073-5 5 17 0.414 0.38465-7 7 24 0.585 0.53847-9 6 30 0.738 0.6923

9-11 6 36 0.878 0.846111-13 5 41 1 1

Al obtener la diferencia termino a termino entre PEA y POA, se tiene:

Intervalo FO FOA POA PEA |P EA − P OA|0-1 6 6 0.146 0.0769 0.06941-3 6 12 0.293 0.2307 0.06193-5 5 17 0.414 0.3846 0.03

5-7 7 24 0.585 0.5384 0.04697-9 6 30 0.738 0.6923 0.0394

9-11 6 36 0.878 0.8461 0.031911-13 5 41 1 1 0

El valor DM es igual a la maxima diferencia, osea, 0.0694, quecomparandolo contra el valor D41,0,05 = 0,2123, indica que los datosanteriores siguen una distribucion uniforme entre 0 y 13 llamadas por

minuto, a un nivel de confianza del 95 %. Por lo tanto, llegadas dellamadas ≈ U (0, 13) llamadas/minuto.

Ejemplo. Utilizando la prueba de Kolmogorov-Smirnov, definiremos ladistribucion de probabilidad que siguen los datos de la siguiente tabla defrecuencia observada, que muestra la cantidad de paquetes que llegan aun enrutador a traves del tiempo, medida en paquetes/minuto.




Intervalo FO0-3 203-6 12

6-9 79-12 4

12-15 215-18 1> 18 5

De acuerdo con los datos de la columna de FO, se puede pensar quesiguen distribucion de probabilidad exponencial con media λ = 6, luegola hipotesis sera:

f (x) = 1λ

e−xλ si x ≥ 0

calculando la media λ de la forma:

Media = 1n

ni=1

xi = 6

obteniendo la frecuencia observada acumulada para cada intervalo y laprobabilidad observada acumulada para cada intervalo se tiene:

Intervalo FO FOA POA0-3 20 20 0.39213-6 12 32 0.62746-9 7 39 0.7647

9-12 4 43 0.843112-15 2 45 0.882315-18 1 46 0.9019> 18 5 51 1

Integrando la funcion desde el lımite inferior del primer intervalo hastael Imite superior de cada uno de los intervalos se tiene

F (x) =LS 0

16

e−x6 dx

F (x) = 1 − e−LS6




luego en cada intervalo:

Intervalo FO FOA POA PEA0-3 20 20 0.3921 0.39343-6 12 32 0.6274 0.63216-9 7 39 0.7647 0.7768

9-12 4 43 0.8431 0.844612-15 2 45 0.8823 0.917915-18 1 46 0.9019 0.9502> 18 5 51 1 1

Calculando las diferencias absolutas en cada intervalo:

Intervalo FO FOA POA PEA |P EA − P OA|0-3 20 20 0.3921 0.3934 0.00133-6 12 32 0.6274 0.6321 0.00496-9 7 39 0.7647 0.7768 0.0121

9-12 4 43 0.8431 0.8446 0.021512-15 2 45 0.8823 0.9179 0.035615-18 1 46 0.9019 0.9502 0.0483> 18 5 51 1 1 0

Luego el estimador DM = 0.0483 se compara con la D51,0,05 = 0,1904indica que los datos anteriores siguen una distribucion exponencial conmedia 6 paquetes por minuto, a un nivel de confianza del 95 %. Por lotanto, llegadas de llamadas ≈ Exp(6) paquetes/minuto.

Ejemplo. Un proveedor de servicio de internet indica que siempre lospaquetes enviados a cualquier destino en el mundo llegan en 7ms o menos.Sin embargo, la empresa X hizo un muestreo de retardos de paquetes adiferentes destinos y obtuvo lo siguiente:




Retardo en ms FO0-1 02-3 1

4-5 86-7 128-9 20

10-11 1012-13 314-15 116-17 0

Obviamente, no tarda 7ms o menos. ¿Que se puede decir acerca de los

milisegundos que tarda en entregar un paquete?

Observando los datos se puede pensar que siguen una distribucion normalcon media de 8 dıas y una desviacion estandar de 2 dıas. La funcionnormal no es integrable, ası que se utilizara la tabla normal estandar.

Intervalo FO FOA POA PEA |P EA − P OA|0-1 0 0 0.000 0.000025 0.000025

2-3 1 1 0.018 0.00621 0.011974-5 8 9 0.164 0.06681 0.09686-7 12 21 0.382 0.3021 0.07978-9 20 41 0.745 0.6979 0.0475

10-11 10 51 0.927 0.9332 0.0059912-13 3 54 0.982 0.999975 0.00002514-15 1 55 1 0.99999 0.00001016-17 0 55 1 0.99999 0.000010

De la tabla con distribucion normal estandar, se lee la probabilidad acu-mulada desde −∞ hasta zi; por ejemplo, para el tercer intervalo:

zi = xi−µσ

z3

= LS 3−µσ

= 5−82

= −1,5



52 Ejercicios

Con el valor de z3

= −1,5 se busca en la tabla normal estandar; el valorcorrespondiente desde −∞ a −1,5 es 0,06681.El procedimiento es similar para cada uno de los intervalos. La

DM = 0,0968 se compara con la D55,0,05 = 0,1833, y ya que DM esmenor, entonces no se puede rechazar la hipotesis de que el tiempo deentrega de paquetes siguen una distribucion normal con media de 8 msy desviacion estandar de 2 ms (variancia = 4) con un nivel de confianzade 95 %. Tiempo de entrega ≈ (8, 4) ms

Los procedimientos presentados, se encuentran ya en paquetes computa-cionales en los que el usuario solo tiene que introducir la serie de datosa traves del tiempo, y con un procedimiento de prueba y error realiza labusqueda de la distribucion de probabilidad que mas se adecue. Dentrode los principales paquetes que realizan este analisis se pueden citarSANDIE y STATGRAPP

Una de las ventajas de utilizar los paquetes es la rapidez con la que sepuede analizar la informacion, siempre y cuando esta tenga un caracterprobabilıstico comun, como puede ser exponencial, normal, Erlang, entreotras; en caso de que la informacion no presente ese comportamiento, es

necesario identificar otro tipo de distribuciones mas complejas y analizaren forma manual la informacion.

2.11. Ejercicios

1. Un multiplexor procesa tramas con un tiempo que sigue una dis-tribucion exponencial con media de 20 minutos/trama. Indique cuales la probabilidad de que una trama cualquiera sea procesada en

un tiempo mayor a 35 minutos.

2. Si el tamano de los paquetes de informacion generados por unafuente sigue una distribucion normal (4.100, 0.500) octetos, indiquecual es la probabilidad de que un paquete tenga longitud:

a.) Menos de 3.800 octetos.




b.) Entre 3.900 y 4.050 octetos,

c.) Mas de 5.100 octetos.

3. Si el tiempo entre llegadas a un conmutador sigue una distribucionexponencial con media de 15 minutos, calcule la probabilidad deque el tiempo entre llegadas sea menor a 15 minutos.

4. El tiempo entre fallas de una central telefonica es Weibull conparametros de forma y escala de 2 y 50 respectivamente. ¿Cuales la probabilidad de que una central falle antes de 45 horas detrabajo?

5. Si el numero de fallas en la conformacion de tramas sigue una dis-tribucion geometrica con p = 0.5, calcule la probabilidad de:

a.) Obtener 3 fallas

b.) Tener entre 4 y 10 fallas

c.) No tener fallas

6. Si para el problema anterior la distribucion de probabilidad es bi-nomial con N = 10 y p = 0.4, ¿que valores de probabilidad seobtendrıan?

7. Para el siguiente conjunto de numeros:

5, 8, 4, 7, 8, 2, 4, 4, 3, 5, 6, 7, 8, 4, 8, 7, 3, 4, 5, 6, 7, 2, 3, 4, 5 3, 5, 6, 1,2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 7, 1, 5, 6, 7, 3, 4,2, 0, 1, 0, 0, 2, 3

realice la prueba de bondad de ajuste para determinar si siguen unadistribucion uniforme entre 0 y 8, a un nivel de confianza del 95 %.

8. Realice la prueba de Kolmogorov-Smirnov a los numeros de la si-guiente lista y demuestre a un nivel 1 - a = 95 % que son uniformes(0, 1).



54 Ejercicios

0.778 0.897 0.951 0.234 0.395 0.234 0.783 0.4050.899 0.277 0.341 0.456 0.482 0.789 0.456 0.4790.895 0.907 0.002 0.345 0.404 0.982 0.123 0.345

0.678 0.845 0.963 0.298 0.622 0.045

9. Los codificadores de sımbolos de un sistema de radiocomunicacionesdetienen su produccion de sımbolos de paridad al ocurrir fallo, hastaque un ingeniero va a repararlo. El tiempo entre fallos ha arrojadolos siguientes resultados medidos en minutos:

1.88 3.53 1.42 0.39 0.80 0.54 0.53 1.28 0.34 5.501.90 1.80 0.82 0.01 4.91 0.15 0.79 2.16 0.10 0.35

0.02 0.21 0.05 1.10 0.36 2.81 0.80 0.04 0.24 0.901.50 0.26 1.49 0.26 1.03 0.53 0.63 0.66 0.45 1.732.62 0.36 2.03 0.17 0.38 2.67 2.03 1.00 4.29 0.48

Determine con un nivel de aceptacion 1 - a = 90% la distribucion deprobabilidad del tiempo entre fallos.

10. Los datos en meses del tiempo entre fallos de un satelite son:

36.33 48.00 32.02 36.78 38.52 40.33 35.78 45.39 35.99 36.68

41.52 36.54 36.60 40.56 40.42 33.92 39.82 34.48 34.35 37.7335.89 31.75 41.91 45.70 31.50 44.58 34.04 32.03 48.53 47.2941.91 38.45 36.10 40.57 34.28 35.90 48.47 32.86 40.91 32.8038.69 41.33 49.31 45.99 34.06 37.46 35.97 39.22 41.92 31.08

Construya un histograma y determine la distribucion de probabilidad aun nivel 1 - a = 95 % con la prueba de bondad de ajuste χ2

11. Datos historicos en minutos del tiempo de reparacion de un nodo

de red son:

2.71 2.12 1.66 0.34 2.24 6.92 4.01 7.96 13.51 3.571.12 1.18 4.18 3.08 0.80 3.86 0.57 0.57 1.80 3.50

5.31 2.52 2.40 3.10 2.34 4.48 12.09 2.62 3.13 16.472.19 0.32 18.24 1.87 4.90 17.21 0.53 1.97 0.00 4.24

0.71 5.13 1.87 2.73 4.83 3.76 8.88 1.94 3.73 8.94




Construya un histograma y determine la distribucion de probabilidad aun nivel 1 - a = 95 % con la prueba de bondad de ajusteχ2.

12. El numero de semanas de vida de un componente de red se com-porta de acuerdo con los datos historicos siguientes:

151.3 155.1 150.1 158.7 148.8 148.7 147.9 153.1 151.6 150.9149.2 160.3 157.7 146.9 150.6 146.8 144.5 160.9 147.7 150.0157.1 136.6 146.7 142.8 150.0 144.5 156.2 145.6 150.2 151.7158.8 149.6 144.8 145.2 158.8 150.1 149.6 142.1 150.6 151.6145.5 154.6 158.4 164.2 152.6 144.5 147.5 142.3 149.3 148.5

Construya un histograma y determine la distribucion de probabilidad delos datos a un nivel 1 - a = 90 % utilizando la prueba de bondad de ajustede Kolmogorov-Smirnov.

13. El resultado de aceptacion o rechazo de 50 secciones de guıas de on-da se codifica con 1 o 0, respectivamente. A partir de los resultadossiguientes,

1 0 0 0 0 0 1 0 0 10 0 0 1 0 1 1 1 1 0

0 0 1 0 1 0 1 1 0 10 0 0 0 1 0 0 1 0 01 0 0 0 0 0 0 0 1 0

Muestre que el evento .aceptar una seccion de guıa”sigue una distribucionBernoulli con p - 0.35 con un nivel de confianza 1 - a de 95 %.

14. Se sospecha que el numero de octetos errados en cierta red sigueuna distribucion binomial con p = 7 y n = 5. A partir de la siguiente

muestra de 50 datos:

3 3 2 3 3 3 4 3 2 14 3 2 3 1 2 2 3 4 33 3 2 2 4 3 5 2 2 33 1 3 0 3 2 5 4 3 22 3 0 4 4 5 3 2 3 4



56 Ejercicios

Demuestre si las sospechas son ciertas mediante la prueba de bondad deajuste un nivel de confianza del 90 %. En caso negativo, ¿que distribucionde probabilidad serıa mas adecuada para modelar el numero de octetos

errados?



CAPITULO 3

GENERACION DE NUMEROS

PSEUDOALEATORIOS

Una vez obtenida toda la informacion, es decir, los datos de entrada delsistema real, es necesario convertirlos en informacion o datos de entradadel modelo de simulacion. Es posible distinguir dos tipos de informacion:

1. Informacion determinıstica. Esta informacion entra directamente almodelo con su valor correspondiente en el sistema real.

2. Informacion probabilıstica. Es necesario crear modelos de simu-lacion que imiten el comportamiento de esas variables. En el capıtu-lo anterior se mencionan algunos tipos de variabilidad que puedenexistir. De esta forma, al crear un modelo de simulacion debemosser capaces de tomar ese comportamiento y modelarlo. Los numerosaleatorios son la base en los modelos de simulacion donde hay vari-ables estocasticas, ya que dichos numeros son la herramienta paragenerar eventos de tipo probabilıstico. La metodologıa consiste enla creacion matematica de expresiones sencillas partiendo de lo quese conoce como generacion de numeros aleatorios uniformes entre0 y 1.

57



58Metodos de generacion de numeros pseudoaleatorios

uniformes en (0,1)

3.1. Metodos de generacion de numerospseudoaleatorios uniformes en (0,1)

Existen un gran numero de metodos para generar los numeros aleatoriosentre 0 y 1. El metodo a utilizar, en sı mismo, no tiene importancia;la importancia radica en los numeros que genera, ya que estos numerosdeben cumplir ciertas caracterısticas para que sean validos. Dichas car-acterısticas son:

1. Uniformemente distribuidos.

2. Estadısticamente independientes.

3. Su media debe ser estadısticamente igual a 12

4. Su varianza debe ser estadısticamente igual a 112

.

5. Su periodo o ciclo de vida debe ser largo.

3.1.1. Metodos congruenciales

Estos metodos realizan la generacion de numeros pseudoaleatorios a par-tir de expresiones basadas en sumas y productos tales como:

xi+1 = (a + cxi)modm (3.1)

U i+1 =xi+1

m − 1(3.2)

dondex0 : Semilla del generador.a,c,m : ConstantesU i+1 : Numeros pseudoaleatorios generados

Ejemplo. Generar 5 numeros con el generador congruencial multiplica-tivo siguiente con la semilla x0 = 47



GENERACION DE NUMEROS PSEUDOALEATORIOS 59

xi+1 = (441 + 13xi) textmod767

x1 = (441 + 13∗

47) textmod767 = 285

x2 = (441 + 13 ∗ 285)mod767 = 311

x3 = (441 + 13 ∗ 311)mod767 = 649

x4 = (441 + 13 ∗ 649)mod767 = 441

x5 = (441 + 13 ∗ 441)mod767 = 38

Dividiendo por m − 1 = 766, se obtienen los numeros pseudoaleatorios

U 1 = 0,372

U 2 = 0,778

U 3 = 0,8472

U 4 = 0,5757

U 5 = 0,0496

Existen reglas para la seleccion de las constantes, algunas de ellas son:

c debe ser un entero impar, no divisible ni por 3 ni por 5.

a usualmente puede ser cualquier constante. Sin embargo, para ase-gurar buenos resultados, seleccione a de tal forma que (a)mod8 = 5para una computadora binaria o (a)mod200 = 21 para una com-putadora decimal.

m debe ser el numero entero mas grande que la computadoraacepte.



60Metodos de generacion de numeros pseudoaleatorios

uniformes en (0,1)

De acuerdo con Hull y Dobell, los mejores resultados para un generadorcongruencial mixto en una computadora binaria son:

a = 8 ∗ c ± 3

c = cualquier entero

x0 = cualquier entero impar

m = 2b donde b > 2 y que m sea aceptado por la computadora.

3.1.2. Metodo de cuadrados medios

El procedimiento para la obtencion de numeros pseudoaleatorios en (0,1)con este tipo de generadores es el siguiente:

1. Plantear una semilla x0 y una cantidad k de dıgitos que conformanel numero pseudoaleatorio.

2. Elevar la semilla al cuadrado

3. Tomar de la parte central un conjunto de k dıgitos que conformaranen numero pseudoaleatorio, y anteponer a estos el numero cero yel punto decimal para conformar el numero pseudoaleatorio.

4. Los k dıgitos pasaran a ser la nueva semilla con el fin de repetir elproceso tantas veces como numeros se desee generar.

Ejemplo. Generar 3 numeros de 4 digitos a partir de un generador decuadrados medios utilizando la semila 445.

(445)2 = 198025 = 1 9802 5 generando 0,9802

(9802)2 = 96079204 = 96 0792 04 generando 0,0792

(0792)2 = 627264 = 6 2726 4 generando 0,2726




Existen generadores de numeros pseudoaleatorios uniformes entre 0 y 1integrados a la mayorıa de los sistemas, que pueden ser llamados como

funciones, algunos ejemplos son:Excel

U i = Rand()

Pascal

U i = Random()

Basic

U i = Rand()

3.2. Pruebas Estadısticas

Una vez que se ha creado o se puede usar un generador es importante veri-ficar si los numeros generados poseen las caracterısticas mencionadas. Lacomprobacion de tales caracterısticas se realiza mediante ciertas pruebasestadısticas, que son las siguientes:

3.2.1. Prueba de medias

Consiste en verificar que los numeros generados tengan una media es-

tadısticamente igual a

1

2 , de esta manera, se analiza la siguiente hipotesis:H 0 : µ = 1

2

H i : µ = 12

luego, se trata de verificar cual de las hipotesis aceptar de acuerdo a undeterminado nivel de confianza, por consiguiente los pasos a seguir en eldesarrollo de la misma son:



62 Pruebas Estadısticas

1. Calcular la media de los n numeros generados a partir de la sigui-ente expresion:

x =1

n

ni=1

ui (3.3)

2. Calcular los lımites superior e inferior de aceptacion para la media

LS x = 12

+ zα/2 112

√n (3.4)

LI x =1

2− zα/2

1

12√

n

(3.5)

3. Si el valor de x se encuentra entre LI x y LS x, se acepta que losnumeros tienen una media estadısticamente igual a 1

2con un nivel

de aceptacion 1 − α.

Ejemplo. Realice la prueba de medias a los primeros 30 numeros aleato-rios entre 0 y 1 de un generador congruencial mixto, con un nivel deconfianza del 95 %.

Los numeros generados son los siguientes:

0.03991 0.10461 0.93716 0.16894 0.989530.73231 0.25593 0.34565 0.02345 0.673470.10987 0.25678 0.71890 0.61234 0.863220.94134 0.99872 0.27657 0.82345 0.123870.05389 0.82474 0.59289 0.36782 0.724840.48999 0.50502 0.39528 0.36782 0.90234

con la ecuacion 3.3 se calcula la media del conjunto de numeros




x = 130

30

i=1

ui = 0,507

Ahora se calculan los lımites de aceptacion de la media para n = 30numeros

LS x = 12

+ zα/2

1

12√n

= 1

2+ z0,05/2

1

12√30

= 1

2+ z0,025

1

12√30

=

12

+ 1,96

112√30

= 0,5298

LI x = 12 − zα/2 112√n = 12 − z0,05/2 112√30 = 12 − z0,025 112√30 =12− 1,96

1

12√30

= 0,4701

por consiguiente se verifica que:

LI x ≤ x ≤ LS x0,4701 < 0,507 < 0,5298

por lo tanto, dado que el valor promedio se encuentra entre los lımites,se acepta la hipotesis H 0, es decir, se puede afirmar que la media de losnumeros es estadısticamente igual a 1

2.

3.2.2. Prueba de varianza

Consiste en verificar si los numeros aleatorios generados tienen una var-ianza estadısticamente igual a 1

12, del tal forma que la hipotesis queda

expresada como:

H 0 : V (x) = 112

H i : V (x) = 112

luego, se trata de verificar cual de las hipotesis aceptar de acuerdo a undeterminado nivel de confianza, por consiguiente los pasos a seguir en eldesarrollo de la misma son:




1. Calcular la variancia de los n numeros generados V (x).

V (x) =1

n − 1

ni=1

(ui − x)2 (3.6)

2. Calcular los lımites superior e inferior de aceptacion de la varianzapara los n numeros

LS v(x) =χ2

α/2,n−112(n − 1) (3.7)

LI v(x) =χ21−α/2,n−1

12(n − 1)(3.8)

3. Si V (x) se encuentra entre los valores de LI v(x) y LS v(x), acepta-mos la hipotesis nula y los numeros aleatorios tienen una varianciaestadısticamente igual a 1

12.

Ejemplo. Realice la prueba de variancia a los siguientes 30 numeroscon nivel de confianza del 95 %.

0.03991 0.10461 0.93716 0.16894 0.989530.73231 0.25593 0.34565 0.02345 0.673470.10987 0.25678 0.71890 0.61234 0.863220.94134 0.99872 0.27657 0.82345 0.123870.05389 0.82474 0.59289 0.36782 0.724840.48999 0.50502 0.39528 0.36782 0.90234

Aplicando la ecuacion 3.6 se tiene que

V (x) = 1n−1

ni=1

(ui − x)2 = 130−1

30i=1

(ui − 0,507)2 = 0,104




Ahora se calculando los lımites de aceptacion de la varianza para n = 30numeros se obtiene

LS v(x) = χ2

α/2,n−1

12(n−1) = χ2

0,05/2,30−1

12(30−1) = χ2

0,025,2912(29) = 45,7

12(29) = 0,1313

LI v(x) =χ21−α/2,n−1

12(n−1)=

χ21−0,05/2,30−1

12(30−1)=

χ20,975,29

12(29)= 16,04

12(29)= 0,046

por consiguiente se verifica que

LI v(x) ≤ V (x) ≤ LS v(x)0,046 < 0,104 < 0,1313

por lo tanto, dado que el valor promedio se encuentra entre los lımites,se acepta la hipotesis H 0, es decir, se puede afirmar que la varianza delos numeros es estadısticamente igual a 1

12.

3.2.3. Prueba de forma

Para realizar esta prueba se utiliza la prueba de bondad de ajuste χ2

descrita en el capıtulo 2. Esta prueba se empleara en el caso especıfico delos numeros aleatorios uniformes entre 0 y 1, para probar que un conjuntode datos siga esta distribucion. De esta manera la hipotesis propuesta seresume como sigue

H 0 : ui = U [0, 1]H i : ui = U [0, 1]

Ejemplo.Tomando el siguiente conjunto de numeros, determine con un nivel deconfianza del 95 % si pertenecen a una poblacion uniforme.

0.03991 0.10461 0.93716 0.16894 0.989530.73231 0.25593 0.34565 0.02345 0.673470.10987 0.25678 0.71890 0.61234 0.863220.94134 0.99872 0.27657 0.82345 0.123870.05389 0.82474 0.59289 0.36782 0.724840.48999 0.50502 0.39528 0.36782 0.90234




Dividiendo el rango de 0 a 1 en 10 intervalos y clasificando los 30 numerossegun su valor y se obtiene la siguiente tabla.

Intervalo FO FE0.0-0.1 3 30.1-0.2 4 30.2-0.3 3 30.3-0.4 4 30.4-0.5 1 30.5-0.6 2 30.6-0.7 2 3

0.7-0.8 3 30.8-0.9 3 30.9-1.0 5 3

Se calcula el estimador C segun la siguiente ecuacion

C =m

i=1

(F E i − F Oi)

2

F E i

(3.9)

se obtiene un valor de C = 3.66. Se compara con el valor de tablas χ2

con 10 − 0 − 1 = 9 grados de libertad y un nivel de 5%, que es iguala 16.90, y la comparacion indica que los numeros generados siguen unadistribucion uniforme entre 0 y 1.

3.2.4. Pruebas de independencia

Las pruebas de independencia consisten en demostrar que los numeros

generados son estadısticamente independientes entre sı, esto es, que nodependen uno de otro. Para esto se propone la siguiente hipotesis:

H 0 : ui ∼ independienteH i : ui ∼ dependiente

Para realizar esta prueba de hipotesis existen varios metodos, puede se-leccionarse cualquiera de la siguiente lista:




Prueba de poker.

Prueba de corridas arriba y abajo.

Prueba de corridas arriba y abajo de la media.

Prueba de la longitud de las corridas.

Prueba de distancia.

Prueba de series.

Prueba de huecos.

Los procedimientos para demostrar la independencia utilizando 3 de ellasson los siguientes:

Prueba de poker

La prueba de poker permite verificar la independencia de un conjunto denumeros en el intervalo (0,1) a partir de la aplicacion de la prueba χ2 parala cual se definen intervalos de acuerdo a los eventos que se presentan en

el juego de poker, para ello se definen las siguientes hipotesis, verificadasen los siguientes pasos establecidos por la prueba.

H 0 : ui ∼ independienteH i : ui ∼ dependiente

1. Calcular las probabilidades esperadas para un juego de poker con5 cartas numeradas del 0 al 9 con remplazo, se tienen 7 eventos ointervalos, con las siguientes probabilidades:

P (Pachuca) = 0,3024P (U n par) = 0,5040

P (Dos pares) = 0,1080P (Una tercia) = 0,0720

P (Full) = 0,0090P (P oker) = 0,0045

P (Quintilla) = 0,0001




2. Cada evento define un intervalo en una tabla de frecuencia obser-vada de m=7 intervalos, para cada intervalo obtener la frecuencia

observada (F Oi) tomando cada dıgito decimal del numero gener-ado como la representacion de una carta en el juego, luego, paracada numero aleatorio generado verificar (imaginando que es unamano de poker) si es pachuca, un par, dos pares, etcetera, toman-do los primeros cinco dıgitos a la derecha del punto decimal. Porejemplo, 0.03408 es un par, 0.44343 es un full, 0.00321 dos pares,etcetera. Con esos resultados se generan una tabla de frecuencias deestos eventos. La frecuencia observada de cada uno de los eventosse conoce como (F Oi).

3. Calcular la frecuencia esperada de cada uno de los eventos (F E i)multiplicando la probabilidad de cada evento por el numero denumeros aleatorios generados, luego:

F E i = n ∗ P (Eventoi) (3.10)

4. Calcular el estadıstico C a partir de la expresion

C =mi=1

(F E i − F Oi)

2

F E i

(3.11)

5. Si el valor de C es menor o igual al estadıstico de la tabla χ2 con6 grados de libertad y una probabilidad de rechazo α, entonces seacepta que los datos son estadısticamente independientes entre sı.

Ejemplo.Realice la prueba de poker a los siguientes 30 numeros con un nivel deconfianza del 95 %

0.72484 0.48999 0.50502 0.39528 0.367820.90234 0.71890 0.61234 0.86322 0.941340.99872 0.27657 0.34565 0.02345 0.67347




0.10987 0.25678 0.25593 0.82345 0.123870.05389 0.82474 0.59289 0.36782 0.03991

0.10461 0.93716 0.16894 0.98953 0.73231

Agrupando los numeros de acuerdo con sus dıgitos, como si fuera unamano de poker se obtiene la siguiente tabla de frecuencias:

Intervalo FO PE FE = (n * PE)Pachuca 14 0.3024 9.072Un par 15 0.5040 15.120Dos pares 1 0.1080 3.240

Una tercia 1 0.0720 2.160Full 0 0.0090 0.270Poker 0 0.0045 0.135Quintilla 0 0.0001 0.003

El calculo de C utilizando de nuevo la ecuacion 3.11, es igual a 4.25 quecomparado contra el valor de la tabla de la distribucion χ2 con 7-1 = 6grados de libertad, y con un nivel de rechazo del 5 %, que es igual a 12.59,indica que los numeros generados son estadısticamente independientes.

Prueba de corridas

La prueba de corridas al igual que la prueba de poker permite verificarla independencia de un conjunto de numeros en el intervalo (0,1), paraello se definen las siguientes hipotesis, verificadas en los siguientes pasosestablecidos por la prueba.

H 0

: ui ∼

independienteH i : ui ∼ dependiente

1. Clasificar cada numero aleatorio respecto al anterior de acuerdocon:

Si ui ≤ ui−1 se asocia un signo negativo al numero ui.Si ui ≥ ui−1 se asocia un signo positivo al numero ui.




2. Calcular el numero de corridas observadas h. Donde una corrida seconforma por un conjunto de numeros aleatorios consecutivos del

mismo signo.3. Calcular la media E (h) y varianza V (h) de las corridas de acuerdo

con:

E (h) =2n − 1

3(3.12)

V (h) = 16n − 2990

(3.13)

Donde n es el numero de datos generados.

4. Calcular el estadıstico

z =|h − E (h)|

V (h)

(3.14)

si el estadıstico z es menor que el valor crıtico de Zα/2 se acepta lahipotesis de independencia.

Ejemplo. Determinar si la siguiente secuencia de 20 numeros puede seraceptada como independiente con un nivel de confianza del 95 % utilizan-do la prueba de corridas.

0.43 0.28 0.33 0.27 0.120.31 0.42 0.01 0.32 0.450.98 0.79 0.99 0.55 0.670.74 0.16 0.20 0.12 0.58

De donde la secuencia de corridas es:




- + – + + - + + + - +- + + - + - +

Luego, contando los grupos de signos iguales se tiene que h = 14 corridas.

Calculando la media y varianza de las corridas se tiene que:

E (h) = 2n−13

= (2∗30)−13

= 13

V (h) = 16n−2990

= (16∗30)−2990

= 3,23

Obteniendo el valor del estadıstico z como

z = |h−E (h)|√V (h)

= |14−13|√3,23)

= 0,55

verificando en la tabla de la distribucion normal acumulada el valor paraZ 0,025 = 1,96, luego, la independencia de este conjunto de numeros nopuede ser rechazada.

Prueba de series

La prueba de series, al igual que las pruebas de corridas y poker, permiteverificar la independencia de un conjunto de numeros en el intervalo (0,1),para ello se definen las siguientes hipotesis, verificadas en los siguientespasos establecidos por la prueba.

H 0 : ui

∼independiente

H i : ui ∼ dependiente

1. Crear un histograma de dos dimensiones con m intervalos, clasi-ficando cada pareja de numeros consecutivos (ui, ui+1) dentro delas casillas de dicho histograma de frecuencias. El numero total depares ordenados en cada casilla formara la frecuencia observada:(F Oi).




2. Calcular la frecuencia esperada en cada casilla (F E i) de acuerdocon

F E i =num

m(3.15)

donde num es el numero total de parejas ordenadas.

3. Calcular el error C, con la ecuacion

C =m

i=1 (F E i − F Oi)2

F E i (3.16)

4. Si el valor de C es menor o igual al estadıstico de la tabla de ladistribucion χ2 con m− 1 grados de libertad y una probabilidad derechazo α, entonces aceptamos que estadısticamente los numerosson independientes.

Ejemplo. Realice la prueba de series a los siguientes 30 numeros con un

nivel de confianza del 95 %.

0.72484 0.48999 0.50502 0.39528 0.367820.90234 0.71890 0.61234 0.86322 0.941340.99872 0.27657 0.34565 0.02345 0.673470.10987 0.25678 0.25593 0.82345 0.123870.05389 0.82474 0.59289 0.36782 0.039910.10461 0.93716 0.16894 0.98953 0.73231

Al formar parejas ordenadas se obtiene (0.72484, 0.48999) (0.48999,0.50502) (0.50502, 0.39528) ...............(0.98953, 0.73231)

La clasificacion se realiza en una tabla de frecuencias de dos dimensionesde 4 x 4, queda:




ui+1 1 3 2 1 20.75 1 1 1 30.5 1 3 3 1

0.25 2 2 1 20 0.25 0.5 0.75 1

ui

Tomando en cuenta que se tienen 29 parejas ordenadas clasificadas uni-formemente en 16 casillas, la frecuencia esperada F E i en cada una es1.8125 y al calcular el error con la ecuacion 3.16, para cada una de las16 celdas o intervalos de la tabla anterior, se tiene

C =mi=1

(FE i−FOi)

2

FE i

=

16i=1

(1,8125−FOi)

2

1,8125

=

11,8125

[7(1,8125 − 1)2 + 5(1,8125 − 2)2 + 4(1,8125 − 3)2] = 5,75

El valor de la tabla χ2 con un nivel de confianza del 95 % y con 15 gradosde libertad es igual a 25. Si se compara C = 5.75 con este valor, se acepta

la independencia de la secuencia de numeros.

3.3. Ejercicios

1. Genere numeros aleatorios entre 0 y 1 con los siguientes generadorescongruenciales y determine el ciclo de vida de cada uno.

a. X i+1 = (40X i + 13)mod3348 Semilla X 0 = 302

b. X i+1 = (71X i + 57)mod341 Semilla X 0 = 7l

c. X i+1 = (71X i + 517)mod111 Semilla X 0= 171

d. X i+1 = (71561X i + 56822117)mod341157 Semilla X 0 = 31767

e. X i+1 = (723X i + 531)mod314 Semilla X 0 = 927



74 Ejercicios

f. X i+1 = (452ˆ + 37452)mod1231 Semilla X 0 = 4571

g. X i+1 = (17X i)mod37 Semilla X 0 = 51

h. X i+1 = (16ˆ + 4)mod14 Semilla X 0 = 22

2. Genere 50 numeros entre 0 y 1 de 4 dıgitos, mediante un generadorde cuadrados medios cuya semilla sea

a. 4567234902

b. 3567345

c. 234500012

3. En un listado de 200 numeros entre 0 y 1, los primeros 3 numerosson: 0.23222, 0.34179 y 0.76778, y los ultimos 3 son: 0.56711,0.33333 y 0.03482. Determine mediante la prueba de poker si los200 numeros son independientes con un nivel de confianza del 95 %.

4. Determine con un nivel de confianza del 95 % y usando la prueba decorridas que la siguiente lista de numeros es una muestra aleatoria.

0.234 0.456 0.678 0.789 0.9820.123 0.345 0.456 0.479 0.8950.907 0.002 0.345 0.789 0.8970.951 0.234 0.380 0.404 0.6780.800 0.963 0.255 0.607 0.0450.783 0.405 0.899 0.277 0.341

5. Determine si los siguientes numeros son aleatorios mediante laspruebas de corridas y series utilizando un nivel de confianza del95%.

0.88 0.53 0.42 0.39 0.80 0.540.53 0.28 0.34 0.50 0.90 0.800.82 0.01 0.91 0.15 0.79 0.160.10 0.35 0.02 0.21 0.05 0.10




0.36 0.81 0.80 0.04 0.24 0.900.50 0.26 0.49 0.53 0.26 0.03

0.53 0.63 0.66 0.45 0.73 0.620.36 0.03 0.17 0.38 0.67 0.030.01 0.29 0.48

6. Realice la prueba de poker con un nivel de confianza del 90 % parala lista de los 36 numeros siguientes:

0.4534 0.2311 0.7867 0.0145 0.3478 0.67770.3823 0.9210 0.9978 0.1237 0.0183 0.2366

0.5421 0.7789 0.1112 0.5682 0.7712 0.78870.4328 0.8994 0.9043 0.0013 0.5688 0.09270.6744 0.6726 0.8132 0.9495 0.4329 0.76540.9816 0.9876 0.8767 0.1211 0.3262 0.1151

7. Para el siguiente conjunto de numeros:

5, 8, 4, 7, 8, 2, 4, 4, 3, 5, 6, 7, 8, 4, 8, 7, 3, 4, 5, 6, 7, 2, 3, 4, 5 3, 5, 6, 1,2, 3, 2, 5, 6, 7, 8, 7, 1, 5, 6, 7, 3, 4, 2, 0, 1, 0, 0, 2, 3

realice la prueba de medias con un nivel de confianza del 95 %, suponiendoque siguen una distribucion uniforme entre 0 y 8.

8. Haga las pruebas de uniformidad, poker y series con un nivel deconfianza del 90 % para la siguiente lista de 30 numeros:

0.45342 0.23111 0.78673 0.01454 0.34785 0.677760.38237 0.92108 0.99789 0.12370 0.54211 0.778920.11123 0.56824 0.77125 0.78876 0.43287 0.899480.90439 0.00130 0.67441 0.67262 0.81323 0.949540.43295 0.76546 0.98167 0.98768 0.87679 0.12110



76 Ejercicios



CAPITULO 4

METODOS DE GENERACION DE

VARIABLES ALEATORIAS

La reproduccion de las fuentes de aleatoriedad en la simulacion del com-portamiento de un sistema exige la capacidad de generar muestras de

numeros aleatorios que correspondan adecuadamente a la distribucion deprobabilidad que gobierna la componente particular de conducta aleato-ria que se esta simulando. El mecanismo generador de tales muestras hade ser capaz de producir variables aleatorias de cualquier tipo, continu-Xas o discretas. El termino ((generar una variable aleatoria)) se refiere ala actividad de obtener una observacion, o realizacion, de una variablealeatoria a partir de la distribucion especificada.

Como vamos a ver a continuacion, el ingrediente basico para todo proce-

dimiento de generacion de variables aleatorias a partir de cualquier dis-tribucion o proceso aleatorio, es una fuente de produccion de variablesaleatorias independientes, identicamente distribuidas segun una distribu-cion uniforme en el intervalo (0,1). Esto es consecuencia de un importanteresultado de la teorıa de probabilidades en funcion del cual las mues-tras de diferentes variables de una gran variedad de distribuciones, tantoteoricas como empıricas pueden generarse a partir de muestras de vari-

77



78Metodo de la transformada inversa para distribuciones

continuas

ables aleatorias independientes uniformemente distribuidas en el intervalo(0,1).

Una vez aceptadas las pruebas de media, variancia, forma e independen-cia sobre los numeros aleatorios entre 0 y 1, se puede hacer uso de esosnumeros para generar variables aleatorias con otro tipo de distribucion.

Existen varios metodos para generar variables aleatorias:

Metodo de la transformada inversa.

Metodo de convolucion.

Metodo de aceptacion y rechazo.

Metodo directo.

4.1. Metodo de la transformada inversa para dis-tribuciones continuas

Este metodo se utiliza cuando se desea simular variables de tipo continuocomo exponencial, Weibull, uniforme general, entre otras. El metodoutiliza la distribucion acumulada F (x) de la distribucion de probabilidadque se va a simular mediante integracion. Ya que el rango de F (x) seencuentra en el intervalo 0 a 1, puede generarse un numero aleatorioxi para determinar el valor de la variable aleatoria cuya distribucionacumulada es igual, precisamente, a ui. La figura 4.1 muestra en formagrafica la metodologıa para una funcion cualquiera f (x) continua.

La dificultad de este metodo radica en que algunas veces es complicadoencontrar la transformada inversa.Sea X una variable aleatoria continuacon una funcion de probabilidad f (x), y una distribucion:

F (x) =

x −∞

f (θ)dθ (4.1)



METODOS DE GENERACION DE VARIABLESALEATORIAS 79

Figura 4.1: Metodo grafico de la transformacion inversa para distribu-ciones continuas

f(x)

x

1/λ

0

F(x)

x

ui

0 xi

Considerando la variable aleatoria

ui = F (x) =

x −∞

f (θ)dθ (4.2)

Luego, por la teorıa de probabilidad se sabe que la funcion de probabili-dad de ui es:

ui = |J| f (x) (4.3)

donde |J| =∂x∂u es el jacobiano de la transformacion, y :

ui = F (x) =

x −∞

f (θ)dθ, 0 ≤ ui ≤ 1 (4.4)

en este caso |J| = [f (x)]−1, y en consecuencia:

f (ui) = 1 si 0

≤ui

≤1 (4.5)

f (ui) = 0 en caso contrario (4.6)

que es la funcion de probabilidad de una variable aleatoria uniformementedistribuida en (0, 1), por lo tanto, si ui = F (xi), y F (x) es tal que existeF −1(ui), entonces:

xi = F −1(ui) (4.7)




continuas

en consecuencia si ui esta uniformemente distribuida en (0, 1), susti-tuyendo ui en F −1(ui), se obtiene x distribuida segun F (x).

4.1.1. Distribucion exponencial

Se desea simular una variable aleatoria con distribucion exponencial; lafuncion de densidad es

f (x) = λe−λx si x ≥ 0 (4.8)

La distribucion acumulada de esta funcion de 0 a un valor x es:

F (x) = 1 − e−λx (4.9)

Igualando la funcion acumulada F(x) al numero aleatorio ui y encontran-do la transformada inversa (despejando x) se obtiene:

xi = −1

λln(1 − ui) (4.10)

Por lo tanto cada vez que en esta expresion sustituimos ui por un valoren el intervalo (0, 1) correspondiente a una observacion de la variablealeatoria U , uniformemente distribuida en dicho intervalo, obtenemos elvalor x de una observacion de la variable aleatoria exponencial X deparametro λ.

4.1.2. Distribucion uniforme general (a, b)

Se desea simular numeros aleatorios con distribucion uniforme entre a y

b; la funcion de densidad es

f (x) =1

b − asi a ≤ x ≤ b (4.11)

La distribucion acumulada de esta funcion de 0 a un valor x es:

F (x) =x

b − asi a ≤ x ≤ b (4.12)




Igualando la acumulada de la funcion F (x) al numero aleatorio ui yencontrando la transformada inversa (despejando x) se obtiene:

xi = a + (b − a)ui (4.13)

4.2. Metodo de la transformada inversa para dis-tribuciones discretas

Se utiliza cuando se desea simular variables aleatorias de tipo discreto,como la distribucion Bernoulli, binomial, Poisson, discreta general, entre

otras. El procedimiento es similar al continuo pero el valor de F (x) se en-cuentra acumulando las probabilidades de los eventos individuales p(x).Tambien en este caso, F (x) esta definida en el intervalo 0 a 1; se generaun numero aleatorio ui y se determina el valor de la variable aleatoriacuya distribucion acumulada es igual a ui. La figura 4.2 muestra en for-ma grafica el procedimiento anterior para una funcion cualquiera p(x)discreta.

Figura 4.2: Metodo grafico de la transformacion inversa para distribu-ciones discretas

p(x)

x0 1 122 ………... x

1

F(x)

ui

xi

La dificultad de este metodo radica en que no existe una expresion finalsencilla, como en el caso de la continua.




discretas

4.2.1. Metodologıa

Paso 1

Calcular todos los valores de p(x) para la distribucion propuesta.

Paso 2

Calcular la acumulada F (x) para cada valor de x.

Paso 3

Generar un valor ui. Verificar en F (x) a que intervalo de x pertenece yese sera el numero aleatorio generado por la distribucion propuesta.

4.2.2. Distribucion de Bernoulli

La distribucion de Bernoulli es la mas sencilla y esta definida como:

p(x) = px(1

− p)1−x para x =

{0, 1

}(4.14)

donde:

x = 0 (no ocurre el evento)x = 1 (ocurre el evento)

Calculando las probabilidades de los dos eventos se tiene:

p(0) = (1 − p) y p(1) = p

la funcion acumulada es:

F (0) = (1 − p) y F (1) = 1

luego, se generan numeros aleatorios ui y:

Si el numero ui se encuentra entre 0 y 1 − p, el numero aleatoriogenerado con distribucion Bernoulli es 0.




Si el numero ui se encuentra entre 1 − p y 1, el numero aleatoriogenerado con distribucion Bernoulli es 1.

La misma metodologıa puede emplearse para generar valores de una va-riable con distribucion Poisson o binomial, con la diferencia de que en elcalculo de las probabilidades p(x) del paso 1 hay que utilizar la distribu-cion de probabilidad respectiva.

Las dificultades para calcular analıticamente la funcion inversa de la vari-able aleatoria X cuya muestra se pretende generar han llevado a desa-rrollar variantes de este metodo o incluso metodos especıficos segun las

caracterısticas de la variable. En los textos ya referenciados de Law yKelton [27], Bratley et al. [28] o Kleijnen [29, 30, 31] puede encontrarseuna variada coleccion de procedimientos que cubren la mayor parte delas distribuciones de probabilidad habitualmente utilizadas en los estu-dios de simulacion. Con objeto de completar esta descripcion vamos aincluir unicamente dos de los mas utilizados, el de las aproximaciones ala funcion inversa y el de rechazo.

4.3. Metodo de rechazo

Cuando la funcion de distribucion F (x) tiene una inversa que o bienes costosa de calcular, o no se puede calcular analıticamente, podemosrecurrir a tabular una secuencia de pares (F (xi), xi) tales que xi < xi + 1

El siguiente algoritmo invierte la aproximacion poligonal a F (x) que in-terpola estos pares:

1. Encontrar X i tal que F (X i) ≤ U ≤ F (X i + 1)

2. Calcular:

X =[F (X i+1) − U ] X i − [U − F (X i)] X i+1

F (X i+1) − F (X i)(4.15)



84 Metodo de rechazo

Este procedimiento puede considerarse como el simetrico del propuestoen el apartado anterior para tratar con distribuciones empıricas.

Ahrens y Kohrt [32], citados en [28], proponen un procedimiento de in-terpolacion mas exacto, pero mas complicado, basado en la integracionnumerica de la funcion de probabilidad para obtener F:

1. Integrar numericamente la funcion de probabilidad f(x) para obte-ner F.

2. Decidir como efectuar una particion de (0,1), el dominio de F-1, en

intervalos de longitud desigual basados en las caracterısticas de lafuncion F.

3. Determinar la forma y los coeficientes de la funcion de interpolacionpara cada uno de los subintervalos.

A pesar del coste computacional los resultados numericos indican queeste metodo es uno de los mejores.

El metodo de la transformada inversa requiere el conocimiento explıcitoo aproximado de la funcion de distribucion F (x), sin embargo en muchassituaciones disponemos de la funcion de probabilidad f (x) pero no dela funcion de distribucion. Un ejemplo tıpico es el caso de la ley normalpara el que no se conoce ninguna expresion analıtica para la funcion dedistribucion. El metodo de rechazo, propuesto por von Neumann [33]puede utilizarse cuando solo conocemos la funcion de probabilidad f (x).El metodo requiere que la funcion de probabilidad f (x) este acotada yno nula en un intervalo finito [a,b]. Definimos:

C = max {f (x) : a ≤ x ≤ b} (4.16)

Entonces:

1. Generar X uniformemente distribuida en (a, b);

2. Generar Y uniformemente distribuida en (0, c);




3. Si Y ≤ f (X ), entonces aceptar X , en caso contrario rechazarla yrepetir

La Figura 4.3 ilustra geometricamente la operatividad del metodo derechazo. Los valores X e Y representan las coordenadas de un punto delrectangulo de lados c y b-a. Si el punto queda por debajo de f(X), esdecir pertenece al area encerrada por la curva f(x) y el intervalo (a,b),entonces se acepta el valor de X, en caso contrario se rechaza.

Figura 4.3: Generacion de muestras de la variable aleatoria X , con

funcion de probabilidad f (x) por el metodo de rechazo simple

El metodo de rechazo es uno de los procedimientos basicos del conjun-to de procedimientos conocidos como Metodos de Monte Carlo [24], quecombina propiedades de la integracion de funciones con la generacion demuestras de variables aleatorias uniformemente distribuidas para calcu-

lar integrales numericamente. Ası, por ejemplo, dada una funcion f (x)acotada, definida en el intervalo [a, b] geometricamente la integral de f (x)en [a, b] es igual al area A1 encerrada por la funcion y el segmento [a, b]tal como indica la Figura 4.4:

A1 =

b a

f (x)dx (4.17)




Si la funcion alcanza su maximo en el punto cI[a,b] los puntos en elinterior del rectangulo de lados [0, c] y [a, b] se pueden interpretar como

una distribucion uniforme bivariante. Generar valores Xi uniformementedistribuidos en [a, b] y Y i uniformemente distribuidos en [0, c] equivale agenerar muestras de tal distribucion bivariante, de manera que cada par(X i, Y i) representa las coordenadas de un punto perteneciente a dichorectangulo, la probabilidad de que uno de dichos puntos pertenezca alarea A1, viene dada por:

p =A1

A⇒ A1 = Ap (4.18)

donde A es el area del rectangulo. En consecuencia todo procedimientode estimacion de p se convierte en un procedimiento de estimacion de A1

puesto que A es conocida.

Figura 4.4: Calculo de una integral por el metodo de rechazo

Dado (X i, Y i), si f (X i) ≥ Y i ⇒ (X i, Y i) ∈ A1, en caso contrario, (X i, Y i) ∈A2. Si generamos una muestra con un total de n puntos, se puede estimar

p a partir del conteo del numero de puntos m que pertenecen a A1, laestimacion viene dada por:

p =

m

n(4.19)




Haciendo un cambio de escala de manera que A1 + A = A = 1, laestimacion de A1, y por tanto del valor de la integral, y su error estandar,

vienen dados por:

A1 = p; σ A1

=

A1(1 − A1)

n − 1(4.20)

Los metodos de Monte Carlo admiten gran cantidad de variantes y estanconsolidados como procedimiento de integracion numerica, especialmenteen casos de gran dificultad como los que se presentan en muchos proble-mas de fısica e ingenierıa, en particular cuando se trata de funciones reales

no integrables analıticamente y, sobre todo, para integrales multiples, yaque para las simples se dispone en estos momentos de procedimientosnumericos muy poderosos. Los metodos de Monte Carlo pueden conside-rarse como procedimientos que utilizan la generacion de numeros aleato-rios, especialmente los uniformemente distribuidos en el intervalo (0,1)para resolver problemas estocasticos o deterministas de tipo estatico. Enel caso de las integrales, ademas de los argumentos anteriores podemosconsiderar que si:

A =

b a

f (x)dx (4.21)

es la integral de una funcion real f(x) no integrable analıticamente, sucalculo, que es un problema determinista, puede aproximarse por mediode los metodos de Monte Carlo de la manera siguiente:Sea Y la variable aleatoria (b−a)f (X ), donde X es una variable aleatoriacontinua uniformemente distribuida en el intervalo [a, b]. El valor espe-rado de Y es:

E (Y ) = E [(b − a)f (x)] = (b − a)E [f (x)] =

(b − a)

b a

f (x)θ(x)dx = (b − a)

b a

f (x)dx

(b − a)= A (4.22)




donde θ(x) = 1(b−a)

es la funcion de probabilidad de X . Esto permitereducir el problema de evaluacion de la integral al de estimar el valor

esperado E (Y ), para lo cual podemos utilizar la media muestral:

A = Y (n) =1

n

ni=1

Y i = (b − a)1

n

ni=1

f (X i) (4.23)

siendo X 1, X 2,....,X n variables aleatorias independientes identicamentedistribuidas con una distribucion uniforme en (a, b). Fijandose en queesto es equivalente a estimar el area de un rectangulo de base (b − a) yaltura A/(b

−a), que era la interpretacion intuitiva que dada al principio.

Otra variante de integracion basada en este caso es otra propiedad dela integral definida, la del teorema de la media, variante conocida con elnombre de ((Crude Monte Carlo))

El primer teorema de la media para el calculo integral [35] establece que:

b

a

f (x)dx = (b−

a)f (ξ), ξ∈

[a, b] (4.24)

Geometricamente significa que A3 = A1, es decir que el area del rectangu-lo de lados f (ξ) y [a, b] es igual al area encerrada por la curva f (x) y elintervalo [a, b] para algun punto interior ξ del intervalo, como ilustra laFigura 4.5:De nuevo un cambio de escala tal que A = 1 permite que toda estimacionde f (ξ) se convierta en una estimacion de A3. En este caso, si X i es una

observacion de la variable aleatoria X uniformemente distribuida en elintervalo [a, b] a partir de una muestra de n valores de X i una estimacionde f (ξ) es:

f (ξ) =1

n

ni=1

f (X i) (4.25)

Con error estandar:




Figura 4.5: Crude de Monte Carlo

σ A1

=

ni=1

[f (X i)]2 − n( A1)2

n(n − 1)(4.26)

Para terminar con la generacion de muestras de variables aleatorias con-tinuas con la presentacion de metodos ad-hoc para variables aleatoriascon funciones de probabilidad a las que no se puede aplicar alguno delos metodos discutidos, como el de la transformada inversa, y los que sepueden aplicar pueden tener un elevado coste computacional. El ejemploarquetıpico es el de las variables aleatorias que siguen la ley normal:

f (x) =1√2π

e−1

2x2 si − ∞ < x < ∞ (4.27)

de media cero y varianza 1, denotada habitualmente como X N (0, 1),cuya funcion de distribucion no puede representarse analıticamente por loque habitualmente se representa en forma tabular que se calcula numeri-camente.

Ilustraremos este caso con un procedimiento sencillo, basado en el teore-ma del lımite central, que aunque actualmente ha caıdo en desuso pone




de manifiesto el tipo de razonamiento que sustenta estos metodos. SeaX 1, X 2,....,X n, una secuencia de n variables aleatorias independientes e

identicamente distribuidas de media µx, y varianza σ2

x < ∞, si la mediamuestral es:

X n =1

n

ni=1

X i (4.28)

Entonces la variable:

y =x − µx

σx/√n

(4.29)

tiene una distribucion que converge a la distribucion normal estandar. Enla practica esto significa que cuando n es grande, la diferencia entre y y lavariable aleatoria normal estandar es despreciable. En consecuencia paragenerar una muestra de una distribucion normal estandar podemos uti-lizar n numeros aleatorios ui independientes uniformemente distribuidosen (0,1) y formar la variable aleatoria:

z =

ni=1

ui − n2 n/12

(4.30)

Puesto que toda transformacion lineal de una variable normalmente dis-tribuida produce una variable que tambien esta normalmente distribuida,si se tiene que generar una variable normalmente distribuida de media µy varianza σ2, a partir de z se puede hacer:

x = σ2z + µ (4.31)

Un metodo mas exacto que el acabado de exponer, es de Box y Muller queutiliza dos variables independientes u1 y u2 para producir dos variablesnormales estandar independientes x1 y x2:

x1 = cos(2πu2)

−2ln(u1) (4.32)

x2 = cos(2πu1)

−2ln(u2) (4.33)




Los metodos generales, como el de la transformada inversa, y otros,pueden adaptarse a las distribuciones discretas. Ası por ejemplo, para

la variable aleatoria geometrica, cuya funcion de probabilidad es:

f (x) = p(1 − p)x−1 para

0 < p < 1, x = {1, 2, 3,...} (4.34)

con funcion de distribucion:

y = F (x) =x

i=1

p(1 − p)i−1 = 1 − (1 − p)x

para 0 < p < 1, x = {1, 2, 3,...} (4.35)

de la relacion y = 1 − (1 − p)x se deduce que

ln(1 − y) = x ln(1 − p) ⇒ x =ln(1 − y)

ln(1

− p)

(4.36)

y como x tiene que ser entero, se elige el entero k que satisface la relacion:

ln(1 − y)

ln(1 − p)< k < 1 +

ln(1 − y)

ln(1 − p)(4.37)

en consecuencia, generando una secuencia de numeros aleatorios inde-pendientes y uniformemente distribuidos en (0, 1), la relacion anterior

permite generar una secuencia ki que estara distribuida geometricamentecon parametro p. Una adaptacion similar puede hacerse en el caso de laley de Poisson:

f (x) =λxe−λ

x!para λ ≥ 0, x = {0, 1, 2, 3,...} (4.38)

cuya funcion de distribucion es:



92 Otros metodos estadısticos

y = F (x) =

xi=1

λi

e−λ

i!= e−λ 1 + λ + λ

2

2!+ λ

3

3!+ ... + λ

x

x!

para λ ≥ 0, x = {0, 1, 2, 3,...} (4.39)

la adaptacion del metodo de la transformada inversa implica en este casoencontrar el menor entero x tal que:

1 + λ +λ2

2!+

λ3

3!+ ... +

λx

x!≥ yeλ (4.40)

4.4. Otros metodos estadısticos

En ocasiones no es posible aplicar el metodo de la transformada inversaa distribuciones de probabilidad, debido principalmente a que algunas deellas no tienen forma de integrarse, como el caso de la distribucion normal,gamma, entre otras. En tal caso se requiere la aplicacion de algunaspropiedades estadısticas como el teorema de lımite central o la propiedad

de convolucion, que permiten generar una distribucion mediante la sumade distribuciones mas sencillas, mediante la transformada z, entre otras.Estos son procedimientos especiales para lograr expresiones matematicasque generen las variables aleatorias deseadas.

A continuacion se presentan algunas de las expresiones mas utilizadas enla simulacion de sistemas para generar variables aleatorias.

4.5. Resumen para distribuciones continuasSe presentan ahora las expresiones finales para generar variables aleato-rias con las distribuciones de probabilidad mas usuales.

4.5.1. Distribucion uniforme general

Obtenida a partir del metodo de la transformada inversa.




xi = a + (b − a)ui (4.41)

donde:a = Lımite inferior de la distribucion uniforme.b = Lımite superior de la distribucion uniforme.xi= Numero aleatorio con distribucion uniforme entre a y b.ui = Numero aleatorio con distribucion uniforme entre 0 y 1.

4.5.2. Distribucion exponencial


xi = −1

λln(1 − ui) (4.42)

donde:1λ

=Media de la distribucion exponencial.xi= Numero aleatorio con distribucion exponencial.

4.5.3. Dsitribucion NormalObtenida a partir del metodo de convolucion

zi =

12i=1

ui − 6

σ + µ (4.43)

o bien mediante el metodo directo

zi =

cos(2πui+1)

−2ln(1 − ui)

σ + µ (4.44)

zi =

sen(2πui+1)

−2 ln(1 − ui)

σ + µ (4.45)

donde:



94 Resumen para distribuciones continuas

µ =Media de la distribucion normal.σ = Desviacion estandar de la distribucion normal.

zi= Numero aleatorio con distribucion normal.

4.5.4. Distribucion Erlang

Obtenida a partir del metodo de convolucion

xi = − 1

kλln(

k

Πi=1

ui) (4.46)

donde:1λ =Valor esperado.k = Parametro de forma.xi= Numero aleatorio con distribucion erlang.

4.5.5. Distribucion Weibull

Obtenida a partir del metodo de transformada inversa

xi = γ + β α − ln(1

−ui) (4.47)

donde:α =Parametro de forma.β = Parametro de escala.γ = Parametro de localizacionxi= Numero aleatorio con distribucion weibull.

4.5.6. Distribucion Gamma


xi = − 1

kλln(

k

Πi=1

ui) (4.48)

donde:1λ

=Valor esperado.k = Parametro de forma.xi= Numero aleatorio con distribucion gamma.




4.5.7. Distribucion χ2


xi =n

z2 j

j=1

(4.49)

donde:z j =Numeros aleatorios con distribucion normal estandar.n = Grados de libertad.xi= Numero aleatorio con distribucion χ2.

4.6. Resumen para distribuciones discretas

Se presentan ahora las expresiones finales para generar variables aleato-rias con las distribuciones de probabilidad mas usuales.

4.6.1. Distribucion bernoulli


si 0 ≤ ui ≤ 1 − p xi = 0 (4.50)

si 1 − p ≤ ui ≤ 1 xi = 1 (4.51)

donde: p = Probabilidad de ocurrencia del evento x = 1.1 − p = Probabilidad de ocurrencia del evento x = 0.xi= Numero aleatorio con distribucion bernoulli.ui = Numero aleatorio con distribucion uniforme entre 0 y 1.

4.6.2. Distribucion binomial

Obtenida a partir del metodo de concolucion.

xi =n

j=1

B j (4.52)



96 Resumen para distribuciones discretas

donde: p = Probabilidad de exito de la distribucion binomial que se involucra al

generar los bernoulli.N = Numero del evento maximo de la distribucion binomial.xi= Numero aleatorio con distribucion binomial.B j = Numero aleatorio con distribucion bernoulli.

4.6.3. Distribucion Poisson

Obtenida a partir de la propiedad que mantiene con la distribucionexponencial.

Paso 1

Hacer N=0, T= 1 y obtener el primer ui

Paso 2

Calcular T= T* ui

Paso 3

Si la T calculada es mayor que e−α calcular otro ui y regresar al paso 2,incrementando N en 1.

Si la T calculada es menor que e−α entonces P i = N . donde:ui = media de la distribucion Poisson.P i= numero aleatorio con distribucion Poisson

N = contador.T = contador.

Ejemplo. A partir de un generador de numeros aleatorios uniformesentre 0 y 1 se obtuvieron los valores 0.7814 y 0.5643. A partir de ellossimular:

a) Una variable aleatoria con distribucion uniforme entre 15 y 19.




U i = (19 − 15) ∗ ui + 15 = (4 ∗ 0,7814) + 15 = 18,1256

b) Una variable aleatoria con distribucion exponencial con media

1

λ = 5.xi = −5ln(l − ui) = −51n(1 − 0,7814) = 7,601

c) Una variable aleatoria con distribucion Bernoulli con p = 0,25. Comoui = 0,7814 se encuentra entre 0.25 y 1, entonces: xi = 0

d) Una variable aleatoria con distribucion normal con media 10 yvariancia 4.

zi = [[−2 ln ui]1/2

sen(2πui+1)] ∗ 2 + 10zi = [[−2 l n 0,7814]1/2sen(2π0,5643)] ∗ 2 + 10 = 9,4477

4.7. Ejercicios

1. Genere 100 numeros aleatorios uniformes entre 0 y 25 a partir dela siguiente expresion:

xi+1 = (73 ∗ . + 851)mod17561 x0 = 329

a.) Calcule el valor esperado y la variancia de los numeros generados.

b.) Obtenga el histograma.

2. Genere numeros aleatorios exponenciales con media 10 min a partirde los siguientes numeros aleatorios uniformes entre 0 y 1:

0.45721, 0.67213 y 0.96918.

3. Genere 100 numeros aleatorios con la siguiente distribucion:

f (x) = 14

(x + 1)3 si − 1 ≤ x ≤ 1

calcular media, varianza e histograma.



98 Ejercicios

4. El tiempo de proceso de un paquete de informacion sigue la funcionde probabilidad

f (x) = x

100si 0 ≤ x ≤ 10

20−x100

si 10 ≤ x ≤ 20

Simule el tiempo de proceso de 100 paquete y calcule media, variancia ehistograma.

5. Genere 100 numeros aleatorios utilizando el generador RAND( )del EXCEL para las siguientes distribuciones de probabilidad:

a.) Normal(µ, = 10, σ = 4)

b.) Weibull(γ = 100, β = 20, α = 2)

c.) Exponencial (λ = 15)

d.) Triangular (a = 10, b = 15, c = 18)

e.) Erlang(λ = 10, k = 3)

Calcule en cada caso, la media, la variancia y el histograma y deter-mine con un nivel de aceptacion del 95% si los numeros generados sonadecuados.

6. Genere 100 numeros con la siguiente distribucion:

f (x) = 15

(45

)x−1 si x = {1, 2, 3,...}

Calcule el valor esperado, la variancia y el histograma.

7. El numero de paquetes erroneos dentro de tramas de tamano 1000que envıa cierto usuario de una red sigue una distribucion de prob-abilidad cuya funcion de densidad esta dada por:

f (x) =1

2( 12)x−1

1−( 12)20

si x = {1, 2, 3, ..., 20}




Simule los valores de la variable para 50 paquetes consecutivos.

8. ¿Cual serıa la expresion final para generar numeros aleatorios uni-formes entre 7 y 16 a partir de un generador de numeros aleatoriosexponenciales con media igual a 11?



100 Ejercicios



CAPITULO 5

VERIFICACION Y VALIDACION

DE RESULTDOS

5.1. Calculo del numero optimo de simulaciones

Debido a la naturaleza probabilıstica de los sistemas donde se utiliza lasimulacion, se hace imprescindible crear modelos cuyos resultados seanestadısticamente iguales a los sistemas reales. Uno de los factores queafectan en forma directa esos resultados es el tamano de la corrida desimulacion o bien el numero de corridas de simulacion realizadas paraencontrar resultados confiables. Al realizar una corrida de simulacion,el resultado promedio de las variables del sistema tienen un periodo deinestabilidad y, conforme transcurre el tiempo, esas variables tienden aun estado estable y es entonces cuando los valores de las variables derespuesta son confiables.

Existen, en general, varias formas para lograr la estabilizacion deun modelo de simulacion, la primera consiste en utilizar corridas losuficientemente largas para que los datos del periodo de transicionresulten insignificantes, este planteamiento puede ser adecuado si laejecucion del modelo es rapida. Esta situacion no es tan atractiva

101



102 Calculo del numero optimo de simulaciones

si la duracion del periodo transitorio es prolongado, en este caso, sepueden seleccionar condiciones iniciales de arranque que sean mas

representativas de la condicion de estado estable y que por tanto reduzcael periodo transitorio. El principal problema en este caso es no teneruna idea adecuada de las condiciones iniciales, lo que podrıa llevar a unapolarizacion de los resultados y en consecuencia aumentar la varianza,ocasionando tamanos de corrida mas grandes. Una tercera opcion esdeterminar en que momento se ha llegado al estado estable en funcion delos resultados obtenidos, una de las formas mas comunes de determinareste momento se consigue graneando el valor promedio de la variablede interes contra el tiempo de simulacion, y cuando se observe que

ese promedio ya no cambia a traves del tiempo, detener la corrida desimulacion.

El tamano de una corrida de simulacion depende principalmente del tipode distribucion que se intenta simular y, por decirlo de alguna forma, dela bondad del generador de numeros U (0,1) que se esta utilizando y delas condiciones iniciales con que inicio la simulacion del sistema.

En forma general, para calcular el numero de simulaciones optimo setiene la expresion:

n =σ2(zα/2)2

k2(5.1)

donde:z = estadıstico normal estandar para cierta a.k = desviacion absoluta maxima permitida sobre la media de la distribu-cion a simular.

σ2 = variancia de la distribucion a simular.

Cuando la media y la variancia de la distribucion a simular se obtuvieronde una poblacion n1 de 30 o menos elementos, entonces, el calculo optimode las simulaciones se modifica de acuerdo con la siguiente ecuacion:

n =s2(tn1−1,α/2)2

k2(5.2)



VERIFICACION Y VALIDACION DE RESULTDOS 103

donde:t = estadıstico de la distribucion t student.

k = desviacion absoluta maxima permitida sobre la media de la distribu-cion a simular.s2 = estimador de la variancia de la distribucion a simular.

Esta segunda formula se emplea para calcular n optima basandose enuna corrida simulada del sistema de tamano n1. A esta corrida pequenase le conoce como prueba piloto, y su funcion es calcular n en funcion dela distribucion general y del generador utilizado en la prueba piloto.

Pueden usarse ambas formulas siempre y cuando la informacion de dondese obtienen los estimadores sigan, estadısticamente, una distribucion nor-mal. En caso de que los datos analizados sigan otra distribucion se debeusar uso del teorema de Tchebycheff de tal suerte que el calculo se vereducido a:

n =m2

α(5.3)

donde:

α = Probabilidad de error permitida.1m

= Numero de desviaciones estandar maximo permitido sobre la mediade la distribucion a simular.

El calculo del numero de corridas optimo, en modelos donde se tenganvarias variables probabilısticas, se realiza ejecutando el calculo para cadauna de ellas y se selecciona la mayor de todas las n; este sera el numerode simulaciones del modelo computacional.

Ejemplo. Se desea encontrar el numero de simulaciones que debe realizarun simulador de una fuente de informacion, de tal forma que el promediodiario simulado de paquetes no difiera mas de ±0,166σ de su valor real,con una confiabilidad del 95 %.

Si se supone o se sabe que el numero de paquetes erroneo sigue unadistribucion normal, entonces el numero de simulaciones optimo es:



104 Calculo del numero de replicas

n =σ2(zα/2)

2

k2

donde: z = 1.96 para una confiabilidad del 95 %.k = 0,166σ

Sustituyendo la informacion se tiene:

n = 138,29.

Ahora bien, si no se tiene idea de la distribucion de probabilidad de los

paquetes generados o de que siga otro tipo de distribucion, se utiliza laexpresion:

n = m2

α= 62

0,05= 720

Este calculo del numero de simulaciones optimo, es un calculo a priori,sin embargo, no asegura del todo que se cumpla con las condiciones deestabilidad. Una forma mas segura de determinar el momento en que elsistema se estabiliza se consigue al graficar, a traves del tiempo, cada uno

de los valores promedio de aquellas variables o resultados que se deseenanalizar y al observar el comportamiento de las variables deteniendo lasimulacion cuando todas esas variables se encuentren en estado estable.

5.2. Calculo del numero de replicas

Una vez que se ha corrido un sistema de simulacion hasta llegar a laestabilizacion, existe el problema de que las observaciones obtenidas en

el experimento de simulacion, generalmente, no son independientes (auto-correlacionadas). Para obtener resultados independientes hay que repetirV veces la simulacion de tamano n con diferentes numeros aleatorios. Seaconseja que el numero de replicas o repeticiones sea de 3 a 10.

Teniendo los resultados de cada una de las replicas, es necesario tomarestos resultados para calcular los estimadores de media, variancia e in-tervalo de confianza de acuerdo con el siguiente procedimiento.




Calcular la media y variancia de las observaciones para cada replica in-dividual con las formulas:

x j =1

n

ni=1

xij (5.4)

s2 j =1

n − 1

ni=1

(xij − x j)2 (5.5)

Con la media y la variancia de cada una de las replicas, encuentre lamedia y variancia entre replicas con las formulas siguientes

x =1

r

r j=1

x j (5.6)

s2 =1

r − 1

ni=1

(x j − x)2 (5.7)

Debido a la naturaleza probabilistica de los resultados, es indispensableque para cada variable de respuesta se calcule el intervalo de confianza

de acuerdo con:

I cx = x ±

s√r

tr−1,α/2 (5.8)

5.3. Reduccion de la varianza

En muchos estudios de simulacion, una gran parte del tiempo se empleaen el desarrollo del modelo y en la programacion del mismo; pero soloun pequeno esfuerzo se utiliza para desarrollar un diseno apropiado delas corridas o para analizar correctamente los resultados que genera lasimulacion. Partiendo de que la informacion de entrada es una variablealeatoria, la informacion de salida es tambien aleatoria. Por lo tanto, unmodelo de simulacion solo puede producir un estadıstico estimado de lamedida de desempeno. Existen algunos metodos, conocidos como tecnicasde reduccion de varianza, que permiten reducir los valores estimados para



106 Reduccion de la varianza

la varianza, fijando condiciones a partir de los datos historicos. Para queel resultado de una simulacion sea estadısticamente precisa y libre de

tendencias, se debe especificar perfectamente la longitud de cada corrida,el numero de replicas y el periodo de estabilizacion.

Ejemplo. Una pequena red consta de un centro de enrutamiento y con-mutadores de inspeccion de tramas. Las tramas por procesar arriban alrouter a un ritmo de 1 por minuto. Los tiempos de procesamiento enel router e inspecciones subsecuentes son aleatorios con medias respec-tivas de 0.675 y 0.775 minutos; 90 % de las tramas inspeccionadas son”buenas 2se envıan al usuario de destino; el resto son ”malas 2se envian

a centros de procesamiento y control de errores. El router esta sujeto adescomposturas de ocurrencia aleatoria y la red esta inicial-mente vacıa ydesocupada. La tabla siguiente muestra los estimados de las medidas dedesempeno analizadas para 5 replicas independientes, de longitud iguala 16 horas (se usan diferentes numeros aleatorios en cada replica) parauna simulacion de la red.

Corrida Salidas Tiempo de transito Prom. de

tramasen inspeccion

1 797 7.41 112 734 3.12 113 741 4.24 174 772 5.85 145 769 7.75 24

Observe que los resultados para varias corridas pueden ser completamentediferentes. Ası, una sola corrida no produce las respuestas. Se presentanaquı algunas tecnicas que ayudaran al analista a encontrar de forma masrapida un estimador del resultado.

Las diferentes tecnicas de reduccion de varianza, ocasionan una reduc-cion en el tiempo de simulacion mediante la disminucion del tamano de lacorrida y son valiosas cuando, por el tamano de los modelos, la memoria




computacional no es capaz de soportar altos tiempos de simulacion. Estastecnicas basicamente pretenden distorsionar o cambiar el modelo original

para obtener estimaciones a bajo costo. A continuacion se da una breveexplicacion de cada una de ellas.

5.3.1. Muestreo antitetico

El objetivo de esta tecnica es inducir una correlacion negativa entre loselementos correspondientes en las series de numeros aleatorios utilizadospara generar variaciones de entrada en replicas diferentes. Una formade generar correlaciones negativas consiste en correr el modelo, primero,

con numeros aleatorios ui para obtener un estimador Y 1 del parametroestudiado y despues, con numeros 1−ui, obteniendo un estimador Y 2 delparametro estudiado

5.3.2. Corridas comunes

Una practica util cuando se desarrolla un proceso de simulacion, es em-plear datos historicos, los cuales pueden ser archivados y utilizados pos-teriormente para definir, por ejemplo, los programas de produccion de

anos anteriores. El objetivo principal es iniciar nuevas corridas de sim-ulacion utilizando siempre los datos almacenados; de esta forma, el usode las corridas comunes afecta a todas las alternativas de igual forma.Se debe aplicar cuando el problema consiste en la comparacion de dos omas alternativas.

5.3.3. Muestreo clasificado

Esta tecnica se apoya en un resultado parcial de una corrida, clasificando-lo como interesante o no interesante, en caso de ser interesante se continuacon la corrida en caso contrario se detiene la corrida.

5.3.4. Variaciones de control

Este metodo utiliza aproximaciones de modelos analıticos para reducir lavarianza. Por ejemplo, una simulacion puede ser un modelo complejo de




colas donde interese conocer la longitud promedio de la fila, cuyo valorpuede estimarse analıticamente.

5.3.5. Muestreo estratificado

En esta tecnica la funcion de distribucion se divide en varias partes, lomas homogeneas posibles que se resuelven o ejecutan por separado; losresultados obtenidos se combinan para lograr una sola estimacion delparametro a analizar.

5.3.6. Muestreo sesgadoConsiste en distorsionar las probabilidades fısicas del sistema real, de talforma que los eventos de interes ocurran mas frecuentemente. Los resul-tados obtenidos presentaran tambien una distorsion que debe corregirsemediante factores probabilısticos de ajuste.

A contimuacion se describen algunos de ellos:

5.3.7. Variables Antiteticas

De forma general, la tecnica de variables antiteticas se basa en encon-trar dos estimadores insesgados del parametro desconocido, en este casoel valor de la funcion de prueba, F , que posean una fuerte correlacionnegativa.

Si F 1 y F 2 son dos valores de la funcion de prueba para dos muestrasaleatorias, entonces un estimador insesgado de F esta definido por G,correspondiente a la media aritmetica entre F 1 y F 2, como se muestra enla Ecuacion 5.9.

G =F 1 + F 2

2(5.9)

Ademas, la varianza del nuevo estimador esta dada por la Ecuacion 5.10.




σ2(G) =1

4

σ2(F 1) +1

4

σ2(F 2) +1

2

Cov(F 1, F 2) (5.10)

De esta forma, si F 1 y F 2 son dos variables independientes e identicamentedistribuidas (IID), entonces se cumple que la varianza de G es la mitadde la varianza de F , como indica la Ecuacion 5.11.

σ2(G) =1

2σ2(F ) (5.11)

Hasta este punto, no se ha logrado una mayor reduccion de varianza, yaque para el estimador G, si bien tiene una varianza igual a la mitad dela varianza de F , su calculo implica considerar el doble de muestras. Sinembargo, es posible reducir el valor de la varianza de G si se logra unacovarianza negativa entre los estimadores F 1 y F 2, es decir, el terminoCov(F 1, F 2) en la Ecuacion 5.10 debe ser menor que cero.

En particular, en el caso que F sea una funcion de numeros aleatoriosuniformemente distribuidos entre cero y uno e IID, tal que F = f (U )donde U = (U 1, . . . , U m) y los numeros U i son IID, tambien uniforme-mente entre cero y uno, el algoritmo tıpico de Monte Carlo, suponiendouna muestra de tamano 2n, involucra los siguientes pasos:

Generar los valores U i y calcular F i = f (U i)

Calcular el valor del estimador G2n = F 2n , donde F 2n es el prome-dio de los valores F i (Ecuacion 5.12).

F 2n =1

2n

2ni=1

F i (5.12)

Calcular la varianza del estimador G2n, definida por la Ecuacion2.16.




σ2(G2n) =1

(2n − 1)

2n

i=1

(F i−

F 2n)2 (5.13)

Sin embargo, en el algoritmo anterior, es posible utilizar los valores de(1 − U i) para generar las muestras de F , debido a que si la variablealeatoria U i se distribuye uniformemente entre cero y uno, entonces lavariable aleatoria (1 − U i) tambien lo hace. Esta propiedad puede usarsepara definir otro estimador de F , como se explica en el parrafo siguientes.

De la misma forma que en el algoritmo anterior, se define F i = f (U i), sin

embargo, tambien se define˜

F i = f (1 − U i).Cabe hacer notar que tantoE (F i) como E (F i) son estimadores insesgados de F . En particular, sise define el estimador G tal que cumpla con la Ecuacion 5.14, entoncesE (G) tambien es un estimador insesgado de F .

G =F i + F i

2(5.14)

A las variables U i y (1−U i) se les da el nombre de “variables antiteticas”.

5.3.8. Variables de Control

La idea fundamental detras del metodo de variables de control, tambiendenominado como “regresion generalizada”, es la de encontrar una fun-cion G que reemplace a la funcion de prueba, F , tal que su esperanza seaigual, pero que su varianza sea menor.

Para esto, se construye la funcion G utilizando, ademas de F , una variable

aleatoria, Z , resultante de la misma simulacion de Monte Carlo, pero cuyovalor esperado se supone conocido. La formulacion de G se presenta enla Ecuacion 5.15.

G = F + c(Z − E (Z )) (5.15)

En donde c es una constante real cualquiera, que se debe determinar deforma de minimizar el valor de la varianza de G. De la Ecuacion 5.15 se




deduce que E (G) = E (F ), ya que, por propiedades del valor esperado,se cumple que:

E (G) = E (F ) + E (c(Z − E (Z ))) (5.16)

E (G) = E (F ) + E (cZ ) − E (E (Z )) (5.17)

E (G) = E (F ) + E (cZ ) − E (Z ) (5.18)

En cuanto a la varianza de G, esta queda expresada por la Ecuacion 5.19.

σ2(G) = σ2(F ) + c2σ2(Z ) + 2cCov(F, Z ) (5.19)

De modo de minimizar la varianza de G, se puede escoger el valor de laconstante c tal como indica la Ecuacion 2.21.

c∗ =Cov(F, Z )

σ2(Z )(5.20)

Sustituyendo c en la Ecuacion 5.19 por el valor de c∗, se tiene que lavarianza de G queda definida como:

σ2(G) = σ2(F )

−Cov(F, Z )2

σ2

(Z )

(5.21)

De la Ecuacion 5.21 se infiere que para que la varianza de G sea menorque la varianza de F , se necesita definir la variable aleatoria Z tal que lacovarianza entre F y Z sea distinta de cero.

Cabe senalar que, en caso de que la varianza de Z o la covarianza entreF y Z sean valores desconocidos a priori, se pueden utilizar estimacionesde estos obtenidas a partir de un numero p de corridas piloto de la simu-lacion, como se presenta en las ecuaciones 5.22 y 5.23.

σ2(G) =

pi=1

(Z i − E (Z ))2

p − 1(5.22)

Cov(F , Z ) =

pi=1

(F i − F p)(Z i − E (Z ))

p − 1(5.23)




5.3.9. Muestreo por Importancia de Estados

La idea que subyace a esta metodologıa es la de modificar la funcion deprobabilidades de x y, por lo tanto, la de F (x), con el objeto de mantenersu valor esperado, pero disminuyendo su varianza.

En otras palabras, considerando la definicion de valor esperado de laEcuacion 5.24, debe encontrarse una distribucion de probabilidades P ∗(x)y, por lo tanto, una nueva funcion de prueba F ∗(x).

E (F ) =

x∈XF (x)P (x) (5.24)

La nueva funcion de prueba, F ∗(x), puede definirse en terminos de lanueva funcion de probabilidades P ∗(x), como se muestra en la Ecuacion5.25.

F ∗(x) =F (x)P (x)

P ∗(x)(5.25)

Evidentemente, ası definida la nueva funcion de prueba, el valor esperado

de esta es igual al valor esperado de la funcion de prueba original, ya quese cumple:

E (F ∗) =x∈X

F ∗(x)P ∗(x) (5.26)

E (F ∗) =x∈X

F ∗(x)P (x)

P ∗(x)P ∗(x) (5.27)

E (F ∗) = x∈X

F (x)P (x) = E (F ) (5.28)

A su vez, la varianza de la nueva funcion de prueba queda determinadapor la Ecuacion 5.29.

σ2(F ∗) =x∈X

P ∗(x)(F ∗(x) − E (F ∗))2 (5.29)




Considerando, ademas, que los valores esperados de ambas funciones deprueba son iguales, la Ecuacion 5.29 puede reformularse como:

σ2(F ∗) =x∈X

P ∗(x)(F ∗(x) − E (F ))2 (5.30)

Por lo tanto, el problema queda acotado a definir la nueva funcion deprueba, lo que es equivalente a definir la nueva funcion de probabili-dades. Esta funcion de probabilidades, para cumplir con las condicionesde valores esperados y varianza, debe cumplir con la Ecuacion 5.31.

P ∗(x) =

F (x)P (x)

E (F ) (5.31)

De esta forma, segun expresa la Ecuacion 5.31, la nueva funcion de pro-babilidades considera la participacion relativa de F (x) sobre E (F ) y, porlo tanto, el muestreo favorece el sorteo de los estados mas importantes.

5.4. Validacion de resultados

Al usar la simulacion para estudiar un sistema complejo, encontramos

varios tipos de error como

a.) Errores de diseno

b.) Errores en la programacion

c.) Errores en los datos utilizados

d.) Errores en el uso del modelo

e.) Errores en la interpretacion de los resultados.

Evaluar un modelo significa desarrollar un nivel aceptable de confianzade modo que las inferencias obtenidas del comportamiento del modelosean correctas y aplicables al sistema del mundo real. La validacion yverificacion es una de las tareas mas importantes y difıciles que enfrentala persona que desarrolla un modelo de simulacion.



114 Validacion de resultados

1. Verificacion se refiere a la comparacion del modelo conceptual conel codigo computacional que se genero, para lo cual es necesario

contestar preguntas como: ¿esta correcta la codificacion?, ¿son cor-rectas la entrada de datos y la estructura logica del programa?

2. Validacion es la demostracion de que el modelo es realmente unarepresentacion fiel de la realidad. La validacion se lleva a cabo, gen-eralmente, a traves de un proceso comparativo entre ambas partesy usa las diferencias para lograr el objetivo.

En el proceso de validacion usualmente se emplean las pruebas estadısti-cas siguientes:

a.) Prueba de estimaciones de los parametros de la poblacion asum-iendo una distribucion de probabilidad (pruebas F, t y z).

b.) Pruebas de las estimaciones de los parametros de la poblacionque no son dependientes de la suposicion de una distribucion de

poblacion implıcita (prueba de medias Mann-Whitney).c.) Pruebas para determinar la distribucion de probabilidad de la cual

proviene la muestra (pruebas de bondad de ajuste de Kolmogorov-Smirnov o χ2)-

Ejemplo. La situacion real de la red FATSA en cuanto a la produccionde paquetes por minuto, de acuerdo con los datos de los ultimos 8 minutoses la siguiente: 115, 105, 97, 96, 108, 104, 99 y 107. El modelo creado para

la simulacion de la red arroja los siguientes 10 resultados de produccionde paquetes por minuto: 110, 97, 100, 105, 108, 99, 118, 104, 105 y 103.¿Son los resultados del modelo estadısticamente iguales a los reales?

a.) Hipotesis sobre la varianza:

H 0 : V (modelo) = V (real)H 1 : V (modelo) = V (real)




V (real) = 40,57V (modelo) = 36,96

F c de tablas con 8 y 10 grados de libertad y con un nivel de rechazode un 5 % es 3.07. Ya que F 0 es menor que F c, se acepta que el modelode simulacion esta arrojando resultados con la misma variancia que elsistema real.

b.) Hipotesis sobre la media

H 0 : µ(modelo) = µ(real)

H 1 : µ(modelo) = µ(real)

E (modelo) = 104,90E (real) = 103,87

El estadıstico a utilizar es el correspondiente a variancias iguales y pobla-cionalmente desconocidas y con media poblacional desconocida, puestoque solamente se tienen los datos de dos muestras.

t = x1 − x2 n1σ21+n2σ22

n1+n2

1n1

+ 1n2

(5.32)

t =104,9 − 103,87

8(40,57)+10(36,96)8+10

18

+ 110

(5.33)

El estadıstico tc con 8 + 10 - 2 = 16 grados de libertad y con un nivelde rechazo del 5 % es 1.746.

Ya que t es menor que tc, se acepta que los resultados en cuanto a laproduccion de paquetes por minuto del simulador son estadısticamenteiguales, en cuanto a la media, a los de la produccion real.

En cuanto a la prueba de forma entre ambas muestras no se puede afir-mar nada ya que la cantidad pequena de datos que se esta manejandoimposibilita la formacion de histogramas para realizarla.



116 Ejercicios

5.5. Ejercicios

1. Despues de ejecutar una replica de simulacion con 325 corridas,los resultados de la variable de salida son: E(t)= 9560 y V(t)=54. Tomando en cuenta un error de un 5 %, ¿cual es la exactitudlograda en esta replica ?

2. Calcule el numero de simulaciones optimo para que el estimado nodifiera mas de ±(α/9) de la media con un nivel de confianza del78%.

3. ¿Cual es el numero de simulaciones optimo para que a un nivel deconfianza del 95 %, el valor simulado no difiera del valor real enmas de ±(α/3)?

4. Sin utilizar el teorema de Tchebycheff, encuentre el numero de cor-ridas optimo si se desea que la media a estimar no difiera de laverdadera en mas de ±(α/8) con un nivel de confianza del 95 %.

5. Determine un intervalo de confianza al 90 % de los errores en pa-

quetes. Se realizaron 6 replicas de la simulacion de la resistencia yse obtuvieron las siguientes valores: 263, 274, 256, 233, 248 y 235.

6. Determine un intervalo de confianza del 80 % al simular la cantidadde fallos en el core de una red. Se realizaron 10 replicas de dichosistema obteniendose los siguientes resultados de la cantidad defallos: 4.28, 4.37, 3.45, 4.33, 4.25, 4.65, 4.45, 4.18, 4.29 y 4.00.

7. Determine un intervalo de confianza al 95 % del tiempo de esperaen un sistema. Se realizaron 3 replicas de la simulacion de la fila yse obtuvieron los siguientes tiempos: 9.78, 8.67 y 9.83.

8. Determine un intervalo de confianza al 90 % de las llamadas perdi-das promedio/dıa de un sistema de telefonıa celular. Se realizaron5 replicas de la simulacion de las llamadas y se obtuvieron los sigu-ientes resultados: 9783, 8674, 7456, 9833 y 8005.




9. Si los datos experimentales del funcionamiento de cierto router du-rante 40 dıas arroja una media de 16 goets/dıa, con una desviacion

estandar de 2 goets/dıa, y nuestro modelo de simulacion con 50corridas indica una media de 14 goets/dıa con una desviacion de1.8 goets/dıa. Determine si hay una diferencia significante entreambas medias, con un nivel de confianza del 95 %.

10. Los datos reales congestion de una central durante una semana son15, 17, 9, 12, 11, 14, 13. La realizacion de un modelo de simulacionarroja los siguientes resultados de dicha congestion: 13, 14, 17, 8,10, 9, 12, 12, 14, 12, 9, 11. ¿Son los resultados de la simulacion

similares a los reales con un nivel de confiabilidad del 95 %?

11. La empresa FATSA ha observado el comportamiento de las fallos desu red durante 8 dıas y los datos que obtuvo fueron los siguientes:115, 105, 97, 96, 108, 104, 99 y 107. Corriendo el modelo de simu-lacion de fallos, durante 10 dıas, encontro que estos se comportabannormalmente con media 108 y varianza 8.1. ¿Son los resultados deambas muestras estadısticamente iguales con un nivel de confianzadel 90 %?

12. Los usuarios de una red detienen su produccion de informacionautomaticamente al ocurrir un fallo, hasta que un operario tieneque ir a reparar. Una simulacion del sistema del tiempo de paro delos router ha arrojado los siguientes resultados (en minutos):

1.88 3.53 1.42 0.39 0.80 0.54 0.53 1.28 0.34 5.50 1.90 1.800.82 0.01 4.91 0.15 0.79 2.16 0.10 0.35 0.02 0.21 0.05 1.100.36 2.81 0.80 0.04 0.24 0.90 1.50 0.26 1.49 0.26 1.03 0.53

0.63 0.66 0.45 1.73 2.62 0.36 2.03 0.17 0.38 2.67 2.03 1.004.29 0.48

El supervisor del departamento de redes, de acuerdo con su experiencia,indica que en la realidad el tiempo de paro de los router es aproximada-mente exponencial con media de 1.4 minutos. Determine si el modelode simulacion arroja resultados estadısticamente iguales a la opinion delsupervisor con un nivel de confianza de 5 %.



118 Ejercicios

13. Los datos reales, durante 7 dıas, del porcentaje de errores en una redson: 5, 15, 25, 7, 9, 13, 10. Un modelo de simulacion del porcentaje

de errores durante 10 corridas arrojo los siguientes resultados: 6, 9,7, 2, 11, 5, 6, 7, 11, 4. Valide los resultados del modelo de simulacioncon la realidad con un nivel de aceptacion del 95 %.

14. Simule el numero de tramas erroneas de 100 mensajes consecutivos,sabiendo que esa variable aleatoria sigue una distribucion geometri-ca (p = 0.5, k = 1,2,3, . . .). Si se tiene un costo de $500 por cadatrama defectuosa, calcule el costo promedio por mensaje.

15. Si se define t como el tiempo que transcurre antes de que falleun dispositivo en la red y dicho tiempo sigue la distribuci on deprobabilidad dada por:

F (t) = 1 − e−(t/2) para t ≥ 0

Simule el comportamiento del tiempo de funcionamiento de la maquina.



CAPITULO 6

TENDENCIAS DE LA

SIMULACION

Generadores de simuladores, entornos de simulacion y animacion grafi-ca La metodologıa de la simulacion que hemos descrito en los capıtulos

anteriores, a pesar de sus exitos y de su implantacion mediante los lenguajes de simulacion que la incorporan, puso de manifiesto hace ya tiempouna serie de limitaciones en lo que se refiere a la comunicaci on con elusuario (interfaces hombre-maquina), al marco conceptual del procesomodelizador y a las herramientas software y estructuras de datos nece-sarias para construir el modelo en el computador y organizar eficiente-mente los datos requeridos. Una posibilidad de superar tales limitacionesfue planteada ya en 1979 por Oren y Zeigler [54], en su formulacion deun marco metodologico para el desarrollo de software avanzado de sim-ulacion, dentro del cual se han realizado la mayor parte de los progresosque comentaremos en este apartado. Proponıan Oren y Zeigler disenarnuevos lenguajes de simulacion, o redisenar algunos de los existentes sifuese posible, incorporando al diseno de manera directa los conceptosfundamentales de la teorıa de sistemas, de manera que:

Permitiesen al modelizador plantearse su problema dentro del mar-

119



120 La modelizacion.

co de la teorıa de sistemas, expresando sus concepciones directa-mente de forma inteligible para el computador, lo que equivale a

realizar en un solo paso el proceso de construccion del modelo y suprogramacion para computador, haciendo posible.

Especificar directamente los modelos en terminos de inputs, estadosy outputs.

Tuviesen capacidad para combinar, descomponer y recombinarmodelos, es decir considerar los modelos como posibles compo-nentes de macromodelos, de acuerdo con las recomendaciones paralos procedimientos de validacion de modelos de sistemas complejos.

Proporcionasen los fundamentos operacionales para proponermetodologıas avanzadas de simulacion

En consecuencia una metodologıa avanzada para la simulacion, y el con-texto computacional que la soporta, debe incluir elementos para:

6.1. La modelizacion.

6.1.1. Seleccion del formalismo de modelizacion.

El modelizador deberıa tener la posibilidad de elegir diversos formalis-mos de modelizacion segun las caracterısticas del sistema que pretendemodelizar, continuo, discreto, etc. Por lo tanto deberıa tener acceso aformalizaciones en terminos de ecuaciones diferenciales y/o en diferen-cias, sucesos discretos/tiempo discretos, procesos markovianos, sistemasde colas, etc. Llegando al extremo de poder concebir modelos de sistemas

cuya estructura varıe con el tiempo, es decir la posibilidad de especificarcambios controlados por el modelo en su estructura estatica y dinamica.

6.1.2. Manipulacion del modelo.

Descomposicion del modelo en submodelos, simplificacion del mode-lo, agregacion de modelos en macromodelos refinamientos del modelo,adaptacion a diferentes marcos experimentales, etc.



TENDENCIAS DE LA SIMULACION 121

6.1.3. Construccion modular del modelo.

Que haga posible, de acuerdo con las tecnicas que hemos propuesto para

la validacion y verificacion de modelos, construir macromodelos acoplan-do e integrando modelos de subsistemas componentes que se han mod-elizado por separado, o se toman de bases de modelos preexistentes, cuan-do se integran en sistemas informaticos de ayuda a la toma de decisiones.

6.2. Marcos experimentales.

Posibilidad de su manipulacion interactiva.

6.3. Programas de simulacion.

Especificacion algorıtmica de los programas de simulacion que permita untratamiento automatico de los pares modelo-marco experimental, lo quesupone una especificacion del lenguaje de simulacion que haga posible:

Una expresion modular de los modelos y sus acoplamientos e inter-

acciones de acuerdo con los diferentes formalismos de modelizacion.

Una especificacion modular de los marcos experimentales.

La consecuencia de todos los requisitos y especificaciones mencionadoses una metodologıa de simulacion, y un lenguaje que la materialice, quehagan posible un proceso de modelizacion asistida por computador.

Los primeros intentos de desarrollar una plataforma software que incor-

porase sino todos los ingredientes propuestos al menos los mas significa-tivos, fueron los generadores interactivos de programas de simulacion, elDRAFT de Mathewson [24], y el MISDEM de Davies [55].

Cuyo punto de partida esta en el hecho que hemos puesto de mani-fiesto de que ciertas caracterısticas de los programas de simulacion sonespecıficas del modelo particular que se esta implantando, mientras queotras son comunes a todos los modelos, especialmente los mecanismos de



122 Programas de simulacion.

avance del tiempo. En el caso de la simulacion de sistemas discretos elproblema central es el de la ejecucion en una secuencia cronologicamente

correcta (((

scheduling))

) de las secciones del programa que representanla ocurrencia de los sucesos aleatorios. Cada lenguaje particular de sim-ulacion (Simulation Programming Language, SPL) proporciona, segunhemos visto en el Capıtulo 3, el esqueleto de un programa y un mecanis-mo de avance del tiempo, con una serie de rutinas y estructuras de datosque se pueden utilizar para anadirle la ((carne)) al esqueleto, que describalas caracterısticas peculiares del modelo que nos ocupa. En otras pal-abras, el SPL nos proporciona los conceptos de alto nivel que nos ayudana particular las caracterısticas peculiares de nuestro modelo, y esta es su

ventaja, pero al mismo tiempo, y esta es la posible desventaja, imponeuna estructura rıgida dentro de la cual hay que definir el comportamientodinamico de las componentes del modelo. Las caracterısticas peculiaresesenciales de un modelo pueden resumirse en:

1. Identificacion de los recursos requeridos por cada actividad o suce-so.

2. Identificacion de donde se encuentran los recursos.

3. Cantidad de tiempo durante la cual los recursos interaccionan entresı o estan siendo utilizados para la realizacion de una actividad.

4. Que les ocurre a los recursos cuando termina un perıodo de activi-dad cooperativa.

Teniendo en cuenta estas caracterısticas, desde la optica de disenar unametodologıa de modelizacion asistida por ordenador, una de las lıneas de

enfoque es el diseno de cuestionarios interactivos para solicitar de unamanera sistematica esta informacion esencial sobre las peculiaridades deun modelo particular, para utilizarla en la generacion automatica de unprograma de simulacion, sintacticamente correcto en el SPL elegido parala programacion de la simulacion.

Tanto el DRAFT como el MISDEM responden a este planteamien-to, ambos tienen una estructura modular, y se trata de programas




interactivos generadores de programas de simulacion que cubren lasterminologıas y estructural del esqueleto de la mayorıa de los SPL. Un

aspecto importante que hay que resaltar es que al estar basados en lametodologıa general de la modelizacion estos sistemas generadores hansido disenados de manera que son independientes del lenguaje de sim-ulacion satisfaciendo de esta manera el requisito de ser independientesde los lenguajes, tal como habıamos planteado en las especificacionesgenerales de las metodologıas avanzadas. La base de algunos de lossistemas de simulacion interactivos la forman los GENERADORES DEPROGRAMAS:

Un generador de programas es una herramienta de software interactivoque traduce la logica de un modelo de simulacion, descrita mediante unsimbolismo relativamente general, al codigo de un lenguaje de simulaciony de esta manera permite al computador imitar el comportamiento delmodelo.

La familia DRAFT de generadores de programas es un conjunto deunidades modulares encadenadas de la forma que indica la figura 6.1.

Permiten al usuario introducir la estructura del modelo en terminos deciclos de actividades de las entidades, y ejecutar interactivamente lasimulacion mediante un dialogo de preguntas y respuestas. El moduloINPUT/EDITOR acepta la descripcion del modelo, identifica los erroressemanticos, como por ejemplo el uso de nombre de variables reservados, ypermite al usuario corregirlos interactivamente. El modulo de ANALISISverifica que el input no tienen errores, permite corregir interactivamentealgunas de las inconsistencias de tipo logico que sean detectables, yprepara el fichero codificado de las interacciones entre las entidades del

modelo.

Este fichero forma un input, de caracter general, para el escritor de pro-gramas elegido por el usuario. Es despues de esta etapa cuando la descrip-cion del modelo es configurada segun la estructura particular, o vision delmundo, en terminos de SUCESO, ACTIVIDAD, PROCESO, asociada allenguaje objetivo (target language) en que se va a programar el modelo,



124 Optimizacion

y entonces se produce la traduccion que genera el codigo ejecutable, y sila traduccion es satisfactoria se compila y, con los datos requeridos, se

ejecuta.

Figura 6.1: Estructura conceptual de un generador de programas

6.4. Optimizacion

La finalidad de cualquier analisis de sistemas es optimizar la medida deefectividad, describiendo normas para las variables de decision a la vistade variables no controlables. Ası pues, el tomador de decisiones deseaencontrar ese conjunto de variables de decision. Una vez que se tieneun modelo de simulacion computacional valido y que se ha verificado es-tadısticamente, entonces, para lograr la optimizacion se necesita empezara jugar con las variables de decision; se busca el mejor valor de la medidade efectividad. Este proceso de optimizacion tiene que realizarse medianteel proceso de prueba y error, sin embargo, el numero de combinaciones delas variables de decision que pueden ser probadas es infinito, por eso es




indispensable usar de tecnicas que permitan analizar sistematicamentelas posibilidades seleccionadas, de tal modo que eventualmente se po-

dra escoger una combinacion cercana al optimo. Estas tecnicas se basanprincipalmente en el diseno de experimentos y las mas utilizadas son:

Simplex.

Simplex EVOP.

Superficies de respuesta.

6.5. Sensibilidad, Experimentacion y MonitoreoEs el ultimo paso dentro del proceso de simulacion y puede efectuarseantes o durante la implantacion de las soluciones en el proceso real. Con-siste enjugar o experimentar con el modelo ante situaciones nuevas oimprevistas, que tengan cierta probabilidad de ocurrencia, con el obje-to de encontrar una solucion optima ante ese posible escenario. Esto esutil pues los sistemas reales son dinamicos y de esta manera podemosadelantarnos y ser capaces de hacerles frente con anticipacion. El anali-

sis de sensibilidad se enfoca principalmente a estudiar las variables nocontrolables por el tomador de decisiones dentro del proceso real.Como se acaba de mencionar, los sistemas reales son dinamicos, estosignifica que se debe llevar un estricto control de los cambios ocurridosen ellos para inmediatamente implantarlos en el modelo y para que puedaseguir siendo un fiel reflejo de la realidad.



126 Sensibilidad, Experimentacion y Monitoreo



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