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Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
5.1 Procedimiento Trefftz-Herrera
En la sección 2.4.1 se ofreció un resumen de los resultados necesarios para aplicar la
formulación variacional del método de Trefftz-Herrera a la ecuación elíptica general de
segundo orden. A continuación realizaremos su obtención de manera sistemática para el
problema de contorno con saltos prescritos Ecs.(4.1), (4.2) y (4.3) introducido en la sección
4.2.
Para la derivación de un procedimiento Trefftz-Herrera partiremos de la Ec. (2.34) que es
su formulación variacional en términos de la información buscada
(5.1) * ˆ( ) , , ; ( )Q C K u w f g j w w< − − >=< − − > ∀ ∈ ΩH2
donde 2 2 2 21 2
ˆ ( ) ( ) ( ) ... ( )EΩ ≡ Ω ⊕ Ω ⊕ ⊕ ΩH H H H
En este caso conocemos que el adjunto formal del operador elíptico dado en (4.1) es L
* ( )w a w b w≡ −∇ ⋅ ⋅∇ − ⋅∇ +L cw (5.2)
Entonces la función bilineal vectorial ( ),u wD se expresa como:
( ) ( ),u w a u w w u buw= ⋅ ∇ − ∇ +D ; (5.3)
Lo cual resulta fácil de comprobar si verificamos que se cumple:
( ) ( )
*
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (
,
w u u w
w a u bu cu u a w b w cw
w a u w bu cwu u a w ub w cuw
a w u a u w a u w a u w buw
a u w w u buw
u w
− =
= −∇ ⋅ ⋅∇ +∇⋅ + − −∇ ⋅ ⋅∇ − ⋅∇ +
= − ∇⋅ ⋅∇ + ∇⋅ + + ∇⋅ ⋅∇ + ⋅∇ −
= −∇⋅ ⋅ ∇ − ⋅∇ ⋅∇ +∇⋅ ⋅ ∇ + ⋅∇ ⋅∇ +∇⋅
= ∇ ⋅ ⋅ ∇ − ∇ +
= ∇⋅ D
L L
) (5.4)
Una manera sistemática de obtener tanto el adjunto formal como la función bilineal
vectorial
*L
( ,u wD ) se expone en [6].
43
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
Entonces podemos definir ( ),u wB y ( )* ,u wC , cuando las condiciones de frontera son
del tipo Dirichlet Ec.(4.2), se obtiene:
( ) ( ), nu w n a w b w u ;∂= ⋅ ⋅∇ +B (5.5)
( ) ( )* , ;u w w n a u∂= ⋅ ⋅∇C (5.6)
donde involucra los valores prescritos de frontera, que en este caso son de tipo
Dirichlet y los valores no prescritos o complementarios de frontera que son
de tipo Neumann
( ,u wB
u∂
)
)(* ,u wC
n a . u∂⋅ ⋅∇
Y correspondientemente, para las condiciones de salto prescritas en las Ecs. (4.3)
obtenemos aplicando el resultado de la Ec.(2.11) que :
( ) [ ]( ) [ ]( ).
, , nu w u w n u n a w b w w n a u≡ − ⋅ = − ⋅ ⋅∇ + + ⋅ ⋅∇DJ ; (5.7)
( ) [ ]( ) [ ]( ).
* , , ;nu w u w n u n a w b w w n a u ≡ ⋅ = ⋅ ⋅∇ + − ⋅ ⋅ DK ∇ (5.8)
donde ;nb b n= ⋅ [ ]u u u+ −= − y ( ) / 2;u u u+ −= +
Una forma conveniente de descomponer ( ),u wJ es agrupando los términos que involucran
al salto de la función en ( )0 ,u wJ y los correspondientes al salto del flujo en ( )1 ,u wJ de la
siguiente manera:
( ) ( ) ( )0 1, ,u w u w u w= +J J J , ; (5.9)
donde ( ) [ ]( ) ( ).
0 1, y ,nu w u n a w b w u w w n a u= − ⋅ ⋅∇ + = ⋅ ⋅∇J J
)
(5.10)
Y análogamente a la podemos descomponer en: (* ,u wK
44
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
( ) ( ) ( )0 1* , * , * , ;u w u w u w= +K K K (5.11)
( ) ( ) [ ]( ).
0 1* , y * ,nu w u n a w b w u w w n a u = ⋅ ⋅∇ + = − ⋅ ⋅∇ K K (5.12)
donde involucra el promedio de la solución u y el promedio del
flujo
(0 * ,u wK ) )(1 * ,u wK
n a respectivamente. u⋅ ⋅∇i
Observación 5.1: En el capítulo 3 se dieron los fundamentos teóricos de los procedimientos
Trefftz-Herrera que nos permiten manejar de manera sistemática y con flexibilidad la
información del problema de contorno con saltos prescritos. En particular se anticiparon
algunas variantes de cómo proceder en el caso de un problema elíptico donde la
información buscada se puede concentrar en las fronteras interiores Σ si se eligen
funciones de peso apropiadas que suministren información exclusivamente en Σ de
manera que S es la información buscada y es la información restante
que debemos eliminar. Es muy importante destacar que en dependencia de la forma en que
se elija la descomposición
SK≡ CKCR +≡
SK K K C≡ + se dará lugar a diferentes procedimientos de
Trefftz-Herrera, lo cual es uno de los aspectos más valiosos de este enfoque y abre un
mundo de posibilidades a la hora de desarrollar tanto un procedimiento numérico de
discretización como de descomposición de dominio.
A continuación veremos en términos generales dos ejemplos de procedimientos de Trefftz-
Herrera partiendo de la descomposición de . K
Procedimiento TH-1: Si
* * y * 0;SK K K C≡ ≡ (5.13)
entonces resulta un procedimiento con subdominios ajenos:
(5.14) * , , ; K u w f g j w w− < >=< − − > ∀ ∈E
45
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
donde y QN N⊂ ∩E C
2ˆ ( ) : * 0, ;QN w w en= ∈ Ω = ΩH L (5.15)
2ˆ ( ) : 0, ;CN w w en= ∈ Ω = ∂ΩH (5.16)
Procedimiento TH-2: Si
(5.17) 0* * y * *;S CK K K K≡ 1≡
entonces resulta un procedimiento con subdominios yuxtapuestos:
(5.18) 0 * , , ; K u w f g j w w− < >=< − − > ∀ ∈E
donde 1Q C KN N N⊂ ∩ ∩E , están definidos como en TH-1 y y QN NC
[ ] 12ˆ ( ) : 0, ;
KN w w en= ∈ Ω = ΣH (5.19)
Una simple inspección de los procedimientos arriba enunciados nos permite ver que en el
primero TH-1 se obtendrá información que involucra tanto al promedio de la solución u
como al de su derivada en las fronteras interiores Σ , mientras que en el segundo TH-2 se
obtiene información exclusivamente sobre u en Σ . Esto nos lleva a dos conclusiones:
i. que el segundo procedimiento resulta computacionalmente más eficiente puesto que
involucra menos información y por consiguiente las matrices del sistema son más
pequeñas.
ii. que en el primero obtenemos información redundante ya que resulta suficiente con
obtener el promedio de u en Σ , para obtener problemas bien planteados en cada
una de las subregiones de la partición , 1,...,i i EΩ = . Nótese que si conocemos el
46
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
promedio de u y el salto [ , entonces podemos conocer los valores de la solución
a cada lado de , es decir
]u
Σ
u u= +
g w
[ ]j n ⋅
w⋅
)
[ ] [ ]12 y ;u u u u+ − = − (5.20) 1
2
Por las ventajas que ofrece, en lo sucesivo nos concentraremos en el desarrollo del segundo
procedimiento TH-2, al cual llamaremos simplemente TH.
Retomando la Ec. (5.18) y definiendo los funcionales f, g y j que de acuerdo al problema
toman la forma siguiente:
, ;f w wf dΩΩ= ∫ x (5.21)
( ), u a w bw nd x∂∂Ω
= ⋅∇ + ⋅∫ (5.22) ;
(5.23) ( ), ;nw u a w b w d x w n a u d xΣ ΣΣ Σ
= − ⋅∇ + + ⋅ ⋅∇ ∫ ∫i
Entonces, sustituyendo f, g, j y la expresión de 0 * ,K u w< > en la Ec. (5.18) obtenemos:
( )
[ ]( ) ;
n n
n
u n a b w d x wf d x u n a w b w d x
u n a w b w d x w n a u d x w
Ω ∂Σ Ω ∂Ω
Σ ΣΣ Σ
− ⋅ ∇ + = − ⋅ ⋅∇ + +
+ ⋅ ⋅∇ + − ⋅ ⋅∇ ∀
∫ ∫ ∫
∫ ∫i
E (5.24)
∈
En particular, cuando los coeficientes son funciones continuas, el operador
dado en la Ec.(5.12) toma la forma
0 *( , )u wK
( ) [ ]0 * ,u w n a w u= ⋅ ⋅ ∇K ; (5.25)
ya que [ ] 0w = , es decir es continua en Σ por pertenecer a 1KN , mientras que el operador
de frontera se transforma en ( ,B u w
( ) ( ),u w n a w u ;∂= ⋅ ⋅∇B (5.26)
ya que se anula en la frontera exterior w ∂Ω por pertenecer a . CN
47
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
Sustituyendo las Ecs (5.25) y (5.26) en la Ec. (5.24) resulta:
[ ]
( ).
0 1 ; n
n a w ud x wf d x u n a wd x
j n a w b w d x wj d x w
Ω ∂Σ Ω ∂Ω
Σ ΣΣ Σ
− ⋅ ⋅ ∇ = − ⋅ ⋅∇ +
+ ⋅ ⋅∇ + − ∀
∫ ∫ ∫
∫ ∫ E∈ (5.27)
que es la expresión particular del procedimiento TH cuando los coeficientes son continuos.
Hasta aquí hemos ofrecido los detalles generales que caracterizan al procedimiento de
colocación Trefftz-Herrera en n dimensiones. Aún nos restaría por desarrollar la
construcción de sistemas de funciones de peso que fueran TH-completos en el sentido
expuesto en el capítulo 3 para el problema de contorno con saltos prescritos Ecs.(4.1), (4.2)
y (4.3), para lo cual, en la presente tesis, se usaran polinomios hasta cierto grado G y
mostraremos su implementación para el caso lineal y cúbico. Como hicimos con colocación
convencional nos concentraremos en la discusión del problema en dos dimensiones.
5.2 – Estrategia para la Construcción de un Sistema de Funciones de Peso
TH-Completo usando Polinomios.
Consideraremos la misma partición rectangular del dominio dada en la Fig. 4.1 del capítulo
anterior y analizaremos el caso con subregiones yuxtapuestas. Para esto asociaremos
tomaremos una subregión formada por cuatro elementos ijΩ , , , ij I II III y IVλ λΩ = , de la
descomposición de dominio asociados con su nodo central ( ),i jx y como se muestra en la
Fig.5.1a. La frontera de la subregión ijΩ es ijΩ∂ , mientras que la parte de la frontera
interior que une a los cuatro elementos de Σ ijΩ la designaremos por Σ (Fig. 5.1a) y está
constituida por cuatro segmentos numerados en forma de cruz.
ij
Entonces, en cada subregión ijΩ se construye un sistema de funciones que sean continuas
Ec.(5.19), se anulen en ∂Ω Ec.(5.16) y satisfagan la ecuación adjunta homogénea
0* =wL , Ec.(5.15). De esta manera, usando la numeración arriba introducida en ijΣ , se
pueden construir cinco grupos de funciones de peso asociadas con cada nodo . ),( ji yx
48
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
IΩ( ), i jx y
II
Σij
Fig. 5.1a: Subre
Estas se caracterizan (Fig. 5.
completa; se anula ijΩ (1 ,w x y)
se anula idénticamente e( , y)2w x
idénticamente en Ω ∪ y su Iij
IVijΩ
en y su soporte es IijΩ ∪ II
ijΩ IIIijΩ ∪
0w 1w
Fig. 5.1b: Soporte Grupo 0.- Este grupo está formad
cuatro fronteras interiores de la
yj).
ij
IVΩ
1
ij∂Ω
ijΩ2
IIIΩ
3
4 ij
gión ijΩ asocia
1b) por: (0iw x
idénticamente e
n IIIij
IVijΩ ∪Ω y s
soporte es IIijΩ ∪
IVijΩ .
2w
s de las funcion
o por una sola fu
Fig. 5.1b, y tom
49
ijda con el nodo (
), jy 1= y su s
n IIij
IIIijΩ ∪Ω y s
u soporte es IijΩ ∪
IIIijΩ ; ( )x2w x4
1 ,
3w
es de peso (somb
nción la cual es
a el valor (xw0
),i jx y .
oporte es
u soporte e
IijIΩ ; (3w x
se anula i
reados).
lineal en ca
)ji y, =1, e
la subregión
s I Iij ij
VΩ ∪Ω ;
se anula , )y
dénticamente
4w
da una de las
n el nodo (xi,
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
Grupo 1.- La restricción al intervalo "1", de la Fig. 5.1b, es, cuanto más, un polinomio de
grado "G", el cual se anula en los extremos del intervalo "1".
Grupo 2.- La restricción al intervalo "2", de la Fig. 5.1b, es, cuanto más, un polinomio de
grado "G", el cual se anula en los extremos del intervalo "2".
Grupo 3.- La restricción al intervalo "3", de la Fig. 5.1b, es, cuanto más, un polinomio de
grado "G", el cual se anula en los extremos del intervalo "3".
Grupo 4.- La restricción al intervalo "4", de la Fig. 5.1b, es, cuanto más, un polinomio de
grado "G", el cual se anula en los extremos del intervalo "4".
Se debe destacar que la construcción de las funciones de peso hecha de la manera expuesta
no conduce directamente a un sistema de funciones linealmente independiente. Esto se debe
al hecho de que cada par de nodos vecinos comparten un mismo intervalo debido a que
nuestra partición del dominio es yuxtapuesta. Por ejemplo el intervalo es considerado "1"
por el nodo de la izquierda, mientras que es "3" según el nodo de la derecha y por lo tanto
las funciones asociadas con estos intervalos se cuentan doble.
5.3 Construcción de las Funciones de Peso usando Colocación
5.3.1 Funciones de Peso Lineales
Para el caso de funciones de peso lineales en Σ tenemos una sola función de peso definida
en la subregión Ω asociada a cada nodo interior ij ( ),i jx y , para i E1,..., 1x= − ,
, cuya expresión es: 1,..., 1yj E= −
(5.28) 4
0 0
1( , ) ( , ) ( , ); ( , ) ; ,..., .ij ij ij ij ijw x y B x y C N x y x y I IVλ λ λα λα λ
α
λ=
= + ∈Ω =∑
50
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
donde las funciones 0 ( , )ijB x yλ son polinomios lineales en las fronteras internas ijΣ , que se
destaca con líneas gruesas en la Fig. 5.1a, mientras que las funciones
se anulan en todo( , ); 1,...,ijN x yλα α = 4, ij ijΣ ∂Ω∪ .
La construcción de las funciones de peso se realiza de manera independiente en cada uno
de los cuatro elementos rectangulares (o cuadrantes) asociados a cada nodo interior
( ,i j )x y , los cuales constituyen su soporte. Su definición por cuadrantes o elementos es
como sigue:
Para λ= Ι (primer cuadrante): ( ) [ ]1 1, , ,i i j jx y x x y y+ + ∈ ×
IijΩ
( ), 1i j +
( ),i j ( )1,i j+
Fig. 5.2a: Soporte del prime
1
3
( , )
( , )
Iij
Iij
N x y
N x y
Para λ= II (segundo cuadran
IIijΩ
( )1,i j−
Fig. 5.2b: Soporte del segun
r cuadrante IijΩ de la función de peso lineal . 0 ( , )ijw x y
0 ( , ) 1 1 ;jI iij
x y
y yx xB x yh h
− −= − −
1 );+
(5.29)
(5.30) 1 1 2 1 1
1
1 1 4 1 11 1
( ) ( ); ( , ) ( ) ( );
( ) ( ); ( , ) ( ) (
Ii j ij i j
Ii j ij i j
H x H y N x y H x H y
H x H y N x y H x H y+
+ +
= =
= =
te): ( ) [ ]1 1, , ,i i j jx y x x y y− + ∈ ×
( ), 1i j +
( ),i j
d
o cuadrante IIijΩ de la función de peso lineal . 0 ( , )ijw x y51
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
0 ( , ) 1 1 ;jII iij
x y
y yx xB x yh h
− −= − −
(5.31)
(5.32) 1 1 1 2 1 1
1
3 1 1 4 1 11 1 1
( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( );
( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( );
II IIij i j ij i j
II IIij i j ij i j
N x y H x H y N x y H x H y
N x y H x H y N x y H x H y−
− + +
= =
= =
Para λ= III (tercer cuadrante): ( ) [ ]1 1, , ,i i j jx y x x y y− − ∈ ×
IIIijΩ
( )1,i j− ( ),i j
, 1i j −
Fig. 5.2c: Soporte del tercer c
0ijB
1
3
( , )
( , )
IIIij
IIIij
N x y
N x y
=
=
Para λ= IV (cuarto cuadrante
ΩIVij
( ), 1i j −
( ),i j
Fig. 5.2d: Soporte del cuarto c
0ijB
( )
uadrante IIIijΩ de la función de peso lineal . 0 ( , )ijw x y
( , ) 1 1 ;jIII i
x y
y yx xx yh h
− −= − −
(5.33)
(5.34) 1 1 2 1 1
1 1 1
1 1 4 1 11
( ) ( ); ( , ) ( ) ( );
( ) ( ); ( , ) ( ) ( );
IIIi j ij i j
IIIi j ij i j
H x H y N x y H x H y
H x H y N x y H x H y− − −
−
=
=
): ( ) [ ]1 1, , ,i i j jx y x x y y+ − ∈ ×
( )1,i j+
uadrante IVijΩ de la función de peso lineal . 0 ( , )ijw x y
( , ) 1 1 ;jIV i
x y
y yx xx yh h
− −= − −
(5.35)
52
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
(5.36) 1 1 1 2 1 1
1 1
3 1 1 4 1 11
( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( );
( , ) ( ) ( ); ( , ) ( ) ( );
IV IVij i j ij i j
IV IVij i j ij i j
N x y H x H y N x y H x H y
N x y H x H y N x y H x H y− +
+
= =
= =1−
donde y -son los polinomios cúbicos de Hermite ya definidos en el capítulo
anterior, en colocación convencional.
( )1iH x ( )1
jH y
Observación 5.2: En el caso de funciones de peso lineales tenemos tantas funciones como
nodos interiores, ya que hay una función asociada a cada nodo interior0 ( , )ijw x y ( ),i jx y ,
para i E , . 1,..., 1x= − 1,..., 1yj E= −
53
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
Fig. 5.3: Gráfico de la función bilineal 000 ( , )IB x y
Fig. 5.4: Gráfico de la función 1 100 0 0( , ) ( ) ( )IN x y H x H y= 1
54
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
Una manera de construir las funciones de peso es aplicando el método de colocación. En
este caso la colocación se aplica para satisfacer la condición (5.15), es decir las funciones
de peso deben ser soluciones del operador adjunto homogéneo. Entonces resulta el sistema
de colocación:
( )0 , 0; 1,..., 4p pijw x y pλ = =*L (5.37)
Sustituyendo la expresión de las funciones de peso 0ijw λ Ec.(5.28) en la Ec. (5.37) y
evaluando en los puntos de colocación se obtiene:
(5.38) 4
* * 0
1( , ) ( , ); 1,..., 4.p p p p
ij ij ijC N x y B x y pλα λα λ
α=
=∑ L L =
donde son los coeficientes de las funciones de peso ; 1,..., 4ijCλα α = 0ijw λ .
El sistema de ecuaciones que resulta es de dimensión 4 x 4 y se resuelve para cada nodo
interior y para cada cuadrante 1,..., 1; 1,..., 1xi E j E= − = y − ,...,I IVλ = . De esta manera
se obtienen los coeficientesC correspondientes a las funciones de peso ; ijλα α =1,..., 4 0
ijw λ .
5.3.2 Funciones de Peso Cúbicas
Considerando las mismas condiciones que para el caso lineal, cuando las funciones son
cúbicas en Σ , tenemos tres funciones de peso w x asociadas con cada
nodo interior
( , ); 0,1 y 2,ij yµ µ =
( ,i j )x y en la subregión ijΩ . Las funciones ( , )ijB x yµλ satisfacen condiciones
cúbicas de frontera en que se destacan con líneas gruesas en las figuras 5.5, 5.6 y 5.7,
mientras que las funciones son las mismas del caso lineal y se anulan en
todo .
ijΣ
( ,ijN xλα )y
ijΣ ∂∪ ijΩ
Función : 0 ( , )ijw x y
I
Fig. 5.5: Soporte de la func
5
I
IV
II
II
ión de peso cúbica . 0 ( , )ijw x y
5
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
(5.39) 4
0 0
1( , ) ( , ) ( , ); ( , ) ; ,..., .ij ij ij ij ijw x y B x y C N x y x y I IVλ λ λα λα λ
α
λ=
= + ∈Ω =∑ donde ( ) ( )0 0 0( , ) ; ,...,ij i jB x y H x H y I IVλ λ= = (5.40)
ver Fig. 5.8 y las funciones se definen como en el caso lineal.
( , ); 1,..., 4, , , ,ijN x y I II III IVλα α λ= =
Función : 1 ( , )ijw x y
III
II
IV
I
Fig. 5.6: Soporte de la función de peso cúbica . 1 ( , )ijw x y
(5.41) 4
1 1
1( , ) ( , ) ( , ); ( , ) ; ,...,ij ij ij ij ijw x y B x y C N x y x y I IVλ λ λα λα λ
α
λ=
= + ∈Ω =∑ donde ( ) ( )1 1 0( , ) ; ,...,ij i jB x y H x H y I IVλ λ= = (5.42)
ver Fig. 5.9 y las funciones se definen como en el caso lineal.
( , ); 1,..., 4, , , ,ijN x y I II III IVλα α λ= =
Función : 2 ( , )ijw x y
IVIII
II I
Fig. 5.7: Soporte de la función de peso cúbica . 2 ( , )ijw x y
(5.43) 4
2 2
1( , ) ( , ) ( , ); ( , ) ; ,...,ij ij ij ij ijw x y B x y C N x y x y I IVλ λ λα λα λ
α
λ=
= + ∈Ω =∑
56
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
donde ( ) ( )2 0 1( , ) ; ,...,ij i jB x y H x H y I IVλ λ= = (5.44)
ver Fig. 5.10 y las funciones se definen como en el caso lineal.
( , ); 1,..., 4, , , ,ijN x y I II III IVλα α λ= =
Fig. 5.8: Gráfico de la función bicúbica ( ) ( )0 000 0 0( , )I 0B x y H x H y=
Fig. 5.9: Gráfico de la función bicúbica ( ) ( )1 100 0 0( , )I 0B x y H x H y=
57
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
Fig. 5.10: Gráfico de la función bicúbica ( ) ( )2 000 0 0( , )I 1B x y H x H y=
De modo análogo al caso lineal, las funciones de peso cúbicas
se construyen aplicando el método de colocación: ( ), ; =0,1,2; =I, II, III, IV;ijw x yµλ µ λ
( ), 0; 1,..., 4p pijw x y pµλ = =*L (5.45)
Sustituyendo la expresión de las funciones de peso Ecs.(5.39), (5.41) y (5.43) en la
Ec.(5.45) y evaluando en los puntos de colocación se obtiene:
(5.46) 4
* *
1( , ) ( , ); 1,..., 4.p p p p
ij ij ijC N x y B x y pµλα λα µλ
α=
=∑ L L =
y −
El sistema de ecuaciones que resulta es de dimensión 4 x 4 y se resuelve para cada nodo
interior y para cada cuadrante 1,..., 1; 1,..., 1xi E j E= − = ,...,I IVλ = . De esta manera
se obtienen los coeficientesC correspondientes a las funciones
de peso
; ijµλα
ijw
=1,2 y 3, 1,..., 4µ α =
µλ .
58
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
Observación 5.3: En el caso de funciones de peso cúbicas tenemos tres funciones
por cada nodo interior( , ); 0,1 y 2,ijw x yµ µ = ( ),i jx y para i E1,..., 1x= − , 1,..., 1yj E= − .
Además tenemos una función asociada a cada nodo frontera, exceptuando las esquinas, es
decir, , , 1 ( , )ijw x y 0,= xi E 1,..., 1yj E= −
2 ( ,ijw x
, para los nodos que pertenecen a las fronteras
izquierda y derecha, mientras que , )y 1,...,i E 1x= − , 0, yj E= asociada a los nodos
que pertenecen a las fronteras superior e inferior, de manera que todas satisfacen la
condición (5.16) de anularse en la frontera.
5.4 Sistema de Ecuaciones del Método de Colocación Trefftz-Herrera
Una vez construidas las funciones de peso, nos restaría expresar de forma apropiada el
promedio de la solución aproximada ( )ˆ , yu x , de manera que al sustituirla en la
formulación variacional nos permitiría obtener el sistema de ecuaciones algebraicas
correspondiente. Una manera de hacerlo es como se procede usualmente en elementos
finitos, usando una combinación lineal de funciones bases. Para escoger las funciones bases
tenemos una amplia libertad de elección puesto que sólo necesitamos que sean funciones
definidas en Σ . Una elección lógica, que aplicaremos en nuestra aproximación, es usar
como funciones bases a las restricciones de las funciones de peso en ( ,ijw x yν ) Σ , es decir
( ,ij )B x yν . La expresión de ( )ˆ , yu x se completa agregando los términos que satisfagan las
condiciones de frontera y de salto prescritas. Entonces, la aproximación de la solución
buscada puede escribirse como:
( ) ( )( ) ( )
( ) [ ]( )
( )1
0 02
, 0 , ,
ˆ , , ,NF
kl kl rs rs klklk l r s k l
u x y U B x y u B x y u B x yν ν σ
η ν η η∂ Σ
−
∂ Σ∈ = ∈ ∈
= + +∑ ∑ ∑ ∑ , ; (5.47)
donde η - es el conjunto de los nodos que tienen funciones de peso (base) asociadas, η∂ - es
el conjunto de todos los nodos que están en la frontera externa ∂Ω , exceptuando las
esquinas, ηΣ - es el conjunto de todos los nodos interiores que están en la frontera interna Σ
asociados al salto prescrito, σ es un signo que toma el valor según sea el lado positivo o
negativo de con respecto a la normal Σ nΣ , ( ),rs r su u x y∂ ∂= y NF es el número de
59
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
funciones de peso asociadas con cada nodo (para el caso de las funciones de peso lineales
NF=1, mientras que para las cúbicas NF=3).
Al sustituir la expresión (5.47) para la solución aproximada ( )ˆ , yu x y las funciones de
peso en (5.24) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales: ( ,ijw x yµ )
;ijkl kl ijM U Fµν ν µ= (5.48)
donde se aplica la convención para la suma, es decir que los índices repetidos están
sumados sobre sus rangos,
;ijkl kl ijM B n a w d xµν ν µ
Σ
= − ⋅ ⋅∇ ∫ (5.49)
( )
( ) [ ]( )
( ) ( )
0
,
.0 1 0
2,
;
, y , , ,
ij ij ij rs rs ijr s
ij n ij ij kl ijklk l
F w f d x u n a w d x u B n a w d x
j n a w b w d x w j d x u B n a w d x
k l i j
µ µ µ µ∂
η∂
µ µ µ µσ
η
η µ ν
∂
Σ
Ω ∂∈Ω Ω Σ
Σ Σ ΣΣ Σ∈ Σ
= − ⋅ ⋅∇ + ⋅ ⋅∇
+ ⋅ ⋅∇ + − + ⋅ ⋅∇
∈
∑∫ ∫ ∫
∑∫ ∫ ∫0,..., 1NF= −
(5.50)
En general el sistema resultante es de nueve diagonales en bloques de . Por lo que
en el caso de funciones de peso lineales la matriz del sistema (5.48) es simplemente de
nueve diagonales, ver Fig. 5.11, mientras que cuando se usan las cúbicas se obtiene una
matriz de nueve diagonales en bloques de
NF NF×
3 3× , Fig. 5.12.
En el Anexo A1 se pueden ver los detalles para el cálculo de los coeficientes de la matriz
ijklM µν y del término derecho ijF µ .
Observación 5.4: En el caso de funciones de peso lineales, el primer miembro de la
solución aproximada (5.47) se puede escribir como , mientras que para
el caso de las cúbicas tenemos que
(11
0 0
1 1,
yx EE
kl klk l
U B x y−−
= =∑ ∑
( )2
1 1 0
y yE E
kl klU B x yν ν
ν =
+∑
)
( )1 11
1 1
1 0,, ,
x
x
E
kl klk l l k E
U B x y− −−
= = = =∑ ∑ ∑ ∑
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Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
(1
2 2
1 0,,
x
y
E
kl klk l E
U B x y−
= =
+ ∑ ∑
),k l
) , donde U es el valor de la solución aproximada en el nodo con
índices ( , es decir,
0kl
( ) 0ˆ ku x U=,k ly l , de manera análoga ( ) 1ˆ ,k l ku x x y U∂ ∂ = l ,
( ) 2ˆ ,k l klu y x y U∂ ∂ = corresponden a los valores aproximados de las derivadas en los nodos.
16
16
11
Fig. 5.11: Estructura de la Matriz de Colocación TH usando funciones de peso lineales para
una partición de elementos. El ancho de banda es 11. 5 5×
61
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
64
64
37
Fig. 5.12: Estructura de la Matriz de Colocación TH usando funciones de peso cúbicas para
una partición de elementos. El ancho de banda es 37. 5 5×
62
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
5.5 Características Numéricas de Colocación Trefftz-Herrera
Como ya se explicó en detalles en el tercer capítulo, el método de Trefftz-Herrera está
basado en la construcción de funciones de peso especializadas que nos permiten manejar
convenientemente la información deseada o buscada acerca de la solución de un problema
con valores de contorno y saltos prescritos (PCSP).
En este caso, el método de Colocación TH arriba descrito usa el método de colocación para
la construcción de estas funciones de peso que deben satisfacer la ecuación adjunta
homogénea, concentrando la información buscada en las fronteras internasΣ . Por este
motivo se considera que es un método de colocación indirecto.
Resulta interesante observar aquí que debido a las condiciones impuestas a las funciones de
peso en el procedimiento TH-2, Ecs.(5.15), (5.16) y
(5.19), éstas pertenecen a un espacio mas reducido
2ˆ ( )Q C Rw N N N∈ ⊂ ∩ ∩ ⊂ ΩHE
( )0C Ω ( espacio de funciones continuas
en ), no obstante de que la solución buscada uΩ 2ˆ ( )∈ ΩH
, en
por sí misma no pertenezca a
, cuando existan saltos prescritos [ ] 0(Ω)0C uΣ ≠ Σ . Consecuentemente las funciones
bases pertenecen también ( )0C Ω , puesto que fueron tomadas como las restricciones de las
funciones de peso en . Σ
Para la construcción de las funciones de peso se usaron polinomios en , que pueden ser
de grado arbitrario G (ver Tabla 5.1), mientras que como puntos de colocación se
aplicaron los ceros de los polinomios de Legendre como en colocación convencional.
Σ
Existe una reducción dramática de los grados de libertad respecto a colocación
convencional puesto que usando polinomios lineales en Σ , se pueden obtener algoritmos
con una sola incógnita asociada para un problema independientemente de las dimensiones
del mismo. Así mismo las matrices resultantes son de menor tamaño y mejor estructuradas.
63
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
Estas son nonadiagonales en bloques, ver Figs. 5.11 y 5.12. Mientras que si el operador es
simétrico y positivo definido, entonces las matrices también son simétricas y positivo
definidas. Esta última propiedad las hace adecuadas para ser invertidas usando el método
del gradiente conjugado [63,90] que posee una alta eficiencia computacional. En particular
en la implementación se usó una variante del mismo: el Gradiente BiConjugado [88]. Para
una partición con relativamente pocos elementos se pudiera usar el método de
Factorización LU [88] de manera eficiente.
Para la aproximación de las integrales Ecs. (5.49) y (5.50) se empleó el método de
cuadratura gaussiana.
El orden experimental de el error que se obtiene (ver capítulo 7), es deO h que es igual
al de colocación convencional cuando se usan polinomios cúbicos.
( 4 )
Hay que destacar que la complejidad de los algoritmos para los casos con saltos prescritos
y/o coeficientes discontinuos es la misma que para los casos sin saltos y con coeficientes
continuos. En particular, las matrices son idénticas en ejemplos con y sin saltos prescritos
debido al hecho de que los saltos sólo involucran cambios en el término derecho del
sistema global, ver Ecs. (5.48)-(5.50).
A continuación en la Tabla 5.1 se ofrece un resumen de las características numéricas más
importantes del método de colocación TH.
64
Capítulo 5 Método de Colocación Trefftz-Herrera
Tabla 5.1: Resumen de las características numéricas del método de colocación TH.
No. Característica
Numérica Método de Colocación Trefftz-Herrera
1 Estrategia Uso de funciones de peso especializadas que concentran la información en Σ .
2 Tipo de método de Colocación
Indirecto: la colocación se usa para construir las funciones de peso
3 Funciones bases En general pertenecen a 2ˆ ( )ΩH , en particular son ( )0C Ω .
4 Funciones de peso En general pertenecen a 2ˆ ( )ΩH , en particular son ( )0C Ω .
5 Polinomio de interpolación
Polinomios de grado arbitrario G . En 1-D: G . 2≥En 2-D y n dimensiones: G . 1≥
6 Puntos de colocación Gaussianos: ceros del polinomio de Legendre 7 Número de puntos de
colocación por elemento
( )nNP para n dimensiones, donde . 1NP G= −
8 Partición del dominio Yuxtapuesta 9 Grados de libertad
(incógnitas) asociados con cada nodo
GEn 1-D es un grado de libertad para polinomios de grado
arbitrario. 2≥En 2-D es un grado de libertad para polinomios lineales, mientras que para polinomios cúbicos es de 3 grados de libertad. Puede ser de un grado de libertad para n dimensiones.
10 Tamaño de las matrices
Para un grado de libertad son para n dimensiones, donde
NDI NDI×( )xNDI E ( )1 1yE= − ⋅ − -es el número
de nodos interiores. En 2-D, para el caso de polinomios cúbicos, es de 3 2( 2) 3 2( 2)x y x yNDI E E NDI E E+ + − × + + −
11 Tipo de Matrices En 1-D: Tridiagonal. En 2-D: Nonadiagonal en bloques de NF NF× . Cuando el operador es positivo definido y simétrico resultan matrices simétricas y positivo definidas
12 Ancho de Banda de la Matriz
En 2-D, para polinomios lineales es , mientras que para polinomios cúbicos es , usando una numeración natural de los nodos por x.
2 1xE +7xE +6
13 Métodos de Inversión de la Matriz
En 1-D: algoritmo de Thomas [88]. En 2-D: Factorización LU, Gradiente BiConjugado [88].
14 Error Estimado ˆu u
∞−
En 1-D: ( )2 2G−O h , con polinomios de grado G 2,3= .
En 2-D: ( )2O h , con polinomios lineales, G 1=
y ( )2 2GO h − , con polinomios cúbicos, 3G = .
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