5. TEORIJA GRAFOVA Visoka kola elektrotehnike i raunarstva strukovnih studija Predmet: Diskretna matematika i algoritmi Profesor: dr. Ana Savi SADRAJ 1. Osnovni pojmovi I definicije 1.1. Vrste grafova 1.2. Izomorfizam grafova 1.3. Ojlerovi grafovi 1.4. Hamiltonovi grafovi 1.5. Teinski grafovi 2. Predstavljanje grafova preko raunara 2.1. Lista susedstva 2.2. Matrica incidencije 2.3. Matrica susedstva CILJEVI UENJA Kada ovo poglavlje prouite moi eteda:

1. Definiete graf, 2. navedete veliki broj razliitih vrsta grafova, 3. odredite izomorfne, 4. defniete Ojlerove i Hamiltonove grafove, 5. znate kako se grafovi predstavljaju preko raunara. 1. OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE Teorijagrafovajesamostalnaivanaoblast matematike. Grafovi suposebnozanimljivijerpomounjih moemomodelovatiraznesloeneproblemeveoma jednostavno.Naprimer,postavljanjesaobraajnica, elektrinihmrea,raunarskihmreaisl.Posebnosu interesantniprobleminajkraegputa,najniecene, generalno problemi optimizacije. Jednostavni, svakodnevni, problemikaotojepravljenjerasporedaasovakojise, takoe, mogu posmatrati kao grafovski problem. Prvi problemi i njegovo reenje, teorije grafova jeste rad Leonarda Ojlera (Leonhard Paul Euler,1707- 1783) podnazivom Sedam mostova Kenigsberga, objavljen1736godine.Kasnije,FrensisGutri1852. godine je izloio problemetiri boje koji postavlja pitanje da li je mogue obojiti zemlje na geografskoj karti sa samo etiri boje, a dasenepojavedvesusednezemljeobojeneistombojom.Ovaj problem su reili tek 1976. godine Kenet Apel i Volfgang Heken, alisepostavljanjeovogproblemasmatraroenjemteorije grafova.Tokompokuajareavanjaovogproblemaotkrivenesu mnoge teoreme i postavljeni mnogi teoretski pojmovi i koncepti. 1.1. VRSTE GRAFOVA Graf je apstraktni matematiki objekat. Neformalno govorei, grafovi su sastavljeni od taaka, odnosno vorova i linija meu njima, odnosno grana. Skup vorova obeleavamo sa V, a skup grana sa E. AAABBC C DD Graf je ureeni par koji se sastoji od skupa vorova V i skupa grana . Primer: vorovi mogu biti gradovi, a grane putevi izmeu njih. vorovi mogu biti raunari, a naini komunikacija izmeu njih grane. ( ), G VE =2VE| |_|\ . Primer:Za dati skup vorova i grana nacrtati odgovarajue grafove. a) i , b)i, c) , { }, V A B ={ }E AB ={ }, , V A B C ={ }, E AB BC ={ }, , , V A B CD ={ }, , , E AB BCAD CD =AAABBCCD B Dva susedna vora su krajnje take svake grane. Grana koja spaja vor sa samim sobom naziva se petljom. Graf koji nema nijednu petlju nazivaju se prostim grafom. Graf koji ima konaan broj vorova se zove konaan graf. Analogno, graf sa beskonanim brojem vorova se zove beskonaan graf. Multigrafje graf kod koga izmeu dva vora postoji vie od jedne grane. Kompletan ili potpun graf je onaj graf kod koga su svaka dva vora povezana granom. Stepen voragrafa je broj grana grafa koji imaju kraj u tom voru. Ako grana spaja vor sa samim sobom, onda se ona rauna dva puta. vor stepena 0 naziva se izolovani vor. BAC DE Grana koja spaja vor sa stepenom jedan je visea grana. Primer:Dat je graf na slici. Odrediti susedne vorove i grane, i stepene vorova U grafu na slici vorovi A i C su susedni, kao i grane AB, AD i AC. vorovi A i F nisu susedni, kao ni grane AC i BF. vorovi B, C, D su stepena 2, a vorovi A i F sustepena 3. ABCFD Graf je regularanako su svi vorovi istog stepena. Primer. Regularan graf ( svi vorovi su stepena 2 ). Put je niz grana grafa sa osobinom da je kraj k-te grane u nizu poetak naredne k+1-te grane. U optem sluaju put je niz grana koje su meusobno povezane. ABCDa bc d e Prost put ili elementarni put je put kod koga kroz jedan vor prolazi tano jedan put. Graf je povezan ako postoji put izmeu bilo koja dva razliita vora. Prvi od grafova sa slike je povezan, a drugi je nepovezan. FDGHI KABC Ako je poetni vor ujedno i krajnji, takav put se naziva ciklus, konturaili petlja. Neorijentisani grafje ureen skup parova vorova i grana gde je . Znai on moe imati i petlje. Orijentisani grafili digraf je ureen skup parova vorova i grana gde je. Znai on ima orijentaciju, granaima poetni voru a i krajnji voru b. A DCB( ), G VE =2VE V| |_|\ .( ), G VE =E V V _ ( ), v a b = Primer:Digraf koji sadri skup vorova i skup grana Zbir stepena u svih vorova uvek je paran broj i jednak je dvostrukom broju grana. Poto svaka grana u grafu poseduje dve krajnje take, svaka grana doprinosi sa 2 sumi stepena vorova i ta suma mora da bude jednaka dvostrukom broju grana. Prema tome suma stepena svih vorova mora da bude paran broj. { }, , V a b c =( ) ( ) ( ) ( ) { }, , , , , , , E a b b c c b c a =ACB Primer: Koliko grana ima graf sa 10 vorova, ako je svaki stepena est ? U proizvoljnom grafu bez petlji, postoji paran broj vorova neparnog stepena . Ovajstavzovese,uliteraturiiLemaorukovanju. Odnosno, u svakom drutvu broj osoba koje su se rukovale neparanbrojputajeparan.Ovdebrojosobakojesuse rukovale predstavljaju vorove grafa. 2 10 6 30 e e = = GrafG'=(V',E')jepodgrafgrafaG=(V,E)akojeskup njegovihvorovaV'podskupskupavorovagrafaV,a skup njegovih grana E' je podskup skupa grana E. Bipartitivni grafje graf koji se sastoji od dva podskupa vorova X i Y, tako da svaka grana spaja vor skupa X sa vorom skupa Y. Podskupovi X i Y, nazivaju se klase. Primer: Nacrtatibipartitivne grafove2,3 3,3 2,4, , K K K2,4K3,3K2,3K Kompletan bipartitivni grafje graf koji se sastoji iz 2 podskupa vorova , tako da je svaki vor iz prvog skupa susedan sa svakim vorom iz drugog skupa. Primer: Nacrtati kompletna bipartitivne grafove 2,3 3,3 2,4, , K K K2,4K3,3K2,3K Planarni grafovisu oni grafovikoji se mogu nacrtati u ravni, a da im se grane ne seku, sem u vorovima. On deli ravannanaviekonanihzatvorenihoblastiijednuu beskonanosti. Svaka zatvorena oblast se naziva elija. Primer planarnog grafa je mrea puteva ako se iskljue nadvonjaci,odnosnosaobraajnepetlje.Utehnikom projektovanjupojavljujusezahtevidagrafoviutom tehnikom zahtevu budu planarni. Povezan planarni graf deli ravan naR=e-v+2 oblasti Primer: Nacrtatiplanarane grafove Ovi grafovi dele ravan na R=6-4+2=4oblasti. A AB BCCDD1.2. IZOMORFIZAM GRAFOVA Grafovi se razlikuju samo po tome kako su vorovi povezani, a ne kako su obeleeni. Dva grafa isu izomorfni , ako postoji bijekcijaza koju vai da je , ako i samo ako I koristimo oznaku. ( )1 1 1, G VE =( )2 2 2, G V E =1 2: f V V { }1, u v E e( ) ( ) { }2, f u f v E e1 2G G ~ Primer: Nacrtati dva izomorfna grafa. Izomorfizam ovih grafova definisan je bijekcijom ABC D123 41 2 3 4fA B C D| |=|\ .

Napomena: Obeleavanje vorova nema znaaja za strukturu grafa, tako da se esto i ne obeleavaju. Funkcija i se naziva invarijantom grafova , ako za svaka dva izomorfna grafa, vai da je . Invarijantni grafovi imaju isti: 1. Broj vorova, 2. broj grana, 3. niz stepena vorova,4. broj vorova stepena 1, 5. cikluse istih du............... ( ) ( )21i G i G ~1 2G G ~ Izomorfni grafovi su od velikog znaaja u elektronici, pri konstruisanjutampanihkola,gdegranegrafa(strujni vodovi)nesmejudasesekuosimuvorovima.Zatoje bitnodasepronaeizomorfangrafeljenomgrafu,ali takav da mu se grane ne seku. 1.3. OJLEROVI GRAFOVI vajcarskommatematiaruLeonarduOjlerutokom boravkauKeninsbrgu,dananjimKalinjgrad,graanisu postavilipitanjekojeihjemuilo.Gradleinaobalamai nadvaostrvanareciPregelipovezanjesasedam mostova. Pitanje je bilo da li je mogue poeti etnju iz bilo koje take u gradu i vratiti se u polaznu taku, prelazei pri tome svaki most tano jednom. 1735.godine Ojler je prezentovao svoj rad dokazujui da jetakavprelazaknemogu,uznapomenudase razmatranjemoeproiritidaprozvoljanrasporedostrvai mostova.Ovaj rad smatra se preteom teorije grafova. Ojler je problem reio tako to je svakoj obali i ostrvima pridruio vorove, a mostovi su bili grane izmeu njih. Tako je dobio jedan multigraf. ACBD Ojlerov grafje grafkoji semoe nacrtati ne podiui olovku sa papira. Zatvoren kontura koji sadri sve grane i vorove grafa G naziva se Ojlerov ciklusilikontura.. Graf koji ima Ojlerovu konturu zove se Ojlerov graf. Ojlerov putje put koja sadri sve grane iz G tano jedanput. (ne mora biti zatvoren). Graf koji ima Ojlerov put se zove poluojlerov graf. Graf G je Ojlerov akko je povezan i svi vorovi su parnog stepena. Graf ima Ojlerov put akko povezan i sadri najvie 2 vora neparanogstepena. Primer: Nacrtati jedan Ojlerov graf i jedan koji to nije. U prvom grafu svi vorovi su parnog stepena i on je Ojlerov graf, dok u drugom grafu to nije sluaj. ProblemKenisberkihmostovasenemoesvestina Ojlerovu konturu, jer graf ima stepene vorova 5, 3, 3, 3 pa samim time se zakljuuje da je nemogue da se svaki most pree samo jedanput, a da se vratimo u poetnu taku. TraenjeOjlerovogputasreeseuproblemima kombinatorna optimizacije, ali i u radu sa laserima, iji je cilj daseoptimalnokoristilaserisamimtimpojeftini proizvodnjalaserskihureaja.Ojleroviputevisuvaniza organizacijuposlovauvelikomgradu,naprimer,za raznoenjepote,naplateraunaislino.Potare najracionalnijeraznetipotuakosvakuulicuobietano jedanput. 1.4. HAMILTONOVI GRAFOVI VilijemHamiltonje1859.godinepostavioproblempod nazivomputokosveta.Ciljjebioobiigradovesvetai vratitiseupolazni.Igrajekoristilaivicedodekaedra(20) zapredstavljanjedozvoljenihputevaizmeugradova. Konturakojaprolazikrozsvevorovegrafatanojednom (takodasenikrozjednugranuneprolazivieod jedanput) je Hamiltonova kontura. Hamiltonova konturaili ciklusgrafa G je zatvoren put koji sadri sve vorove grafa. Graf koji ima Hamiltonovu konturuzove se Hamiltonov graf. Hamiltonov put u grafu G je put koji sadri sve vorove iz G. Graf koji ima Hamiltonov put se zove poluhamiltonov graf. Primer: Nacrtati jedan Hamiltonov graf. U definiciji Ojlerovih i Hamiltonovih grafova postoji slinost. Meutim Ojlerov graf je u potpunosti odreen Ojlerovom teoremom, dok za Hamiltonove grafove to nije sluaj. Nije reen potreban i dovoljan uslov Hamiltonovog grafa. 1.5. TEINSKI GRAF Teinski graf je graf u kome nas ne zanimaju samo vorovi i grane ve i mogunosti stizanja iz take A u taku B i to na najbolji mogui nain. Najbolji nain zavisi od problema koji treba reiti, to je najkrai put, nekada najjeftiniji, najbezbedniji, put na kome se troi najmanje energije i sl. Iz tih razloga svakoj grani se dodeljuje realan broj, njegova teina, odnosno mera. Ako elimo, na primer, da naemo najkrai put izmeu gradova teina je udaljenost, ili cena avionske karte koja spaja udaljene gradova i sl. Teina ne mora da bude pozitivan broj, ali uobiajeno je da se takav koristi, ne umanjujui optost razmatranja. Ako neka grana ne postoji, tada se na pomenutu poziciju stavlja neki poseban simbol npr. Teinskigrafjeureenatrojkaskupova vorova, grana i teinske funkcijekoja svakoj grani dodeljuje teinu. Teinski graf koji je usmeren zove se mrea. ( ), , G VEw =: wE V V ABDFEC57210427362. PREDSTAVLJANJE GRAFOVA POMOU RAUNARA Grafovi se mogu koristiti za reavanje mnogih praktinih problema.Takveproblemereavamopomouraunara.Iz tihrazlogapotrebnojenaadekvatannainpredstaviti grafove. Ne postoji neka unverzalna reprezentacija grafova koja bi reila sve razliite probleme u kojima se oni koriste. Jedanoduobiajenihnainajepomoulistisusedstva, matrica incidencije i susedstva. 2.1. LISTA SUSEDSTVA Za svaki vor grafa lista susedstva sadri sve vorove koji su susedni sa nim u G,. Primer: Grafu sa slike odgovarasledea lista susedstva ( ) , G VE =( ){ }, l v V u v E = e ebacd( )( )( )( ), ,,,l ub cd aa bad cac d Listasusedstvajesamemorijskihresursa najekonominija reprezentacija grafova. Svaka grana grafa ili digrafa predstavlja se sa 2 memorijske jedinice, jedna za poetnivor,adrugazakrajnjivorgrane.Daklegrafje reprezentovansa2mlokacija(mjebrojgrana)Meutim ovareprezentacijanijeuvekpogodna,pogotovokod grafova kod kojih je potrebno utvrivati susednost vorova. 2.2. MATRICA INCIDENCIJE Ako (a,b) predstavlja granu, a vorovi a i b su krajnje take grane, za granu (a,b) se kae da je incidentnavorovima a i b. Neka je G=(V,E) graf.MatricaB ije su vrste obeleene vorovima grafaa kolone granama grafa naziva se matricaincidencije. Element, jednak je 1 ako je i-ti vor incidentan j-toj grani , a jednak nuli u protivnom. ijb Primer: Grafu sa slike odgovarasledea matrica incidencije Matrice incidencije mogu da se koristite i kod grafova sa petljama.bacd2e1e3e4e1 2 3 41 1 1 01 0 0 00 0 1 10 1 0 1e e e eabcd ( ( ( ( ( Primer: Grafu sa petljama sa slike odgovara sledea matrica incidencije bacd2e 1e3e4e5e1 2 3 4 51 1 1 0 01 0 0 0 00 0 1 1 00 0 0 1 0e e e e eabcd ( ( ( ( ( Matrica incidencije za neorijentisane grafove se definie takotoakojei-tivorsusedaniliincidentansaj-tom granom piemo 1, inae je 0. Kod digrafova na preseku i-te vrste i j-te kolone stoji -1 ili 1 ako u i-ti vor ulazi, odnosno izlazij-tagrana,inaeje0.Ovareprezentacijajeveoma neekonomina(usvakojkolonibezobziranagrafnalaze se samo dva ne nulta elementa ) i ree se koristi. 2.3. MATRICA SUSEDSTVA Neka je G=(V,E) graf .Matrica Aije su vrste obeleene vorovima grafa, a kolone istim tim vorovima u istom poretku, se zove matrica susedstva.Element, jednak je 1 ako postoji grana od i-tog vora do j-tog vora , a jednak nuli u protivnom. Matricasusedstvajekvadratnamatricasimetrinau odnosu na glavnu dijagonalu. ija Primer: Grafu sa slike odgovara sledeamatrica susedstva Kako oznake vorova u veini sluajeva nisu vane, matrica se pie bez oznaka. bacd2e1e3e4e0 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 0a b c dabcd ( ( ( ( ( 0 1 1 11 0 0 01 0 0 11 0 1 0 ( ( ( ( ( Primer: Usmerenom grafu sa slike odgovara matrica susedstva bac0 1 11 1 10 0 0a b cabc ( ( ( ( Matricasusedstvajenajeamatrinainterpretacija grafova.Ovareprezentacijazahteva(njebrojvorova) memoriskihjedinicauraunaruiveomajenepraktinaza grafovesamalimbrojemgranatojeupraksiestsluaj. Sadrugestraneonamoedasekoristiizagrafove,i multigrafove(digfraove).Tada,napozicijupresekai-te vrsteij-tekolonetrebastavitibrojgranakojespajajui-ti vorsaj-timvorom.Usluajudajegrafneorijentisan skoro50%memoriskihjedinicamoemoutedetiakose pamte samo elementi ispod ili iznad glavne dijagonale, zato to je matrica simetrina. Ali tada se usporava brizna rada jer je potrebno izvriti testiranja koja se nameu. Teinskamatricajematricakodkojenapoziciju preseka i-te vrste i j-te kolone treba staviti teinu wij grane kojespajajai-tivorsaj-timvorom.Akonekagranane postoji, tada se na pomenutu poziciju stavlja neki poseban simbol . U sluaju besteinskih grafova, za postojee grane se podrazumeva teina 1, dok za nepostojee grane koristi se 0. Teinska matrica je neka vrsta generalizacije matrice susedstva.