5. ORIENTAÇÃO EXTERIOR

5.1 CONCEITO INICIAL

O objetivo primordial da orientação exterior (ou externa) é a

obtenção da posição e atitude de cada foto em relação ao referencial do

espaço objeto. Essa situação é mostrada na figura 5.1:

Figura 5.1 – Objetivo da orientação exterior

Pode-se dizer, então, que uma imagem está orientada

exteriormente se são conhecidos os seis parâmetros de orientação

exterior para a mesma, a saber: coordenadas no espaço-objeto para o

5.1

centro de perspectiva e ângulos de rotação ou de atitude do sensor (φ, ω e

κ).

Este método difere dos adotados nas fotogrametrias analógica e

analítica, que o dividem em dois processos: orientação relativa e

orientação absoluta. A relativa servia para referenciar cada feixe em

relação ao seu homólogo, reconstruindo a posição exata de um par no

espaço durante a tomada das fotos. A absoluta, por sua vez, referencia o

par de feixes em relação ao terreno (colocando o modelo em escala e

nivelando-o).

Com a orientação exterior, não há a necessidade de se realizar

duas etapas diferentes. Sabendo-se os seis parâmetros já enumerados

para cada uma das imagens de um vôo, pode-se reconstruí-lo totalmente.

5.2 OS PARÂMETROS DA ORIENTAÇÃO EXTERIOR

Como já citado no tópico anterior, há seis parâmetros que localizam

a imagem no espaço. Segue uma explicação mais detalhada de cada um

deles.

“X0“ representa a posição do centro de perspectiva no eixo X do sistema

de coordenadas do espaço objeto.

“Y0” representa a posição do centro de perspectiva no eixo Y do sistema

de coordenadas do espaço objeto.

“Z0” representa a posição do centro de perspectiva no eixo Z do sistema

de coordenadas do espaço objeto.

Os ângulos de Euler (φ, ω e κ) representam rotações sofridas pelo

sistema local de coordenadas x, y e z (de cada câmara) em relação ao

sistema global do terreno X, Y e Z. Rotacionando-se x, y, z de -φ, -ω e -κ,

pode-se torná-lo paralelo a X, Y, Z.

5.2

“ω“ representa a rotação do eixo x em relação a X. É contado no sentido

anti-horário. Este ângulo deve ser pequeno, não devendo ultrapassar 5o

em valor absoluto, no caso de fotografias perfeitamente verticais.

“φ“ representa a rotação do eixo y em relação a Y. É contado no sentido

anti-horário. Este ângulo deve ser pequeno, não devendo ultrapassar 5o

em valor absoluto, no caso de fotografias perfeitamente verticais.

“κ“ representa a rotação do eixo z em relação a Z. O sentido é anti-

horário.

Figura 5.2 – Ângulos de atitude do avião φ, ω e κ.

A matriz de rotação equivalente a cada ângulo expressa a

transformação necessária para rotacionar um sistema em relação a outro

de tal ângulo. São expressas da seguinte forma:

Rå=¦cosî 0 Bsenî0 1 0

senî 0 cosî § (5.1)

Rè=¦1 0 00 cosè senè0 Bsenè cosè§ (5.2)

RÚ=¦ cosÚ senÚ 0BsenÚ cosÚ 0

0 0 1§ (5.3)

5.3

Multiplicando-se todas, pode-se obter a matriz de rotação R, que

equivale aos três movimentos simultaneamente. Assim, R é igual a:

R=RîRèRÚ=¦ cosîcosÚ BcosîsenÚ senîcosîsenÚAsenèsenîcosÚ cosècosÚBsenèsenîsenÚ BsenècosîsenîsenÚBcosèsenîcosÚ senècosÚAcosèsenîsenÚ cosècosî § (5.4)

“R” rotaciona do espaço-objeto para o espaço-imagem. Já “M”, que

é igual a R-1 ou RT rotaciona do espaço-imagem para o espaço-objeto.

5.3 AS EQUAÇÕES DE COLINEARIDADE

As duas equações de colinearidade podem ser consideradas a

base da fotogrametria digital, uma vez que estas relacionam os

parâmetros da orientação exterior, as coordenadas fotográficas de um

ponto e as coordenadas tridimensionais do mesmo ponto. Assim,

sabendo-se em quantidades razoáveis qualquer um deles, pode-se, ao

fim, obter os outros através de um ajustamento por mínimos quadrados.

Figura 5.3 – Condição de colinearidade

5.4

A demonstração de tal formulação decorre da chamada “condição

de colinearidade”. Esta pode ser enunciada da seguinte forma:

“No momento da tomada da fotografia, o ponto objeto P, o centro de

projeção O e o ponto imagem P' formam uma linha reta.”

A figura 5.3 oferece uma descrição gráfica desta condição. Nela,

pode-se ver um ponto objeto (P), marcado com uma cruz em vermelho, e

a linha reta que o une ao seu respectivo ponto imagem (p), também

marcado com uma cruz vermelha, sobre a foto. Na linha reta que une os

dois, encontra-se o centro de perspectiva (CP).

5.3.1 DEMONSTRAÇÃO

Figura 5.4 – Condição de colinearidade para uma imagem

5.5

Esta figura representa a condição de colinearidade para um

determinado ponto P, e sua projeção na imagem (p). Note-se,

primeiramente, que a fotografia está rebatida, localizando-se abaixo do

centro de perspectiva (a posição correta seria o plano superior). Porém,

representada deste modo, não se alteram as suas relações geométricas

fundamentais, que serão a base da demonstração.

Figura 5.5 – Fotografia rebatida em relação ao CP

Voltando à figura 5.4, o ponto O representa o centro de projeção,

ou seja, o ponto pelo qual todos os raios vindos do terreno passaram para

sensibilizar o filme em diversas regiões. Também pode ser chamado de

centro de perspectiva.

Note-se que suas coordenadas no sistema imagem não coincidem

exatamente com a origem. Isso acontece sempre, devido aos

movimentos e rotações que a câmara sofre durante o vôo, embora quase

sempre estas diferenças sejam bastante pequenas. Em todo caso, a

projeção de O no sistema imagem recebe as coordenadas ξ0 e η0,

enquanto o ponto p recebe coordenadas ξ e η.

Para compatibilizar os sistemas de coordenadas imagem e terreno,

uma terceira coordenada foi atribuída ao primeiro, tornando-o

5.6

tridimensional (equivalentemente ao sistema de câmara). Esta

coordenada (ζ) é constante nos pontos da imagem, e de valor igual a -c (o

valor da distância focal com o sinal trocado).

Figura 5.6 – Sistema de coordenadas de câmara

Outros dois sistemas presentes na figura são o sistema de

coordenadas objeto (X Y Z) e o sistema de coordenadas objeto paralelo

ao sistema imagem (X' Y' Z'), que nada mais é que o primeiro, rotacionado

dos ângulos de atitude da câmara, de modo a que seja paralelo ao

sistema de coordenadas imagem. Os pontos A, B, D e P estão

posicionados neste sistema. O centro perspectivo, ou O, terá as

seguintes coordenadas: X'0 Y'0 e Z'0, ao passo que P terá como

coordenadas X' Y' e Z'.

Com estes conceitos, podem ser enunciadas duas relações de

razão e proporção, sendo a primeira:

Oab]OAB

Que é facimente visualizada, de acordo com a figura 5.7:

ÞBÞ0

c=

X'BX'0Z'0BZ'

(5.5)

A outra proporção, que pode ser igualmente observada é:

Oad]OAD

E que se encontra representada na figura 5.8.

5.7

Figura 5.7 – Primeira relação de proporcionalidade

Figura 5.8 – Segunda relação de proporcionalidade

5.8

×B×0

c=

Y'BY'0Z'0BZ'

(5.5)

Rearranjando-se as equações 5.4 e 5.5 chega-se a:

Þ=Þ0BcX'BX'0Z'BZ'0

(5.6)

×=×0BcY'BY'0Z'BZ'0

(5.7)

Os sistemas X' Y' Z' e X Y Z se relacionam da seguinte maneira:

¦XBX0

YBY0

ZBZ0§=R¦X'BX'0

Y'BY'0Z'BZ'0

§ e ¦X'BX'0Y'BY'0Z'BZ'0

§=RB1¦XBX0

YBY0

ZBZ0§ (5.8)

Onde R-1 = RT e R = ¦r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33§ .

Utilizando-se as relações acima, chega-se, enfim, a:

Þ=Þ0Bcr11¢XBX0£Ar21¢YBY0£Ar31¢ZBZ0£r13¢XBX0£Ar23¢YBY0£Ar33¢ZBZ0£

(5.9)

×=×0Bcr12¢XBX0£Ar22¢YBY0£Ar32¢ZBZ0£r13¢XBX0£Ar23¢YBY0£Ar33¢ZBZ0£

(5.10)

São as chamadas equações de colinearidade. A partir das

mesmas, pode-se, então, realizar uma série de cálculos diferentes, que

serão descritos nos próximos tópicos.

5.9

5.4 A RESSEÇÃO ESPACIAL

A partir das equações de colinearidade, pode-se determinar os seis

elementos de orientação exterior de uma fotografia (X0, Y0, Z0, φ, ω, κ) a

partir de, no mínimo três pontos de controle.

Como os pontos de controle foram identificados na imagem, são

conhecidas as suas coordenadas pixel. A partir dos parâmetros da

orientação interior, chega-se às suas coordenadas no sistema imagem

(fotográfico) ξ1 e η1, ξ2 e η2, ξ3 e η3, ... Como dados, também encontram-se

disponíveis suas coordenadas tridimensionais (obviamente, pois são

pontos de controle, ou de campo) X1, Y1, Z1, X2, Y2, Z2, X3, Y3, Z3, ...

A distância focal já é conhecida, uma vez que está contida no

certificado de calibração da câmara. As coordenadas do ponto principal

ξ0 e η0 (no espaço imagem) também encontram-se no mesmo, porém,

caso não estejam descritas, podem ser adotadas como os valores das

médias das coordenadas em ξ e η das marcas fiduciais.

Com todos estes valores conhecidos, resta apenas determinar as

incógnitas. Um exemplo literal vem a seguir, considerando quatro pontos

de campo.

Dados:

Distância principal (ou focal, ou focal calibrada): c;

Coordenadas do ponto principal: ξ0 e η0;

Coordenadas de 4 pontos no espaço imagem: ξ1 e η1, ξ2 e η2, ξ3 e η3, ξ4 e η4;

Coordenadas de 4 pontos no espaço objeto: X1, Y1, Z1, X2, Y2, Z2, X3, Y3,

Z3, X4, Y4, Z4;

Fórmulas:

Þ1=Þ0Bcr11¢X1BX0£Ar21¢Y1BY0£Ar31¢Z1BZ0£r13¢X1BX0£Ar23¢Y1BY0£Ar33¢Z1BZ0£

5.10

×1=×0Bcr12¢X1BX0£Ar22¢Y1BY0£Ar32¢Z1BZ0£r13¢X1BX0£Ar23¢Y1BY0£Ar33¢Z1BZ0£

Þ2=Þ0Bcr11¢X2BX0£Ar21¢Y2BY0£Ar31¢Z2BZ0£r13¢X2BX0£Ar23¢Y2BY0£Ar33¢Z2BZ0£

×2=×0Bcr12¢X2BX0£Ar22¢Y2BY0£Ar32¢Z2BZ0£r13¢X2BX0£Ar23¢Y2BY0£Ar33¢Z2BZ0£

Þ3=Þ0Bcr11¢X3BX0£Ar21¢Y3BY0£Ar31¢Z3BZ0£r13¢X3BX0£Ar23¢Y3BY0£Ar33¢Z3BZ0£

×3=×0Bcr12¢X3BX0£Ar22¢Y3BY0£Ar32¢Z3BZ0£r13¢X3BX0£Ar23¢Y3BY0£Ar33¢Z3BZ0£

Þ4=Þ0Bcr11¢X4BX0£Ar21¢Y4BY0£Ar31¢Z4BZ0£r13¢X4BX0£Ar23¢Y4BY0£Ar33¢Z4BZ0£

×4=×0Bcr12¢X4BX0£Ar22¢Y4BY0£Ar32¢Z4BZ0£r13¢X4BX0£Ar23¢Y4BY0£Ar33¢Z4BZ0£

Verifica-se, então, que, para que seja realizado um ajustamento,

são necessárias aproximações iniciais para as incógnitas, uma vez que o

modelo é não-linear.

Estes valores, chamados de X00, Y00, Z00, φ0, ω0, κ0 podem ser

estimados de diferentes formas, como enunciado por (Kraus, 1999):

- Ajustamento por modelos independentes;

- Transformação linear direta (geometria projetiva);

- Adotando-se os seguintes valores:

φ0 = 0, ω0 = 0

Figura 5.9 – Cálculo de κ0

κ0 dado pela direção de vôo (ângulo, no sentido anti-horário,

5.11

necessário para fazer coincidir a linha de vôo com o eixo X do sistema de

coordenadas de terreno).

X00, Y00, Z00 podem ser obtidos de duas maneiras: uma é realizando

a resseção espacial considerando φ0, ω0 e κ0 como valores para φ, ω e κ.

A outra é realizando uma transformação afim, nos mesmos moldes da

realizada para a orientação interior, porém, desta vez relacionando

coordenadas fotográficas com coordenadas planimétricas de terreno. Ao

se obter estes parâmetros de transformação, os mesmos são utilizados

para calcular X00, Y00 a partir de ξ0 e η0. Z00, para este caso, é a soma da

altura de vôo e o plano médio do terreno, que são previstos desde o

planejamento do vôo.

Agora, pode-se realizar um ajustamento pelo modelo não linear.

Este segue a seguinte formulação:

A=¦^Þ1

^X0

^Þ1

^Y0

^Þ1

^Z0

^Þ1

^å^Þ1

^è^Þ1

^Ú^×1

^X0

^×1

^Y0

^×1

^Z0

^×1

^å^×1

^è^×1

^Ú^Þ2

^X0

^Þ2

^Y0

^Þ2

^Z0

^Þ2

^å^Þ2

^è^Þ2

^Ú^×2

^X0

^×2

^Y0

^×2

^Z0

^×2

^å^×2

^è^×2

^Ú^Þ3

^X0

^Þ3

^Y0

^Þ3

^Z0

^Þ3

^å^Þ3

^è^Þ3

^Ú^×3

^X0

^×3

^Y0

^×3

^Z0

^×3

^å^×3

^è^×3

^Ú^Þ4

^X0

^Þ4

^Y0

^Þ4

^Z0

^Þ4

^å^Þ4

^è^Þ4

^Ú^×4

^X0

^×4

^Y0

^×4

^Z0

^×4

^å^×4

^è^×4

^Ú

§5.12

Xa=¦X0

Y0

Z0

åèÚ§

X0=¦X00

Y00

Z00

å0

è0

Ú0

§L0=¦

Þ10

×10

Þ20

×20

Þ30

×30

Þ40

×40

§Lb=¦

Þ1

×1

Þ2

×2

Þ3

×3

Þ4

×4

§ Xa = X0 – (AT P A)-1 . [AT P (L0 – Lb)] (5.11)

As demais estatísticas de qualidade e precisão seguem as fórmulas

já descritas no capítulo 3.

5.13

5.5 A INTERSEÇÃO ESPACIAL

Conhecendo-se os parâmetros da orientação exterior para um par

de fotografias com superposição (X01, Y01, Z01, φ1, ω1, κ1, X02, Y02, Z02, φ2, ω2,

κ2,), pode-se, a partir das mesmas equações de colinearidade, gerar as

coordenadas tridimensionais de um ponto.

Isto se deve ao fato de, desta vez, serem conhecidos os

parâmetros para cada foto, mais as coordenadas do ponto principal no

sistema fotográfico e a distância focal. Ao haver estereoscopia entre as

imagens, é possível localizar as coordenadas de determinado ponto no

sistema fotográfico de cada uma das imagens ( ξ1 e η1, ξ2 e η2).

Figura 5.10 – Interseção espacial

As equações de colinearidade podem então ser reescritas da

seguinte forma:

Þ1=Þ10Bcr11

1 ¢XBX01£Ar21

1 ¢YBY01£Ar31

1 ¢ZBZ01£

r131 ¢XBX0

1£Ar231 ¢YBY0

1£Ar331 ¢ZBZ0

1£

×1=×10Bcr12

1 ¢XBX01£Ar22

1 ¢YBY01£Ar32

1 ¢ZBZ01£

r131 ¢XBX0

1£Ar231 ¢YBY0

1£Ar331 ¢ZBZ0

1£

5.14

Þ2=Þ20Bcr11

2 ¢XBX02£Ar21

2 ¢YBY02£Ar31

2 ¢ZBZ02£

r132 ¢XBX0

2£Ar232 ¢YBY0

2£Ar332 ¢ZBZ0

2£

×2=×20Bcr12

2 ¢XBX02£Ar22

2 ¢YBY02£Ar32

2 ¢ZBZ02£

r132 ¢XBX0

2£Ar232 ¢YBY0

2£Ar332 ¢ZBZ0

2£

Como o ponto em questão é o mesmo, as incógnitas passam a ser

as suas coordenadas tridimensionais no espaço-objeto (X,Y,Z). O número

de equações ao todo é igual a quatro. Logo, há superabundância de

dados e um ajustamento por mínimos quadrados, nos moldes da resseção

espacial, pode ser aplicado.

5.6 AEROTRIANGULAÇÃO ANALÍTICA (POR AJUSTAMENTO DE

FEIXES PERSPECTIVOS)

Um caso mais genérico da utilização das equações de

colinearidade é a aerotriangulação com ajustamento por feixes

perspectivos (bundle adjustment). Neste caso, ajusta-se um bloco inteiro,

simultaneamente, recorrendo às diversas possibilidades de superposição,

que podem localizar um determinado ponto em até seis imagens,

adicionando mais injunções ao modelo. O resultado final são os

parâmetros da orientação exterior para todas as imagens do bloco, mais

as coordenadas tridimensionais dos diversos pontos fotogramétricos

selecionados pelo operador. O capítulo 6 vem a tratar exclusivamente

desse assunto.

5.7 CONCLUSÃO

Os métodos de orientação exterior através de ajustamentos

envolvendo equações de colinearidade só se tornou-se disponível para

5.15

uso após a implementação de técnicas computacionais para a resolução

do mesmo. Tais métodos, embora exijam valores de entrada

aproximados, apresentam grande consistência em seus resultados finais

(Andrade, 1998), sendo, portanto, largamente recomentados.

Convém ressaltar que muitas das soluções encontradas hoje em

dia ainda utilizam a antiga abordagem “orientação relativa e orientação

absoluta”, utilizando adaptações da formulação já existente para o caso

das fotogrametrias analógica e analítica. Isso se deve ao fato de os

usuários ainda estarem acostumados com os métodos tradicionais, sendo

adequada sua adaptação à fotogrametria digital utilizando os mesmos

métodos. É obrigatório observar, porém, que um processo utilizando

ajustamento por feixes perspectivos, por exemplo, une as etapa da

orientação exterior e aerotriangulação em uma só, permitindo resultados

muito mais rápidos para os operadores.

Alguns outros pontos importantes a serem observados também

encontram-se listados abaixo:

- A orientação exterior na fotogrametria digital consiste em orientar cada

uma das imagens em relação ao sistema de coordenadas do espaço-

objeto;

- Isso se dá através do conhecimento dos seis parâmetros da

orientação exterior (X0, Y0, Z0, φ, ω e κ) para cada uma das imagens;

- Entre vários métodos para encontrá-los, ressaltam-se as soluções por

ajustamentos por equações de colinearidade;

- A resseção espacial serve para obter, para cada imagem, os valores

dos parâmetros de orientação exterior. Necessita-se de, pelo menos,

três pontos de apoio;

- A interseção espacial permite, para um par de imagens, a obtenção

das coordenadas tridimensionais no sistema de espaço-objeto para

qualquer ponto que esteja na área de superposição. Necessita dos

parâmetros da orientação exterior para ambas as imagens;

- O ajustamento por feixes perspectivos propicia a obtenção de todos os

valores citados nos tópicos acima, recursivamente, para um bloco de

imagens. É bastante utilizado atualmente.

5.16

Findo este processo, surgem várias outras possibilidades no fluxo

da fotogrametria digital. Uma delas é a aerotriangulação por feixes

perspectivos, que pode ser efetuada em separado da orientação exterior,

tendo os parâmetros obtidos pela resseção espacial para cada uma das

imagens inseridos como dados, e não mais como incógnitas. Outras

opções são a restituição dos modelos, ou a utilização de métodos como

retificação, extração de modelos numéricos de elevações e

ortorretificação, que serão melhor apresentados posteriormente.

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