DIRECTORIO Antonio Ávila Díaz Director General Alejandra Zúñiga Bohigas Directora de los Exámenes Generales para el Egreso de la Licenciatura Wilson Jesús Pool Cibrián Subdirector de Evaluación de Egreso en Diseño, Ingenierías y Arquitectura Nancy Rodríguez Huerta Responsable del EGEL Plus Sección Disciplinar en Ingeniería Mecatrónica Formulario D.R. © 2021 Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A.C. (Ceneval) Primera edición

Contenido Diseño de sistemas mecatrónicos .............................................................................................................................. 5

Cinemática ................................................................................................................................................................. 5 Movimiento en una dimensión ................................................................................................................................ 5 Dinámica .................................................................................................................................................................... 6 Esfuerzo normal, factor de seguridad y deformaciones ....................................................................................... 7 Razón de Poisson ..................................................................................................................................................... 7 Ley de Hooke generalizada ...................................................................................................................................... 7 Esfuerzo cortante (cizalla) y deformación transversal .......................................................................................... 7 Esfuerzo cortante y deformación angular debidos a torsión ............................................................................... 7 Relación entre potencia (HP) y par a la salida del motor (Nm) ............................................................................. 8 Esfuerzo normal y cortante axial en vigas ............................................................................................................. 8 Esfuerzos principales ante una combinación de esfuerzos ................................................................................. 8 Relación de velocidades .......................................................................................................................................... 9 Resistencia en un conductor ................................................................................................................................... 9 Tablas características de los flip flops ................................................................................................................. 11 Tablas de excitación de los flip flops JK y T ........................................................................................................ 12 Transformada de Laplace ...................................................................................................................................... 12 Tabla de transformadas de Laplace ...................................................................................................................... 12 Tabla de propiedades de la transformada de Laplace ........................................................................................ 13 Tipos de respuesta ................................................................................................................................................. 14 Control clásico ........................................................................................................................................................ 18 Control moderno ..................................................................................................................................................... 20 Transformada Z ....................................................................................................................................................... 21 Tabla de transformada –Z ...................................................................................................................................... 21 Tabla de propiedades de la transformada Z ......................................................................................................... 22

Implementación de sistemas mecatrónicos ........................................................................... 25 Configuraciones básicas de amplificadores operacionales ............................................................................... 28 Puente de Wheatstone ........................................................................................................................................... 29

Integración de tecnologías para sistemas mecatrónicos ..................................................... 30 Redes (diagrama PERT) ......................................................................................................................................... 30 Toma de decisiones (árboles de decisión) ........................................................................................................... 30 Punto de equilibrio ................................................................................................................................................. 30 Ingeniería económica ............................................................................................................................................. 31 Rotación de inventarios ......................................................................................................................................... 32 Análisis de la deuda ............................................................................................................................................... 32 Análisis de la rentabilidad ...................................................................................................................................... 32 Análisis de la liquidez ............................................................................................................................................. 33

Anexos ....................................................................................................................................... 35 Geometría ................................................................................................................................................................ 35 Sistemas de coordenadas ...................................................................................................................................... 36 Vectores ................................................................................................................................................................... 37 Trigonometría .......................................................................................................................................................... 37

Medida de ángulos planos .................................................................................................................................... 37 Representación .................................................................................................................................................... 37 Unidad de arco ..................................................................................................................................................... 38 Equivalencias. Por definición ................................................................................................................................ 38

Funciones trigonométricas .................................................................................................................................... 39 Operaciones con funciones trigonométricas ........................................................................................................ 39 Ley de los senos ................................................................................................................................................... 40 Ley de los cosenos ............................................................................................................................................... 40 Ley de las tangentes ............................................................................................................................................ 40

Números complejos ................................................................................................................................................ 40 Tablas de derivadas ................................................................................................................................................ 41 Derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas ................................................................................. 41 Derivadas de las funciones trigonométricas y de las trigonométricas inversas ............................................. 41

Reglas de integración ............................................................................................................................................. 42 Electricidad y magnetismo .................................................................................................................................... 43 Constantes universales .......................................................................................................................................... 45 Análisis dimensional y teoría de semejanza ........................................................................................................ 47

Consejo Técnico ....................................................................................................................... 48

5

Diseño de sistemas mecatrónicos

Cinemática

Movimiento en una dimensión

zkyjxiF ++=

dtrdv!

" =

dtvda!

!=

nt uudtda ˆˆ

2

ruu

+=!

tunn =®

qqn urur r ˆˆ !!! +=®

( ) ( ) qqqq urrurra r ˆ2ˆ2 !!!!!!! ++-=®

tvx=x x v to= +

( )021 vvv +=

atvv o +=

( )tvvxx oo ++=21

2

21 attvxx oo ++=

( )oo xxavv -+= 222

6

Dinámica

Trabajo, energía y conservación de la energía

P: potencia

h : eficiencia

K: energía cinética

V: energía potencial

Impulso e ímpetu

p: ímpetu

: impulso

agWamF !!!

÷÷ø

öççè

æ==

F G mMr

= 2

F m dV dt=å /AB

AB XXX -=

ABAB VVV -=

ABA

B aaa -=

rFU !! ×=rdFdU!!

×=

vFtrF

tUP !!

!!

×=×

==

ent

sal

PP

=h

if KKKU -=D=

2

21 mvK =

if VVVW -=D-=

( ) mgyyV =2

21 kxVe =

! !I F dt= ò

pI!!

D=vmp !!

=

ò=-=D dtFppp if

!!!!p!D

7

Esfuerzo normal, factor de seguridad y deformaciones

; ; ; ;

Razón de Poisson

Ley de Hooke generalizada

Esfuerzo cortante (cizalla) y deformación transversal 𝜏 = !

";

Esfuerzo cortante y deformación angular debidos a torsión

; ;

AFσ =

Yp

d

σFS=

σ Lδε = Eεσ =

AEPLδ =

l a t

l ong

en = -

e

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]

( )n

tgtgtg

ssnse

ssnse

ssnse

+=

===

+-=

+-=

+-=

12

1 ,1 ,1

1

1

1

EG

dondeGGG

E

E

E

zxzxyzyzxyxy

yxzz

xzyy

zyxX

Gγτ =

JTcτ =

JGTL

=f

8

Momento polar de inercia sección circular maciza

𝐽 =𝜋𝐷#

32

Momento polar de inercia sección circular hueca

𝐽 =𝜋(𝐷# − 𝑑#)

32

Potencia

; 1 HP = 33 000 lb·ft/min (caballo de potencia) 1 CV = 736 W (caballo de vapor)

Relación entre potencia (HP) y par a la salida del motor (Nm)

PHP = potencia (Horse Power) T = torsión (par) Nm N = revoluciones por minuto (rpm) w = velocidad angular (rpm)

Esfuerzo normal y cortante axial en vigas σ = !"

#; τ = $%

#&

Esfuerzos principales ante una combinación de esfuerzos

𝜎$,& =𝜎' + 𝜎(

2± 0(

𝜎' − 𝜎(2

)& + 𝜏'(& Esfuerzo cortante máximo

𝜏)*' = 0(𝜎' − 𝜎(

2)& + 𝜏'(&

TωP = fp2ω =

÷øö

çèæ=7025.9TωPHP

9

Relación de velocidades

mv = relación de velocidades Ne = número de dientes en el elemento motriz de entrada Ns = número de dientes en el elemento motriz de salida De = diámetro de paso de entrada Ds = diámetro de paso de salida we = velocidad angular de entrada ws = velocidad angular de salida

Resistencia en un conductor

𝑅 = resistencia (Ω)

resistividad del conductor

longitud

área Variación de la resistencia con la temperatura

e

sv ω

ωDsDe

NsNem ===

ALR r=

=r2m

mæ öW×ç ÷è ø

=L )(m=A )( 2m

( )[ ]122 ttα1RR -+=

10

Circuitos de polarización de transistores bipolares

Polarización de corriente de base

I+ =V,, − V+-

R+ + (1 + h.-)R-

I, = h.-I+

V,- = V,, − I, 8R, +1 + h.-h.-

9 R-

Si I+ ≪ I, (h.- ≫ 1)

I+ =V,, − V+-R+ + h.-R-

V,- = V,, − I,(R, + R-)

Polarización de tensión de base

constante

I+ =V++ − V+-

R+ + (1 + h.-)R-

I, = h.-I+

V,- = V,, − I, 8R, +1 + h.-h.-

9 R-

Autopolarización

Idénticas fórmulas al caso anterior, siendo

R+ = R+$||R+& =R+$R+&R+$ + R+&

V++ =R+$

R+$ + R+&V,,

11

Polarización de colector base

I+ =V,, − V+-

R+ + (1 + h.-)(R, + R-)

I, = h.-I+

V,- = I+R+V+- El transistor nunca entra en saturación

Tablas características de los flip flops

Flip flop JK J K Q(t+1) 0 0 Q(t) Sin cambio 0 1 0 Restablecer 1 0 1 Establecer 1 1 Q’(t) Complementar

Flip flop D

D Q(t+1) 0 0 Restablecer 1 1 Establecer

Flip flop T

T Q(t+1) 0 Q(t) Sin Cambio 1 Q’(t) Complementar

Ecuaciones características de los flip flops Q (t+1) = D Ecuación característica flip flop D Q (t+1) = JQ’+K’Q Ecuación característica flip flop JK Q (t+1) = T EXOR Q = TQ’+T’Q Ecuación característica flip flop T

12

Tablas de excitación de los flip flops JK y T

Flip flop JK Q(t) Q(t+1) J K

0 0 0 X 0 1 1 X 1 0 X 1 1 1 X 0

Flip flop T

Q(t) Q(t+1) T 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

El símbolo X en las tablas representa una condición de indiferencia, es decir, que no importa si la entrada es 1 ó 0.

Transformada de Laplace

𝐹(𝑠) = ℒ[𝑓(𝑡)] = D 𝑓(𝑡)𝑒/01𝑑𝑡2

3

Tabla de transformadas de Laplace 𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠)

Impulso unitario 𝛿(𝑡) 1

Escalón unitario 1(𝑡) 1𝑠

𝑡 1𝑠&

𝑡4/$

(𝑛 − 1)!

1𝑠4

𝑡4 𝑛!𝑠45$

𝑒/*1 1

𝑠 + 𝑎

𝑡𝑒/*1 1

(𝑠 + 𝑎)&

1(𝑛 − 1)!

𝑡4/$𝑒/*1 1

(𝑠 + 𝑎)4

13

𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠)

𝑡4𝑒/*1 𝑛!

(𝑠 + 𝑎)45$

sin𝜔𝑡 𝜔

𝑠& +𝜔&

cos𝜔𝑡 𝑠

𝑠& +𝜔&

1𝑎(1 − 𝑒/*1)

1𝑠(𝑠 + 𝑎)

𝑒/*1sin𝜔𝑡 𝜔

(𝑠 + 𝑎)& +𝜔&

𝑒/*1cos𝜔𝑡 𝑠 + 𝑎

(𝑠 + 𝑎)& +𝜔& 𝜔4

P1 − 𝜉&𝑒/67!1sin𝜔4P1 − 𝜉&𝑡 𝜔4&

𝑠& + 2𝜉𝜔4𝑠 + 𝜔4&

1 −1

P1 − 𝜉&𝑒/67!1sin R𝜔4P1 − 𝜉&𝑡 + 𝜙T

𝜙 = atanP1 − 𝜉&

𝜉

𝜔4&

𝑠(𝑠& + 2𝜉𝜔4𝑠 + 𝜔4&)

Tabla de propiedades de la transformada de Laplace

Linealidad ℒ{𝑎𝑓(𝑡) ± 𝑏𝑔(𝑡)} = 𝑎ℒ{𝑓(𝑡)} ± 𝑏ℒ{𝑔(𝑡)}

Diferenciación Real (caso general)

ℒ /𝑑𝑑𝑡 𝑓

(𝑡)1 = 𝑠𝐹(𝑠) − 𝑓(0)

ℒ 4𝑑!

𝑑𝑡! 𝑓(𝑡)5 = 𝑠!𝐹(𝑠) − 𝑠𝑓(0) − 𝑓"(0)

ℒ /𝑑#

𝑑𝑡# 𝑓(𝑡)1 = 𝑠#𝐹(𝑠) −6𝑠#$%𝑓(%$')(0)

#

%)'

Donde 𝑓(%$')(𝑡) = *!"#

*+!"#𝑓(𝑡)

Diferenciación con CI nulas ℒ /

𝑑#

𝑑𝑡# 𝑓(𝑡)1 = 𝑠#𝐹(𝑠)

Integración Real (caso general)

ℒ 47 𝑓(𝑡)𝑑𝑡+

,5 =

1𝑠 𝐹(𝑠) +

1𝑠 :7𝑓

(0)𝑑𝑡;

ℒ /7⋯7𝑓(𝑡)(𝑑𝑡)#1 =1𝑠# 𝐹

(𝑠) +61

𝑠#$%-' :7⋯7𝑓(0)(𝑑𝑡)%;#

%)'

Integración con CI nulas ℒ 47 𝑓(𝑡)𝑑𝑡+

,5 =

1𝑠 𝐹(𝑠)

Traslación Real ℒ{𝑒$.+𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑠 + 𝑎)

Traslación Compleja ℒ{𝑓(𝑡 − 𝑎)1(𝑡 − 𝑎)} = 𝑒$./𝐹(𝑠); 𝑎 ≥ 0

14

Tipos de respuesta

Sistemas de primer orden:

Ubicación de polos:

Ganancia estática:

Tiempo de asentamiento (criterio al 2%): Respuesta transitoria para diferentes señales típicas de entrada:

Nombre

Impulso

Escalón

Rampa

Parábola

Sistemas de segundo orden:

Ubicación de polos:

Para:

( )( ) 1Y s kU s st

=+

1st

= -

0

0

( ) ( )amplitud de salidaamplitud de entrada ( ) ( )

f

f

y t y tk

u t u t-

= =-

4st t=

( )u t ( )y t

( )dA t t

t-æ ö

ç ÷è ø

tKA e

A 1 t-æ ö

-ç ÷è ø

t

KA e

At 1 ttt

-æ ö- +ç ÷

è ø

ttKA e

212At

22

2 1 ttt t

-æ ö- + -ç ÷

è ø

tt tKA e

2

2 2

( )( ) 2

n

n n

kY sU s s s

wxw w

=+ +

1,2s =

1x > 2 1n nxw w x- ± -1x = nxw-

0 1x< < 21n nxw w x- ± -0x = njw±

15

Características de la respuesta subamortiguada a una entrada escalón:

Atenuación:

Frecuencia natural amortiguada:

Sobreimpulso:

Tiempo pico:

Tiempo de asentamiento:

Tiempo de levantamiento:

( ) 1 sin arctantn dd

d

y t kA e tsw www s

-é ùæ ö= - +ê úç ÷è øë û

ns xw=

21d nw w x= -

21% 100e 100epxpsxwµ

---= =d

p

pw

=pd

t

4s

=st

; arctan wp b bw s- æ ö= = ç ÷

è ød

pd

t

16

Aproximación de orden superior mediante primero orden más tiempo muerto:

Método de Ziegler Nichols:

Método de Miller:

Método de Smith:

0e( )1

t skG sst

-

=+

3 0t tt = -

2 0t tt = -

( )2 0

2 1

0 2

1.5t t

t tt t

t

t

t

= +

= -

= -

17

Aproximación de Padé para la función de retardo:

Aproximación de primer orden: Aproximación de segundo orden:

Error en estado estacionario:

Entrada escalón

Entrada rampa

Entrada parábola

Sistema tipo 0

Sistema tipo 1 0

Sistema tipo 2 0 0

Donde:

0

0

0

12e

12

t s

t s

t s

--

@+

0

220 0

220 0

12 4e

12 4

t s

t ts s

t ts s

-- +

@+ +

sse ( )r t A= ( )r t At= 2( )2Ar t t=

1 p

Ak+

¥ ¥

v

Ak

¥

a

Ak

0lim ( )p s

k G s®

=0

lim ( )v sk sG s

®= 2

0lim ( )a s

k s G s®

=

18

Control clásico

Planta Control Sintonización

I

P

PI

PD

PID

( )pG s ( )cG s

K iKs

1i

c

KKt

=

Ks cK

1c

c

KKt

=

1kst +

c iK s Ks+

( )2 1ncK k

xw t -=

2n

iK ktw

=

( )K

s s a+ d cK s K+

2 nd

aKK

xw -=

2n

cK Kw

=

( )( )1 2

Ks a s a+ +

2d c iK s K s K

s+ +

21 22 n n

ca aK

Kxw a w+ -

=

2n

iK Kaw

=

1 22 nd

a aKK

a xw+ - -=

19

Sintonización por Ziegler – Nichols de lazo abierto

Algoritmo

PI ---

PID

Sintonización por Ziegler – Nichols de lazo cerrado

Algoritmo

PI ---

PID

cK it dt

0

0.9Ktt

03.33t

0

1.2Ktt

02t 0

2t

2u

u

P pw

=

cK it dt

2.2uK

1.2uP

1.7uK

2uP

8uP

20

Análisis en frecuencia:

Magnitud en decibeles:

Estabilidad relativa:

Control moderno Regulador por retro de estados:

( ) e jG j M fw =

( ) BM G jA

w= =

{ }{ }

Im ( )e ( ) arctan

Re ( )j G j

G jG j

f ww

wé ù

=Ð = ê úê úë û

( ) sinu t A tw=

20log 20log ( )dBM M G jw= =

1180 180 ( )fM G jf w= + = +Ð

1( )gM G j pw

=

[ ] 10 10120log 20log ( )( )gM dB G jG j p

p

ww

= = -

u = -Kx

21

Controlabilidad

Fórmula de Ackerman:

Transformada Z

Tabla de transformada –Z

o

sin𝜔𝑡

2 1n-é ù= ë ûMc B AB A B A B!

[ ][ ] ( )10 0 1 dp-= CK M A!

( ){ } ( ){ } ( )0

( )¥

-

=

= = =å k

kX z x t x kT x kT zZ Z

( )F s ( )f t ( )f kT ( )f k ( )F z1s

1( )t 1( )k 1

11 -- z

1+s a

-ate -akTe 1

11 - -- aTe z

2

1s

t kT ( )1

211

-

--

Tz

z

3

2s

2t ( )2kT ( )( )

2 1 1

31

1

1

- -

-

+

-

T z z

z

( )+a

s s a1 -- ate 1 -- akTe ( )

( )( )1

1 1

1

1 1

- -

- - -

-

- -

aT

aT

e z

z e z

( )( )-

+ +b a

s a s b

- --at bte e - --akT bkTe e ( )( )( )

1

1 11 1

- - -

- - - -

-

- -

aT bT

aT bT

e e z

e z e z

( )21+s a

-atte -akTkTe

( )1

211

- -

- --

aT

aT

Te z

e z

( )2+

ss a

( )1 -- atat e ( )1 -- akTakT e ( )( )

1

21

1 1

1

- -

- -

- +

-

aT

aT

aT e z

e z

2 2

ww+s

sinwkT ( )( )

1

1 2

sin1 2cos

ww

-

- -- +T zT z z

22

o

Tabla de propiedades de la transformada Z

Linealidad

Multiplicación por

Teorema de corrimiento

(Traslación real)

Traslación compleja

Teorema del valor inicial

Teorema del valor final

( )F s ( )f t ( )f kT ( )f k ( )F z

2 2w+s

scoswt coswkT ( )

( )

1

1 2

1 cos1 2cos

ww

-

- -

-- +

T zT z z

( )2 2

ww+ +s a

sinw-ate t sinw-akTe kT ( )( )

1

1 2 2

sin1 2 cos

ww

- -

- - - -- +

aT

aT aT

e T ze T z e z

( )2 2w+

+ +

s as a

cosw-ate t cosw-akTe kT ( )( )

1

1 2 2

1 cos1 2 cos

ww

- -

- - - -

-

- +

aT

aT aT

e T ze T z e z

{ } { } { }( ) ( ) ( )a b a b a b= + = + = +k k k kX z f g f g F z G zZ Z Z

ka { } ( ) ( )1 1

0 0

¥ ¥ -- - -

= =

= = =å åkk k k

k k kk k

a x a x z x a z X a zZ

( ){ } ( )-- = nf t nT z F zZ

( ){ } ( ) ( )1

0

nn k

kf t nT z F z f kT z

--

=

é ù+ = -ê ú

ë ûåZ

( ){ } ( ) ( )( ) ( )0 0

¥ ¥ -- - -

= =

= = =å åkat akT k aT aT

k ke f t f kT e z f kT ze F zeZ

( )0 lim ( )z

y F z®¥

=

( )11

lim lim 1 ( )kk zy z F z-

®¥ ®é ù= -ë û

23

Equivalencia de elementos de sistemas dinámicos

Tipo de sistema

Mecánico traslacional

Mecánico rotacional Eléctrico Flujo Térmico

Variable tipo A Velocidad, 𝑣 Velocidad,

𝛺 Voltaje, 𝑒 Presión, 𝑃 Temperatura, 𝑇

Elemento tipo A Masa, 𝑚 Momento

de inercia, 𝐽 Capacitor, 𝐶 Flujo del capacitor, 𝐶8

Capacitor térmico, 𝐶9

Ecuaciones elementales 𝐹 = 𝑚

𝑑𝑣𝑑𝑡

𝑇 = 𝐽𝑑𝛺𝑑𝑡

𝑖 = 𝐶𝑑𝑒𝑑𝑡

𝑄8 = 𝐶8𝑑𝑃𝑑𝑡

𝑄9 = 𝐶9𝑑𝑇𝑑𝑡

Energía almacenada Cinética Cinética Campo

eléctrico Potencial Térmica

Ecuaciones de energía ℰ: =

12𝑚𝑣& ℰ: =

12𝐽𝛺& ℰ; =

12𝐶𝑒& ℰ< =

12𝐶8𝑃& ℰ1 =

12𝐶9𝑇&

Variable tipo T Fuerza, 𝐹 Torque, 𝑇 Corriente, 𝑖 Tasa de flujo,

𝑄8 Flujo de calor, 𝑄9

Elemento tipo T Esfuerzo, 1/k Esfuerzo,

1/k Inductor, L Tensor de inercia, I Ninguno

Ecuaciones elementales 𝑣 =

1𝑘𝑑𝐹𝑑𝑡 𝛺 =

1𝐾𝑑𝑇𝑑𝑡 𝑒 = 𝐿

𝑑𝑖𝑑𝑡 𝑃 = 𝐼

𝑑𝑄8𝑑𝑡

Ninguno

Energía

almacenada Potencial Potencial Campo magnético Cinética Ninguna

Ecuaciones de energía ℰ= =

12𝑘𝐹& ℰ= =

12𝑘𝑇& ℰ) =

12𝐿𝑖& ℰ> =

12𝐼𝑄8& Ninguna

Elemento tipo D

Amortiguador, 𝑏

Amortiguador rotacional, 𝐵 Resistor, 𝑅 Resistencia al

flujo, 𝑅0 Resistor

térmico, 𝑅1

Ecuaciones elementales 𝐹 = 𝑏𝑣 𝑇 = 𝐵𝛺 𝑖 =

1𝑅𝑒 𝑄8 =

1𝑅8𝑃 𝑄9 =

1𝑅9𝑇

Energía disipada

𝑑𝐸?𝑑𝑡 = 𝐹𝑣

=1𝑏𝐹&

= 𝑏𝑣&

𝑑𝐸?𝑑𝑡

= 𝑇𝛺

=1𝐵𝑇&

= 𝐵𝛺&

𝑑𝐸?𝑑𝑡

= 𝑖𝑒

= 𝑅𝑖&

=1𝑅𝑒&

𝑑𝐸?𝑑𝑡

= 𝑄8𝑃

= 𝑅8𝑄8&

=1𝑅8𝑃&

𝑑𝐸?𝑑𝑡

= 𝑄9

24

Criterio de estabilidad de Routh – Hurwitz Ecuación característica:

1 20 1 2 1 0n n n

n na s a s a s a s a- --+ + + + + =!

0 2 41

1 3 52

1 2 33

1 2 3

21 2

11

01

n

n

n

n

s a a as a a as b b bs c c c

s e es fs g

-

-

-

!

!

!

!

" " "

1 2 0 31

1

;a a a aba-

= 1 4 0 52

1

;a a a aba-

= !1 3 1 2

11

;b a a bcb-

= !

25

Implementación de sistemas mecatrónicos Filtros activos Filtro pasa bajas de primer orden

K = 1 +R@R&

R$ =R&R@R& + R@

R& =

KK − 1

R$

R@ = KR$

Filtro pasa bajas de segundo orden (MFB)

K =R&R$

R$ =R&K

R! =2(K + 1)

EaC! + (a!C!! − 4bC'C!(K + 1))#$Jω2

R@ =1

bC$C&ωA&R&

26

Filtro pasa bajas de segundo orden

K = 1 +R#R@

R" =

1

$aC# + ([a# + 4b(K + 1)]C## − 4bC"C#)!"0ω$

R& =1

bC$C&R$ωA&

R@ =K(R$ + R&)K − 1

; K > 1

R# = K(R$ + R&)

Filtro pasa altas de primer orden

K = 1 +R@R&

R$ =1ωAC

R& =K

K − 1R$; K > 1

R@ = KR$

R$ =R&R@R& + R@

Filtro pasa altas de segundo orden (MFB)

K =C$C&

R$ =1

(2C$ + C&)ω3

R& =(2C$ + C&)baC$C&ω3

C$ =10fA

27

Filtro pasa altas de segundo orden (VCVS)

K = 1 +R#R@

R$ =4b

pa + (a& + 8b(K + 1))%&r ωAC

R& =b

C&R$ωA&

R@ =KR$K − 1

; K > 1

R# = KR$

C$ =10fA

Filtros pasa banda (MFB)

K < 2Q3&

R$ =Q3ω3CK

R& =Q3

ω3Cu2Q3& − Kv

R@ =2Q3ω3C

K =R@2R$

Q3 =ω3

ωAB −ωAC=

f3fAB − fAC

=f3Bω

f3 = (fACfAB)

%&

28

Filtros rechazo de banda

R$ =1

2Q3ω3C

R& =2Q3ω3C

R@ =R$R&R$+R&

Configuraciones básicas de amplificadores operacionales

Configuración Diagrama Relación entrada-salida

Seguidor

Vout = Vin

Inversor

𝑉DE1 = −𝑉F4𝑅8𝑅F4

No inversor

𝑉DE1 = 𝑉F4 81 +𝑅&𝑅$9

Sumador inversor

𝑉DE1 = −𝑅8 8𝑉$𝑅$+𝑉&𝑅&+⋯+

𝑉4𝑅49

29

Configuración Diagrama Relación entrada-salida

Restador

𝑉DE1 = 𝑉& 8(𝑅@ + 𝑅$)𝑅#(𝑅# + 𝑅&)𝑅$

9

− 𝑉$ 8𝑅@𝑅$9

Integrador

𝑉DE1 = −D𝑉F4𝑅𝐶

1

3𝑑𝑡 + 𝑉F4F:F*G

Derivador

𝑉DE1 = −𝑅𝐶𝑑𝑉F4𝑑𝑡

Puente de Wheatstone

En condición de equilibrio, se cumple que: 𝑅' =H%H'H&

30

Integración de tecnologías para sistemas mecatrónicos

Redes (diagrama PERT)

dij = duración de la actividad a = duración optimista m = duración más probable b = duración pesimista Tiempo más temprano tj Tiempo más tardío Tj

tj = máx(ti + dij) Tj = mín(Ti + dij)

j = suceso cuya fecha hay que calcular i = etapas origen de actividades que llegan a él

Toma de decisiones (árboles de decisión)

VE = valor esperado de la alternativa de decisión di = alternativa de decisión P (sj) = probabilidad del estado de la naturaleza sj Vij = resultado correspondiente a la alternativa de decisión di y el estado de la naturaleza sj N = número de estados de la naturaleza

Punto de equilibrio

CF = costos fijos totales CV = costos variables totales P = precio del producto Q = cantidad de productos vendidos

6)4(dijbma ++

=

( )N

i j ijj=1

VE(d )= P(s ) V×å

CFpunto de equilibrio CV1-P Q

=

´

31

Ingeniería económica Tasa de interés anual efectivo

Encontrar un presente dado un futuro

Encontrar un futuro dado un presente

Encontrar un presente dada una anualidad

Encontrar una anualidad dado un presente

Encontrar una anualidad dado un futuro

Encontrar un futuro dada una anualidad

Encontrar un presente dado un gradiente

Encontrar un futuro dado un gradiente

Encontrar una anualidad dado un gradiente

11 -÷øö

çèæ +=

m

mri

1(1 )n

P Fi

é ù= × ê ú+ë û

(1 )nF P i= × +

(1 ) 1(1 )

n

n

iP Ai i

é ù+ -= × ê ú+ë û

(1 )(1 ) 1

n

n

i iA Pi

é ù+= × ê ú+ -ë û

(1 ) 1n

iA Fi

é ù= × ê ú+ -ë û

(1 ) 1niF Ai

é ù+ -= × ê ú

ë û

(1 ) 1(1 ) (1 )

n

n n

G i nPi i i ié ù+ -

= × -ê ú× + +ë û

(1 ) 1nG iF ni ié ù+ -

= × -ê úë û

1(1 ) 1n

nA Gi ié ù

= × -ê ú+ -ë û

32

Relación costo-beneficio

Depreciación

Dt = cargo por depreciación anual B = costo inicial o base no ajustada VS = valor de salvamento n = vida depreciable esperada o periodo de recuperación

Rotación de inventarios

Rotación de inventarios = Costo de ventas Inventario

Rotación de los activos totales

Rotación de activos totales = Ventas Activos totales

Análisis de la deuda Razón de deuda

Razón de deuda = Pasivos totales Activos totales

Razón de la capacidad de pago de intereses

Razón de la capacidad de pago de intereses = Utilidad antes de intereses e impuestos Intereses

Análisis de la rentabilidad Margen de utilidad bruta

Margen de utilidad bruta = Ventas-costo de ventas = Utilidad bruta Ventas Ventas

Margen de utilidad operativa

Margen de utilidad neta = Utilidad neta después de impuestos Ventas

/ ingreso egresosB Ccostos-

=

nVSBDt

-=

33

Rendimiento sobre los activos

Rendimiento sobre los activos = Utilidad neta después de impuestos

Activos totales Rendimiento sobre el capital contable

Rendimiento sobre el capital contable = Utilidad neta después de impuestos Capital contable

Análisis de la liquidez

Capital de trabajo neto Capital de trabajo neto = activo circulante-pasivo circulante Razón circulante

Razón circulante = Activo circulante Pasivo circulante

Razón rápida (prueba del ácido)

Razón rápida = Activo circulante-inventario Pasivo circulante

Valor actual neto

𝑉𝐴𝑁 =|𝑉1

(1 + 𝑘)1

4

1I$

− 𝐼3

donde: 𝑉1 = flujos de caja de cada periodo t 𝐼3 = inversión inicial 𝑛 = número de periodos 𝑘 = tipo de interés Amortización Valor actual : $/($5F)/4

F

Valor futuro: ($5F)!/$

F

Donde: 𝑖 = la tasa de interés 𝑛 = el número de periodos

34

Para el cálculo de la amortización de capital se usa la siguiente fórmula:

m = saldo al final del periodo

1 1×

=+ -nm iA

( i )

35

Anexos

Geometría

Volumen

Área de la superficie

Volumen

Área de la superficie lateral

Volumen

Área de la superficie lateral

Volumen

Área de la superficie lateral

= 43

3pr

= 4 2p r

r

= p r h2

= 2p rh

r

h

= 13

2pr h

= + =p pr r h r l2 2 h

r

l

( )= + +13

2 2p h a ab b

( ) ( )( )

= + + -

= +

ppa b h b aa b l

2 2

h

a

b

l

36

Sistemas de coordenadas Coordenadas cilíndricas:

o

Coordenadas esféricas:

o

Ángulo entre dos rectas en el plano

x ry rz z

===

ì

íï

îï

cossen

qq ( )

r x ytan

z z

yx

= +

=

=

ì

íïï

îïï

-

2 2

1qq

r

z

y

x

y

z

P(x,y,z)(r,q,z){

x

O

x ry rz r

===

ì

íï

îï

sen cossen sencos

q fq fq

( )r x y ztan y

x

zx y z

= + +

=

= æè

öø

ì

íïï

îïï

-

-+ +

2 2 2

1

12 2 2

f

q cos

z

y

x

y

P (r,q,{

f

f)(x,y,z)

O

q

z

r

x

tana =-

+m mmm2 1

1 21

37

Vectores

donde q es el ángulo formado por A y B

donde , Son resultados fundamentales:

Producto cruz:

Magnitud del producto cruz El operador nabla se define así:

Trigonometría

Medida de ángulos planos

Representación La medida de un ángulo puede expresarse en unidades comunes (grados) o en unidades de arco (radianes). Se representa a veces, respectivamente, por y .

A B• = £ £A B cosq q p0

A B• = + +A B A B A B1 1 2 2 3 3

A i j k= + +A A A1 2 3! ! ! B i j k= + +

Ù Ù Ù

B B B1 2 3

1 2 3

1 2 3

i j kA B A A A

B B B

Ù Ù Ù

´ =

( ) ( ) ( ) kji ˆˆˆ122131132332 BABABABABABA -+-+-=

senq´ =A B A B

zyx ¶¶

¶¶

¶¶ ÙÙÙ

++=Ñ kji

a Ùa

38

Unidades comunes (sexagesimales): grado (°), minuto ('), segundo ("). el 1° = 60'; 1' = 60"

Unidad de arco 1 radián (rad) es el ángulo central de una circunferencia de radio unitario que intercepta un arco también unitario. Por lo tanto,

Con frecuencia no se indica específicamente la unidad, como en la siguiente tabla.

0° 30° 45° 60° 75° 90° 180° 270° 360°

0 0 0.52 0.78 1.05 1.31 1.57 3.14 4.71 6.28

Equivalencias. Por definición

La longitud de un arco (b) es el producto del radio r y el ángulo central (en radianes) de la circunferencia:

11 1(número adimensional)1mradm

= =

a

àa / 6p / 4p / 3p 5 / 12p / 2p p 3 / 2p 2p

180360 2 rad, 1 rad = 57.2967

1 rad = 0.017453 rad180

ˆ =180 57.2967

longitud de arcoˆ = radio

arc

pp

p

p aa a

a a

°° = = °

° =

=

=

Ùa

b = r Ùa

39

Funciones trigonométricas En un triángulo rectángulo:

Operaciones con funciones trigonométricas

Las leyes siguientes son válidas para cualquier triángulo plano ABC de lados a, b, c y de ángulos A, B, C.

cateto opuestosen ;hipotenusa

cateto adyacentecos ;hipotenusa

cateto opuestotan ;cateto adyacente

= =

= =

= =

acbcab

a

a

a

2 2 1sen A cos A+ = 2 21 12 2

sen A cos A= -

2 2 1sec A tan A- = 2 21 12 2

cos A cos A= +

2 2 1csc A cot A- = 2 2sen A sen Acos A=

senAtan Acos A

=2 2 2cos A cos A sen A= -

cos Acot AsenA

= ( )sen A B senAcos B cos AsenB± = ±

1senAcsc A = ( )cos A B cos Acos B senAsenB± = !

cos secA A = 1 ( )tan A BtanA tanBtanAtanB

± =±

1!tan cotA A = 1

sen cosA A2

12

= ±-

( )sen sen- = -A A cos cosA A2

12

= ±+

( )cos cos- =A A ( ) ( )[ ]sen sen cos cosA B A B A B= - - +12

( ) AA tantan -=- ( ) ( )[ ]sen cos sen senA B A B A B= - + +12

( ) ( )[ ]cos cos cos cosA B A B A B= - + +12

40

Ley de los senos

Ley de los cosenos

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

Ley de las tangentes

Los otros lados y ángulos están relacionados en forma similar

Números complejos Forma trigonométrica o polar de un número complejo

Se tiene que y que .

Luego:

Por lo tanto:

Forma exponencial de un número complejo Sea un número complejo donde es su módulo y su argumento. Entonces, mediante el empleo de la fórmula de Euler, se obtiene:

aA

bB

cCsen sen sen

= =

c a b ab C2 2 2 2= + - cos

( )( )

a ba b

tan A Btan A B

+-

=+-

1212

( , )r z x y= = 1arg( ) tan yzx

- æ öq = = ç ÷è ø

sin sin

cos cos

y y rrx x rr

ì q = Þ = qïïíï q = Þ = qïî

( , ) cos sin (cos sin )z x y x yi r i r r i= = + = q+ q = q+ q

(cos sin )z r i= q+ q r q

(cos sin ) iz r i r e q= q+ q =

41

Tablas de derivadas

(Regla de la cadena)

Derivadas de las funciones exponenciales y logarítmicas

Derivadas de las funciones trigonométricas y de las trigonométricas inversas

ddxc( ) = 0 ( )d

dxcx c=

( )ddxcx ncxn n= -1 ( )d

dxu v w

dudx

dvdx

dwdx

± ± ± = ± ±! !

( )ddxcu c

dudx

= ( )ddxuv u

dvdx

vdudx

= +

( )ddxuvw uv

dwdx

uwdvdx

v wdudx

= + +( ) ( )d

dxuv

v dudx u dvdxv

æèçöø÷ =

-2

( )ddxu nu

dudx

n n= -1dudx dx

du=

1

dFdx

dFdududx

=

[ ]ln ln

-1

ln

ln

v v u v u

v v

d d du e e v udx dx dx

du dvvu u udx dx

= = =

+

loglog 0, 1aa

ed duu a adx u dx

= > ¹

lnu ud dua a adx dx

=1ln loge

d d duu udx dx u dx

= =

u ud due edx dx

=

ddx

u u dudx

sen cos=ddx

u u dudx

cot csc= - 2

ddx

u u dudx

cos sen= -ddx

u u u dudx

sec sec tan=

ddx

u u dudx

tan sec= 2 ddx

u u u dudx

csc csc cot= -

1 1

2

1cos 0 cos1

- -- é ù= < <ë û-

d duu udx dxu

p 1 12 22

1sen sen1

- -é ù= - < <ë û-

d duu udx dxu

p p

1 12 22

1tan tan1

d duu udx u dx

p p- -é ù= - < <ë û+1 1

2

1cot 0 cot1

d duu udx u dx

p- -- é ù= < <ë û+

42

Reglas de integración Formas fundamentales

Formas trigonométricas

1

2 2

12

12

1 1sec ,1 1

0 sec sec

d du duudx dx dxu u u u

si usi u

p

p p

-

-

-

±= =

- -

é ù+ < <ê ú- < <ë û

1

2 2

12

12

1 1csc ,1 1

0 csc csc 0

d du duudx dx dxu u u u

si usi u

p

p

-

-

-

-= =

- -

é ù- < <ê ú+ - < <ë û

!

udv uv vdu= -ò ò u ue du e C= +ò

u dun

u C nn n=+

+ ¹ -+ò 11

11 a duaaCu

u

= +ò ln

lndu u Cu= +ò

sen cosudu u C= - +ò csc cot cscu udu u C= - +ò

ò += Cuduu sencos ò += Cuduu seclntan

ò += Cuduu tansec2 cot ln senudu u C= +ò2csc cotudu u C= - +ò Cuuduu ++=ò tanseclnsec

ò += Cuduuu sectansec csc ln csc cotudu u u C= - +ò

43

Electricidad y magnetismo

FE: flujo eléctrico

V: potencial electrostático

U: energía potencial electrostática

Capacitancia C: capacitancia

Capacitor de placas paralelas

k: constante dieléctrica

Capacitor cilíndrico

U: energía almacenada en un capacitor

u: densidad de energía

Corriente, resistencia y fuerza electromagnética

i: corriente eléctrica

j: densidad de corriente

A: área

÷øö

çèæ=rr

rqqkF!

!

221

221

rqqkF =

!

21 rrr -=!

qFE!

!=

ò =×=Fo

EqAdEe

!!

rqkV =

ò ×-=-=-

=-b

aabab

ab ldEqW

qUU

VV!!

åå=

-

=

=m

i

i

j ijo

ji

rqq

U1

1

1 4pe

CVq =

dAC oke=

C Ad

= Î Î= Îk 0

( )ablC o ln

2pke=

qVCVCqU

21

21

22

2

===

2

21 Eu oke=

tqi =

Aqni u=

å==i

iii vqnAij

44

r : resistividad

R: resistencia

Variación de R con la temperatura

Elev. de potencial = caídas de potencial

P: potencia eléctrica

Magnetismo : velocidad

: campo magnético : elemento de longitud

r: distancia

N: número de vueltas

r: radio

e : fuerza electromagnética

jE

=r

Al

iVR r==

( )R R t= +0 1 a DeS-S= IRVab

i ient sal. .=ååå å å = 0iv

RVRiiVP2

2 ===

F qv B= ´! !! v!

B!

F il B= ´!! !

l!

qt senNiAB=

ò =× ildB oµ!!

ò®®

×=F AdB

riB o

pµ2

=

B Ia

=µ02

rNiB o

pµ2

=

0

4IdB sen da

µ q qp

=

( )01 2cos cos

4IBa

µ q qp

= -

dtd BF-=e

vBl-=e

e =-ddtF

45

Constantes universales Carga electrón y protón Masa electrón Masa protón

Constante gravitacional

Constante dieléctrica = 8.85 x 10-12 F/m Constante de permeabilidad = 1.26 x 10-6 H/m Electrón-volt (eV)

Equivalencias 1 N = 0.2248 lb = 105 dinas 1 pulg = 0.0254 m 1 kCal = 418 Joule 1 Btu 1 HPh 1 Watt 1 Joule = 2.778 x10-7kWh 1 Joule = 9.481 x 10-4 Btu = 107 erg 1 Joule = 0.2389 cal = 6.242 x 1018 eV 1 HP = 1 HP = 2545 Btu/h = 178.1 cal/s 1 Tesla = 10000 Gauss 1 milla = 1609 m 1 ft = 30.48 cm 1 libra = 454 gr

C x 19106.1 -=319.11 x 10 kg-=271.673 x 10 kg-=

229 /109 CNmk x =2212

0 /1085.8 NmC-=Î x mT ×p=µ -7

0 104 x

11 2 26.672 x 10 /G Nm kg-=

191.60 x 10 J-=mCu ×W=r -81069.1 x mAl ×W=r -81083.2 x mAg ×W´= - .1062.1 8rmFe ×W´= -81068.9r

331093.8 mkg

Cu x =d

3

3

3

3

10 x 9060

10 x 72

mkg

madera

mkg

Al

..

.

-=d

=d

= 0 252. KCal= 1 014. CVh= 0 860. KCal

h

Wslbft 7.745550 =×

46

Identidades Trigonometricas sen (90 – θ) = cos θ cos (90 – θ) = sen θ Sen 2θ = 2 sen θ cos θ Sen (α ± β) = sen α cos β ± cos α sen β Cos (α ± β) = cos α cos β sen α sen β

tan (α ± β) =

!

bab±a

tantan1tantan

!

47

Análisis dimensional y teoría de semejanza De las cuatro dimensiones básicas: M = masa, L = longitud, T = tiempo, = temperatura Se establece un sistema MLT ; algunos valores en la siguiente tabla.

Cantidad Símbolo MLT FLT Longitud L L L Área A L2 L2

Volumen V L3 L3 Velocidad V LT-1 LT-1

Aceleración dV/dt LT-2 LT-2 Velocidad del sonido ᵅ LT 1 LT 1 Flujo volumétrico, caudal Q L3T-1 L3T-1 Flujo másico MT-1 FTL-1

Presión, esfuerzo ML-1T-2 FL-2

Velocidad de deformación T1 T1 Ángulo Ninguna Ninguna Velocidad angular T-1 T-1 Viscosidad ML-1T-1 FTL-2

Viscosidad cinemática v L2T1 L2T-1

Tensión superficial MT-2 FL-1

Fuerza F MLT-2 F Momento par M ML2T2 FL Potencia P ML2T-3 FLT-1

Trabajo, energía W,E ML2T-2 FL Densidad ML-3 FT2L1

Temperatura T Calor específico cp, cv L2T-2Θ-1 L2T-2Θ-1 Peso específico g ML-2T2 FL-3

Conductividad térmica K MLT-3Θ-1 FT-1Θ1

Coeficiente de expansión β

qq

Q Q

m!p, ,s tε!q,wWµ

¡

r

Q Q

r

- 1Q - 1Q

48

Consejo Técnico

Representantes de Instituciones de Educación Superior

M.C. David César Malpica Moreda Benemérita Universidad Autónoma

de Puebla

Dr. Ángel Flores Abad Universidad Autónoma de Ciudad Juárez

Dra. Yamel Ungson Almeida Centro de Enseñanza Técnica y Superior

Dr. Eliezer Garza González Universidad Autónoma de Nuevo León

Mtro. Miguel de Jesús Ramírez Cadena Tecnológico de Monterrey

Dr. Jorge Aurelio Brizuela Mendoza Universidad de Guadalajara

Mtra. Isabel Lascurain Gutiérrez Universidad Anáhuac

Mtro. Mauricio Alberto Ortega Ruíz Universidad del Valle de México

Dr. Oscar Omar Ovalle Osuna Universidad Autónoma de Baja California

Mtro. Jorge Alonso Ramírez Márquez Universidad Politécnica de Aguascalientes

Dr. Jorge Luis Barahona Ávalos Universidad Tecnológica de La Mixteca

Dr. Ricardo Oscar Magos Pérez Universidad Tecnológica de México

49

Este Formulario es un instrumento de apoyo para quienes sustentarán el Examen General para el Egreso de Ingeniería Mecatrónica (EGEL Plus IMECATRO). El Formulario para el sustentante es un documento cuyo contenido está sujeto a revisiones periódicas. Las posibles modificaciones atienden a los aportes y críticas que hagan los miembros de las comunidades académicas de instituciones de educación superior de nuestro país, los usuarios y, fundamentalmente, las orientaciones del Consejo Técnico del examen. El Ceneval y el Consejo Técnico del EGEL Plus IMECATRO agradecerán todos los comentarios que puedan enriquecer este material. Sírvase dirigirlos a:

Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior, A.C. Subdirección de Evaluación de Egreso en Diseño, Ingenierías y Arquitectura

Av. Camino al Desierto de los Leones (Altavista) 37, Col. San Ángel, Álvaro Obregón, C.P. 01000, Ciudad de México. Tel: 55 53 22 92 00 ext. 5109

www.ceneval.edu.mx nancy.rodriguez@ceneval.edu.mx

50

El Centro Nacional de Evaluación para la Educación Superior es una asociación civil sin

fines de lucro constituida formalmente el 28 de abril de 1994, como consta en la escritura

pública número 87036 pasada ante la fe del notario 49 del Distrito Federal.

Sus órganos de gobierno son la Asamblea General, el Consejo Directivo y la Dirección

General. Su máxima autoridad es la Asamblea General, cuya integración se presenta a

continuación, según el sector al que pertenecen los asociados:

Asociaciones e instituciones educativas: Asociación Nacional de Universidades e

Instituciones de Educación Superior, A.C.; Federación de Instituciones Mexicanas

Particulares de Educación Superior, A.C.; Instituto Politécnico Nacional; Tecnológico de

Monterrey; Universidad Autónoma del Estado de México; Universidad Autónoma de San

Luis Potosí; Universidad Autónoma de Yucatán; Universidad Popular Autónoma del

Estado de Puebla; Universidad Tecnológica de México.

Asociaciones y colegios de profesionales: Barra Mexicana Colegio de Abogados, A.C.; Colegio Nacional de Actuarios, A.C.; Colegio Nacional de Psicólogos, A.C.; Federación

de Colegios y Asociación de Médicos Veterinarios y Zootecnistas de México, A.C.;

Instituto Mexicano de Contadores Públicos, A.C.

Organizaciones productivas y sociales: Academia de Ingeniería, A.C.; Academia

Mexicana de Ciencias, A.C.; Academia Nacional de Medicina, A.C.; Fundación ICA,

A.C.

Autoridades educativas gubernamentales: Secretaría de Educación Pública.

El Centro está inscrito desde el 10 de marzo de 1995 en el Registro Nacional de

Instituciones Científicas y Tecnológicas del Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología,

con el número 506. Asimismo, es miembro de estas organizaciones: International

Association for Educational Assessment; European Association of Institutional

Research; Consortium for North American Higher Education Collaboration; Institutional Management for Higher Education de la OCDE.

51