ISOTERMICOS
Para resolver problemas de flujo viscoso, una manera fácil, rápida y segura es
hacer uso de las ecuaciones de conservación de masa y de conservación de
cantidad de movimiento. Estas dos ecuaciones describen todos los problemas
de flujo viscoso isotérmico para un fluido puro. Para flujo no isotérmico y para
mezcla de fluidos multicomponentes se requieren ecuaciones adicionales que
describan la conservación de energía y la conservación de especies químicas
individuales. Al conjunto de ecuaciones que describen la conservación de masa
y de cantidad de movimiento se les llama ecuaciones de cambio debido a que
ellas describen el cambio de velocidad, densidad y concentración con respecto
al tiempo y a la posición en el sistema.
La primera ecuación de cambio es la ecuación de continuidad que se desarrolla
aplicando la ley de conservación de masa a un elemento de volumen pequeño
dentro de un fluido que se mueve .
La segunda ecuación de cambio, la ecuación de movimiento es una
generalización de un balance de cantidad de movimientos. Esta ecuación es la
más importante. Una vez desarrollada y con la ayuda de la ecuación de
continuidad, sirve para resolver muchos problemas de flujo de fluidos.
Las ecuaciones de estado pueden ser presentadas en coordenadas
rectangulares, pero para flujo de fluidos son más útiles cuando se presentan en
coordenadas cilíndricas o esféricas.
En mecánica de fluidos se hace uso de tres clases de derivadas, las cuales se
detallan a continuación.
 
  1.2
La derivada parcial con respecto al tiempo muestra como cambia el valor de la
variable con el tiempo manteniendo una posición fija en el espacio. Por
ejemplo, si la variable a considerar es la concentración, c , la derivada parcial de
c   con respecto al tiempo, t , se denota como t 
c ∂
La derivada total con respecto al tiempo.
La derivada total de una variable con respecto al tiempo, debe reportar tanto el
cambio de la variable con respecto al tiempo, como los cambios de posición del
observador que analiza la variable. En nuestro ejemplo, la derivada total de la
variable concentración esta dada por:
dt 
dz
 z
c
dt 
dy
 y
c
dt 
dx
 x
c
t 
c
dt 
dc
∂ =   (1.1 )
en la cual dx/dt, dy/dt y dz/dt   son las componentes de la velocidad del
observador.
La derivada substancial con respecto al tiempo.
Ella se da cuando el observador lleva la misma velocidad que tiene el volumen
de control objeto de observación. Es un caso especial de la derivada total. Para
nuestro ejemplo, en donde la variables es la concentración, cuando se reporte el
cambio de concentración con respecto al tiempo los números dependen de la
velocidad local del volumen de control. Esta derivada se relaciona con la
derivada parcial de la siguiente manera:
 z
∂ =   ( 1.2)
donde v x , v y , y  v z , son las componentes de la velocidad local del volumen de
control.
  1.3
Un lector debe tener bien claro el significado físico de estas tres derivadas.
Recordar que t 
c ∂
∂  es la derivada en un punto fijo en el espacio y que Dc/Dt es
una derivada calculada por un observador que se mueve con el volumen de
control.
LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
La ecuación de continuidad se desarrolla haciendo un balance de masa sobre un
elemento de volumen x.y. z a través del cual fluye un fluido. Ver figura 1.1.
( ρ .v x) x+ x( ρ .v x) x
x
y
z
(x,y,z)
 
Figura 1.1. Región de volumen x. y. z a través del cual un fluido se mueve
El balance de masa es el siguiente:
Rata de acumulacion de masa = rata de masa que entra – rata de masa que sale
Se empieza por considerar el par de caras perpendiculares al eje x . La rata de
masa que entra a través de la cara en x  es (ρvx) x y.z, y la rata de masa que
sale a través de la cara en x+x es (ρvx) x+x.y.z. Expresiones similares se
 
  1.4
masa dentro del elemento de volumen es (x.y.z) (∂ρ / ∂t). El balance de masa
se convierte entonces en
( ) ( )[ ]   ( ) ( )[ ]   ( ) ( )[ ]  z z z z z y y y y y x x x x x   vv y xvv z xvv z y
t   z y x
 ρ 
 
Dividiendo toda la ecuación por x.y.z y sacando límites cuando estas
dimensiones se approximan a cero, se obtiene:
 
   
 
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ −=
∂
 ρ    ( 1.4)
La ecuación anterior es la ecuación de continuidad, la cual describe la rata de
cambio de la densidad en un punto fijo resultante de los cambios del
vectorvelocidad másica  ρ v . La ecuación de continuidad puedes ser escrita
usando el simbolismo de vectores:
( )v t 
 ρ   ρ 
Donde v ρ .∇  es llamado la divergencia de  ρ v .
Con frecuencia a la ecuación de continuidad se le practica la diferennciación en
ella indicada y luego se agrupa todas las derivadas de  ρ  en el lado izquierdo de
la ecuación.
 z y x  z y x   ρ   ρ  ρ  ρ 
  (1.6 )
El lado izquierdo de la ecuación anterior es la derivada substancial de la
densidad, lo que es, la derivada en el tiempo siguiendo el camino del movimiento
del volumen de control. De alli se puede abreviar a:
( )v  Dt 
 D .∇−=   ρ 
 ρ    (1.7 )
Recordar que la ecuación de continuidad en cualquier forma es un simple
enunciado de la conservación de la masa. Se señala también que su deriavción
 
  1.5
Una forma muy especial de la ecuación de continuidad la cual se usa
contantemente es la de un fluido de densidad constante (incompresible), para el
cual:
Por supuesto, ningún fluido es absolutamente incompresible, pero
frecuentemente en la práctica de la ingeniería se hace la suposición de tener un
fluido de densidad constante no conduce a ningún error.
LA ECUACIÓN DE MOVIMIENTO
Para un elemento de volumen x.y.z, tal como el que se usó en la ecuación
de continuidad, se puede escribir un balance de cantidad de movimiento de la
siguiente forma (ver figura 1.2):
Rata de
acumulación de
x
y
z
 
Figura 1.2. Elemento de volumen con flechas indicando la dirección en la cual
 
  1.6
Se debe aclarar que para nuestro caso se le permite al fluido moverse a través
de las seis caras del elemento de volumen en direcciones arbitrarias como lo
indica la ecuación de balance. Se debe también enfatizar que la ecuación es un
vector con componentes en cada uno de las tres direcciones de las coordenadas
x, y, z . Por simplicidad, se empieza considerendo el componente x   de cada
término de la ecuación de balance; los componentes en x   y   z   se pueden
manejar análogamente.
Primero consideremos las ratas de flujo de la componente x  del momentum que
entra y que sale del elemento de volumen mostrado en la figura. El momentum
entra y sale del elemento de volumen por dos mecanismos: Por convección
(debido al flujo del fluido) y por transferencia molecular (en virtud de los
gradientes de velocidad).
La rata a la cual la componente x   del momentum entra por la cara en x   por
convección es  ρ .v x.v x | x y.z, y la rata a la cual sale en x+ x  es  ρ .v x.v x | x+ x y.z. 
La rata a la cual entra en y es  ρ .v y.v x | y x.z. Expresiones similares se pueden
escribir para las otras tres caras. Vemos entonces que le flujo convectivo del
momentum en x  puede ser considerado a través de todas las seis caras y que el
valor neto del flujo convectivo en la dirección x  dentro del elemento de volumen
es,
( )   ( )  z z x z z x z y y x y y x y x x x x x x x   vvvv y xvvvv z xvvvv z y +++
  −+−+−   ρ  ρ  ρ  ρ  ρ  ρ   
En forma similar, la rata en que la componente en x  del momento que entra por
la cara en x  por transporte molecular es τ xx | x  y.z , y la rata a la cual sale en
x+x es τ xx | x+ x  y.z . La rata a la cual entra en y es τ yx | y  x.z . Expresiones
 
  1.7
el flujo de momento en x  a través de una cara perpendicular al eje y . Cuando
las seis contribuciones se sumen, se obtiene:
( )   ( )  z z x z z x z y y x y y x y x x x x x x x   y x z x z y +++
  −+−+−   τ τ τ τ τ τ    (1. 10)
Notar que como antes, estos flujos de momento pueden ser considerados
esfuerzos. Lo que quiere decir que τ xx  es el esfuerzo normal en la cara de x , y
τ yx es el esfuerzo tangencial o de corte en la direccion x   sobre la cara y  
resultante de fuerzas viscosas.
En la mayoría de los casos las únicas fuerzas presentes son las resultantes de
la presión del fluido y la fuerza gravitacional por unidad de masa g . En la
direccion x  la resultante de estas fuerzas serán:
( )   z y yg p p z y  x x x x   +−   +   ρ    (1.11)
La presión de un fluido en movimiento es definida por la ecuación de estado
p=p(ρ, T) y es una cantidad escalar.
Finalmente, la rata de acumulación de momento en x   dentro del elemento es
x y z ( ∂ρ v x  / ∂ t.) Ahora sustituimos las expresiones anteriores en la ecuación
general de balance. Dividiendo la ecuación resultante por x y z y tomando
límites cuando x, y, y z tienden a cero, se obtiene la componente en x  de la
ecuación de movimiento:
 x zx yx xx x z x y x x x   g  x
 p
∂
∂ −
 
   
 
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ −
 
   
 
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ −=
∂
∂  
Las componentes en y y z se pueden obtener de una manera similar:
 y zy yy xy y z y y y x y   g  y
 p
∂
∂ −
 
   
 
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ −
 
   
 
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ −=
∂
∂  
 
  1.8
 z zz yz xz z z z y z x z   g  z
 p
∂
∂ −
 
   
 
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ −
 
   
 
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ −=
∂
∂  
Las cantidades  ρ v x ,  ρ v y y   ρ v z  son las componentes del vector velocidad másica  
 ρ  ρρ  ρ v ; similarmente g x , g y , g z  son las componentes de la aceleración gravitacional
g . Adicionalmente ∂ p/ ∂ x, ∂ p/ ∂ y, ∂ p/ ∂ z   son las componentes de un vector ∇∇∇∇p 
conocido como el gradiente de p . El término  ρ v x v x ,  ρ v x v y ,  ρ v x v z , etc. son las
nueve componentes del flujo de momentum convectivo  ρ  ρρ  ρ vv . Similarmente τ xx ,
τ xy , τ xz  , etc. son las nueve componentes de conocido como el tensor esfuerzo
τ ττ τ . Como el colocar todas las ecuaciones juntas en una sola para hacer el
balance total del flujo de momentum o cantidad de movimiento sería algo
demasiado extenso, una notación de la ecuación en forma de vector sería mas
conveniente por lo que se obtiene:
= ∂
Rata de aumento de momentum
por unidad de volumen
por convección
por unidad de volumen
Fuerza sobre el elemento debido a la presión por unidad de volumen
Rata de ganancia de momentum
por transferencias viscosas por
.
El lector debe ser cuidadoso y recordar que [ ∇  ∇∇  ∇  . ρ vv]  y [ ∇  ∇∇  ∇  .τ  ]  no son la divergencia
sencilla por si sola sino que esas expresiones tienen la naturaleza tensorial de
 ρ  ρρ  ρ vv   y de τ ττ τ . Sin embargo, la interpretación física sí es la misma de ( ∇  ∇∇  ∇  . ρ v), pues
( ∇  ∇∇  ∇  . ρ v)  representa la rata de pérdida de masa (un escalar) por unidad de
volumen del fluido que fluye y la cantidad [ ∇  ∇∇  ∇  . ρ vv]   representa la rata de pérdida
 
  1.9
La componente en x  del momentum se puede re-organizar y con la ayuda de la
ecuación de continuidad se obtiene:
 x
 p
 Dt 
∂ −=   (1. 15)
Arreglos similares se pueden escribir para las componentes en y   y z . Cuando
todas las componentes se junten se obtiene,
[ ]   g p  Dt 
 Dv x  ρ τ  ρ    +∇−−∇= .   (1. 16)
En esta forma la ecuación de movimiento establece que un elemento de
volumen pequeño que se mueve con el fluido es acelerado debido a las fuerzas
que actúan sobre él. En otras palabras, esta es la segunda ley de Newton en
la forma de masa por aceleración es igual a la suma de fuerzas.
Para poder usar estas ecuaciones en el cálculo de la distribución de velocidad
se deben insertar expresiones para calcular los diversos esfuerzos que aparecen
en los gradientes de velocidad y las propiedades del fluido. Para fluidos
Newtonianos, estas expresiones son las siguientes:
( )v  x
v x
 xx . 3
2 2   ∇+
( )v  y
v y
( )v  z
v z
 zz . 3
2 2   ∇+
 
   
 
∂
∂ +
∂
∂ −==
 
 
   
 
∂
∂ +
∂
∂ −==
v  x z  xz zx   µ τ τ    (1. 22)
Para presentar un resumen general de las ecuaciones de cambio ellas se han
presentado en forma de tablas. Las tabla 1.1 muestra la ecuación de continuidad
en los tres sistemas de coordenadas. La tabla 1.2 muestra la ecuación de
movimiento en coordenadas rectangulares (x,y,z) en términos del esfuerzo para
cualquier fluido y en términos del gradiente de velocidad para fluidos
Newtonianos con densidad y viscosidad constante. La tabla 1.3 muestra las
formas de la ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas en términos del
esfuerzo para cualquier fluido y en términos del gradiente de velocidad para
fluidos Newtonianos con densidad y viscosidad constante. La tabla 1.4 muestra
los componentes del tensor esfuerzo para fluidos Newtonianos en coordenadas
rectangulares mientras que la tabla 1.5 los muestra para coordenadas
cilíndricas.
USO DE LAS ECUACIONES DE CAMBIO
Como se dijo anteriormente, las ecuaciones de cambio son útiles para resolver
muchos problemas de mecánica de fluidos. A continuación se presenta uno de
los tantos usos que se le pueda dar a las ecuaciones de cambio para resolver
problemas de mecánica de fluidos.
Flujo de Fluido Newtoniano Incompresible a Través de Tubería Circular
Para resolver este problema el mejor de sistema de coordenadas a escoger es
el de coordenadas cilíndricas. Para este caso suponemos que v θ θθ θ   y v r   son
iguales a cero (nulas) y que v z  no es una función de θ. Bajo estas suposiciones,
la ecuación de continuidad que escogemos es la ecuación B de la tabla 1.1 y
que se reduce a:
0= ∂
v z   (1. 24)
La componente en z  de la ecuación de movimiento, ecuación F de la tabla 1.3,
se reduce a:
 z   µ  ρ    (1.25 )
Substituyendo la ecuación de continuidad en la ecuación de movimiento, ésta se
reduce a:
P  z1 0   µ    (1. 26)
Si las condiciones de frontera para el problema son que vz=0 cuando r=R  y que
v z   es finito cuando r=0 , al resolver la ecuación diferencial obtenida se obtiene



 
   
  −
 
   
    − =
  (1.27 )
La ecuación anterior es conocida como la ecuación de Hazen-Poiseuille que se
aplica para fluidos Newtonianos, incompresibles que fluyen en régimen laminar a
través de tuberías cilíndricas. La observación de la ecuación permite deducir que
v z   se hace máximo cuando r=0   (en el centro del ducto) y v z   se hace mínimo
(nulo) cuando r=R  (en la pared del ducto).
 
COORDENADAS
( )   ( )   ( ) 0= ∂
( ) ( ) ( ) 0 11
θ   ρ 
( )   ( )   ( ) 0 111 2
RECTANGULARES (x, y, z ):
En términos de τ:
 z  x
 y  x
 z  z
 y  z
∂   (C)
En términos de gradiente de velocidad para fluidos Newtonianos con  ρ   y  µ   constantes:
Componente x :
 z  x
 y  x
 z  z
 y  z
CILINDRICAS (r, θ , z ):
En términos de τ:
 
   
 
∂
∂ +−
∂
∂ +
∂
∂ −
∂
∂ −=
 
   
 
∂
∂ +−
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
θ  θ θ θ θ θ θ  +
 
   
 
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ −
∂
∂ −=
 
   
 
∂
∂ ++
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
 
   
 
∂
∂ +−
∂
∂ +
∂
∂ −
∂
∂ −=
 
   
 
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
∂ 11  
En términos de gradiente de velocidad para fluidos Newtonianos con  ρ   y  µ   constantes:
D. Componente r :
( )   r  r r 



∂
∂ +
∂
∂ −
∂
∂ +
 
   
 
∂
∂
∂
∂ +
∂
∂ −=
 
   
 
∂
∂ +−
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
θ θ   µ 



∂
∂ +
∂
∂ +
 
   
 
∂
∂
∂
∂ +
∂
∂ −=
 
   
 
∂
∂ +−
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
NEWTONIANOS EN COORDENADAS RECTANGULARES (x, y, z )
( )

⋅∇−
∂
( )

⋅∇−
∂



∂
∂ +
∂
∂ −=



∂
∂ +
∂
∂ −=
( )  z
v
 y
v
 x
∂
∂ +
∂
∂ +
∂
NEWTONIANOS EN COORDENADAS CILINDRICAS (r, φ , z )
( )

⋅∇−
∂
θ θ  r 
θ θ   z
( ) ( )  z
vv