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4.2

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Espacios vectoriales

ESPACIO NULO Y ESPACIO COLUMNA

ESPACIO COLUMNA DE UNA MATRIZ

Dada la matriz A

Las columnas de A se pueden escribir como una combinación lineal de vectores de R3

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⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

=

673264431

A

ESPACIO COLUMNA DE UNA MATRIZ

Esto es, Por lo que es un subespacio de R3, ya que las columnas de A están en R3.

Ax=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

624

763

341

321 xxx

Gen1−4−3

"

#

$$$

%

&

''',

−367

"

#

$$$

%

&

''',

−4−26

"

#

$$$

%

&

'''

(

)*

+*

,

-*

.*

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ESPACIO COLUMNA DE UNA MATRIZ

Definición: El espacio columna de una matriz A de mxn, que se escribe Col A, es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas de A. Si , entonces

A = a1 a n!"#

$%&

Col A =Gen{a1,...,a n}

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ESPACIO COLUMNA DE UNA MATRIZ

Importante: §  Teorema 3: El espacio columna de una matriz A de

mxn es un subespacio de Rm. §  Un vector típico en Col A se puede escribir como Ax

para algún x porque la notación Ax se refiere a la combinación lineal de las columnas de A. Esto es,

. §  Recuerde, las entradas de x son los pesos de la

combinación lineal de las columnas de A

} Ren algúnpara :{ Col nxAxbbA ==

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ESPACIO COLUMNA DE UNA MATRIZ

§  Ejemplo 2: Dados y

Determine if v está en Col A.

A =2 4 −2 1−2 −5 7 33 7 −8 6

"

#

$$$

%

&

'''

v =3−13

"

#

$$$

%

&

'''

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ESPACIO COLUMNA DE UNA MATRIZ Solución: Para que v esté en Col A, debe ser una combinación lineal de las columnas de A,

§  ¿Como lo podemos resolver? §  Determinamos si la ecuación tiene

solución, esto es: Ax = v

2 4 −2 1−2 −5 7 33 7 −8 6

"

#

$$$

%

&

'''⋅

x1x2x3x4

"

#

$$$$$

%

&

'''''

=3−13

"

#

$$$

%

&

'''

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ESPACIO NULO DE UNA MATRIZ

§  Definición: El espacio nulo de una matriz de mxn, escrito como Nul A, es el conjunto de todas las soluciones de la ecuación homogénea .

En notación de conjuntos, . §  Teorema 2: El espacio nulo de una matriz A de

mxn es un subespacio de Rn. Dicho de otra manera, el conjunto de todas las soluciones de un sistema de m ecuaciones lineales homogéneo en n incógnitas es un subestacio de Rn.

x 0A =

Nul A ={x : x está en ny Ax = 0}

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ESPACIO NULO DE UNA MATRIZ

Algunas consideraciones §  No existe una relación obvia entre los vectores

en Nul A y las entradas en A. §  Por lo anterior, decimos que Nul A está

definido implícitamente. §  Nul A está definido por una condición que

debe verificarse. §  La solución de la ecuación proporciona

una descripción explícita de Nul A. Ax = 0

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ESPACIO NULO DE UNA MATRIZ Ejemplo 1: Determinar un conjunto generador para el

espacio nulo de la matriz .

A =−3 6 −1 1 −71 −2 2 3 −12 −4 5 8 −4

"

#

$$$

%

&

'''

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ESPACIO NULO DE UNA MATRIZ

Solución: §  El primer paso es determinar la solución general de

en términos de las variables libres. §  Para esto, reducimos la matriz aumentada a la

forma escalonada reducida para escribir las variables básicas en términos de las variables libres:

Ax = 0[ ]0A

1 2 0 1 3 00 0 1 2 2 00 0 0 0 0 0

− −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 2 4 5

3 4 5

2 3 02 2 0

0 0

x x x xx x x

− − + =

+ − =

=

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ESPACIO NULO DE UNA MATRIZ §  La solución general es , , con x2, x4, y x5 libres. §  Ahora, descomponemos el vector de la solución

generalen una combinación lineal de vectores donde los pesos son las variables libres. Esto es,

1 2 4 52 3x x x x= + −

3 4 52 2x x x= − +

x1x2x3x4x5

!

"

#######

$

%

&&&&&&&

=

2x2 + x4 −3x5x2

−2x4 + 2x5x4x5

!

"

#######

$

%

&&&&&&&

= x2

21000

!

"

######

$

%

&&&&&&

+ x4

10−210

!

"

######

$

%

&&&&&&

+ x5

−30201

!

"

######

$

%

&&&&&&

u w v

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ESPACIO NULO DE UNA MATRIZ

. ----(1) §  Cada combinación lineal de u, v, and w es un

elemento de Nul A. §  Entonces {u, v, w} es un conjunto generador de Nul

A.

2 4 5u v wx x x= + +

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ESPACIO NULO DE UNA MATRIZ

Algunas consideraciones: . 1.  El conjunto generador producido por el

método usado en el Ejemplo (1) es automáticamente un conjunto linealmente independiente porque las variable libres son los pesos de los vectores generadores.

2.  Cuando Nul A contiene vectores no cero, el número de vectores en el conjunto generador de Nul A es igual al número de variables libres en la ecuación . x 0A =

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CONTRASTE ENTRE Nul A y Col A PARA UNA MATRIZ A de mxn

Nul A Col A 1.  Nul A es un subespacio

de Rn . 1.  Col A es un subespacio

de Rm. 2.  Nul A está definido

implícitamente; los vectores en Nul A deben satisfacer una condición, la ecuación

2.  Col A está definido explícitamente; se construye a partir de las columnas de A.

( x 0)A =

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CONTRASTE ENTRE Nul A y Col A PARA UNA MATRIZ A de mxn

3.  Se requiere tiempo para determinar vectores en Nul A. Se requieren operaciones de fila sobre .

3.  Es fácil determinar vectores en Col A. Son combinaciones lineales de las columnas de A.

4.  No hay una relación obvia entre Nul A y las entradas A.

4.  Existe una relación obvia entre Col A y las entradas A, ya que cada columnas de A está en Col A.

[ ]0A

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CONTRASTE ENTRE Nul A y Col A PARA UNA MATRIZ A de mxn

5.  Un vector típico v en Nul A tiene la propiedad de que .

5.  Un vector típico v en Col A tiene la propiedad de que la ecuación es consistente.

6.  Dado un vector específico v, es fácil determinar si v está en Nul A. Solo calcule Av.

6.  Dado un vector específico v, Toma tiempo determinar si v está en Col A. Se requieren operaciones de fila en .

v 0A = x vA =

[ ]vA

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CONTRASTE ENTRE Nul A y Col A PARA UNA MATRIZ A de mxn

7.  Nul si y unicamente si la ecuación tiene como única solución la trivial.

7.  Col A = Rm si y unicamente si tiene una solución para cada b en Rm.

{0}A =

x 0A =x bA =