4_QUATTRO Equaz. Schroedinger

7/24/2019 4_QUATTRO Equaz. Schroedinger

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Corso di Chimica Fisica II

2013

Prof. Marina Brustolon

4. Lequazione di Schrdinger


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La ri*oluzione della fi#ica del +900

, "iel# ohr e l #&i&u&o di /i#ica &eorica di o enaghen.

, l 2odello lane&ario della&o2o di 3.

, 3ei#en)erg e 'auli 2e&&ono in di#cu##ione il 2odello di ohr. , 3ei#en)erg rinci io di inde&er2inazione.

, 'auli rinci io di e#clu#ione.

u&&e le #co er&e #ul co2 or&a2en&o della 2a&eria fa&&e&ra la fine dello&&ocen&o e il 19$5 #ono #&a&e inglo)a&enella co#ide&&a eccanica uan&i#&ica o ndula&oria cheha la #ua )a#e nellequazione di Schrdinger.


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Lequazione di Schrdingero# :

; lequazione la


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'lancA

ohr

urie ;in#&ein

de roglie

Schrdinger

3ei#en)erg

'auli

% ongre##o Sol*aC 19$7


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Le equazioni donda cla##icheLequazione di Schrdinger er

londa #&azionaria1. nda #&azionaria

$. Lequazione donda #&azionaria &enendo con&odel ri#ul&a&o di Be roglie


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o2e ha ragiona&o Schrdinger

er arri*are alla #ua equazione , 3a con#idera&o unonda ar2onica ?funzione

#eno o co#eno@ ed ri#ali&o allequazione

differenziale corri# onden&e.

, 3a in#eri&o in que#&a equazione

differenziale la lunghezza donda #econdoBe roglie.


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?!@

!

(

)2sin()(

x

A x =

Si consideri unonda stazionaria (cio non!iaggiante" indi#endente dal te$#o%&

ecc.

A x

x

A x

x

====

====

)2/3(,4/3

0)(,2/

)2/(,4/

0)0(,0

nda #&azionaria

Londa de#cri&&a dalla funzione ?!@ ?'unzione donda @ che co2ea))ia2o gi> *i#&o una funzione#eno o co#eno

/unzione donda cla##ica

indi enden&e dal &e2 o


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E uazione classica #er londa stazionaria

2

2

2 2 =dx

d

22

2

2

2)/2sin(

2

2)/2cos(

)/2sin((

=

=

=

=

=

x A

x Adxd

dx x Ad

dxd

dxd

Bi2o#&ria2o che la 'unzione donda stazionaria

soluzione di uesta e uazione

)2sin()(

x A x =


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)agiona$ento di Schr*dinger #e gli ele&&roni #ico2 or&ano co2e onde for#e anche er gli ele&&ronio##ia2o &ro*are una


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22

2

22

2

2

)(2)(24

)(22

2

V E mh

V E m

h

V E m

dxd

==

=

=

=

)()()(

2 222

x E xV dx

xd m

=+

Eiarrangiando o&&enia2ole uazione di Schr*dinger er la funzione donda #&azionaria cio indi enden&e

dal &e2 o

E uazione di Schr*dinger indi#endente dal te$#o

n&roducia2o le# re##ione di de roglie er

nellequazione donda #&azionaria

2

h=

s J = 3410055.1


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)()()(

2 222

x E xV dx

xd m

=+

Lequazione #&a&a rica*a&a er un #i#&e2a analogo aquello dellonda #&azionaria e non con&iene quindi ne##unadi endenza dal &e2 o. %uol dire che noi o##ia2o u#areque#&a equazione quando il o&enziale% del no#&ro#i#&e2a co#&an&e ?quindi er e#e2 io er de#cri*ere il2o&o li)ero di un ele&&rone in a##enza di ca2 i di forze@.

+uesta e uazione alla base della

,eccanica -ndulatoria


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Lequazione donda diSchrdinger di enden&e dal

&e2 o

1. Lequazione donda di enden&e dal &e2 o

$. Le funzioni donda di enden&i dal &e2 o

F. Le funzioni donda quando lenergia co#&an&e


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;quazione donda di Schr*dinger di enden&e dal &e2 o

a #e lenergia o&enziale della ar&icella non di#ende dal &e2 o la funzione #i uG #cri*ere co2e rodo&&o diuna funzione di ! e di una di &

( )t xt x )(),( =

La ?!@ la #oluzione dellequazione donda er londa#&azionaria gi> *i#&a.

La funzione donda #oluzione dellequazione #o ra #ar>quindi una funzione #ia della coordina&a # aziale che del&e2 o ),( t x

2 2

2( , ) ( , )( , )

2 x t x t V x t i

m x t + =

h h


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La di endenza dal &e2 o della funzionedonda #e il o&enziale co#&an&e

Hna ar&icella di 2a##a 2 che #i 2uo*a lungo ! ri#en&a diun o&enziale co#&an&e % e a))ia unenergia co#&an&e ; ra re#en&a&a da una funzione donda

( )t xt x )(),( =( )t una di endenza dal &e2 o che uG e##ere

con#idera&a co2e una flu&&uazione di fa#e ed &aleche &u&&e le grandezze fi#iche rela&i*e allo #&a&o #onoindi enden&i dal &e2 o

( ) ))sin()cos()exp( Et i Et iEt t == l *alore della funzione a##a da 1 a -1 alla frequenzadi ;Ih o##ia2o i22aginarlo co2e nella dia o#i&i*a

#eguen&e.


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Fd


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La #robabilit0 che una ar&icella de#cri&&a dallafunzione donda #i &ro*i &ra ! e !Jd! da&a dalrodo&&o della funzione er la #ua co21le##a coniuga&a

dxt xt x ),(),(

l signi'icato 'isico #i3i$$ediato della 'unzione donda

La co2 le##a coniuga&a di una funzione lafunzione K che #i o&&iene #o#&i&uendo li22aginarioi con -i . uindi #e una funzione reale K .


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4li stati stazionari

( )t xt x )(),( =

())ia2o de&&o che la funzione donda di una ar&icella con

o&enziale co#&an&e % da&a da

( ) )exp( iEt t = con la ar&e che di ende dal &e2 o())ia2o de&&o che le ro rie&> fi#iche di una funzionedonda di que#&o &i onon !ariano nel &e2 o lo #&a&o #idice #&azionario.

alcolia2o la ro)a)ili&> che la ar&icella #i &ro*i &ra ! e!Jd! 8e *edia2o #e *ero che non di ende dal &e2 o

dx x x

dxe xe xdxt xt x iEt iEt

)()(

)()(),(),( //

=

==

la ro)a)ili&> co#&an&e nel &e2 o


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n que#&o cor#o noi ci occu ere2o #olo di statistazionari cio di #i#&e2i nei quali il o&enziale non

*aria nel &e2 o.ue#&o #ignifica che #&udiere2o gli stati a energiacostante degli ele&&roni negli a&o2i e nelle 2olecole2a non le transizioni tra gli stati" che #ono alla)a#e delle # e&&ro#co ie.Le &ran#izioni #ono do*u&e allin&erazione con le ondeele&&ro2agne&iche nelle quali co2e #a ia2olin&erazione con a&o2i e 2olecole !aria nel &e2 o.

Le # e&&ro#co ie le #&udiere&e in 2odo a rofondi&onel cor#o del ro##i2o anno in que#&o cor#o *iaccennere2o #ol&an&o.


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o2e #i co#&rui#ce lequazione di Schrdingerer un #i#&e2a fi#ico qual#ia#i :

)()()(2 2

22

x E xV dx

xd m

=+

un 2odo #e2 lice er co#&ruire lequazione di S.

1. Si ar&e dalle# re##ione dellenergia della ar&icellaes#ressa in $odo classico" e usando il $o$entolineare #" e la #osizione 5 .

$. ())ia2o *i#&o che lenergia cla##ica e# re##a inque#&o 2odo #i chia2a ha$iltoniana

)(2

2

xV m

p H +=


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)(2

2

xV m

p H += ;nergia cla##ica e# re##aco2e 3a2il&oniana

F. Lenergia cla##ica #i &ra#for2a in un o#eratore de&&oo#eratore ha$iltoniano " #eguendo que#&a rice&&a

(l 2o2en&o #i #o#&i&ui#ce

(lla coordina&a ! #i #o#&i&ui#ce la #&e##a coordina&a! .dxd

i p x

4. /o#eratore ha$iltoniano o&&enu&o dallenergiacla##ica ha2il&oniana quindi

H

H xV dxd

m xV

m p H )(

2)(

2 2222 ++=

5. 'o##ia2o allora #cri*ere in 2odo co2 a&&o leq. di S.

E H =


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he #ignifica&o ha la ?!@:

Ea re#en&a uno #&a&o della ar&icella nel quale lenergia#i con#er*a e ha il *alore E . Solo le funzioni &ali chelo era&ore ha2il&oniano agendo #u di e##e d> la 'unzionei$$utata $olti#licata #er una costante" ra re#en&ano#&a&i della ar&icella nei quali lenergia si conser!a.

Lequazione #i chia2a


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Mo##i #u SchrdingerSchrdinger nel 19FF non *ole*a iN *i*ere in un ae#e do*e laer#ecuzione degli e)rei era di*en&a&a una oli&ica nazionale. Lui nonera e)reo 2a quando il dire&&ore del di ar&i2en&o di /i#ica di!ford ro o#e ad alcuni gio*ani fi#ici e)rei &ede#chi di andare ala*orare in nghil&erra Schrdinger chie#e di e##ere anche lui nelgru o.

Schrdinger chie#e anche che *eni##e &ro*a&o un o#&o dia##i#&en&e er un #uo collega (r&hur arch. ( que#&oun&o )i#ogna # iegare che S. a2a*a 2ol&o le donne. La #uarichie#&a er un o#&o di a##i#&en&e a (r&hur arch era

do*u&a al fa&&o che a*e*a una &re#ca con la 2oglie di (. .3ilde che a*e*a 2e##o incin&a.

l 4 "o*e2)er 19FF Schrdinger #ua 2oglie e 3ildearch arri*arono a !ford O


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Eo2anzo #cri&&o da un

fi#ico quan&i#&ico.n una lunga digre##ione #iraccon&a il #oggiornoro2anza&o di Schrodingerin un al)ergo-#ana&orio#ulle (l i duran&e le*acanze di "a&ale del19$5 duran&e il quale

ela)orG la #ua fa2o#aequazione.


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19 1"el 1940 o enhagen *iene occu a&a dallaMer2ania. "el #e&&e2)re del 1941 il fi#icoWerner 3ei#en)erg ca o del roge&&o&ede#co er la co#&ruzione di unPar2aa&o2ica *a a o enhagen a &ro*are "iel#ohr un al&ro dei adri della 2eccanicaquan&i#&ica #uo *ecchio 2ae#&ro e a2ico.

uellPincon&ro a cui a##i#&e&&e #ola2en&e la2oglie di ohr ri2a#e un 2i#&ero u2anooli&ico e #cien&ifico.uale fu il 2o&i*o di quel *iaggio: o#a #idi##ero i due grandi #&udio#i:;rano 2e#i in cui la ricerca #cien&ifica #ulla)o2)a a&o2ica co2incia*a a orre

in&erroga&i*i non #olo oli&ici o di #&udio. re#ocon&i di 3ei#en)erg #ul *iaggiori2a#ero e#&re2a2en&e *aghi 2en&re ohrla#ciG &raccia di quellPincon&ro in le&&ere 2ai# edi&e che er *olon&> degli eredi #ono#&a&i re#i u))lici #olo negli ul&i2i &e2 i.

ichael /raCn < o enhagen=

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