Exercícios de Estado Sólido (4a lista) Entrega: 6/6

34] Use o resultado da densidade de estados do problema anterior [33] e mostre que o

calor específico da rede linear é dado por:

35] Aplicando as condições de contorno periódicas, para o movimento ondulatório

(descrito abaixo) num cubo de aresta L com N3

células de aresta a, obtenha os valores

permitidos das componentes kx, ky e kz do vetor de onda.

Em seguida mostre que para cada elemento de volume no espaço k, isto é,

existe um estado permitido. Dessa forma, o numero de estados N dentro de uma esfera

de raio k, no espaço k, será dado por:

36] Na aproximação de Debye, a velocidade de propagação do som é constante, como

se o meio fosse contínuo. Nesse caso a relação de dispersão é bem simples e dada por:

Entretanto, devido a realidade discreta da matéria, deve haver um comprimento de onda

mínimo (ou freqüência máxima ) para a propagação ondulatória. Usando essas

informações, mostre que a densidade de estados, no modelo de Debye, será dada por:

:

exp ( ) exp [ ( ) ( ) ( )]x y z x y z

condiçao de contorno

i k x k y k z i k x L k y L k z L

2 4Resp. , , 0; ; ;x y z

Nk k k

L L L

32( )x y zdk dk dk

L

L

LL

y

y L

z

y

x

3 3

23

1 4

2 3 2 3( )

k V kN desidade de estados volume

L

D

vk

2

2 2 20

2

[ 1]

onde , sendo k a cosntante de Boltzmann

cx x

x

c

c

x e dxC Nk

e x x

xkT

37] Mostre que a densidade de estados, no modelo de Debye, também pode ser escrita

como:

Para isso considere a condição de normalização:

onde o fator 3 leva em conta os três estados de polarização e N é o número de

partículas. Por simplicidade, estamos supondo que a velocidade da onda é independente

da polarização.

38] A energia total dos fônons, em um cristal à temperatura T, na aproximação de

Debye, pode ser escrita como:

Mostre os seguintes limites para a energia média E e o calor específico C da rede:

a) Para

b) Para

Dica: Usar para o primeiro caso a aproximação 1xe x , no denominador da energia e,

no segundo caso, usar o valor integral definida: 3 4

01 15x

x dx

e

39] Mostre que a entropia da rede (ou entropia devido os fônons) na aproximação de

Debye pode ser escrita com:

2 2 3/ 2( )

0

D

D

V vdN dN dk

d dk d

33

0

( ) ( , ) 91

1( , ) ; ;

1

Dx

x

D

DD

T x dxE n T d NkT

e

onde n T x xe kT kT

2

3

9( )

0

D

DD

bd Nonde b

d

N

0

3 ( )on de estados N dN

DT

3

3

E NkT

EC Nk

T

DT

3

4

3

4

3

5

12

5

D

D

TE NkT

E TC Nk

T

3 / 3/

0

( ) 3ln(1 ) 121

D

D

T

T

a x

D

T x dxS T N R e

e

Onde R = 8.314 J/mol.K é a constante universal dos gases e Na é o número de átomos

por molécula da amostra. Por exemplo, num mol de GdAl2 temos Na = 3.

40] Considerando o modelo de Einstein para descrever a vibração de uma rede

cristalina, obtivemos a função partição:

3(1 ) N

eZ

e

onde: N é o número de átomos β = 1/kBT e η é uma constante associada a energia do

estado fundamental da rede cristalina. A partir da função partição, mostre que a

entropia da rede é dada por:

/

/

( / )3 ln(1 )

1E

E

TE

T

TS R e

e

onde /E Bk é a temperatura de Einstein. Dica: usar as relações básicas

ln( ); ln( ); .B

ZF E TS F k T Z E

41] O logaritmo da função partição que descreve a vibração de uma rede cristalina

dentro da aproximação do modelo de Debye é dada por:

/

2 3 2

3

0 0

9ln ln(1 ) 9 ( ) ln(1 )

D D T

x

D D

N TZ e d N x e dx

considerando que η e a temperatura de Debye θD sejam dependentes do volume e

usando a relação termodinâmica:

1 ln

T

F ZP

V V

Obtenha a equação de estado de Mie-Gruneisen

3( / )D

NkTP D T

V V

3

0

( . ) ( / ) 31

D

T

DD x

D D

dV T x dxonde coef de Gruneisen e D T

dV e

42] Mostre que a equação de Mie-Gruneisen pode ser escrita em termos da energia

média ln( )Z

E da seguinte forma:

[ ]P EV V

Em seguida, usando a relação termodinâmica para o coeficiente de dilatação térmica α

(Reif. Pág. 168):

1

( )P V

V PK K compressibilidade

V T T

Mostre a relação entre α e o calor específico a volume constante:

VCK

V

Usando a relação entre o calor especifico a pressão constante CP e a volume constante

CV (Reif. pág. 168): 2

P V

VTC C

K, mostre que:

1( )P

VC T

K

43] Se ( )g for uma função contínua, com derivadas contínuas em e que varie

lentamente no intervalo kT , pode ser mostrada a validade do desenvolvimento

da integral abaixo envolvendo a distribuição de Fermi-Dirac (veja por exemplo o livro

“Statistical Mechanics” , Ryogo Kubo, pág. 229):

0 0

2 11 2 2

2 11

( )( ) ( , ) ( ) 2(1 2 ) (2 ) ( )

rr r

rr

d gg f T d g d r kT

d

onde:

0

( )

1

( ) 0

1( , )

1

( ) n

l

g

f Te

n l funçao Zeta de Riemann

Mostre que até o termo de quarta ordem na temperatura a integral acima fica:

0 0

2 42 47

( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )6 360

g f T d g d kT g kT g

Use os valores da função Zeta de Riemann: 2 4

(2) ; (4)6 90

44] Mostre que a energia interna E e o potencial químico , para um gás ideal de Fermi

em 3-D, desenvolvido até o termo de quarta ordem na temperatura podem ser escritos

como:

2 42 4

3/ 2 2 42 4

112 720

3 5 71

5 8 384

F

F

kT kT

kT kTE N

Dica:

Considere a densidade de estados:

1/ 21/ 2

3/ 2

0

3( ) ( ) ( )

2

F

F

D a D d N D N

e o desenvolvimento binomial até segunda ordem: 2/3 2(1 ) 1 (2 / 3) (5 / 9) ...y y y