4_kinemat

5/17/2018 4_kinemat - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/4kinemat-55b07d4366f1b 1/29

Ž. M, ZEMRIS, FER 4-1

4. Direktna i inverzna kinematika• zadavanje pokreta objekta

• KINEMATIKA

– pokreti objekata neovisni o silama i brzinama promatranih objekata– položaj objekta je funkcija kutova između segmenata objekta

– interpolacija između zadanih ključnih položaja

– hijerarhijski modeli (model čovjeka, životinja, sustav planeta)

• DINAMIKA– djelovanje sila u ostvarivanju pokreta (gravitacija, inercija …)

– fizikalno temeljeni algoritmi

• objekti kao što su ljudi ili životinje imaju krutu unutrašnju strukturu imišićnu strukturu izvana, pa se na taj način i grade

• Mr. Bones.mht kolizije: http://www.planetdan.net/pics/misc/georgie.htm




4.1 Hijerarhijski kinematički modeli

Struktura

• organizacija elemenata u stablastu strukturu

Artikuliranje• promjene u orijentaciji elemenata strukture

Robotika

• većina termina preuzeta iz robotike

Manipulator

• zglob – ne uzimamo dimenziju u obzir

• segment – kruti element

• niz segmenata zglobovima povezanih u lanac• ponekad se zglob i segment promatraju kao

cjelina, odnosno jedan zglobni element

Manipulator

Zglob - grana(joint - arc)

Segment - čvor(link – node)

vrh manipulatora




Vrste zglobova

Stupanj slobode u zglobu (DOF)• jedan rotacijski stupanj slobode u zglobu (engl. Revolute Joint)

• jedan translacijski stupanj slobode u zglobu (engl. Prismatic Joint)Složeni zglobovi

• povezivanje n 1DOF zglobova sa segmentima veličine nula




Orijentacijski stupanj slobode u zglobu (uz ograničenje kutova)

1DOF 2DOF 3DOF




Izgradnja hijerarhijskih modela• objekt

• apstraktan reprezentacija objekta

• stablo (čvor – segment, luk-zglob)

segment 0

početna tranformacija

objekt apstraktna reprezentacija stablo

segment 1

čvor

luk tranformacija




lokalni koordinatni sustavi:

x

y

T 1.1

V’1.1=T 0T 1T 1.1V 1.1

x

y

segment 1.1

V 1.1

x

y

x

y

T 1

V’1=T 0T 1V 1

segment 1

V 1

x

y

x

y

T 0

V’0=T 0V 0

segment 0

V 0 y

T 0

T 1

T 1.1

Nizanje transformacija

segment 0

segment 1

segment 1.1

T 0

T 1

T 1.1

Stablo




• hijerarhijski model– ishodišta lokalnih koordinatnih sustava određuju se na osnovi osi rotacije u pojedinom

zglobu (os je obično poravnata s x, y ili z osi)

– zglob s 2 i više stupnja slobode ostvaruje se kao niz segmenata duljine 0 s 1 stupnjemslobode

– mogu se koristiti višestruko referenciranje za pridjeljivanje svojstava materija pojedinihsegmenata (boja, materijal, tekstura, vidljivost, oblik) ili se atributu nasljeđuju

– struktura čvorova i lukova može biti načinjena odvojeno, tako da se pokreti ostvaruju

nezavisno o izgrađenom modelu (isti pokreti se izvode na različitim modelima,kloniranje pokreta)

• kada izgradimo hijerarhijski model, načinili smo pasivni strukturni modelizgrađeni model je kao lutka bez lutkara– potrebno je definirati gibanje koje će “prirodno” izgledati, vrlo težak problem

– tehnikama niže i više razine definiramo gibanje

• kontrola pojedinačnog pokreta zadavanjem kutova u zglobovima• kontrola pokreta zadavanje putanja koju prati kraj manipulatora

• zadavanje naredbi oblika: sjedni, šeći, čučni …

robot: http://prt.fernuni-hagen.de/lehre/KURSE/PRT001/course_main/node19.html

http://accad.osu.edu/~pgerstma/class/vnv/examples/ik/robot.wrl




• nakon definiranja statičkog položaja objekta definiramo pomake u zglobu:– rotacija se obavlja prije konstantne (lokalne) transformacije u luku

– grananje stabla – više jednostrukih lanaca

– nasljeđivanje transformacija s roditelja na djecu– jednostavni pokreti: http://mrl.nyu.edu/~harper/CompGraph/6/Animation3.html

y

T 0

Θ 1

Θ 1.1 segment 0

segment 1

segment 1.1

T 0

T 1

T 1.1

Stablo uz pomake

R1(Θ 1)

R1.1(Θ 1.1)V’1.1=T 0T 1 R1(Θ 1) T 1.1 R1.1(Θ 1.1) V 1.1

x

V’1=T 0T 1 R1(Θ 1) V 1




( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )33,,

57,,1

11

11

−−=′′=′′

==

−++

++

iiiii

iiiii

y xV y xV OsustavuuV


T

T

x

y

V i(x,y)=(2 1)

x’

y’

V i+1(x’, y’)=(2 1)

Oi

Oi+1

T i=(5 4)

4.2 Kinematika

• DIREKTNA– na osnovi stabla i zadanih parametara u zglobovima određuje se položaj

– transformacijom Ti odreñen je položaj objekta V i+1 u sustavu Oi roditelja

– (stog s trenutnom transformacijskom matricom, rekurzivni pozivi)

• INVERZNA– vrh manipulatora treba pratiti zadanu putanju, kutovi u zglobovima se računaju

– inverznom transformacijom Ti-1 odreñen je položaj V i u sustavu Oi+1




– točka V i u sustavu Oi ima koordinate npr. V i =(1 3)

– ako znamo novi koordinatni sustav – znamo matricu rotacije• koordinatne osi x’ i y’ odreñuju matricu rotacije (osi x, y daju jediničnu matricu)• lako odredimo za transformirani sustav gdje je točka u prethodnom sustavu

– npr. V i+1 =(1, 3) onda je V i+1 R-1 u sustavu Oi+1

- rotacija točke matricom R, rotira vektor R-1

- rotiramo jedinične vektore koji razapinju koordinatnisustav

x x

V V ir

rr 1' −=

=

R

R

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) 111

11

,,

100

0cossin0sincos

131,,

−++

++

′′=′′′

−==

iiiii

iiiii



R

R ϕ ϕ ϕ ϕ

x

y V i(x,y)=(1 3) x’

y’

Oi

V i+1(x’,y’)=(1 3)

[ ] [ ]

==

=

= −−

−

−

1

0

0

1''

'

' 11

1

1

RRR

R y x y x

y y

x x rrrr

rr

rr




Npr. U koordinatnom sustavu Oxy točka T imakoordinate T(x,y)=(3 4). Koordinatni sustav

zarotiramo za ϕ (točku nismo rotirali). Urotiranom koordinatnom sustavu točka imakoordinate T(u, v) = (4 3). Odrediti kutrotacije ϕ .

y

v

x

T

x

y

uvu

O

ϕ




Denavit-Hartenberg-ova notacija• robotika – 4 parametra• relacija između koordinatnih sustava roditelja i djeteta

z - os oko koje se obavlja rotacija x - os određuje segment (engl. link) y – os je z × x

duljina segmenta ai – udaljenost okomice izmeñu zi do zi+1

kut zgloba θ i+1 – kut izmeñu xi i xi+1 oko osi zi+1




Denavit-Hartenberg-ova notacijaduljina segmenta ai-1 – duljina okomice izmeñu zi-1 do zi

pomak segmenata d i – duljina duž zi osi izmeñu sjecišta

- zi sa ai-1 i zi sa ai

kut uvijanja αi-1 – kut izmeñu zi-1 i zi oko osi xi-1

kut zgloba θ i – kut izmeñu xi-1 i xi oko osi zi

indeksi!

Θ i




• transformacija točke iz sustava Oi u sustav Oi-1:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

−

−

=−−

−−

−

1000

0100

00cossin

00sincos

1000

100

0010

0001

1000

0cossin0

0sincos0

0001

1000

0100

0010

001

11

11

1

ii

ii

iii

ii

i

d

a

T θ θ

θ θ

α α

α α

( ) ( ) ( ) ( )i zi zi xi x Rd T RaT T θ α 11 −−=

ii V T V =−1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−−

−

= −−−−

−−−−

−

1000coscoscossinsinsin

sinsincoscossincos

0sincos

1111

1111

1

iiiiiii

iiiiiii

iii

d

d

a

T α α θ α θ α

α α θ α θ α

θ θ




Inverzna kinematika

– željena pozicija i orijentacija vrha manipulatora (npr. glodalica) jezadana, a treba odrediti kutove u zglobovima da bi se to ostvarilo

http://www.zemris.fer.hr/predmeti/rg/diplomski/02Perkovic/IK.html

http://www.zemris.fer.hr/predmeti/rg/diplomski/02Perkovic/IK3d.html

– rješenja - niti jedno

- jedno

- puno rješenja- postavljaju se ograničenja u zglobovima (predimenzioniran sustav,

poddimenzioniran sustav)

- zadaju se dva položaja vrha manipulatora koje je potrebno

ostvariti, a zatim između ta dva položaja načiniti interpolacijukutova u zglobovima




L1

L2

Radni prostor

• dohvatljiv radni prostor (engl. reachable workspace)

- spretno dohvatljiv radni prostor (engl. dexterous workspace)

- prostor dohvatljiv uz razne orijentacije

( ) ( )2121 L L prostor radni L L +≤≤−




NPR: Određivanje kutova Θ 1 i Θ 2 iz zadanog položaja vrha manipulatora V( xe, ye)

• poučak o kosinusima

• trebamo odrediti Θ 1 i Θ 2 , dva rješenja

• direktna kinematika

• inverzna kinematika

( )( )

( )

++

++=

=

21211

2121121

sinsin

coscos,

θ θ θ

θ θ θ θ θ

L L

L L

y

x

e

ef V

( )θ cos2222 AB B AC −+=

( ) 22cosee

e

y x

x

+=θ

( )22

1

22

2221

12

cosee

ee

y x L

L y x L

+

−++=−θ θ

( ) ( )21

2222212 2

180cos L L

y x L L ee +−+=−θ

L1

L2

V( xe, ye)Θ 1Θ

180-Θ 2

Θ 2

O(0, 0)

22ee y x +

A B

C

Θ

( )( )

( )

==

=Φ

ee y

ee x

ee y xg

y xg y x

,

,,

2

1g

θ

θ




• u općem slučaju složenog sustava imat ćemo puno rješenja

• u zglobovima je potrebno još postaviti ograničenja, odnosno minimalni imaksimalni kut čime je zadan raspon pojedinog zgloba

• u animaciji treba kontinuirano pratiti cilj – iterativno numeričko rješenje

• matematički alat– upotreba Jakobijeve matrice, rotacija je sadrži funkcije sin i cos, a to znači

da je problem nelinearan. Jakobijevom maticom lineariziramo problempromatranjem prve derivacije (prvi član Taylor-ovog reda).

– transponirana Jakobijeva matrica

– CCD algoritam




Jednostavni primjer kinematičkog lanca:

• Θ i … ulazne varijable, kutovi u zglobovima (translacija u zglobovima)

• xe , ye … pozicija vrha manipulaora (orijentacija u vrhu manipulatora)

Direktna kinematika:

Inverzna kinematika

• funkcije f i su nelinearne funkcije (sin, cos)– analitički definiran F-1

– numeričko rješavanje – Jakobijeva matrica

( )

( )

=

=

= 212

211

2

1

,

,

,, θ θ

θ θ

θ

θ

f

f

y

x

e

e

FXY

L1

L2

V( xe, ye)Θ 1

Θ 2

O(0, 0)

( )XFY =

( )YFX 1−=

( )

( )212

211

,

,

θ θ

θ θ

f y

f x

e

e

=

=




Jakobijeva matrica

• opis promjene izlaznih varijabli obzirom na promjenu ulaznih varijabli

• malo promijenimo ulaznu varijablu i promatramo što će se dogoditi s izlaznomvarijablom

( )

( ) ( )( )

( )

( )654321

621

2165432122

65332111

,,,,,

...

...,,

...,,,,,,,,

,,,,,

x x x x x x f y

x x x

f f f x x x x x x f y

x x x x x x f y

nn

n

=

∂

∂=

∂

∂==

=

X

FXFY

...

...

66

55

44

33

22

11

6

6

15

5

14

4

13

3

12

2

11

1

11

x x

f x

x

f x

x

f x

x

f x

x

f x

x

f y

x x

f x

x

f x

x

f x

x

f x

x

f x

x

f y

iiiiiii δ δ δ δ δ δ

δ δ δ δ δ δ

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∂

XJY

XFJ

X

F

X

Y

∆≈∆

∂∂=

∂

∂≈

∆

∆




• Θ i … ulazne varijable, kutovi u zglobovima• … kutne brzine u zglobovima

• V … vektor linearnih i rotacionih brzina na vrhu manipulatora

• J(θ ) … Jakobijeva matrica - Jakobijan

[ ]τ ω ω ω z y x z y x vvv=V

i&=ω

( )

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

=

n

n

n

f f f

f f f

f f f

θ θ θ

θ θ θ

θ θ θ

θ

6

2

6

1

6

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

.........

...

...

J( )JV &θ =




• pojedini članovi Jakobijana odreñuju doprinos pojedinih zglobova promatranoj

promjeni na vrhu manipulatora npr. v y.

• važno je da su sve koordinatne vrijednosti u istom koordinatnom sustavu

• vektorski produkt osi zi oko koje se obavlja rotacija u zglobu

i vektora od vrha segmenta do vrha manipulatora pi odreñuje

doprinos komponenti brzine gi

• u primjeru zi - osi su okomite

na ravninu prikaza

• aproksimacija

vrijedi samo lokano pa se u malim

koracima treba približavati rješenju

(iterativno)

XJY ∆≈∆

L1 L2

L3

p1

g1

p2

g2g3

z1⊗

1θ ∂

∂ xv

Θ 1

E

G

z2

⊗ z3

⊗

( ) ( )( )

dx

xdf x x f x x f ∆+≈∆+




• pojedini članovi Jakobijana odreñuju doprinos pojedinih zglobova

promatranoj promjeni na vrhu manipulatora npr. v y.

G ciljna točka, E točka u kojoj se nalazimo• Jakobijevu matrica potrebno je invertirati kako bi došli do rješenja, no onanije nužno kvadratna. Tada se određuje pseudo-inverzna matrica tako da se

jednadžba pred-multiplicira s transponiranom Jakobijevom matricom

• robot:• http://www.ee.uwa.edu.au/~braunl/robosim/java/

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

×××

×××

×××

=

−

−

−

3

2

1

332211

332211

332211

θ

θ

θ

&

&

&

z z z

y y y

x x x

z

y

x

p z p z p z

p z p z p z

p z p z p z

E G

E G

E G

( ) ( ) ( )100100100 321 === z z z

( )JV &θ =

( ) ( )

( ) VJJJ

JJJJVJJJ

JJVJ

JV

&

&

&

&

=

=

==

−

−−

T T

T T T T

T T

1

11




Pseudo inverzna Jakobijeva matrica J+

• U općem slučaju Jakobijeva matrica je veličine [6×n], pseudo-inverznamatrica je

– jedinstvena,– nestabilna u blizini singulariteta,

– vremenski zahtjevna za izračunavanje

CILJ

primjer singulariteta

( )( )VJ

JJJJVJJJ

+

−+

−

=

==

&

&

T T

T T

1

1




Transponirana Jakobijeva matrica JT

• umjesto pseudo-inverzne matrice može se koristiti transponirana matrica– korištenje transponirane matrice nije matematički egzaktno, teži ka rješenju,

no sporije konvergira

– računanje nije vremenski zahtjevno– nema problema sa singularitetima

– nedostatak prema J+ je što promjene u zglobovima nisu ujednačene, obrtnimoment je jači dalje od kraja, pa su promjene disproporcionalne

– javljaju se problemi pri skaliranju

VJT =&




CCD (engl. Cyclic Coordinate Descent)

– jednostavnija ideja, rješavaju se 1DOF problemi duž lanca

– iterativan postupak

– za svaki zglob se traži promjena koja će minimizirati udaljenost do cilja

• 1DOF problemi su jednostavni i imaju rješenje

– nedostatak je neujednačenost promjena u zglobovima

– gibanje često nije glatko, može se zaglaviti, (slično lancu čiji vrh vučemopo podu)

primjer pomaka koji minimizira

udaljenost do cilja

CILJ

θ ∆x




Primjeri primjene

– animiranje likova (skeletal animation)

• model kostura služi kao osnova za dodavanjekože, vrhovi koji definiraju kožu vežu se uzpojedine elemente kosti s pripadnim težinama i

sve transformacije za kost primjenjuju se i nakožu (problem nastaje u područ ju preklapanja)

• model koji sadrži i mišićnu strukturuhttp://www.cgcharacter.com/downloads/cgSkinLeg.avi

• jednostavni primjeri gitara




Primjeri primjene

– proračuni i prikaz kod mehaničkih konstrukcija• određivanje radnog prostora

• simulacija rada

– heksapod (Stewart-ova platforma)

• paralelni manipulatori• kokpit kod simulatora leta

• CNC uređaji za obradu ploha

• roboti




Primjeri primjene

– direktna kinematika proteina

• aminokiseline → proteini (bjelančevine)

• dihedralni kut – kut izmeñu dvije ravnine

koje određuju 4 atoma• različiti 3D oblici (konformacije) istog

proteina uz varijaciju dihedralnih kutova

određeni rotacijski DOF na peptidnim vezama,(proračun minimalne energije),

.pdb zapis dio iz HemoglobinaATOM 4384 CD2 HIS D 146 -4.470 20.439 23.452 1.00 22.44 CATOM 4385 CE1 HIS D 146 -3.622 22.457 23.406 1.00 28.57 CATOM 4386 NE2 HIS D 146 -3.890 21.436 24.195 1.00 34.26 NATOM 4387 OXT HIS D 146 -2.678 20.431 18.984 1.00 24.06 OTER 4388 HIS D 146HETATM 4389 FE HEM A 1 15.703 15.811 15.254 1.00 18.90 FEHETATM 4390 CHA HEM A 1 17.214 18.452 16.603 1.00 13.89 CHETATM 4391 CHB HEM A 1 17.793 15.899 12.545 1.00 17.48 CHETATM 4392 CHC HEM A 1 13.730 13.474 13.636 1.00 15.77 CHETATM 4393 CHD HEM A 1 12.980 16.329 17.470 1.00 14.95 CHETATM 4394 NA HEM A 1 17.206 16.929 14.684 1.00 18.55 N

Documents

4_kinemat