4esomapi a So Esu16

8/17/2019 4esomapi a So Esu16

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18 Unidad 16 | Probabilidad

16 Probabilidad condicionada

ACTIVIDADES INICIALES

16.I. En una determinada prueba, se han obtenido estos valores: VP = 17, FN = 3, FP = 2, VN = 78.Halla su sensibil idad y su especifi cidad.

Sensibilidad:VP 17

0,85VP+FN 20

= = . Especificidad:VN 78

0,975VN+FP 80

= =

16.II. Una determinada enfermedad es mortal si no se trata, pero el tratamiento no tiene gravesefectos secundarios para los pacientes sanos. En este caso, es importante detectar el mayornúmero posible de enfermos, aunque se cuelen falsos positivos. ¿Qué tipo de prueba espreferible, con mucha sensibilidad y poca especificidad o al contrario?

Es preferible que la prueba tenga una sensibilidad alta, ya que es fundamental identificar al mayornúmero posible de enfermos.

16.III. En el caso anterior, ¿por qué no se trata directamente a todos los pacientes, para asegurar quetodos los enfermos reciben tratamiento?

Hay muchas razones. Económicamente, no es rentable dar un tratamiento a muchas personas que nolo necesitan. Tampoco se sabría la incidencia de la enfermedad entre la población. Además, si hayalgún efecto secundario, se estaría causando molestias a un gran número de pacientes sinnecesidad.

ACTIVIDADES PROPUESTAS16.1. Actividad resuelta.

16.2. Se lanzan dos dados octaédricos de diferente color con las caras numeradas del 1 al 8. Hallalas siguientes probabilidades:

a) Obtener un cinco.

b) Obtener un 3 y un 7.

c) La suma de las caras es igual a 10.

Llamamos D1 y D2 a los dados

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + =Obtener un 5 cinco en D1 · otro valor D2 cinco en D2 · otro valor D1P P P P P

= + = =1 7 7 1 14 7· ·

8 8 8 8 64 32

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + =Obtener un 3 y un 7 3 en D1 · 7 en D2 7 en D2 · 3 en D1P P P P P

= + = =1 1 1 1 2 1· ·

8 8 8 8 64 32

c) ( ) =7

La suma es 1064

P


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Probabilidad | Unidad 16 19

16.3. Se lanzan un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6 y dos monedas.

a) Forma el diagrama de árbol. ¿Cuántos resultados se obtienen?

b) Halla la probabilidad de que salgan un número primo y 2 caras.

a) Se obtienen 6 · 2 · 2 = 24 resultados.

b) Los resultados “Número primo y 2 caras” son {2CC}; {3CC}; {5CC}.

( ) = =3 1

Obtener un primo y dos caras24 8

P

16.4. Actividad resuelta.

16.5. En un campamento de verano hay inscritos 90 jóvenes, de los cuales 70 hablan inglés confluidez; 25, francés, y 15, ambos idiomas. Escogido un joven al azar, halla la probabilidad deque:

a) Hable los dos idiomas.

b) Hable francés, sabiendo que habla inglés.

Sean A = “habla inglés”; B = “habla francés”

a) ( ) ( )= ∩ = =15 1

Hable los dos idiomas90 6

P P A B

b) ( ) ( )( )

15

15 390B/A 70 70 14

90

P A BP

P A

∩= = = =


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16.6. Si P A B = 0,11, P( A ) = 0,64 y P( B ) = 0,49, hal la P( A/B) y P(B/ A).

( ) ( )( ) ( )

A 1 1 0,64 0,36

1 1 0,49 0,51

P P A

P B P B

= − = − =

= − = − =

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

0,11B/A 0,305

0,36

0,11 A/B 0,2157

0,51

P A BP

P A

P A BP

P B

∩= = =

∩= = ≈

16.7. Sabiendo que el 24 % de una población es miope y que de ellos un 8 % tiene astigmatismo,halla el porcentaje de los que padecen ambos defectos.

El 8 % del 24 % en tanto por uno es 0,08 · 0,24 = 0,0192, lo que hace que el 1,92 % de la poblaciónpadezca ambos defectos.

16.8. Actividad resuel ta.

16.9. En un equipo de fútbol hay 18 jugadores diestros y 3 zurdos. Elegidos 5 jugadores al azar paralanzar los penaltis, halla la probabilidad de que el primero y el tercero sean zurdos.

( ) ( ) ( )= + =1º y 3º zurdos 1º, 2º y 3º zurdos 1º y 3º zurdos y 2º diestroP P P

3 2 1 3 15 2 960,0196

18 17 16 18 17 16 4896= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ≈

16.10. Dados dos sucesos, A y B, se sabe que:

P( A) = 0,6 P(B) = 0,5 P A B = 0,8

a) Halla .P A B

b) ¿Son A y B independientes?

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∪ = + − ∩ ⇒ = + − ∩ ⇒ ∩ =0,8 0,6 0,5 0,3P A B P A P B P A B P A B P A B

b) ( ) ( ) ( )= = = ∩· 0,6·0,5 0,3P A P B P A B luego sí son independientes.

16.11. En una carrera participan 225 hombres y 175 mujeres, distribuidos en tres categorías: júnior,sénior y veterano. En la de veterano se han apuntado 75 hombres y 90 mujeres, y en la de júnior , 25 chicos y 15 chicas.

Se elige un dorsal al azar. Calcula la probabilidad de que sea:

a) Mujer.

b) Corredor masculino júnior.

c) De la categor ía sénior.

d) De la categoría júnio r, sabiendo que es hombre.

e) Hombre, sabiendo que pertenece a la categoría júnior.

Sean H = “ser hombre”; M = “Ser mujer”; V = “ser veterano”; J = “ser junior”; S = “ser sénior”Número de hombres sénior: 225 – 75 – 25 = 125; Número de mujeres sénior: 175 – 90 – 15 = 70

a) ( )175 7

400 16P M = = d) ( )

( )

( )

∩= = = =

2525 1400|

225 225 9

400

P J HP J H

P H

b) ( )25 1

400 16P H J∩ = = e) ( )

( )

( )

∩= = = =

2525 5400|

40 40 8

400

P J HP H J

P J

c) ( ) = =195 39

400 80P S


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16.12. Actividad resuelta.

16.13. De una bolsa que contiene cinco bolas azules, seis negras y tres rojas se sacan tres de ellas.Halla la probabilidad de que sean del mismo color.

( ) ( ) ( ) ( )= ∩ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ =1 2 3 1 2 3 1 2 3Mismo color P P A A A P N N N P R R R

= + + = =5 4 3 6 5 4 3 2 1 186 31

· · · · · ·14 13 12 14 13 12 14 13 12 2184 364

16.14. Se lanzan tres monedas en las que la probabilidad de salir cara es 0,4. Halla la probabilidad deobtener dos caras y una cruz.

( ) ( )= − = − =cruz 1 cara 1 0,4 0,6P P

( ) ( ) ( ) ( )= ∩ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ =1 2 3 1 2 3 1 2 3dos caras y una cruzP P C C X P C X C P X C C

= + + =0,4 · 0,4 · 0,6 0,4 · 0,6 · 0,4 0,6 · 0,4 · 0,4 0,288

16.15. Una empresa fabrica MP4 en tres fábricas. El 35 % en la fábrica A, el 45 % en la B y el resto enla C. La probabilidad de que un MP4 de la fábrica A sea defectuoso es de 0,0015, de que lo seade la B es de 0,001, y de que lo sea de la C es de 0,0005. Escogido un MP4 al azar, halla laprobabilidad de que sea defectuoso.

A = “fabricado en A” B = “fabricado en B” P C = “fabricado en C” D = “es defectuoso”

P( A) = 0,35 P(B) = 0,45 P(C) = 0,20

P(D| A) = 0,0015 P(D|B) = 0,001 P(D|C) = 0,0005

( ) ( ) ( ) ( )= ∩ + ∩ + ∩ = + + =D ( )· ( | ) ( )· ( | ) ( )· ( | )P P A D P B D P C D P A P D A P B P D B P C P D C

= + + =0,35 · 0,0015 0,45 · 0,001 0,2 · 0,0005 0,001075


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EJERCICIOS

Experimentos compuestos. Probabilidad condicionada

16.16. En el armario de Luis hay seis camisetas blancas, cuatro azules, tres negras y dos rojas. Sisaca consecutivamente dos camisetas, ¿qué tipo de experimento realiza?

Dibuja el diagrama de árbol con los resultados posibles y calcula la probabilidad de los

siguientes sucesos.

a) Sacar dos camisetas negras.

b) Sacar la primera camiseta blanca y la segunda azul.

a) ( )1 2 1 2 13 2 6

( ) · ( / ) · 0,028615 14 210

P N N P N P N N∩ = = = ≈

b) ( )1 2 1 2 16 4 24

( ) · ( / ) · 0,114315 14 210

P B A P B P A B∩ = = = ≈

16.17. Si al sacar tres cartas de una baraja española obtengo tres oros, ¿la probabilidad de obteneruna espada, si hacemos una cuarta extracción, es la misma si devuelvo las cartas a la barajaque si no lo hago? ¿Por qué?

No, porque aunque el número de casos favorables es el mismo, si no devolvemos las tres primerascartas el número de casos posibles para la cuarta extracción es distinto en ambos casos. Enparticular:

Con reposición: ( )10

espada 0,2540

P = =

Sin reposición: ( ) = ≈10

espada 0,2737

P


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16.18. Si lanzo dos dados de seis caras, ¿qué es más probable lograr como suma, 7 o 10?

Representamos las sumas en una tabla de contingencia.

Dado 1Dado 2 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

1 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

( ) = =6 1

suma 736 6

P ( ) = =3 1

suma 1036 12

P

La probabilidad de obtener como suma 7 es el doble de la probabilidad de obtener como suma 10.

16.19. Se extraen cuatro fichas de un dominó. Averigua la probabilidad de que ninguna sea doble.

De 28 fichas 7 son dobles, por tanto, ( )1 2 3 4 21 20 19 18 0,2928 27 26 25P D D D D∩ ∩ ∩ = ⋅ ⋅ ⋅ ≈

16.20. En un experimento que consiste en extraer una carta de la baraja española se consideran lossiguientes sucesos.

A = “obtener una figura”

B = “ obtener un oro”

Explica razonadamente cuál de las siguientes probabilidades es mayor, P( A/B) o P(B/ A).

( )∩ =3

40P A B

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

∩ ∩= = = = = = =

3 33 3 140 40/ /

10 1210 12 4

40 40

P A B P A BP A B P B A

P B P A

Es mayor P( A/B).

Independencia de sucesos

16.21. Dados los sucesos A, B y C, conocemos las siguientes probabilidades:

P( A) =

2

13 P(C) =

2

9 P B C =

10

63

P(B) = 5

7 P( A/B) =

12

13 P A C =

3

104

¿Qué parejas de sucesos son independientes?

Observación: si X e Y son independientes entonces ( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

·/ ( )

P X Y P X P YP X Y P X

P Y P Y

∩= = =

Sucesos A y B: ( )12 2

/ ( )13 13

P A B P A= ≠ = por tanto, no son independientes.

Sucesos A y C: ( )= = ≠ = ∩2 2 4 3

( ) · ( ) ·13 9 117 104

P A P C P A C por tanto, no son independientes.

Sucesos B y C: ( )= = = ∩5 2 10( ) · ( ) ·7 9 63

P B P C P A C por tanto, sí son independientes.


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16.22. La probabilidad de que un jugador de baloncesto enceste un tiro libre es de 0,85. Si lanzaconsecutivamente dos tiros libres, ¿cuál es la probabilidad de que no acierte con ninguno deellos? ¿Son sucesos independientes? Razona tu respuesta.

Sean los sucesos E1 = “encestar en el primer tiro libre” y E2 = “encestar en el segundo tiro libre”.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 2 1 1 2

1 2 1 2 1 1 2

0,85 1 0,15

· / 0,15 · 0,15 0,0225 ·

P E P E P E P E P E

P E E P E P E E P E P E

= = ⇒ = − = =

∩ = = = =

Son sucesos independientes.

16.23. Si P A B =2

7, P( A) =

4

5 y P(B) =

5

6, ¿son A y B independientes? Calcula P(B/ A).

( )= = = ≠ = ∩4 5 20 2 2

( ) · ( ) ·5 6 30 3 7

P A P B P A B luego no son independientes.

∩= = = =

2( ) 10 57

( / ) 4( ) 28 145

P A BP B A

P A

16.24. Si A y B son dos sucesos independientes tales que ( )P A = 0,4 y P(B) = 0,3:

a) Calcula P( A/B).

b) Halla .P A B

a) ( ) ( )= = − = − =por ser independientes

/ ( ) 1 1 0,4 0,6P A B P A P A

b) ( )∪ = + − ∩ = + − = + − =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )· ( ) 0,6 0,3 0,6·0,3 0,72P A B P A P B P A B P A P B P A P B


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Tabla de contingencia

16.25. Copia y completa la siguiente tabla de contingencia, que muestra el tipo de medio detransporte que utilizan para llegar hasta su puesto de trabajo los 200 empleados de unaempresa situada en la periferia de una gran ciudad.

Hombres Mujeres

Público 50 85

Privado

120

Se escoge un trabajador al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) Sea un hombre y utilice el transporte públi co.

b) Utilice el transpor te públi co sabiendo que es un hombre.

c) Sea una mujer sabiendo que usa transpor te privado.

d) ¿Los sucesos “ser hombre” y “ utilizar el transporte público” son dependientes oindependientes? Razona tu respuesta.

Hombres Mujeres

Público 35 50 85

Privado 85 30 115

120 80 200

a) ( )35 7

hombre transporte público200 40

P ∩ = =

b) ( ) = =35 7

transporte público / hombre120 24

P

c) ( ) = =30 6

mujer / transporte privado115 23

P

d) Son dependientes ya que:

( ) ( )= = ≠ =35 7 85

transporte público / hombre transporte público120 24 200

P P

16.26. En el menú del día de un restaurante hay arroz, sopa de espinacas o ensalada mixta para elegir deprimer plato, y bacalao o entrecot de segundo.

De los 45 comensales que hay en el restaurante, 18 escogieron sopa de espinacas; 13, arroz; 8comieron entrecot y ensalada, y de los 23 que tomaron bacalao, 10 eligieron sopa deespinacas de primero.

Escogido un comensal al azar, halla la probabilidad de que:

a) Haya comido sopa y entrecot.

b) Haya elegido bacalao si sabemos que ha tomado ensalada de primero.

c) Haya tomado sopa de primero si sabemos que ha elegido entrecot.

Se construye una tabla de contingencia: Arroz Sopa Ensalada

Bacalao 7 10 6 23

Entrecot 6 8 8 22

13 18 14 45

a) ( )8

sopa entrecot45

P ∩ =

b) ( ) = =6 3

bacalao / ensalada14 7

P

c) ( )8 4

sopa/entrecot 22 11P = = o bien ( ) ( )

( )

∩

= = = =

8sopa entrecot 8 445

sopa / entrecot 22entrecot 22 11

45

P

P P


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16.27. Copia y completa la tabla de contingencia referida a los sucesos A, B, C y D, de los queconocemos las siguientes probabilidades condicionadas.

P(B/C) =15

25 P(D/B) =

12

27 P(D/ A) =

5

15

Ten en cuenta que las fracciones no han sido simplif icadas.

A BC 10 15 25D 5 12 17

15 27 42

Probabilidad total

16.28. Extraemos sucesivamente cuatro bolas de la urna de la figura. Calcula laprobabilidad de obtener la palabra ROMA en los siguientes casos.

a) Devolv iendo la bola a la urna después de cada extracción.

b) Sin devolverla.

a) ( )1 2 3 41 1 1 1 1

R O M A · · ·4 4 4 4 256

P ∩ ∩ ∩ = =

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 1 2 1 3 1 2 4 1 2 31 1 1 1

· / · / · / · · ·14 3 2 24

P R O M A P R P O R P M R O P A R O M∩ ∩ ∩ = ∩ ∩ ∩ = =

16.29. Un examen de Historia consiste en desarrollar un tema a elegir entre dos propuestos. Alejandra seha preparado el 60 % de los temas. Halla la probabil idad de que apruebe el examen.

Para aprobar el examen debe elegirse al menos un tema que se sepa, por tanto, si el número detemas es suficientemente alto tendremos:

( ) ( ) ( ) ( )aprobar conocer al menos un tema 2· conocer solo uno conocer los dosP P P P= = + =

2 · 0,6 · 0,4 0,6 · 0,6 0,84= + =

También se puede plantear por paso al suceso contrario:

( ) ( ) ( )aprobar 1 suspender 1 desconocer los dos 1 0,4 · 0,4 0,84P P P= − = − = − =

16.30. Se extraen dos cartas de una baraja española. Halla la probabilidad de que sean del mismo palo.

( )Dos oros Dos copas Dos espadas Dos bastosP ∪ ∪ ∪ =

( ) ( ) ( ) ( )10 9 360

Dos oros Dos copas Dos espadas Dos bastos · ·4 0,23140 39 1560

P P P P= + + + = = ≈

16.31. Si se tiran tres dados de seis caras, ¿cuál es la probabilidad de que en todas las caras aparezcaigual número de puntos?

( ) ( ) ( ) ( )tres unos tres doses ..... tres seises tres unos tres doses ... tres seises1 1 1 1

· · ·6

6 6 6 36

P P P P∪ ∪ ∪ = + + + =

= =


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16.32. Un jugador de dardos dispone de dos oportunidades de dar en el blanco de una diana.

La probabilidad de acertar cuando lanza es de 0,63.

a) Halla la probabilidad de que atine al menos una vez.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que falle en los dos lanzamientos?

a) La probabilidad de fallar es 1 – 0,63 = 0,37. Como los lanzamientos son independientes:

( ) ( )acertar al menos uno 1 fallar los dos 1 0,37· 0,37 0,8631P P= − = − =

b) ( )fallar los dos 0,37·0,37 0,1369P = =

16.33. Una urna contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4. Si se forman todos los números posibles detres cifras al extraer tres bolas de dicha urna sin remplazamiento, ¿cuál es la probabilidad de queel número formado sea par?

¿Y si las extracciones se efectúan con remplazamiento?

Sin remplazamiento se pueden formar 4 · 3 · 2 = 24 números. Si exigimos que las unidades sean pares

podremos formar 2 · 3 · 2 = 12 números. La probabilidad pedida es

12

0,524 = .

Con remplazamiento se pueden formar 43 = 64 números. Si exigimos que las unidades sean pares

podremos formar 2 · 42 = 32 números. La probabilidad pedida es32

0,564

= .

Nótese que en realidad el problema consiste en ambos casos en elegir una bola que corresponderá a lasunidades del número y la mitad de las bolas tienen un número par.

16.34. Considera el experimento compuesto que consiste en lanzar una moneda al aire y, si sale cara, seextrae una bola de la primera urna, y si aparece cruz, una de la segunda.

Dibuja un diagrama de árbol indicando la probabilidad de cada suceso y calcula laprobabilidad de que la bo la extraída sea blanca.

( )1 7 1 4 11

blanca · · 0,552 10 2 10 20

P = + = =


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16.35. En un centro de enseñanza secundaria, el 55 % de los estudiantes matriculados son chicas. Sesabe que el 65 % de las alumnas no han estado enfermas durante el curso y que el 25 % de losalumnos tampoco.

Si se elige un estudiante al azar, ¿cuál es la probabilidad de que se haya encontrado enfermo?Realiza el diagrama de árbol correspondiente.

( )enfermo 0,55·0,35 0, 45·0,75 0,53P = + =

16.36. María y Paula juegan un partido de tenis de mesa. La vencedora será la primera que gane dos delos tres sets de los que consta el encuentro.

a) Dibuja un diagrama de árbol con todos los posibles resultados.

b) Calcula la probabilidad de que Paula gane el partido si la probabilidad de que María logreun set es de 0,4.

a)

b) Considerando los sucesos Pi = “Paula gana el set i” y Mi = “María gana el set i”, por el teorema de laprobabilidad total tenemos:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3 1 2 3gane Paula0,6 0,6 0,6 0,4 0,6 0,4 0,6 0,6 0,648

P P P P P P M P P M P P= ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ =

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

16.37. Se tira un dado octaédrico con las caras numeradas del 1 al 8 y, si sale número par, se extrae unabola de una urna que contiene cuatro bolas amarillas y seis moradas, y si sale impar, se toma unabola de otra urna que guarda ocho bolas amarillas y dos moradas. Halla la probabilidad de sacaruna bola morada.

( )4 6 4 2 32 2

sacar bola morada · · 0,48 10 8 10 80 5

P = + = = =


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16.38. En una bolsa hay cuatro monedas; dos de ellas están trucadas de tal modo que la probabilidad

de salir cara en una de ellas es de1

3, y en la otra, la probabilidad de salir cruz es de 0,4.

Se lanza dos veces una moneda escogida al azar. Halla la probabil idad de sacar dos cruces.

Sean E = “sacar una moneda equilibrada”; T1 = “Sacar moneda trucada 1”; T2 = “Sacar monedatrucada 2”.

Además sabemos que ambas tiradas son independientes, por tanto tenemos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2 2Sacar dos cruces · / · / · / · / · / · /2 1 1 1 2 2 1 4 4 2 4 4 497

· · · · · · 0,2764 2 2 4 3 3 4 10 10 16 36 100 1800

P P E P X E P X E P T P X T P X T P T P X T P X T= + + =

= + + = + + = ≈

PROBLEMAS

16.39. En una población, la probabilidad de medir más de 170 centímetros es del 30 %, y la de seraficionado al c ine es del 65 %.

¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar mida menos de dicha altura y leguste el cine?

Por tratarse de sucesos independientes:

( )medir menos de 170 cm ser aficionado al cine 0,7· 0,65 0,455P ∩ = =

16.40. Según un informe de la Cruz Roja sobre los enfermos que padecen paludismo en África, si son

atendidos en un dispensario, los

3

5 se curan al cabo de tres semanas.

En una muestra al azar de cinco p acientes, calcula la probabilidad de que:

a) Se curen exactamente tres.

b) Sanen al menos dos.

c) Se recuperen todos.

a) Consideremos los sucesos Ai = “se cure el enfermo i”. ( ) ( )3 2;5 5

i iP A P A= =

a) ( )3 2

3 2 27 45se curen exactamente 3 · 10 0,346

3 5 5 125 25P

= = ⋅ ⋅ ≈

b) ( ) ( ) ( ) ( )sanen al menos 2 1 sane 1 sane ninguno 1 sane 1 sane ningunoP P P P= − ∪ = − − =

4 52 3 2 272

1 5· · 1 0,912965 5 5 3125

− − = − =

c) ( )5

3 243sanen todos 0,07776

5 3125P

= = =


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16.41. Silvia posee una moneda de 2 euros, dos de 1 euro, una de 50 céntimos y otra de 20. Si tomadel monedero dos monedas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la cantidad que sumenambas sea superior a un euro?

La suma es inferior a 1 € solo si las monedas extraídas son la de 50 céntimos y la de 20 céntimos,por tanto:

( ) ( ) ( )sumen más de 1€ 1 sumen menos de 1€ 1 extraer la de 50 cént y la de 20 céntP P P= − = − =

1 1 91 2· ·

5 4 10= − =

16.42. En un aula con 24 estudiantes de 1.º de ESO, los profesores de Matemáticas, Lengua e Ingléspiden cada día al azar los cuadernos a algunos alumnos para revisarlos. El de Matemáticas selo reclama a cuatro alumnos, el de Lengua a seis y el de Inglés a ocho.

Halla la probabilidad de que a un alumno concreto, en un día:

a) Le pidan dos cuadernos.

b) No le reclamen ninguno.

c) Le solici ten los tres cuadernos.

d) Tenga que entregar al menos un cuaderno.

Sean los sucesos M =” le piden el de Matemáticas”; L = “le piden el de Lengua”;I = “le piden el de inglés”.

a) ( ) ( ) ( ) ( )le pidan 2P P M L I P M L I P M L I= ∩ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ =

4 6 16 4 18 8 20 6 8 5· · · · · ·

24 24 24 24 24 24 24 24 24 36+ + =

b) ( ) ( )20 18 16 5

no le pidan ninguno · ·

24 24 24 12

P P M L I= ∩ ∩ = =

c) ( ) ( )4 6 8 1

le pidan los tres · ·24 24 24 72

P P M L I= ∩ ∩ = =

d) ( ) ( )5 7

le pidan al menos 1 1 no le pidan ninguno 112 12

P P= − = − =

16.43. En un país, la probabilidad de nacimientos de hijos varones está en torno al 52 %. Halla laprobabilidad de que una familia de cuatro hijos tenga:

a) Por lo menos un niño.

b) Exactamente, una niña y tres niños.c) No tenga ningún niño.

a) ( ) ( ) ( )4

al menos un niño 1 todas niñas 1 0,48 0,947P P= − = − ≈

b) ( ) ( ) ( )34

una niña y tres niños · 0,48 0,52 0,2361

P

= ≈

c) ( ) ( )4

todas niñas 0,48 0,053P = ≈


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16.44. Un árbol de Navidad está alumbrado por una tira de 25 bombillas de colores nuevas. Si laprobabilidad de que una de ellas se funda antes de 15 días es de 0,1, ¿cuál es la probabilidadde que el alumbrado del árbol funcione sin problemas durante los 15 días de las fiestasnavideñas?

( ) ( )25

ninguna se funda 0,9 0,072P = ≈

16.45. Una entidad bancaria realiza un sorteo de tres premios entre sus clientes, para ello reparte1000 papeletas. Uno de los clientes habituales tiene en su poder 20 números. ¿Cuál es laprobabilidad de que reciba algún premio?

( ) ( )980 979 978

obtenga algún premio 1 no obtenga ningún premio 1 · · 0,0591000 999 998

P P= − = − ≈

16.46. Las estadísticas de los derbis entre dos equipos de la misma ciudad e históricamente rivalesson las siguientes: el 25 % de las veces ha ganado el equipo A; el 45 %, el conjunto B, y el30 % han empatado. En el próx imo torneo van a enfrentarse en tres ocasiones.

a) ¿Cuál es la probabil idad de que gane A los tres partidos?b) ¿Cuál es la probabil idad de que A venza al menos en un partido?

a) ( ) ( )3

A gane los tres 0,25 0,015625P = =

b) ( ) ( ) ( )3

A gane al menos un partido 1 A no gane ninguno 1 0,75 0,578125P P= − = − =

16.47. El departamento de selección de personal de una empresa entrevista a 65 candidatos para unpuesto, 35 de ellos poseen experiencia laboral previa y 40 disponen de un título universitario.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el elegido tenga experiencia laboral?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se elija a una persona que tenga experiencia laboral y un títulouniversitario?

Sean A = “tiene experiencia”; B = “tiene titulación”.

a) ( )35 7

65 13P A = =

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )35 40 10

165 65 65

P A B P A P B P A B P A B P A B∪ = + − ∩ ⇒ = + − ∩ ⇒ ∩ =

16.48. Un profesor tiene dos estuches. Uno contiene cinco bolígrafos azules y tres negros, y el otro, dosazules y seis negros.

Si abre un estuche al azar y extrae un bolígrafo:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea negro?

b) Si el bolígrafo elegido es de color azul, ¿cuál es la probabilidad de que lo haya tomado delsegundo estuche?

Sean E1 = “elige el estuche 1”; E2 = “elige el estuche 2”; N = “elige bolígrafo negro”; B = “eligebolígrafo azul”.

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 21 3 1 6 9

· / · / · ·2 8 2 8 16

P N P E P N E P E P N E= + = + =

b) ( ) ( )

( )2

2

1 2 12

2 8 8/ 9 7 7116 16

P E A

P E A P A

⋅∩

= = = =−


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16.49. Pedro desea coger la bic icleta guardada en su trastero y para ello necesita abrir dos puertas.

Dispone de cuatro l laves, dos de ellas abren la primera puerta, otra abre la segunda y la cuartaes la llave maestra.

Si escoge las llaves al azar, ¿cuál es la probabilidad de que abra las dos puertas en el primerintento?

Sean los sucesos A = “coge una llave de la 1ª puerta”; B = “coge la llave de la 2ª puerta”;M = “coge la llave maestra”.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 5

Abre las dos a la primera · / · / · ·4 3 4 3 12

P P A P B M A P M P B M= ∪ + = + =

16.50. En una empresa, los productos pasan por tres pruebas de calidad independientes. En la primerase detecta un 8 % de productos con defectos; en la segunda, un 12 %, y en la tercera, un 15 %.Halla la probabilidad de que un producto pase el cont rol de calidad en:

a) Tres pruebas b) Dos pruebas c) Una prueba

Sean los sucesos A = “pasa la 1ª prueba”; B = “pasa la 2ª prueba”; C = “pasa la 3ª prueba”.

a) ( ) ( )pasa las tres pruebas 0,92·0,88·0,85 0,68816P P A B C= ∩ ∩ = =

b) ( ) ( ) ( ) ( )pasa dos pruebasP P A B C P A B C P A B C= ∩ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ =

0,92 · 0,88 · 0,15 0,92 · 0,12 · 0,85 0,08 · 0,88 · 0,85 0,27512= + + =

c) ( ) ( ) ( ) ( )pasa una pruebaP P A B C P A B C P A B C= ∩ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ =

0,92 · 0,12 · 0,15 0,08 · 0,88 · 0,15 0,08 ·0,12 ·0,85 0,03528= + + =

AMPLIACIÓN

16.51. En una urna hay seis bolas blancas y cuatro negras. Extraemos sucesivamente (sindevolución) tres bolas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que hayamos sacado dos blancas yuna negra?

a)11

32 b)

1

2 c)

1

6 d)

3

10

Llamando BN… al suceso “obtener 1ª blanca, 2 ª negra…”, el suceso pedido es:

( ) ( ) ( ) ( )6 5 4 6 4 5 4 6 5 360 1

dos blancas y una negra · · · · · ·10 9 8 10 9 8 10 9 8 720 2

P P BBN P BNB P NBB= + + = + + = =

La respuesta es la opción b).

16.52. En una urna hay tres bo las numeradas del 1 al 3. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraerlasuna a una no salgan en orden correlativo creciente?

a)5

6 b)

11

3− c)

1

2 d)

1

3

Hay 6 posibilidades de extracción (P3) y solamente en un caso 1 – 2 – 3 están en orden correlativo

creciente, siendo entonces1 5

16 6

p = − = la probabilidad pedida.

La respuesta es la opción a).


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16.53. En España hay un 52 % de mujeres. La probabilidad de que un hombre sea calvo es de 0,2 y el96 % de las personas calvas son hombres. Elegida una persona al azar, la probabilidad de quesea calva es:

a) Del 6 % b) Del 8 % c) Del 10 % d) Del 12 %

Para fijar ideas, supongamos 1000 personas, de las cuales 520 son mujeres (52%) y 480 hombres.Así pues, el número de hombres calvos es la quinta parte de 480, es decir, 96. Sea x el número de

personas calvas. Entonces, el 96% de x es el número de hombres calvos, es decir, 96, con lo que96·

96100

x= y x = 100, con lo que la probabilidad de que elegida al azar una persona sea calva es

100 1

1000 10p = = .

La respuesta es la opción c).

16.54. En una reunión, el 60 % son mujeres, de las que fuman el 30 %. De los hombres solo fuma lacuarta parte. Elegida una persona al azar, la probabilidad de que fume es:

a)

1

4 b)

7

25 c)

3

10 d)

7

20

Si fijamos en 1000 el número de personas de la reunión, hay 600 mujeres y 400 hombres, de los quefuman el 30%, de 600 y el 25% de 400, es decir, el número de fumadores es30 · 600 25· 400

280100 100

+ = , por lo que la probabilidad pedida sería280 7

1000 25p = = .

La respuesta es la opción b).

16.55. Un examen de tipo test consta de 50 preguntas. En cada pregunta hay 4 opciones y solo unaes correcta. Un estudiante sabe solo 10 de las 50 y contesta a todas. ¿Cuál es la probabilidadde que elegida una pregunta al azar, el estudiante la haya contestado co rrectamente?

a)1

5 b)

1

4 c)

9

20 d)

2

5

El estudiante contestará correctamente una pregunta si es de las que las sabe, o si, siendo de las

restantes, acierta. Así pues, la probabilidad pedida sería10 40 1 20 2

· 1 ·50 50 4 50 5

p = + = = .

La respuesta es la opción d).


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AUTOEVALUACIÓN

16.1. Se lanzan cuatro monedas de un euro y se anota el resultado de la cara superior. ¿Qué tipo deexperimento se realiza?

Forma el diagrama de árbol y calcula la probabilidad de obtener cuatro caras.

El experimento que se realiza esaleatorio compuesto, ya que por muchasveces que se repita, jamás se podrápredecir el resultado que se va a obteneren un próxima experiencia.

( )1 1 1 1 1

obtener 4 caras · · ·2 2 2 2 16

P = =

16.2. Extraemos tres cartas de una baraja española. Calcula la probabilidad de que las tres seanases:

a) Si se devuelve cada carta antes de realizar la siguiente extracción.

b) Si no se reponen las cartas extraídas.

a) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 1

tres ases la 1ª es un as · la 2ª es un as · la 3ª es un as · ·40 40 40 1000

P P P P= = =

b) ( ) ( ) ( ) ( )tres ases la 1ª es un as · la 2ª es un as · la 3ª es un asP P P P= =

4 3 2 24· · 0,00041

40 39 38 59280= = ≈

16.3. En una bolsa hay bolas numeradas, nueve de ellas llevan el número 5, seis llevan el 7 y cincollevan el 6. Si se sacan tres bolas, calcula la probabilidad de poder formar un número capicúacomprendido entre 600 y 700.

Un número capicúa entre 600 y 700 debe empezar y acabar en 6 y la cifra central puede sercualquiera, por tanto, basta extraer dos seises para asegurar que se puede formar un númerocapicúa.

Sea Ai = “la extracción i es un 6”. Entonces tenemos

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3al menos dos seisesP P A A A P A A A P A A A P A A A= ∩ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ =

5 4 3 5 4 15 5 15 4 15 5 4 960· · · · · · · · 0,14

20 19 18 20 19 18 20 19 18 20 19 18 6840

= + + + = ≈


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16.4. De la urna de la figura se extraen tres bolas consecutivamente y sinremplazamiento. Realiza el diagrama de árbol y calcula la probabilidadde que:

a) Las tres sean rojas.

b) Dos sean verdes y una azul.

c) Las tres sean verdes.

Sean Ri = “La extracción i es roja”; Ai = “La extracción i es azul”; Vi = “La extracción i es verde”.

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 1 3 1 2las tres sean rojas · / · /P P R R R P R P R R P R R R= ∩ ∩ = ∩ =

5 4 3 60 1· ·

10 9 8 720 12= = =

b) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3dos verdes y una azulP P V V A P V A V P A V V= ∩ ∩ + ∩ ∩ + ∩ ∩ =

2 1 3 2 3 1 3 2 1 18 1· · · · · ·

10 9 8 10 9 8 10 9 8 720 40= + + = =

c) Es imposible porque solo hay dos verdes. La probabilidad es cero.


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16.5. La siguiente tabla de contingencia muestra los alumnos candidatos al Consejo escolar de uninstituto:

Mujer Hombre

1.º ESO 3 1

2.º ESO 1 2

3.º ESO 2 4

4.º ESO 2 3

1.º BAC 5

10

Copia y completa la tabla. Elegido un candidato al azar, calcula la probabilidad de que:

a) Sea hombre.

b) Sea mujer y esté en 4.º de ESO.

c) Sea mujer o estud ie 2.º de ESO.

d) Sea de 1.º de ESO, sabiendo que es mujer.

e) Sea hombre, sabiendo que está en 1.º de ESO.

Mujer Hombre

1.º ESO 3 1 4

2.º ESO 1 1 2

3.º ESO 2 2 4

4.º ESO 1 2 3

1.º BAC 3 2 5

10 8 18

a) ( )8 4

sea hombre

18 9

P = =

b) ( )1

sea mujer y esté en 4.º de ESO18

P =

c) ( ) ( ) ( ) ( )10 2 1 11

mujer o de 2.º de ESO mujer de 2º mujer y de 2º18 18 18 18

P P P P= + − = + − =

d) ( )3

sea de 1.º sabiendo que es mujer 10

P =

e) ( )1

sea hombre sabiendo que es de 1.º4

P =

16.6. Una compañía de autobuses cubre las tres ru tas de un colegio. El 70 % de los vehículos realizala primera ruta; el 20 %, la segunda, y el 10 % completa la tercera. Se sabe que, diariamente, laprobabilidad de que un autobús sufra una avería es del 2 %, 3 % y 5 %, respectivamente, paracada ruta. Determina la probabilidad de que, un día cualquiera, un autobús se averíe.

Sean Ri = “el autobús es de la ruta i”; A = “el autobús se avería”.

Haciendo uso de la probabilidad total

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3se averíe un autobús · / · / · /P P R P A R P R P A R P R P A R= + + =

70 2 20 3 10 5 250 1· · ·

100 100 100 100 100 100 10000 40

= + + = =


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PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS

Calcula y decide > La probabilidad en los exámenes

¿Has hecho alguna vez un examen tipo test? En general, se proporcionan varias

respuestas posibles, y solo una es correcta.Sin conocer la respuesta, es posible acertarla. Por lo tanto, un alumno querespondiera al azar, sin saber nada, tendría muchas posibilidades de sacaralgunos puntos.

Para corregir esto, en muchas pruebas se penalizan las respuestas incorrectas.En el test de la izquierda, por ejemplo, se descontarían 0,25 puntos por cadafallo. De esa forma, se compensan l as respuestas aleatorias.

En otros casos las preguntas son eliminatorias, ordenadas por dificultad, demodo que el primer fallo es el que determina la nota. Este tipo de prueba esparecida a muchos concursos de televisión de preguntas y respuestas, como¿Quién quiere ser millonario?

La probabilidad de acertar cada pregunta no es realmente la misma, ya quedepende mucho de los conocimientos del concursante (¡o del estudiante!).Evidentemente, una buena preparación mejorará enormemente la posibilidad delograr un buen resultado.

16.1. ¿Qué exámenes tipo test conoces? ¿Qué características tienen?

Respuesta abierta. Por ejemplo, los exámenes para el carnet de conducir, en los que solo se permiteun número de errores de cada tipo.

16.2. Un test de 10 preguntas tiene dos opciones para cada una: verdadero o falso.Lamentablemente, está en un idioma desconocido, y tenemos que contestar al azar. ¿Quéprobabilidad tenemos de acertar todas las respuestas? ¿Y de acertar exactamente 5?

La probabilidad de acertar todas es = ≈

101 1

0,000982 1024

.

La de acertar exactamente 5 es ≈252

0,2461024

.

16.3. En el Concurso de Primavera de Matemáticas, para cada pregunta hay cinco posibles

respuestas, de las que solo una es correcta. Cada acierto vale 5 puntos, cada respuesta enblanco vale 2 y los fallos no dan puntos. Pablo no sabe la respuesta de las dos últimas. ¿Esmejor que conteste ambas al azar o que las deje en blanco? Estud ia todas las posibilidades.

Mediante un diagrama en árbol, por ejemplo, se puede calcular que la probabilidad de fallar las doses 0,64, la de acertar una es 0,32 y la de acertar ambas es 0,04. Por tanto, la probabilidad de sacarmás de 4 puntos es de 0,36, por lo que es más seguro dejarlas en blanco.

En particular, contestando al azar la esperanza es obtener 2 puntos.


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Interpreta y conciénciate > ¡No más spam!

Tu proveedor de correo electrónico ha desarrollado un filtro antispam que utiliza inteligenciaartificial para bloquear los “correos basura”, y ha estudiado su funcionamiento sobre una base de5000 mensajes. Los resultados del análisis se muestran en la tabla.

16.1. Halla la probabilidad de perder un mensaje que te interesaba y la de recibir un mensaje que nodeseabas.

Probabilidad de perder un mensaje que me interesaba:50

( ) 0,015000

P B S∩ = =

Probabilidad de recibir un mensaje que no deseaba: 250( ) 0,055000

P B S∩ = =

16.2. Las probabilidades ( / )P B S y ( / )P B S se llaman “sensibilidad” y “especificidad”,

respectivamente, y se utilizan para medir la fiabilidad del filtro. Hállalas, interpreta qué

signif ican y explica por qué no se utilizan ( / )P S B y ( / )P S B en su lugar.

1250( / ) 0,83

1500P B S = ≅ Es la probabilidad de que sea bloqueado un correo basura.

3450

( / ) 0,993500P B S = ≅ Es la probabilidad de que llegue a nuestra bandeja de entrada un correoque no es spam.

No se utilizan ( / )P S B y ( / )P S B porque el sistema consiste en analizar si el correo es spam o no, y

a partir de ahí bloquearlo. Es decir, nosotros lo que sabemos es si el correo es deseado o no lo es.

16.3. La sensibilidad y la especificidad de los filtros antispam nunca son iguales a 1, ¡ningún filtroes perfecto! Consulta www.e-sm.net/4esoz72 y haz un resumen de buenas prácticas para evitarel spam.

Respuesta abierta.

Mensaje Spam (S) No spam ( )S

Bloqueado (B) 1250 50 1300

No bloqueado ( )B 250 3450 3700

1500 3500 5000

http://www.e-sm.net/4esoz72http://www.e-sm.net/4esoz72


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Aprende a pensar > La falacia del fiscal

Tanto la probabilidad como la estadística son utilizadas en los juicios para determinar si el acusadoes culpable o inocente, pero no siempre adecuadamente.

Uno de los errores más comunes es la llamada falacia del fiscal, en la que se confunden laprobabilidad P(A/B) (la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ya ha ocurrido B) con P(B/A) (laprobabilidad de que ocurra B sabiendo que ya ha ocurr ido A).

Observa el siguiente caso de falacia del fi scal.

16.1. Antes de analizar la falacia, considera el caso del lanzamiento de un dado, con los sucesos:

Par = “que salga par” y Dos = “que salga 2”. Calcula P(Par/Dos) y P(Dos/Par) y observa queson claramente diferentes.

P(Par/Dos) = 1 y P(Dos/Par) =1

3

16.2. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿te ha convencido el fiscal? Antes de contestar, piensa:¿cuántas personas hay en Villajusta que tengan AB negativo?

1 % de 1000 = 10.

16.3. Calcula la probabilidad de tener AB negativo si se es inocente y la probabilidad de ser inocentesi se tiene AB negativo.

Inocente (I) Culpable (C)

AB− 9 1 10

No AB− 990 0 990

999 1 1000

( )9

(AB / Inocente) AB negativo si se es inocente 0,009999

P P− = = =

( ) ( )9

Inocente / AB ser inocente si se tiene AB negativo 0,910

P P− = = =

16.4. ¿Qué error comete el fiscal en su argumentación? ¿De qué probabilidad condicionada delapartado anterior está hablando el fiscal y a cuál corresponde la probabilidad que calcula?

El fiscal habla de ( )(Inocente / ) ser inocente si se tiene AB negativoP AB P− = , que es 0,9 (y, por

tanto, la de ser culpable es 0,1), pero en su argumentación utiliza el valor deP(AB negativo si se es inocente), pues confunde los condicionales.

16.5. Hay algunos casos famosos de errores jud iciales por mal uso de la probabil idad. Lee sobre los ju ic ios de Sall y Clark (www.e-sm.net/4esoz73) y Janet Coll ins (www.e-sm.net /4esoz74).Escoge uno de los dos, realiza los cálculos y argumenta con tus propias palabras por qué lasacusadas no podían ser declaradas culpables.

Respuesta abierta.

16.6. ¿Qué opinas sobre el mal uso de la probabilidad y la estadística en los juicios y en la prensa?

Debátelo en http://matematicas20.aprenderapensar.net/.Respuesta abierta.

En Villajusta, ciudad de 1000 habitantes, se ha cometido un gran robo. Tras analizar con cuidado elescenario del delito, la policía ha encontrado rastros de sangre de tipo AB negativo. Esta sangre esmuy poco común y solo se encuentra en un 1 % de la población. La policía detiene a variossospechosos y comprueba que uno de ellos es AB negativo, así que se le imputa el delito.

En el juicio, el fiscal argumenta elocuentemente: “Como el acusado es AB negativo, la probabilidadde que sea inocente es de 9/999 = 0,009, luego la probabilidad de que sea culpable es del 99,1 %.¿Algún miembro del jurado tiene mayor certeza de poder levantarse mañana?”.


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Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM

Autoría: Antonia Aranda, Rafaela Arévalo, Juan Jesús Donaire, Vanesa Fernández, Joaquín Hernández, JuanCarlos Hervás, Miguel Ángel Ingelmo , Cris tóbal Merino, María Moreno, Miguel Nieto, Isabel de los Santos,Esteban Serrano, José R. Vizmanos, Yolanda A. Zárate

Edición: Oiana García, José Miguel Gómez, Aurora Bell ido

Revisión contenidos solucionario: Juan Jesús Donaire

Corrección: Javier López

Ilustración: Modesto Arregui, Estudio “ Haciendo el león” , Jurado y Rivas, Félix Anaya, Juan Francisco Cobos,José Santos, José Manuel Pedrosa

Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano

Maquetación: SAFEKAT S. L.

Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez

Coordinación editorial: Josefina Arévalo Dirección del proyecto: Aída Moya

Gestión de las direcciones electrónicas:Debido a la naturaleza dinámica de internet, Ediciones SM no puede responsabilizarse de los cambios o lasmodificaciones en las direcciones y los contenidos de los sitios web a los que remite este libro.

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Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede serrealizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español deDerechos Reprográficos, www.cedro.org) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra, a excepciónde las páginas que incluyen la leyenda de “Página fotocopiable”.

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