4 Ekonometrika Sifat OLS

Program Studi StatistikaSemester Ganjil 2014

Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc 1

Sifat Penduga OLS bagi Slope

( ) ( )( ) ( ) ( )( )∑

∑∑∑ −

−=

−

−= ii

ii

ii YXXEXXXX

YXXEE 222

1β̂

( )( )( )

( ) ( )( )

( )( )∑

∑∑

∑∑∑

∑−

−=

−

−−−=

−

−−= 2222

ˆXX

YXXXX

XXYYXXXX

YYXX

i

ii

i

iii

i

iiβ

=0

( ) ( ) ( )ii

i

YEXXXX

∑∑

−−

= 2

1

( ) ( )( )ii

i

XXXXX 212

1 ββ +−−

= ∑∑

• Nilai harapan penduga

2Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

( ) ( ) ( )( )ii

i

XXXXX

E 2122

1ˆ βββ +−−

= ∑∑

( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]iii

i

XXXXXXX

E ∑∑∑

−+−−

= 2122

1ˆ βββ

=0

( )( ) 22

22 β

β=

−

−=

∑∑

XXXX

i

i( ) ( )( )∑

∑−

−= 2

22

ˆXX

XXXEi

iiββ

Sifat ketidakbiasan bagi penduga β2

3Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

• Ragam:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )∑

∑∑∑ −

−=

−

−= ii

ii

ii YXXXXXX

YXX var1varˆvar 2222β

( )( )( ) ( ) ( )ii

i

YXXXX

var1ˆvar 2

222 ∑∑

−−

=β ( ) ( )i

i

YXX

var12

∑ −=

( ) ( )∑ −= 2

2

2

ˆˆvarXX i

σβ

4Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Sifat Penduga OLS bagi Intersep

XY 21ˆˆ ββ −=

( ) ( )2β̂EXYE −=

• Nilai harapan penduga( ) ( )XYEE 21

ˆˆ ββ −=

( ) ( )2211ˆˆ ββββ EXXE −+= 1221 ββββ =−+= XX

Sifat ketidakbiasan bagi penduga β1

5Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

• Sebelum penentuan ragam bagi penduga intersep, perlu dicari terlebih dahulu:

( ) ( )[ ] ( )[ ]{ }221121ˆˆˆˆˆ,ˆcov ββββββ EEE −−=

( )( )2211ˆˆ ββββ −−= E

• Perhatikan bahwa:

XY 21ˆˆ ββ −= XY 21 ββ −=

• Sehingga: ( )2211ˆˆ ββββ −−=− X

( ) ( )2211ˆˆ ββββ −−=− EXE

6Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

• Hubungan tersebut digunakan pada kovarians:

( ) ( )( )221121ˆˆˆ,ˆcov ββββββ −−= E

• Ragam dari penduga intersep:

( )( )2222ˆˆ ββββ −−−= EX

( ) ( ) ( )22

2

2221ˆvarˆˆ,ˆcov ββββββ −−=−−= XEX

( ) ( )XY 21ˆvarˆvar ββ −= ( ) ( ) ( )22

2 ˆ,cov2ˆvarvar ββ YXXY −+=

( ) ( ) ( )22122 ˆ,ˆˆcov2ˆvarvar ββββ XXXY +−+=

( ) ( ) ( ) ( )222

2122 ˆ,ˆcov2ˆ,ˆcov2ˆvarvar βββββ XXXY −−+=

7Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

Karena kovarians dua peubah yang sama adalah ragam/varians dari peubah tsb

( ) ( ) ( ) ( ) ( )222

2122

1ˆ,ˆcov2ˆ,ˆcov2ˆvarvarˆvar ββββββ XXXY −−+=

( ) ( ) ( ) ( )2122

1ˆ,ˆcov2ˆvarvarˆvar ββββ XXY −−=

( ) ( ) ( )

−

−−

−−=

∑∑2

2

2

22

2

1

ˆ2

ˆˆˆvarXX

XXXX

Xn

ii

σσσβ

( ) ( )∑ −+= 2

22

2

1

ˆˆˆvarXX

Xn

i

σσβ ( )( )

−

+−=

∑∑

2

22

2ˆXXn

XnXX

i

iσ

( ) ( ) ( )

−=

−

+−=

∑∑

∑∑

2

22

2

2222

1 ˆˆˆvarXXn

XXXn

XnXnX

i

i

i

i σσβ

8Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc