4ª Ley

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TECSUP 2008

Simposio Internacional de Mineralurgia

Agosto 13-15, 2008. Lima, Perú _____________________________________________________________________________________

La ‘CUARTA LEY’ de laMOLIENDA/CLASIFICACION:

25 Años Después

Dr. Jaime E. SepúlvedaMoly-Cop Grinding Systems

SCAW Metals Group

PROLOGO

Hace aproximadamente unos 25 años atrás, mientras me

desempeñaba como Jefe de Proyectos de la División Mineralurgia delCentro de Investigación Minera y Metalúrgica (CIMM), inmerso en

intensas deliberaciones con mis colegas de esa época respecto de cómo

optimizar la eficiencia operacional de un circuito dado de molienda

convencional, llegué a concebir un nuevo concepto que coloquialmente

denominamos “La ‘Cuarta Ley’ de la Molienda/Clasificación”. Este fue

publicado por primera vez(1) en Noviembre de 1984 en el IV Simposio de

Molienda, organizado por la empresa ARMCO Chile S. A., a cuya

sucesora Moly-Cop Chile S. A. hoy pertenezco. Desde entonces, el criterio

de la ‘Cuarta Ley’ – que, como se detalla más adelante, contiene

recomendaciones específicas en cuanto a cómo operar los clasificadores

(hidrociclones) en su rol subsidiario a la operación del molino - ha sidopara mí un tópico recurrente en mis reiterados contactos con diversos

operadores de plantas concentradoras en diferentes localidades del

mundo minero, lo que ha ciertamente marcado mi desarrollo profesional

y personal. Por lo mismo, 25 años después, tomándome la libertad de

contrariar los cánones habituales, he optado por escribir la presente

publicación en primera persona con el único propósito de poder expresar

de mejor forma la trastienda de la génesis, los fundamentos teóricos, los

beneficios esperados y la puesta en práctica del mencionado criterio

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optimizante. Sinceramente, espero que el adoptar tal opción no sea

interpretado como un acto de excesivo personalismo o auto-referencia de

mi parte.

A comienzos de la década de los ’80, la División El Teniente de

CODELCO encargó a CIMM el desarrollo de un modelo matemático y un

simulador digital de sus procesos de molienda convencional en su

Concentradora Colón, con el principal propósito de maximizar la

capacidad de tratamiento de cada una de sus 12 secciones de molienda/

clasificación; configuradas bajo el tradicional esquema ‘DIRECTO’

(alimentación fresca ‘directa’ al molino) representado en la Figura 1

siguiente.

gua

limentación

Fresca

Descarga

limentación

iclones

Rebose

4

3

2

5

7

6

1

5

gua

limentación

Fresca

Descarga

limentación

iclones

Rebose

4

3

2

5

7

6

1

5

Figura 1. Representación esquemática de un circuito de molienda/

clasificación convencional bajo la configuración ‘DIRECTA’.

Interesaba además explorar algunas alternativas de doble

ciclonaje; específicamente, la reclasificación del flujo de descarga

(‘underflow’) de los hidrociclones a fin de reducir el retorno de partículas

finas a los molinos y su consecuente e innecesaria remolienda. Cuando

el modelo estuvo formulado y el simulador debidamente estructurado,

nos enfrentamos a la disyuntiva de determinar las deseadas condiciones

de operación y diseño requeridas para la óptima operación de las

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secciones de molienda. Habíamos identificado más de diez variables que

podían afectar la eficiencia del proceso; sin embargo, desconociendo las

complejas interrelaciones entre tan alto número de variables, llegamos

pronto a la inesperada conclusión que – a pesar de disponer de un

adecuado simulador del proceso - el problema planteado era práctica-

mente insoluble, dado que carecíamos de algún criterio selectivo que nos

guiara en la búsqueda del conjunto de condiciones operacionales

óptimas. La búsqueda ‘a ciegas’ involucraría miles y miles de

simulaciones. Como recuerdo, esa fue nuestra primera constatación de

que las llamadas ‘Leyes de la Conminución’(2-5) – incluida la de F. C.

Bond(4) – no aportaban a la solución del problema planteado,

simplemente porque éstas no abordan el rol global del agua en el

proceso.

EN BUSQUEDA DE LA EVIDENCIA EMPIRICA

Decidimos salir a terreno a preguntar a los ‘molineros’ sus ideales

y creencias en cuanto a las prácticas operacionales de sus circuitos de

molienda/clasificación para el cumplimiento de sus respectivas ‘tareasde molienda’; definidas éstas como el objetivo de convertir la mayor

cantidad de toneladas de mineral de una cierta fineza de alimentación

(F80) aportada por la etapa previa del proceso (típicamente chancado,

molienda SAG o barras) a una determinada fineza de producto (P80)exigida por la etapa siguiente (típicamente flotación). Eran los años en

que podíamos ingresar con cierta facilidad a las faenas para realizar

muestreos, balances y todo tipo de experiencias, particularmente en las

faenas más antiguas y de menor tamaño. Eran los años en que no se

consideraba necesario gastar una jornada completa o incluso más en

preparativos de seguridad (incluyendo el observar videos más bien auto-

promocionales, de bajo contenido específico en cuanto a prevención de

accidentes) antes de poder ponernos ‘manos a la obra’. Eran los años en

que los molinos y sus instalaciones anexas eran todavía relativamente

pequeños y los puntos de muestreo eran físicamente alcanzables, sin

asumir mayores riesgos personales. El gigantismo de hoy ha impuesto

serias limitantes para este tipo de actividades sobre todo porque, al

parecer, los diseñadores de nuevas instalaciones no considerarían

importante proveer acceso seguro a los distintos puntos relevantes para

un muestreo detallado del circuito; como por ejemplo el flujo de descarga

del molino o la alimentación a los ciclones.

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‘cortocircuito’ de agua que los acompaña (Bpw). Por lo tanto, los

operadores concordaban también en que es preciso controlar la densidad

de pulpa (o equivalentemente, el % de sólidos) en el flujo de descarga al

máximo posible. No existía consenso, sin embargo, si esta condición

operacional era suficientemente relevante para justificar el incremento

del contenido de sólidos en la descarga de los hidrociclones, arriesgando

así alcanzar la indeseable condición de ‘acordonamiento’. Algunos

manifestaban su preferencia de operar con descargas más diluidas, no

obstante el mayor cortocircuito de ‘finos’ retornados. Más

específicamente, al menos un par de operadores indicaron la

conveniencia de operar los hidrociclones de manera tal que el ángulo

incluido del cono de descarga oscile en el rango de 30° a 35°. Cabe

mencionar que, posteriormente, se han desarrollado variados diseños desensores(6) para la medición y control de dicho ángulo.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

10 100 1000

Tamaño de Partícula, m

% a l a

D e s c a r g a

By-Pass de Pulpa (B

pf

)

By-Pass de Agua (B

pw

)

Eficiencia de Clasificación

B

pf

5

7

6

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

10 100 1000

Tamaño de Partícula, m

% a l a

D e s c a r g a

By-Pass de Pulpa (B

pf

)

By-Pass de Agua (B

pw

)

Eficiencia de Clasificación

B

pf

5

7

6

Figura 2. Representación esquemática del ‘cortocircuito’ de pulpa desde

la alimentación a la descarga de un hidrociclón.

En cuanto a la carga circulante desarrollada por el circuito,

detectamos que curiosamente existía respecto de ésta una percepción

negativa bastante generalizada. Aquellos circuitos donde la carga

circulante era relativamente alta eran considerados menos eficientes que

aquellos donde ocurría lo contrario. Como anécdota, recuerdo el caso de

un operador que me manifestó su orgullo porque, en su sistema,

mantenían la carga circulante lo más baja posible y que ésta nunca

sobrepasaba el 250% (!). Recuerdo también su cara de consternación

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cuando le propuse que, si él prefería las cargas circulantes bajas, por

qué no eliminaba del todo los hidrociclones y así tendrían carga

circulante cero ... Lo cierto es que los clasificadores, cualquiera sea su

principio o diseño, fueron incorporados a los circuitos de molienda hace

muchas décadas por una buena razón: evitar la salida de partículas

demasiado gruesas hacia la etapa posterior del proceso. Pero ello trajo

consigo un efecto secundario todavía más relevante: incrementar el flujo

circulante a través del molino para así mantener el molino limpio de

aquellas partículas que ya hayan alcanzado suficiente fineza, las que al

ser presentadas con mayor frecuencia a los clasificadores tienen también

mayores oportunidades de abandonar el circuito como producto final de

rebose. Con alta carga circulante, las bolas en el molino actúan

preferentemente sobre las partículas más gruesas que todavía necesitanser fracturadas, evitándose al mismo tiempo la sobremolienda de las

partículas más finas, simplemente porque el contenido porcentual de

estas últimas en el interior del molino es lo más bajo posible, para una

‘tarea de molienda’ dada. Considerando que el patrón de flujo de pulpa a

través de un molino de determinadas dimensiones se aproxima bastante

al denominado modelo de ‘mezclador perfecto’ (caracterizado por el hecho

de que la composición de su contenido es muy similar a la composición

de su flujo de descarga), operar un molino en circuito abierto (es decir,

sin clasificadores) implicaría aplicar toda la energía de molienda

contenida por la carga de bolas sobre un conjunto de partículas cuya

granulometría sería necesariamente muy cercana a la especificación delproducto final molido. Resulta fácil visualizar que ésta sería una

condición extremadamente ineficiente desde el punto de vista del

consumo de energía.

Sin duda, la condición operacional que suscitaba mayor polémica

era la referida a la densidad de pulpa (o % de sólidos) en el flujo de

alimentación a los hidrociclones. No tan polémica entre los ‘molineros’ de

las diversas faenas encuestadas sino más bien, entre los ‘molineros’ y los

‘cicloneros’, por así denominar a los fabricantes/proveedores de

hidrociclones. En base a sus propias observaciones empíricas, los

‘molineros’ reconocían que una alta densidad de alimentación a ciclones

(típicamente en el rango de 60-65 % sólidos (en peso) en el caso de

minerales de densidad 2.7-2.8 gr/cm3; es decir 35-40% sólidos (en

volumen)), generalmente asociada a altos niveles de carga circulante, les

permitía mejorar la capacidad de tratamiento de sus secciones de

molienda; y por ende, optimizar la Eficiencia Energética de sus

procesos. Por otra parte, los ‘cicloneros’ sostenían (y aún sostienen) que,

con el propósito de incrementar la eficiencia de los hidrociclones

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A manera de enunciado, el criterio de la ‘Cuarta Ley’ simplemente

postula que:

“Para una óptima eficiencia energética del proceso demolienda, se requiere que el contenido de partículasfinas en el interior del molino sea tan bajo como seaposible ... para una tarea de molienda dada.”

Como intento demostrar en los párrafos siguientes, este objetivo

puede ser siempre alcanzado operando el circuito al mínimo posible %Sólidos en el Rebose (utilizando el máximo de agua y/o capacidad de

bomba disponibles) y el máximo posible % Sólidos en la Descarga de

los hidrociclones (reduciendo el diámetro de los ápices a su mínimadimensión, un poco antes de alcanzar la condición de ‘acordonamiento’).

Una vez impuestas estas dos condiciones base, el % Sólidos en laAlimentación a los Ciclones y la Carga Circulante adoptarán valores

óptimos consistentes con el balance de masas del sistema que, como se

demuestra más adelante, impone la relación (ver Figura 2):

(1 + CCopt)

(f s5)opt = ―――――――――――――――――― (1)

1/(f s7)min + CCopt/(f s6)max

donde:

f sk = fracción (en peso) de sólidos en el flujo k, %/100

CC = fracción de carga circulante, definida como la razón

entre el flujo másico de descarga (Flujo 6) de los

hidrociclones y el flujo másico de rebose (Flujo 7) de

los mismos, %/100.

Emprendimos entonces la desafiante tarea de fundamentar la

‘Cuarta Ley’ y todas sus implicancias prácticas sin recurrir a complejos

modelos teóricos del proceso de molienda/clasificación; cuya

aplicabilidad a casos reales estaba siendo de momento cuestionada.

Con tal propósito, optamos por apoyarnos en los siguientes tres

supuestos base, todos ellos de amplia aceptación práctica:

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1. Relación Energía / Tamaño de Producto.

La fineza del producto molido es función directa de la energía

específica (kWh/ton) aplicada a las partículas; consistente con lo

establecido por las citadas ‘Leyes de la Conminución’ (2-5) .

2. Aleatoriedad del Impacto.

Las bolas que constituyen la carga del molino impactan (y

comprimen) aleatoriamente a todas las partículas presentes en el

molino, distribuyendo el total de la energía cinética/potencial por

ellas contenida entre las distintas fracciones granulométricas, en

directa proporción a la concentración relativa de estas últimas.

3. Proporcionalidad de los ‘Cortocircuitos’ de Finos y Agua.

El ‘cortocircuito’ de ‘finos’ (Bpf ) a la descarga de los hidrociclones

(ver Figura 2) es directamente proporcional al correspondiente

‘cortocircuito’ de agua (Bpw):

Bpf = λ Bpw (2)

donde la constante de proporcionalidad λ normalmente alcanza

valores cercanos y menores que 1. De hecho, los analistas deproceso han tradicionalmente asumido λ = 1, con excepción de los

que en esos años trabajábamos en CIMM, quienes sobre la base de

nuestras propias observaciones(5) generalizamos la Ecuación 2 para

un valor de λ cualquiera.

Sobre la base de los supuestos 1 y 2 así enunciados, se desprende

necesariamente que, con el propósito de maximizar la velocidad demolienda de las partículas más gruesas (que todavía requieren ser

fracturadas), éstas deben ser predominantes en la carga. Igualmente,

con el propósito de evitar la sobremolienda de las partículas másfinas (que ya no requieren ser fracturadas), su presencia relativa en lacarga debe ser tan baja como sea posible, tal como indica el criterio de

la ‘Cuarta Ley’ arriba enunciado ... teniendo siempre en mente que sedebe cumplir con la tarea de molienda preestablecida. Esto último es

muy importante de considerar, porque sería de hecho muy fácil

mantener el molino limpio de ‘finos’ si la especificación de tamaño del

producto molido no obligara a generarlos para cumplir con dicha tarea.

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La conexión entre la aceptación del enunciado criterio de la ‘Cuarta

Ley’ y sus implicancias respecto de las condiciones operacionales del

circuito que aseguren su debida implantación queda ilustrada por la

serie de 3 balances de materiales que presento a continuación para el

caso particular de un circuito de configuración ‘DIRECTA’ como el

representado en la Figura 1 anterior, haciendo notar que las mismas

conclusiones se obtendrían si tomara como base cualquier otra

configuración de circuito. No consideramos que recurrir a estos balances

quebraría nuestro firme propósito de no utilizar modelos matemáticos,

puesto que para su formulación sólo requerimos asumir ‘estado

estacionario’ y nada más.

1. Balance de Tonelajes Secos (MSk).

A estado estacionario, con referencia a la Figura 1, las siguientes

relaciones de balance deben necesariamente cumplirse:

MS1 + MS6 = MS2

MS2 = MS3

MS3 = MS5 (3)

MS5 = MS6 + MS7

MS6 = CC MS7

donde MSk representa el flujo másico (ton secas/hr) de mineral en elFlujo k y donde la última ecuación es simplemente la definición de Carga

Circulante. No fue casual que hayamos aislado la carga circulante como

una variable independiente dado que ésta fuera reconocida por los

operadores como una condición relevante del proceso que podría llegar a

limitar su rendimiento y respecto de la cual detectamos que no existía

pleno consenso entre los operadores respecto de su nivel óptimo

operacional.

Las Ecuaciones 3 constituyen un sistema lineal de 5 ecuaciones y

5 incógnitas, tomando MS1 y CC como variables independientes, cuya

solución está dada por:

MS1 = MS1 (dado)

MS2 = (1 + CC) MS1

MS3 = (1 + CC) MS1

MS4 = 0 (sólo agua) (4)

MS5 = (1 + CC) MS1

MS6 = (CC) MS1

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MS7 = MS1

2. Balance de Pulpas (MPk).

Nuevamente, con referencia a la Figura 1 anterior, las siguientes

relaciones de balance deben necesariamente cumplirse:

MP1 + MP6 = MP2

MP2 = MP3

MP3 + MP4 = MP5

MP5 = MP6 + MP7 (5)

MP1 = MS1 / f s1

MP6 = MS6 / f s6 MP7 = MS7 / f s7

donde MPk representa el flujo másico (ton/hr) de pulpa mineral en el

Flujo k (nótese que el Flujo 4 es sólo agua) y donde las últimas 3

ecuaciones son simplemente la definición de la fracción (porcentaje) de

sólidos para los flujos indicados. De esta manera, aislamos

intencionalmente como variables independientes a f s6 (fracción de Sólidos

en la descarga) y f s7 (fracción de sólidos en el rebose) que – al igual que la

carga circulante - fueran reconocidas por los operadores como relevantes

para el rendimiento del proceso. La variable f s1 no es relevante y estará

siempre determinada por defecto a partir de la humedad del mineral dealimentación fresca.

Las Ecuaciones 5 constituyen un sistema lineal de 7 ecuaciones y

7 incógnitas, tomando MS1, CC, f s1, f s6 y f s7 como variables

independientes, cuya solución está dada por:

MP1 = MS1/f s1

MP2 = (1/f s1 + CC/f s6) MS1

MP3 = (1/f s1 + CC/f s6) MS1

MP4 = (1/f s7 - 1/f s1) MS1 (6)

MP5 = (CC/f s6 + 1/f s7) MS1

MP6 = (CC/f s6) MS1

MP7 = (1/f s7) MS1

Combinando adecuadamente las Ecuaciones 4 y 5 se confirma que

la estructura de la Ecuación 1 se valida en el balance de materiales del

sistema al obtener:

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12

(1 + CC)

(f s5) = ――――――――――――― (7)

1/(f s7) + CC/(f s6)

aunque todavía falta por demostrar que la condición de optimalidad del

circuito se alcanza cuando f s6 toma valores máximos y f s7 valores

mínimos.

La Figura 3 ilustra los rangos típicos de valores de las distintas

condiciones operacionales bajo consideración, según lo establecido por la

Ecuación 7. Para un determinado nivel de carga circulante constante,

una disminución del % Sólidos de rebose (agregando más agua al

circuito) o una disminución del % Sólidos de descarga (modificando elnúmero, tamaño o geometría de los hidrociclones en la batería) se

traduciría en una disminución del % Sólidos de alimentación a ciclones;

condición de interés para los ‘cicloneros’ aunque en todo caso, muy por

sobre el máximo normalmente recomendado por ellos para este tipo de

clasificadores. Más aún, cabe reconocer que en circuitos reales, CC, f s6 y

f s7 no son variables independientes entre sí. De hecho, dos cualesquiera

de ellas determinan el valor de la tercera (algo que ... debo confesar ...

ignorábamos cuando iniciamos nuestros primeros análisis sobre el tema) .

De manera tal que, en la práctica operacional, tanto la dilución del

rebose como de la descarga de los hidrociclones implica siempre un

aumento de la carga circulante que viene a compensar cualquier diluciónposible del flujo de alimentación a los mismos, según la Ecuación 7. En

otras palabras, no es posible diluir significativamente la alimentación a

ciclones. No importa cuanta agua podamos agregar o quitar del sistema,

el contenido de sólidos en este flujo tiende a auto-compensarse y se

mantiene relativamente constante. Así, ningún ‘molinero’ debiera

sentirse culpable o avergonzado porque el % de Sólidos en la

alimentación a ciclones oscile siempre en torno a valores relativamente

altos, en el rango de 35 – 40% (en volumen).

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13

45

50

55

60

65

70

75

80

30 32 34 36 38 40 42 44 46 48

% Sólidos de Rebose

% S ó l i d o s d e A l i m e n t a c i ó n

% SólidosDescarga

80

7672807672

CC

5

2 f s5 =(1 + CC)

1/f s7 + CC/f s6

Respuest a de un Sist ema Real


45

50

55

60

65

70

75

80

30 32 34 36 38 40 42 44 46 48


% S ó l i d o s d e A l i m e n t a c i ó n

% SólidosDescarga

80

7672807672

CC

5

2 f s5 =(1 + CC)

1/f s7 + CC/f s6



Figura 3. Relación de balance entre las diluciones de alimentación,

rebose y descarga de un hidrociclón y la carga circulante

desarrollada por el circuito, según la Ecuación 7.

Por otra parte, resulta paradójico constatar que la vasta mayoría

de los sistemas de control automático de estos procesos tienen como

objetivo de al menos uno de sus lazos básicos de control ... estabilizar

una variable que se estabiliza sola (!).

Por combinación de las Ecuaciones 4 y 6 anteriores es posible

además observar la influencia de las variables CC, f s6 y f s7 sobre el

‘cortocircuito’ de agua Bpw, el que queda totalmente determinado por la

expresión:

CC (1/f s6 -1)

Bpw = ――――――――――――――――――

(8)(1/f s7 -1) + CC/(1/f s6 - 1)

El ‘cortocircuito’ o ‘by-pass’ de agua (Bpw), considerado por muchos

como indicativo de la ‘Ineficiencia de Clasificación’, podría entonces ser

reducido – para complacencia de los ‘cicloneros’ – diluyendo el flujo de

rebose y espesando el flujo de descarga de los hidrociclones, tal como se

ilustra en la Figura 4 ... siempre y cuando la carga circulante

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permaneciera constante. Sin embargo, como ya se mencionara, la

respuesta natural de los sistemas reales es que aumente la carga

circulante a medida que se diluye el rebose. En consecuencia, Bpw – al

igual que f s5 - resulta auto-compensado y se mantiene en un rango de

valores relativamente constante, como se sugiere también en la Figura 4.

Nuevamente, ningún ‘molinero’ debiera sentirse culpable o avergonzado

porque el ‘cortocircuito’ de sus ciclones oscile siempre en torno a valores

relativamente altos, en el rango de 35 – 40% ... es simplemente lo que

determina el balance de materiales del sistema.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

30 32 34 36 38 40 42 44 46 48


B y - P a s s d e A g u a , ° / 1 Bpw =

CC (1/f s6 - 1)

(1/f s7 - 1) + CC (1/f s6 - 1)

% Sólidos

Descarga

727680

727680

CC

5

2

Respuesta de un Sistema RealRespuesta de un Sistema Real

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

30 32 34 36 38 40 42 44 46 48


B y - P a s s d e A g u a , ° / 1 Bpw =

CC (1/f s6 - 1)

(1/f s7 - 1) + CC (1/f s6 - 1)Bpw =

CC (1/f s6 - 1)

(1/f s7 - 1) + CC (1/f s6 - 1)Bpw =

CC (1/f s6 - 1)

(1/f s7 - 1) + CC (1/f s6 - 1)

% Sólidos

Descarga

727680

727680

CC

5

2

Respuesta de un Sistema RealRespuesta de un Sistema Real

Figura 4. Relación de balance entre el ‘cortocircuito’ de agua y las

diluciones de rebose y descarga de un hidrociclón y la carga

circulante desarrollada por el circuito, según la Ecuación 8.

3. Balance de Finos (mk).

Los primeros dos grupos de ecuaciones de balance arriba

presentados permitieron descartar las condiciones de dilución del flujode alimentación a ciclones y el ‘cortocircuito’ de agua a la descarga de los

mismos como condiciones relevantes para la optimalidad global del

circuito.

Requeríamos entonces encontrar otra condición operacional que

pudiéramos relacionar directamente con un mejor rendimiento del

circuito de molienda/clasificación. En este contexto, el criterio de

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optimalidad que dio origen a la ‘Cuarta Ley’ hace directa referencia al

contenido de ‘finos’ en la carga del molino, al postular:

... con el propósito de evitar la sobremolienda de laspartículas más finas, su presencia relativa en la cargadebe ser tan baja como sea posible ...

definiendo, para tales efectos, el contenido de ‘finos’ como el porcentaje

(en peso) de partículas menores que la abertura de la última malla de la

serie de tamices utilizados (típicamente, el % - 325# o el % - 400#). Nos

preguntamos entonces si sería también posible establecer ecuaciones de

balance para los ‘finos’ que nos permitieran relacionar la tarea global de

molienda (caracterizada para estos efectos por la dupla de valoresconocidos ‘F1 = % Finos en la Alimentación Fresca’ y ‘F7 = % Finos en el

Rebose’) con el correspondiente contenido de ‘finos’ en el interior del

molino y las demás condiciones operacionales que lo determinan (CC, f s6

y f s7).

Más aún, tomando en consideración que el flujo de pulpa a través

de un molino cualquiera es altamente turbulento - aproximándose

claramente más a un régimen de ‘mezclador perfecto’ que a uno de ‘flujo

pistón’ - concluimos que la única forma de mantener su contenido

interior libre de ‘finos’ es asegurando que su flujo de descarga (Flujo 3 en

Figura 1) contenga también un mínimo de partículas finas ... teniendosiempre presente que se debe cumplir con la tarea de molienda

preestablecida.

Así logramos establecer las siguientes relaciones de balance, a

estado estacionario, para las partículas más finas presentes en un

circuito como el representado en la Figura 1:

m1 + m6 = m2

m3 = m5

m5 = m6 + m7 (9)

m6 = Bpf m5

donde mk representa el flujo másico de ‘finos’ en el Flujo k.

A las Ecuaciones 9 se agrega la Ecuación 2 del Postulado 3 arriba

enunciado:

Bpf = λ Bpw (2)

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para conformar así un sistema lineal de 5 ecuaciones y 5 incógnitas

(reconociendo que m1 y m7 son conocidos y definidos por la ‘tarea de

molienda’) cuya solución está dada por:

m1 = m1 (dado)

m2 = m1 + [ λBpw/(1-λBpw)] m7

m3 = [ 1/(1-λBpw)] m7

m4 = 0 (sólo agua) (10)

m5 = [ 1/(1-λBpw)] m7

m6 = [λBpw/(1-λBpw)] m7

m7 = m7 (dado)

En particular, la tercera de estas expresiones - junto con la

Ecuación 8 que define Bpw y la tercera de las Ecuaciones 4 que define

MS3 - nos permitieron finalmente obtener la deseada relación para la

fracción de ‘finos’ en la descarga del molino (F3):

F7 [(1/f s7 - 1) + CC (1/f s6 - 1)]

F3 = m3/MS3 = ―――――――――――――――――――――――――― (11)

(1+CC) [(1/f s7 - 1) + (1 - λ)CC (1/f s6 - 1)]

Finalmente, un análisis de sensibilidad detallado de esta ecuación

– con el apoyo gráfico de la Figura 5 – nos vino a demostrar que el

criterio básico de la ‘Cuarta Ley’ en cuanto a que el contenido de ‘finos’

en el flujo de descarga del molino debe ser tan bajo como sea posible se

satisface plenamente cuando el circuito es operado al mínimo posible %Sólidos en el Rebose (utilizando el máximo de agua y/o capacidad de

bomba disponibles) y el máximo posible % Sólidos en la Descarga de

los hidrociclones (reduciendo el diámetro de los ápices a su mínima

dimensión, evitando el riesgo de ‘acordonamiento’). Una vez impuestas

estas dos condiciones base, el % Sólidos en la Alimentación a losCiclones y la Carga Circulante adoptarán valores óptimos consistentes

con el balance de masas del sistema (ver Ecuación 1).

7/21/2019 4ª Ley


17

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.22

0.24

0.26

0.28

30 32 34 36 38 40 42 44 46 48


% F i n o s e n D e s c . M o l i n o

F3 =(1/f s7 - 1) + CC (1/f s6 - 1)

(1/f s7 - 1) + (1 - )CC (1/f s6 - 1)

F7

(1 + CC)

% Sólidos

Descarga

72

76

80

72

76

80

CC

2

5

R e s p u e

s t a d e

u n S i s

t e m a R

e a l

R e s p u e

s t a d e

u n S i s

t e m a R

e a l

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

0.20

0.22

0.24

0.26

0.28

30 32 34 36 38 40 42 44 46 48


% F i n o s e n D e s c . M o l i n o

F3 =(1/f s7 - 1) + CC (1/f s6 - 1)

(1/f s7 - 1) + (1 - )CC (1/f s6 - 1)

F7

(1 + CC)F3 =

(1/f s7 - 1) + CC (1/f s6 - 1)

(1/f s7 - 1) + (1 - )CC (1/f s6 - 1)

F7

(1 + CC)F3 =

(1/f s7 - 1) + CC (1/f s6 - 1)

(1/f s7 - 1) + (1 - )CC (1/f s6 - 1)

F7

(1 + CC)

% Sólidos

Descarga

72

76

80

72

76

80

CC

2

5

R e s p u e

s t a d e

u n S i s

t e m a R

e a l

R e s p u e

s t a d e

u n S i s

t e m a R

e a l

Figura 5. Relación de balance entre el contenido de ‘finos’ en el flujo de

descarga del molino y las diluciones de rebose y descarga de

un hidrociclón y la carga circulante desarrollada por el

circuito, según la Ecuación 11.

En efecto, en el caso hipotético ilustrado en la Figura 5, sería

posible reducir a la mitad (de 20% a 10%) el contenido de ‘finos’ en la

descarga del molino incrementando la dosificación total de agua al

circuito (para reducir el % Sólidos de rebose de 46% a 32%) y reduciendo

el número de ciclones en la batería o cerrando adecuadamente los ápices

(para incrementar el % Sólidos de descarga de 72% a 80%). La carga

circulante del sistema naturalmente aumentaría como consecuencia del

incremento en el flujo de agua suministrado al circuito, aportando

significativamente al objetivo de reducción del contenido de ‘finos’ en la

descarga del molino. El mayor grado de cumplimiento de tal objetivo –

según la ‘Cuarta Ley’ – sería beneficioso en términos de productividad del

circuito para una determinada ‘tarea de molienda’. Como se discute en

detalle más adelante, la puesta en práctica de estas mejoras estarásiempre supeditada a la capacidad de la bomba - que actúa como un

verdadero ‘corazón’ del circuito - para manejar la mayor carga circulante

desarrollada.

El haber descubierto la forma de ligar el cumplimiento del criterio

optimizante a las condiciones operacionales que lo determinan – a través

de los distintos balances de materiales presentados; particularmente el

último grupo – fue ciertamente un gran ‘breakthrough’ o paso adelante

7/21/2019 4ª Ley


18

en la búsqueda de condiciones óptimas para la operación de un circuito

de molienda/clasificación cualquiera.

VERIFICACION EXPERIMENTAL

Intuitivamente, los postulados que dieron origen al criterio de la

‘Cuarta Ley’ parecían entonces correctos y ahora, 25 años después, estoy

firmemente convencido de que así lo son. Hoy en día, nadie podría

argumentar con base que en los sistemas de molienda/clasificación no

exista una directa relación entre la energía específica (kWh/ton)

suministrada y la ‘tarea de molienda’, que el impacto (contacto) de las

bolas entre sí no sea esencialmente aleatorio y que el cortocircuito de‘finos’ no sea proporcional al cortocircuito de agua a la descarga de los

ciclones. No son supuestos realmente restrictivos, a la luz del

entendimiento que hoy existe respecto de estos sistemas, pero sí son

supuestos suficientes para sustentar la validez de la postulada ‘Cuarta

Ley’. Resulta lógico entonces concluir que “el que poco asume, poco se

aleja de la verdad y por tanto, poco tiene que demostrar”. No obstante, la

tentación de verificar experimentalmente la aplicabilidad de nuestra

‘Cuarta Ley’ fue del todo irresistible.

Durante 1987, tanto Cía. Minera Carolina de Michilla como

CODELCO, División El Teniente, ambas empresas Chilenas, aceptarondesarrollar extensos programas experimentales a escala industrial

tendientes a confirmar la aplicabilidad de la ‘Cuarta Ley’ (9,10) .

No fue fácil recopilar todos los antecedentes experimentales

requeridos en una base comparativa, libre de las diversas distorsiones

operacionales enfrentadas durante cada campaña de muestreo;

particularmente en cuanto a asegurar que todas las condiciones

ensayadas entregaban una misma ‘tarea de molienda’ preestablecida.

Para superar este inconveniente, decidimos apoyarnos en Bond (4) ,

tomando como indicador representativo del rendimiento operacional del

circuito su Indice de Trabajo Operacional (Wio, kWh/ton), definido como:

Wio = (E/10)/(1/P800.5 – 1/F80

0.5) (12)

donde E representa el consumo específico de energía suministrada al

circuito, expresado normalmente en kWh/ton molida. Sobre esta base

fue posible homologar el conjunto de resultados obtenidos, bajo el

7/21/2019 4ª Ley


19

supuesto de que el Wio es relativamente invariante frente a leves

variaciones en la ‘tarea de molienda’ definida por la dupla de valores

(F80, P80).

Primeramente, la Figura 6 presenta los resultados obtenidos en

Carolina de Michilla(9) donde los ensayos se llevaron a cabo en un molino

de 10’ φ x 11.5’ con motor de 520 kW que operaba en circuito cerrado con

1 ciclón de 20”φ, bajo la configuración ‘DIRECTA’, a una tasa de

tratamiento nominal de 30 ton/hr. En ellos se observó una clara

tendencia entre el contenido de ‘finos’ en el molino y el Indice de Trabajo

Operacional del circuito, revelando un potencial de optimización del

orden de un 26% de reducción en el Wio como consecuencia de una

reducción del 30% al 15% - 325# en el flujo de descarga del molino.

8

10

12

14

16

18

20

6 10 14 18 22 26 30 34 38

% -325 # en Descarga Molino

I n d i c e d e T r a b a j o O p e r a c i o n a l ,

k

W h / t o n

Baja (<300%)

Media

Alta (>400%)

Carga Circulante

8

10

12

14

16

18

20

6 10 14 18 22 26 30 34 38

% -325 # en Descarga Molino

I n d i c e d e T r a b a j o O p e r a c i o n a l ,

k

W h / t o n

Baja (<300%)

Media

Alta (>400%)

Carga Circulante

Figura 6. Efecto del contenido de ‘finos’ en la descarga del molino sobre

el Indice de Trabajo Operacional, sobre la base de muestreos

realizados en Minera Carolina de Michilla.

Complementariamente, la Figura 7 confirma que incrementos en el

% Sólidos de descarga de los ciclones, sumado a incrementos en la carga

circulante, se traducen en un menor contenido de ‘finos’ en la descarga

del molino. Como cabe esperar, el incremento de carga circulante estuvo

asociado a una mayor dilución del rebose. De hecho, los valores hacia el

extremo derecho del gráfico (menores % - 325# en Descarga Molino)

7/21/2019 4ª Ley


20

corresponden a los muestreos realizados con mayor adición de agua al

circuito, tal como postula el criterio de la ‘Cuarta Ley’.

10

14

18

22

26

30

34

38

66 70 74 78 82 86

% Sólidos en la Descarga

% - 3 2 5 # e

n D e s c a r g a M o l i n o

Baja (<300%)

Media

Alta (>400%)

Carga Circulante

10

14

18

22

26

30

34

38

66 70 74 78 82 86

% Sólidos en la Descarga

% - 3 2 5 # e

n D e s c a r g a M o l i n o

Baja (<300%)

Media

Alta (>400%)

Carga Circulante

Figura 7. Efecto del % Sólidos en la descarga de los hidrociclones sobre

el contenido de ‘finos’ en la descarga del molino, sobre la base

de muestreos realizados en Minera Carolina de Michilla.

Análogamente, la Figura 8 presenta resultados experimentales

correspondientes a los ensayos realizados paralelamente en CODELCO,

División El Teniente(10) , específicamente en la Sección 2 de su

Concentradora Colón, consistente en un molino de 14.5’ φ x 24’ que

operaba en circuito cerrado con 5 ciclones de 20”φ y bomba de velocidad

variable, bajo la configuración ‘DIRECTA’, a una tasa de tratamiento

nominal de 160 ton/hr. Los antecedentes recopilados ratifican las

mismas observaciones desprendidas de la Figura 6 anterior; es decir, que

es posible reducir significativamente el Indice de Trabajo Operacional al

implantar las condiciones sugeridas por el criterio de la ‘Cuarta Ley’tendientes a reducir el contenido de ‘finos’ en la descarga del molino.

7/21/2019 4ª Ley


7/21/2019 4ª Ley


7/21/2019 4ª Ley


23

En términos prácticos, el verdadero valor del conocimiento teórico

queda demostrado por su potencial para guiar a los responsables del

proceso en la adopción de acciones concretas que apunten a mejorar sus

niveles de rendimiento operacional. En otras palabras, el marco teórico

establecido para el análisis de un problema particular cualquiera debe

aportar respuestas a la pregunta:

- Y ahora .... ¿Qué se puede hacer distinto para mejorar?

Definitivamente, el rol principal del Ingeniero de Procesos de una Planta

Concentradora no es – como lamentablemente hoy muchas veces se

observa - preparar decenas y decenas de informes rutinarios que rara vez

alguien pudiera leer con algún grado de detención. Muy por el contrario,el rol del Ingeniero de Procesos es fundamentalmente ‘digerir’ la

información operacional disponible y complementar sus bases de datos

según juzgue necesario para luego concentrarse en idear y preseleccionar

alternativas de optimización de su proceso.

En 1994, acogiendo la invitación de SAMARCO Mineraçao de

Brasil, preparé un listado de recomendaciones específicas que

correctamente adoptadas debieran conducir a alcanzar el objetivo

permanente de optimizar la productividad de los circuitos de molienda

fina convencional. Tales recomendaciones abarcan desde lo más obvio,

como el ajuste del nivel de carga en los molinos, hasta lo más complejo,como es la implantación de avanzados sistemas de control operacional

experto. Con un propósito netamente didáctico, denominé este listado

como “Diez ‘Mandamientos’ para Mejorar la Productividad de sus

Molinos”(11) . En este contexto, la ‘Cuarta Ley’ aportó específicamente tres

de tales ‘Mandamientos’:

Mandamiento # 6.Maximizar el Contenido de Sólidos en la Descarga de los Ciclones.

La postulada ‘Cuarta Ley’ indica la conveniencia de mantener la

densidad de la pulpa de descarga de la batería de hidrociclones lo más

alta posible, sin llegar a alcanzar la indeseable condición de

‘acordonamiento’, momento en que la descarga se obstruye y los ciclones

comienzan a desviar la totalidad de la alimentación al flujo de rebose. En

cada aplicación particular, los operadores deben determinar por la vía

empírica el límite máximo de operación segura, el que normalmente cae

en el rango de 56% - 60% Sólidos (en volumen) para los ciclones

verticales más tradicionales y hasta 65% - 67% Sólidos (en volumen)

7/21/2019 4ª Ley


24

para los mismos ciclones pero inclinados (casi horizontales) o los

denominados ‘de fondo plano’. De hecho, la principal ventaja de estas

dos variedades de instalación o diseño de clasificadores es que permiten

operar a mayores densidades de descarga que con ciclones verticales y

lograr así un mayor grado de cumplimiento de lo indicado por la ‘Cuarta

Ley’.

Con el apoyo del simulador BallSim_Direct incorporado al paquete

de software Moly-Cop Tools(12) , la Tabla 1 presenta los resultados de una

serie de simulaciones del efecto esperado de incrementar la densidad de

la descarga de los hidrociclones en el rango de 72% a 80% Sólidos (en

peso), lo que se traduciría en un incremento de 3.3% en la capacidad de

tratamiento del circuito, para la misma ‘tarea de molienda’ (P80 = 180 μm,constante). Tal vez de mayor relevancia, en caso de existir una capacidad

limitada de bombeo, sería la consecuente reducción en la carga

circulante lo que permitiría aumentar la dosificación de agua al circuito,

en consonancia con el Mandamiento # 7 siguiente.

Tabla 1. Efecto del % Sólidos de Descarga sobre la Capacidad y otras

respuestas del circuito, en base a simulaciones desarrolladas

con BallSim_Direct de Moly-Cop Tools.

Sim ulación Sim ulación Sim ulación Sim ulación Sim ulación

0 1 2 3 4

TRATAMIENTO

ton/hr 458.4 463.6 467.9 471.2 473.7

CC 532.9 413.8 339.9 289.5 252.9

P80, micras 180.0 180.0 180.0 180.0 180.0

ENERGIA

kW (neto) 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885

kW h/ton (bruto) 8.48 8.38 8.30 8.24 8.20

W io, kW h/ton 14.62 14.45 14.32 14.22 14.14

CLASIFICADORES

Sólidos Alim entación 64.7 64.4 64.2 63.9 63.7

Sólidos Rebose 42.0 42.0 42.0 42.0 42.0

Sólidos Descarga 72.0 74.0 76.0 78.0 80.0

Alim. Ciclones, m 3/hr 2,619 2,165 1,883 1,691 1,551

Presión, psi 10.0 10.0 10.0 10.0 10.0

By-P ass Fino s, 0.570 0.487 0.415 0.353 0.298

By-P ass Agua, 0.600 0.513 0.437 0.372 0.314

% Finos Desc. Molino17.0 17.2 17.4 17.5 17.7

Mandamiento # 7.Maximizar la Dosificación de Agua al Cajón de la Bomba.

7/21/2019 4ª Ley


7/21/2019 4ª Ley


26

hidrociclones cumplen un rol muy importante, pero sólo ‘subsidiario’ a lo

que ocurra en el interior del molino.

54.0

56.0

58.0

60.0

62.0

64.0

66.0

200 250 300 350 400 450 500 550 600 650

% Carga Circulante

% S ó l i d o s A l i m e n t a c i ó n

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

' C o r t o c i r c u i t o ' d e F i n o s

78%82%

74%

78%

82%

74%

54.0

56.0

58.0

60.0

62.0

64.0

66.0

200 250 300 350 400 450 500 550 600 650

% Carga Circulante


0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20


78%82%

74%

78%

82%

74%

54.0

56.0

58.0

60.0

62.0

64.0

66.0

200 250 300 350 400 450 500 550 600 650

% Carga Circulante


0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20


78%82%

74%

78%

82%

74%

Figura 10. Efecto del incremento de la carga circulante asociado a la

dilución del flujo de rebose de los ciclones de 42% a 33%

Sólidos, bajo distintos niveles de densidad en la descarga de

los mismos, según indican los valores indicados sobre elgráfico.

Mandamiento # 8.Incrementar la Capacidad de la Bomba.

Estrechamente ligado al Mandamiento #7, este Mandamiento #8

anticipa la posible necesidad de reemplazar la bomba existente por una

de mayor capacidad, idealmente de velocidad variable, producto del

esperado incremento en carga circulante a medida que aumenta la

dosificación de agua al circuito. En algunos casos, ha sido suficiente un

cambio de poleas del sistema de transmisión del motor a la bomba paraacomodar los mayores flujos circulantes.

En el ejemplo de la Tabla 2 anterior, la carga circulante subiría de

290% a 430%, lo que implicaría un aumento del flujo de alimentación a

ciclones de 1690 m3/hr a 2570 m3/hr. Es probable que una misma

bomba, aunque sea de velocidad variable, no sea capaz de absorber tal

variación de flujo.

7/21/2019 4ª Ley


27

Al concluir esta sección, me permito reiterar lo gratificante que me

resultó constatar que los supuestos, conclusiones y recomendaciones

que surgen de la correcta aplicación del criterio optimizante de la ‘Cuarta

Ley’ son plenamente consistentes con lo indicado por los diversos

modelos y simuladores disponibles en la literatura (5,7,8,12) ; los que fueran

desarrollados con bastante anterioridad a la postulación de este criterio

de la ‘Cuarta Ley’. Sobre la base de las diversas simulaciones aquí

presentadas, la Figura 11 confirma que para lograr una óptima

reducción efectiva en el Indice de Trabajo Operacional (Wio) – y así lograr

el mejor rendimiento global del circuito - es necesario minimizar el

contenido de ‘finos’ en la descarga del molino y para ello se requiere

diluir el rebose y espesar la descarga de los ciclones; es decir,precisamente lo que plantea la ‘Cuarta Ley’ (ver Ecuación 1).

12

13

14

15

10 12 14 16 18 20

% - 400# en Descarga Molino

W i o , k W

h / t o n

78%82%

74%

12

13

14

15

10 12 14 16 18 20

% - 400# en Descarga Molino

W i o , k W

h / t o n

78%82%

74%

Figura 11. Efecto de la reducción del contenido de finos en la descarga

del molino al diluir el flujo de rebose de los ciclones de 42% a

33% Sólidos.

Límites Operacionales a la Carga Circulante:EL CRITERIO DE ARBITER

7/21/2019 4ª Ley


28

Nathaniel Arbiter(13) ha publicado diversos estudios tendientes a

predeterminar las condiciones operacionales de un molino de bolas

convencional (con descarga tipo ‘overflow’) que podrían llevar a éste a

una condición de sobrecarga (o sobrellenado) caracterizada por una

reducción significativa de la potencia demandada y la incapacidad del

molino para hidráulicamente transportar la pulpa desde su boca de

alimentación hasta su boca de descarga. Arbiter postuló que para evitar

la condición de sobrecarga de un determinado molino en operación, debe

cumplirse que la velocidad axial de la pulpa a través del molino sea

inferior al 2.2% de la velocidad tangencial de la coraza del mismo molino.

La razón de las velocidades axial y tangencial antes referidas es

expresable como :

Vel. Axial Q / f m A

Nq = ――――――――――― = ――――――― (13)

Vel. Tangencial π N D

donde :

Q = Flujo volumétrico de pulpa a través del molino, ft3/min

f m = Volumen aparente de mineral en la carga, expresado como

fracción del volumen total del molino, %/100

A = Area de la sección transversal del molino, πD2/4 N = Velocidad de giro del molino, rpm = Nc (76.6/D0.5)

Nc = Fracción de la velocidad crítica del molino, %/100

D = Diámetro interior del molino, ft.

y por lo tanto, reemplazando cada término y simplificando se obtiene :

Nq = 0.00529 Q / (f m Nc D2.5) (14)

Por otra parte, f m está relacionado al nivel de llenado aparente total

del molino (Jtot), incluyendo bolas y pulpa, por la expresión :

f m = Jtot - (1-f v) Jb (15)

donde :

f v = Fracción volumétrica de espacios vacíos entre las bolas,

%/100

7/21/2019 4ª Ley


29

Jb = Fracción aparente de llenado del molino con bolas,

%/100.

De esta forma, el último término de la Ecuación 15 anterior

representa el volumen neto ocupado por las bolas en el molino,

expresado como fracción del volumen total. Por lo tanto, el volumen

restante para completar el volumen aparente total (Jtot) corresponde al

contenido de mineral, f m.

Arbiter recolectó información de diversas instalaciones en el

mundo, cuyos molinos se encontraban operando en condiciones críticas

(al límite de la sobrecarga) y reagrupando la Ecuación 14, determinó la

correlación empírica :

f m* Nq * = 0.00529 Q* / (Nc D2.5) = 0.0109 – 0.0144 Jb

= 0.022 (0.5 – 0.66 Jb) (16)

donde el símbolo (*) denota ‘condición crítica’. La Figura 12 ilustra la

validez empírica de esta correlación, según Arbiter(13) .

Estudios complementarios sobre el transporte de masa a través de

molinos de bolas han indicado que la sobrecarga se produce cuando la

carga total del molino llega a ocupar un 50% de su volumen interior; es

decir, Jtot = 0.5. Si además aceptamos que, por la compactación naturaldel ‘riñón’ de bolas en movimiento, sólo queda un f v = 34% de espacio

libre entre las bolas (en contraste al f v = 40%, típicamente aceptado para

cargas en reposo), de la Ecuación 15 se obtiene:

f m* = 0.5 - (1 - 0.34) Jb = 0.5 - (0.66) Jb (17)

y por directa substitución en la Ecuación 16:

Nq * = 0.022 (18)

es decir, recordando la definición de Nq (Ecuación 13), se concluye que la

velocidad axial de la pulpa a través del molino debe ser inferior al 2.2%

de la velocidad tangencial de la coraza del mismo molino, a fin de evitar

la condición de sobrecarga.

7/21/2019 4ª Ley


30

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Llenado con Bolas, Jb

0 . 0 0 5 2 9 Q * / ( N c

D 2 . 5 )

Experimental

Correlación

Sobrecarga

0.00529 Q* / (N

c

D

2.5

) = 0.022 (0.5 – 0.66 J

b

)

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Llenado con Bolas, Jb

0 . 0 0 5 2 9 Q * / ( N c

D 2 . 5 )

Experimental

Correlación

Sobrecargaobrecarga

0.00529 Q* / (N

c

D

2.5

) = 0.022 (0.5 – 0.66 J

b

)

Figura 12. Evidencia empírica de sobrecarga de molinos, la que se

produciría cada vez que las condiciones operacionales se

posicionen por sobre el límite de la diagonal. Extractada de

Referencia 13.

Finalmente, retomando la Ecuación 16 anterior, la condición

crítica así derivada, permite definir el denominado ‘Arbiter’s FlowNumber’:

‘Arbiter’s Flow Number’ = Q / [Nc D2.5 (0.5 - 0.66 Jb)] < 4.16 (19)

con Q en ft3/min y D en ft.

La Figura 13 adjunta presenta un conjunto de información

operacional personalmente recolectada de distintas fuentes que abarca

una amplia variedad de instalaciones, predominantemente Chilenas.

Esta gráfica confirma que, en general, la operación normal de todomolino se desarrolla bajo condiciones tales que el Arbiter’s Flow Number

sea menor que 4.16, como sugiere la Ecuación 19.

7/21/2019 4ª Ley


31

0

1

2

3

4

5

6

8 10 12 14 16 18 20 22 24

Diámetro Nominal del Molino, ft

F l o w N u m b e r , N q

Operación Normal

Operación Ext rema

Salvador

Andina

Colón

MDO

Sacatón

Salvador

Emablos

Tte-SAG

Chuqui

MEL

Copperton

Bronces

MEL

MAA

Candelaria

Cadia

Andina

Chacay Colón

Sierrita

Chino

Pinto Valley

Tte-SAG

Bougainville

MAA

0

1

2

3

4

5

6

8 10 12 14 16 18 20 22 24

Diámetro Nominal del Molino, ft

F l o w N u m b e r , N q

Operación Normal

Operación Ext rema

Salvador

Andina

Colón

MDO

Sacatón

Salvador

Emablos

Tte-SAG

Chuqui

MEL

Copperton

Bronces

MEL

MAA

Candelaria

Cadia

Andina

Chacay Colón

Sierrita

Chino

Pinto Valley

Tte-SAG

Bougainville

MAA

Figura 13. Comparación de operaciones normales y extremas

(sobrecarga) en términos del Arbiter’s Flow Number.

Una segunda implicancia de la aceptación del criterio propuesto

por Arbiter es que permite definir el mínimo tiempo medio de residencia

(τ) de la pulpa en su paso a través del molino, que sea compatible conuna operación normal libre de sobrecarga. De las Ecuaciones 13 y 18

anteriores, se obtiene:

(Vel. Axial) • τ

Nq = ――――――――――― < 0.022 (20)

π N D • τ

donde el numerador de esta expresión corresponde necesariamente al

largo efectivo del molino (L), de modo que :

τ > (L/D) / (0.022 π N) (21)

De donde, retomando la relación N = Nc (76.6/D0.5) (ver Ecuación

13), se obtiene finalmente:

τ > 0.189 D0.5 (L/D) / Nc (22)

la cual sugiere que una menor razón (L/D) y una mayor velocidad de giro

(Nc) facilitan una operación a mayores tonelajes a través del molino; es

7/21/2019 4ª Ley


32

decir, con menores tiempos medios de residencia. Ambos parámetros son

por lo tanto importantes de considerar en la etapa de selección de un

nuevo molino, tal como se desprende de la Figura 14 siguiente.

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

10 12 14 16 18 20 22 24 26

Diámetro Efectivo del Molino, ft

T i e m p o M í n i m o d e

R e s i d e n c i a , m i n

L/D

1.6

1.3

1.0

N

c

0.72

0.75

0.78

mi n

= 0.189 D

0.5

(L/D) / N

c

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

10 12 14 16 18 20 22 24 26

Diámetro Efectivo del Molino, ft

T i e m p o M í n i m o d e

R e s i d e n c i a , m i n

L/D

1.6

1.3

1.0

N

c

0.72

0.75

0.78

mi n

= 0.189 D

0.5

(L/D) / N

c

Figura 14. Definición de los tiempos mínimos de residencia de la pulpa

en el molino, a fin de evitar la condición de sobrecarga,

según el criterio establecido por Arbiter(13) .

Desde otro punto de vista, Austin(14) ha hecho referencia a un

posible ‘efecto colchón’ que se produciría cuando el volumen de pulpa

retenida en el molino sobrepasa el espacio intersticial existente entre las

bolas (f m > f v Jb). Bajo tal condición extrema, la eficiencia energética del

proceso de molienda se vería negativamente afectada contrapesando las

ventajas de una mayor carga circulante. Aunque comparto su base de

argumentación, sólo he conocido una aplicación industrial, muy

particular, en que este fenómeno podría estar presente; pero no en la

generalidad de las aplicaciones a escala industrial.

En cualquier caso, la Figura 15 indica que, no obstante lalimitación impuesta por el criterio de Arbiter aquí descrito o la

advertencia planteada por Austin, niveles de carga circulante tan

elevados como 450% son, en general, recomendables según la ‘Cuarta

Ley’ y operacionalmente compatibles en la práctica industrial.

7/21/2019 4ª Ley


33

2

3

4

5

6

200 250 300 350 400 450 500 550 600 650

% Carga Circulante

N ú m e r o d e A r b i t e r

78%

82%

74%

Límite Máximo

2

3

4

5

6

200 250 300 350 400 450 500 550 600 650

% Carga Circulante

N ú m e r o d e A r b i t e r

78%

82%

74%

Límite Máximo

Figura 15. Límite máximo para la carga circulante impuesto por el

criterio de Arbiter. Los valores indicados sobre el gráfico

corresponden al % Sólidos de descarga de los hidrociclones

asumido para cada serie de simulaciones en que el flujo de

rebose se diluyó de 42% a 33% Sólidos.

A modo de corolario, cabe mencionar que podemos distinguir entre

dos tipos de carga circulante, según sea su causa de origen:

- La Carga Circulante ‘mala’ que se origina al diluir el flujo de

descarga de los hidrociclones, dado que arrastra mayor

cantidad de ‘finos’ que no se requiere retornar al molino y ...

- La Carga Circulante ‘buena’ que se origina al diluir el flujo

de rebose de los hidrociclones, dado que éstos afinan su

tamaño de corte (d50) y retornan mayor cantidad de

partículas gruesas al molino.

La correcta aplicación del criterio de la ‘Cuarta Ley’ – sintetizado en

su enunciado de la Ecuación 1 - promueve el segundo tipo de carga

circulante al recomendar la dilución del flujo de rebose de los

hidrociclones y evita el primero al recomendar el espesamiento del flujo

de descarga de los mismos.

7/21/2019 4ª Ley


34

BOMBAS DE VELOCIDAD VARIABLE¿Un lujo prescindible?

En la etapa de proyecto de una nueva instalación surge

recurrentemente la disyuntiva de instalar o no instalar bombas de

velocidad variable en las distintas secciones de molienda. Dado el mayor

costo de inversión de este tipo de bombas, en comparación con las

tradicionales de velocidad fija, se tiende a pensar que éstas son un lujo

prescindible que sólo interesa a los ingenieros más refinados encargados

de la automatización del proceso. Muy por el contrario, soy de la opinión

que las bombas de velocidad variable no son en absoluto un lujo

prescindible sino equipos cuya disponibilidad otorga valiosa flexibilidadoperacional y efectividad global al circuito.

Recuerdo que en 1987 visité por primera vez – junto a otros

personajes de mayor ‘peso específico’ que yo - la Concentradora Cuajone

en el sur de Perú, donde un gentil Ingeniero de Procesos me ofreció

acompañarme a recorrer las instalaciones. Dado que era también mi

primera visita a Perú supuse que estaría bien a cubierto por el

anonimato para arriesgarme a hacer más de alguna pregunta tonta que

pudiera dejarme en vergüenza ... total, allí nadie me conocía. Tras un par

de horas de interesante recorrido, teniendo muy presente en mi mente

(pero cuidadoso de no mencionarlo) mi tema de la ‘Cuarta Ley’, ya habíahecho todas las preguntas clave respecto al % sólidos de rebose, la

densidad de los ápices, la carga circulante, etc., etc. Cuando

regresábamos a la sala de control a reunirnos nuevamente con el resto

del grupo de visitas, mi gentil anfitrión me sorprendió con la afirmación:

“pero aquí no funciona tu ‘Cuarta Ley’ ...” Superado el primer momento

de sorpresa en cuanto a que él sí sabía exactamente quien era yo y que

además estaba muy al tanto sobre el tema de la ‘Cuarta Ley’,

comenzamos a analizar el por qué este Ingeniero había llegado a tal

conclusión: las bombas de las distintas secciones de molienda eran de

velocidad fija ... y para aplicar la ‘Cuarta Ley’ a su máximo beneficio se

requiere disponer de bombas de velocidad variable o al menos tener la

opción de incrementar la capacidad de las bombas fijas existentes.

Estaré siempre agradecido a este colega Peruano por haberme ayudado a

mejorar de manera importante mi entendimiento previo sobre la materia.

Nuevamente, recurriendo al simulador BallSim_Direct del paquete

de software Moly-Cop Tools(12) , la Figura 16 presenta un ejemplo de la

respuesta de un sistema de molienda/clasificación frente a la dilución

7/21/2019 4ª Ley


35

del flujo de rebose de los ciclones, como resultado del incremento de la

dosificación de agua al cajón de la bomba, dependiendo si la bomba

disponible es de velocidad fija o variable.

200

250

300

350

400

450

500

550

30 32 34 36 38 40 42 44

% Sólidos en el Rebose

C a p a c

i d a d , t o n / h r

50

100

150

200

250

300

350

400

T a m a ñ o P 8 0 , m i c r a sVel. Variable

Vel. Fija

Vel. VariableVel. Fija

200

250

300

350

400

450

500

550

30 32 34 36 38 40 42 44

% Sólidos en el Rebose

C a p a c

i d a d , t o n / h r

50

100

150

200

250

300

350

400

T a m a ñ o P 8 0 , m i c r a sVel. Variable

Vel. Fija

Vel. VariableVel. Fija

Figura 16. Respuesta simulada de un sistema de molienda/clasificaciónfrente a la dilución del flujo de rebose de los ciclones,

dependiendo si la bomba disponible es de velocidad fija o

variable.

En este ejemplo, a medida que se diluye el rebose desde 42%

Sólidos hasta 33% Sólidos, la bomba de velocidad variable tendría la

capacidad de absorber el mayor flujo circulante y mejorar así el

cumplimiento de la ‘tarea de molienda’ a un mayor ritmo de tratamiento

de mineral (de 465 ton/hr a 519 ton/hr). Por el contrario, la única

opción con la bomba de velocidad fija para continuar cumpliendo con la

‘tarea de molienda’ especificada, incapacitada de absorber la mayor

proporción de carga circulante, sería lamentablemente reducir el tonelaje

de alimentación de mineral fresco al circuito (de 465 ton/hr a 368

ton/hr). Como consuelo, la fineza del producto molido se vería

incrementada (de P80 = 180 μm a P80 = 112 μm), lo que en algunos casos

permitiría mejorar marginalmente la eficiencia del proceso siguiente en la

cadena (por ejemplo, la recuperación en la etapa de flotación). No

obstante, desde una perspectiva económica, el beneficio de un mayor

7/21/2019 4ª Ley


36

tonelaje normalmente predomina sobre el beneficio de una mayor

eficiencia. Pienso que algo similar a este ejemplo es lo que observó el

Ingeniero de Cuajone cuando intentó incrementar la dosificación de agua

con bombas de velocidad fija. Al tener que reducir la alimentación fresca

concluyó que para ellos la ‘Cuarta Ley’ ... “no funciona”.

El tema de las bombas de velocidad fija versus las de velocidad

variable fue abordado extensivamente por H. Toro(15) en el Simposio

TECSUP 2002. Siguiendo la misma línea de argumentación, la Tabla 3

presenta el caso hipotético comparativo de una sección de molienda con

una bomba de velocidad fija contra la misma sección equipada con una

bomba de velocidad variable, cuando la dureza del mineral procesado

varía en ± 10%.

Tabla 3. Efecto de variaciones en la Dureza del Mineral en función del

tipo de bomba disponible, en base a simulaciones realizadas

con BallSim_Direct de Moly-Cop Tools.

Dureza del Mineral - 10 Std + 10 - 10 - 10 Std + 10 + 10

Disponibilidad de Agua Std Std Std + 10 Std Std Std + 10

TRATAMIENTO

ton/hr 509 475 439 545 534 493 452 460

Relativo 7.15 0.00 -7.59 10.52 8.23 0.00 -8.45 -6.70

CC 303 328 359 341 327 351 380 398

F80, micras 9,795 9,795 9,795 9,795 9,795 9,795 9,795 9,795

P80, micras 180 180 180 180 180 180 180 180

ENERGIA

kW (neto) 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885

kWh/ton (bruto) 7.63 8.17 8.85 7.12 7.27 7.87 8.60 8.44

Wio, kWh/ton 13.2 14.1 15.3 12.3 12.5 13.6 14.8 14.5

CLASIFICADORES

Sólidos Alimentación 63.7 63.2 62.7 63.3 63.4 63.0 62.6 62.5

Sólidos Rebose 42.7 40.4 37.8 37.5 39.2 37.4 35.4 33.7

Sólidos Descarga 75.9 76.4 76.9 79.2 78.1 78.3 78.4 79.6

Alim. Ciclones, m3/hr 1,903 1,909 1,915 2,256 2,133 2,102 2,071 2,193

Presión, psi 8.23 8.20 8.18 10.47 9.67 9.41 9.14 9.93

Potencia Bomba, kW 30.0 30.0 30.0 45.3 39.5 37.9 36.3 41.7

Agua Total, m3/hr 655 677 701 880 800 800 800 880

By-Pass Finos, 0.397 0.386 0.375 0.332 0.353 0.350 0.346 0.325

By-Pass Agua, 0.418 0.406 0.395 0.349 0.372 0.368 0.364 0.342

% Finos Desc. Molino18.3 16.8 15.3 14.8 15.9 14.9 13.8 12.8

(*) Batería de Hidrociclones: 12 unidades de 20", con Vortex de 7.5" y Apex de 3.75".

Bomba Velocidad Fija Bomba Velocidad Variable

En condiciones normales, la sección con bomba de velocidad fija

opera a razón de 475 ton/hr, cumpliendo con la tarea de molienda

7/21/2019 4ª Ley


37

especificada (F80, P80) = (9795 μm, 180 μm) y utilizando el 100% de la

potencia de bombeo disponible (30 kW). Frente a un mineral de dureza

10% mayor, el sistema respondería incrementando la dosificación de

agua al cajón de la bomba de 677 m3/hr a 701 m3/hr, utilizando los

mismos 30 kW de potencia de bombeo disponible. No obstante, como es

de esperar debido al 10% de incremento en dureza, el tonelaje procesado

disminuiría en 7.59%, manteniendo la tarea de molienda. Nótese que el

porcentaje de reducción de capacidad sería menor que 10% gracias al

efecto positivo de diluir levemente el rebose, dentro de las limitaciones

impuestas por la bomba. Por el contrario, si la dureza del mineral de

alimentación bajara en 10%, el sistema respondería incrementando la

tasa de tratamiento en 7.15%. En este caso, el porcentaje de aumento en

tonelaje sería menor que 10% debido a la capacidad limitada de labomba que no podría exceder los 30 kW de potencia máxima disponible,

lo que obligaría a reducir la dosificación total de agua al sistema. En

otras palabras, limitado por la velocidad fija de la bomba, el sistema no

tendría la capacidad para aprovechar a plena magnitud la ‘bonanza’ de

recibir un mineral de alimentación de menor dureza.

Por otra parte, siguiendo con el ejemplo de la Tabla 3, si la sección

fuese equipada con una bomba de velocidad variable, en condiciones

normales, la sección desarrollaría una capacidad de 493 ton/hr,

cumpliendo con la misma tarea de molienda especificada y utilizando el

100% del total de agua de proceso disponible; establecida para estosefectos en 800 m3/hr. Frente a un mineral de dureza 10% mayor, el

sistema respondería simplemente manteniendo la dosificación de agua a

su máximo nivel de disponibilidad, sacrificando el tonelaje en 8.45%

(todavía proporcionalmente menor que el 10% de incremento en dureza)

y manteniendo la tarea de molienda. Es interesante señalar a este

respecto que, si al menos temporalmente la operación tuviera acceso, por

ejemplo, a un 10% de mayor disponibilidad de agua, ésta podría ser

utilizada con la misma bomba para diluir un poco más el rebose y

compensar en mejor forma el incremento en dureza del mineral,

limitando la reducción en capacidad de la sección a sólo 6.7% respecto

de la condición normal (ver Tabla 3, columna de la extrema derecha). Por

el contrario, si la dureza del mineral de alimentación bajara en 10%, el

sistema respondería incrementando la tasa de tratamiento en 8.23%. En

este caso, el porcentaje de aumento en tonelaje sería menor que 10%

debido a la máxima disponibilidad de agua de proceso, limitada en este

ejemplo a 800 m3/hr, lo que obligaría a un negativo espesamiento del

rebose de 37.4% a 39.2% Sólidos. Nuevamente, si al menos

temporalmente la operación tuviera acceso, por ejemplo, a un 10% de

7/21/2019 4ª Ley


38

mayor disponibilidad de agua, ésta podría ser utilizada con la misma

bomba para casi mantener la dilución del rebose y tomar mayor ventaja

de la ‘bonanza’ de menor dureza del mineral, alcanzando un 10.52% de

aumento en tonelaje procesado respecto de la condición normal (ver

Tabla 3, columna central). Es claro que ninguna de estas provechosas

acciones correctivas serían posibles si la bomba fuese de velocidad fija.

A mayor ahondamiento, la Tabla 4 siguiente presenta un caso

análogo al anterior en que se simula la ocurrencia de variaciones en la

granulometría del mineral de alimentación a la sección, cuando la

sección es equipada alternativamente con bomba de velocidad fija o

bomba de velocidad variable.

Tabla 4. Efecto de variaciones en la Granulometría del Mineral de

Alimentación, en función del tipo de bomba disponible, en

base a simulaciones desarrolladas con BallSim_Direct de

Moly-Cop Tools.

Fineza de Alimentación Fina Std Gruesa Fina Fina Std Gruesa Gruesa

Disponibilidad de Agua Std Std Std + 10 Std Std Std + 10

TRATAMIENTO

ton/hr 497 475 443 529 518 493 457 465

Relativo 4.49 0.00 -6.81 7.27 5.02 0.00 -7.46 -5.74

CC 309 328 359 347 332 351 383 401

F80, micras 6,951 9,795 13,253 6,951 6,951 9,795 13,253 13,253

P80, micras 180 180 180 180 180 180 180 180

ENERGIA

kW (neto) 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885 3,885

kWh/ton (bruto) 7.82 8.17 8.77 7.34 7.50 7.87 8.51 8.35

Wio, kWh/ton 13.9 14.1 14.8 13.0 13.3 13.6 14.4 14.1

CLASIFICADORES

Sólidos Alimentación 63.2 63.2 63.2 62.9 63.0 63.0 63.0 62.9

Sólidos Rebose 41.7 40.4 38.3 36.8 38.5 37.4 35.7 34.0

Sólidos Descarga 75.9 76.4 77.2 79.0 77.8 78.3 78.8 80.0

Alim. Ciclones, m3/hr 1,910 1,909 1,909 2,240 2,117 2,102 2,080 2,202

Presión, psi 8.20 8.20 8.20 10.30 9.50 9.41 9.27 10.06

Potencia Bomba, kW 30.0 30.0 30.0 44.2 38.5 37.9 36.9 42.4

Agua Total, m3/hr 669 677 691 880 800 800 800 880

By-Pass Finos, 0.392 0.386 0.377 0.332 0.353 0.350 0.345 0.323

By-Pass Agua, 0.413 0.406 0.397 0.349 0.372 0.368 0.363 0.340

% Finos Desc. Molino17.5 16.8 15.7 14.3 15.4 14.9 14.0 13.0

(*) Batería de Hidrociclones: 12 unidades de 20", con Vortex de 7.5" y Apex de 3.75".

Bomba Velocidad Fija Bomba Velocidad Variable

Las observaciones que se desprenden de la Tabla 4 apuntan en la

misma línea que las ya planteadas respecto de la Tabla 3 anterior y por

lo tanto, dejo su análisis a la iniciativa de aquellos lectores más

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7/21/2019 4ª Ley


40

gua

limentación

Fresca

Descarga

limentación

iclones

Rebose

4

3

2

5

7

6

1

5

gua

limentación

Fresca

Descarga

limentación

iclones

Rebose

4

3

2

5

7

6

1

5

Figura 17. Representación esquemática de un circuito de molienda/

clasificación convencional bajo la configuración ‘INVERSA’.

Con referencia a la Figura 1, correspondiente a la configuración

‘DIRECTA’, la Ecuación 11 anterior es completamente equivalente a:

F3DIRECTA = F7 /(1-Bpf )/(1+CC) (22)

la cual expresa claramente que para reducir los ‘finos’ en la descarga del

molino (F3) es preciso reducir el ‘cortocircuito’ (Bpf ) y aumentar la razón

de carga circulante (CC).

Análogamente, siguiendo la misma secuencia de balances de

materiales presentados en las Ecuaciones 3 a 11, esta vez para la

configuración ‘INVERSA’ de la Figura 17, es posible establecer:

F3INVERSA = F7 /(1-Bpf )/CC - F1 /CC (23)

donde F1 representa la fracción de ‘finos’ que ingresan al circuito con la

alimentación fresca; un término que no aparece en la Ecuación 22

equivalente. Incidentalmente, esta Ecuación 23 reconfirma - esta vez

para la configuración ‘INVERSA’ - que para reducir los ‘finos’ en la

descarga del molino (F3) es preciso reducir el ‘cortocircuito’ (Bpf ) y

aumentar la carga circulante (CC).

7/21/2019 4ª Ley


41

Retomando el criterio de la ‘Cuarta Ley’, la configuración

‘INVERSA’ será preferible cada vez que se cumpla:

F3INVERSA < F3

DIRECTA (24)

Reemplazando a partir de las Ecuaciones 22 y 23 anteriores,

suponiendo que ambas configuraciones operarían a valores similares de

Bpf y CC, nos lleva a la condición crítica discriminante:

F1 > F7 /(1-Bpf )/(1+CC) (25)

La Figura 18 fue construida sobre la base de la Ecuación 25 parailustrar bajo qué condiciones la configuración ‘INVERSA’ sería preferible

(zona superior derecha de la curva correspondiente) y por defecto, bajo

qué condiciones la configuración ‘DIRECTA’ sería preferible (zona inferior

izquierda de la curva correspondiente).

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

0.50

2.0 3.0 4.0 5.0

Razón de Carga Circulante

R a z ó n

C r í t i c a ,

F 1 / F 7

0.300.35

0.40

Bpf

CIRCUITO DIRECTO

CIRCUITO INVERSO

Figura 18. Valores críticos de la Razón F1/F7 en función del

‘cortocircuito’ de pulpa y la carga circulante, según la

Ecuación 25.

Considerando valores típicos de Bpf = 0.4 y CC = 3.5, se concluye

que:

F1 > 0.37 F7 (26)

7/21/2019 4ª Ley


42

es decir; para que la configuración ‘INVERSA’ sea la configuración

preferida, la fracción de ‘finos’ en la alimentación fresca (F1) debe ser al

menos superior al 37% de la fracción de ‘finos’ especificada para el

producto final de rebose (F7).

Como aproximación, la Ecuación 25 puede ser expresada también

en términos del tamaño P80 del producto final, suponiendo que la razón

(en peso) de los ‘finos’ en el rebose y la alimentación fresca (F7/F1) sea de

magnitud similar a la razón (en peso) del material pasante el tamaño P80

en ambos flujos de rebose y alimentación; es decir:

F7/F1 ≈ [% bajo P80]Rebose /[% bajo P80]Alim (27)

y puesto que, por definición, [% bajo P80]Rebose es igual a 80%, entonces la

Ecuación 25 se transforma en:

[% bajo P80]Alim > 0.8 /(1-Bpf ) / (1+CC) (28)

la cual, para los mismos valores típicos Bpf = 0.4 y CC = 3.5 antes

considerados, se reduce a la simple ‘Regla del Pulgar’:

La configuración ‘INVERSA’ será preferible a la

‘DIRECTA’ cada vez que la alimentación al circuitocontenga más de un 30% de partículas menores que eltamaño P80 objetivo:

[% bajo P80]Alim > 30% (29)

En la práctica industrial, esta condición crítica a favor de la

configuración ‘INVERSA’ sólo puede ser alcanzada en algunas pocas

situaciones puntuales, como podría ser el caso de molinos secundarios

alimentados por molinos de barras o “verdaderos” molinos SAG (es decir,

con menos de 10-12% bolas y sin remoción de ‘pebbles’), casos en loscuales el flujo de alimentación fresca a la etapa de molienda

convencional bien podría contener una suficiente proporción de

partículas finas bajo el tamaño P80 especificado. De esta manera se

concluye que la configuración ‘DIRECTA’ debiera ser el diseñopreferido en la vasta mayoría de las aplicaciones, a menos queprevalezcan otras consideraciones de ‘lay-out’.

7/21/2019 4ª Ley


7/21/2019 4ª Ley


44

complementario, no todas las leyes deben versar necesariamente sobre el

mismo tema ...

También debo reconocer que la ‘Cuarta Ley’ – quizás por dejación

personal inexcusable - no ha alcanzado la difusión internacional que

podría haberse esperado. Básicamente, la ‘Cuarta Ley’ no es conocida

internacionalmente porque, aunque me ha acompañado por décadas en

múltiples congresos y seminarios para los más diversos grupos de

colegas, casi no ha sido publicada en Inglés; lo que no deja de fortalecer

un cierto grado de orgullo nacionalista/regionalista. Es por estas tierras

donde la minería actual crece y se desarrolla mucho más que en

cualquier otra parte del mundo. De modo que ...

it’s about time they learn some Spanish!

7/21/2019 4ª Ley


45

REFERENCIAS

1. Sepúlveda, J. E., “Una ‘Cuarta Ley’ para la Molienda/Clasificación”,

IV Simposio ARMCO sobre Molienda, Viña del Mar, Chile,

Noviembre, 1984.

2. Von Rittinger, P. R., “Leherbuch der Aufbereitungskunde”, Berlín,

1867.

3. Kick, F., “Das Gesetz der Proportionalen Widerstande und Seine

Anwendung”, A. Felix, Leipzig, 1885.

4. Bond, F. C., “The Third Theory of Comminution”, AIME Trans., Vol.193, p. 484, 1952. También en Mining Engineering, Mayo, 1952.

5. Gutiérrez, L. y Sepúlveda, J.E., Dimensionamiento y Optimización

de Plantas Concentradoras Mediante Técnicas de Modelación

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