Tecnología de Máquinas i*

Miguel Moro Vallina**

1. Fundamentos del diseño mecánico

1.1. Seguridad y fiabilidad

Factor de seguridad y coeficiente de fiabilidad Para diseñar un dispositivo demanera que no falle, se precisa en primer lugar un parámetro que defina el estadodel sistema, i.e., un parámetro que disponga de un rango de valores dentro delcual se puede esperar un comportamiento satisfactorio del sistema, y fuera de élsea previsible el fallo. Naturalmente, en muchas ocasiones los parámetros puedenser múltiples y además pueden estar vinculados entre sí.

Como paso previo al diseño, es preciso encontrar todas las posibles causasde fallo, los parámetros que representan cada uno de ellos y su valor límite; elproblema de diseño se replantea entonces como una forma de disponer las cosasde manera que ninguno de los parámetros representados supere su valor límite.

De forma general, se define el factor de seguridad respecto a un parámetrorepresentativo del estado del sistema como el cociente entre el valor límite deese parámetro y su valor actual o previsto en el diseño:1

nξ =ξlím

ξ.

*Apuntes preparados a partir de José Ignacio Pedrero Moya: Tecnología de Máqui-

nas. Tomo I: Fundamentos. Ejes, acoplamientos y apoyos. Madrid, 2005: Universidad Na-cional de Educación a Distancia. Los apuntes corresponden a la asignatura homónima delPlan 2001 de la carrera de Ingeniería Industrial de la uned. Originalmente, los apunteshabían sido pensados para incluir toda una serie de figuras sin las cuales la comprensióndel texto se hace farragosa. Las limitaciones de tiempo me han obligado a renunciar a es-te objetivo y, a pesar de todo, he creído que pueden ser de utilidad; pero deben ser usa-dos teniendo en cuenta este hecho. This work is licensed under the Creative CommonsAttribution-NonCommercial-ShareAlike 2.5 Spain License. To view a copy of this license, visithttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/es/ or send a letter to Creative Com-mons, 543 Howard Street, 5th Floor, San Francisco, California, 94105, USA. La composiciónde este documento se ha realizado mediante LATEX.

**Correo: narodnaia@gmail.com. Web: http://narodnaia.googlepages.com1En todo caso, esta definición no tiene demasiado sentido si el parámetro escogido carece

de un origen significativo. Por ejemplo, si el parámetro es una temperatura, es más lógicodefinir el factor de seguridad con respecto a una temperatura de referencia, que podría ser la

temperatura ambiente media del lugar del que se trate. Así, n∆T =Tlím−T0

T−T0

.

1

2 1.1. Seguridad y fiabilidad

En definitiva, un parámetro representativo del estado de un sistema es aquélque presenta un valor límite a partir del cual, y no antes, cabe espera que sepresente el fallo. Para poder hablar de factor de seguridad, el valor cero delparámetro debe corresponder a un estado de seguridad prácticamente absoluta,y en tal caso el factor de seguridad respecto al parámetro se define como elcociente entre el valor límite del mismo y el valor actual (verificación) o previsto(diseño).

En la realidad, sin embargo, no existe un valor límite de un parámetroque defina la separación entre el funcionamiento correcto y el fallo del sistema.En la realidad se presentan distribuciones estadísticas, con una probabilidadnormalizada de fallo p(ξ) y una probabilidad acumulada de fallo P (ξ). Entoncesse define el coeficiente de fiabilidad R para un valor ξ0 del parámetro como laprobabilidad de buen funcionamiento cuando el parámetro toma un determinadovalor. R viene dado por:

R(ξ0) = 1 − P (ξ0) = 1 −∫ ξ0

−∞p(ξ)dξ.

En el diseño mecánico, el sistema de fuerzas que actúa sobre un elemento es,en principio, un parámetro bastante indicativo del funcionamiento del mismo.Aquí, el fallo se llama rotura y el factor de seguridad respecto a la fuerza vienedado por:

n =Flím

F.

No obstante, al igual que se observaba para el caso general, en la práctica noexiste una Flm, sino una distribución de valores de F que producen la rotura. Sila función de densidad de probabilidad de fallo es p(F ), la fiabilidad del sistemacuando actúa sobre él una fuerza F0 viene dada por:

R(F0) = 1 −∫ F0

−∞p(F )dF.

Ahora bien, un estudio más detallado del problema revela que, si bien lacarga exterior refleja con bastante fiabilidad la situación del elemento sobre elque actúa, el valor límite de ficha fuerza depende, no sólo de su naturaleza ydel material del sólido, sino también del tamaño y forma del mismo. Por eso seintroduce un parámetro más general cuyo valor límite depende sólo del material:la tensión σ. El valor límite de la tensión se conoce como resistencia (S) y elfactor de seguridad viene dado por:

n =S

σ.

Factor de seguridad estadístico El hecho de que la tensión que produce larotura de un material no tenga un valor límite definido sino una distribuciónestadística planta un inconveniente para establecer el valor de la resistencia. Porlo general, los valores que se encuentran en las tablas de materiales se refieren allímite inferior del intervalo de probabilidad de fallo no nula: se garantiza el buen

1.2. Análisis de tensiones 3

funcionamiento para tensiones inferiores y se predice la rotura para tensionessuperiores.

Es posible relacionar seguridad y fiabilidad a través del valor límite escogidopara la resistencia. Si se designa por SR la resistencia que proporciona unafiabilidad R,

1 − R = P (SR) =

∫ SR

0

p(S)ds.

el factor de seguridad para una fiabilidad R viene dado por:

nR =SR

σ.

Factor de aplicación y factor de resistencia Cuando se diseña un elementoha de considerarse un factor, llamado factor de diseño, en previsión tanto deindeterminaciones en los valores de las resistencias como de posibles sobrecargassobre el elemento.

Así, se define el factor de diseño nα como el cociente entre la resistenciaesperada del material y la tensión a la que se supone estará sometido el elemento.El factor de seguridad n es el cociente entre los valores reales de resistencia ytensión.

Una vez establecido el factor de diseño, se ha de verificar que la tensión enel sólido no supera el valor S

nα; se introduce así el concepto de tensión admisible:

la tensión admisible es el valor máximo que puede tomar la tensión en un puntode un elemento de manera que no se rebase el factor de diseño establecido. Latensión admisible coincide con el valor de la resistencia dividido por el valor dediseño,

σadm =S

nα.

En algunas ocasiones, el factor de diseño se desglosa en un factor de resistencianS y un factor de sobrecarga, nL.

1.2. Análisis de tensiones

Carga crítica Si sobre un sólido en equilibrio hacemos actuar una fuerza ex-terior, ésta moverá el punto del sólido sobre el que actúa, produciendo unadeformación y la consiguiente aparición de esfuerzos interiores que tienden aoponerse a tal deformación. Llegado el punto en que dichos esfuerzos compen-sen el valor de la fuerza se habrá alcanzado el equilibrio. Sin embargo, en esteinstante el punto de aplicación de la fuerza tendrá una velocidad no nula, porlo que en ausencia de fuerza continuará su movimiento, aumentando la defor-mación. Ello dará lugar a un aumento de los esfuerzos interiores, a un nuevodesequilibrio de fuerzas y a una aceleración en sentido opuesto a la fuerza ex-terior. El resultado final será un movimiento vibratorio de los puntos del sólidoelástico en torno a una posición de equilibrio.

4 1.2. Análisis de tensiones

En el lado opuesto, si una carga se aplica de forma que su valor, inicialmentenulo, vaya creciendo a medida que el sólido se va deformando, de modo que lafuerza exterior y los esfuerzos interiores estén siempre en equilibrio, no se pro-duciría vibración alguna. Se trata únicamente de un modelo ideal: la aplicaciónde la carga requeriría un tiempo infinito. De lo contrario, aparecerían sobreace-leraciones de valor infinito. A pesar de todo, este modelo se ajusta a la realidadmucho mejor que el primero. Es muy razonable admitir que la aplicación de lacarga, aun no siendo lenta, es progresiva, lo que evita sobreaceleraciones infini-tas. Obviamente, se producirá una pequeña vibración en torno a la posición deequilibrio, pero será muy pequeña y la energía que consuma será despreciablefrente a la energía de deformación elástica almacenada por el sólido. En conse-cuencia, se admite la hipótesis de aplicación progresiva y lenta de las cargas.

Análisis de tensiones. Teorema de reciprocidad Si consideramos un sólidosobre el que actúa un sistema de fuerzas exteriores —incluidas las reacciones enlos apoyos— y que se halla en equilibrio, debe cumplirse que la resultante y elmomento de ese sistema de fuerzas exteriores sean nulos,

∑

Fi = 0 y∑

Mi = 0.

Ahora bien, si se separa el sólido en dos porciones A y B, se tiene que ,sobre la sección que separa A y B deberá actuar una fuerza FA (o FB) y unmomento MA (o MB) que equilibre las fuerzas y momentos que afectan a laotra porción del sólido. Se tiene así:

FA =∑

B

Fi MA =∑

B

Mi,

FB =∑

A

Fi MB =∑

B

Mi.

La fuerza que actúa en la sección se conoce como esfuerzo de la sección oresultante en la sección; en realidad, dicho esfuerzo es la resultante de infinitosesfuerzos diferenciales que actúan cada uno sobre un área diferencial. Se intro-duce así el concepto de tensión como el cociente entre la fuerza que actúa sobreun elemento de sección y el área del mismo.

σ =dFΩ

dΩ.

Para el momento de la sección se tiene entonces:

MΩ =

∫

Ω

r ∧ dFΩ =

∫

Ω

r ∧ σdΩ.

Habitualmente, se descompone el esfuerzo en la sección en dos componen-tes: la componente perpendicular al plano de la sección (esfuerzo normal) y lacontenida en el plano de la misma (esfuerzo tangencial o cortante). Del mismomodo, la componente del momento perpendicular a la sección se llama momen-to torsor, y momento flector la contenida en ella. Finalmente, se llama tensiónnormal σn a la componente de la tensión en dirección perpendicular a la sección,y tensión tangencial o cortante τ a la contenida en ella.

Para estudiar el estado tensional en un punto de un sólido elástico se con-sidera un paralelepípedo elemental de lados dx, dy y dz. Sobre cada una de

1.2. Análisis de tensiones 5

sus caras actúa una tensión normal y una cortante. Si el sólido se encuentra enequilibrio, las tensiones y sus momentos respecto de cada uno de los ejes debenposeer resultante nula; el segundo de estos criterios proporcionará un resultadomuy útil.

Veamos el momento de las tensiones respecto del eje x. Respecto de dichoeje sólo producen momento las tensiones τzy y τyz

2 y las correspondientes aestas dos sobre las caras no vistas. El equilibrio de momentos se expresa así:

τzydxdy dz2 + τ ′

zydxdy dz2 − τyzdxdz dy

2 − τ ′yzdxdz dy

2 = 0,

τzy + τ ′zy − τyz − τ ′

yz = 0.

Teniendo en cuenta que:3

τ ′zy = τyz − ∂τzy

∂zdz τ ′

yz = τyz − ∂τyz

∂ydy.

el equilibrio de momentos puede expresarse como

τzy + τzy −(

∂τzy

∂zdz

)

− τyz − τyz +

(

∂τyz

∂ydy

)

= 0.

Despreciando los términos entre paréntesis y realizando las mismas opera-ciones sobre los otros dos ejes, se llega al siguiente resultado:

τzy = τyz τxy = τyx τxz = τzx.

que se conoce como teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales.

Tensor de tensiones. Tensiones principales Si sobre el tetraedro del epígrafeanterior se practica un corte por un plano cuyos cosenos directores sean α, β yγ se tiene que para que el tetraedro esté en equilibrio ha de cumplirse que laresultante en cada eje sea nula. De aquí se obtiene, mediante algunas operacionessimples:

σx

σy

σz

=

σnx τxy τxz

τxy σny τyz

τxz τyz σnz

α

β

γ

,

de modo que σ = Tu. A T se la conoce como tensor de tensiones o matriz detensiones. Siempre se cumple lo siguiente: las componentes del vector tensión enun punto de un plano se obtienen mediante el producto del tensor de tensionesen ese punto y el vector director del plano en ese punto.

La componentes normal y cortante de la tensión en el plano se obtienen conlas siguientes expresiones:

σn = σxα + σyβ + σzγ,

τ =√

σ2 − σ2n.

2El primer subíndice indica el eje perpendicular al plano sobre el que actúan las tensiones,y el segundo indica el eje al que son paralelas.

3La expresión que sigue proviene de considerar que los errores cometidos al igualar lastensiones cortantes de las caras opuestas del paralelepípedo son infinitesimales con respectoa las tensiones mismas. Por otra parte, nótese la analogía, o más bien la identidad con eldesarrollo que en Mecánica de Fluidos se realiza para conocer el estado tensional de un fluido.

6 1.2. Análisis de tensiones

donde σ, que representa el módulo del vector de tensiones en el plano conside-

rado, es σ =√

σ2x + σ2

y + σ2z .

Cabe diagonalizar el tensor T , lo que equivale a hallar un plano para elque la tensión en el punto considerado sea perpendicular a él, i.e., la tensióncortante sea nula. Los nuevos ejes obtenidos tras esta operación de diagonaliza-ción conforman un sistema de referencia principal. Las tensiones σ1, σ2, σ3 queforman la nueva matriz diagonal se denominan tensiones principales. Éstas setoman siempre de forma que σ1 ≤ σ2 ≤ σ3.

Si los tres valores de las tensiones principales son iguales, cualquier tetraedroortogonal con vértice en el punto considerado es sistema principal, y por tantono existe tensión tangencial en ningún punto. Este caso se conoce como estadode presión hidrostática.

Círculos de Mohr Si se representa sobre unos ejes cartesianos σn − τ el estadotensional de todos los planos que pasan por un punto deseado, se obtiene unarepresentación en la que se distinguen: una zona limitada por tres semicírculos,todos ellos con centro sobre el eje x y que pasan por dos de los tres puntos(σ1, 0), (σ2, 0) y (σ3, 0), donde σ1, σ2 y σ3 son las tensiones principales deltensor en el punto considerado. Para determinar en los círculos de Mohr latensión correspondiente a un plano que forma ángulos α, β y γ, se opera comoindica la figura.

De la consideración de los círculos de Mohr se extraen una serie de conclu-siones útiles para el diseño. Primero, el máximo valor que s presenta para latensión normal es el que resulta mayor de σ1 y −σ3. Segundo, dicho valor serátambién el máximo valor del módulo del vector tensión que aparece en la radia-ción de planos. Tercero, el valor máximo de la tensión cortante será siempre elradio de la circunferencia mayor, i.e., τmáx = σ1−σ2

2 , y dicha tensión cortantemáxima se presenta siempre en planos cuyos vectores directores forman ángu-los de 45 con los ejes principales primero y tercero y son perpendiculares alsegundo.

Estado plano de tensiones Un sólido está sometido a un estado tensional planoen un punto cuando existe un plano que, en dicho punto, no está sometido atensión alguna, ni normal ni tangencial. Si se escoge el sistema de referencia demodo que uno de los planos coordenados —llamado plano director— sea el queno está sometido a tensión, el tensor de tensiones tendrá la forma:

T =

σnx τxy 0τxy σny 00 0 0

.

Se acostumbra a reducir el tensor a una matriz de dos dimensiones:

T =

(

σnx τxy

τxy σny

)

y a considerar sólo los planos perpendiculares al director, si bien eso no significaque la tensión en los restantes planos sea nula.

1.2. Análisis de tensiones 7

Las dos tensiones principales se obtienen igualando a cero el determinantedel tensor anterior. Sólo existen dos cosenos directores distintos de cero. Asu-miendo que φ es el ángulo que forma el vector director del plano con el eje x delsistema de referencia elegido, se tiene que los cosenos directores son α = cosφ

y β = sen φ, con lo que las componentes del vector tensión quedan:(

σx

σy

)

=

(

σnx τxy

τxy σny

)

·(

cosφ

senφ

)

.

Las componentes normal y tangencial del vector tensión pueden calcularsemediante expresiones alternativas a las enunciadas anteriormente:

σn =σnx+σny

2 +σnx−σny

2 cos 2φ + τxy sen 2φ,

τ =σnx−σny

2 sen 2φ + τxy cos 2φ.

Las direcciones principales pueden calcularse teniendo en cuenta que sean aque-llas perpendiculares a los planos que tengan tensión tangencial nula. Puedencalcularse las direcciones de los planos de tensión tangencial máxima igualandoa cero la derivada dτ

dφ . Estos planos forman ángulos de 45 con las direccio-

nes principales.4 Las expresiones de σn y τ , referidas a los ejes principales, setransforman en:

σn = σ1+σ2

2 + σ1−σ2

2 cos 2φ,

τ = −σ1−σ2

2 cos 2φ.

La representación en unos ejes σn−τ de los estados tensionales de los planosperpendiculares al plano director se reduce a un círculo —el círculo de Mohr.Puede parecer que la máxima tensión cortante que aparece en un punto delsólido sometido a un estado plano de tensiones es:

τmáx =σ1 − σ2

2.

No obstante, esto sólo será cierto si se consideran exclusivamente los planosperpendiculares al director. El estado tensional completo en este punto estaríadeterminado por las dos tensiones principales σ1 y σ2, más una tercera iguala cero. Si las dos primeras son del mismo signo, el mayor de los tres círculosde Mohr sería el que pasara por el punto (σ1, 0) y el origen de coordenadas.En consecuencia, la máxima tensión cortante valdría: τmáx = σ1−0

2 = σ1

2 y noactuaría sobre un plano perpendicular al director.

Diagrama de esfuerzos y momentos En un problema de diseño nunca será da-to el tensor de tensiones sino las cargas exteriores, a partir de las cuales habránde calcularse las componentes del tensor. En términos generales el procedimien-to a seguir es el siguiente: primero, modelar el sistema de cargas, incluyendo elcálculo de las reacciones; segundo, calcular a partir de la carga la resultante y el

4Recuérdese que estos planos son aquellos que, de entre los perpendiculares al plano direc-

tor, están sometidos a tensión cortante máxima; pero esto no significa que no puedan existirotros planos con τ mayor.

8 1.2. Análisis de tensiones

momento en cualquier sección; tercero, calcular en cada sección, a partir de laresultante y el momento, la distribución de tensiones en todos los puntos de lamisma; cuarto, con la tensión en cada punto construir el tensor de tensiones ycalcular el parámetro crítico —tensión normal, tensión cortante, etc.— a consi-derar; quinto, seleccionar el mayor de todos los parámetros críticos y compararcon la resistencia correspondiente.

Las solicitaciones exteriores pueden ser muy diversas, pero sólo existen cua-tro tipos de solicitaciones en la sección: las componentes de la resultante per-pendicular a la sección —esfuerzo normal— y contenida en ella —esfuerzo cor-tante— y las mismas componentes del momento —momento torsor y flector—.

Las ecuaciones de la estática proporcionan el método para calcular las re-acciones en los apoyos. Si el número de componentes de las reacciones en losapoyos es mayor que el número de ecuaciones, el problema se denomina hiperes-tático, y sólo se puede resolver con ayuda del estado deformado. Si el número deecuaciones es igual al número de incógnitas, el problema se denomina isostático.

Una vez determinadas todas las cargas exteriores —incluidas las de lasreacciones—, se halla el estado del esfuerzo en cada sección mediante el métodode las secciones. Se trata de cortar el sólido por un plano imaginario, eliminaruna de las dos partes en las que queda dividido y sustituir su acción sobre la otrapor una fuerza y un momento iguales a la resultante y al momento (respectoal centro geométrico de la sección) de las fuerzas exteriores y momentos queactuaban sobre la parte eliminada.

Hipótesis de proporcionalidad Además de la hipótesis de aplicación progresivade las cargas, la teoría de la elasticidad suele admitir otras dos hipótesis: la deisotropía y continuidad e los sólidos y la de proporcionalidad de las tensionesy deformaciones. Esta última, llamada Ley de Hooke, requiere una discusiónprevia.

Una tensión normal a la dirección de un eje determinado produce un alar-gamiento en la dirección de dicho eje. Según la hipótesis de proporcionalidad, elalargamiento —o acortamiento— será proporcional a la longitud inicial en dichadirección (por ejemplo, dx) y al valor de la tensión (en este caso, σn). Dicho deotro modo, si llamamos ǫx al alargamiento unitario, se cumple:

ǫx =∆dx

dx=

σnx

E.

donde el coeficiente de proporcionalidad E es una propiedad del material que seconoce como módulo de elasticidad. De forma análoga, una tensión tangencialproduce un desplazamiento relativo de dos pares de planos. Por ejemplo, unatensión τxy produce un corrimiento relativo del plano y = dy con respectoal plano y = 0. Lados que inicialmente formaban un ángulo recto pasan aformar un ángulo que difiere del recto en una cantidad γxy. Según la hipótesisde proporcionalidad, dicha cantidad es proporcional a la tensión tangencial τxy,de forma que:

γxy =τxy

G,

1.2. Análisis de tensiones 9

en donde G es una propiedad del material que se conoce como módulo de elas-ticidad transversal.

Distribución de tensiones en la sección Para estudiar la distribución de ten-siones en la sección que producen las solicitaciones simples estudiadas anterior-mente, se formula una hipótesis adicional a las que se han mencionado másarriba. Se supone que la tensión del sólido no varía a lo largo de la longitud delmismo o que, si varía, lo hace de forma suave; dicho de otro modo, se analiza elestado de tensiones en un punto alejado de cualquier cambio brusco de sección.

Esfuerzo normal La experiencia ratifica la hipótesis de Bernouilli, quesupone que las tensiones planas antes de la deformación permanecen planasdespués de la misma. Si se admite esto, resulta que todas las secciones perpen-diculares al esfuerzo permanecerán planas y, por simetría, se habrán desplazadoparalelamente a sí mismas. Eso quiere decir que las fibras longitudinales sehabrán estirado todas lo mismo. Puesto que, según la hipótesis de proporciona-lidad,

σ =N

Ω,

resulta que la tensión normal será uniforme en toda la sección.

Momento flector Supongamos un momento flector puro que actúa sobreun elemento de longitud ds. Al igual que ocurre en el caso anterior, las seccionesplanas antes de la deformación se mantienen planas después de ésta. Existenfibras que se contraen y fibras que se dilatan; necesariamente, existirá una —llamada fibra neutra— cuya longitud no varía.

La fibra neutra adopta la forma de una curva cuyo radio de curvaturaverifica ds = ρdφ. La cantidad dx que se acorta una fibra situada a una distanciay por encima de la fibra neutra es dx = ydφ. Por tanto, el alargamiento unitariode dicha fibra será:

ǫ = −dx

ds= −dx

dφ

dφ

ds= −y

ρ.

Pero por otro lado, de acuerdo con la hipótesis de proporcionalidad,

σ

E= − y

σ.

A partir de aquí, es necesario realizar dos consideraciones. Primero, sobrela sección actúa un momento, pero su resultante es cero. Esto quiere decir que laresultante de los esfuerzos debidos a estas tensiones tomadas en toda la secciónha de ser cero, por tanto,

∫

Ω

σdσ =

∫

Ω

−E

ρydΩ = −E

ρ

∫

Ω

ydΩ = 0.

Ahora bien, para que esta integral sea nula, las distancias y han de estar tomadasrespecto al centro de gravedad geométrico de la sección; de este modo resulta

10 1.2. Análisis de tensiones

que la fibra neutra es aquella que contiene los centros de gravedad geométricosde todas las secciones.

Segundo, el momento de todos los esfuerzos distribuidos por la sección hade ser igual al momento en la sección; por tanto,

MF = −∫

Ω

yσdΩ =

∫

Ω

E

ρy2dΩ =

E

ρIz ,

donde Iz es el momento de inercia geométrico de la sección respecto del eje dela sección paralelo al momento que contiene el centro de gravedad geométrico.A partir de aquí se obtiene:

MF =E

ρIz = −σ

yIz σ = −MF

Izy.

A esta última expresión se la denomina ley de Navier. Obviamente, el valorabsoluto de la tensión máxima en la sección será: σmáx = MF

Izymáx. Esta tensión

máxima se presenta en el punto de la sección más alejado del centro de gravedadgeométrico en dirección perpendicular al momento.

Esfuerzo cortante Una pieza no puede estar sometida a esfuerzo cortanteen todas sus secciones; la presencia de un esfuerzo cortante induce en la secciónla presencia de un momento flector, que además varía con x. En las caras delelemento se dará una distribución de tensiones que viene dada por la ley deNavier.

Si se considera el equilibrio del elemento resultante de cortar el anteriorpor un plano horizontal a una distancia y del centro de gravedad geométrico, seadvierte que es necesaria la presencia de una tensión cortante τ actuando sobrela sección inferior del elemento considerado:

∫ ymáx

y

MF

IzydΩ + τbdx =

∫ ymáx

y

MF + dMF

IzydΩ,

donde b es el espesor de la sección. En consecuencia:

τbdx =dMF

Iz

∫ ymáx

y

ydΩ τ =dMF

dx

1

bIz

∫ ymáx

y

ydΩ.

Recordando la relación del esfuerzo cortante con el momento flector, se tiene:

τ =T

bIz=

∫ ymáx

y

ydΩ.

Este resultado se conoce como teorema de Colignon, y refleja cómo se distri-buye el esfuerzo cortante a lo largo de la sección.

Por lo general, los valores que se obtengan para τ por esfuerzo cortanteson muy inferiores a los que se obtienen para σ por el momento flector queindudablemente se presenta; por ello, en la mayor parte de los casos, el esfuerzocortante puede ser despreciado en los cálculos.

1.2. Análisis de tensiones 11

Momento torsor Se consideran únicamente secciones cilíndricas o tubu-lares —rara vez perfiles con otra geometría se ven sometidos a solicitacionesimportante de torsión—. Para estas secciones se admite la hipótesis de Ber-

nouilli: las secciones transversales permanecen planas tras la deformación, quepor lo tanto no consiste más que en un giro alrededor del eje de unas seccionesrespecto a otras.

Sea la porción (de longitud l) de cilindro sometido a torsión, y A0 y B0 dospuntos situados en sus extremos. Si resulta que la deformación debida al mo-mento torsor es un giro de una sección respecto de otra, en el estado deformadoel punto B0 habrá habrá pasado a ocupar una posición B′

0. Si se designa por δ

la distancia entre B0 y B′0, se tiene (suponiendo pequeñas deformaciones):

δ = B0B′0 = Θr,

donde Θ es el ángulo girado por una sección respecto de la otra. A partir deeste ángulo puede definirse otro, θ, de la forma siguiente:

θ =δ

l=

Θr

l.

θ es la variación de un ángulo recto antes de la deformación; ahora bien, tal comose demostró anteriormente, éste habrá de ser igual a la deformación angular enel punto B′

0 o, lo que es lo mismo, a la tensión tangencial en dicho punto divididapor el módulo de elasticidad transversal del material:

θ =Θr

l=

τ

G; τ = G

Θ

lr.

Así, resulta que la distribución de tensiones cortantes en la sección es radial, ysu valor es proporcional al del radio en cada punto.

El momento de esta distribución radial ha de ser igual al momento torsoren la sección:

MT =

∫

Ω

τσdΩ =

∫

Ω

GΘ

lr2dΩ = G

Θ

lJ0,

donde J0 es el momento de inercia geométrico central de la sección. La expresiónanterior de la sección cortante se transforma en:

τ =MT

J0r,

que presenta cierta similitud con la ley de Navier. El valor máximo de la tensióncortante será τmáx = MT

J0

rmáx y se presentará en el diámetro exterior de lasección.

Concentración de esfuerzo La experimentación revela que las tensiones queaparecen en los cambios de sección son muy superiores a las que corresponderíana la sección sin cambios, incluso en la más pequeña de las que hay en esazona de cambio. Es un fenómeno conocido como concentración de tensiones oconcentración de esfuerzo. Se trata de un efecto muy localizado en las seccionespróximas al sato, e incluso en no todos los puntos de la misma.

12 1.3. Análisis de deformaciones

Se define la tensión de referencia como el valor que ésta tendría si la secciónno variase; se calcula siempre como si la sección fuese constante pero igual ala que realmente hay, i.e., a la menor de las que existen en ese intervalo devariación.

Se define el factor de concentración de esfuerzo teórico5 kt (o kts cuando setrata de cortadura) como el valor por el que hay que multiplicar la tensión dereferencia en un punto para obtener el valor máximo de la tensión en ese punto:

σ = ktσ0; τ = ktsτ0.

1.3. Análisis de deformaciones

Relaciones entre tensiones y deformaciones. Ley de Hooke La experienciamuestra que una tensión normal produce no sólo un alargamiento en su mismadirección, sino también un acortamiento en las dos direcciones perpendiculares.Este acortamiento es muy aproximadamente proporcional al alargamiento en ladirección de la tensión; supuesta ésta coincidente con el eje x:

ǫy = ǫz = −µǫx = −µσnx

E,

donde µ es el módulo de Poisson. Si actúan tensiones normales en las tresdirecciones se tendrá:

ǫx =1

E[σnx − µ(σny + σnz)] ; (1)

ǫy =1

E[σny − µ(σnx + σnz)] ; (2)

ǫz =1

E[σnz − µ(σnx + σny)] . (3)

El primer objetivo consiste en encontrar un tensor de deformaciones tal que,al multiplicarlo por el vector director de un plano, proporcione un vector defor-mación. La componente normal al plano será el alargamiento en dicha direcciónnormal y la componente contenida en el plano será el corrimiento unitario dentrodel propio plano. Según la hipótesis de proporcionalidad puede afirmarse que lasdirecciones principales de tensiones y deformaciones son siempre coincidentes.Así, el tensor de deformaciones referido a las direcciones principales tendrá laforma:

D =

ǫ1 0 00 ǫ2 00 0 ǫ3

.

A la vista de su forma diagonalizada, la expresión general del tensor dedeformaciones resulta ser:

ǫnx Γxy Γxz

Γxy ǫny Γyz

Γxz Γyz ǫnz

.

5El carácter de «teórico» de dicho factor viene dado por el hecho de que en la realidad laconcentración de esfuerzo no va a ser tan grande como se puede prever mediante la teoría dela elasticidad.

1.3. Análisis de deformaciones 13

Veamos cuál es el significado de los términos situados fuera de la diagonalprincipal. Si se calcula la expresión de los corrimientos unitarios (por ejem-plo, δz

dx = αx) y se tiene en cuenta que esos mismos corrimientos se obtendríanmultiplicando escalarmente el vector deformación (i.e., el producto del tensorpor el vector director del plano) por el vector unitario en la dirección en la quese desea calcular el corrimiento, se deduce que: los términos fuera de la dia-gonal principal del tensor de deformación representan la mitad de la variaciónde un ángulo inicialmente recto, de lados paralelos a los correspondientes ejescoordenados. Por ejemplo

αx + αy = 2Γxy =τxy

G.

El tensor de deformaciones puede escribirse entonces:

D =

ǫnx12γxy

12γxz

12γxy ǫny

12γyz

12γxz

12γyz ǫnz

.

Se demuestra que realizando un giro, cualquier tensor de deformación puedetransformarse en otro equivalente que sólo tenga términos distintos de cero enla diagonal principal. Se demuestra, además, que dichos términos son iguales alos calculados mediante las ecuaciones anteriores. Resulta, por tanto, que dichasexpresiones son válidas en cualquier situación, y la tensión tangencial no afectaen absoluto a los alargamientos unitarios. A dichas expresiones, junto con estasotras:

γxy =τxy

G; γxz =

τxz

G; γyz =

τyz

G,

se las conoce como leyes de Hooke generalizadas.

La aplicación de dicho giro permite también demostrar que 12γxy = 1+µ

E τxy.Si esta expresión se compara con las leyes de Hooke, se obtiene una relaciónentre ambos módulos de elasticidad, a través del coeficiente de Poisson:

E = 2(1 + µ)G.

Deformaciones ante solicitaciones simples. Teoremas de Mohr Del mismomodo que las tensiones producidas por un esfuerzo cortante eran muy pequeñas,muy pequeños serán también los desplazamientos por él producidos, por lo queen la práctica se despreciarán.

Esfuerzo normal Un esfuerzo normal produce un alargamiento en su mis-ma dirección, i.e., un desplazamiento de las secciones perpendiculares al esfuerzoen la dirección del mismo. Si dδ es el desplazamiento de una sección x con res-pecto a otra muy próxima, separada de ella una distancia dx, se tiene:

dδ = ǫdx;

δ = (∆l)x0−x =

∫ x

x0

ǫdx =

∫ x

x0

σ

Edx =

∫ x

x0

N

EΩdx.

14 1.3. Análisis de deformaciones

Momento flector Anteriormente se dedujo la relación para la curvaturade la deformada de la línea neutra:

1

ρ=

dθ

ds=

MF

EI.

Por otro lado, en una curva cualquiera y(x), puede hallarse el radio de curva-

tura mediante la expresión 1ρ =

(

y′′

1+y′2

)3

2

. Como aquí nos encontramos ante

deformaciones pequeñas, y′2 ≪ 1, con lo que

EIy′′ = MF (x).

De esta ecuación diferencial, integrada con las condiciones de contorno que im-ponen los apoyos, se obtiene la ecuación de la deformada de la línea neutra (olínea elástica).

La relación entre el momento y la curvatura permite extraer dos impor-tantes conclusiones. Primero, si se admite que las deformaciones son pequeñas,ds ≈ dx (i.e., longitudes muy pequeñas, medidas sobre la deformada, son muysimilares a las correspondientes antes de la deformación). La relación anteriorpuede expresarse como: dθ = MF

EI ds ≈ MF

EI dx. El ángulo dθ coincide con el queforman las tangentes a la deformada en los límites de dx. Por tanto, el ánguloformado por las tangentes a la deformada en los puntos cualesquiera será:

θ1−2 =

∫ 2

1

dθ =

∫ x2

x1

MF

EIdx.

A este resultado se le conoce como primer teorema de Mohr. Segundo, la longi-tud del segmento definido por los puntos de corte de las tangentes a la deformadaen dos puntos próximos y una recta vertical por x0 será: dv = (x − x0)dθ =(x − x0)

MF

EI dx. Así:

v =

∫ x

x0

(x − x0)MF

EIdx.

Este resultado es el segundo teorema de Mohr.

Momento torsor Más arriba se dedujo la expresión del ángulo girado pordos secciones próximas de un prisma de sección circular sometido a un momentotorsor: dθ = MT

GJ0

dx. De este modo, el ángulo girado por una sección cualquierarespecto de otra será:

θ1−2 =

∫ x2

x1

MT

GJ0dx.

Potencial interno. Teoremas de Castigliano y Menabrea El potencial internoes la energía potencial elástica que almacena el sólido deformado. Por el principiode conservación, ha de ser igual al trabajo que realizan las fuerzas exteriores aldesplazar su punto de aplicación durante la deformación.

2. Materiales 15

Según la hipótesis de aplicación progresiva de las cargas, fuerza y desplaza-miento son, en todo momento, proporcionales : F (δ) = αδ. Por tanto, la contri-bución al potencial interno de una fuerza exterior será:

Ui =

∫ δi

0

F (δ)dδ =

∫ δi

0

αδdδ =1

2αδ2

i =1

2Fiδi.

El potencial interno será el sumatorio de las aportaciones de todas las fuerzasexteriores (en el caso de fuerzas puntuales) o la integral correspondiente (en elcaso de fuerzas distribuidas): U = 1

2

∫

xF (x)dδ(x). De manera análoga, las apor-

taciones al potencial interno de momentos exteriores (puntuales o distribuidos)será: Ui = 1

2Miθi y U = 12

∫

x Mi(x)dθ(x).

El valor total del potencial interno debido a los esfuerzos normales, los mo-mentos flectores y los momentos torsores puede hallarse mediante la integraciónde los potenciales referidos a cada elemento diferencial del sólido:

Un =1

2

∫

Ndδ =1

2

∫

Nǫdx =1

2

∫

NN

EΩdx =

∫

N2

2EΩdx;

Ux =1

2

∫

MF dθ =1

2

∫

MFMF

EIdx =

∫

M2F

2EIdx;

Us =1

2

∫

MT dθ =1

2

∫

MTMT

GJ0dx =

∫

M2T

2GJ0dx.

Teniendo en cuenta que la deformación producida por una fuerza puntuales proporcional a su valor, su aportación al potencial interno del sólido puedeexpresarse como:

Ui =1

2Fiδi =

1

2Fi

Fi

α=

F 2i

2α

De este modo, se tiene que ∂U∂Fi

= Fi

α = Fi

α = δi. Este resultado es el teoremade Castigliano: la derivada parcial del potencial interno con respecto a unafuerza exterior es igual al desplazamiento del punto de aplicación de la fuerza enla dirección de la misma. Paralelamente, la derivada con respecto a un momentoexterior es igual al giro, en la dirección del momento, de la sección en la que estéaplicado. Como corolario del teorema de Castigliano se obtiene se obtiene elteorema de Menabrea: la derivada parcial del potencial interno con respectoa una reacción hiperestática —fuerza o momento— es cero, pues al tratarse deuna reacción no hay ni desplazamiento ni giro.

2. Materiales

2.1. Propiedades mecánicas de los materiales

Ensayo de tracción. Resistencia estática El ensayo de tracción6 sirve paradeterminar la resistencia a tracción de los materiales y la relación entre esfuerzos

6Existe un ensayo similar a compresión, que produce resultados semejantes a los que sedescriben a continuación para el ensayo a tracción. La forma de la probeta es ligeramente

16 2.1. Propiedades mecánicas de los materiales

y alargamientos que presentan. Consiste en someter una probeta de seccióncircular uniforme a una serie de esfuerzos de tracción crecientes. A medida quese hace variar el esfuerzo, se van tomando datos de fuerzas y alargamientosque mediante los cálculos correspondientes se transforman en tensiones y enalargamientos unitarios, los cuales se representan a continuación en un diagramatensión–deformación. En el eje de ordenadas se representa la carga P divididaentre el área inicial A0. El punto P es el límite de proporcionalidad : por debajode él, tensión y alargamiento son perfectamente proporcionales; en el intervalode validez de la ley de Hooke la pendiente del tramo OP es el módulo deelasticidad (E) del material. El punto E es el límite de elasticidad y separa eldiagrama en una zona elástica y una zona plástica. Entre P y E, la tensión y elalargamiento dejan de ser proporcionales, pero cuando la carga cesa el materialrecupera su forma inicial, sin que se produzca deformación permanente alguna.Por el contrario, para cargas por encima de E el sólido no recupera nunca suforma inicial; la recuperación se produce desde el punto que se ha alcanzado ysiguiendo una línea de pendiente igual al módulo de elasticidad (i.e., paralela altramo proporcional), lo que muestra claramente la aparición de una deformaciónpermanente de valor ǫpy.

Y es el llamado punto de fluencia; a partir de él, pequeños incrementosde la carga producen alargamientos y deformaciones permanentes grandes. Apartir de este punto, comienza a presentarse el fenómeno de la estricción, queconsiste en un estrechamiento significativo de la sección.7 U es el llamado puntode resistencia última; a partir de él, el material no es capaz de hacer frente ala fuerza exterior, se alarga —con movimiento acelerado, pues las fuerzas no seequilibran— y acaba por romperse en F , punto de rotura.8 Puesto que a partirde U , de continuar la aplicación de la carga, la pieza se rompe irremisiblemente,para el diseño se toma como punto de rotura el punto U .

En la zona elástica del diagrama, los alargamientos unitarios pueden calcu-larse con la expresión:

ǫe =l − l0

l0.

En la zona plástica, sin embargo, el alargamiento unitario no es uniforme: esmucho mayor en la zona de estricción que en el resto. En este caso, a diferenciadel anterior, el alargamiento total de la probeta no es significativo de lo queocurre en cada uno de sus puntos, por lo que no es posible medir el alargamientoen un punto concreto, ni calcularlo a partir del alargamiento total. No obstante,sí es posible determinar los alargamientos unitarios a partir de las áreas. Este

distinta para evitar el riesgo de pandeo, y la compresión produce un ensanchamiento en lasección de la probeta, en lugar de un estrechamiento. Ciertos materiales (aceros) poseen igualesresistencias a tracción y a compresión, mientras que otros (hierros, fundiciones) presentanresistencias de compresión del orden de tres veces las de tracción.

7En un material ideal, el punto de fluencia vendría determinado por el comienzo de laestricción, pero en muchos de los materiales utilizados en la práctica no es fácil determinarcon precisión este momento. Por ello, muchas tablas refieren la fluencia al momento en que lacarga produce una deformación permanente ǫpy = 0, 2%, aunque algunas normativas empleanel 0, 5% e incluso el 1%.

8Nótese que, al haber calculado la tensión como PA

en lugar de como PA0

, el punto F estaría

situado por encima de U . Pero esta gráfica sería engañosa pues no se correspondería con elhecho de que las piezas de una máquina se diseñan para que soporten una tensión referida a

su sección inicial.

2.1. Propiedades mecánicas de los materiales 17

cálculo se basa en la hipótesis —respaldada por la experiencia— de que lasdeformaciones sufridas por el sólido no modifican su volumen.9 Así:

ǫe =l − l0

l0=

A − A0

A0= ǫp.

La resistencia de fluencia de un material sy será el valor de la tensión re-ferida al área inicial P

A0

en el punto de fluencia Y . La resistencia última Su

—denominada a veces resistencia de rotura—será el valor de la tensión referidaal área inicial en el punto U .

Elasticidad y plasticidad. Ecuaciones de Hooke y Datsko Es útil introduciruna nueva deformación unitaria, denominada logarítmica, natural o verdadera,que se define como la integral de las deformaciones unitarias de cada elementode longitud:

ǫl =

∫ l

l0

dl

l= ln

l

l0,

siendo su relación con el alargamiento unitario proporcional ǫl = ln (ǫ + 1).Puesto que en la zona elástica los alargamientos son muy pequeños, esa igualdadse puede aproximar a los dos primeros términos del desarrollo en serie de Taylor

de la función logaritmo. De este modo se llega a la conclusión de que ǫle = ǫe.En la zona plástica, por el contrario, es preciso emplear la definición de ǫ sinaproximación alguna: ǫp = ln A0

A .

Puesto que en la zona elástica coinciden ambos alargamientos, la ley deHooke puede expresarse como:

σ = Eǫle; log σ = log E + log ǫle.

Para la zona plástica se admite habitualmente la aproximación de Datsko,

σ =P

A= σ0ǫ

mp ; log

P

A= log σ0 + m log ǫp,

que constituye una generalización de la ley de Hooke. A σ0 se le llama coeficien-te de endurecimiento por deformación plástica, y a m se le llama exponente deendurecimiento por deformación plástica. En el diagrama logarítmico tensión–deformación, ambas rectas logarítmicas se cortan en un punto (de fluencia) quedefine el intervalo de validez de una y otra ecuaciones. Los materiales realespresentan la fluencia antes de ese punto (subfluencia: aleaciones de aluminiorecocido) o después (sobrefluencia: aceros y aleaciones de cobre, latón o níquel).

Dureza La dureza de un material es la resistencia que presenta a ser penetrado.Existen distintos procedimientos para medir la dureza, entre los que destacanlos grados de dureza Rockwell y Brinell. El grado de dureza Rockwell

presenta varias escalas (RA, RB ,. . . ) que se distinguen por la forma y material

9En el diagrama tensión–deformación se representa siempre el alargamiento unitario en lasección de la garganta de la zona de estricción, por corresponder a la de alargamiento unitariomáximo.

18 2.1. Propiedades mecánicas de los materiales

de la herramienta de penetración y por la fuerza aplicada, y presentan tablas deíndices de dureza que se refieren a una dureza de referencia para cada escala.

El grado de dureza Brinell (HB) posee mayor interés. Se calcula como larelación entre la fuerza aplicada y el área de la superficie esférica que deja elpenetrador. El interés que reviste este índice de dureza es que está relacionadocon la resistencia última del material. Esto permite encontrar dicha resistenciamediante un ensayo no destructivo —que de este modo puede realizarse sobrela pieza fabricada. Para los aceros, dicha relación es:

Su = 0, 45HB kpsi; Su = 3, 10HB MPa.

Para hierros y fundiciones:

Su = 0, 23HB − 12, 5 kpsi; Su = 1, 58HB − 86 MPa.

Fragilidad y ductilidad Un material es dúctil cuando es capaz de soportargrandes deformaciones permanentes sin romperse. En caso contrario, el materiales frágil. Puesto que las transformaciones permanentes se inician, en la práctica,a partir del punto de fluencia, puede afirmarse que un material es dúctil si lospuntos de fluencia y resistencia última en el diagrama tensión–deformación estánseparados. Un material es frágil si dichos puntos están próximos.

Una medida de la ductilidad la da la llamada reducción del área en la frac-tura,

Rf =A0 − Af

A0= 1 − Af

A0,

donde A0 es el área inicial de la sección de la probeta y Af la zona de estricciónde la fractura. Desde un punto de vista didáctico, puede establecerse que unmaterial es dúctil cuando su reducción de área en la fractura Rf es mayor oigual al 5 %, y frágil si es menor.

Efecto de la temperatura Tanto los valores de la resistencia a fluencia como losde la resistencia última varían con la temperatura. Existe, además, un intervalode temperaturas —situado, en el caso de los aceros, entre los 20 y los 150—en el cual la ductilidad del material se incrementa, puesto que aumenta el valorde la resistencia de rotura en relación con el de la de fluencia.

Sensibilidad a la entalladura No todos los materiales se comportan igual antela concentración de esfuerzos. Probablemente, el motivo de ello estriba en laspequeñísimas deformaciones plásticas —o, al menos, situadas fuera de la zonade proporcionalidad— que se producen en torno a las zonas de concentración deesfuerzos, que dan lugar a redistribuciones locales de las tensiones, por lo queel valor de la tensión máxima que realmente aparece es menor que el previsto,y además depende del material del que se trate. Ello sugiere la introducción deun factor de concentración de esfuerzos kf tal que la tensión máxima real en lazona de concentración del esfuerzo venga dada por

σ = σ0kf ,

2.2. Materiales empleados en la construcción de maquinaria 19

donde kf ≥ kt. Para determinar kf se introduce el concepto de sensibilidad a laentalladura, q, que se define como

q =kf − 1

kt − 1,

El interés de este parámetro estriba en que es constante para cada material ytipo de carga, i.e., no depende de la forma del sólido ni de la magnitud de lacarga.

2.2. Materiales empleados en la construcción de maquinaria

Fundición Los materiales para fundición más comúnmente utilizados son elhierro colado gris, el hierro colado blanco y el hierro colado dúctil. Sus respec-tivas características mecánicas son las siguientes.

Hierro colado gris Los hierros colados grises —también llamados fun-diciones grises— están formados fundamentalmente por ferrita y grafito, esteúltimo en forma de láminas delgadas. Se trata de materiales frágiles, de bajaresistencia a tracción, buena resistencia a la compresión —tres o cuatro vecesmayor que la de tracción— y módulos de elasticidad muy variables, tanto deunos hierros a otros, como con respecto al alargamiento (i.e., estos materiales nocumplen la ley de Hooke). Las características mecánicas de estos hierros se ma-nifiestan en sus diagramas de tensión–deformación en dos rasgos significativos:el tramo inicial del diagrama no es una recta y la zona plástica es prácticamenteinexistente.

Hierro colado blanco Los hierros colados blancos —fundiciones blancas—están formados por cementita y perlita, sin la presencia de grafito. Son mate-riales frágiles y duros, muy resistentes al desgaste. Si se someten a un (largo)recocido, se obtiene un material con Sut relativamente elevada y razonablementedúctil, llamado hierro colado o fundición maleable.

Hierro colado dúctil También llamado hierro colado o fundición nodular,se obtiene aleando magnesio y cesio al hierro. Las fundiciones nodulares presen-tan una ductilidad semejante a la del hierro colado blanco, pero sin necesidaddel largo recocido. Presentan módulos de elasticidad elevados y constantes con elalargamiento, así como resistencias a la compresión semejantes a las de tracción.

Aceros. Tratamientos térmicos. Trabajo en frío Todos los aceros aleados pre-sentan una serie de propiedades comunes. Las resistencias a tracción y a com-presión son sensiblemente iguales. Los módulos de elasticidad y de Poisson sonprácticamente invariantes de unos aceros a otros:

E = 207 MPa; µ = 0, 292 ≈ 0, 3; G = 79, 3 GPa.

También son razonablemente dúctiles y sensibles a la entalladura.

20 2.2. Materiales empleados en la construcción de maquinaria

Tratamientos térmicos y procesos de trabajo en caliente Un acero, des-pués de templado, se somete a un tratamiento térmico posterior que puede ser detres tipos: revenido, recocido o normalizado. El revenido es un calentamiento pordebajo de la temperatura crítica. Cuanto mayor es la temperatura de revenido,menores son las resistencias a fluencia y a rotura y mayor es la ductilidad.

El recocido es un tratamiento por encima de la temperatura crítica queproporciona resistencias menores y menor ductilidad, pero elimina las tensionesresiduales producidas por los procesos de trabajo en caliente.

El normalizado es un tratamiento a temperatura superior aún a la del reco-cido, que mejora con respecto a éste las resistencias a fluencia y a rotura, peroque disminuye la ductilidad.

Los procesos de trabajo en caliente consisten en tratamientos mecánicos ope-rados a temperatura suficientemente alta sobre materiales dúctiles, con el fin deconferirles una forma determinada. Los más usuales son el laminado por rodillos,la extrusión, el prensado y la forja mediante martinetes. Todos estos procesosinducen esfuerzos residuales en el material, debido a las enormes deformacionesy al enfriamiento no uniforme.

Estirado en frío El estirado en frío de los aceros es un proceso mediante elcual se consigue aumentar las resistencias —tanto la de fluencia como última—a costa de una pérdida de ductilidad. El proceso consiste en estirar el acero porencima de su límite de elasticidad para que alcance un nuevo punto de fluenciamás elevado.

Para determinar las propiedades de un acero estirado, se define en primerlugar el factor de trabajo en frío como

W1 =A1

A0.

De esta definición se sigue que el alargamiento verdadero será: ǫ1 = ln 11−W1

.Al estar el nuevo punto de fluencia en la zona plástica, tensión y alargamientoverifican la ecuación de Datsko; por otra parte, la tensión de rotura será elcociente entre la carga de rotura, sin variación, y el nuevo área. Así, los valoresde las resistencias de fluencia y última serán:

S′y = σ0

(

ln1

1 − W1

)m; S′

u =Su

1 − W1.

Por otra parte, con el estirado el punto de fluencia se acerca al de rotura, conlo que el material pierde ductilidad. Dicho de otro modo, la nueva reducciónde área en la fractura posee un valor más pequeño, al ser también menor lasección de partida. En consecuencia, un acero estirado en frío presenta, respectoal acero del que proviene, mejores resistencias, tanto a fluencia como a rotura—manteniéndose la igualdad entre los valores de las resistencias a tracción y acompresión— y mayor dureza, pero menor ductilidad.

2.2. Materiales empleados en la construcción de maquinaria 21

Graneado El proceso de graneado (shot-peening) consiste en someter alelemento, tras su fabricación, a un bombardeo con perdigones que introduzcaen él —en las zonas próximas a las superficies tratadas— tensiones residuales decompresión. Se trata, por tanto, no de mejorar la resistencia del acero, como enel estirado, sino de que la tensión inducida, al componerse con la que producela solicitación exterior, dé como resultado una tensión menor. El interés de estemétodo se basa en dos hechos. Primero, el inicio de la grieta, y sobre todo lapropagación de la misma, es más probable en zonas sometidas a tracción y másdifícil en zonas sometidas a compresión. Segundo, las cargas de fatiga de tracciónson mucho más dañinas que las de compresión; por tanto, no es preocupanteque la tensión residual inducida alcance valores elevados.

Cuando los impactos se reparten uniformemente a lo largo de toda la sec-ción, la composición de todas las correspondientes zonas de compresión defineuna capa, justo debajo de la superficie, que se denomina capa de compresiónresidual o inducida. El valor de la tensión varía con la profundidad, presentan-do una compresión máxima en una zona cercana a la superficie. El valor de lacompresión residual máxima es función de la intensidad de graneado, que esuna medida de la energía de los perdigones, y de la dureza brinell de los mis-mos. La profundidad de la tensión residual depende también de la intensidadde graneado y de la dureza brinell del acero que granea.

Como proyectiles para graneado se utilizan pequeñas bolas de acero endure-cido, vidrio o material cerámico. Una ventaja importante del graneado es que serealiza sobre la pieza ya fabricada, de manera que es posible aplicarlo únicamen-te a aquellas zonas que van a estar sometidas a mayores tensiones de tracción.El inconveniente fundamental del graneado es que el acabado superficial de lapieza se deteriora. Cuando el acero se trata térmicamente después del graneado,parte de las tensiones inducidas se liberan, de manera que la compresión residualse reduce y el punto de máxima compresión se desplaza a zonas más internasdel material.

Aceros aleados e inoxidables Los aceros aleados presentan propiedades lige-ramente distintas a las anteriormente citadas. Los aceros al cromo presentanmayor dureza a igual ductilidad —o mayor ductilidad a igual dureza— que losaceros sin alear. Los aceros al níquel proporcionan mayor resistencia, tambiéna igual ductilidad. Los aceros inoxidables, con un contenido en cromo superioral 12 %, son duros y frágiles y presentan una gran resistencia a la corrosión,aunque no frente a todos los agentes corrosivos.

Materiales ligeros Los materiales ligeros empleados en ingeniería mecánicapresentan la ventaja de su reducido peso, pero el inconveniente de su menorresistencia. En general, tienen interés aquellos cuya relación resistencia/peso es,al menos, del orden de la de los aceros. Tienen importancia las aleaciones dealuminio, de magnesio y de cobre.

Aleaciones de aluminio Las aleaciones de aluminio tienen pesos especí-ficos del orden de 2770 fracKgm2, una tercera parte de la de los aceros, y

22 3. Consideraciones estáticas en el diseño mecánico

resistencias últimas de 90 MPa. No obstante, por tratarse de materiales dúctileses posible estirarlos, y por tanto estas resistencias pueden mejorarse. Su módulode elasticidad es de 71 GPa, también una tercera parte de la de los aceros.

Presenta una relación resistencia/peso excelente, así como una elevada con-ductividad eléctrica y térmica. Son resistentes a la corrosión, debido a que sufacilidad para oxidarse hace que se forme una capa que protege eficazmente.Se trata de una capa delgada que puede desaparecer por abrasión o desgaste,pero es posible crear una capa de óxido más gruesa por tratamiento electrolítico(aluminio anodizado).

Magnesio El magnesio es aún más ligero que el aluminio, manteniendouna relación resistencia/peso similar, aunque es mucho más caro. Encuentraaplicación cuando el peso es determinante, como en el caso de la industria ae-ronáutica.

Aleaciones de cobre Las aleaciones de cobre de mayor uso en mecánicason las de cinc, llamadas latones, cuyas propiedades varían mucho con las pro-porciones. Los latones con un contenido en cinc de 5–15 % son dúctiles, duros,resistentes a la corrosión, y presentan una resistencia de rotura mayor que ladel cobre sin alear. A medida que aumenta la proporción de cinc, aumenta laresistencia pero disminuye la ductilidad y la resistencia a la corrosión. Si ademásse alean con estaño o aluminio, la resistencia a la corrosión se recupera en ciertamedida.

Otros materiales En la actualidad la utilización de materiales plásticos estáexperimentando un auge importante. Se distingue entre los termoplásticos —materiales modulables a temperaturas altas, que mantienen sus características yque por tanto pueden moldearse más de una vez— y los plásticos termoestables—que terminan de polimerizar con el primer tratamiento térmico de moldeado,por lo que éste sólo se puede realizar una vez—.

Por lo general, los plásticos presentan módulos de elasticidad bajos y resis-tencias muy variables de unos a otros, aunque algunos de ellos pueden presentarresistencias de rotura similares a las de algunos aceros.

3. Consideraciones estáticas en el diseño mecáni-

co

3.1. Diseño por resistencia estática

Introducción. Concentración del esfuerzo ante solicitaciones estáticas Enlos materiales dúctiles, puede ocurrir que la tensión real supere la tensión defluencia en los puntos de concentración de esfuerzos. Al tratarse de un fenómeno

3.1. Diseño por resistencia estática 23

muy localizado, la zona afectada se endurece por deformación plástica —en esospuntos, la resistencia de fluencia pasa a tener un valor mayor– y no se producela deformación permanente del sólido. La resistencia aumenta en la cantidadprecisa para hacer frente a la tensión adicional fruto de la concentración deesfuerzos; por tanto, en materiales dúctiles sometidos a carga estática, este efectopuede despreciarse.

Criterios de fallo estático. Tensiones equivalentes Obviamente, no todos losposibles parámetros elásticos son representativos del estado del sistema. Unestado tensional está perfectamente determinado por los valores de las tres ten-siones principales σ1, σ2 y σ3, de forma que el parámetro que se elija será unafunción de ellas, f(σ1, σ2, σ3). En el momento del fallo en el ensayo de tracción,el estado tensional al que está sometido el material es σ1 = St, σ2 = 0 y σ3 = 0—siendo St la resistencia a fluencia (Syt) o la resistencia a rotura (Sut), segúnel fallo que se desee estudiar—. Así, si n es el factor de seguridad, se tiene:

f(nσ1, nσ2, nσ3) = f(St, 0, 0).

El factor de seguridad se define como la resistencia de fluencia o de roturadividida entre la tensión equivalente, n = St

σeq. Dicha tensión equivalente varía

con el criterio de fallo a utilizar. Para calcular el factor de seguridad deberádeterminarse previamente el punto del sólido en el cual la σeq correspondienteal criterio escogido es máxima.

Criterio de la tensión normal máxima o de Rankine Este criterio suponeque el fallo se produce cuando la tensión normal máxima toma el valor quetoma en el ensayo de tracción en el momento del fallo. La tensión equivalentede Rankine será, por tanto, σeq = σ1.

No obstante, en el caso de estados tensionales en los que la tercera tensiónprincipal sea negativa, debe compararse el factor de seguridad obtenido con σ1

con el que se obtiene de hacer n = −St

σ3

, y tomar el que resulte menor de losdos. La tensión equivalente, por tanto, puede ser o bien σ1 o bien −σ3, segúnlos casos; las siguientes ecuaciones tienen el cuenta ambas posibilidades:

n =St

max(

σ1,− St

Scσ3

) ; σeq,R = max

(

σ1,−St

Scσ3

)

.

Criterio de la tensión cortante máxima o de Tresca Este criterio suponeque el fallo se produce cuando la tensión cortante máxima toma el valor quetoma en el ensayo de tracción en el momento del fallo. De los círculos de Mohr

se deduce que la tensión cortante máxima es σ1−σ3

2 , con lo que el factor deseguridad y la tensión equivalente de Tresca serán:

n =St

σ1 − σ3; σeq,T = σ1 − σ3.

24 3.1. Diseño por resistencia estática

Criterio de la energía de distorsión o de von Mises Este criterio suponeque el fallo se produce cuando la energía de distorsión toma el valor que tomaen el ensayo de tracción en el momento del fallo. La energía de deformación porunidad de volumen —potencial interno— puede expresarse como:

U =1

2(σ1ǫ1 + σ2ǫ2 + σ3ǫ3).

De la ley de Hookese sigue que σ1ǫ1 = 1E (σ2

1 − µσ1σ2 − µσ1σ3); al llevar estaexpresión a la ecuación del potencial interno resulta:

U =1

2E

[

σ21 + σ2

2 + σ23 − 2µ(σ1σ2 + σ1σ3 + σ2σ3)

]

. (4)

Además, el estado tensional puede descomponerse en dos: un término medio,σm = σ1+σ2+σ3

3 , y un resto, σ′′1 = σ1 − σm. El primer término representa una

dilatación; su correspondiente energía de deformación —energía de dilatación—vendrá dada por la ecuación (4), particularizada para el caso de que σ1 = σ2 =σ3 = σm, i.e.,

Um =1

2E(3σ2

m − 2µ3σ2m) =

3(1 − 2µ)

σ

2

m=

1 − 2µ

6E(σ1 + σ2 + σ3)

2.

El segundo término representa una distorsión,y su energía de deformación —energía de distorsión— será la diferencia entre la energía de deformación totaly la energía de dilatación. Operando, se llega a:

Ud =1 + µ

6E

[

(σ1 − σ2)2 + (σ1 − σ3)

2 + (σ2 − σ3)2]

.

El factor de seguridad y la tensión equivalente de von Mises vendrán dadaspor las ecuaciones:

n =St

√

12 [(σ1 − σ2)2 + (σ1 − σ3)2 + (σ2 − σ3)2]

;

σeq,vM =

√

1

2[(σ1 − σ2)2 + (σ1 − σ3)2 + (σ2 − σ3)2].

Criterio de la fricción interna o de Mohr Este criterio establece que elfallo se produce cuando el mayor de los círculos de Mohr es tangente a lacurva envolvente de los mayores círculos de Mohr correspondientes a todos losposibles estados tensionales en que se alcanza el fallo. Obviamente, no es posiblehallar esta envolvente, pero se obtiene una aproximación aceptable haciéndolacoincidir con la tangente común a los círculos de Mohr correspondientes almomento en que se alcanza el fallo en los ensayos de tracción.

Por consideraciones geométricas, se llega a las siguientes expresiones parael factor de seguridad y la tensión equivalente de Mohr:

n =St

σ1 − St

Scσ3

; σeq,M = σ1 −St

Scσ3.

3.1. Diseño por resistencia estática 25

Fallo de materiales dúctiles y frágiles Para comprobar la validez de los cri-terios de fallo anteriores es preciso recurrir a la experimentación. Se someteel material a diferentes estados tensionales hasta el fallo, calculando en cadaocasión las tensiones principales y comprobando si se ajustan a las ecuacionescorrespondientes.

Los ensayos se restringen a estados tensionales planos, y se designan porσA y σB los valores de las dos tensiones principales no nulas del estado plano.Estas tensiones principales se corresponden con σ1, σ2 y σ3 de distinta maneradependiendo de cuál sea la mayor y la menor de las tres. Para cada criteriode fallo se toma la expresión de su σeq, que viene dada en función de σ1, σ2

y σ3. Para cada zona del diagrama correspondiente, se sustituyen σ1, σ2 y σ3

por las σA, σB o 0 correspondientes a esa zona y se iguala la σeq obtenidaa St. Así se obtiene una función de σA y σB , que representada en unos ejesσA − σB proporciona la curva de predicción de fallo correspondiente al criterioconsiderado.

Para comprobar la validez de estos criterios con relación a un materialdeterminado, se someten muestras del material a estados tensionales planos(σA, σB) que se hacen aumentar proporcionalmente hasta que se produce elfallo. Los valores de σA y σB que dan lugar al fallo representan un punto en eldiagrama σA − σB. Repitiendo el ensayo para diferentes relaciones entre ambastensiones se obtiene una distribución de puntos y puede comprobarse si dichadistribución se ajusta a alguna de las curvas de predicción de fallo. Se llega alas siguientes conclusiones:

– El comportamiento de los materiales frágiles se ajusta aceptablemente alos criterios de Rankine y Mohr. Ambos criterios coinciden en el primery tercer cuadrante, mientras que, en los otros dos, el de Mohr es másseguro, i.e., precide el fallo a tensiones menores. La experiencia muestraque el criterio de Mohr es, en muchas ocasiones, demasiado restrictivo.El de Rankine, por el contrario, puede pecar de demasiado permisivo.A veces se utiliza un criterio intermedio entre ambos que se conoce comocriterio de Mohr modificado.

– Los criterios de Tresca y von Mises representan con bastante precisiónel fallo de materiales dúctiles sometidos a estados de tensión planos. Sinembargo, con estados tridimensionales funcionan bastante peor. Con esta-dos de presión hidrostática estos criterios son inservibles para predecir elfallo y, en general, con estados triaxiales funcionan con precisión variable,tanto peor cuanto más se parece el estado a uno hidrostático y tanto mejorcuanto más se parece a uno plano.

Un caso relativamente frecuente es el de un material dúctil, sometido a unestado tensional plano, y en el cual una de las tensiones normales es nula; esel caso, por ejemplo, de un eje sometido a flexión y a torsión. En este caso, esinteresante obtener la tensión equivalente no en función de las tensiones prin-cipales, sino de las tensiones normales y de cortadura en la sección transversaldel eje.

Según el criterio de Tresca, la tensión equivalente y el factor de seguridad

26 4. Fractura estática

a fluencia serán:

σeq,T =√

σ2nx + 4τ2

xy; ny,T =Sy

√

σ2nx + 3τ2

xy

.

Por su parte, según el criterio de von Mises:

σeq,vM =√

σ2nx + 3τ2

xy; ny,vM =Sy

√

σ2nx + 3τ2

xy

.

En el caso de tensión cortante pura (σnx = 0), se puede buscar una resis-tencia a la cortadura (Ssy) tal que el factor de seguridad se calcule directamentecomo n =

Ssy

τxy. Dicha resistencia será:

Ssy,T =Sy

2, Ssy,vM =

Sy√3.

4. Fractura estática

4.1. Fractura dúctil y frágil

La concentración de esfuerzos en torno a discontinuidades en el material pro-ducidas por inclusiones, poros, inicios de grieta o defectos tiene un tratamientodiferente al de los casos estudiados en capítulos anteriores. Un radio de curva-tura muy pequeño en una discontinuidad o en el extremo de una grieta agudaproduce un factor de concentración de esfuerzo teórico que tiende a infinito sise estudia desde el punto de vista elástico. Sin embargo, la realidad contradicedicha conclusión. En tales circunstancias, lo que en realidad se produce es unadeformación plástica local, rodeada de una zona sometida a deformación elásti-ca, cuyo estudio ha supuesto el desarrollo de un modelo relativamente complejo.El concepto de fractura frágil se refiere a la rotura sin fluencia de un materialfrágil, y su estudio se plantea como la determinación de las condiciones que sehan de reunir para que se dé el fenómeno de propagación de una grieta.

La mayor parte de los materiales presentan una transición de frágil a dúctil :el material es frágil por debajo de una determinada temperatura —temperaturade transición— y es dúctil por encima de ella. No existen suficientes tablasde temperaturas de transición para los diversos materiales, y por ello se empleacomo indicador de la fragilidad de un material la relación entre las resistencias afluencia y a rotura, Sy

Su. Un valor grande —i.e., próximo a uno— de dicha relación

indica poca capacidad de absorción de energía por deformación plástica y, portanto, riesgo de fractura frágil.

Factor de intensidad de esfuerzo. Tenacidad a la fractura Posiblemente, elcaso más estudiado de propagación de grietas es el de una placa rectangularsometida a tracción, con grieta transversal centrada. Puede demostrarse que,

5. Consideraciones dinámicas en el diseño mecánico 27

para el caso en que h ≫ b ≫ a, el parámetro que rige la propagación de lagrieta, llamado factor de intensidad de esfuerzo, es el definido como:

K0 = σ√

πa.

Otras geometrías poseen otros factores de intensidad de esfuerzo, que engeneral se designarán por KI . Se cumple:

KI =KI

K0K0 =

(

KI

K0

)

σ√

πa,

estando tabulada la relación(

KI

K0

)

para diferentes geometrías. Cada material

dispone de un factor de intensidad de esfuerzo crítico por debajo del cual nohay propagación, y a la inversa. Este factor crítico de intensidad de esfuerzo seconoce también como tenacidad a la fractura, y se ha determinado para muchosmateriales por métodos experimentales.

Seguridad a la propagación de la grieta Si la tenacidad a la fractura es elvalor límite del factor de intensidad de esfuerzo, se puede definir el coeficientede seguridad a la fractura, o a la propagación de la grieta, como:

n =KIC

(

KI

K0

)

σ√

πa.

Del mismo modo, la tensión admisible frente a la propagación de la grieta seráaquella que haga el factor de intensidad de esfuerzo igual a la tenacidad a lafractura entre el factor de diseño; por consiguiente,

σadm =KIC

nd

(

KI

K0

)√πa

.

5. Consideraciones dinámicas en el diseño mecá-

nico

5.1. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas alter-nantes

Introducción al fenómeno de fatiga El fallo por fatiga se presenta en elemen-tos mecánicos sometidos a cargas variables con el tiempo, y se caracteriza porla rotura repentina después de un cierto período de funcionamiento. El fallo seproduce sin deformación permanente visible o alteración apreciable de cualquierotro tipo, lo que lo hace mucho más peligroso que el fallo estático.

Para estudiar el fenómeno se diseñó un ensayo llamado de viga rotatoria,consistente en someter una probeta se sección circular a un esfuerzo de flexión

28 5.1. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas alternantes

producido por una carga fija respecto de los ejes del laboratorio, y poner la pro-beta a girar. Para intentar crear un modelo de comportamiento que se ajustaraa los resultados obtenidos se representó en un diagrama logarítmico el valor dela tensión máxima alternante y el número de ciclos en los que se producía larotura. El diagrama resultante —llamado diagrama de fatiga o diagrama Wöh-

ler— es válido para aceros de cualquier tipo y para materiales férreos, pero nopara otros materiales tales como los plásticos y las aleaciones de aluminio.

Diagrama de fatiga. Resistencia a la fatiga y límite de fatiga Observandoel diagrama de fatiga pueden extraerse varias conclusiones. En primer lugar,existe un valor de tensión —llamado límite de fatiga de la viga rotatoria— pordebajo del cual la probeta no se rompería a causa del esfuerzo. Asimismo, existeuna duración que, una vez alcanzada, asegura que la probeta no se romperá conesa tensión. Esta duración constituye la frontera entre la duración limitada yla duración infinita; en el caso de los aceros, dicha frontera se localiza entre los106 y los 108 ciclos, según la composición, el tratamiento térmico, el endurecidosuperficial, etc.

En la zona de vida finita, se observan dos tendencias diferenciadas. La pri-mera, entre 1 y 103 ciclos, muestra una reducción muy tenue del valor de latensión límite de fallo. Esta zona se llama zona de fatiga de ciclo bajo, y enella el material se comporta de manera muy similar a como lo hace frente acargas estáticas, con una leve reducción del valor de la resistencia. La otra zona,llamada zona de fatiga de ciclo alto, y localizada entre los 103 y los 106 ciclosaproximadamente, muestra una reducción de la resistencia con la duración mu-cho más brusca; se comprueba que, en esta zona, el material se comporta demanera sensiblemente distinta a como lo hace frente a cargas estáticas.

A la luz del diagrama Wöhler se observa la utilidad de introducir un nuevoconcepto, la resistencia de fatiga (Sf ), que se define como la máxima tensiónalternante que no produciría fallo tras N ciclos de inversión de esfuerzo, y sítras uno más. Así, el diagrama de fatiga de un material muestra la resistenciade fatiga del mismo para cada duración.

Corrección del límite de fatiga. Ecuación de Marin Se han realizado pruebasadicionales que revelan que algunos factores tienen influencia en la resistenciapara vida infinita cuando s alterna respecto de las condiciones del ensayo de vigarotatoria. Se conoce como límite de fatiga corregido (Sc) el valor de la tensiónalternante máxima para vida infinita que puede soportar un sólido resistente enlas condiciones de funcionamiento del ensayo de viga rotatoria.

Los factores que afectan al límite de fatiga son el acabado superficial, eltamaño, la naturaleza de la carga, la temperatura y una serie de efectos diversosentre los que destaca la concentración de esfuerzo. El límite de fatiga corregidopuede calcularse mediante la ecuación de Marin:

Se = kakbkckdkeS′e,

donde ka es el acabado superficial, kb el factor de tamaño, kc el factor de carga,kd el factor de temperatura y ke el factor de efectos diversos.

5.1. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas alternantes 29

Factor de acabado superficial Acabados peores que el empleado en el ensayode viga rotatoria reducen el límite de fatiga; además, esta reducción es tantomayor cuanto mayor sea la resistencia última del material. El factor de acabadosuperficial puede calcularse mediante la fórmula empírica

ka = Sbut,

siendo a y b factores específicos para cada material.

Factor de tamaño Las probetas empleadas en el ensayo de viga rotatoriatienen un diámetro de 0,3 pulgadas; mayores diámetros pueden reducir el límitede fatiga. En el caso de flexión y torsión, el factor de tamaño puede evaluarsemediante las expresiones:

kb =(

d0,3

)−0,1133

con 0,11 ≤ d ≤ 2,00, d en pulgadas,

kb =(

d7,62

)−0,1133

con 2,79 ≤ d ≤ 51, d en milímetros.

Para el caso de carga axial, el tamaño no influye en el límite de fatiga, y portanto kb = 1.

Para el caso de secciones no circulares o no rotatorias sometidas a flexióno torsión, es necesario disponer de un diámetro efectivo, de manera que la re-ducción porcentual del límite de fatiga de una probeta con un diámetro igual aldiámetro efectivo fuese igual a la reducción porcentual del límite de fatiga de lasección de sólido que se está considerando. Este diámetro efectivo se determinaa partir del área de 95 % de esfuerzo, que se designa como A95, y que se definecomo el área determinada por los puntos de la sección que en algún momentoestán sometidos a una tensión mayor o igual que el 95 por ciento del diámetroabsoluto.

Calculemos, en primer lugar, el área de 95 % de esfuerzo de una seccióncircular de radio r sometida a flexión rotatoria. De acuerdo con la ley de Navier,el punto de mayor tensión será el de y = r, y todos los puntos situados porencima de y = 0,95r estarán sometidos a una tensión mayor o igual que el95 % de la máxima. Ahora bien, al ir rotando el momento, estos puntos se vandesplazando, de manera que los puntos que en algún momento están sometidos auna tensión mayor o igual que el 95 % de la máxima formarán un anillo de radiointerior 0,95r y radio exterior r. Por consiguiente, el área de 95 % del esfuerzode una sección circular de radio r sometida a flexión rotatoria viene dada por:

A95 =π

4

[

d2 − (0,95d)2]

= 0,0766d2.

Veamos cuánto valdría el área A95 en otros casos:

– Sección circular sometida a flexión alternante no rotatoria. Por conside-raciones geométricas se llega a la conclusión de que:

de =

√

0,0105

0,0766d = 0,37d.

30 5.1. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas alternantes

– Sección anular. Es necesario distinguir dos casos, según que el diámetrointerior sea mayor o menor que 0,95 veces el diámetro exterior. En el casode que sea menor, el diámetro efectivo es igual al de una sección circularmaciza de igual diámetro exterior. En efecto, si la flexión es rotatoria,el área del 95 % de esfuerzo sería el mismo anillo de diámetros interiory exterior 0,95d y d, respectivamente, y por tanto de = d. Si la flexiónno es rotatoria, el área de 95 % de esfuerzo serían las mismas zonas Ω deantes, con lo que de = 0,37d. Si el diámetro interior es mayor de 0,95veces el diámetro exterior y la flexión es rotatoria, el área de 95 % deesfuerzo coincidiría con la sección circular completa, de modo que deberíaverificarse

de = 3,203√

d2 − d2i .

Si la flexión no es rotatoria, el diámetro efectivo vendrá dado por:

de = 2,555d

√

0,021 + 0,95di

dsenαi + αi

d2i

d2.

– Sección rectangular sometida a flexión alternante no rotatoria. Si la alturade la sección es h y la anchura b, de acuerdo con la ley de Navier, el áreade 95 % del esfuerzo estará formada por dos rectángulos de altura 0,05h

2y espesor b, situados en los extremos superior e inferior. De este modo,

de =

√

0,05

0,0766hb = 0,808

√hb.

Factor de carga En el caso de carga axial, cuando la resistencia última delmaterial es igual o inferior a 1520 MPa, el factor de carga vale kc = 0,923; entodos los demás casos, kc = 1.

Factor de temperatura Los valores de la resistencia última que se ofrecen enlas tablas suelen referirse a una temperatura de referencia de 20C; a la resis-tencia última medida a dicha temperatura se la denomina SRT . La resistenciaúltima a una temperatura de trabajo T vendrá dada por:

Sut,T =

(

ST

SRT

)

Sut.

Para cuantificar el efecto de la temperatura sobre el límite de fatiga hade tenerse en cuenta que éste depende de la resistencia última a través de tresparámetros: el límite de fatiga no corregido, el factor de acabado superficial y elfactor de carga, además de la sensibilidad a la entalladura, que interviene en elcaso de concentración de esfuerzos en materiales dúctiles. El procedimiento máscorrecto consiste en calcular el valor de la resistencia última a la temperatura detrabajo y con ese valor determinar el límite de fatiga sin corregir y los factoresde Marin que dependen de Sut y, en consecuencia, tomar kd = 1. Sólo en elcaso de que no se disponga de información acerca de los factores de Marin

—sino únicamente de un valor del límite de fatiga corregido—, se habrá deaceptar como válida la aproximación de suponer que los límites de fatiga a la

5.1. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas alternantes 31

temperatura de trabajo y a la temperatura ambiente están en la misma relaciónque las resistencias últimas a ambas temperaturas.

Puesto que, por lo general, se trabaja con el valor corregido de Sut para ladeterminación de ka, kc y, eventualmente, ke, se puede prescindir del factor detemperatura en la ecuación de Marin.

Para temperaturas de trabajo muy elevadas, el comportamiento del materiales mucho más dúctil, por lo que, a semejanza de lo que ocurre con las aleacionesde aluminio, es muy posible que no exista límite de fatiga, i.e., que no hayaningún valor de la tensión alternante que asegure vida infinita.

Factor de efectos diversos Existen diversos factores adicionales que tieneninfluencia en el límite de fatiga; tienen particular importancia los recubrimien-tos —electrolíticos o metalizados— y la corrosión. Dentro de este apartado secontempla también el efecto de concentración de esfuerzo. El factor de concen-tración de esfuerzos real viene dado por kf = 1 + q(Kt − 1). Aunque kf es unfactor multiplicador de la tensión, a efectos de cálculo el resultado es el mismo sise considera dividiendo a la resistencia y no se corrige la tensión nominal. Desdeeste punto de vista, el efecto de concentración de esfuerzos se podría tener encuenta mediante el factor de reducción del límite de fatiga por concentración deesfuerzos, que vendrá dado por ke = 1

kf.

Ambos enfoques del efecto de la concentración de esfuerzos —como factorcorrector de la tensión o como factor corrector de la resistencia— no son equiva-lentes, y deben emplearse uno u otro dependiendo de la ductilidad o fragilidaddel material.

Por último, es necesario tener en cuenta en los cálculos las incertidumbresasociadas a los datos que se manejan. El problema es complejo, pues hay muchosfactores que intervienen y las incertidumbres asociadas a cada uno son muydiferentes. Salvo para casos muy estudiados, el problema de las incertidumbres sesortea entonces considerando en el diseño un factor de seguridad suficientementegrande.

Para el límite de fatiga de los aceros, si no se dispone de los datos de ensayos,puede emplearse la siguiente correlación:

S′e = mın (0,504Sut, 700 MPa).

La fiabilidad asociada a este valor correlacionado del límite de fatiga es deaproximadamente un cincuenta por ciento.10 Para una fiabilidad R > 0,5, elvalor de S′

e debe reducirse afectándolo del coeficiente keR, cuyo valor puedeobtenerse de:

keR = 2,203

[

1

10log (1 − R)

]3

+ 2,898

[

1

10log (1 − R)

]2

+

+ 1,655

[

1

10log (1 − R)

]

+ 1,0427.

10La utilización de este valor correlacionado exige el empleo de factores de seguridad de 1,3

aproximadamente.

32 5.1. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas alternantes

Influencia de los factores de Marin en la resistencia a fatiga para vida infi-

nita Para la fatiga en ciclo alto, en 103 los factores de Marin no afectan enabsoluto a la resistencia de fatiga, mientras que en 106 afectan, por así decir,completamente; una aproximación aceptable es suponer que para duracionesintermedias los factores de Marin afectan de manera progresiva. Esto propor-ciona un diagrama Wöhler de carácter lineal y sencillo manejo. En el caso demateriales dúctiles, el factor de concentración de esfuerzos no se considera a 103

ciclos, pero sí a 106; entre dichos valores cabe esperar un efecto progresivo dela concentración de esfuerzos, y por tanto éste debe considerarse como reductordel límite de fatiga. En los materiales frágiles, por el contrario, la concentraciónde esfuerzos afecta en todo el intervalo de duraciones; debe considerarse, portanto, como mayorador de la tensión.

Se puede definir el factor de seguridad para una duración de N ciclos como

n =Sf (N)

σa.

Cargas combinadas alternantes. Caso de materiales frágiles Cuando se tie-nen combinaciones de carga alternantes axiales, de flexión y de torsión, el pro-blema del análisis a fatiga se complica considerablemente. Aquí se considerarásolamente el caso de que todas tengan la misma frecuencia y fase de pulsación,que es lo más frecuente en elementos de máquina.

Un procedimiento por el que, al menos, pueden realizarse cálculos a vidainfinita, es el siguiente: en lugar de considerar los factores de corrección del límitede fatiga como multiplicadores de la resistencia, se consideran como divisoresde la tensión. De este modo, cada componente de la tensión se ve afectadopor sus correspondientes factores, de manera que, si se tiene una tensión axialσn, una tensión de flexión σx y una tensión cortante τ , se pueden definir lascorrespondientes tensiones ficticias como las reales divididas, cada una de ellas,por sus correspondientes factores de Marin:

σ∗n =

σn

kakbnkcnken=

Kfnσn

kakcn,

σ∗x =

σx

kakbxkcxkex=

Kfxσx

kakbx,

τ∗ =τ

kakbskcskes=

Kfsτ

kakbs.

Una vez determinados los valores de estas tensiones ficticias, puede determi-narse el valor de la tensión ficticia equivalente, y calcular el factor de seguridadpara vida infinita haciendo n =

S′

e

σ∗

eq. En todo caso, no es posible, por medio

del diagrama de fatiga, determinar la duración ni el factor de seguridad paraduración finita.11

11Excepcionalmente, si la tensión equivalente real es mayor que 0,9Sut, se podría entrar conesa tensión en el diagrama de fatiga de ciclo bajo y calcular la duración, pues en el intervalode 1 a 103 ciclos los factores de Marin no afectan a las resistencias a fatiga. También seráválido para calcular la resistencia a fatiga para una duración inferior a 103 ciclos, y el factorde seguridad para dicha duración.

6. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas fluctuantes 33

6. Diseño por resistencia a la fatiga frente a car-

gas fluctuantes

Influencia de la tensión media. Teorías de fallo por fatiga con tensión media

Consideremos un sólido elástico sometido a una tensión que fluctúa entre dosvalores σmáx y σmín —que, en general, no son iguales y opuestos, como en elcaso de la tensión alternante—. El procedimiento a seguir en estos casos esdescomponer la carga en sus componentes media y alternante:

σm =σmáx + σmín

2; σa =

σmáx − σmín

2,

y suponer que el estado tensional resultante viene dado por la superposición deun estado de carga constante y otro de carga alternante.

La existencia de una tensión media se traduce en una reducción del valor dela resistencia. Para estudiar el problema es útil dibujar, en un diagrama σm-σa,el valor de la componente alternante que, para cada valor de la tensión media,produce el fallo a un cierto número de ciclos, N . Es obvio que, para tensiónmedia nula, la resistencia alternante es Sf , y que para tensión alternante nulael valor de la tensión media para fallo es Sut. La curva, por tanto, deberá pasarpor los puntos (0, Sf) y (Sut, 0).

A partir de aquí, se realizan ensayos con distintos valores de la tensiónmedia, y se miden los valores de la componente alternante que produce falloa N ciclos. Los puntos (σm, σa) obtenidos se representan en el diagrama, y seobtiene así una nube de puntos que posteriormente se intenta correlacionar. Losresultados presentan bastante dispersión, por lo que es recomendable el uso defactores de seguridad elevados. Las distintas correlaciones que se manejan enel diseño constituyen, en definitiva, diferentes hipótesis de cómo es la curva deresistencia entre los puntos A y B del diagrama.

Según el criterio de Goodman, la variación de la resistencia alternante conla tensión media se describe mediante una recta que pasa por A y B, de maneraque el fallo a N ciclos se produce cuando

σa

Sf+

σm

Sut= 1.

El criterio de Goodman constituye una aproximación aceptable en la realidad,y presenta además la ventaja de su carácter lineal; por ello, es la más utilizadaen la práctica.

Otra teoría lineal es la de Soderberg, que supone que, en ausencia detensión media, el fallo se produce cuando σm = Sy. Para tensiones medias entre0 y Sy, la resistencia alternante varía según una recta, de manera que el criteriode fallo a N ciclos se establece como:

σa

Sf+

σm

Sy> 1.

En la mayor parte de los casos, esta teoría arroja resultados excesivamenteconservadores, por lo que se utiliza poco en la práctica.

34 6. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas fluctuantes

Otro criterio bastante empleado es el de Gerber, que supone que la varia-ción de σa con σm se representa mediante una parábola cuyo vértice es el punto(0, Sf ), su eje el de ordenadas, y que pasa por el punto (Sut, 0). La ecuación deesta parábola es:

σa

Sf+

(

σm

Sut

)2

= 1.

Cuando el punto representativo del estado tensional (σm, σa) está situadopor debajo de las curvas, se tiene seguridad para la duración considerada. Siestá sobre la curva correspondiente, cabe esperar el fallo justamente tras esaduración. Su está por encima, el fallo se producirá antes.

El criterio de Soderberg previene contra el fallo por fluencia, en el sentidode que seguridad a fatiga, según este criterio, conlleva seguridad a fluencia, i.e.,asegura que la tensión máxima nunca superará el valor de la resistencia defluencia. Esto no ocurre con las otras dos teorías.

La experiencia también muestra que las tensiones medias de compresión noafectan a la resistencia alternante; en consecuencia, para valores negativos deσm, todos los criterios anteriores se representan mediante rectas horizontalescon ordenada Sf .

Tensión alternante equivalente En este epígrafe se plantea el problema in-verso al anterior: saber qué duración tendrá un elemento, del que se conocenSe y Sut, sometido a un estado tensional σm-σa dado. Recuérdese que todoslos puntos de la curva representan estados tensionales con la misma duración,i.e., que todos los pares (σm, σa) representados por puntos de la curva tienenuna duración de N ciclos. Se llama tensión alternante equivalente al valor de latensión alternante pura —sin componente media— para el cual el sólido tendríala misma duración que tiene para el estado tensional σm-σa al que se encuen-tra sometido. El valor de la tensión alternante equivalente viene determinadopor la intersección con el eje de ordenadas de la curva que contenga al puntocorrespondiente al estado tensional al que esté sometido el sólido. El problemase puede resolver analíticamente con facilidad: designando como σa0 la tensiónalternante equivalente y por (σmp, σap) el punto que define el estado tensionalconsiderado, se tiene:

σa0 =σap

1 − σmp

Sut

=Sut

Sut − σmpσap (Goodman);

σa0 =σap

1 −(

σmp

Sy

)2 =S2

ut

S2ut − σ2

mp

(Gerber);

σa0 =σap

1 − σmp

Sy

=Sy

Sy − σmpσap (Soderberg).

Una vez calculada la tensión alternante equivalente, la duración estimada sedetermina inmediatamente mediante el diagrama de fatiga.

6. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas fluctuantes 35

Línea de carga. Factores de seguridad En la mayor parte de los sistemas me-cánicos, las propias características de funcionamiento hacen que las variacionesde la tensión alternante sólo puedan presentarse acompañadas de variaciones dela tensión media —supóngase, por ejemplo, el caso de un engranaje—.

Para evaluar el factor de seguridad en estos casos, el procedimiento no es tansimple como dividir la resistencia alternante —i.e., el valor máximo de la tensiónalternante para la duración de que se trate y la tensión media de operación—entre la tensión alternante, pues si ésta aumentara también aumentaría, enel ejemplo considerado, la tensión media, con lo que la resistencia alternantedisminuiría y el factor de seguridad así calculado no sería significativo.

Para calcular el factor de seguridad, interesa más bien la proximidad olejanía del estado tensional previsto al estado de fallo que realmente se puedellegar a presentar. Se llama línea de carga a la representación en el diagramaσm-σa de los posibles estados tensionales del sistema que se analiza, cuando lacarga externa experimenta variaciones. En el ejemplo del engranaje, las tensionesmedia y alternante han de ser iguales, con lo que la línea de carga es la rectaσa = σm.

El estado de fallo que se puede llegar a alcanzar será el correspondienteal punto de corte de la línea de carga con la curva correspondiente al criterio—Goodman, Gerber o Soderberg— que se está empleando. El factor deseguridad deberá estar referido de alguna forma, por tanto, al punto correspon-diente al estado límite de fallo. Aquí son posibles dos concepciones del factorde seguridad. Éste puede considerarse como factor de aplicación de la carga, yentonces se trataría de buscar el número nL por el que se ha de multiplicar lacarga, y por tanto las tensiones a las que afecta, hasta que las tensiones mediay alternante fuesen las correspondientes al punto límite A. Desde otro enfoque,el factor de seguridad se considera como factor de reducción de la resistencia yel problema consiste en trazar una recta paralela a la de Goodman que pasepor el punto de diseño D, y encontrar la relación entre la resistencia última yel límite de fatiga «admisible» asó obtenidos, con los empleados en el diseño.

Obviamente, la línea de carga no siempre coincidirá con la bisectriz delprimer cuadrante. Otras posibles líneas de carga se representan en el diagramaσm-σa mediante rectas horizontales, verticales o inclinadas que no pasan por elorigen. Un defecto de montaje, como por ejemplo de un eje sometido a flexiónrotatoria que, por una colocación inadecuada de los cojinetes de apoyo, se vesometido a un alargamiento y, por tanto, a un esfuerzo axial constante, tendráuna línea de carga vertical σm = σd, siendo σd la tensión axial producida porel defecto de montaje. Otro ejemplo es el de un fleje sometido a flexión porleva. En la posición de equilibrio, el fleje está sometido a una tensión de flexiónmedia, tanto mayor cuanto más cerca esté de la leva; pero la tensión alternanteserá invariante: será la que corresponde a la deformación que produce la leva enel fleje, que está perfectamente determinada por la dimensión de la leva. En talcaso, la línea de carga será una línea horizontal, σa = cte.

Fatiga en tensión La experiencia muestra que, para cálculos a vida infinita,y si se dan las condiciones de material dúctil, pulido, cilíndrico y sin mellas,

36 6. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas fluctuantes

la resistencia a fatiga de una probeta sometida a torsión pura fluctuante nodepende de la tensión media. Si no se da alguna de dichas condiciones, la re-sistencia alternante para vida infinita evoluciona según una recta parecida a lade Goodman, que pasa por los puntos (0, 0,577Sc) y (0,67Sut, 0) que se llamarecta de Joerres y cuya ecuación es:

τa

0,577Se+

τm

0,67Sut= 1.

Esto es válido solamente para vida infinita; para cálculos a vida finita se obtienemayor precisión empleando la tensión equivalente y los diagramas de Goodman

normales.

Cargas combinadas fluctuantes. Caso de materiales frágiles En general, elcaso de combinación de cargas axiales, de flexión y de torsión, todas con com-ponentes medias y alternantes, puede analizarse solamente para el caso de vidainfinita. Se calcularía una tensión media equivalente con los valores reales de lascomponentes medias, únicamente afectadas de los correspondientes factores deconcentración de esfuerzos, si se trata de un material frágil. Con las componen-tes alternantes se calcularían unas tensiones alternantes ficticias, afectadas delos factores de acabado superficial, tamaño, carga y concentración de esfuerzos,y con ellas la tensión alternante ficticia equivalente. Como límite de fatiga setomaría el nuevo valor sin corregir S′

e. Con ese valor se podría dibujar el dia-grama de Goodman y, una vez determinada la línea de carga, calcular el factorde seguridad.

No obstante, existe un caso particular en el que sí es posible realizar cálculosa vida finita. Se trata del caso en el que no haya componente alternante delesfuerzo axial ni concentración de esfuerzos —o, si la hay, que el material seafrágil—. En este caso, que se presenta con cierta frecuencia en el diseño de ejesde transmisión de potencia, todos los factores de Marin son iguales y el límitede fatiga se puede corregir. Se puede también, por tanto, construir el diagramade fatiga, y realizar cálculos a vida finita.

Fatiga superficial Cuando dos sólidos se ponen en contacto por medio de unafuerza que aprieta uno contra otro, se producen unas tensiones en ambos cuyadeterminación es posible gracias a un estudio realizado por Hertz en 1896. Parael caso concreto de dos cilindros en contacto, la teoría de Hertz establece que,si F es la fuerza de apriete, W la generatriz de los cilindros y r1 y r2 los radiosde las cases, el contacto se produce en un rectángulo de lados W y 2b, siendo b:

b =

√

√

√

√

∆F

πW·

1−µ2

1

E1

+1−µ2

2

E2

1r1

+ 1r2

,

donde µ1 y µ2 son los coeficientes de Poisson de ambos materiales y E1 y E2

los respectivos módulos de elasticidad. Si se agrupan términos y se hace

kE = π

(

1 − µ21

E1+

1 − µ22

E2

)

,

6. Diseño por resistencia a la fatiga frente a cargas fluctuantes 37

se tiene

b =

√

4F

π2W· kE

1r1

+ 1r2

.

La misma teoría establece que la presión —que, por razones de simetría esconstante a lo largo de la generatriz de los cilindros— se distribuye a lo largode b según una elipse, i.e.,

σ(x) = σmáx

√

1 − x2

b2,

El valor máximo de la presión superficial se puede determinar teniendo en cuentaque la integral de la tensión por la diferencial de área sobre la que actúa ha deser igual a la fuerza de apriete; por lo tanto,

F =

∫

Ω

σdΩ = 2

∫ b

0

σmáx

√

1 − x2

b2Wdx =

πWb

2σmáx.

La presión máxima de contacto será, por tanto:12

σc = σmáx =2F

πbW=

F

W

√

1r1

+ 1r2

kE. (5)

En la práctica, es muy frecuente el caso de que el contacto entre las super-ficies se produzca en un instante y finalice un tiempo después, y que este ciclode carga se repita periódicamente. En estos casos, la tensión de contacto mediay alternante será la mitad de la máxima. De este modo, el límite de fatiga apresión superficial resultará ser la mitad de la resistencia a presión superficialpara vida infinita.

En el caso de los aceros, la resistencia a presión superficial para vida infinitapuede calcularse a partir de la dureza Brinell mediante las ecuaciones:

Sc = 0,4HB − 10 (kpsi),Sc = 2,76HB − 70 (MPa).

Cuando el límite de fatiga se calcula a partir de estas ecuaciones, no se corrigecon los factores de Marin.

Hay que tener en cuenta que la tensión media será siempre de compresión,por lo que su valor no afectará a la resistencia de fatiga. Si la tensión de contactomínima es igual a 0, la condición de vida infinita será:

Sc

σc≥ 1.

12Un caso que se presenta con cierta frecuencia es el del contacto de un cilindro contra unasuperficie plana. Este es el caso, por ejemplo, del contacto entre la rueda de un ferrocarril y elraíl. Para resolver esta clase de problemas se emplea la ecuación (5), haciendo r2 → ∞. En elcaso de que las superficies no sean cilindros, se logra una aproximación razonable tomando losradios de curvatura en los puntos de contacto. Así se estudia, por ejemplo, el contacto entredientes de engranajes rectos.

38 7. Daño acumulado por fatiga

En este caso, los factores de seguridad, considerados como valores de cara oresistencia, no están relacionados linealmente. Las ecuaciones de dichos factoresserán:

nL =

(

Sc

σc0

)2

; ns =Sc

σc0,

con lo que nL = n2s.

7. Daño acumulado por fatiga

Diagrama de fatiga de materiales dañados. Hipótesis de Miner y Manson

Cuando un material es sometido a una tensión alternante σa superior al límitede fatiga Se es de esperar que falle a un determinado número de ciclos N0 queviene dado por el diagrama de fatiga del material. Si el material se somete a dichacarga con un número de ciclos N1 inferior a N0, en principio no es previsibleque falle, pero lo que parece evidente es que, de alguna manera y sin que sepueda apreciar ningún principio de fallo, se deteriora. Si se somete al materiala un nuevo ensayo, se encuentra que éste falla tras N0 −N ciclos de carga, y notras N0. El nuevo diagrama deberá pasar por el punto (log (N0 − N1), log σa).Acerca de cómo es el resto del diagrama, se han establecido dos hipótesis. Laprimera de ellas —hipótesis de Miner— supone que el diagrama de fatiga delmaterial deteriorado se obtiene mediante una traslación vertical del diagramaque tenía el material antes del deterioro, y de forma que pase por el puntoanterior. Esto equivale a suponer que los valores de la resistencia a fatiga paracualquier duración se reducen en la misma proporción. Pero ello también obligaa admitir que la resistencia para un ciclo de carga ya no sería la resistenciaúltima, sino un valor menor, lo cual es tanto como admitir que la resistenciaúltima del material disminuye, cosa que no parece mostrarse muy de acuerdocon la realidad.

En la práctica, se emplea más la hipótesis de Manson, que supone queel diagrama de fatiga del material deteriorado es una recta que pasa por elpunto

(

log 103, log 0,9Sut

)

y por el antes citado (log (N0 − N1), log σa). Segúnesta hipótesis, la reducción de la resistencia no es proporcional a su valor: nohay reducción de la zona de fatiga de ciclo bajo, y aquélla va aumentandoprogresivamente en la de ciclo alto. Además, la resistencia última del materialno se altera, lo cual concuerda con la experiencia. Para ambas hipótesis, el nuevolímite de fatiga del material deteriorado viene definido por el punto de corte deambas rectas con la recta vertical log N = 6.

La determinación del límite de fatiga del material dañado se puede hacercon facilidad a partir del diagrama de Wöhler, por semejanza de triángulos.De acuerdo con la hipótesis de Miner, el nuevo límite de fatiga será:

log S∗e,Miner = log σa − 6 − log Nres

3log

0,9Sut

Se(6)

y, si se emplea la hipótesis de Manson,

log S∗e,Manson = log 0,9Sut −

3

log Nres

log0,9Sut

σa. (7)

7. Daño acumulado por fatiga 39

Los valores de la resistencia a fatiga del material dañado S∗f que proporciona

el diagrama de fatiga pueden emplearse luego para el cálculo de los factoresde seguridad, mediante la construcción de los correspondientes diagramas deGoodman o Gerber, para la duración de que se trate.

Daño producido por estados de carga con tensión media Todo lo dicho hastaahora es válido para el deterioro de materiales sometidos a estados de carga contensión media sin más que considerar las tensiones alternantes equivalentes yhacer σa = σa0 en las ecuaciones (6) y (7).

Corrección del límite de fatiga de materiales dañados. Factor de deterioro

Un problema que se puede presentar es el de evaluar el límite de fatiga de unmaterial deteriorado cuando cambia el estado de carga. Los factores de Marin

no recogen en modo alguno el posible deterioro que se haya podido produciren el material por estados de carga anteriores. La única forma de expresar enecuaciones el efecto del daño es admitir que disminuye la relación entre el límitede fatiga sin corregir y la resistencia última. La manera más sencilla de hacerloes introducir en la ecuación de Marin un nuevo factor de efectos diversos, quese denominará factor de deterioro y que se expresa como:

ked=

S∗e

Se.

Obviamente, si se utiliza la hipótesis de Miner, el factor de deterioro debeafectar también a la resistencia de fatiga en 103 ciclos:

S∗t,Miner(103) = ked0,9Sut.

Propagación de grietas bajo cargas de fatiga En los casos de carga estática,la propagación de la grieta genera inmediatamente el fallo de la pieza, a no serque la carga deje de actuar. En el caso de carga de fatiga, el comportamien-to de la grieta es ligeramente diferente. En primer lugar, se pueden distinguirdos mecanismos de propagación claramente diferenciados, que corresponden ados fases distintas de la grieta. Ambas fases de designan con los términos de«propagación de la grieta» y «crecimiento de la grieta».

Por propagación de la grieta se entenderá lo que se ha venido entendiendohasta ahora, i.e., el mecanismo por el cual, una vez rebasada cierta situaciónlímite, la grieta se propaga, produciendo la fractura de la pieza de forma inme-diata tan pronto como el factor de intensidad de esfuerzo supere el valor de latenacidad a fractura del material.

La fase de crecimiento de la grieta es anterior a la de propagación, y enella la grieta crece, linealmente, a medida que se repiten los ciclos de carga.Cada ciclo de carga hace aumentar la longitud de grieta, aumenta a cada cicloel factor de intensidad de esfuerzo y finalmente, cuando se alcanza el valor dela tenacidad del material, comienza la fase de propagación y se produce el fallo.

40 7. Daño acumulado por fatiga

El crecimiento de la grieta ya no está gobernado por el factor de intensidadde esfuerzo, sino por su amplitud de variación:

∆KI = KImáx− KImín

=

(

KI

K0

)√πa (∆σ) .

Existe un valor umbral de la amplitud del factor de intensidad de esfuerzo pordebajo del cual el crecimiento de la grieta no se produce. Este valor depende delmaterial y de la geometría del problema, aunque se trata de una cuestión pocoestudiada aún.13 Algunos ensayos, sin embargo, revelan que, con independenciadel material y la geometría, su valor está comprendido en todos los casos entre2 y 7 MPa · m1/2.

Suponiendo que la grieta crece, cabe preguntarse cuántos ciclos de cargaresistirá hasta el fallo. El crecimiento de la grieta tiene un doble efecto sobre laresistencia del material. Por un lado, hace aumentar el factor de intensidad deesfuerzo. Pero por otro, también reduce el área efectiva que ha de soportar lacarga a la que está sometida la pieza, lo que hará aumentar también el valor dela tensión. Naturalmente, la resistencia cuyo valor no debe superar la tensiónserá la resistencia última si el material es frágil y la de fluencia si es dúctil. Eneste último caso, la pieza puede no romperse pero quedar con una deformaciónpermanente, y por tanto inservible. En consecuencia, para calcular el númerode ciclos de carga que se pueden soportar hasta el fallo es necesario determinarcuál de las condiciones de fallo se alcanza antes. El procedimiento consiste encalcular la longitud de la grieta a la que se presenta el fallo por fractura y lalongitud a la que se presenta el fallo por resistencia; el tipo de fallo vendrádeterminado por la mayor de ambas longitudes críticas.

La longitud crítica para propagación de la grieta es la que hace el factor deintensidad de esfuerzo igual a la tenacidad a fractura, y por tanto:

KIC =

(

KI

K0

)

σmáx√

πacr,f .

El problema es que no es posible despejar la longitud crítica de esta ecuación,pues salvo para el caso de que las dimensiones de la pieza sean mucho menoresque las de la grieta, KI

K0

depende de a. El procedimiento a llevar a cabo suele ser

el siguiente: primero, calcular el valor de KI

K0

para el valor inicial de la longitud

de la grieta; segundo, calcular acr,f para ese valor de KI

K0

suponiendo que novaría:

acr,f =K2

IC

π

[

(

KI

K0

)

a=acr,f

σmáx

]2

y, tercero, repetir el proceso partiendo de una nueva longitud igual a la semisumade las dos anteriores; tres o cuatro iteraciones suelen ser suficientes para alcanzarla convergencia.

13Obsérvese que puede darse simultáneamente la situación de que la grieta no crezca (∆KI <

2 MPa · m1/2), pero que se propague (KI > KIC), y que por tanto se haya alcanzado el fallode la pieza.

8. Diseño de ejes de transmisión 41

El crecimiento de la grieta por la repetición de ciclos de carga está regidopor una ecuación diferencial llamada ecuación de Paris:

da

dN= C (∆KI)

m.

Reordenando la ecuación de Paris e integrándola entre las condiciones de par-tida (N = 0 y a = a0) y las críticas (N ciclos y a = acr), se tiene:

∫ N

0

dN = N =1

cπm/2 (∆σ)m

∫ acr

a0

da(

KI

K0

)

am/2.

Al igual que en el caso anterior, el problema consiste en la dependencia de KI

K0

con a, lo que obliga a emplear un método de integración numérico; se obtieneuna solución aproximada suponiendo que KI

K0

es constante, y así resulta que:

N =

2

(m−2)C“

KIK0

”mπm/2(∆σ)m

·(

1

am−2

2

0

− 1

am−2

2cr

)

si m 6= 2,

1

C“

KIK0

”mπm/2(∆σ)m

· ln acr

a0

si m = 2.

Si en esta ecuación se introduce el valor máximo de KI

K0

—correspondiente aa = acr— se obtiene un valor de N inferior al número de ciclos que realmenteresistirá la pieza; si, por el contrario, se introduce el valor mínimo de KI

K0

—correspondiente a a = a0— se obtiene un valor de N superior al verdadero, quepermite dar una idea del margen de error. Ejes de transmisión

8. Diseño de ejes de transmisión

Estado de carga en ejes de transmisión Un eje o árbol de transmisión es unelemento rotatorio, generalmente de sección circular, que transmite potencia.Por contraposición, un eje fijo es aquel que no transmite potencia; por ejemplo,el eje de una bisagra. A efectos de cálculo, un eje fijo es sólo un caso particularde eje de transmisión en el cual la potencia transmitida es nula.

A lo largo de un eje que transmite potencia, aparece siempre una distri-bución de momentos torsores. Si P es la potencia transmitida y ω la velocidadangular del eje, el momento torsor T debe valer:

T =P

ω.

Esta ecuación es válida para valores instantáneos de la potencia, la velocidadangular y el par. En el caso de que, en condiciones de operación, la potencia yla velocidad de giro sean constantes, el par torsor también lo será.

Dependiendo de los elementos que vayan montados sobre el eje y de losapoyos sobre los que esté soportado, se inducirán también momentos flectores yesfuerzos axiales. En el caso más general, por tanto, sobre las secciones transver-sales del eje actuará una distribución de momentos torsores, otra de momentos

42 8. Diseño de ejes de transmisión

flectores y otra de esfuerzos axiales. Así, en cada uno de los puntos de cadasección actuará un esfuerzo cortante debido a la torsión, un esfuerzo normaldebido a la flexión y otro debido al esfuerzo axial. Además, en los ejes de trans-misión es frecuente que la sección varíe, para reforzar las zonas más cargadas yahorrar material en las más descargadas. De este modo, deberá también tenerseen cuenta el efecto de la concentración de esfuerzos cuando corresponda.

En los puntos de las secciones transversales se tendrá siempre un estadoplano de tensiones ; el tensor de tensiones en cualquier punto de la sección vienedado por:

σn + σx τ 0τ 0 00 0 0

.

En una sección, es bastante sencillo determinar el punto más cargado: la tensióndebida al esfuerzo axial se distribuye uniformemente, la de cortadura es máximaen los puntos de la circunferencia exterior y la de flexión es máxima en el puntomás alejado de la línea neutra en la dirección perpendicular al momento flector.Por tanto, este último punto será el más cargado. El mayor problema consisteen determinar qué sección es la más desfavorable, especialmente cuando se ha deconsiderar concentraciones de esfuerzos o cuando se realizan cálculos a fatiga.

Una vez conocidas las solicitaciones que actúan sobre cada sección, determi-nar las tensiones que se producen en ellas es relativamente fácil. Si T (x), M(x)y N(x) son los valores de los momentos torsor y flector y del esfuerzo axial,respectivamente, las tensiones respectivas en el punto más desfavorable de lasección serán:

τ =T (x)

J0

d

2=

T (x)

π2

(

d2

)4

d

2=

16T (x)

πd3,

σx =M(x)

Iz

d

2=

M(x)

π4

(

d2

)4

d

2=

32M(x)

πd3,

σn =N(x)

π(

d2

)2 =4N(x)

πd2.

En general, tanto el momento torsor como el flector como el esfuerzo axialpueden tener componente media y alternante, aunque es muy frecuente que elmomento flector sea alternante y el momento torsor y el esfuerzo axial seanconstantes.

Análisis por resistencia estática En el análisis por resistencia estática de ejes,la mayor dificultad que se plantea es la de escoger cuál de las secciones transver-sales es la más desfavorable desde el punto de vista resistente. El procedimientoa seguir sería el siguiente: dibujar los diagramas de momento torsores, momentosflectores y esfuerzos axiales; seleccionar las secciones que pudieran ser las másdesfavorables; calcular las tensiones por torsión, flexión y esfuerzo axial en cadauna de las secciones transversales seleccionadas; calcular la tensión alternanteequivalente en dichas secciones; calcular el factor de seguridad estático en cadasección, y seleccionar el menor de los factores de seguridad obtenidos. Para la

8. Diseño de ejes de transmisión 43

tensión equivalente, aplicando los criterios de Tresca y Von Mises, se obtiene:

σeq,T =√

(σx + σn)2 + 4τ2 =4

πd3

√

(8M + Nd)2 + 64T 2,

σeq,V M =√

(σx + σn)2 + 3τ2 =4

πd3

√

(8M + Nd3) + 48T 2,

teniendo en cuenta que M , N y T vendrán multiplicados por sus correspondien-tes factores de concentración de esfuerzos si el material es frágil y hay cambiode sección.

Las expresiones anteriores de la tensión equivalente pueden servir tambiénpara hacer estimaciones del diámetro del eje para un determinado factor deseguridad estático; de todos modos, para su resolución es necesario el empleode métodos numéricos. En el caso particular de que no haya esfuerzo axial, eldiámetro se puede despejar:

dT =

(

32n

πS

√

M2 + T 2

)1

3

; dV M =

(

16n

πS

√

4M2 + 3T 2

)1

3

.

Nótese, por último, que para el cálculo estático las tensiones normales por flexióny esfuerzo axial siempre se deben sumar, independientemente de que esta últimasea de tracción o de compresión. El punto más cargado será aquel cuya tensiónde flexión tenga el mismo signo que el de la tensión debida al esfuerzo axial,pero el valor de la tensión máxima será siempre la suma de ambas.

Análisis por resistencia a la fatiga El caso más general, con torsión, flexión yesfuerzo axial fluctuantes, constituye un caso de combinación de carga para elque únicamente es posible realizar cálculos a vida infinita manejando el diagramade fatiga. Ahora bien, lo más habitual en un eje de transmisión es que la flexiónsea alternante rotatoria, y la torsión y el esfuerzo axial constantes. En estecaso, puesto que la tensión alternante sólo tiene componente de flexión, no haycombinación de cargas, y por tanto es posible corregir el límite de fatiga yrealizar cálculos a vida finita. Para este caso, las componentes media y alternantede la tensión son:

σm =√

σ2n + jτ2 =

4

πd3

√

(Nd)2 + j(4T )2; σa = σx =32M

πd3,

donde j = 3 si se emplea el criterio de Von Mises y j = 4 si se emplea elde Tresca. Además, si el material es frágil y hay un cambio de sección, cadacomponente de la sección debe venir afectada de su correspondiente factor deconcentración de esfuerzos.

Aplicación del criterio de Von Mises La aplicación del criterio de Von

Mises al cálculo a fatiga de ejes de transmisión es más sencilla y más utilizadaen la práctica que la del criterio de Tresca. El procedimiento es el habitual:calcular las componentes media y alternante de la tensión, incluir el factor deseguridad donde corresponda y sustituir en la ecuación del criterio de fallo ele-gido. Además de los criterios conocidos, se emplean en ocasiones otros similares,

44 8. Diseño de ejes de transmisión

como el de Bagci, que se expresa como:

σa

Sf+

(

σm

Sy

)4

= 1,

o la elíptica de la asme (American Society of Mechanical Engineers), cuya ecua-ción es:

(

σa

Sf

)2

+

(

σm

Sy

)2

= 1.

Aplicación del criterio de Tresca La aplicación del criterio de Tresca

exige una consideración previa: en el caso que se está considerando, la tensiónalternante es de flexión, mientras que la tensión media es la composición de unatensión de cortadura, producida por la torsión, y otra normal, producida por elesfuerzo axial. Los respectivos tensores de tensiones son:

Ta =

(

σx 00 0

)

; Tm =

(

σm τ

τ 0

)

.

Las direcciones principales de ambos tensores son distintas y, por tanto, losplanos de máxima tensión de cortadura serán también diferentes. Se habrá dedeterminar, así, el plano cuyas tensiones de cortadura media y alternante másse aproximen a la curva del criterio de fallo por fatiga que se esté considerando.Aquí se realizará un análisis simplificado —válido solamente para los criterioslineales— aplicando el criterio de Goodman.

La tensión de cortadura en el plano que forma un ángulo α con el eje x sepuede expresar de la siguiente manera:

τα = σTt =

[(

σx + σn τ

τ 0

)(

cosα

sen α

)]T

·(

− senα

cosα

)

;

τα = −σx + σn

2sen 2α + 2 cos 2α.

Las tensiones de cortadura media y alternante en el plano son:

τmα = −σn

2sen 2α + τ cos 2α =

16

πd3

(

−Nd

8sen 2α + τ cos 2α

)

;

τaα =σx

2sen 2α =

16

πd3(M sen 2α).

Cuando se maneja el criterio de Tresca para tensiones de cortadura, laecuación de Goodman puede escribirse como:

τa

Sf

2

+τm

Sut

2

= 1,

cuya pendiente es − Sf

Sut. El punto de la curva descrita por los valores de τmα y

τaα anteriores más próximo a la recta de Goodman será aquel cuya pendientecoincida con la de éste, de manera que habrá de cumplirse:

dτaα

dτmα=

dτaα

dτmα· dα

dα=

M cos 2α

−Nd8 cos 2α − T sen 2α

= − Sf

Sut.

9. Velocidades críticas en ejes 45

Las componentes media y alternante de la tensión cortante serán:

τm =16

πd3r

( TSut

)2+

“

MSf

− Nd8Sut

”

2·[

−Nd8

(

MSf

− Nd8Sut

)

+ T TSut

]

;

τa = 16πd3

(

M tan 2α√1+tan2 2α

)

=16

πd3r

( TSut

)2+

“

MSf

− Nd8Sut

”

2·[

M(

MSf

− Nd8Sut

)]

.

Sustituyendo en la ecuación de Goodman y realizando ciertos cálculos, sellega a:

2τa

Sf+

2τm

Sut= 1;

32

πd3

√

(

T

Sut

)2

+

(

M

Sf− Nd

8Sut

)2

= 1.

Para calcular la duración bastará con sustituir Sf por la tensión alternanteequivalente σa0, despejar ésta y entrar con su valor en el diagrama de fatiga.

En el caso más general, en el que tanto el esfuerzo axial como los momentosflector y torsor tienen componentes media y alternante, la expresión obtenidaa partir de la ecuación de Goodman, mediante un procedimiento análogo alanterior, sería:

32

πd3

√

[(

Ma

Sf+

Nad

8Sf

)

−(

Mm

Sut+

Nmd

8Sut

)]2

+

[

τa

Sf− τm

Sut

]2

= 1.

9. Velocidades críticas en ejes

Concepto de velocidad crítica Cuando un eje se ve sometido a un sistema decargas radiales, sufre una deformación, i.e., un desplazamiento de sus seccio-nes transversales, de manera que los centros de éstas dejan de estar alineados.Recordemos que la ecuación de la línea elástica —lugar geométrico de los cen-tros de gravedad de las secciones— se obtenía a partir de la ley de momentosflectores, por integración de la ecuación diferencial:

EId2y

dx2= M(x),

con las condiciones de contorno que imponen los apoyos y la continuidad de laecuación de la línea elástica.

Si las cargas permanecen fijas con respecto al eje de la máquina —o, loque es lo mismo, son rotatorias respecto del eje—, el eje no varía, sino quecada sección gira alrededor de su centro. Si la carga es fija respecto al eje, eleje deformado gira en torno a la posición de equilibrio sin carga, de maneraque el centro de cada sección describiría una circunferencia contenida en unplano perpendicular al eje. En cualquiera de los dos casos aparece una fuerzacentrífuga cuya dirección es siempre radial respecto al eje de giro, y que portanto se mantiene fija respecto de la sección del eje y en rotación respecto de labancada.

46 9. Velocidades críticas en ejes

Supongamos un eje sobre el que hay montado un disco cuyo centro degravedad G está desplazado una distancia e —llamada excentricidad— respectodel centro geométrico de la sección O′. Si el eje gira con ω constante, se tiene quecumplir que la fuerza centrífuga sea igual a la fuerza de recuperación elásticadel eje, que será proporcional al desplazamiento de la sección r y, por tanto,

mω2(r + e) = kr.

A partir de esta ecuación, es posible calcular la distancia r que se separa elcentro geométrico de la sección respecto del eje de giro:

r =mω2e

k − mω2.

Haciendo ωn =√

km , la expresión de r queda de la forma:

r =

(

ωωn

)2

1 −(

ωωn

)e.

A ωn se le llama velocidad crítica, y corresponde a la frecuencia natural devibración del sistema. Cuando la velocidad de rotación del eje coincidiese conla velocidad crítica, el centro del disco se desplazaría, teóricamente, hasta elinfinito. Para velocidades de rotación pequeñas (ω → 0), r es también pequeño,con lo que la sección gira alrededor de su centro geométrico, como si la fuerzacentrífuga no actuara. Por último, para velocidades de giro muy elevadas, setiene r → − e, lo que significaría que el disco gira alrededor de su centro degravedad.

En la práctica, debe evitarse el funcionamiento del eje en regímenes derotación próximos a las velocidades críticas. Las elevadas deformaciones puedeninducir una deformación permanente en el eje o incluso su rotura. Aun sinllegar a esos límites, los elevados niveles de vibración que se inducen, y que setransmiten a la bancada a través de los apoyos, serían inadmisibles.

Cálculo de las velocidades críticas Para determinar las velocidades críticas, esnecesario conocer el valor de la constante elástica del eje, k. Para ello, se puedenseguir dos procedimientos: integrar la ecuación diferencial de la línea elástica oaplicar el teorema de Castigliano. En ambos casos, la solución dependerá dela ley de momentos flectores a lo largo del eje, y por tanto de la configuracióngeométrica de la carga y los apoyos.

La velocidad crítica depende de la configuración geométrica del eje —vinculada a la disposición de los apoyos— y de la masa del rotor, pero node la excentricidad. El eje debe diseñarse con una geometría que asegure que lavelocidad crítica queda suficientemente distanciada de la velocidad de rotaciónprevista en el diseño.

Influencia de la excentricidad en la resistencia del eje Los esfuerzos quela rotación induce en el eje consisten en una flexión producida por la fuerza

10. Cálculo de embragues y frenos 47

centrífuga; este esfuerzo puede expresarse como:

σxc(x) =32Mc(x)

πd3,

donde Mc(x) es el momento flector producido en la sección x por la fuerzacentrífuga. Para cálculos a fatiga, esta tensión es tensión media, puesto quepermanece fija respecto de la sección del eje. Embragues y frenos

10. Cálculo de embragues y frenos

Generalidades sobre embragues y frenos Tanto los embragues como los frenosson acoplamientos entre ejes que permiten transmitir el movimiento de un eje aotro —en el caso de los embragues— o detenerlo o reducir su velocidad —en elcaso de los frenos—.

Desde un punto de vista dinámico, un embrague es un dispositivo que,cuando se acciona, acopla dos ejes; uno de ellos gira, antes del acoplamiento,con velocidad angular ω1, y mueve un rotor de momento de inercia I1, y elotro gira con velocidad angular ω2 y mueve un rotor de momento de inerciaI2. Cuando se embraga, las superficies se unen y se produce un deslizamientorelativo entre ellas hasta que pasado un tiempo se equilibran y finaliza el procesode acoplamiento entre ellas.

Un freno es simplemente un caso particular de embrague en el que unade las velocidades angulares es permanentemente igual a cero, lo que obliga aque su correspondiente momento de inercia sea infinito. Desde el punto de vistaconstructivo, esto se traduce en que este eje está anclado a la bancada de lamáquina o al chasis.

Embragues y frenos de tambor y zapatas El primer problema que se plan-tea es conocer cuál es la distribución de presiones que el tambor ejerce sobrecada punto de la zapata cuando ésta se acciona. La acción de una fuerza deacoplamiento F en alguno de los puntos de la zapata es, a efectos de cálculo,equivalente a un par de accionamiento Macc = Fc, donde c es la distancia de laarticulación a la línea de acción de la fuerza. Por efecto de este par, la zapatatenderá a girar alrededor de su articulación, apretándose contra el tambor. Ésteejercerá una reacción sobre la zapata, a lo largo de cuya superficie apareceráuna distribución de fuerzas en dirección normal a la misma, de forma que elmomento de todas estas fuerzas respecto de la articulación tiene que ser igualy de distinto signo que el momento de accionamiento. En definitiva, lo que setiene es una distribución de reacciones hiperestáticas que, en virtud del teoremade Menabrea, se repartirán a lo largo de la zapata de forma que el potencialinterno sea mínimo.

Si se designa por Fi la reacción que el tambor ejerce sobre el punto de lazapata correspondiente a θi, se tiene que:

Fi = p(θi)brdθ,

48 10. Cálculo de embragues y frenos

donde p es la presión, b el ancho de la zapata y r el radio del tambor.

Puesto que tanto la superficie de la zapata como la del tambor son cilín-dricas, se puede afirmar que la contribución de la fuerza Fi al potencial internoes:

Ui =1

2Fiδi =

1

2Fi

2kE

π2bFi =

kE

π2bF 2

i ,

y el potencial interno total será:

U =kE

π2b

∑

i

F 2i .

Este potencial debe ser mínimo, pero sujeto a la restricción de que la sumade los momentos producidos por todas las Fi tiene que ser igual al momentoexterior sobre la articulación (Mext), que aprieta la zapata contra el tambor.Dicha restricción puede expresarse como:

a∑

i

Fi sen θi = Mext.

El problema puede resolverse por el método de los multiplicadores de La-

grange. Operando se llega al resultado:

Fi =Mext

a∑

i sen2 θisen θi.

De este modo, la distribución de presiones a lo largo de la zapata vendrá dadapor:

p(θi) =Fi

brdθ=

Mext

abr∫ θ2

θ1

sen2 θdθsen θi.

Se concluye que la presión se distribuye de manera proporcional al seno delángulo θ y, por tanto, se cumple:

p(θ)

sen θ= cte.

La presión máxima pa se localizará en el punto θa, que corresponderá aθa = mın

(

θ2,π2

)

; finalmente, la distribución de personas puede ponerse de laforma:

p(θ) = pasen θ

sen θa.

De este modo, los puntos situados en las proximidades de la articulación severían sometidos a tensiones muy pequeñas, por lo que aportan poco al frenadoo embragado. Por ello, es habitual suprimir el material de fricción de esa zona.

Una vez determinada la distribución de presiones sobre la zapata, se tratade encontrar la relación entre la fuerza de accionamiento y la presión máximapa. Esta presión máxima no puede exceder el valor de la resistencia a la presiónsuperficial del material del revestimiento, lo cual limitará el valor de la fuerzade accionamiento.

10. Cálculo de embragues y frenos 49

La fuerza normal en un punto puede expresarse como:

dN = p(θ)brdθ =pabr

sen θasen θdθ;

por tanto, el momento respecto de la articulación producido por las fuerzasnormales será:

MN =

∫

dN(a sen θ) =pabra

sen θasen θdθ;

MN =pabra

sen θa

[

1

2(θ2 − θ1) −

1

4(sen 2θ2 − sen 2θ1)

]

.

Este momento tiende siempre a separar la zapata del tambor y, por tanto, tieneel sentido positivo del eje z si el triedro de referencia se toma a derechas , y ellotanto si la zapata es exterior como interior al tambor.

El momento de las fuerzas de rozamiento respecto de la articulación vienedado por:

Mf =

∫

fdN(r − a cos θ) =fpabr

sen θa

∫ θ2

θ1

∫ 2

θdθ; (8)

MN =pabra

sen θa

[

1

2(θ2 − θ1) −

1

4(sen 2θ2 − sen 2θ1)

]

. (9)

El sentido de este momento depende del sentido de giro del tambor. Si la za-pata tiende a pegarse al tambor por efecto del par de rozamiento, se dice queposee efecto autoenergizante, que suele ser deseable porque requiere fuerzas deaccionamiento menores para el acoplamiento. El efecto autoenergizante es másdifícil de predecir para las zapatas exteriores que para las interiores. En todocaso, el momento de las fuerzas de fricción, tal como se calcula con la ecuación(9), es positivo si el término (r − a cos θ) es positivo. Si se define un factor deenergizado Rf como:

Rf =

1 para zapata autoenergizante en θ = π2 ,

−1 para zapata no autoenergizante en θ = π2 .

Se puede afirmar que el momento total producido por las fuerzas normales y defricción será: MN − RfMf .

Este momento, tal como se ha calculado, es positivo si la zapata tiende asepararse del tambor, por lo que ha de ser igual al par de accionamiento, quesiempre es en sentido contrario. Para zapatas autoenergizantes, podría darse elcaso MN − RfMf = 0, que significa que no sería necesaria fuerza de acciona-miento alguna para el acoplamiento. Esto es lo que se conoce como autotrabadoo autoagarre, y significaría que para separar la zapata sería necesaria la apli-cación de una fuerza en sentido contrario a la anterior. Para evitar este efectoindeseable, en las zapatas autoenergizantes debe imponerse como condición dediseño:

MN − RfMf > 0,

lo cual se consigue eligiendo adecuadamente la distancia de la articulación alcentro del tambor.

50 10. Cálculo de embragues y frenos

El par de accionamiento es el que la zapata ejerce sobre el tambor. Comolas fuerzas normales no ejercen par alguno sobre el eje de giro, el par de acopla-miento valdrá:

T =

∫

rfdN = −∫ θ2

θ1

rfpabr

sen θasen θdθ =

fpabr2

sen θa(cos θ1 − cos θ2).

En el caso de frenos, se llama capacidad de frenado al par de frenado máximo,i.e., al que se obtendría para una pa igual a la presión admisible del materialdel revestimiento.

Embragues y frenos de cinta En este tipo de dispositivos, el acoplamiento seproduce mediante una cinta o banda que se abraza alrededor del tambor. Ladistribución de presiones se puede obtener a partir de la condición de equilibriode fuerzas sobre el elemento de cinta. Si P es la tensión en la banda y f elcoeficiente de fricción, la condición de equilibrio de fuerzas horizontales estableceque:

(P + dP ) cosdθ

2− P cos

dθ

2− fdN = 0; dP = fdN,

mientras que, por la condición de equilibrio de fuerzas verticales, se tiene:

dN = (P + dP ) sendθ

2+ P sen

dθ

2= 2P

dθ

2= Pdθ.

Eliminando dN entre ambas ecuaciones e integrando, resulta:

lnP2

P1= f(θ2 − θ1) = fφ; P2 = P1e

fφ.

La distribución de presiones puede obtenerse a partir de las anteriores ecua-ciones. Se llega al resultado

p =P

br,

donde b es el ancho de la banda y r el radio del tambor; la presión en unpunto, por tanto, es proporcional a la tensión en la banda en ese punto. Enconsecuencia, la presión máxima será pa = p2

br y, por tanto, P2lím= brplím.

El par de frenado tiene que ser igual al momento de las tensiones a amboslados de la cinta:

T = (P2 − P1)r.

La capacidad de frenado será el par de frenado para el valor de P2lím:

Tmáx =(

P2lím− P2lím

e−fφ)

r = br2plím

(

1 − e−fφ)

.

Embragues y frenos de disco Los embragues y frenos de disco son los lla-mados de conexión axial, i.e., el movimiento que se produce para accionar elacoplamiento tiene la dirección de los ejes que acopla. Consisten en uno o máspares de discos, que transmiten el movimiento —o lo detienen— cuando entranen contacto, por efecto de la fricción. Presentan algunas ventajas tales como

10. Cálculo de embragues y frenos 51

la eliminación de efectos centrífugos, un tamaño pequeño en relación con lassuperficies de fricción —lo que proporciona una mayor superficie de disipacióndel calor— y una distribución de presiones favorable.

Cuando los discos son nuevos —y, en principio, perfectamente planos— sepuede suponer que la fuerza de accionamiento se absorbe de manera uniforme alo largo de toda la superficie de fricción, de manera que la presión será igual entodos los puntos de la misma. Sin embargo, esta situación durará poco tiempo,pues los puntos de mayor deslizamiento relativo —los más próximos al diámetroexterior— se desgastarán más deprisa, los discos perderán planitud, y ciertospuntos externos terminarán sometidos a presiones menores que los puntos máscercanos al centro. Este proceso continuará hasta el momento en que se alcanceuna distribución de presiones para la cual el desgaste sea uniforme en todos lospuntos de la superficie y, a partir de aquí, la distribución de presiones no sealterará.

Hipótesis de presión uniforme Si la presión es uniforme en toda la super-ficie de fricción, la presión máxima pa se alcanza en cualquiera de sus puntos, ysu relación con la fuerza de accionamiento es:

F =πpa

4

(

D2 − d2)

.

El par de accionamiento sería el momento de las fuerzas de fricción, i.e.,

T =

∫ D2

d2

rfdN =

∫ D2

d2

rfpa2πrdr =πfpa

12

(

D3 − d3)

.

Eliminando pa entre las dos ecuaciones anteriores, se halla la siguiente relaciónentre la fuerza de rozamiento del par de discos y el par de acoplamiento:

T =Ff

3

D3 − d3

D2 − d2.

Hipótesis de desgaste uniforme El desgaste δ es proporcional al trabajode las fuerzas de rozamiento por unidad de superficie; por tanto,

δ = k(fdN)(rωt)

dΩ= k

(frdΩ)(rωt)

dΩ= kfprωt.

Que el desgaste sea uniforme significa que el desgaste por unidad de tiempotiene que ser igual en todos los puntos de la superficie; por tanto:

dδ

dt= kfprω = cte,

de donde se deduce que pr = cte.

La presión media se produciría en el radio mínimo (interior), y se tiene que:

p(r) =d

2dpa;

52 11. Consideraciones para el diseño de embragues y frenos

la fuerza y el par de accionamiento serían, respectivamente:

F =

∫ D2

d2

p(r)2πrdr =

∫ D2

d2

d

2rpa2πrdr =

πpad

2(D − d);

T =

∫ D2

d2

rfp(r)2πrdr =

∫ D2

d2

rfd

2rpa2πrdr =

πpadf

8

(

D2 − d2)

.

Embragues y frenos cónicos Los embragues y frenos cónicos son tambiénacoplamientos de conexión axial, muy similares a los de discos, salvo que lassuperficies de fricción tienen forma de cono de revolución. Las mismas conside-raciones de presión y desgaste que se hicieron para el caso de embragues y frenosde discos, según que las superficies estuvieran nuevas o rodadas, son aplicablesa los cónicos.

Hipótesis de presión uniforme Cuando el embrague o freno es nuevo, lapresión es uniforme en todos los puntos de la superficie, y por tanto p = pa. Lascomponentes radiales de las fuerzas normales se anulan y la resultante de lascomponentes axiales debe ser igual a la fuerza de accionamiento F . Si α es elángulo del cono,

F =

∫ D2

d2

pdΩ senα =

∫ D2

d2

pa

(

2πrdr

sen α

)

sen α =πpa

4

(

D2 − d2)

.

El par de accionamiento, por su parte, será:

T =

∫ D2

d2

rfpdΩ =

∫ D2

d2

rfpa2πr

sen αdr =

πfpa

12 senα

(

D3 − d3)

.

Hipótesis de desgaste uniforme Para desgaste uniforme, la presión se hade distribuir de manera que p(r) = d

2r pa, con lo que la fuerza de accionamiento,que debe equilibrar las componentes axiales de las fuerzas normales sobre lasuperficie del cono, es:

F =

∫ D2

d2

p(r)dΩ sen α =

∫ D2

d2

d

2rpa

(

2πrdr

sen α

)

senαπpad

2(D − d);

finalmente, el par de accionamiento es:

T =

∫ D2

d2

rfp(r)dΩ =

∫ D2

d2

rfd

2rpa

2πr

senαdr =

πfpad

8 senα

(

D2 − d2)

.

11. Consideraciones para el diseño de embragues

y frenos

Tiempo de acoplamiento Durante el proceso de acoplamiento, cada eje ejerceun par torsor sobre el otro, que finalmente transmite el embrague o freno a

11. Consideraciones para el diseño de embragues y frenos 53

través de fuerzas de fricción. Las fuerzas de rozamiento sobre ambos elementosdel embrague o freno deben ser iguales y de sentido opuesto, por lo que el par queejerce un eje sobre el otro es igual y de distinto signo al que ejerce el segundosobre el primero. Si además la fuerza de accionamiento es constante durantetodo el proceso, este par será también constante.

Las ecuaciones diferenciales que rigen el rozamiento de ambos ejes son:

I1θ1 = −T ; I2θ2 = T.

Integrando con respecto al tiempo y tomando como origen de tiempos elmomento de accionar el acoplamiento, se tiene:

θ1 = − T

I1t + ω1; θ2 = − T

I2t + ω2.

El proceso finalizará cuando θ1 = θ2, con lo que el tiempo de acoplamiento será:

ta =I1I2

I1 + I2· ω1 − ω2

T.

Para el caso particular de un freno, ω2 = 0 e I2 → ∞, por lo que el tiempo defrenado hasta la detención sería:

tfa =I1ω1

T,

y, si el freno no se acciona hasta la parada, sino que actúa durante un tiempot0 < ta, la velocidad final resultante sería:

ω10 = θ1(t0) = − T

I1t0.

La velocidad de rotación de ambos ejes, una vez finalizado el proceso deacoplamiento, será:

ω =I1

I1 + I2ω1 = −I1 + I2

ω 2.

Energía disipada en el acoplamiento y elevación de la temperatura La po-tencia instantánea disipada durante el proceso de acoplamiento será la perdidapor el eje 1 menos la ganada por el 2, y se puede expresar como:

U = T(

θ1 − θ2

)

= T

[

(ω1 − ω2) − TI1 + I2

I1I2t

]

.

La energía disipada en el proceso de acoplamiento será la integral de lapotencia, extendida al intervalo de tiempo que dura el acoplamiento, i.e.,

E =

∫ ta

0

T

[

(ω1 − ω2) − TI1 + I2

I1I2t

]

dt = T (ω1 − ω2)ta − T 2 I1 + I2

I1I2· t2a

2,

54 12. Rodamientos

y, teniendo en cuenta que T ta = I1I2I1+I2

(ω1 − ω2)2, se tiene:

E =1

2

I1I2

I1 + I2(ω1 − ω2)

2.

En el caso de un freno accionado hasta la detención, la energía disipada seríaEf = 1

2I1ω21 .

Esta disipación de energía ocasionará una elevación de la temperatura enel embrague o freno, que vendrá dada por: ∆T = E

Cm . Una vez producido elcalentamiento, el proceso de enfriamiento se rige por la ecuación diferencial:

mCdT

dt= −uA(T − T0),

donde u es el coeficiente global de transmisión, A el área de transferencia decalor y T0 la temperatura ambiente. Si se integra esa ecuación, resulta que latemperatura en un instante posterior a la finalización del acoplamiento vendrádada por:

T (t) − T0 = (Ti − T0)e− Au

mC t.

Estas consideraciones tienen importancia para el diseño por el hecho de quelos materiales de fricción pierden sus propiedades —al menos parcialmente— sila temperatura sobrepasa ciertos límites. Cojinetes de rodadura

12. Rodamientos

Tipos de rodamientos Los cojinetes de contacto rodante, también llamadoscojinetes de rodadura o rodamientos, son elementos de soporte de ejes de trans-misión que presentan la característica de que el movimiento relativo entre eleje y la bancada de la máquina se realiza a través de elementos que se muevenrespecto de los anteriores con movimiento de rodadura, en principio sin desliza-miento. La fricción en este tipo de rodamientos es muy pequeña, despreciableen la práctica.

Los rodamientos constan de tres elementos fundamentales: los anillos in-terno y externo y los elementos rodantes —bolas o rodillos—. Los anillos internoy externo van fijados al eje y a la bancada de la máquina. Ambos tienen prac-ticadas unas ranuras, llamadas pistas de rodadura, por las que ruedan las bolaso rodillos. Con frecuencia, incorporan también unos separadores que impiden elcontacto entre ellos.

Atendiendo al tipo de elemento rodante, los rodamientos pueden ser debolas o de rodillos. En este último caso, pueden ser de rodillos cilíndricos ocónicos. Cuando los rodillos son de muy pequeño diámetro, se llaman cojinetesde agujas. Pueden también tener más de una fila de bolas o rodillos.

Según la función para la que están concebidos, los rodamientos pueden serradiales o de empuje. Los primeros están pensados para soportar carga radial ylos últimos para soportar carga axial. Los cojinetes de bolas, no obstante, son

12. Rodamientos 55

capaces de soportar cierta carga axial, a diferencia de los rodillos cilíndricos, queno soportan carga de empuje alguna. Los cojinetes de rodillos cónicos soportansiempre carga radial y de empuje; para ello están concebidos.

Duración y fiabilidad Durante el funcionamiento de un cojinete de rodadura,y por efecto de la carga a la que está sometido, se producen esfuerzos de con-tacto entre las pistas de rodadura y los elementos rodantes. Este tipo de cargaes origen del fenómeno conocido como picadura, que consiste en el desprendi-miento de pequeñas partículas de material, en forma de conos. La picadura esdecida a la fatiga del material causada por las tensiones de cortadura que sepresenta en zonas próximas a la superficie y que, tras cierto número de ciclosde carga, originan una grieta que se propaga hasta la superficie, causando eldesprendimiento del material.

El fallo por picadura no es catastrófico: la pieza puede seguir trabajandodespués de picada; no obstante, empeora el contacto —lo que se traduce en undescenso del rendimiento de la transmisión— y, en el caso de los rodamientos,aparece un golpeteo de las bolas o rodillos con las pistas de rodadura, que induceniveles de ruido y vibración que pueden llegar a ser inadmisibles. Se consideraque se ha producido el fallo cuando aparece dañada un área de 6,5 mm2.

La duración o vida útil de un cojinete se define como el número total derevoluciones del eje que soporta el cojinete hasta la aparición del fallo por pica-dura; se expresa en millones de ciclos o revoluciones. A veces, la duración vieneindicada en horas de funcionamiento a un determinado régimen de giro del eje,en cuyo caso se designa por N . En cualquier caso, dos cojinetes idénticos some-tidos a la misma carga no durarán, en general, el mismo número de ciclos. Sise repitiera un mismo ensayo para un número significativo de cojinetes iguales,se obtendría una distribución de duraciones hasta el fallo. En otras palabras,un cojinete de la serie tendrá una determinada probabilidad de supervivenciapara un cierto número de ciclos de carga, y otra probabilidad de supervivenciapara el mismo número de ciclos. Por tanto, para que una duración tenga sig-nificado, hay que saber a qué probabilidad de supervivencia se refiere. Por eso,al símbolo L con el que se designa la duración de un rodamiento se le añadeun subíndice numérico r. Por ejemplo, si la vida L6 de un tipo de rodamientosante determinadas condiciones de carga es de 10 Mrev, cabe esperar que, trasesos 10 millones de revoluciones, haya fallado por picadura el 6 por ciento delos rodamientos y haya sobrevivido el 94 por ciento. De este modo, la duraciónLr de un rodamiento determinado es la duración para una fiabilidad:

R = 1 − r

100.

A la duración L10 se le llama duración nominal y a la L50 duración mediana opromedio.

La duración y la fiabilidad estarán relacionadas por una distribución estadís-tica que se ha de determinar mediante ensayos. Se comprueba que correspondea una distribución de Weibull que se puede expresar mediante la siguienteecuación: para una vida nominal de L10 Mrev, la fiabilidad correspondiente a

56 12. Rodamientos

una duración de Lr Mrev es:

lnR = −[

1

u

(

Lr

L10− r

)]w

,

donde u, v y w son los parámetros de Weibull.

Carga en rodamientos Las tensiones de contacto que aparecen entre la pistade rodadura y los elementos rodantes no son fáciles de expresar mediante ecua-ciones porque, al no corresponder al caso de contacto entre dos cilindros, nose pueden aplicar las ecuaciones que se presentaron anteriormente. Además, lacarga no es perfectamente cíclica, pues a cada revolución del eje le correspondeuna revolución del anillo que está fijo a él, pero las bolas o rodillos no habrándado exactamente una vuelta, ni sobre sí mismos ni alrededor del eje.

Para relacionar la carga radial sobre el cojinete y la duración se empleauna ecuación obtenida mediante experimentación. Esta ecuación establece que sipara una carga radial FA un rodamiento tiene una duración (para una fiabilidadR) LrA , para otra carga radial FB tendrá una duración (relativa a la mismafiabilidad R) LrB que verifica:

LrA

LrB

=

(

FB

FA

)a

,

donde a es un coeficiente que depende del tipo de rodamiento. Esta ecuación, querelaciona cargas y duraciones, corresponde a lo que sería el diagrama de fatigapara el caso de rodamientos. Este enfoque permite también determinar el factorde seguridad sustituyendo la fuerza radial correspondiente al segundo estado decarga por la fuerza radial prevista multiplicada por el factor de seguridad.

Como ya se ha mencionado, par el cálculo de rodamientos no se manejanvalores de tensiones y resistencias debido a la dificultad que entraña establecer,en forma de ecuaciones, un modelo representativo del estado tensional en losdistintos elementos del rodamiento. Para realizar cálculos de resistencias y du-raciones, se precisa de un valor límite de la fuerza radial con el que se puedacomparar. A ese valor se le conoce como capacidad de carga del rodamiento, yse define como el valor máximo de la fuerza radial que puede soportar, en unascondiciones de duración y fiabilidad determinadas.14

14Con cierta frecuencia, las capacidades de carga tabuladas por los fabricantes se refierena un millón de revoluciones y a una fiabilidad del 90 %. En este caso, la capacidad de cargase denomina capacidad básica de carga, y se representa por C. De todos modos, no se pue-de afirmar que un rodamiento sometido a una fuerza radial igual a su capacidad básica decarga asegure una vida L10 de un millón de revoluciones. Esto es debido a que un millónde revoluciones es una duración muy pequeña para un rodamiento, lo que supone un valormuy elevado de la capacidad básica de carga, de manera que una fuerza radial de ese valorproduciría deformaciones permanentes en los elementos del rodamiento, dejándolo inservibletras un número de revoluciones del eje muy inferior al millón.

13. Selección de rodamientos 57

13. Selección de rodamientos

Introducción En principio, el procedimiento a seguir para la selección de unrodamiento es tan simple como determinar la capacidad de carga requeridapara las condiciones de carga previstas durante la operación del rodamiento y, acontinuación, escoger en la tabla del fabricante el rodamiento con una capacidadde carga inmediatamente superior a la requerida. El problema estriba en quetodas las ecuaciones manejadas hasta ahora venían expresadas en función dela carga radial sobre el rodamiento, sin considerar la presencia de carga axial.Cuando hay carga axial, es necesario evaluar una carga radial equivalente que, siactuara sobre el cojinete, produciría el mismo efecto que la combinación de cargaradial y carga axial que realmente actúa; de esta manera, se pueden manejar lasecuaciones antes citadas para hacer los cálculos. El problema involucra siempremétodos iterativos en el proceso de diseño. La carga radial equivalente, ademásde depender de las fuerzas radial y axial sobre el cojinete, depende también dela geometría del mismo, y por tanto su determinación es diferente para cadatipo de rodamiento.

Otro aspecto que es necesario tener en cuenta es cómo se soporta el eje en elrodamiento; es diferente que el eje vaya fijado al anillo interior y el anillo externovaya encastrado en la bancada o que suceda lo contrario. La forma más precisade tener en cuenta este aspecto es multiplicar la carga radial por un factor V

llamado factor de rotación, que será mayor cuando el eje gira con el anillo externoy el interno está fijo a la bancada. Los resultados de pruebas experimentalesrealizadas con distintos tipos de rodamientos arrojan los siguientes valores parael factor de rotación:

– Para rodamientos de bolas y de rodillos cilíndricos, V = 1 para giro delanillo interior, y V = 1,2 para giro del anillo exterior.

– Para rodamientos cónicos y rodamientos autoalineantes, V = 1 en todoslos casos.

Selección de rodamientos de bolas La carga radial equivalente Fe de unrodamiento de bolas viene dada por la expresión:

Fe = max (V Fr, XV Fr + Y Fa),

donde V es el factor de rotación, Fr la carga axial aplicada al cojinete, Fa lacarga axial equivalente, y X y Y los factores radial y de empuje respectivamente.Y depende de la relación Fa

C0

, donde C0 es la capacidad de carga básica estática,que debe venir recogida en las tablas del fabricante junto con la capacidad básicade carga. Además, tanto X como Y dependen también de que la relación Fa

Fr

sea mayor o menor que un coeficiente e, que depende a su vez de la relación Fa

C0

.El problema es que para calcular la capacidad de carga requerida es necesariodeterminar antes la carga radial equivalente, pero ésta no se puede calcularsin antes conocer la capacidad básica de carga estática C0, para lo cual seríanecesario tener previamente seleccionado el rodamiento. Así, será necesario ir

58 13. Selección de rodamientos

probando rodamientos hasta encontrar el de menor capacidad de carga quecumpla con los requisitos establecidos.

No obstante, este proceso iterativo puede racionalizarse de la manera si-guiente. Supóngase que se cumple:

Fa

Fr≤ max

(

0,44V

Y2, e

)

. (10)

Si se cumple esta condición, y por tanto Fe = V Fr, la capacidad básica de cargarequerida, si se diseña para una duración de L10D millones de revoluciones, debeverificar:

(

Creq

Fe

)a

=L10D

1.

Entrando en las tablas con el valor de Creq, se seleccionaría el cojinete decapacidad básica de carga inmediatamente superior y se tomarían los valores desu capacidad básica de carga C y de su capacidad básica de carga estática C0.A continuación, se determinaría el valor de la relación Fa

C0

, y por interpolación seobtendrían los valores de e y de Y2 correspondientes. Si con los valores obtenidosse cumple la condición (10), se puede asegurar que el rodamiento escogido es lasolución del problema de diseño.

En cambio, si la condición anterior no se verifica, la hipótesis de partidasería falsa, de manera que se podría afirmar que la carga radial equivalente es:

Fe = 0,56V Fr + Y2Fa,

y se deberían ir probando rodamientos a partir del obtenido en el paso anterior(incluyéndolo), hasta encontrar el primero que cumpliera los requisitos.

En lugar de interpolar los valores de las tablas, pueden emplearse las si-guientes ecuaciones —obtenidas por correlación—, que arrojan resultados muyaproximados:

e ≈ 0,5065

(

Fa

C0

)0,232

; Y2 ≈ 0,8632

(

Fa

C0

)−0,2349

.

Selección de rodamientos de rodillos cilíndricos Los rodamientos de rodilloscilíndricos no resisten carga de empuje. Si se vieran sometidos a carga de estetipo, se desmontarían y se separarían sus anillos.

Si la reacción de un rodamiento de rodillos cilíndricos es siempre radial, lacarga radial equivalente será siempre Fe = V Fr. La selección de este tipo derodamientos es más simple, pues no requieren iteraciones. Basta con calcular lacapacidad básica de carga requerida y seleccionar de las tablas del fabricante elrodamiento con capacidad básica de carga inmediatamente superior.

Selección de rodamientos de rodillos cónicos En el caso de que alguno delos apoyos de un eje sea un rodamiento de rodillos cónicos, la carga radial que

13. Selección de rodamientos 59

soporta inducirá en el eje una carga axial adicional, debida a la propia geometríade los conos. La fuerza que se produce en el contacto del rodillo con el anillomóvil del rodamiento tiene la dirección de la normal común a ambas superficiesde anillo y rodillo, que no coincide con la dirección radial. Esa fuerza normal hade ser tal que su componente radial equilibre la carga radial que induce el eje,pero su componente axial inducirá en el eje una fuerza de empuje que se deberáabsorber en algún otro componente o apoyo.

Por el contrario, las cargas de empuje que el eje ejerza sobre los rodamien-tos no inducen en éstos cargas radiales. Aunque la reacción sigue siendo en ladirección de la normal de las superficies en el punto de contacto, este esfuerzonormal se reparte alrededor de toda la superficie del cono, de manera que lascomponentes radiales se anulan y las axiales equilibran la fuerza que ejerce eleje.

Un rodamiento de rodillos cónicos sólo resiste carga de empuje cuando éstatiende a apretar el cono contra la copa; en caso contrario, cono y copa se separan.Por esta razón, los rodamientos cónicos deben montarse sobre el eje con lasbases mayores —o las menores— enfrentadas. Suele ser preferible enfrentar lasbases mayores, pues de esta forma los esfuerzos axiales inducidos en el eje sona compresión en lugar de a tracción.

La relación entre la reacción radial del rodamiento sobre el eje y la cargaaxial que induce viene impuesta por la geometría del mismo. Esta relación sesuele expresar como:

Fi =0,47Fr

K,

donde Fr es la fuerza radial sobre el rodamiento, Fi la carga de empuje queinduce la anterior y K un factor que depende de la geometría.

Para que el eje no se desplace, la resultante de las fuerzas axiales sobre éldebe ser nula. Esas fuerzas axiales son: la fuerza axial externa que actúa y la queinducen los dos rodamientos, que dependerá de las reacciones radiales en ellos.Evidentemente, la suma vectorial de las tres no tiene que ser necesariamenteigual a cero. Por consiguiente, hará falta una reacción más que equilibre laresultante anterior. Dependiendo del sentido que se obtenga y de la forma en queestén enfrentados los conos, esa reacción adicional se producirá en un rodamientoo en el otro. En consecuencia, en este rodamiento la carga de empuje será lasuma de la que induce su carga radial más esta reacción adicional.

Para utilizar las ecuaciones de la duración y la fiabilidad, al igual que parala determinación de las capacidades de carga requeridas, es necesario definiruna carga radial equivalente que tenga en cuenta el efecto de la combinación decarga radial y de empuje que actúa sobre el rodamiento. Para rodamientos derodillos cónicos, la carga radial equivalente Fe se calcula mediante la ecuación:

Fe = max [Fr, (0,4Fr + KFa)] ,

donde Fr es la carga radial sobre el rodamiento, Fa la de empuje y K el factorcorrespondiente al rodamiento sobre el que se calcula la carga radial equivalente.

Varios problemas se plantean a la hora de seleccionar rodamientos cónicos.En primer lugar, la carga radial equivalente depende del factor K, que obvia-mente es desconocido hasta tener seleccionado el rodamiento, por lo que para la

60 14. Lubricación de cojinetes

selección debe seguirse un proceso iterativo. Pero además, resulta que la cargaaxial depende de la fuerza axial inducida por el otro cojinete, que depende a svez de su correspondiente factor K ′, por lo que el bucle de interacción será do-ble. Finalmente, tampoco se conoce a priori la posición del centro de presionesdel rodamiento, que tendrá influencia —aunque pequeña— en el valor de lasreacciones radiales.

En la práctica, el proceso no resulta tan complicado, pues en uno de los dosrodamientos, si se disponen con las bases iguales enfrentadas, la carga de empujees igual a la que induce su carga radial, y por tanto inversamente proporcional aK. Para ese rodamiento, la carga radial equivalente no dependerá de K, lo quesimplifica mucho las cosas. Respecto al valor de a, se recomienda despreciarloinicialmente y considerarlo en un cálculo de verificación, una vez seleccionadoslos rodamientos. Cojinetes de deslizamiento

14. Lubricación de cojinetes

Tipos de lubricación El estudio de la lubricación, la fricción y el desgaste seconoce como tribología. Los cojinetes de rodadura tienen muy buen rendimientodebido al contacto rodante entre sus elementos. Sin embargo, presentan algunosinconvenientes respecto a los de deslizamiento: son más caros, su montaje es máscomplicado, tienen tolerancias muy pequeñas, tienen mayor tamaño, trabajanpeor a altas velocidades, y no trabajan bien a temperaturas elevadas. Así, existendos campos fundamentales para los cojinetes de deslizamiento:

– Las operaciones a altas temperaturas y condiciones de carga variables.

– Las operaciones con cargas ligeras o, en general, servicios poco críticos, enlos que el rendimiento no es fundamental y prevalece su menor coste, sumayor facilidad de instalación y su menor requerimiento de espacio.

Cuando los cojinetes de deslizamiento se emplean en operaciones con cargasligeras, pueden incluso no ir lubricados. Se suele utilizar en estos casos un ma-terial de bajo coeficiente de fricción con el acero y suficiente resistencia, comoel nilón. Cuando se lubrican, se emplea aceite o, con más frecuencia, grasa.Para operaciones a temperaturas muy altas, los aceites pierden gran parte desus propiedades, y pueden emplearse revestimientos de aleación, uno de cuyoscomponentes funde a la temperatura de trabajo y actúa como lubricante.

Existen varios tipos de lubricación. La lubricación hidrostática consiste enla introducción a presión del lubricante en la zona de contacto, de manera quesepare ambas superficies. Este tipo de lubricación no precisa de movimientorelativo entre las superficies, y por ello se aplica a transmisiones a velocidadesde giro pequeñas.

La lubricación hidrodinámica o de película gruesa se caracteriza por la in-troducción del lubricante a baja presión, incluso a presión nula, pero con el ejegirando a cierta velocidad. A causa del movimiento relativo, el eje arrastra el

14. Lubricación de cojinetes 61

lubricante hacia la zona de contacto, donde se crea una cuña de presión, y estasobrepresión origina la separación de las superficies, creando entre ambas unacapa de lubricante suficientemente gruesa. Se trata de un régimen de lubricaciónestable: un aumento de la temperatura produce una disminución del coeficientede fricción, lo que supone una disminución del calor generado y, en consecuen-cia, una tendencia a reducir la temperatura, compensando el aumento que seprodujo.

El espesor de la película de lubricante es tanto menor cuanto menor es elárea de contacto o la cantidad de lubricante suministrada, o cuanto mayor esla carga o la temperatura del lubricante. Por la conjunción de algunos de estosfactores, puede llegarse a espesores de capa de unos cuantos diámetros molecu-lares. En este caso, se tiene la llamada lubricación al límite o de capa límite.Este régimen de lubricación no es deseable en cojinetes, pues cualquier altera-ción en las condiciones de funcionamiento puede llevar a zonas de inestabilidad,con rotura de la película de lubricante y contacto metálico entre las crestas delas superficies, y el consiguiente aumento del coeficiente de fricción.

Cuando la película de lubricante se rompe, se tiene un régimen de lubrica-ción inestable. El contacto metálico entre las crestas aumenta el coeficiente defricción, lo que hace aumentar la temperatura, que a su vez reduce el espesorde la capa, aumentando el contacto metálico, lo que haría subir la temperaturaindefinidamente.

La lubricación elastohidrodinámica se produce cuando se introduce lubri-cante entre superficies con contacto rodante, como es el caso de engranajes orodamientos, los cuales se deforman por efecto de la fuerza de apriete de unacontra otra.

Por último, para operaciones a temperaturas extremadamente altas, losaceites dejan de ser adecuados como lubricantes. Se aplica entonces la lubricaciónde película sólida. Los lubricantes sólidos más comúnmente empleados son elgrafito y el disulfuto de molibdeno.

Viscosidad. Ley de Newton Supongamos dos placas separadas por una capade lubricante de espesor h. La placa superior se mueve con respecto de la otra convelocidad u, para lo cual precisa de la aplicación de una fuerza F que venza lafricción del lubricante. El movimiento de la capa superior arrastrará las distintascapas de lubricante, de manera que la que está en contacto con ella se moverácon velocidad u, y la que está en contacto con la placa inferior tendrá velocidadnula. Este arrastre inducirá una fuerza por unidad de superficie en cada uno delos volúmenes elementales de lubricante, que por estar contenida en la cara delvolumen será una tensión de cortadura. Cada uno de estos volúmenes elementalesse moverá con una velocidad u = u(y) que será función de la distancia del mismoa la placa inferior.

La ley de Newton establece que la tensión de cortadura sobre cada volumenelemental de lubricante es proporcional al gradiente de la velocidad:

τ = µdu

dy.

62 14. Lubricación de cojinetes

La constante de proporcionalidad µ se conoce como viscosidad absoluta o visco-sidad dinámica, y es una propiedad de cada lubricante —o, más exactamente,de cada fluido— que disminuye con la temperatura. Representa una medida dela fricción interna del fluido.

Ley de Petroff Uno de los primeros estudios sobre la fricción en cojinetesfue publicado por Petroff en 1883. Consistió en la aplicación del postulado deNewton a un cojinete de cubrimiento completo —i.e., que abraza 360 al eje—,partiendo de la hipótesis de que eje y cojinete son concéntricos. Eso equivale asuponer que se cumple al menos una de las siguiente condiciones: que la cargaradial sobre el cojinete es nula; que la viscosidad del lubricante es infinita; o quela velocidad de giro del eje es infinita.

Obviamente, ninguna de esas condiciones puede darse en la práctica. Noobstante, el estudio de Petroff tiene interés por dos razones: primero, porqueintroduce una serie de parámetros adimensionales de gran importancia en poste-riores estudios; segundo, porque, a pesar de todo, constituye una aproximaciónaceptable cuando las cargas son muy pequeñas o las velocidades de giro muyaltas.

Supongamos que un eje de radio r que gira con velocidad de n revolucionespor segundo, abrazado por un cojinete completo de longitud l y radio interiorr + c —en donde c es la holgura radial— y que se dan las condiciones de con-centricidad antes expuestas. De acuerdo con la ley de Newton, se tiene:

τ = µdu

dy≈ µ

u

c= µ

2πnr

c.

Sobre el eje actuará un par torsor, debido a la tensión de cortadura que ellubricante ejerce sobre él, y que valdrá

T = τΩr =

(

µ2πnr

c

)

(2πrl)r =4π2r3lµn

c.

Si sobre el cojinete actúa una carga radial W , y se define la carga por unidadde área proyectada del cojinete como P = W

2rl , el coeficiente de fricción F habráde verificar, por su definición:

Fr = fW ; T = fWr = 2fr2lP,

por lo que, igualando ambas expresiones del par de rozamiento,

f = 2π2

(

µn

p

)

(r

c

)

,

que es lo que se conoce como ley de Petroff, y que proporciona el valor delcoeficiente de rozamiento en función de la viscosidad, la velocidad de giro, lacarga por unidad de área proyectada, el radio del eje y la holgura radial. Si sehace

S =(r

c

)2(

µn

p

)

,

14. Lubricación de cojinetes 63

la ecuación de Petroff queda en su forma habitual:(r

c

)

f = 2π2S.

El parámetro adimensional S se conoce como número de Sommerfield,índice de Sommerfield, índice del cojinete o número característico del coji-nete, y será de trascendental importancia para la resolución de la ecuación deReynolds.

Se puede comprobar que, para valores muy elevados de la viscosidad o dela velocidad de giro, o muy pequeños de la carga, el coeficiente de fricciónes proporcional al índice de Sommerfield. Sin embargo, cuando se dan esascondiciones, la linealidad se pierde, debido a la aparición de excentricidad entreeje y cojinete. La zona de la derecha de la gráfica, la de valores altos del índicede Sommerfield, corresponde al régimen de lubricación estable, en el que latemperatura se autorregula. Por el contrario, a la izquierda del punto L, lalubricación es de carácter inestable, debido a la aparición de contacto metálicoentre los valores de ambas superficies.

Ecuación de Reynolds Para estudiar el comportamiento del lubricante en coji-netes de deslizamiento, es preciso establecer una serie de hipótesis de partida,que resultan bastante aceptables. Son las siguientes: el lubricante obedece a laley de Newton de flujo viscoso; las fuerzas de inercia del lubricante son despre-ciables; el lubricante es incompresible, y el flujo de lubricante es bidimensional.

De acuerdo con la última hipótesis, se supondrá que la presión no varía alo largo del eje y, de manera que se cumpla ∂p

∂y = 0. Se designan por u y w lascomponentes de la velocidad en la dirección de los ejes x y z respectivamente,y por h el espesor de la capa de lubricante en cada punto (x, z).

Sobre un volumen elemental de fluido actúan una serie de fuerzas por efectode la presión y la viscosidad. Teniendo en cuenta que las fuerzas de inercia sondespreciables, la condición de equilibrio de fuerzas según los ejes x e y puedeexpresarse como:

∂p

∂x=

∂τx

∂y;

∂p

∂z=

∂τz

∂y.

Así, teniendo en cuenta la expresión de la ley de Newton, se puede escribir:

∂p

∂x=

∂

∂y

(

µ∂u

∂y

)

;∂p

∂z=

∂

∂y

(

µ∂w

∂y

)

.

Puesto que la presión no es función de y, sus derivadas tampoco lo serán, conlo que esas dos ecuaciones se pueden integrar con respecto a y, obteniéndose

∂u

∂y=

y

µ

∂p

∂x+

a1

µ;

∂w

µ

∂p

∂z+

b1

µ.

Integrando de nuevo con respecto a y, se tiene:

u =y2

2µ

∂p

∂x+

a1y

µ+ a2; w =

y2

2µ

∂p

∂z+

b1y

µ+ b2.

64 14. Lubricación de cojinetes

En el caso más general, el cojinete (y = 0) se moverá con una velocidad cuyoscomponentes según los ejes x y z se designarán por u0 y w0, respectivamente, yel eje (y = h) con otra cuyas componentes se llamarán uh y wh. Introduciendoestas condiciones de contorno en las expresiones de u y w, se tiene:

u =y2 − hy

2µ

∂p

∂x+

y

h(uh − u0) + u0;

w =y2 − hy

2µ

∂p

∂z+

y

h(wh − w0) + w0.

El flujo de lubricante por unidad de ancho en la dirección del eje x y del ejey, respectivamente, vienen dados por:

qx = − h3

12µ

∂p

∂x+

h

2(u0 + uh) ; qz = − h3

12µ

∂p

∂z+

h

2(w0 + wh) ;

Si se considera un volumen de control paralelepipédico de lados dx, dy y h, elbalance neto de flujo será:

qxdz + qzdx −(

qx +∂qx

∂xdx

)

dz −(

qz +∂qz

∂zdz

)

dx.

Si se ha admitido la hipótesis de que el fluido es incompresible, ese balance tieneque ser cero; por consiguiente, se cumple:

∂qx

∂x+

∂qz

∂z= 0.

Derivando las expresiones de qx y qy y sustituyendo en la ecuación delbalance de flujo, queda:

∂

∂x

(

h3

µ

∂p

∂x

)

+∂

∂z

(

∂h3

µ

∂p

∂z

)

= 6 (u0 + uh)∂h

∂x+ 6 (w0 + wh)

∂h

∂z. (11)

Esta expresión constituye la ecuación de Reynolds para flujo bidimensional,que se maneja para el estudio de la lubricación de cojinetes. La ecuación (11)puede simplificarse de varias maneras. En primer lugar, se puede suponer que,aunque el eje y el cojinete sean excéntricos, se mantienen paralelos y, por tanto,∂h∂z = 0. Por otro lado, es admisible suponer que la viscosidad no varía de manerasignificativa a lo largo del recorrido del fluido. Es posible emplear un valor mediode la viscosidad, sin que por ello se deje de obtener un resultado suficientementepreciso. Si se introducen estas dos simplificaciones, la ecuación de Reynolds

queda:∂

∂x

(

h3 ∂p

∂x

)

+ h3 ∂2p

∂z2= 6µ (u0 + uh)

∂h

∂x.

En el caso más general, el eje girará con una velocidad angular ωe, el cojinetecon otra ωc, y la carga con una tercera ωW . Puesto que se han despreciado lasfuerzas de inercia, no hay inconveniente en referir las condiciones anteriores aun sistema de referencia móvil que gira solidariamente con la carga:

ω′e = ωe − ωW ; ω′

c = ωc − ωW ,

15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales 65

con lo que las componentes de la velocidad en la dirección del eje x de las capasde fluido de contacto con el eje y del cojinete serán, respectivamente,

uh = ω′er; u0 = ω′

c(r + c) ≈ ω′cr,

donde r es el radio del eje y c la holgura radial, que se ha despreciado en laexpresión de u0 puesto que su valor es muy inferior al de r. Si ahora se hace

ω = ω′e + ω′

c = ωe + ωc − 2ωW .

La ecuación de Reynolds queda de la forma:

∂

∂x

(

h3 ∂p

∂x

)

+ h3 ∂2p

∂z2= 6µωr

∂h

∂x.

Recordando que los ejes x e y se habían tomado en dirección tangencialy radial, respectivamente, se puede hacer el cambio de variable x = rϕ. Secomprueba que el espesor de la película de lubricante h se puede expresar, demanera muy aproximada, como:

h ≈ c + e cosϕ,

ya que la excentricidad tiene una valor muy pequeño. La ecuación de Reynolds

queda finalmente:

∂

∂ϕ

[

(c + e cosϕ)3∂p

∂ϕ

]

+ r2(c + e cosϕ)3∂2p

∂z2= −6µωr2e senϕ.

Esta ecuación diferencial en derivadas parciales carece de solución general, apesar de todas las simplificaciones introducidas. En 1904, Sommerfield publicóuna de las primeras soluciones, obtenida por métodos de integración numérica.Su solución se basa en el supuesto de que no existen fugas laterales de lubricante,y que por tanto se cumple que ∂p

∂z = 0.

Sommerfield encontró así una relación entre el coeficiente de fricción y elíndice del cojinete de la forma:

r

cf = G

[

(r

c

)2 µn

p

]

,

donde G ya no es una función lineal como la que obtenía Petroff, sino que sepresenta mediante una tabla de puntos.

15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales

Integración de la ecuación de Reynolds Como ya se ha mencionado, no esposible obtener una solución general de la ecuación de Reynolds y se han deemplear métodos numéricos para su integración. Una posible solución del proble-ma consiste en agrupar términos de la ecuación en parámetros adimensionales,

66 15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales

de forma que se reduzca el número de parámetros de partida para los que se hade encontrar una solución numérica. Este procedimiento es el que se sigue paraobtener la solución que se presenta a continuación.

Si es posible encontrar solución a la ecuación de Reynolds (14), ésta seexpresará de la forma:

p = p(ϕ, z, c, e, r, µ, ω, P ),

donde ϕ y z son las variables independientes de la ecuación diferencial —lascoordenadas del punto en el que se calcula la presión— y el resto de parámetrosson los datos del problema. Evidentemente, si ϕ y z son las variables indepen-dientes, la solución habrá de depender de ellas; sin embargo, mediante el análisisdimensional, las seis restantes se pueden reducir a dos.

En primer lugar, se define el parámetro de excentricidad adimensional ǫ

como ǫ = ec ; en función de él, la ecuación de Reynolds queda de la forma:

∂

∂ϕ

[

(1 + ǫ cosϕ)3∂p

∂ϕ

]

+ r2(1 + ǫ cosϕ)3∂2p

∂z2= −6µω

(r

c

)2

ǫ senϕ.

Si ahora se hace el cambio de variable δ = zl y se introduce en la ecuación

de Reynolds, ésta queda así:

∂

∂ϕ

[

(1 + ǫ cosϕ)3∂p

∂ϕ

]

+(r

l

)2

(1 + ǫ cosϕ)3∂2p

∂δ2= −6µω

(r

c

)2

ǫ senϕ.

Se hace un nuevo cambio de variable, γ = pP , con lo que resulta:

∂

∂ϕ

[

(1 + ǫ cosϕ)3∂γ

∂ϕ

]

+1

4

(

d

l

)2

(1 + ǫ cosϕ)3∂2γ

∂δ2= −6

µω

p

(r

c

)2

ǫ senϕ.

Teniendo en cuenta la definición del índice de Sommerfield S, el segundotérmino de la igualdad anterior puede escribirse como −12πSǫ senϕ, con lo quela ecuación de Reynolds queda finalmente:

∂

∂ϕ

[

(1 + ǫ cosϕ)3∂γ

∂ϕ

]

+1

4

(

d

l

)2

(1 + ǫ cosϕ)3∂2γ

∂δ2= −12πSǫ senϕ.

La solución general de esta ecuación diferencial, si existiera, sería una fun-ción de la forma:

γ = γ

[

ϕ, δ, ǫ,l

d, S

]

;

ahora bien, el parámetro de excentricidad adimensional también se obtiene dela integración de la ecuación de Reynolds, y por tanto se podrá expresar enfunción de l

d y S exclusivamente: ǫ = ǫ[(

ld

)

, S]

. Por ende, la solución generalde la ecuación de Reynolds tendrá la forma:

γ = γ

[

ϕ, δ,

(

l

d

)

, S

]

.

15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales 67

En conclusión, la variable de presión adimensional γ se puede expresar comouna función de las variables espaciales ϕ y δ, y únicamente dos parámetrosadimensionales, l

d y S, que, a su vez, pueden expresarse en función de los datosiniciales del problema.

Comoquiera que sea, lo interesante no es tanto el valor de la presión dellubricante en cada punto como el valor de otros parámetros de funcionamien-to, tales como el espesor mínimo de película, el coeficiente de fricción, etc. Lavariable adimensional de espesor mínimo de película puede expresarse como:

hmín

c= 1 − ǫ =

hmín

c

[(

l

d

)

, S

]

,

que se puede determinar exclusivamente en función de ld y S. Esos dos pará-

metros adimensionales son suficientes para definir otros muchos parámetros deoperación, expresados siempre en forma de parámetros adimensionales.

El valor máximo de γ (y por tanto de la presión en el lubricante) se obtienede resolver el sistema de ecuaciones:

∂γ

∂ϕ= 0;

∂γ

∂δ= 0,

cuya solución proporcionará los valores de ϕpmáxy δpmáx

correspondientes alpunto de máxima presión. Introducidos en la expresión de γ, ésta dejará dedepender de ϕ y de δ, de manera que se tendrá:

γmáx = γmáx

[(

l

d

)

, S

]

,

o, lo que es lo mismo,pmáx

p=

pmáx

p

[(

l

d

)

, S

]

.

Obviamente, esos valores de ϕpmáxy δpmáx

serán también función de ld y S, ya

que en el sistema de ecuaciones anterior, del que se obtienen sus valores, noaparecen más parámetros.

La posición terminal de película es el punto donde finaliza la cuña de presión,y en consecuencia se obtiene imponiendo la condición γ = 0. Esta condiciónpermite expresar ϕp=0 como:

ϕp=0 = ϕp=0

[

δ,

(

l

d

)

, S

]

;

i.e., la posición terminal de la película de lubricante varía con δ o, lo que es lomismo, con la coordenada z. Si se toma el valor de δ en el que se presenta el valormáximo de ϕp=0 (ϕ0), se tendrá que ϕ0 es función de l

d y S exclusivamente:

ϕ0 = ϕ0

[(

l

d

)

, S

]

.

La componente vertical de la fuerza ejercida por el lubricante en la zonade presión sobre el eje debe contrarrestar la carga W que actúa sobre él, por lo

68 15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales

que, si φn es el ángulo formado por la línea de centros y la línea de acción deW , se ha de cumplir:

W = −∫ l

0

∫ 2π

0

p(ϕ, z)rdϕdz cos (ϕ − φn) ;

2rlP = −∫ l

0

∫ 2π

0

Pγ(ϕ, δ)rdϕldδ cos (ϕ − φn) ;

2 = −∫ l

0

∫ 2π

0

γ(ϕ, δ) cos (ϕ − φn) dϕdδ,

expresión esta última que permite determinar el valor del ángulo φn. Este ángulodefine la posición del espesor mínimo de película con respecto a la línea de acciónde la carga; por depender únicamente de la función γ(ϕ, δ), puede expresarse,al igual que ésta, exclusivamente en función de l

d y S:

φn = φn

[(

l

d

)

, S

]

.

El momento de las fuerzas de rozamiento viscoso del lubricante sobre el ejeviene dado por:

T =

∫ l

0

[∫ 2π

0

rτxy=hrdϕ

]

dl = r2l

∫ l

0

[∫ 2π

0

τxy=hdϕ

]

dδ.

Haciendo uso de la ley de Newton y de las expresiones, obtenidas anteriormen-te, de u y de h, se llega a:

τxy=h=

1 + ǫ cosϕ

2

Prc

∂γ

∂ϕ+ µ

(r

c

) ω′e − ω′

c

1 + ǫ cosϕ.

Reemplazando esta expresión en la del par de fricción, se obtiene:

T = r2l

∫ l

0

∫ 2π

0

(

1 + ǫ cosϕ

2

Prc

∂γ

∂ϕ+ µ

r

c

ω′e − ω′

c

1 + ǫ cosϕ

)

dϕdδ.

Ahora bien, teniendo en cuenta que T = 2fr2lP , el par de fricción puedeexpresarse como:

f =T

2r2lP=

∫ l

0

∫ 2π

0

[

1

4

1 + ǫ cosϕrc

∂γ

∂ϕ+

1

2

µ

p

(r

c

) ω′e − ω′

c

1 + ǫ cosϕ

]

dϕdδ.

Para el caso en que ω′c sea nula, i.e., que ωc y ωW sean iguales, el coeficiente de

fricción podrá expresarse como:

f =1rc

∫ l

0

∫ 2π

0

[

1

4(1 + ǫ cosϕ)

∂γ

∂ϕ+ π

S

1 + ǫ cosϕ

]

dϕdδ.

El término de la izquierda, llamado variable adimensional del coeficiente defricción, se puede expresar también mediante una función de l

d y S:

(r

cf)

=(r

cf)

[(

l

d

)

, S

]

.

15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales 69

El flujo total de lubricante que entra en la zona de la cuña de presión sepuede expresar como la suma del flujo que sale de la zona de presión en direccióntangencial más el flujo flujo que se escurre por los lados del cojinete.

El flujo en dirección tangencial que atraviesa una sección cualquiera ϕ ven-drá dado por:

Qϕ =

∫ l

0

qxdz =

∫ l

0

qxldδ,

donde qx es el flujo de lubricante por unidad de ancho en la dirección del eje x.

En el caso que se está considerando, el cojinete es fijo y el eje se mueve convelocidad angular ω, de manera que:

u0 = 0; uh = ωr,

con lo que la expresión de qx, ya obtenida anteriormente, se transforma en:

qx = −c3 (1 + ǫ cosϕ)3

12µ

P

r

∂γ

∂ϕ+ c

1 + ǫ cosϕ

2ωr.

Sustituyendo esta expresión en la del flujo tangencial, se llega al siguienteresultado:

Qϕ

rcnl= (1 + ǫ cosϕ)

[

π − (1 + ǫ cosϕ)2

12S

∫ l

0

∂γ

∂ϕdδ

]

.

Particularizando esta ecuación para ϕ = ϕ0, se obtendrá el flujo tangencialen la salida de la cuña de presión:

Q0

rcnl= (1 + ǫ cosϕ0)

π − (1 + ǫ cosϕ0)2

12S

(

∫ l

0

∂γ

∂ϕdδ

)

ϕ=ϕ0

.

El término de la derecha de la igualdad es función, nuevamente, de ld y S

exclusivamente, por lo que el parámetro adimensional de la izquierda tambiénlo será:

Q0

rcnl=

Q0

rcnl

[(

l

d

)

, S

]

.

Por otra parte, el flujo de lubricante que escurre por las dos caras del cojineteserá:

Qs =

∫ 2π

0

[(qz)z=l − (qz)z=0] rdϕ,

donde qz es el flujo de lubricante por unidad de ancho —medido en direcciónx— en la dirección del eje z. Si se tiene en cuenta que ni el eje ni el cojinete semueven en la dirección del eje z —coincidente con la dirección axial del eje—y se introducen los anteriores cambios de variable, esta expresión queda de laforma:

qz = −c3 (1 + ǫ cosϕ)3

12µ

P

l

∂γ

∂δ,

70 15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales

con lo que se llega a:

Qs

rcnl= − 1

48(

ld

)2S

∫ 2π

0

(1‘ǫ cosϕ)2[(

∂γ

∂δ

)

δ=l

−(

∂γ

∂δ

)

δ=0

]

dϕ.

Se aprecia, una vez más, que el parámetro adimensional del término de la iz-quierda es función únicamente de l

d y S.

Evidentemente, el flujo total de lubricante que entra en la zona de presiónes la suma del flujo tangencial en dicha zona más el flujo lateral:

Q

rcnl=

Q0

rcnl+

Qs

rcnl=

Q

rcnl

[(

l

d

)

, S

]

.

Se aprecia que el parámetro adimensional de flujo, que aparece en el término dela izquierda de la última ecuación, es también función de l

d y S.

Diagramas de Raimondi y Boyd El trabajo de Raimondi y Boyd consistió,básicamente, en seleccionar una serie de valores de S y de l

d y, para cada parde valores

(

S, ld

)

, realizar los cálculos descritos en el epígrafe anterior. Concre-tamente, para S se tomaron valores discretos suficientemente próximos, en elintervalo entre 0 y 10; para l

d se tomaron cuatro valores: 14 , 1

2 ,1 e ∞. Esteproceso se repitió para diferentes ángulos de cubrimiento del cojinete, entre 60

y 360.

En cada uno de los casos, se integraba la ecuación de Reynolds aplicandolas condiciones de contorno. Una vez que S y l

d toman valores concretos, laecuación se puede integrar por métodos numéricos. Se obtiene así una tabla devalores de γ para cada punto del dominio (ϕ, λ) discretizado.

Aplicando las condiciones de extremo a la función γ(ϕ, λ), se obtienen losvalores de ϕ y λ donde se localiza la presión máxima y el valor de ésta:

γmáx =pmáx

P= γ (ϕpmáx

, λpmáx) .

En el caso de cojinetes con lubricación natural, el eje toma el lubricante a presiónnula y lo arrastra a la zona de presión, en uno de cuyos puntos se producirá lapresión máxima.15 En el caso de cojinetes lubricados a presión, el eje toma ellubricante a la presión de suministro, con lo que la presión será ps en los bordesde la ranura, nula en los extremos, y variará de forma más o menos lineal enlas secciones intermedias. La presión máxima absoluta será en este caso la sumade la presión máxima más la presión de suministro, y estará localizada en lassecciones situadas a ambos lados de la ranura.

Raimondi y Boyd publicaron resultados para el caso de lubricación natu-ral; para la lubricación a presión, los flujos se pueden calcular mediante ecua-ciones, de la forma siguiente.

El cojinete se puede suponer equivalente a dos cojinetes iguales de longitudl′ = l−lr

2 , cada uno de los cuales soportará una carga W2 , ya que el eje no apoya

15Por consideraciones de simetría, se demuestra que λpmáx= 0,5.

15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales 71

sobre la ranura. El aceite se introduce en la ranura a una presión de suministrops; rellena totalmente la ranura y fluye en dirección axial hacia ambos extremosdel cojinete. Debido a la presión de suministro, este flujo es muy superior alflujo transversal producido por el arrastre del eje, de manera que, con muchasaproximaciones, se cumple Qs

Q = 1.

Si se admite que el flujo es fundamentalmente axial, se ha de admitir tambiénque la distribución de velocidades —que tendrán la dirección del eje x— serásimétrica respecto de la línea media del intervalo h, en la que se ha situado eleje x. Si se considera un volumen elemental de lubricante de espesor unidad,longitud dx y altura 2y, centrado respecto del eje x, en virtud de la ley deNewton el esfuerzo cortante τ en la cara superior del volumen será igual alque actúa en la cara interior.

Por otra parte, la presión del aceite en x = 0 coincidirá con la presión desuministro, e irá disminuyendo hasta hacerse nula en el extremo, x = l′. Si seadmite que esta variación de la presión es lineal, se tiene:

p(x) = ps

(

1 − x

l′

)

.

La distribución de velocidades resulta ser:

u =ps

2µl′

(

h2

4− y2

)

.

Así, el flujo axial por unidad de ancho será:

qx =ps

2µl′

∫ h2

−h2

(

h2

4− y2

)

dy =ps

12µl′h3,

y el flujo axial total será la integral del flujo axial por unidad de ancho, extendidaa todas las secciones radiales del cojinete:

Qsd=

∫ 2π

0

ps

12µl′h3rdϕ =

ps

12µl′rc3

∫ 2π

0

(1 − ǫ cosϕ)3dϕ.

Si se desarrolla el término de dentro de la integral mediante el binomio deNewton, se tiene:

∫ 2π

0

(1 − ǫ cosϕ)3dϕ =

∫ 2π

0

(

1 + 3ǫ2 cos2 ϕ)

dϕ,

puesto que las integrales entre 0 y 2π de cosϕ y de cos3 ϕ son ambas nulas, porser funciones simétricas respecto del punto medio del dominio de integración.

El flujo que escurre por el extremo de la derecha del cojinete es:

Qsd=

ps

12µl′rc32π

(

1 + 1,5ǫ2)

,

y el flujo total será la suma del que escurre por el extremo de la derecha más elque escurre por el de la izquierda; como, por simetría, ambos flujos deben seriguales, se tiene:

Qs =πpsrc

3

3µl′

(

1 + 1,5ǫ2)

.

72 15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales

Los resultados de Raimondi y Boyd se presentaron en forma de gráficas,en cuyos ejes de ordenadas se representaba el valor del parámetro adimensionalcorrespondiente (ǫ, φh, etc.), en el de abscisas el índice del cojinete S, y encada diagrama cuatro curvas correspondientes a los cuatro valores consideradosde l

d . En el caso de que la relación ld del cojinete a analizar no corresponda

con ninguno de los cuatro valores característicos de las curvas de los diagramas(14 , 1

2 , 1 o ∞), lo más correcto es emplear la ecuación:

y =

(

1 − ld

) (

1 − 2 ld

) (

1 − 4 ld

)

(

ld

)3

[

− y∞

8+

y1

3(

1 − ld

) −y1/2

4(

1 − 2 ld

) +y1/4

24(

1 − 4 ld

)

]

Balance térmico En la práctica real del diseño, habitualmente se desconoce laviscosidad media de operación del aceite. Se puede suponer que esta viscosidadmedia será la correspondiente a una temperatura media de operación Tm iguala la media aritmética entre las temperaturas de entrada Te y de salida Ts delaceite, lo que permitiría calcular la viscosidad media de operación del lubricantemediante la curva de viscosidad correspondiente.

No obstante, eso no resuelve el problema; es razonable pensar que se conozcala temperatura de entrada del lubricante, pero no la de salida, que depende delcalor generado, que a su vez depende de la fricción y por tanto de la viscosidad.El cálculo debe resolverse, en definitiva, mediante un proceso iterativo.

Las ecuaciones de balance térmico, aunque se fundamentan sobre el mismoprincipio, son diferentes para cojinetes con lubricación natural y con lubricacióna presión.

Lubricación natural La potencia perdida por fricción se puede expresarcomo el producto del par de fricción por la velocidad angular:

H = Tω = 4πfr2lPn.

Esta potencia debe ser evacuada en forma de calor por el lubricante, con lo que latemperatura de éste, entre la entrada y la salida de la zona de presión, aumentauna magnitud ∆T . El flujo de lubricante que atraviesa la zona de presión esQ−Qs. Por otra parte, el flujo lateral Qs no sale a temperatura uniforme, sinoa una temperatura que dependerá del punto de la zona de presión por el queescurra. En cualquier caso, puede admitirse que la temperatura media del flujolateral es igual a la media aritmética de las temperaturas de entrada y salida, yque por tanto:

Tm =Te + Ts

2= Te +

1

2∆T.

El calor evacuado en la unidad de tiempo por el lubricante será tal que oca-sionará una elevación de la temperatura de valor ∆T en el flujo de lubricanteQ − Qs, y una elevación ∆T

2 en el flujo de lubricante Qs. Así, si γ es el peso

15. Cálculo de cojinetes de deslizamiento radiales 73

específico del lubricante y cH su calor específico, el calor evacuado en la unidadde tiempo será:

c = (Q − Qs)γcH∆T + QsγcH∆T

(

1 − 1

2

Qs

Q

)

.

Este calor tiene que ser igual a la potencia perdida por fricción, por lo que hade cumplirse:

∆T =

(

4π

JγcH

)

P

1 − 12

Qs

Q

rc fQ

rcnl

.

Ni el peso específico ni el calor específico varían de manera significativa en losaceites lubricantes, por lo que el término entre paréntesis de esta última ecuaciónes sensiblemente constante. Puede tomarse el valor 0,103 para unidades psi, F;y 8,3 para MPa, C.

Lubricación a presión La potencia perdida por fricción es, en este caso:

H = Tω = 2πfrWn.

En esta ocasión, todo el calor será evacuado por el flujo lateral de lubricanteQs, cuya temperatura pasa de Te a Ts, lo que permite suponer un incrementode temperatura medio de ∆T

2 , igual que en el caso anterior. La expresión de ∆T

resulta ser:

∆T =12

JγcH

fWnµl′

psc3(1 + 1,5ǫ2).

La carga que soporta cada uno de los semicojinetes en que la ranura divideal conjunto lubricado a presión es la mitad de la carga total, por lo que la cargapor unidad de área proyectada sobre cada semicojinete será P = W

4rl′ , con loque el índice del cojinete vendrá dado por:

S =(r

c

)2 µn

P=(r

c

)2 µn4rl′

W.

Sustituyendo en la expresión de ∆T :

∆T =

(

3

JγcH

)

(r

cf) SW 2

(1 + 1,5ǫ2)psr4.

El término entre paréntesis se puede igualar a 0,0246 para unidades inglesas ya 1956 · 106 para kN, kPa, mm y C.

Viscosidad y temperatura media de operación En un problema estándar, losdatos de partida son: la velocidad de rotación del eje ω y la carga radial inducidaen el cojinete W ; las dimensiones del cojinete, y el tipo de aceite, o sea, su curvacaracterística de variación de la viscosidad con la temperatura, temperatura deentrada y presión de suministro.

El primer paso a realizar consiste en calcular la velocidad de giro n, la cargapor unidad de área proyectada P y la relación l

d . A partir de ahí, debe desarro-llarse un proceso iterativo de la siguiente manera: primero, se supone un valor

74 16. Otros cojinetes de deslizamiento

de la viscosidad media; segundo, con ese valor de la viscosidad se calcula el índi-ce del cojinete S; tercero, se calculan los parámetros adimensionales necesariospara la ecuación de balance térmico; cuarto, se aplica la ecuación de balancetérmico y se calcula el incremento de temperatura y, con él, la temperatura me-dia de operación; si esta temperatura se corresponde con la viscosidad supuestaen el primer paso, el proceso finaliza; si no, hay que realizar otra hipótesis.

Si la temperatura media calculada resulta ser inferior a la supuesta, debeconcluirse que la viscosidad aplicada en los cálculos era pequeña, pues la fricciónprodujo menos calor del necesario para igualar la hipótesis y los hechos. Elsiguiente tanteo deberá hacerse pues con una viscosidad mayor y, por tanto, conuna temperatura media de operación menor. Y viceversa.

Existen algunas situaciones en las que se puede omitir este proceso iterativo.Supóngase que se conoce el valor de la potencia perdida por fricción, o que éstase quiere imponer como condición de diseño, y se ha de calcular la temperatura ala que hay que suministrar el aceite. A partir de la potencia perdida por fricción,puede calcularse el coeficiente de fricción y, entrando con su valor adimensionalen la tablas, calcular la viscosidad media, etcétera.

16. Otros cojinetes de deslizamiento

Cojinetes de empuje con lubricación hidrodinámica Un cojinete de desliza-miento axial —o de empuje— consiste en discos perpendiculares al de rotación;uno de ellos está unido al eje y, por tanto, posee movimiento rotatorio solidarioa éste; el otro está fijo a la bancada y presenta una serie de ranuras en direcciónradial, por las que el lubricante entra y sale.

La ecuación de Reynolds que regula el comportamiento del fluido es, eneste caso:

∂

∂x

(

h3 ∂p

∂x

)

+ h3 ∂2p

∂t2= 6µ(u0 + uh)

∂h

∂x,

donde u0 = 0, puesto que el disco fijo no se mueve. Si se desprecian las pérdidaslaterales —i.e., se hace ∂p

∂x = 0— y se admite que las superficies de ambos discoscon paralelas —i.e., se toma h = cte.—, la ecuación de Reynolds se simplificaa:

∂2p

∂x2= 0.

Ahora bien, si se integra esta ecuación, teniendo en cuenta que la presión entodos los puntos del perímetro de la almohadilla la presión es nula, se llega alresultado de que p = 0 en todo el cojinete, por lo que éste no puede soportarcarga alguna. De ahí se sigue que no es posible lograr el efecto hidrodinámicoen cojinetes de deslizamiento axiales si las superficies de los discos son paralelas.

Por ello, los cojinetes de empuje se fabrican siempre con almohadillas desuperficies inclinadas. Llamando h0 a la distancia mínima entre las superficiesde ambos discos, y h0 + sh a la máxima, se puede escribir:

h = h0 + sh

(

1 − x

l

)

,

16. Otros cojinetes de deslizamiento 75

y el resultado de integrar la ecuación de Reynolds queda:

∂p

∂x=

6µuh

h2+

B0

h3,

donde B0 es una constante de integración cuyo valor se puede obtener de las con-diciones de contorno. De acuerdo con esta expresión, la presión no es constante,pero es nula en todo el contorno de la almohadilla. Teniendo en cuenta que hade haber un punto intermedio en el que la presión sea máxima, la condición decontorno se traduce en:

B0 = −6µuhhm,

con lo que el gradiente de presión queda:

∂p

∂x=

6µuh

h3(h − hm).

Cojinetes con lubricación hidrostática Los cojinetes con lubricación hidrodi-námica son simples, fiables y baratos; sin embargo, presentan algunos inconve-nientes de importancia considerable:

– Si las velocidades son bajas, puede que no sea posible alcanzar el efectohidrodinámico.

– La lubricación puede fallar durante las operaciones de arranque y paraday en los cambios de giro.

– Los ejes soportados por cojinetes radiales hidrodinámicos trabajan excén-tricamente y en una posición relativa respecto del cojinete que varía conla carga, lo que significa menor rigidez.

En los cojinetes con lubricación hidrostática, las superficies están separadaspor una película de fluido lubricante, que se mantiene mediante una fuente depresión externa al cojinete. Así, presentan varias ventajas notables: coeficientede fricción extremadamente bajo, carga muy elevada a bajas velocidades, altaprecisión de posicionamiento. . . El inconveniente es que necesitan un sistemade lubricación más complicado y, por tanto, más caro, que los cojinetes conlubricación hidrodinámica.

Para estudiar los cojinetes hidrostáticos, debe plantearse la ecuación deReynolds e integrarla considerando las condiciones de contorno que procedan.En el caso de un cojinete de empuje, ejemplo bastante frecuente en lubricaciónhidrostática, el aceite se suministra a una presión ps por el orificio del cojinete,se almacena a la misma presión en la cavidad practicada en la base del eje, y deallí fluye en dirección radial. Se puede admitir que la presión varía únicamentecon la distancia al centro, pero no con la posición angular ni la altura, de maneraque:

p = p(r).

Planteando el equilibrio de fuerzas en un volumen elemental de lubricante,teniendo en cuenta la ecuación de Newton e imponiendo que la velocidad radial

76 16. Otros cojinetes de deslizamiento

debe ser nula en y = 0 y en y = h, se llega a:

ur =

(

y2 − hy

)

2µ

∂p

∂r.

El flujo total que atraviesa una superficie vertical situada a una distancia r

del centro, de altura h y espesor angular unidad, es:

qr = r

∫ h

0

urdy = − h3

12µr∂p

∂r.

Puesto que el volumen que atraviesa las sucesivas superficies, a diferentes dis-tancias del entro, ha de ser constante, se ha de cumplir:

∂qr

∂r= 0;

∂

∂r

(

r∂p

∂r

)

= 0.

Integrando la segunda ecuación, resulta:

p =ln r

r0

ln ri

r0

ps.

El flujo total de lubricante a suministrar será:

Qr =πh3

6µ

ps

ln r0

ri

.

La carga axial sobre el cojinete, W , tiene que ser tal que contrarreste lafuerza que el lubricante ejerce sobre el eje, resultando

W =πps

2 ln r0

ri

(

r20 − r2

i

)

.

Por lo general, W será dato del problema, y esta última expresión servirá paracalcular la presión de suministro ps. La expresión de Qr permitirá relacionar elespesor de película del lubricante con el flujo que es necesario suministrar paraconseguir ese espesor. La expresión resultante es:

h3 =3µQr

W

(

r20 − r2

i

)

.

Cojinetes con lubricación al límite Puede suceder que no sea posible alcanzarel efecto hidrodinámico en la lubricación cuando el índice del cojinete S tomavalores muy bajos. Esto puede ocurrir: cuando la viscosidad es baja, cuando lavelocidad de giro es baja, o cuando la carga es alta. También puede ocurrir losmismo en condiciones transitorias de operación, o cuando la alimentación delubricante no es adecuada.

Es frecuente, asimismo, que las condiciones de lubricación al límite no se denen todo el cojinete, sino sólo en parte del mismo, coexistiendo con las condiciones

16. Otros cojinetes de deslizamiento 77

de lubricación hidrodinámica en otra parte. Este tipo de lubricación se conocecomo lubricación mixta.

Las condiciones de operación en las que tiene lugar la lubricación mixta sontan diversas que no es posible formular un modelo que proporcione un criterio dediseño fiable. Se suele admitir como válido un cojinete que disipe adecuadamenteel calor generado por la fricción. Para ello se emplea la ecuación:

PV =k(Ta − T0)

fM,

donde P es la carga por unidad de área proyectada del cojinete, V la velocidadperiférica del eje respecto del cojinete, Tc la temperatura de la superficie interiordel cojinete, T0 la temperatura ambiente, fM el coeficiente de fricción paralubricación mixta, y k un coeficiente que depende de la capacidad de transmisiónde calor del conjunto.

Cojinetes lubricados por gas Los cojinetes lubricados por película de gas sonbastante similares a los cojinetes con lubricación hidrostática, con la salvedadde que, en este caso, el fluido lubricante es compresible, y que su viscosidades unas mil veces menor que la de los aceites. Así, se originan pérdidas porfricción extremadamente pequeñas, pero también espesores de capa límite muypequeños, lo que obliga a fabricar y montar estos cojinetes con tolerancias yajustes muy precisos. El campo de aplicación de los cojinetes lubricados porgas son las operaciones a temperaturas extremas, a velocidades muy altas o conrequerimientos exigentes de ausencia de elementos contaminantes.