Upload
mei-sari-soleha
View
238
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
1/21
BAB III
GAYA SENTRAL
II.1 Gaya Sentral dan Energi Potensial
Gaya sentral adalah gaya yang bekerja pada sebuah partikel yang selalu
mengarah pada satu titk yang dinamakan pusat (asal) dari gaya. Jadi aksi gaya sentral
pada partikel yang berjarak r dari pusat gaya dapat dinyataka sebagai:
rrFrF)()( =
(III.1.1)
dimana r
adalah vector satuan ke arah radial. Dari bentuk gaya ini, mempunyai implikasi
bahwa momentum sudut partikel adalah kekal atau tidak berubah. Dengan kata lain, jika
gaya sentral adalah isotropik yakni rrFrF)()( = , maka gaya sentral adalah gaya
konservatif., sehingga energi mekanik partikel adalah kekal. Jadi kita akan sampai pada
kesimpulan bahwa untuk gaya sentral, momentum sudut dan energi akan kekal (konstan)
Hukum kekekalan ini adalah hasil dari sifat simetri radial dalam kasus ini. Selanjutnya
vector satuan dapat ditulis sebagair
rr = , sehingga persamaan di atas dapat dituli
sebagai:
r
rrFF
)(= (III.1.2)
Komponen-komponenya
( )
)(,)(,)(
)(
rFr
zFrF
r
yFrF
r
xF
diperolehzkyjxir
rFFkFjFiF
zyx
zyx
===
++=++=
(III.1.3)
1
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
2/21
Dapat ditegaskan bahwa gaya sentral adalah gaya yang bergantung posisi dan
konservatif. Dengan demikian, kita mendapatkan fungsi energi potensial V(r) pada
sebuah gaya sentral, hanya mungkin jika curl dari gaya lenyap, yaitu:
0== FcurlF (III.1.4)
Persamaan (III.14) dapat ditulis sebagai:
0=
+
+
=y
F
x
Fk
x
F
z
Fj
z
F
y
FiF x
yzxyz
(III.1.5)
Dengan menggunakan persamaan (III.1.3), komponen-komponen pada persamaan
(III.1.5) akan diperoleh:
=
=
=
r
rF
ry
rz
y
r
r
rF
rzrF
r
z
yy
Fz )()()( (III.1.6a)
dan hal yang sama
=
r
rF
rz
ry
z
Fy )(
(III.1.6b)
Substitusikan persamaan (III.1.6) ke dalam persamaan (III.1.5) dan menggunakan
hubungan ( ) rzzrryyrzyxr ==++= ,,2
1
222
, maka komponen kearah x akan
menghasilkan:
( ) 0)( =
=
r
rF
rz
ry
y
rzF
x (III.1.7)
2
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
3/21
Sama halnya dengan komponen-komponen lainnya (y,z) akan lenyap. Dengan demikian
persamaan (III.1.4) terpenuhi, yang mempunyai implikasi bahwa gaya sentral adalah
gaya konservatif, dan diasosiakan dengan sebuah fungsi energi potensial V(r) sedemikian
bahwa:
)()()( rVrVgradrF == (III.1.8)
Dalam koordinat bola, operator gradient adalah:
+
+
=sin
11rrr
r
Dan kebalikan persamaan (III.1.8) yang tiada lain adalah energi potensial dalam bentuk
integral, yakni:
=r
rs
drrFrV )()( (III.1.8)
II.2 Gerak Gaya Sentral Sebagai Benda Sistem Satu Badan
Sistem yang terdiri atas beberapa titik massa yang paling sederhana adalah system
dua badan , namun masih cukup umum untuk memperoleh gambaran mengenai dinamika
system banyak titik massa. Yang menarik bagi system dua badan ini ialah dapatnya
direduksi menjadi system satu badan .
Misalkan gaya antara dua benda
disebabkan oleh sebuah potensial
interaksi U yang hanya bergantug
kepada vektor relatf antara kedua
benda.
3
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
4/21
Energi potensial hanya ditentukan oleh akibat interaksi antara massa m1 dan massa m2 ,
dan oleh karena itu sehingga hanya bergantung pada vector letak ryang
menghubungkan antara kedua titk massa dan kecepatan bila energi potensial itu
bergantung pada kecepatan, dan bukan bergantung pada vector letak 1r dan 2r .
Dengan demikian, untuk energi potensial system dua badan tidak perlu lagi
ditransformasikan.
Selanjutnya vector letak ttik pusat massa bila diterapkan untuk system dua badan
ditentukan oleh:
21
2211
mm
rmrm
m
rm
R i
ii
+
+
==
(III.2.1)
Perlu diketahi bahwa sekalipun vector letak rditentukan olek vektor 12 rrr = ,
namun R tidak bergantng pada r . Dinyatakan dalam vectorR dan r , vector letak
21 rdanr
akan segera dapat dituliskan sebagai:
rmrmmrmrrmmmR 1221222121 )()()( +=+=+
)(;
)(
)(;
)(
21
21
21
21
21
12
21
12
mm
rmRr
mm
rmRr
mm
rmRr
mm
rmRr
+=
+=
++=
++=
(III.2.2)
Dari persamaan (III.2.2 ), maka kita dapat menyatakan energi kinetic sebagai:
2
21
212
212
1
2
21
22
12
2
21
22
212
212
1
2
21
122
1
2
21
212
1
2
222
12
112
1
)(2
1)(
)(2
1
)(2
1)(
)()(
rmm
mmRmmT
mm
rmm
mm
rmmRmm
mm
rmRm
mm
rmRmT
rmrmT
+++=
++
+++=
+++
+=
+=
(III.2.3a)
4
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
5/21
atau
2
2
12
2
1 rRMT += (III.2.3b)
dimana telah diambil 21 mmM += sebagai massa total system,
)( 21
21
mm
mm
+= sebagai massa tereduksi system yakni system dua badan. Berdasarkan
uraian ini, Lagrangian system akan dapat dinyatakan sebagai:
;),(
...),,(
2
2
12
2
1 rrUrRML
rrrUTL
+=
=
(III.2.4)
karena R sebagai titik pusat massa tidak pernah berubah terhadap waktu maka ,
0))(( 21 =+ Rmmdt
d sehingga momentum sistem kekal dan karena 0=R , maka
suku pertama dari L konstan sehingga titk polar dari benda memberikan kontribusi pada
massa gerak. Oleh karena itu, suku tadi diabaikan sehingga secara efektif L berbentuk:
),(2
2
1 rrUrL = (III.2.5)
yang tiada lain menyajikan gerak sebuah partikel bermassa)( 21
21
mm
mm
+= massa
tereduksi dalam potensial )r,r(U . Jadi L merupakan fungsi Lagrange bagi sebuah
partikel. Bisa disimpulkan bahwa persoalan dua benda adalah ekuivalen dengan
persoalan satu benda.
III.3 Persamaan Gerak Dalam Medan Potensial Sentral
Setelah pada uraian di atas dimana system dua badan direduksikan menjadi satu
badan, maka dalam hal pusat massa tak bergerak (yaitu bila satu titik massa kecil
5
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
6/21
bergerak terhadap massa besar), system dapat dipandang sebagai hanya satu titik materi
yang bergerak terhadap suatu titk. Persamaan gerak oleh gaya sentral dari system massa
tereduksi dapat diperoleh dengan meninjau persamaan (III.1.1) di atas, adalah:
rrFr )(= (III.3.1)Dengan mengganti percepatan massa tereduksi ke arah radial r dengan percepatan
untuk system koordinat polar a, maka akan diperoleh persamaan gerak dalam koordiant
polar sebagai:
( ) ( ) rrFrrrrr )(22 =++ (III.3.2)
atau setelah dipisahkan dengan komponen-komponenya, maka:
)(2 rFrr = (III.3.3a)
( ) 02 =+ rr (III.3.3b)
Untuk mendapatkan persamaan gerak oleh gaya sentral di atas, maka selain
dengan hokum Newton dapat pula diperoleh dengan metode persamaan Euler-Lagrange
dengan merumuskan fungsi keadaan system yang disebut fungsi Lagrange. Suatu system
yang bergerak terhadap satu titik dimana potensial interaksi dimisalkan hanya bergantung
pada jarak relatif r saja yang menghubungkan antara kedua benda, maka fungsi
Lagrange adalah :
)()(222
2
1 rVrrL += (III.3.4)
Gambar 3.2
6
Gaya sentral menghasilkan gerak dalam bidang L saja. Pilih L sebagai arah sumbu polar(x,z). Gunakan koordinat polar dalang bidang
(x,y), Jadi penambahan2)( r dimaksudkan
disamping gerak translasi, juga berotasi.
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
7/21
Dengan menggunakan persamaan geraka Euler-Lagrange dengan variabel , yakni:
0=
LL
dt
d
(III.3.5)
maka tampak bahwa variasi terhadap menghasilkan momentum sudut, yakni:
0)( 2
2
=
=
=
rdt
d
rL
(III.3.6a)
sehingga
==
=
2r
Lkonstan
(III.3.6b)
Besar momentum sudut system 2sin rprLprL === , yang berarti
persamaan (II.3.6b) tiada lain adalah momentum sudut. Jadi besar dari momentum
sudut adalah konstan. Karena system merupakan system tertutup, L tetap dank arena itu
persamaan gerak Lagrange:
0==
L
dt
dL
dt
d
(III.3.7)
Secara geometris kekekalan momentum sudut dapat ditafsirkan bila kita meninjau faktor:
0)2
1(
2 = rdt
d
Karena ( )rdr2
1merupakan luasan yang disapu oleh jari-jari r setelah menempu sudut
7
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
8/21
per satuan waktu, maka tetap2
sehingga22
1 ===
L
dt
dAr
dt
dA . Dengan demikian,
sebagai konsekuensi hokum kekekalan momentum sudut, maka luasan yang disapu jari-
jari yang menghubungkan antara dua massa yang berinteraksi secara sentra persatuan
waktu ternyata haruslah tetap, yang dinyatakan dalam persamaan matematis, yakni:
==
2
2
21 Lr tetap (III.3.7)
Pernyataan ini tiada lain dari pada hukum Kepler kedua
Atau dapat pula diperlihatkan dengan analisa dari hokum Newton berikut :
dt
Ld
prdt
d
Fr
=== )( (III.3.8)
karena 0= m .
Selanjutnya untuk system berinteraksi dengan gaya sentral rrfF )(= maka :
0)()()()( ==== rfrrrrfrrrFr
(III.3.9)
karena 0 =rr , sehingga 0==dt
Ld berarti = mrL konstan, besarnya
adalah:tansin
sin
konsrm
L
ataumrL
==
=
(III.3.10)
Dan juga diperoleh : sinrdt
dA
= ; adalah luasan yang disapu
persatuan waktu
sehingga :
=== sinrm
L
dt
dAkonstan (III.3.11)
8
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
9/21
Tampak bahwa Hukum Kepler II yang membicarakan luasan yang disapu oleh garis
hubung planet dengan matahari pada asasnya hanyalah merupakan konsekuensi hokum
kekekalan momentum sudut.
Berikutnya, persamaan gerak yang menyangkut r, dari fungsi Lagrange
persamaan (III.3.4), yakni:
)()(222
2
1 rVrrL += (III.3.12)
0)(
)(
0
2 =
+
=
r
rVrr
dt
d
r
L
r
L
dt
d
(III.3.13)
Dengan menggunakan 2rL= atau == 2r
L
konstan, sehingga :
0)(
2
2=
+
r
rV
r
Lrr
(III.3.14)
atau
r
rVFdengan
r
rV
r
Lr
radial
=
=
)(
;)(
3
2
(III.3.15)
Pindahkan semua suku ke ruas kiri, kemudian kalikan dengan r :
0)(2
0
)(
)(
2
22
2
1
3
22
2
1
=
++
=
+
rVr
Lr
dt
d
rr
rV
rr
L
rdt
d
(III.3.16)
Jadi,
ErVr
Lr =++ )(
2 2
22
2
1
(kekal) (III.3.17)
9
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
10/21
Diperoleh suku pertama adalah kontribusi radial untuk energi kinetic dan suku kedua
adalah kontribusi momentum sudut untuk energi potesail.
Selanjutnya integral lain:
==
=
=
r
r
t
t
o
oo
rVr
LE
drdttt
rVr
LErrV
r
LEr
)(2
2
)(2
2)(
2
2
2
2
2
2
2
22
(III.3.18)
Pernyataan ini adalah tetapan integrasi persamaan gerak dalam medan potensial sentral.
Apabial V(r) diketahui maka integral dapat dihitung hingga ditemukan persamaan
lintasan system terhadap waktu, secara formal fungsi t = t(r) dapat diubah menjadi
r = r(r).
Akhirnya, dari integrasi dt, bentuk integral lain yaitu terhadap peubah sudut
dengan meninjau :
===t
t
o
otr
dtL
r
L
dt
d22)(
Sebetulnya yang hendak diturunkan dalam gaya sentral ini adalah persamaan orbit yakni
hubungan r = r() atau = (r). Sehingga dalam hal ini, waktu sebenarnya
merupakan parameter dan lebih menguntungkan jika dinyatakan dalam sudut karena
keliling daripada suatu lingkaran adalah 2 , maka :
10
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
11/21
==
)(2
22
222
rVr
LE
dr
r
Ldt
r
Ld
(III.3.18)
atau
=
)(22 2
22
rVr
LEr
drLo
(III.3.19)
Bentuk integral terakhir ini dapat diselesaikan untuk bentuk potensial sebagai berikut :
1)( += nkrrV dengan n = 1, -2 dan lain-lain asal n -1.
III.4 Orbit Medan Gaya Sentral Dan Potensial Efektif
Untuk menurunkaan gerak partikel dibawah aksi sebuah gaya sentral, kita telah
perlihatkan bahwa geraknya masih terbatas pada dua dimensi. Selanjutnya dengan
menggunakan kekekalan momentum sudut dan energi, kita telah mereduksi gerak dua
dimensi menjadi gerak satu dimensi. Tinjau kekekalan energi total, sesuai dengan
persamaan (III.3.17), adalah:
)(
)(2 2
22
21
rVVT
rVr
LrE
senrad ++=
++=
(III.4.1)
dimana Trad dan Vsent adalah adalah masing-masing menyatakan energi kinetic ke arah
radial dan gerak ke arah sudut. Dua suku terakhir digabung bersama sebagai energi
potensial efektif, maka:
)(2
)()(
)(
2
2
2
21
rVr
LrVrVV
dengan
rVrE
seneff
eff
+=+=
+=
(III.4.2)
Sekarang tinjaulah kasus sebuah partikel bergerak didalam ruang yang berada dibawah
gaya berbanding terbalik kuadrat yang dapat ditulis sebagai:
11
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
12/21
2)(
r
krF = (III.4.3)
dengan k adalah konstan. Jika gayadr
dVrF =)( , maka energi potensialnya adalah:
)()(2
==
==r
r
r
r ss
drr
kdrrFrV
(III.4.4a)r
krV =)( ;
0)( == Vrs (III.4.4b)
Selanjutnya energi potensial efektif diberikan oleh :
2
2
2 2 r
L
r
kVeff
+= (III.4.5)
dengan suku pertama adalah sumbangan gaya radial (F(r)) dan suku kedua adalah
sumbangan gaya sentripetal. Seperti halnya gerak 1-D dalam potensial, jika kita
ungkapkan dalam bentuk momentum sudut, persamaan gerak dalam arah radial dapat
ditulis sebagai :
3
2
)(r
LrFr
+= (III.4.6)
dengan =32
r
L
gaya sentripugal.
Untuk gerak1-dimensi, potensial efektif dapat diperoleh sebagai berikut:
12
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
13/21
2
2
2
2
3
2
22)(
)(
r
L
r
k
r
LrVV
drr
LrFV
eff
eff
+=+=
+=
(III.4.7)
dimana k < 0 untuk gaya tarik-menarik
k > 0 untuk gaya tolak-menolak
Terdapat dua kasus penting yang bersangkutan dengan ini, yaitu:
Gaya gravitasi yang selalu tarik-menarik dengan konstanta 21mGmk =
dengan G = 6,67 x 10-11 Nm2/kg2
Gaya coulomb dengan 2141 qqk
o= ; o = 8,85 x 10-12 C2/Nm2
Gambar.3.3
Titik r1 pada gambar (3.3) adalah titik terdekat ke potensial (perhelion)
13
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
14/21
Untuk k > 0 dan L 0 gerak partikel (orbit) unbounded jika E > 0. Dari grafik, energipotensial efektif minimum berada pada syarat titik kesetimbangan, yakni :
3
2
22
2
2
)(
0
)(
oorr
eff
eff
r
L
r
k
r
L
r
k
dr
d
dr
rdV
dr
rdV
o
=
+=
=
=
(III.4.8)
dengank
Lro
2
= ; sedangkan nilai potensial Veff di r = ro diperoleh:
2
2
2
2
2
2
2)(
)(2)(2)(
22
L
krV
Lk
r
L
r
krV
oeff
kL
kL
oo
oeff
=
+
=+=
(III.4.9)
dengan:
Etotal = stasioner karena r adalah konstan
E = Veff min hanya ada ro yang memenuhi, orbitnya lingkaran
Selanjutnya akan ditinjau persamaan orbit dari sebuah benda yang bergerak di
bawah pengaruh gaya sentral. Dalam hal ini dapat mulai dari persamaan:
2)( rrrF = (III.4.10)
dengan menandai bahwau
r 1= , maka:
2
2u
L
r
L
== (III.4.10a)
14
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
15/21
d
duL
d
duu
L
ur
d
du
udt
d
d
du
udt
du
udt
drr
=
=
====
2
2
222
1
111
(III.4.10b)
dan
2
2
2
22
2
22
2
2
2
d
uduL
d
udu
LLr
d
udL
d
du
d
d
dt
dL
d
du
dt
dL
dt
rdr
=
=
=
=
==
(III.4.10c)
Subtitusi persamaan (II.4.10) ke dalam persamaan (III.4.10), maka diperoleh:
32
2
222
2
2
2
2
2
22
1
11
uL
d
uduL
uF
uL
ud
uduL
uF
=
=
(III.4.11)
atau
=+u
FuL
ud
ud 1222
2
(III.4.12)
Jika 21
)(r
k
uFrF =
= , maka :
2
2
2
22
2
2
222222
2
dengan
0
L
kuy
y
d
yd
L
ku
d
ud
kuuLr
k
uLu
d
ud
+=
=+=+
==+
(III.4.13)
Persamaan terakhir ini terdiri atas persamaan osilator harmonik (homogen) dengan
12=o
15
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
16/21
( ))(cos12
+=
eL
k
r
dan solusi tidak homogen, sehingga solusinya masing-masing adalah :
)(cos = Ay
(III.4.14a)
)(cos1
2+==
A
L
k
ru
(III.4.14b)
atau
( ))(cos11
2+=
e
L
k
r
(III.4.14c)
Persamaan terakhir adalah persamaan irisan-irisan kerucut dengank
ALe
2
= yang
disebut e (eksentrisitas) yaitu perbandingan antara sumbu panjang dengan sumbu pendek.
dan e diperoleh dari syarat awal atau dari kekekalan energi, yaitu:
r
k
r
LrE +=
2
22
2
1 (III.4.15)
Karena E ini berlaku untuk semua r, maka kita pilih saja di titik perhelion, yakni 0=r ,
sehingga :
r
k
r
LE =
2
2
(III.4.16)
Selanjutnya tinjau kembali (III.4.14b),yaitu:;
III.4.14b)
16
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
17/21
atau( ))(cos1
2
+=
er
kL
(III.4.17a)
( ))(cos1 += er
(III.4.17b)
dengank
L
2
= semi_latius rectum dank
ALe
2
= adalah eksentrisitas yaitu
perbandingan sumbu panjang dan sumbu pendek.
Selanjutnya nilai minimum r diperoleh dengan mengambil = 0 dan cos =
+1dalam persamaan (III.4.17), yakni:
+
=ek
Lr
1
12
min
atau ( )eL
k
r+= 1
12
min
(III.4.18)
Kalau ini dimasukkan ke dalam persamaan :
)1()1(22
22
2
minmin
2
eL
k
k
eL
k
L
r
k
r
LE
+
+
==
Maka2
221
k
ELe
+=
17
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
18/21
Orbit tertutup
Orbit terbuka
Gambar.3.4
Dari gambar 3.4 untuk Em=V0 potensial
02
2
2
= EVL
k
o
;
1e0 elips
2
2
2L
kVE o
== ; 0=e lingkaran
0=E ; 1=e parabola
0E ; 1e hiperbola
Contoh 1:
Sebah partikel bermassa m diamati bergerak dalam orbit spiral diberikan oleh
persamaan kr= , dimana k adalah konstan. Carilah bentuk fungsi gayanya.
18
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
19/21
Penyelesaian :
Gunakan persamaan diferensial persamaan (III.4.12)
=+u
FuL
mu
d
ud 1222
2
(III.4.12)
Ambillah :kr
u11
== (1)
322
2
2
21;
1
kkd
d
d
ud
kd
du=
==
atau
22
3
2
2
2
22
ukr
k
d
ud==
(2)
Subtitusi ini ke dalam persamaan (III.4.12) :
=+u
FuL
muuk
12
22
22(3)
atau
)2()2(1 35
232
22
ukum
Luuk
m
uL
uF +=+=
(4)
Masukkan kembalir
u1
= , maka:
( )
+=
53
2 21
r
k
rm
LrF
(5)
Contoh .2. Hal yang sama dengan soal di atas, jika orbit spiralnya diberikan oleh
2kr= .
Jawab:
Misalkan :
)2(2
)1(11
3
2
2
kd
du
kuk
u
=
==
19
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
20/21
)5(16
)4(1
)3(maka6
224
222
2
42
2
=+
=+
=
uFuL
muk
uF
uL
mu
d
ud
kd
ud
atau
( ) )8(11
6
:makau,kembalimasukkanLalu
),6(1
)7()6(1
16
)6(16
34
2
34
2
222
22
2
222
2
+=
+=
+=
=+
=+
rrk
m
LrF
ukumL
uFatau
ukum
uL
uF
atauu
FuL
muku
uF
uL
mu
kr
k
Soal Latihan:
1. Sesuai dengan teori nuklir Yukawa, gaya tarik-menarik antara sebuah neutron dan
proton di dalam inti atom digambarkan sebuah fungsi potensial yang berbentuk:
r
rk
rV
)exp(
)(
=
dimana k dan adalah konstanta dan k
7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl
21/21
4. Tinjau sebuah osilator harmonic isotropik yang mempunyai potensial yang
diberikan oleh V(r)=(1/2)kr2 .Hitunglah:
a. Gaya F(r) dan buatlah plot pada V(r) dan F(r)
b. Buatlah plot potensial efektif untuk partikel bermassa m yang bergerak
dengan energi E dan momentum sudut.