49337792-BABIII-MEKANIKAl

Embed Size (px)

Citation preview

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    1/21

    BAB III

    GAYA SENTRAL

    II.1 Gaya Sentral dan Energi Potensial

    Gaya sentral adalah gaya yang bekerja pada sebuah partikel yang selalu

    mengarah pada satu titk yang dinamakan pusat (asal) dari gaya. Jadi aksi gaya sentral

    pada partikel yang berjarak r dari pusat gaya dapat dinyataka sebagai:

    rrFrF)()( =

    (III.1.1)

    dimana r

    adalah vector satuan ke arah radial. Dari bentuk gaya ini, mempunyai implikasi

    bahwa momentum sudut partikel adalah kekal atau tidak berubah. Dengan kata lain, jika

    gaya sentral adalah isotropik yakni rrFrF)()( = , maka gaya sentral adalah gaya

    konservatif., sehingga energi mekanik partikel adalah kekal. Jadi kita akan sampai pada

    kesimpulan bahwa untuk gaya sentral, momentum sudut dan energi akan kekal (konstan)

    Hukum kekekalan ini adalah hasil dari sifat simetri radial dalam kasus ini. Selanjutnya

    vector satuan dapat ditulis sebagair

    rr = , sehingga persamaan di atas dapat dituli

    sebagai:

    r

    rrFF

    )(= (III.1.2)

    Komponen-komponenya

    ( )

    )(,)(,)(

    )(

    rFr

    zFrF

    r

    yFrF

    r

    xF

    diperolehzkyjxir

    rFFkFjFiF

    zyx

    zyx

    ===

    ++=++=

    (III.1.3)

    1

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    2/21

    Dapat ditegaskan bahwa gaya sentral adalah gaya yang bergantung posisi dan

    konservatif. Dengan demikian, kita mendapatkan fungsi energi potensial V(r) pada

    sebuah gaya sentral, hanya mungkin jika curl dari gaya lenyap, yaitu:

    0== FcurlF (III.1.4)

    Persamaan (III.14) dapat ditulis sebagai:

    0=

    +

    +

    =y

    F

    x

    Fk

    x

    F

    z

    Fj

    z

    F

    y

    FiF x

    yzxyz

    (III.1.5)

    Dengan menggunakan persamaan (III.1.3), komponen-komponen pada persamaan

    (III.1.5) akan diperoleh:

    =

    =

    =

    r

    rF

    ry

    rz

    y

    r

    r

    rF

    rzrF

    r

    z

    yy

    Fz )()()( (III.1.6a)

    dan hal yang sama

    =

    r

    rF

    rz

    ry

    z

    Fy )(

    (III.1.6b)

    Substitusikan persamaan (III.1.6) ke dalam persamaan (III.1.5) dan menggunakan

    hubungan ( ) rzzrryyrzyxr ==++= ,,2

    1

    222

    , maka komponen kearah x akan

    menghasilkan:

    ( ) 0)( =

    =

    r

    rF

    rz

    ry

    y

    rzF

    x (III.1.7)

    2

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    3/21

    Sama halnya dengan komponen-komponen lainnya (y,z) akan lenyap. Dengan demikian

    persamaan (III.1.4) terpenuhi, yang mempunyai implikasi bahwa gaya sentral adalah

    gaya konservatif, dan diasosiakan dengan sebuah fungsi energi potensial V(r) sedemikian

    bahwa:

    )()()( rVrVgradrF == (III.1.8)

    Dalam koordinat bola, operator gradient adalah:

    +

    +

    =sin

    11rrr

    r

    Dan kebalikan persamaan (III.1.8) yang tiada lain adalah energi potensial dalam bentuk

    integral, yakni:

    =r

    rs

    drrFrV )()( (III.1.8)

    II.2 Gerak Gaya Sentral Sebagai Benda Sistem Satu Badan

    Sistem yang terdiri atas beberapa titik massa yang paling sederhana adalah system

    dua badan , namun masih cukup umum untuk memperoleh gambaran mengenai dinamika

    system banyak titik massa. Yang menarik bagi system dua badan ini ialah dapatnya

    direduksi menjadi system satu badan .

    Misalkan gaya antara dua benda

    disebabkan oleh sebuah potensial

    interaksi U yang hanya bergantug

    kepada vektor relatf antara kedua

    benda.

    3

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    4/21

    Energi potensial hanya ditentukan oleh akibat interaksi antara massa m1 dan massa m2 ,

    dan oleh karena itu sehingga hanya bergantung pada vector letak ryang

    menghubungkan antara kedua titk massa dan kecepatan bila energi potensial itu

    bergantung pada kecepatan, dan bukan bergantung pada vector letak 1r dan 2r .

    Dengan demikian, untuk energi potensial system dua badan tidak perlu lagi

    ditransformasikan.

    Selanjutnya vector letak ttik pusat massa bila diterapkan untuk system dua badan

    ditentukan oleh:

    21

    2211

    mm

    rmrm

    m

    rm

    R i

    ii

    +

    +

    ==

    (III.2.1)

    Perlu diketahi bahwa sekalipun vector letak rditentukan olek vektor 12 rrr = ,

    namun R tidak bergantng pada r . Dinyatakan dalam vectorR dan r , vector letak

    21 rdanr

    akan segera dapat dituliskan sebagai:

    rmrmmrmrrmmmR 1221222121 )()()( +=+=+

    )(;

    )(

    )(;

    )(

    21

    21

    21

    21

    21

    12

    21

    12

    mm

    rmRr

    mm

    rmRr

    mm

    rmRr

    mm

    rmRr

    +=

    +=

    ++=

    ++=

    (III.2.2)

    Dari persamaan (III.2.2 ), maka kita dapat menyatakan energi kinetic sebagai:

    2

    21

    212

    212

    1

    2

    21

    22

    12

    2

    21

    22

    212

    212

    1

    2

    21

    122

    1

    2

    21

    212

    1

    2

    222

    12

    112

    1

    )(2

    1)(

    )(2

    1

    )(2

    1)(

    )()(

    rmm

    mmRmmT

    mm

    rmm

    mm

    rmmRmm

    mm

    rmRm

    mm

    rmRmT

    rmrmT

    +++=

    ++

    +++=

    +++

    +=

    +=

    (III.2.3a)

    4

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    5/21

    atau

    2

    2

    12

    2

    1 rRMT += (III.2.3b)

    dimana telah diambil 21 mmM += sebagai massa total system,

    )( 21

    21

    mm

    mm

    += sebagai massa tereduksi system yakni system dua badan. Berdasarkan

    uraian ini, Lagrangian system akan dapat dinyatakan sebagai:

    ;),(

    ...),,(

    2

    2

    12

    2

    1 rrUrRML

    rrrUTL

    +=

    =

    (III.2.4)

    karena R sebagai titik pusat massa tidak pernah berubah terhadap waktu maka ,

    0))(( 21 =+ Rmmdt

    d sehingga momentum sistem kekal dan karena 0=R , maka

    suku pertama dari L konstan sehingga titk polar dari benda memberikan kontribusi pada

    massa gerak. Oleh karena itu, suku tadi diabaikan sehingga secara efektif L berbentuk:

    ),(2

    2

    1 rrUrL = (III.2.5)

    yang tiada lain menyajikan gerak sebuah partikel bermassa)( 21

    21

    mm

    mm

    += massa

    tereduksi dalam potensial )r,r(U . Jadi L merupakan fungsi Lagrange bagi sebuah

    partikel. Bisa disimpulkan bahwa persoalan dua benda adalah ekuivalen dengan

    persoalan satu benda.

    III.3 Persamaan Gerak Dalam Medan Potensial Sentral

    Setelah pada uraian di atas dimana system dua badan direduksikan menjadi satu

    badan, maka dalam hal pusat massa tak bergerak (yaitu bila satu titik massa kecil

    5

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    6/21

    bergerak terhadap massa besar), system dapat dipandang sebagai hanya satu titik materi

    yang bergerak terhadap suatu titk. Persamaan gerak oleh gaya sentral dari system massa

    tereduksi dapat diperoleh dengan meninjau persamaan (III.1.1) di atas, adalah:

    rrFr )(= (III.3.1)Dengan mengganti percepatan massa tereduksi ke arah radial r dengan percepatan

    untuk system koordinat polar a, maka akan diperoleh persamaan gerak dalam koordiant

    polar sebagai:

    ( ) ( ) rrFrrrrr )(22 =++ (III.3.2)

    atau setelah dipisahkan dengan komponen-komponenya, maka:

    )(2 rFrr = (III.3.3a)

    ( ) 02 =+ rr (III.3.3b)

    Untuk mendapatkan persamaan gerak oleh gaya sentral di atas, maka selain

    dengan hokum Newton dapat pula diperoleh dengan metode persamaan Euler-Lagrange

    dengan merumuskan fungsi keadaan system yang disebut fungsi Lagrange. Suatu system

    yang bergerak terhadap satu titik dimana potensial interaksi dimisalkan hanya bergantung

    pada jarak relatif r saja yang menghubungkan antara kedua benda, maka fungsi

    Lagrange adalah :

    )()(222

    2

    1 rVrrL += (III.3.4)

    Gambar 3.2

    6

    Gaya sentral menghasilkan gerak dalam bidang L saja. Pilih L sebagai arah sumbu polar(x,z). Gunakan koordinat polar dalang bidang

    (x,y), Jadi penambahan2)( r dimaksudkan

    disamping gerak translasi, juga berotasi.

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    7/21

    Dengan menggunakan persamaan geraka Euler-Lagrange dengan variabel , yakni:

    0=

    LL

    dt

    d

    (III.3.5)

    maka tampak bahwa variasi terhadap menghasilkan momentum sudut, yakni:

    0)( 2

    2

    =

    =

    =

    rdt

    d

    rL

    (III.3.6a)

    sehingga

    ==

    =

    2r

    Lkonstan

    (III.3.6b)

    Besar momentum sudut system 2sin rprLprL === , yang berarti

    persamaan (II.3.6b) tiada lain adalah momentum sudut. Jadi besar dari momentum

    sudut adalah konstan. Karena system merupakan system tertutup, L tetap dank arena itu

    persamaan gerak Lagrange:

    0==

    L

    dt

    dL

    dt

    d

    (III.3.7)

    Secara geometris kekekalan momentum sudut dapat ditafsirkan bila kita meninjau faktor:

    0)2

    1(

    2 = rdt

    d

    Karena ( )rdr2

    1merupakan luasan yang disapu oleh jari-jari r setelah menempu sudut

    7

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    8/21

    per satuan waktu, maka tetap2

    sehingga22

    1 ===

    L

    dt

    dAr

    dt

    dA . Dengan demikian,

    sebagai konsekuensi hokum kekekalan momentum sudut, maka luasan yang disapu jari-

    jari yang menghubungkan antara dua massa yang berinteraksi secara sentra persatuan

    waktu ternyata haruslah tetap, yang dinyatakan dalam persamaan matematis, yakni:

    ==

    2

    2

    21 Lr tetap (III.3.7)

    Pernyataan ini tiada lain dari pada hukum Kepler kedua

    Atau dapat pula diperlihatkan dengan analisa dari hokum Newton berikut :

    dt

    Ld

    prdt

    d

    Fr

    === )( (III.3.8)

    karena 0= m .

    Selanjutnya untuk system berinteraksi dengan gaya sentral rrfF )(= maka :

    0)()()()( ==== rfrrrrfrrrFr

    (III.3.9)

    karena 0 =rr , sehingga 0==dt

    Ld berarti = mrL konstan, besarnya

    adalah:tansin

    sin

    konsrm

    L

    ataumrL

    ==

    =

    (III.3.10)

    Dan juga diperoleh : sinrdt

    dA

    = ; adalah luasan yang disapu

    persatuan waktu

    sehingga :

    === sinrm

    L

    dt

    dAkonstan (III.3.11)

    8

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    9/21

    Tampak bahwa Hukum Kepler II yang membicarakan luasan yang disapu oleh garis

    hubung planet dengan matahari pada asasnya hanyalah merupakan konsekuensi hokum

    kekekalan momentum sudut.

    Berikutnya, persamaan gerak yang menyangkut r, dari fungsi Lagrange

    persamaan (III.3.4), yakni:

    )()(222

    2

    1 rVrrL += (III.3.12)

    0)(

    )(

    0

    2 =

    +

    =

    r

    rVrr

    dt

    d

    r

    L

    r

    L

    dt

    d

    (III.3.13)

    Dengan menggunakan 2rL= atau == 2r

    L

    konstan, sehingga :

    0)(

    2

    2=

    +

    r

    rV

    r

    Lrr

    (III.3.14)

    atau

    r

    rVFdengan

    r

    rV

    r

    Lr

    radial

    =

    =

    )(

    ;)(

    3

    2

    (III.3.15)

    Pindahkan semua suku ke ruas kiri, kemudian kalikan dengan r :

    0)(2

    0

    )(

    )(

    2

    22

    2

    1

    3

    22

    2

    1

    =

    ++

    =

    +

    rVr

    Lr

    dt

    d

    rr

    rV

    rr

    L

    rdt

    d

    (III.3.16)

    Jadi,

    ErVr

    Lr =++ )(

    2 2

    22

    2

    1

    (kekal) (III.3.17)

    9

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    10/21

    Diperoleh suku pertama adalah kontribusi radial untuk energi kinetic dan suku kedua

    adalah kontribusi momentum sudut untuk energi potesail.

    Selanjutnya integral lain:

    ==

    =

    =

    r

    r

    t

    t

    o

    oo

    rVr

    LE

    drdttt

    rVr

    LErrV

    r

    LEr

    )(2

    2

    )(2

    2)(

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    22

    (III.3.18)

    Pernyataan ini adalah tetapan integrasi persamaan gerak dalam medan potensial sentral.

    Apabial V(r) diketahui maka integral dapat dihitung hingga ditemukan persamaan

    lintasan system terhadap waktu, secara formal fungsi t = t(r) dapat diubah menjadi

    r = r(r).

    Akhirnya, dari integrasi dt, bentuk integral lain yaitu terhadap peubah sudut

    dengan meninjau :

    ===t

    t

    o

    otr

    dtL

    r

    L

    dt

    d22)(

    Sebetulnya yang hendak diturunkan dalam gaya sentral ini adalah persamaan orbit yakni

    hubungan r = r() atau = (r). Sehingga dalam hal ini, waktu sebenarnya

    merupakan parameter dan lebih menguntungkan jika dinyatakan dalam sudut karena

    keliling daripada suatu lingkaran adalah 2 , maka :

    10

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    11/21

    ==

    )(2

    22

    222

    rVr

    LE

    dr

    r

    Ldt

    r

    Ld

    (III.3.18)

    atau

    =

    )(22 2

    22

    rVr

    LEr

    drLo

    (III.3.19)

    Bentuk integral terakhir ini dapat diselesaikan untuk bentuk potensial sebagai berikut :

    1)( += nkrrV dengan n = 1, -2 dan lain-lain asal n -1.

    III.4 Orbit Medan Gaya Sentral Dan Potensial Efektif

    Untuk menurunkaan gerak partikel dibawah aksi sebuah gaya sentral, kita telah

    perlihatkan bahwa geraknya masih terbatas pada dua dimensi. Selanjutnya dengan

    menggunakan kekekalan momentum sudut dan energi, kita telah mereduksi gerak dua

    dimensi menjadi gerak satu dimensi. Tinjau kekekalan energi total, sesuai dengan

    persamaan (III.3.17), adalah:

    )(

    )(2 2

    22

    21

    rVVT

    rVr

    LrE

    senrad ++=

    ++=

    (III.4.1)

    dimana Trad dan Vsent adalah adalah masing-masing menyatakan energi kinetic ke arah

    radial dan gerak ke arah sudut. Dua suku terakhir digabung bersama sebagai energi

    potensial efektif, maka:

    )(2

    )()(

    )(

    2

    2

    2

    21

    rVr

    LrVrVV

    dengan

    rVrE

    seneff

    eff

    +=+=

    +=

    (III.4.2)

    Sekarang tinjaulah kasus sebuah partikel bergerak didalam ruang yang berada dibawah

    gaya berbanding terbalik kuadrat yang dapat ditulis sebagai:

    11

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    12/21

    2)(

    r

    krF = (III.4.3)

    dengan k adalah konstan. Jika gayadr

    dVrF =)( , maka energi potensialnya adalah:

    )()(2

    ==

    ==r

    r

    r

    r ss

    drr

    kdrrFrV

    (III.4.4a)r

    krV =)( ;

    0)( == Vrs (III.4.4b)

    Selanjutnya energi potensial efektif diberikan oleh :

    2

    2

    2 2 r

    L

    r

    kVeff

    += (III.4.5)

    dengan suku pertama adalah sumbangan gaya radial (F(r)) dan suku kedua adalah

    sumbangan gaya sentripetal. Seperti halnya gerak 1-D dalam potensial, jika kita

    ungkapkan dalam bentuk momentum sudut, persamaan gerak dalam arah radial dapat

    ditulis sebagai :

    3

    2

    )(r

    LrFr

    += (III.4.6)

    dengan =32

    r

    L

    gaya sentripugal.

    Untuk gerak1-dimensi, potensial efektif dapat diperoleh sebagai berikut:

    12

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    13/21

    2

    2

    2

    2

    3

    2

    22)(

    )(

    r

    L

    r

    k

    r

    LrVV

    drr

    LrFV

    eff

    eff

    +=+=

    +=

    (III.4.7)

    dimana k < 0 untuk gaya tarik-menarik

    k > 0 untuk gaya tolak-menolak

    Terdapat dua kasus penting yang bersangkutan dengan ini, yaitu:

    Gaya gravitasi yang selalu tarik-menarik dengan konstanta 21mGmk =

    dengan G = 6,67 x 10-11 Nm2/kg2

    Gaya coulomb dengan 2141 qqk

    o= ; o = 8,85 x 10-12 C2/Nm2

    Gambar.3.3

    Titik r1 pada gambar (3.3) adalah titik terdekat ke potensial (perhelion)

    13

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    14/21

    Untuk k > 0 dan L 0 gerak partikel (orbit) unbounded jika E > 0. Dari grafik, energipotensial efektif minimum berada pada syarat titik kesetimbangan, yakni :

    3

    2

    22

    2

    2

    )(

    0

    )(

    oorr

    eff

    eff

    r

    L

    r

    k

    r

    L

    r

    k

    dr

    d

    dr

    rdV

    dr

    rdV

    o

    =

    +=

    =

    =

    (III.4.8)

    dengank

    Lro

    2

    = ; sedangkan nilai potensial Veff di r = ro diperoleh:

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2)(

    )(2)(2)(

    22

    L

    krV

    Lk

    r

    L

    r

    krV

    oeff

    kL

    kL

    oo

    oeff

    =

    +

    =+=

    (III.4.9)

    dengan:

    Etotal = stasioner karena r adalah konstan

    E = Veff min hanya ada ro yang memenuhi, orbitnya lingkaran

    Selanjutnya akan ditinjau persamaan orbit dari sebuah benda yang bergerak di

    bawah pengaruh gaya sentral. Dalam hal ini dapat mulai dari persamaan:

    2)( rrrF = (III.4.10)

    dengan menandai bahwau

    r 1= , maka:

    2

    2u

    L

    r

    L

    == (III.4.10a)

    14

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    15/21

    d

    duL

    d

    duu

    L

    ur

    d

    du

    udt

    d

    d

    du

    udt

    du

    udt

    drr

    =

    =

    ====

    2

    2

    222

    1

    111

    (III.4.10b)

    dan

    2

    2

    2

    22

    2

    22

    2

    2

    2

    d

    uduL

    d

    udu

    LLr

    d

    udL

    d

    du

    d

    d

    dt

    dL

    d

    du

    dt

    dL

    dt

    rdr

    =

    =

    =

    =

    ==

    (III.4.10c)

    Subtitusi persamaan (II.4.10) ke dalam persamaan (III.4.10), maka diperoleh:

    32

    2

    222

    2

    2

    2

    2

    2

    22

    1

    11

    uL

    d

    uduL

    uF

    uL

    ud

    uduL

    uF

    =

    =

    (III.4.11)

    atau

    =+u

    FuL

    ud

    ud 1222

    2

    (III.4.12)

    Jika 21

    )(r

    k

    uFrF =

    = , maka :

    2

    2

    2

    22

    2

    2

    222222

    2

    dengan

    0

    L

    kuy

    y

    d

    yd

    L

    ku

    d

    ud

    kuuLr

    k

    uLu

    d

    ud

    +=

    =+=+

    ==+

    (III.4.13)

    Persamaan terakhir ini terdiri atas persamaan osilator harmonik (homogen) dengan

    12=o

    15

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    16/21

    ( ))(cos12

    +=

    eL

    k

    r

    dan solusi tidak homogen, sehingga solusinya masing-masing adalah :

    )(cos = Ay

    (III.4.14a)

    )(cos1

    2+==

    A

    L

    k

    ru

    (III.4.14b)

    atau

    ( ))(cos11

    2+=

    e

    L

    k

    r

    (III.4.14c)

    Persamaan terakhir adalah persamaan irisan-irisan kerucut dengank

    ALe

    2

    = yang

    disebut e (eksentrisitas) yaitu perbandingan antara sumbu panjang dengan sumbu pendek.

    dan e diperoleh dari syarat awal atau dari kekekalan energi, yaitu:

    r

    k

    r

    LrE +=

    2

    22

    2

    1 (III.4.15)

    Karena E ini berlaku untuk semua r, maka kita pilih saja di titik perhelion, yakni 0=r ,

    sehingga :

    r

    k

    r

    LE =

    2

    2

    (III.4.16)

    Selanjutnya tinjau kembali (III.4.14b),yaitu:;

    III.4.14b)

    16

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    17/21

    atau( ))(cos1

    2

    +=

    er

    kL

    (III.4.17a)

    ( ))(cos1 += er

    (III.4.17b)

    dengank

    L

    2

    = semi_latius rectum dank

    ALe

    2

    = adalah eksentrisitas yaitu

    perbandingan sumbu panjang dan sumbu pendek.

    Selanjutnya nilai minimum r diperoleh dengan mengambil = 0 dan cos =

    +1dalam persamaan (III.4.17), yakni:

    +

    =ek

    Lr

    1

    12

    min

    atau ( )eL

    k

    r+= 1

    12

    min

    (III.4.18)

    Kalau ini dimasukkan ke dalam persamaan :

    )1()1(22

    22

    2

    minmin

    2

    eL

    k

    k

    eL

    k

    L

    r

    k

    r

    LE

    +

    +

    ==

    Maka2

    221

    k

    ELe

    +=

    17

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    18/21

    Orbit tertutup

    Orbit terbuka

    Gambar.3.4

    Dari gambar 3.4 untuk Em=V0 potensial

    02

    2

    2

    = EVL

    k

    o

    ;

    1e0 elips

    2

    2

    2L

    kVE o

    == ; 0=e lingkaran

    0=E ; 1=e parabola

    0E ; 1e hiperbola

    Contoh 1:

    Sebah partikel bermassa m diamati bergerak dalam orbit spiral diberikan oleh

    persamaan kr= , dimana k adalah konstan. Carilah bentuk fungsi gayanya.

    18

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    19/21

    Penyelesaian :

    Gunakan persamaan diferensial persamaan (III.4.12)

    =+u

    FuL

    mu

    d

    ud 1222

    2

    (III.4.12)

    Ambillah :kr

    u11

    == (1)

    322

    2

    2

    21;

    1

    kkd

    d

    d

    ud

    kd

    du=

    ==

    atau

    22

    3

    2

    2

    2

    22

    ukr

    k

    d

    ud==

    (2)

    Subtitusi ini ke dalam persamaan (III.4.12) :

    =+u

    FuL

    muuk

    12

    22

    22(3)

    atau

    )2()2(1 35

    232

    22

    ukum

    Luuk

    m

    uL

    uF +=+=

    (4)

    Masukkan kembalir

    u1

    = , maka:

    ( )

    +=

    53

    2 21

    r

    k

    rm

    LrF

    (5)

    Contoh .2. Hal yang sama dengan soal di atas, jika orbit spiralnya diberikan oleh

    2kr= .

    Jawab:

    Misalkan :

    )2(2

    )1(11

    3

    2

    2

    kd

    du

    kuk

    u

    =

    ==

    19

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    20/21

    )5(16

    )4(1

    )3(maka6

    224

    222

    2

    42

    2

    =+

    =+

    =

    uFuL

    muk

    uF

    uL

    mu

    d

    ud

    kd

    ud

    atau

    ( ) )8(11

    6

    :makau,kembalimasukkanLalu

    ),6(1

    )7()6(1

    16

    )6(16

    34

    2

    34

    2

    222

    22

    2

    222

    2

    +=

    +=

    +=

    =+

    =+

    rrk

    m

    LrF

    ukumL

    uFatau

    ukum

    uL

    uF

    atauu

    FuL

    muku

    uF

    uL

    mu

    kr

    k

    Soal Latihan:

    1. Sesuai dengan teori nuklir Yukawa, gaya tarik-menarik antara sebuah neutron dan

    proton di dalam inti atom digambarkan sebuah fungsi potensial yang berbentuk:

    r

    rk

    rV

    )exp(

    )(

    =

    dimana k dan adalah konstanta dan k

  • 7/27/2019 49337792-BABIII-MEKANIKAl

    21/21

    4. Tinjau sebuah osilator harmonic isotropik yang mempunyai potensial yang

    diberikan oleh V(r)=(1/2)kr2 .Hitunglah:

    a. Gaya F(r) dan buatlah plot pada V(r) dan F(r)

    b. Buatlah plot potensial efektif untuk partikel bermassa m yang bergerak

    dengan energi E dan momentum sudut.