47 รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานสองฐานเป็นรูปวงกลมที่เท่ากนั ... · 52 จากรูปจงหาปริมาตรและพื้นที่ผิวของทรงกระบอก

47

รปเรขาคณตสามมตทมฐานสองฐานเปนรปวงกลมทเทากนทกประการและอยบนระนาบทขนานกน เมอตดรปเรขาคณตสามมตนนดวยระนาบทขนานกบฐานแลวจะไดหนาตดเปนวงกลมทเทากนทกประการกบฐานเสมอเรยกรปเรขาคณตสามมตนนวา “ทรงกระบอก”

ถาน ารปทรงกระบอกแยกออกเปนสวน ๆ สามารถแยกไดเปนรปเรขาคณตสองมต ประกอบดวยรปวงกลมจ านวน 2 รป ซงไดมาจากฐานหรอหนาตด และรปสเหลยมผนผา 1 รป

48

การหาพนทผวของรปเรขาคณตใดๆเปนการหาพนทของพนทผวทงหมดของรปเรขาคณตสามมตนน พนทผวของทรงกระบอก กคอ หาพนทดานขางทงหมด รวมกบพนทฐานทงสอง ตวอยางดงรปคลน

รปคลของทรงกระบอกทมความสง h หนวย และมรศมของฐานยาว r หนวย

พนทผวของทรงกระบอก คอ พนทรปคลทงหมดของรปคลของทรงกระบอก นนคอ พนทผวของทรงกระบอก กลม)ทงสอง(วงพนทฐานา)ลยมผนผขาง(สเหพนทผว พนทผวขาง ความกวางความยาว

hr2 rh2 ตารางหนวย พนทฐานทงสอง ลมพนทวงก2

2r2 2r2 ตารางหนวย

ดงนน พนทผวของทรงกระบอก 2r2rh2 เมอ r แทน ความยาวของรศมของฐาน h แทน ความสงของทรงกระบอก

49

1. จงหาพนทฐาน พนทผวขางและพนทผวของทรงกระบอก ซงมรศมของฐานและความสง

ตามทก าหนดใหตอไปน (ก าหนด 722

)

ขอ รศม (r) สง (h) พนทฐาน

ทงสอง

พนทผวขาง พนทผว

1 3.5 นว 10 นว 2 7 เซนตเมตร 8 เซนตเมตร 3 14 เซนตเมตร 5 เซนตเมตร 4 21 นว 12 นว 5 28 ฟต 40 ฟต 6 0.7 เมตร 20 เมตร 7 1.4 เมตร 50 เมตร 8 2.1 ฟต 10 ฟต

2. จงหาพนทผวของทรงกระบอก ทมรศมของฐาน 14 เซนตเมตร และความสง 100

เซนตเมตร ( 722

)

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. ....................................................................... 3. จงหาพนทผวของทรงกระบอก ทมรศมของฐาน 7 เซนตเมตร และความสง 20 เซนตเมตร

( 722

)

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

50

4. จงหาพนทผวของทรงกระบอก ทมเสนผานศนยกลางของฐาน 35 เซนตเมตร และม

ความสง 28 เซนตเมตร ( 722

)

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. ....................................................................... 5. จงหาพนทผวของทรงกระบอก ทมเสนผานศนยกลางของฐาน 14 เซนตเมตร และความสง

18 เซนตเมตร ( 722

)

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. ....................................................................... 6. จงหาพนทผวของทรงกระบอก ทมเสนผานศนยกลางของฐาน 7 เซนตเมตร และความสง


)

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. ....................................................................... 7. จงหาพนทผวของทรงกระบอก ทมรศมของฐาน 21 เซนตเมตร และความสง 5 เซนตเมตร

( 722

)

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

51

พจารณาทรงกระบอก ดงรปตอไปน

ทรงกระบอก มพนทฐาน 2r และ h แทน ความสงของทรงกระบอก เมอแบงทรงกระบอกออกเปนแผนบางๆใหมความหนาแผนละ 1 หนวย

จะได 1 แผน มปรมาตร 1)r( 2 ดงนน h แผน มปรมาตร h)r( 2 ปรมาตรของทรงกระบอกน hr 2

ดงนน ปรมาตรของทรงกระบอก hr 2 เมอ r แทน ความยาวของรศมของฐาน h แทน ความสงของทรงกระบอก

52

จากรปจงหาปรมาตรและพนทผวของทรงกระบอก

(ก าหนดหนวยความยาวเปนนว และ 722

)

วธท า ก าหนดให r แทน ความยาวของรศมของฐาน )7r( h แทน ความสงของทรงกระบอก )10h( ปรมาตรของทรงกระบอก hr 2

107722 2

10722 540,1 ลกบาศกนว จะได ปรมาตรของทรงกระบอกนประมาณ 1,540 ลกบาศกนว พนทผวของทรงกระบอก 2r2rh2

)77222()1077

222( 2

)7222()10222( 308440 748 ตารางนว จะได พนทผวของทรงกระบอกนประมาณ 748 ตารางนว ดงนน ปรมาตรของทรงกระบอกนประมาณ 1,540 ลกบาศกนว และ พนทผวของทรงกระบอกนประมาณ 748 ตารางนว ตอบ

53

1. จงหาพนทฐานและปรมาตรของทรงกระบอก ซงมรศมของฐานและความสงตามทก าหนดให

ตอไปน (ก าหนด 722

)

ขอ รศม (r) สง (h) พนทฐาน ปรมาตร

1 3.5 นว 10 นว 2 7 เซนตเมตร 8 เซนตเมตร 3 14 เซนตเมตร 5 เซนตเมตร 4 21 นว 12 นว 5 28 ฟต 40 ฟต 6 0.7 เมตร 20 เมตร 7 1.4 เมตร 50 เมตร 8 2.1 ฟต 10 ฟต

2. จงหาปรมาตรของทรงกระบอก ทมรศมของฐาน 14 เซนตเมตร และมความสงเทากบ


)

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. ....................................................................... 3. จงหาปรมาตรของทรงกระบอก ทมรศมของฐาน 7 เซนตเมตร และความสง 20 เซนตเมตร

( 722

)

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

54

4. จงหาปรมาตรของทรงกระบอก ทมเสนผานศนยกลางของฐาน 35 เซนตเมตร และความสง


)

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. ....................................................................... 5. จงหาปรมาตรของทรงกระบอก ทมเสนผานศนยกลางของฐาน 14 เซนตเมตร และความสง


)

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. ....................................................................... 6. จงหาปรมาตรของทรงกระบอก ทมเสนผานศนยกลางของฐาน 7 เซนตเมตร และมความสง


)

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. ....................................................................... 7. จงหาปรมาตรของทรงกระบอก ทมรศมของฐาน 21 เซนตเมตร และความสง 5 เซนตเมตร

( 722

)

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

............................................................................. .......................................................................

ท ากนถกทกขอมย

เอย

55

ขนตอนสการแกปญหาโจทยปญหาอยางมประสทธภาพ นกเรยนตองมความรดงตอไปน 1. มความสามารถในการหาพนทผวของทรงกระบอก 2. นกเรยนตองเขาใจในขนตอนการแกโจทยปญหา

1) โจทยถามเกยวกบอะไร 2) โจทยตองการใหหาอะไร 3) โจทยใหขอมลอะไรบาง

1) เปลยนขอความใหเปนสญลกษณ 2) ระบขนตอนการแกปญหา

ด าเนนการตามขนตอนทระบไวใน ขนท 2 ขอ 2)

1) ตรวจสอบตามขนตอนการด าเนนงานทกขนตอน 2) ตรวจสอบความถกตองหรอความสมเหตสมผลของค าตอบทได

พนทผวของทรงกระบอก 2r2rh2 เมอ r แทน ความยาวของรศมของฐาน h แทน ความสงของทรงกระบอก

56

โลหะทรงกระบอกมรศมทฐานยาว 14 เซนตเมตร สง 10 เซนตเมตร จะมพนทผว

ทงหมดเทาไร (ก าหนด 722

)

ขนท 1 เขาใจปญหา 1) โจทยถามเกยวกบอะไร ตอบ พนทผวทรงกระบอก 2) โจทยตองการใหหาอะไร ตอบ พนทผวทรงกระบอกคอ พนทฐาน+พนทผวขาง 3) โจทยใหขอมลอะไรมาใหบาง ตอบ รศมทฐาน(r) ยาว 14 เซนตเมตร สง(h) 10 เซนตเมตร ขนท 2 วางแผนการแกปญหา ใชสตรพนทผวของทรงกระบอก 2r2rh2

เมอ 722,10h,14r

ขนท 3 ด าเนนการแกปญหา วธท า พนทผวของโลหะทรงกระบอก 2r2rh2

)147222()10147

222( 2

)28222()102222( 232,1880 112,2 ตารางเซนตเมตร จะได พนทผวของโลหะทรงกระบอกประมาณ 2,112 ตารางเซนตเมตร ขนท 4 ตรวจสอบยอนกลบ พนทผวของทรงกระบอก 2r2rh2

2,112 232,1880?

2,112 ? 2,112

2,112 112,2 จรง ดงนน พนทผวของทรงกระบอกนประมาณ 2,112 ตารางเซนตเมตร ตอบ

57

1. โลหะทรงกระบอกมรศมทฐานยาว 3 เซนตเมตร สง 14 เซนตเมตร จะมพนทผวทงหมด

เทาไร (ก าหนด 14.3 )

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ ......................................................................... 2. เสาคอนกรตทรงกระบอกมรศมยาว 28 เซนตเมตร สง 9 เมตร จงหาพนทผวขางของ

เสาคอนกรตน (ก าหนด 722

)

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ ......................................................................... 3. ไมพลองของลกเสออนหนงยาว 1.5 เมตร วดเสนผาศนยกลางหนาตดหวทายไดยาว 3.5

เซนตเมตร เทากน ถาจะทาสผวของไมพลองน จะตองทาสคดเปนพนทเทาไร

(ก าหนด 14.3 )

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

58

4. จะตองใชกระดาษตดเปนรปสเหลยมผนผา มความกวางและความยาวกเซนตเมตร ส าหรบ

ปดขางกระปองทรงกระบอกใบหนงสง 18 เซนตเมตร ฐานมเสนผานศนยกลางยาว

7 เซนตเมตร (ก าหนด 722

)

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ ......................................................................... 5. ถงทรงกระบอกใบหนง มเสนผานศนยกลางยาว 21.7 นว สง 25 นว ตองการทาสรอบผว

ขาง ของถงคดเปนพนทกตารางนว (ก าหนด 14.3 )

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ ......................................................................... 6. ทอระบายน ารปทรงกระบอกอนหนงวดเสนผานศนยกลางภายนอกได 35 นว หลอปนหนา

3 นว ยาว 5 ฟต มพนทผวเทาไร (ก าหนด 722

)

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

........................................................................ .........................................................................

59

ขนตอนสการแกปญหาโจทยปญหาอยางมประสทธภาพ นกเรยนตองมความรดงตอไปน 1. มความสามารถในการหาปรมาตรของทรงกระบอก 2. นกเรยนตองเขาใจในขนตอนการแกโจทยปญหา

1) โจทยถามเกยวกบอะไร 2) โจทยตองการใหหาอะไร 3) โจทยใหขอมลอะไรมาใหมาบาง

1) เปลยนขอความใหเปนสญลกษณ หรออน 2) ระบขนตอนการแกปญหา

ด าเนนการตามขนตอนทระบไวใน ขนท 2 ขอ 2)

1) ตรวจสอบตามขนตอนการด าเนนงานทกขนตอน 2) ตรวจสอบความถกตองหรอความสมเหตสมผลของค าตอบทได

ปรมาตรของทรงกระบอก hr 2 เมอ r แทน ความยาวของรศมของฐาน h แทน ความสงของทรงกระบอก

60

สมชายตองการหลอเสาคอนกรตทรงกระบอกมเสนผานศนยกลางยาว 56 เซนตเมตร สง 7 เมตร สมชายจะตองเตรยมคอนกรตไวประมาณกลกบาศกเมตร เมอตองการหลอเสาขนาด

เดยวกนน จ านวน 4 ตน (ก าหนด 722

)

ขนท 1 เขาใจปญหา 1) โจทยถามเกยวกบอะไร ตอบ ปรมาตรของทรงกระบอก 2) โจทยตองการใหหาอะไร ตอบ ปรมาตรของเสาคอนกรตทรงกระบอก จ านวน 4 ตน 3) โจทยใหขอมลอะไรมาใหบาง ตอบ เสนผานศนยกลางยาว 56 เซนตเมตร(r=0.28เมตร) สง(h)7 เมตร

ขนท 2 วางแผนการแกปญหา

ใชสตรปรมาตรของทรงกระบอก hr 2 เมอ 722,7h,28.0r

แลว จะไดปรมาตรของเสา 1 ตน แลวน าไปคณกบ 4 จะไดเปนปรมาณของคอนกรตทตองเตรยมไว ขนท 3 ด าเนนการแกปญหา วธท า ปรมาตรของทรงกระบอก hr 2

7)28.0(722 2 7)28.0()28.0(7

22

0784.022 7248.1 ลกบาศกเมตร จะได เสาคอนกรต 1 ตน ใชคอนกรตประมาณ 7248.1 ลกบาศกเมตร เสาคอนกรต 4 ตน ใชคอนกรตประมาณ 8992.647248.1 ลกบาศกเมตร ขนท 4 ตรวจสอบยอนกลบ ปรมาตรของทรงกระบอก hr 2

7248.1 7)28.0(722 2

7248.1 7248.1 เสาคอนกรต 1 ตน ใชคอนกรตประมาณ 7248,1 ลกบาศกเมตร เสาคอนกรต 4 ตน ใชคอนกรต 8992.647248.1 ลกบาศกเมตร ดงนน สมชายจะตองเตรยมคอนกรตไวประมาณ 7 ลกบาศกเมตร ตอบ

61

ทอระบายน าทรงกระบอกอนหนงวดเสนผานศนยกลางภายนอกได 56 เซนตเมตร และวดเสนผานศนยกลางภายในได 42 เซนตเมตร และทอนยาว 150 เซนตเมตร จงหาพนทผวของ

ทอนและปรมาตรของปนทใชหลอท าทอน (ก าหนด 722

)

ขนท 1 เขาใจปญหา

1) โจทยถามเกยวกบอะไร ตอบ พนทผวและปรมาตรของปนทใชหลอท าทอน ารปทรงกระบอก 2) โจทยตองการใหหาอะไร ตอบ พนทผวของทอระบายน า และปรมาตรของปนทใชหลอท าทอระบายน า 3) โจทยใหขอมลอะไรมาใหบาง ตอบ ดงทแสดงในภาพ ขนท 2 วางแผนการแกปญหา เมอพจารณาจากภาพแลวพนทผวของทอระบายน า ประกอบดวย พนทผวขางภายนอก พนทผวขางภายใน และพนทฐานทงสองเปนรปวงแหวน ดงนน

พนทผว ดาน2หวนทเปนวงแพนทฐานขางภายในพนทผวขางภายนอกพนทผว

เมอพจารณาจากภาพแลว ฐานเปนรปวงแหวน ดงนน หาปรมาตรของปนไดจาก

ปรมาตร สงหวนเปนรปวงแพนทฐาน

ก าหนดให R แทน ความยาวของรศมภายนอกของฐาน )28R( r แทน ความยาวของรศมภายในของฐาน )21r(

h แทน ความสงของทรงกระบอก )150h(

722

62

ขนท 3 ด าเนนการแกปญหา วธท า พนทผว ดาน2หวนทเปนวงแพนทฐานขางภายในพนทผวขางภายนอกพนทผว

)rR(2rh2Rh2 22 )rR(2rh2Rh2 22

)2128(7

222150217

222150287

222 22

156,2800,19400,26 356,48 ตารางเซนตเมตร จะได พนทผวของทอระบายน าทรงกระบอกนประมาณ 48,356 ตารางเซนตเมตร ปรมาตรของปน สงหวนเปนรปวงแพนทฐาน

h)rR( 22 h)rR( 22

150)2128(722 22

150343722

700,161 ลกบาศกเซนตเมตร จะได ปรมาตรของปนทใชหลอท าทอนประมาณ 700,161 ลกบาศกเซนตเมตร ขนท 4 ตรวจสอบยอนกลบ พนทผว ดาน2หวนทเปนวงแพนทฐานขางภายในพนทผวขางภายนอกพนทผว

356,48 ? )rR(2rh2Rh2 22

356,48 ? 156,2800,19400,26

356,48 356,48 จรง

ปรมาตรของปน h)rR( 22

700,161 150)2128(722 22?

700,161 700,161 จรง

ดงนน พนทผวของทอระบายน าทรงกระบอกนประมาณ 48,356 ตารางเซนตเมตร และ ปรมาตรของปนทใชหลอท าทอนประมาณ 700,161 ลกบาศกเซนตเมตร ตอบ

63

1. บอเกบน ารปทรงกระบอกวดเสนผานศนยกลางภายในได 2.8 เมตร สง 5.5 เมตร

จะสามารถจน าไดเทาไร (ก าหนด 14.3 )

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ........................................................................... 2. ทอระบายน ารปทรงกระบอกวดเสนผานศนยกลางภายนอกได 35 นว หลอปนหนา 3 นว

ยาว 5 ฟต จงหาปรมาตรของปนทใชท าทอระบายน าน (ก าหนด 722

)

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ........................................................................... 3. สวนสาธารณะแหงหนง ท าสระน าพเปนทรงกระบอก วดเสนผานศนยกลางภายนอกได

5.50 เมตร มขอบสระกวาง 0.75 เมตร ส าหรบผเทยวชมไดนงพกผอน สระมความลกจากกน

สระถงขอบสระ 1.25 เมตร สระนจะจน าไดเตมถงขอบสระไดเทาไร (ก าหนด 14.3 )

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

64

4. ถงเกบปนซเมนตทรงกระบอกขนาดใหญ มรศมยาว 7 เมตร เกบปนซเมนตได

1,540 ลกบาศกเมตร ถงเกบปนซเมนตนสงเทาไร (ก าหนด 722

)

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ........................................................................... 5. เทยนไขแฟนซทรงกระบอกมเสนผานศนยกลางยาว 3 เซนตเมตร และสง 5 เซนตเมตร

จะตองใชเนอเทยนเทาใด (ก าหนด 14.3 )

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ........................................................................... 6. แกวน ากระดาษทรงกระบอกส าหรบใสน าดมสง 12 เซนตเมตร เสนผานศนยกลางของแกว

น ายาว 7 เซนตเมตรถามน าดม 20 ลตร จะเพยงพอส าหรบนกเรยน 40 คน หรอไม ( 722

)

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

........................................................................ ...........................................................................

Documents