Universidad Técnica Federico Santa María

Departamento de Matemática

Laboratorio de Computación para las Aplicaciones

de la Matemática en Ingeniería

MAT 270 Análisis Numérico

METODOS LU O DE GAUSS NUMERICA-

MENTE ESTABLES

EL método LU o de Gauss sin elección de pivote no es numéri-

camente estable. Para comprobarlo ver el contraejemplo de

Forsythe.

Dos son las estrategias numéricamente estables:

1) Método LU por pivote parcial.

El pivote que se usa es el número mas grande en valor abso-

El pivote que se usa es el número mas grande en valor abso-

luto que se encuentra en la columna.

2) Método LU por pivote total.

El pivote que se usa es el número más grande en valor abso-

luto que se encuentra en la submatriz.

1) METODO LU POR PIVOTE PARCIAL

EL método LU por pivote parcial consiste en encontrar una

matriz P llamada de permutación de modo que se factoriza:

P * A = L *U

La factorización permite reducir un sistema lineal a dos sis-

temas triangulares:

A * X = b ó L *Y = P * b ; U * X = b

Definición:

Una matriz es llamada de permutación si en cada

columna y en cada fila tiene un solo 1.

2 Metodo LU por pivote parcial y total.nb

Observación:

1) Las matrices de permutación son invertibles y usadas como

premultiplicadores cambian las filas en una matriz.

2) El producto de matrices de permutación es una matriz de

permutación.

3) Una manera de obtenerlas es alterando el orden en filas a la

matriz identidad.

Ejemplo.

Consideremos la matriz AA = 8 8 2, 3, 4<, 85, 6, 7<, 88, 9, 0<<; MatrixForm@AD

2 3 4

5 6 7

8 9 0

Intercambiemos la segunda y tercera fila en la matriz A premul-

tiplicandola por PP = 881, 0, 0<, 80, 0, 1<, 80, 1, 0<<; MatrixForm@PD

A1 = P.A; MatrixForm@A1D

1 0 0

0 0 1

0 1 0

2 3 4

8 9 0

5 6 7

¿ Cómo se construye la matriz P ?.

A medida que se factoriza.

Metodo LU por pivote parcial y total.nb 3

EJEMPLO.

Consideremos la siguiente matriz:

A =

4 1 2

2 1 0

6 4 −1

A = 884, 1, 2<, 82, 1, 0<, 86, 4, −1<<; MatrixForm@AD

4 1 2

2 1 0

6 4 −1

Primer pivote parcial:6 y se encuentra en la tercera fila de la

primera columna.

Intercambiamos la fila de pivote por la tercera fila para dejarlo

en posición. P1 = 880, 0, 1<, 80, 1, 0<, 81, 0, 0<<; A1 = P1.A; MatrixForm@A1D

6 4 −1

2 1 0

4 1 2

Enseguida eliminamos:M1 = 881, 0, 0<, 8−2 ê 6, 1, 0<, 8−4 ê 6, 0, 1<<; MatrixForm@M1D

A1 = M1.A1; MatrixForm@A1D

1 0 0

−1

31 0

−2

30 1

6 4 −1

0 − 1

3

1

3

0 − 5

3

8

3

Segundo pivote parcial: -5/3 y está en la tercera fila de la

segunda columna.

Intercambiamos la fila de pivote por la tercera fila para dejarlo

en posición.

4 Metodo LU por pivote parcial y total.nb

P2 = 881, 0, 0<, 80, 0, 1<, 80, 1, 0<<; A2 = P2.A1; MatrixForm@A2D

6 4 −1

0 −5

3

8

3

0 −1

3

1

3

Eliminamos: M2 = 881, 0, 0<, 80, 1, 0<, 80, −H1 ê 3L ê H5 ê 3L, 1<<; MatrixForm@M2D

A2 = M2.A2; MatrixForm@ A2D

1 0 0

0 1 0

0 −1

51

6 4 −1

0 −5

3

8

3

0 0 −1

5

Resumen:

La matriz triangular resultó de: U = M2.P2.M1.P1.A; MatrixForm@UD

6 4 −1

0 −5

3

8

3

0 0 −1

5

Se observa que estan intercaladas permutaciones y elimina-

ciones.

Juntemos todas las permutaciones

Los factores P2*M1 lo cambiamos por M11*P2 en que M11

es M1 pero con los factores de eliminación intercambiados de

acuerdo a P2.

Metodo LU por pivote parcial y total.nb 5

MatrixForm@M1D

I3 = IdentityMatrix@3D

M11 = P2.HM1 − I3L + I3; MatrixForm@M11D

1 0 0

−1

31 0

−2

30 1

881, 0, 0<, 80, 1, 0<, 80, 0, 1<<

1 0 0

−2

31 0

−1

30 1

Veamos que ahora da lo mismo: U = M2.P2.M1.P1.A; MatrixForm@UD

U = M2.M11.P2.P1.A; MatrixForm@UD

6 4 −1

0 −5

3

8

3

0 0 −1

5

6 4 −1

0 −5

3

8

3

0 0 −1

5

Conclusión:

P = P2*P1 ;

L es la matriz triangular inferior que contiene todos

los factores de eliminación pero cambiados de orden de

acuerdo a las permutaciones

y tendremos:

L*U = P*A

6 Metodo LU por pivote parcial y total.nb

P = P2.P1; MatrixForm@PD

L = Inverse@ M11D.Inverse@M2D; MatrixForm@LD

MatrixForm@L.UD

MatrixForm@P.AD

0 0 1

1 0 0

0 1 0

1 0 0

2

31 0

1

3

1

51

6 4 −1

4 1 2

2 1 0

6 4 −1

4 1 2

2 1 0

Metodo LU por pivote parcial y total.nb 7

2) METODO LU POR PIVOTE TOTAL

EL método LU por pivote total consiste en encontrar una

matriz P y Q ambas de permutación de modo que se factoriza:

P * A *Q = L *U

La factorización permite reducir un sistema lineal a dos sis-

temas triangulares y una permutación:

A * X = b ó L *Y = P * b ;

U * Z = b ; X = Q *Z

Observación:

Una matriz de permutación utilizada como post-

multiplicador permite cambiar las columnas en una matriz.

Ejemplo.

Consideremos la matriz AA = 8 8 2, 3, 4<, 85, 6, 7<, 88, 9, 0<<; MatrixForm@AD

2 3 4

5 6 7

8 9 0

Intercambiemos la segunda y tercera columna en la matriz A

postmultiplicandola por P

8 Metodo LU por pivote parcial y total.nb

P = 881, 0, 0<, 80, 0, 1<, 80, 1, 0<<; MatrixForm@PD

A1 = A.P; MatrixForm@A1D

1 0 0

0 0 1

0 1 0

2 4 3

5 7 6

8 0 9

¿ Cómo se construyen las matrices P y Q ?.

A medida que se factoriza.

EJEMPLO.

Consideremos la siguiente matriz:

A =

−1 1 1

1 0 1

1 2 4

A = 88−1, 1, 1<, 81, 0, 1<, 81, 2, 4<<; MatrixForm@AD

−1 1 1

1 0 1

1 2 4

Primer pivote total: 4 y se encuentra en la tercera fila de la ter-

cera columna.

Intercambiamos la fila de pivote por la tercera fila y la

columna de pivote por la tercera columna para dejarlo en posi-

ción. P1 = 880, 0, 1<, 80, 1, 0<, 81, 0, 0<<; A1 = P1.A; MatrixForm@A1D

Q1 = 880, 0, 1<, 80, 1, 0<, 81, 0, 0<<; A1 = A1.Q1; MatrixForm@A1D

1 2 4

1 0 1

−1 1 1

4 2 1

1 0 1

1 1 −1

Enseguida eliminamos:

Metodo LU por pivote parcial y total.nb 9

M1 = 881, 0, 0<, 8−1 ê 4, 1, 0<, 8−1 ê 4, 0, 1<<; MatrixForm@M1D

A1 = M1.A1; MatrixForm@A1D

1 0 0

−1

41 0

−1

40 1

4 2 1

0 −1

2

3

4

01

2−

5

4

Segundo pivote total: -5/4 y está en la tercera fila de la tercera

columna.

Intercambiamos la fila de pivote por la tercera fila y la

columna de pivote por la tercera columna para dejarlo en posi-

ción. P2 = 881, 0, 0<, 80, 0, 1<, 80, 1, 0<<; A2 = P2.A1; MatrixForm@A2D

Q2 = 881, 0, 0<, 80, 0, 1<, 80, 1, 0<<; A2 = A2.Q2; MatrixForm@A2D

4 2 1

01

2−5

4

0 −1

2

3

4

4 1 2

0 −5

4

1

2

03

4−1

2

Eliminamos: M2 = 881, 0, 0<, 80, 1, 0<, 80, H3 ê 4L ê H5 ê 4L, 1<<; MatrixForm@M2D

A2 = M2.A2; MatrixForm@ A2D

1 0 0

0 1 0

03

51

4 1 2

0 −5

4

1

2

0 0 −1

5

10 Metodo LU por pivote parcial y total.nb

Resumen:

La matriz triangular resultó de: U = M2.P2.M1.P1.A.Q1.Q2; MatrixForm@UD

4 1 2

0 −5

4

1

2

0 0 −1

5

Se observa que estan intercaladas permutaciones de filas y elim-

inaciones así como en el pivote parcial.

Juntemos todas las permutaciones

Los factores P2*M1 lo cambiamos por M11*P2 en que M11

es M1 pero con los factores intercambiados de acuerdo a P2. MatrixForm@M1D

I3 = IdentityMatrix@3D

M11 = P2.HM1 − I3L + I3; MatrixForm@M11D

1 0 0

−1

41 0

−1

40 1

881, 0, 0<, 80, 1, 0<, 80, 0, 1<<

1 0 0

−1

41 0

−1

40 1

Veamos que ahora da lo mismo: U = M2.P2.M1.P1.A.Q1.Q2; MatrixForm@UD

U = M2.M11.P2.P1.A.Q1.Q2; MatrixForm@UD

4 1 2

0 −5

4

1

2

0 0 −1

5

4 1 2

0 −5

4

1

2

0 0 −1

5

Metodo LU por pivote parcial y total.nb 11

Conclusión:

P = P2*P1 ; Q = Q1*Q2

L es la matriz triangular inferior que contiene todos

los factores de eliminación pero cambiados de orden de

acuerdo a las permutaciones

y tendremos:

L*U = P*A*QP = P2.P1; MatrixForm@PD

Q = Q1.Q2; MatrixForm@QD

L = Inverse@ M11D.Inverse@M2D; MatrixForm@LD

MatrixForm@L.UD

MatrixForm@P.A.QD

0 0 1

1 0 0

0 1 0

0 1 0

0 0 1

1 0 0

1 0 0

1

41 0

1

4− 3

51

4 1 2

1 −1 1

1 1 0

4 1 2

1 −1 1

1 1 0

12 Metodo LU por pivote parcial y total.nb