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TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
46
NOME: Aluno Generico Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
45
NOME: Aluno Generico Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
44
NOME: Aluno Generico Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
43
NOME: Isabella Mello Mazepa Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
42
NOME: Andre Luiz Diniz dos Santos Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
41
NOME: Paulo Marcelo de Campos Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
40
NOME: Rubens Neves NAO-MATRICULADO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
39
NOME: Konrad Frank Janzen Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
38
NOME: Luciano Martinhoni Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
37
NOME: Bernardo Bocanegra Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
36
NOME: Favia Rocha Santos Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
35
NOME: Isabella Alves Marchesini Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
34
NOME: Jose Regis NAO-MATRICULADO Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
33
NOME: Lucas de Souza Morais Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
32
NOME: Cesar Augusto Marin Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
31
NOME: Marcell Maceno Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
30
NOME: Henrique M. Bewalski Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
29
NOME: Amanda de Paula Zillig Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
28
NOME: William Satoshi Furukawa Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
27
NOME: Fernanda Valentim Nagal Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
26
NOME: Lorena Cemin Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
25
NOME: Bruno Tonel Otsuka Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
24
NOME: Marina Boralli Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
23
NOME: Kassieli Cibiline Valdati Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
22
NOME: Juliana Ribeiro de Almeida Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
21
NOME: Renata Anzanello Foltran Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
20
NOME: Roberta Miguel Kiska Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
19
NOME: Aline Assuncao Bongiolo Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
18
NOME: Patrick Andrey Wietholter Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
17
NOME: Andressa Guadagnin Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
16
NOME: Mariana Mela Victorino Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
15
NOME: Carla R. Vitolo Coelho Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
14
NOME: Daniel Toscani Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
13
NOME: Rafael Allegretti Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
12
NOME: Guilherme Augusto Stefanelo Franz Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
11
NOME: Debora Cristina de Souza Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
10
NOME: Marcia Pereira Ortelan Caiut Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
9
NOME: Francisco Dias Neto Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
8
NOME: Mateus Russi Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
7
NOME: Deise Maria Yomura Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
6
NOME: Liliane Klemann Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
5
NOME: Adhara Palacio Guizelini Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
4
NOME: Thais do Nascimento Ferreira Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
3
NOME: Debora Carla de Araujo Jelinski Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
2
NOME: Mariana D’Orey Portella Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
TT010 Matematica Aplicada IIP07, 30 Nov 2005Prof. Nelson Luıs Dias
1
NOME: Felipe Lion U. L. Motta Assinatura:
ATENCAO: Leia atentamente todas as questoes, e LEMBRE-SE: COMECE PELAS MAISFACEIS PARA VOCE. PROCURE RESOLVER O MAIOR NUMERO DE ITENS POS-SIVEL, PARA MAXIMIZAR SUA NOTA. MANTENHA-SE CALMA(O), E PENSE UM
POUCO EM QUAL SERA A SUA ESTRATEGIA DE SOLUCAO DOS PROBLEMAS. Re-solva as questoes de forma LIMPA E ORGANIZADA, nos espacos designados. Boa prova.
Nao se esqueca da notacao de vetores:
1. com uma seta sobre a letra: ~ı ou ~a (esta e a forma mais comum entre os fısicos) ou
2. com um til sob a letra:˜i, ou
˜a (esta e a forma mais popular entre os engenheiros, e e a minha preferida),
e garanta seus pontos nas questoes ✟
1 [3,0] Seja [A] uma matriz simetrica que representa alguma grandeza fısica (por exemplo um tensor de inercia)em uma base ortonormal E. Mostre que [A′] (a matriz da mesma grandeza em qualquer outra base ortonormalE′), tambem sera simetrica. Sugestao: admita uma matriz de rotacao qualquer [C] de E para E′; usando anotacao indicial de Einstein, parta de
A′
mn = CTmiAijCjn,
escreva a expressao correspondente para A′
nm e use o fato de que Aij = Aji.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
2 [3,0] Considere 2 rotacoes sucessivas: uma rotacao da base E para a base E′, seguida de uma rotacao da baseE′ para a base E′′. A primeira rotacao, C, gira E = {e1, e2, e3} de um angulo θ em torno de e3:
{e1, e2, e3} −→ {e′
1, e′
2, e′
3};
a segunda rotacao, D, gira E′ = {e′
1, e′
2, e′
3} de um angulo α em torno de e′
1:
{e′
1, e′
2, e′
3} −→ {e′′
1 , e′′
2 , e′′
3}.
Sabendo que as matrizes de rotacao sao
[C] =
cos θ − sen θ 0sen θ cos θ 0
0 0 1
, [D] =
1 0 00 cosα − senα0 sen α cosα
,
mostre que as duas rotacoes em sucessao sao equivalentes a uma unica rotacao E −→ E′′ cuja matriz de rotacaoe
cos θ − cosα sen θ sen α sen θsen θ cosα sen θ − cos θ senα
0 sen α cosα
.
Sugestao: usando a notacao indicial de Einstein, simplesmente escreva e′
j = Cijei, e′′
k = Djke′
j , componha asduas e calcule o produto matricial correspondente.
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒
3 [4,0] Uma nuvem toxica foi lancada por uma industria em umacidente. Em um sistema de coordenadas que tem a industriaem sua origem, a concentracao da substancia toxica e C(x, y) =exp(−(x2 + y2)). Uma auto-estrada passa pelas proximidades etem uma curva Γ com forma aproximada y = 1/x para x > 0.Um jipe totalmente aberto faz a curva Γ. A exposicao de seusocupantes a substancia toxica e dada pela integral
I =
∫
Γ
C(x(s), y(s)) ds,
onde s e o comprimento de arco. Mostre que
I =
∫
∞
0
(
1 +1
x4
)1/2
e−(x2+1/x2) dx.
Sugestao: insira y = 1/x e ds =√
dx2 + dy2 e manipule algebri-camente. Nao tente calcular a integral!
x
yy = 1=x
SOLUCAO DA QUESTAO:
Continue a solucao no verso =⇒