x

ℜ∈ℜ∈ℜ∈+=+=

yuxDuCxyBuAxx n

ysYusUxsX

xAsICsUDBAsICsYsDUsCXsYsBUsAXxssX

LLL ===

−++−=+=+=− −−

DBAsICsUsY +−= −

N s D s y Cx Du D

sUsYsG =

DBAsICsUsY +−= −

αααββββ

++++++++==+

−−= −

−

−−

ssssss

sDsNDB

AsIAsICsG n

nn

nn

nn

G su t y t

U sY s G s U s

Y s y t

y t L G s ⋅L δ t L G s ⋅ L G s

y t L G s ⋅L L G s s

δ t y t

t y t

A n A sI A sn sI A s n

D

D ≠

≤

DBAsIAsICsG +

−−=

G s G su uy y y u

sGsGsUsY

sUsY

sUsYsG ===

G s

G s

u

u

y

y

yuu = u uy y y

sGsGsUsY

sUsY

sUsYsY

sUsYsG +=+=+==

G s K s

s

D sN s

p pn z zm

sDsNsDsNsG =

n

m

pspspszszszsKsG

−−−−−−=

DBAsIAsICDBAsICsG +

−−=+−= −

DuxCCy

uB

xAAA

x

+=

+=

DBAsIC

DB

AsIAsIAAsIAsI

CC

DB

AsIAAsI

CCDBAsICsG

+−=

+−

−−−=

+−

−−=+−=

−

−

−−−

−−

A n × n

n n

[ ]zCyuBB

zAA

Az =+=

DBAsIC

DBB

AsIAsIAAsIAsIC

DBB

AsIAAsICDBAsICsG

+−=

+−−−

−=

+−−−=+−=

−

−−−

−

−−

A

DBAsIAsICDBAsICsG +

−−=+−= −

A

A

D

xy

uxx

n

n

−

−

=

+

−−−

=

ββααα

αααβββ

ααα

ββ

+++++++=

++++=

−−

−−

−−

−

−

sssss

ssss

s

sG

nn

n

nn

nn

n

n

n

D

( )xy

uxx

nn

=

+

−

−

=

−− β

β

α

α

αααβββ

αααβ

β

+++++++=

++++=

−−

−−

−−

−−

sssss

sssss

sG

nn

n

nn

nn

nn

n

G s C sI A B D

Dsss

sssG nn

n

nn +

+++++++= −

−

−−

αααβββ

Duxy

uxx

n

n

+=

+

−−−

=

−

−

ββααα

Duxy

uxx

nn

+=

+

−

−−

=

−− β

β

α

αα

Y s G s U s Y s G s U s

g t

x g t CeAtB + Dδ teAt L sI A

−== − tdtugsUsGty τττL

{ } tDudtBuexeCtDutCxtyt AAt +−+=+= τττ

G s u ty t

u t M

u t τ M g τ

≤−=tt

dgMdtugty τττττ

+∞<∞

ττ dg

s sp

qi t si ki,j sig t sk

tqk esk t

= =

−

= =

− ⋅⋅≤=p

i

q

j

tsjji

p

i

q

j

tsjji

ii

ii etcetctg

ω t

ωω ++=

+=

ssq

sDsp

ss

sDsNsY

D s

+=

ssG

q s k s k

s jωsD

spsssGksksq ω+−=+=

ωϕϕωω

ωωωωω

jGtjG

tjGtjGs

sq

=+=

−=+

−L

jjGjGkjkjq ωωωωωω +−=+= ωωω

jGkjGk

−==

ω

G jω G jω

s jω ∞ ≤ ω ≤ ∞y t ≤ t

G jω G jω ωG jω G jω

π G jωG jω G jω π

G jω

ω

G jωG jω

G jω

ω

+++=ss

ssG

G s G s G s

G s G s G s

G s G s G s

G s G su uy y

==+

= TKTs

KsG

TK

TTs

KsG+

=

TteTKty −=

TteKty −−=

==++

= ζωωζω

ωn

nn

n

sssG

≤ζ

<ζ

si

p

p

ssssssss

sG−−++

=

=

+−

+−

+−

+−=

−

+−+

=

pp

pp

ii

ii

p

p

ss

ss

ss

ss

sj

sjsjsj

jG

ω

ω

ωω

ωω

ωω

ω

G s G s GI s GI s

sGsGsGsGsG OIOI=

++++++++⋅

++++−−=

++++++−−

ssssssss

ssssss

ssssssss

G s G jω G jω

∞

∞−

∞

∞−

−−=

−=

σσσω

σπωω

σωσσ

πωω

djGGjG

djG

jG