某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为 100 平方米，周长为 80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边 AB的长由原来的 30米缩短成 18 米 .现在的问题是 :被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？

你能够将上面生活中的问题

转化为数学问题吗？D E

30m

18m

BC

A

算一算：

ΔABC 与 ΔA’B’C’的相似比是多少？

ΔABC 与 ΔA’B’C’的周长比是多少 ? 面积比是多少？

4×4 正方形网格

看一看：

ΔABC 与 ΔA’B’C’有什么关系？为什么？

验一验： 是不是任何相似三角形都有此关系呢？ 你能加以验证吗？

想一想：

你发现上面两个相似三角形的周长比与相似比有什么关系？面积比与相似比又有什么关系？

（相似）

√22

周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

√2√10

2

√2

1

√5√2

A B

C

A’

C’B’

A

B C

A’

B’ C’D D’

证明（略）

相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方

已知 Δ ABC∽Δ A’ B’ C,’ 相似比为 k, 求证 :

sABC sA’B’C’

=k2

Δ ABC 的周长Δ A’B’C’ 的周长

= k

已知：如图，△ ABC∽ △A’B’C’, △ABC 与 △ A’B’C’的相似比是 k,AD 、 A’D’是对应高。

求证：k

DA

AD

''

A

B C

B’

A’

C’

D

D’

证明：

kBA

AB

DA

AD''''

∵△ABC A’B’C’∽△∴∠B= B’∠∴∠ABD= A‘B’D‘=90∠ O

∴ △ABD A’B’D’∽△

已知两个三角形相似，请完成下列表格

相似比

周长比

面积比

注：周长比等于相似比，已知相似比或周长比，

求面积比要平方，而已知面积比，求相似比或

周长比则要开方。

2

4

100

100

1000019

13

13

2 ．．．

．．．

．．．

例题

如图：是某市部分街道图，比例尺为 1 ： 10000 ；请估计三条道路围成的三角形地块 ABC 的实际周长和面积。 A

B C

B

A

C

D E

如图，已知 DE//BC,AB=30m,BD=18m, ΔABC 的周长为 80m ，面积为 100m2,求 ΔADE 的周长和面积

30m

18m

A

D E

1. 过 E 作 EF//AB 交 BC 于 F, 其他条件不变，则 ΔEFC 的面积等于多少？ BDEF 面积为多少？

2. 若设 sΔABC=S, SΔADE=S1, SΔEFC=S2. 请猜想： S 与 S1 、 S2

之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？ √ S = √S1+ √S2

B CF

48m2

36m2

证明： DE//BC ＞ΔADE∽ ΔABC ＞ S1S =( A C

A E )2

EF//AB ＞ΔEFC∽ ΔABC ＞ S2

S = A CC E( )2

√S＞ √S1

= A CA E

√S＞ √S2

A CC E=｝

＞√S√S√S2

√S1+ =1 √S1＞ √S2+ √S=

16

36

30m

18m

A

CB

P

FM

NG

ED

S3

S1S2

: 如图， DE//BC,FG//AB,MN//AC, 且 DE 、 FG 、 MN 交于点 P 。若记 SΔDPM= S1, SΔPEF= S2,

SΔGNP= S3,SΔABC= S 、

S 与 S1 、 S2 、 S3 之间是否也有类似结论？猜想并加以验证。

探究

证明：相似三角形的对应高

的比，对应中线的比与对应角平

分线的比等于相似比。

练习

练习1. 若两个相似三角形的相似比是 2 ： 3 ，则它们的对应高线的比是 ，对应中线的比是 ，对应角平分线的比是 ，周长比是 ，面积比是 。2. 两个等边三角形的面积比是 3 ： 4 ，则它们的边长比是 ，周长比是 。 3. 某城市规划图的比例尺为 1 ： 4000 ，图中一个氯化区的周长为 15cm ，面积为 12cm2 ，则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少？

4 、在△ ABC 中， DE⁄⁄BC ， E 、 D 分别在 AC 、 AB 上， EC=2AE ，则 S △ A

DE ： S 四边形 DBCE 的比为 ______

练习

5 、如图， △ＡＢＣ中，ＤＥ⁄⁄ＦＧ⁄⁄ＢＣ，ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，则Ｓ△ＡＤＥ : Ｓ四边形ＤＦＧＥ : Ｓ四边形ＦＢＣＧ

=_________

6. 已知 :梯形 ABCD 中 ,AD∥BC,AD=36,BC=60cm, 延长两腰BD,CD 交于点 O,OF⊥BC, 交 AD 于 E,EF=32cm, 则 OF=_______.

A

B C

DE

F

O

练习

7、 ΔABC 中， AE 是角平分线， D是 AB 上的一点， CD 交 AE 于 G ，∠ACD=∠B ，且 AC=2AD.则 ΔACD ∽Δ______. 它们的相似比 K =_______,______

AG

AE

A

B CE

D

10 ．阅读下面的短文，并解答下列问题：　　我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．　　如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相似体，它们的一切对应线段之比都等于相似比 (a∶b) ．

设 S 甲、S 乙分别表示这两个正方体的表面积，

则2

2

2

)(6

6

b

a

b

a

S

S

乙

甲

又设 V 甲、V 乙分别表示这两个正方体的体积，

则3

3

3

)(b

a

b

a

V

V

乙

甲

(1) 下列几何体中，一定属于相似体的是 ( 　 )　　 A ．两个球体 B ．两个锥体　 C ．两个圆柱体 D ．两个长方体(2) 请归纳出相似体的三条主要性质：①相似体的一切对应线段 ( 或弧 ) 长的比等于 ______ ；②相似体表面积的比等于 __ ____ ；③相似体体积比等于 ___ __ _ ．(3) 假定在完全正常发育的条件下，不同时期的同一人的人体是相似体，一个小朋友上幼儿园时身高为 1.1 米，体重为 18 千克，到了初三时，身高为 1.65 米，问他的体重是多少？ ( 不考虑不同时期人体平均密度的变化 )

A

相似比相似比的平方

相似比的立方

设他的体重为 x千克，根据题意得3)

1.1

65.1(

18

x

解得 x＝60.75(千克)

１ . 这节课我们学到了哪些知识？

２ .我们是用哪些方法获得这些知识的？

３ .通过本节课的学习，你有没有新的想法或发现？

　你觉得还有什么问题需要继续讨论吗？

1. 作业本

2. 探究的推理过程课外整理完成，

各组自行组织讨论交流