4.3 空间直角坐标系

4.3.1 空间直角坐标系

问题提出t

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对于直线上的点，我们可以通过数轴来确定点的位置；对于平面上的点，我们可以通过平面直角坐标系来确定点的位置；对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置 . 因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我们需要研究的课题 .

知识探究（一）：空间直角坐标系 思考 1: 数轴上的点 M 的坐标用一个实数 x 表示，它是一维坐标；平面上的点 M 的坐标用一对有序实数（ x ， y ）表示，它是二维坐标 . 设想：对于空间中的点的坐标，需要几个实数表示？

O xxO x

(x,y) y

思考 2: 平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想：空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？

三条交于一点且两两互相垂直的数轴

思考 3: 在空间中，取三条交于一点且两两互相垂直的数轴： x 轴、 y轴、 z 轴，组成空间直角坐标系 Oxyz ，在平面上如何画空间直角坐标系？

x

y

z

O

∠xOy=135°∠yOz=90°

思考 4: 在空间直角坐标系中，对三条数轴的方向作如下约定：伸出右手，拇指指向为 x 轴正方向，食指指向为 y 轴正方向，中指指向为 z 轴正方向，并称这样的坐标系为右手直角坐标系 . 那么下列空间直角坐标系中哪些是右手直角坐标系？

x

y

z

O

x

y

z

O x

y

z

O

x

y

z

O

xy

z

O

(1) (2)

(3) (4)

思考 5: 在空间直角坐标系 Oxyz 中，其中点 O 叫做坐标原点， x 轴、 y轴、 z 轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，并分别称为 xOy 平面、 yOz 平面、 xOz 平面 . 这三个坐标平面的位置关系如何？

x

y

z

O

思考 6: 如图，在长方体 ABCD-A1B1

C1D1 中，以点 D 为坐标原点建立空间右手直角坐标系，那么 x 轴、 y轴、 z 轴应如何选取？

A B

CDA1 B1

C1D1

x

y

z

思考 7: 在空间直角坐标系 Oxyz 中，三个坐标平面将空间分成几个部分？

x

z

y

知识探究（二）空间直角坐标系中点的坐标

思考 1: 在平面直角坐标系中，点 M的横坐标、纵坐标的含义如何？

O x

(x,y)y

|x||y|

思考 2: 在空间直角坐标系中，设点 M为空间的一个定点，过点 M 分别作垂直于 x 轴、 y 轴、 z 轴的平面，垂足为 A 、B 、 C. 设点 A 、 B 、 C 在 x 轴、 y 轴、z 轴上的坐标分别为 x 、 y 、 z ，那么点 M 的位置与有序实数组（ x ， y ，z ）是一个什么对应关系？

A

O

x

M

y

z

x

x

C

OM

y

z

z

BO

x

M

y

z

y

思考 3: 上述有序实数组（ x ， y ，z ）称为点 M 的空间坐标，其中 x 、y 、 z 分别叫做点 M 的横坐标、纵坐标、竖坐标，这三个坐标的值一定是正数吗？

A

B

C

O

x

M

y

z

xy

z

思考 4:x 轴、 y 轴、 z 轴上的点的坐标有何特点？ xOy 平面、 yOz平面、 xOz 平面上的点的坐标有何特点？x 轴上的点 :(x,0,0)

xOy 平面上的点 :(x,y,0)

x

y

z

O

思考 5: 设点 M 的坐标为（ a ， b ，c ）过点 M 分别作 xOy 平面、 yOz平面、 xOz 平面的垂线，那么三个垂足的坐标分别如何？

A

B

C

O

x

M

y

z

A(a,b,0)

B(0,b,c)C(a,0,c)

思考 6: 设点 M 的坐标为（ x ， y ，z ）那么点 M 关于 x 轴、 y 轴、 z轴及原点对称的点的坐标分别是什么？

x

y

z

O

M(x,y,z)

N(x,-y,-z)

思考 7: 设点 A （ x1 ， y1 ， z1 ），点 B （ x2 ， y2 ， z2 ），则线段AB 的中点 M 的坐标如何？

1 2 1 2 1 2( , , )2 2 2

x x y y z zM

+ + +

理论迁移

例 1 如图，在长方体 OABC-D′A′B′C′ 中， |OA|=3,|OC|=4 ，|OD′|=2 ，写出长方体各顶点的坐标 .

A B

CO

x

A′y

z

B′C′D′

例 2 结晶体的基本单位称为晶胞，下图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为0.5 的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，白点代表氯原子 . 如图建立直角坐标系 Oxyz ，试写出全部钠原子所在位置的坐标 .

x

y

z

O

作业 :P136 练习： 1 ， 2 ， 3.P138 习题 4.3A 组： 2.