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,CALCULO
DIFERENCIALE INTEGRAL
VOLUME 11
Armando RighettoAntonio Sérgio FerraadoProfessores do Instituto Politécnicode Ribeirão Preto daInstituição Moura Lacerda
IBEC - Instituto Brasileiro de Edições Científicas Ltda.1982
Sempre que nos decidimos fazer algum trabalho, o fazemos para alcançarcertos objetivos.
Propusemo-nos a atender as necessidades de estudantes e professores emquase todas as áreas: Social, Humana e principalmente as Tecnológicas.
Nosso livro, de forma simples, clara, concisa e lógica trata de assuntos indis-pensáveis para um bom curso de Engenharia, de Física, de Estatística, de Medicinae de Computação.
Os dois volumes são ricos em exercícids resolvidos e propostos. Estes, comrespostas e, quando necessário, com sugestões para sua resolução.
O primeiro volume deve ser usado na ordem tratada num curso de um ano,com 4 ou 6 'horas aula semanais. '
Cálculo I, no primeiro termo letivo de 6 meses: números reais, funções, limi-tes, derivadas e diferenciais. Cálculo, 11, no segundo termo letivo, com a mesmaduração: integrais indefinidas e as técnicas de integração, integrais defrnidas, cálculode áreas, volumes, comprimento de arcos e geometria das massas.
O segundo volume poderá ter alterada a ordem dos assuntos.Sugerimos, para Cálculo III, funções de várias variáveis, derivadas parciais,
diferenciais e equações diferenciais, com modelos matemáticos aplicados à Bio-logia. Para o Cálculo IV: estudo de máximos e mÚlimos, derivadas direcionais,integrais de linha, integrais duplas e triplas e séries.
Outros assuntos, como cônicas, quádricas, vetores, números complexos efunções hiperbólicas, são tratados nos livros de Geometria Analítica e Vetores eNúmeros complexos e funções hiperbólicas de autoria do Armando Righetto.
Procuramos familiarizar o aluno com o pesnamento matemático e a mani-pular modelos por métodos matemáticos.
Agradecemos e homenageamos aos nossos antigos professores que nos for-maram. Dos colegas e estudantes que usarem nosso livro, solicitamos sugestões.
OS AUTORESRibeirão Preto, maio de 1981
ÍNDICE
Capítulo 1
Funções de Várias Variáveis '. . . 3Conceitos Básicos. Limites. Continuidade. Problemas Resolvidos .. ProblemasPropostos.
Capítulo 2
Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \ . . . . . . . . . . . .. 19Acréscimos. Derivadas Parciais. Interpretação Geométrica das DerivadasParciais.Derivadas Parciais de Ordem Superior. Invertibilidade da Ordem de Derivação.Exercfcios Resolvidos. Exerdctos Propostos.
Capítulo 3
Diferenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51Diferencial Total. Aplicações. Diferenciais de Ordem Supen'or. Problemas Resol·vidos. Problemas Propostos.
Capítulo 4
Funções Compostas 79Funções Compostas de uma VariávelIndependente. Funções Compostas de duasou mais VariáveisIndependentes. Diferenciação de Funções Compostas. FunçõesImpUcitas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.
Capítulo 5
Máximos e Mínimos 109Máximos e Minimos Locais. Hessiano. Pontos Extremos de Funções ImpUcitas.Ajustamento de Retas. Máximos e Minimos Condicionados. Problemas Resolvi-dos. Problemas Propostos.
Capitulo 6
Derivadas Direcionais 145Conceitos. Gradiente - Divergente e Rotacional. Campo Vetorial. Curvas deNevel. Funções de três Variáveis - Derivada Direcional. Problemas Resolvidos.Problemas Propostos.
Capitulo 7
Integrais Múltiplas 175Integrais Duplos. Integrais Triplos. Aplicações. Transformações das IntegraisMúltiplas. Problemas Resolvidos. Problemas Propostos.
Capítulo 8
Integrais Curvilíneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 223Definições. Notação Vetorial das Integrais CurviUneas. Propriedades das IntegraisCurviUneas. Teorema de Green no Plono. Teorema de Green no Espaço. Teore-ma de Stokes. Problemas Resolvidos. Probl~masPropostos.
Capítulo 9
Séries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 241Séries. Convergência Absoluta e Condicional. Critérios de Convergência e Diver-gência. Série~de Potências. Desenvolvimento em Séries de Potências. ProblemasResolvidos. Problemas Propostos.
Capítulo 10
Equações Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 269Definiç6es. Solução de uma Equação Diferencial. Equação Diferencial de Pri-meira Ordem e Primeiro Grau. Aplicações das Equações Diferenciais Lineares.Aplicaç6es das Equações Diferenciais à Biologia. Problemas Resolvidos. Proble-mas Propostos.
1FUNÇÕES DE vÁRIAS VARIÁVEIS
Reaqueça a confzança nos irmãos que esmo-recem ao contato dos problemos do mundo e osajude a refletir na Bondade Divina que nos'acolhe a todos. ,-
As funções reais de váriasvariáveisreais aparecem naturalmente em problemaspráticos.
Quando procuramos a área S de um paralelogramo de base x e altura y,multiplicamos a base pela altura. Então, o valor de S :::::xy depende dos valoresda base e da altura.
Dizemos que a área S é função das duas variáveisx e y.Da mesma forma concluímos que o volume de um paralelepípedo, de
dimensões x, y e z é uma função de 3 variáveis, pois V = xyz e a cada temode valores atribuídos a x, y e z corresponde um valor determinado do volume.
Inúmeras funções podem ser definidas por fórmulas.
Assim, z = x + .J Y - 4 é função das variáveis x e y. De fato, a cadax
par (x, y) de números reais, com x '* O e y ~ 4,. corresponde um valor bemdeterminado de z.
A Física, através de suas fórDulas, também oferece inúmeros exemplos defunções de várias variáveis.
Sejam X, Y e Z, conjuntos de números reais, tais que, a cada x E X e acada y E Y corresponda, mediante certa lei f, um e um só z E Z.
1.1.1 - FUNÇÃO
Diremos que o conjunto Z é função dosY conjuntos X e Y.
Se a cada x E X e a cada y E Y corres-ponder mais de um z E Z, diremos queZ é uma relação de X e de Y.
Concluímos do exposto que
F = {(x, y, z) Ix E X, Y E Y, z E Z Iz = f(x, y)}
onde X e Y são denominados domínio e Z contradomínio. Usa-se representar afunção apenas pela lei de correspondência:
Façamos uma representação gráfica mais conveniente. Tomemos 3 eixosortogonais 2 a 2.
A cada par (x, y) corresponde um z.O terno ordenado (x, y, z) tem porimagem gráfica um ponto do espaço.
A função de 2 variáveis reais é defi-nida em certos pontos (x, y) do planoreal; portanto, o conjunto D destespontos, domínio da função, é uma super-fície de R2•
Fig. 1.2.
Quando a função f é de 3 variáveis x, y, z. A cada terno (x, y, z) corres-ponderá, através da lei f, um valor real w = f (x, y, z). O conjunto de todosos ternos ordenados (x, y, z) de números reais é o espaço R3 = R X R X R.Logo, toda a função real de 3 variáveis reais é definida em um subconjunto Ddo espaço tridimensional real.
, ///................................................. 1.. .
Deternúnemos o domínio de algumas funções, construindo um esboço domesmo.
Exemplos:/'
E1 Seja z = xyx-y
A característica da função z é um quociente e ele só é defInido parax - y =1= O, isto é, para x =1= y.O domínio de z é o conjunto D ~ {(x, y) E R21 x =1=y }, conjunto dos pon-tos do plano xOy que não pertencem à bissetriz dos quadrantes ímparesx = y.
./../
././
/
Se· f - VX - 2Ja a unçao z = -_-_-_-_-_.yy - 4
Além do quociente, temos que considerar a raiz quadrada. A função z édefinida para
x-2~O====>x~2y-4>O===>y>4D = {(x, y) E IR.2lx ~ 2 y > 4}
E3 \ Seja a função z = x2 - 3xy + y2 - 1.\~ Esta função é de.fmidapara \Ix e \ty E IR, então:
D.....:R2
o domínio D é todq o plano real R2•
E4 Seja a função w = 4xy - 6xz + 8yz.O valor de w é defmido em todo ponto (x, y, z) E R3• Podemos admitircomo domínio da função o espaço real R3•
D=R3
Es' Seja a função
w = J 1 - x2 - J 4 - y2 - 2 J 9 - Z2.
Para w ser um número real bem definido
1 - x" ~ O, 4 - y" ~ O e 9 - z" ~ O
Resolvendo as desigualdades,.resulta-1 :S:;;;x:S:;;;I,-2:S:;;;y:S:;;;2e-3:S:;;;z:S:;;;3
o domínio da função éD = {(x, y, z) E IR31-1 :s:;;; x :s:;;; 1, - 2 :s:;;; y :s:;;; 2, - 3 :s:;;; z :s:;;; 3}
D ,-Geometricamente, o domínio D é um// paralelepípedo de faces paralelas aos pla-
,/ nos coordenados.,,/
No Capo 11I do 1Q volume estudamos limite de uma função real de umavariável. Estendamos tal conceito às funções de duas ou mais variáveis.
Consideremos a função z = f (x, y) de domínio D C IR" e um ponto(xo, Yo) E D, tais que f seja definida em pontos (x, y) bastante próximos doponto (xo, yo). Denominamos vizinhança circular de raio 6 do ponto (xo, Yo) aoconjunto dos pontos (x, y), tais que:
O < .J (x - XO)2 + (y - Yo)z < 6
o < (x - XO)2 + (y - Yo)" < 6"
que constitui o disco aberto de centro (x o, Yo)'
Diremos que a constante Q E ]R é o limite da função f, quando o pontovariável (x, y) tende para o ponto (xo, Yo), quando dado um número E: > O,tão pequeno quanto desejarmos, for possível determinarmos em correspondênciacom ele um outro número ô > O, tal que para todo ponto (x, y) que satisfaça ademgwildade .
O < (x - xoi + (y - Yoi < ô2
tenhamos
If(x, y) - Q I < E:
1im f(x, y) = Q(x,y) ~(xo,Yo)
1im f(x, y) = Qx-+xoY-Yo
No cálculo de limites de funções de várias variáveis aplicamos as mesmaspropriedades estudadas no volume I.
Exemplos:
Calcule lim (1 + y2) sen 2 x .
x-o Xy-+l
Solução: Se passarmos ao limite, vamos ter uma indeterminação do tipo ~ .
Levantamos a indeterminação
1irn (l + y2) sen 2x = lim sen 2xx -+0 xy x-o Xy-+l y-+l
lim 1 + y2x-o yy-+l
FUNÇOES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
lim (l + y2) sen 2x = 2 [ lim sen 2X] • 1 + 1x~o xy x~o 2x 1Y~l Y~l
, v .J
-1
lim (l + y2) sçn 2x = 2 • 1 • 2 = 4x~o xyY~l
Calcule lim 2';.x~o X Yy~o
Solução: Se passarmos ao limite, vamos ter uma indeterminação do tipo ~ .
Procuremos levantar a indeterminação. _O ponto (x, y) está próximo da origem. São ,inúmeros os caminhos deaproximação do ponto (x, y) à origem e sempre através de uma reta.
S . 2xy 2y drni' d vizinho d'eJa z = + - e a tin o que, nas anças a ongem,x y 1 +L
xo ponto (X, y) tenda a (xo, Yo) através da reta
y = mx ====>.L= mx
19 Caminho:
Segundo a reta y = x, portanto, m = 1. Daí,
lim 2xy = lim 2y = lim 2y = 2 • O = OX ~o x + Y x ~o 1 +.l. x ~o 1 + m 1 + 1y~o y~o X y~o
29 Caminho:
Segundo a reta y = O (eixo dos x) ====>- m = O. Assim,
lim 2xy = 1im 2y _ lim 2y =-º-= O(x,y)~(o,o) x + y . (x,y)~(o,o) 1 +1: (x,y)-(O,o) 1 + m 1
- x
39 Caminho:11'
Segundo a reta x = O (eixo dos y) ====> m = tg 2" = 00. Neste caso,
lirn 2xy = lim 2y O O(x,y)-+(o,o)X + Y (x,y)-+(o,o) 1 + m - 1 + 00 =
49 Caminho:
Segundo a reta y. = - x ==:> m = - 1. Nestas condições,
lim _2_x~y_= lim _2 y__ O(x,y)-+(o,o) X + Y (x,y)-+(o,o) 1 + m O
Uma função z = [(x, y) diz·se contínua no ponto (xo, Yo) quando
lim [(x, y) = f(xo, Yo)X-+Xo
y-+Yo
Se esta condição não for satisfeita, a função será descontínua no ponto(xo, Yo)'
Exemplos:
E1 Verifique a continuidade da função z = 2xy - 4 no ponto (2, 1).Calculemos:
lim (2xy - 4) = OX-+2y-+l
~ Verifique se a função [(x, y) = 2 - Y senx é contínua no ponto (O, O).x
Calculemos:
[(O, O) = 2 ~ O sen O == g (Deixa de existir o valor da função).
tim 2 - Y lim (2 ) ti sen x 2 1 2e --senx= -y m--= • =x-o X x-o x-o Xy-o y-o y-o
Nota: Em casos como este, onde deixa de existir o valor da função, masexiste o valor do limite, podemos modificar a definição da função de modo atomá-Ia contínua.~sim:
z =f(x. y) {_2_-_y_ senx para x =1=O
x
.;:) Determine o domínio da função z = Qn (4 - x - 2 y) e faça um esboço grá-J fico.
Solução: Examinemos a função
z = Qn (4 - x - 2y)
Existirá z real para
4 - x - 2y > O ou x + 2 Y - 4 < OD = {(x, y) E lR?lx + 2y - 4 < O}
Vejamos o esboço gráfico.A desigualdade x + 2 y - 4 = Oe não situados sobre a reta.Representemos a reta
x + 2y :- 4 = O
.paray = O--> x = 4para x = 0--> y = 2
Experimentemos o ponto (O, O) nadesigualdade x + 2y - 4 << O > O + O - 4 < O. Oponto (O, O) satisfaz a inequação,logo o semi-plano é o hachurado.
Ç\
~ Determine o domínio da função z = .j - x' + 5x - 4 - v' 3 Y - y' e repre-sente-o geometricamente.
Solução: Examinando a função, notamos que z real acontece quando
- x2 + 5 x - 4 ~ O e 3 y - y2 ~ O
Resolvendo as inequações:.- x2 + 5 x - 4 ~ O =-~--->- 1 ~ x ~ 43y_y2~O_~>O~y~3
Então,
D = {(x, y)E R211 ~ x ~ 4 O ~y ~ 3}
Representemos graficamente
PR3 Calcule o lim _x_ (1 + yl )Y(x,Y)-+-(O,+oo) sen x \
lim x (1 +1..)y . lim 2:.- lim (1 + yl)Y =(x,y)-+-(o,+oo) sen x Y x-+-o sen X x-+-o
y-+-+oo y-+-oo
J (- 2)2XCalcule lim x (l + x) .-y-2--x-o Y ! - 4Y-2
Solução:
lim x~1 + x) (y - 2)2X = lim (1 + X)l/X (y - 2)2 =x-o V y2_ 4 x-o y2 - 4Y-+-2 Y-2
PRs Calcule lirn (x2 + 2x - 3)(y2 - 1)"""J/ (x,y)-+( -3,1) xy - x + 3y - 3
Solução:
lirn (x2 + 2x - 3xy2- 1) =
(x,Y)-+(-3,l) xy - x + 3Y - 3
_ 1im (x + 3)(x - 1)(y + 1)(y - 1) =(x,:Y)-+(-3,1) x(y - 1) + 3(y - 1)
_ lim ..(x-l-3J(x - 1Xv + 1XJz--11 =(x,y)-+(-3,1) ~
PR6 Calcule 1im 1 - cos x Qn (1 + y)x-+o xy senxy-+o
Solução:
lirn 1 - cosx Qn (1 + y) = lim [1 - cosx] [.1. fln (1 + y)] _X-+O xy sen x X-+O X sen x yY-+O y-+o
= 1im [1 - cosx] [Qn (1 + y)l/Y] =x-+o X sen x X-+O .y-+o y-+o
= lirn (l - cos xXI + cos x) Qn [ lirn (1 + Y)l/Y] _x-+o (senx(1 + cosx) x-+o,Y-+O y-+o
sen2 x----------..= 1im 1 - cos
2x Qn [ 1im (1 + Y)l/Y] _
x-+o X senx(1 + cosx) x-+oY-+O Y-+O
= 1im senx 1im 1 Qn [ 1im (1 + y)1/Y] _x-+o X X-+O 1 + cos x x-+oy-+o· Y-+O Y-+O
=1 1 n ·11 + 1 Jt.ne =2"
PR7
Calcule lim x2y - 2x
2- 5xy + lOx + 4y - 8
x -+ 1 x2y - 2 x2 - y + 2Y-+2
Solução: ~e passarmos ao linúte chegaremos a ~. Levantemos a indeter-
núTIação
lim x2 Y - 2 x2- 5 xy + 10 x + 4 Y - 8 =
X-+1 x2(y - 2) - (y - 2)Y-+2
= lim x2 (y - 2) - 5x (y - 2) + 4 (y - 2) =x -+ 1 x2 (y - 2) - (y - 2)y-+2
= lim (x2 - 5 x + 4)(;)z.----21= lim (x - 4)(x--t) _X-+1 (x2 - l~ X-+1 (x + l)(.x----t)-y-+2 y-+2
1 - 4 3- 1 + 1 = -2'"
Estude a continuidade da função z ::: Qn (x2 + y2).
SoluçãÓ: Como g (x, y) = x2 + y2 e f(w) = Qn w, podemos considerar afunção z = Qn (x2 + y2) como composta de g com f:
(fog)(x, y) = f[g(x, y)] = f(x2 + y2) = Qn (x2 + y2)
Esta função é descontínua apenas no ponto (O, O). Portanto, é contínua naregião R2 - {(O, O)},
aw = sen-(3
A função w é descontínua apenas para [3 = O. Portanto, é contínua nossemi-planos abertos
D1 = {(a, (3) E R21[3 > O} e D2 = {(a, (3) E R21[3 < O},
conforme o gráfico.
PR 10 Estude a continuidade da função
w = 4xyz.J 9 - x2 - y2 - Z2
Solução: Existe w = f(x, y, z) se, e somente se, 9 - x2 - y2 - Z2 > Oou x2 + y2 + Z2 < 9. Portanto, a função w é contínua na bola aberta deraio 3.
PRll\Verifique se a função f(x, Y) = 11- yX . y
2- ; é contínua no ponto
- x y-(1, 2).Solução: Calculemos:
l-If(l, 2) = I _ I
4-4 O=-2 - 2 O
1 - . rx y2 - 4lim __ v_~. --- -l-x y-2-X-J
Y-2
= lim (1 - vx)(I + vx) lim (y + 2)(y - 2) =X-I (1 - x Xl + vx) X-I y - 2y-2 Y-2
1
= ;~1.L-.(l'---'lI:~)(1 :- vx) X~l (y + 2) = I ~ I (2 + 2) = 2Y-2 y-2
A função é descontínua no ponto (1, 2). Para torná-Ia contínua teremos queredefini·la, assim:
{
I - vx- . _y_2_-_4_ para x =1= I e y =1= 2f (x, y) = 1 - x y - 2
2 para x = 1 ey=2
Determine, em cada caso, o maior subconjunto de R3 no qual são defmidasas funções:
PP2
W = x + y - z + 2xyz
pp4 Z = x - 2y + -J 12 + x - x2~4y _y2
PP5 z = -J Iy I - Ix I
~2x -y - 1z= .Jx+3y-4
Calcule lim 2y(x,y)-(o,o) x + y
Resp.: ~
Calcule 1im y [cotg xl ~n (1 + tg x)(X,y)-(O,o) e2Y - 11
Resp.: 2"
PP 10 Calcule lim 22xy 2
x-o x + Yy-o
Resp.: ~
PPu Calcule ~2 (V"X - ~ ;);1 + 2y)
y-o
V2Resp.: -2-
. esen2X - 1 y 3PP12 Calcule 1im ----. -
x -o sen x cos x y2 - 7y + 12y-3
Resp.: -2
f (x, y) = x2 - 4x + 3 • y2 + 4x2 - 6x + 9 Y - 2
Resp.: Contínua nos pontos {(x, y) E R21x =1=3 e y =1=2}
PP13 Descreva o subconjunto de ]R'2 em que a função z = cos ; é contínu.a.
Resp.: É contínua nos semi-planos abertos
D" = {(x, y) E R"ly < O}
Descreva o subconjunto de ]R" em que a função [(x, y) = x + Y .x-yResp.~· Semi-planos abertos {(x, y) E ]R" Ix #: y}.
PP1S Descreva o subconjunto de ]R" em que a função [(x, y) = 2n (y - x).Resp.: Semi-planos abertos {(x, y) E]R21y > x}.
PP16 A função w = Ix + y - z + 21 é contínua em ]R2. Justifique.
PP17 Determine o conjunto de pontos para os quais a função [(x, y, z) -= ~ x2 + y2 + Z2 - 9 não é definida.
PP18 Determine o ponto para o qual não é definida a função w = X2y2 fn Izl.Resp.: z = O
PP19 Dê o domínio de [(x, y) = arc sen 2x +- y.x Y
12X -y!Resp. : x + y =:;;; 1
PP,o Sendo f(x, y) = x3 - 2xy +3 y2, Calcule f(;, ~).
1 4 ]2Resp.:---+-x3 xy y2
2DERIVADAS PARCIAIS
Não te queixes, trabalha.Não te desculpes, aceita.Não te lastimes, age.Não provoques, silencia.Não acuses, ampara.Não te irrites, desculpa.Não grites, pondera e explica.Não reclames, coopera.Não condenes, socorre.Não te perturbes, espera.Nada exijas dos outros,Conta sempre com Deus.
Seja a função z = f(x, y) definida na região D C lR? Tomemos o ponto(x, y) E D e atribuamos a x o acréscimo 6.x e a y o acréscimo fj.y, tais que oponto (x + b,.x,y + fj.y) E D.
O acréscimo da função quando passamos do ponto (x, y) ao ponto(x + b,.x, Y + 6.y) é
fj.z = f(x + fj.x, y + fj.y) - f(x, y)
e se chama acréscimo total da função.A variação das variáveis independentes x e y pode ser aferida através da
distância fj.Qentre os pontos (x, y) e (x + fj.x, y + fj.y).
A - 6.z f(x + fj.x y + fj.y) - f1x y) - . alrazao - = ' " , é uma razao mcrement efj.Q 6.Qseu limite, para fj.Q ) Q, definiria a derivada de z = f(x, y), no ponto,
caso o limite existisse.Entretanto, este limite quase sempre não existe, pois o ponto, (x, y)
poderá aproximar-se do ponto (x + ô'x, y + ô.y) de inúmeras maneiras e o limitevai depender da maneira de aproximação, isto é, da direção de aproximação.Estas considerações levar-nos':ão ao conceito de derivada direcional, que estuda-remps mais adiante.
I - Acréscimo parcial em x
Seja a função z = f(x, y) e o ponto (x, y) ED. Conservemosy constantee atribuamos a x o acréscimo ô'x, tal que o ponto (x + ô'x, y) E D. O acréscimoda função quando passamos do ponto (x, y) para o ponto (x + ô'x, y) é
t1xz = f(x + ô'x, y) - f(x, y)
I~~"~"T......... iz
.II - Acréscimo parcial em y
Se na função z = {(x, y) conservarmos x constante e dermos a y o acr~s-cimo 6y, de modo a passarmos do ponto (x, y) ao ponto (x, y + 6y), tambémpertencente a D, teremos o acréscimo parcial em y,
6yz = {(x, y + 6y) - {(x, y) .
... -_......1"y Z
z I 1.<;:::/{li.Y::i
(ill.'!'~y
Vimos no capítulo anterior que 6xz = {(x + 6x, y) - [(x, y) e 6yz == {(x, y + 6y) - {(x, y) são os acréscimos parciais em x e y, respectivamente.As razões 6xz = {(x + 6x, y) - {(x, y) e 6yz = {(x, y + 6y) - [(x, y)
6x 6x 6y 6xsão as razões incrementais da função z em relação a x e a y.
Os limites destas razões para 6x ) O na primeira e 6y ) O nasegunda, caso existam, são as derivadas parciais da função Z ={(x, y).
Assim:
1im 6xz = {(x + lu, y) - {(x, y) = az = D {( ) = -r' ( )Ax -+0 6x lu ax x x, y J X x, Y
1im 6yz = {(x, y + 6y) -{(x, y)= az =D {(x ) ={,' ( )Ax-+o 6)' 6y ay y , y y x, y
Exemplos:
E1 Determine a derivada parcial de z = X2y2 - 3xy + 4 em relação a variávelx.Atribuamos a x o acréscimo 6x e façamos y fIxo, teremos:
Valor inicial da função:
f(x, y) = xZy2 - 3xy + 4
Valor acrescido da função:
f(x + Ôx, y) = (x + ÔX)2y2 - 3 (x + 6.x)y + 4
Valor acrescido Valor inicialr_--- Á , r__---A--- •••••••"
ÔxZ == (x + ÔX)2y2 - 3 (x + Ôx)y + 4 - (X2y2 - 3xy + 4)
6.xz _ [x2+ 2x Ôx + (ÔX)2]y2- 3 (x +Ôx)y + 4 _X2y2 + 3xy - 4Ôx - Ôx6.xz- =X2y2 + 2xy2ôx +y2(ÔX)2 ,- 3xy - 3y6.x + 4 _X2y2 + 3xy - 46x 6.x6.xz 2xy26.x - 3y 6.x +y2 (6.X)2 E&t d di·--Ô-x-= ------------'-Ô-x- ......•..--.....--· le uan O a Vlsao-->
6.xz=>--= 2xy2 - 3y +y2ôx
ÔX
Ôxzlim - = lim (2xy2 - 3y + y26.X)
tox-o 6.x tox-o'-----v-----'
ôz "-=2xy"- 3yôx
Observação: Chegaremos a este resultado de forma mais simples aplicandoas regras de derivação estudadas no Cap..N do volume I e considerandoy constante quando derivamos parcialmente em relação a x e, x constante,quando derivamos parcialmente em relação a y.Assim:
az 2
C-=2XY -3yaxz = X2y2 - 3 xy + 4az Z-= 2x Y - 3xay
Ez DeterIlÚne as derivadas parciais de z = sen (x + 3y) - cos (2 x - y).
Solução: Apliquemos a regra prática:
der. sen • der. arco der. cos • der. arco__ Á A
az' --.., r. ---,
Z C aX = COS(X + 3y) + 2sen(2x - y)
azay = 3 cos (x + 3y) - sen (2x - y)
Uz~ •...2 ~ ~Determine as derivadas parciais de z = Q n x
2- yz com ".2 ~ Y ~:> (),'
x + Y x -,-y:l. I
Solução: Preparemos a função:
az xax = x2 _ yZ
_ 2xy2
- x4 _"y4
x = x3 + xy2 _ x3 + xy2 =XZ + y2 (x2 _ y2)(X2 + y2)
az -yay = xZ _ y2
2x2y- - x4 _ y4
y = _x2y _ y3 _ x2y + y3 _x2 + y2 (x2 _ y2)(X2 + y2)
2.3 - INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADASPARCIAIS
Seja z = f(x, y)urna função defInida naregião D C R 2 tendopor imagem gráfica asuperfície S do R3 quese projeta sobre D noplano xOy.
Fixemos x, fazendo-o igual a Xo. A função z = f(xo, y) será unicamenteda variável y e representará a curva Cb intersecção do plano x = xo, paraleloao plano yOz, com a superfície S de equação z = f(x, y).
Se fIZermos y = Yo, a função z = f (x, Yo) será unicamente da variávelx e representará a curva C2, intersecção do plano y =Yo, paralelo ao plano xOz,com a superfíCie S.
Obtemos, assim, o ponto Po(xo, Yo, zo) da superfície Se intersecção dascurvas C1 e C2•
A derivada parcial aaz nos dá o declive da tangente t2 à curva· C2 noXo
ponto Po (xo, Yo, zo), em relação à reta (7), paralela ao eixo dos x.
~z-= tgaaxo
A derivada p~cial aaz nos dá o declive da tangente ti à curva C1no pontoYo
Po, em relação à reta (s) paralela ao eixo dos y
I az ~p Iayo
As duas tangentes tI e tz, tangentes à superfície S no ponto Po, determinamum plano tangente à superfície S, cuja equação geral é
Como ele passa pelo ponto Po (xo, Yo, zo), sua equação é satisfeita pelas coorde-nadas do ponto, assim:
Axo + Byo + CZo + D = O (2)
Subtraindo a (2) da (1) > A (x - xo) + B (y - Yo) + C(z - zo) = O.Isolandb o termo em z ->
A B. > z - Zo = -C(x - xo) -C(y - Yo) (3)
Para y = Yo na (3) ====> z - Zo = - ~ (x - xo), equação da reta tz, tangente-'
à S no ponto (xo, Yo, ~o).Portanto,
A az--=tga=-C axo
Para x = Xo na (3) ====> z - Zo = - ~ (y - Yo), equação da reta th tangente
à S no ponto Po.Portanto,
B az--=tg{3=-C ayo
-Substituindo na (3) - ~ e - ~ pelos seus respectivos valores, resulta
az az·z - Zo = - (x - xo) + - (y - Yo)axo ayo
equação do plano (17) tangente à superfície S de equação z =I(x, y), no pontoPo (xo, Yô, zo). Deduzamos agora as equações canônicas (simétricas) da normalà superfície S no ponto Po (XO, Yo, zo).
A normal (n) à superfície S no ponto Po (xo, Yo, zo) é perpendicular aoplano (n) tangente à superfície no mesmo ponto e conseqüentemente perpendicularàs tangentes tI e tz.
O vetor diretor da reta (n), normal à superfície S é, portanto paralelo ao~
vetor normal do plano (17) Vn = (A, B, C).~
A normal n = [Po (xo, Yo, zo); Vn = (A, B, C)], terá por equações
x - Xo Y - Yo z - Zo- -A B C
x - Xo Y - Yo Z - Zo-C--= -C--= -C--A B Cx - Xo
A-C
Y - Yo Z - Zo- -B C
-C -C
A ôz B ôz CComo --= - -- =- e --= -1 resultaC ôXo' C ôYo C '
x - XoôzôXo
Y - Yo z - Zo- -ôz -1
ôYo
Exemplos:
E1 Determine as equações do plano tangente e da normal à superfície z == x2 - 4 y2 no ponto P~(5, - 2).
Solução: Determinemos o ponto Po (xo, Yo, zo), determinando
Zo = (5)2 - 4 (- 2)2~ ~
Xo Yo
Zo = 25 - 16
Zo = 9
Então, Po (5, - 2, 9).As funções derivadas parciais são
C~=2Xôx
z = x2 ~ 4y2
ôz-= -8yôy
derivadas--> ====>no ponto
~. ôz
C- = 2·5 = 103xo
--->ôz- = -8(-2) = 16
ôYo
a) Equação do plano tangente:
az azz - Zo = - (x - xo) + - (y - Yo)axo ayoz - 9 = 10 (x - S) + 16 (y + 2)z - 9 = 10x - SO + 16y + 32
110X + 16y - z - 9 = O Ib)IEquação da normal:
x - Xoazaxo
x-S_y+2_z-910 - 16 - -1
Dada a função z = f (x, y), diferenciável, as suas derivadas, parciais sãofunções das -mesmas variáveis.
Assim, ~: = Ix (x, y) e ~; = I; (x, y).
Podemos querer derivar parcialmente estas derivadas. Se for possível, obte-remos as derivadas parciais de segunda ordem da função inicial. As derivadasparciais das derivadas de segunda ordem, se existirem, constituirão as: derivadasparciais de terceira ordem; e assim sucessivamente.
Partindo de z= 1(x, y)
a (az) a2z 4:"az C ax ax = ax2 = Jx,x (x, y).
ax = Ix (x, y) () 2a az a z ,ay ax = axay = Ix,y (X, y)
. a (az) a2z r' ( )
C ax ay = ayax =Jy,~ x, Yaz , ( )ay =Iy x, Y 2
a (az) a z r'- - =-=Jyy(x,y)ay ay ay2 '
Notamos no dispositivo acima que as derivadas parciais de primeira ordem sãoIx e /y. Se essas funçõe~ derivadas admitirem derivadas parciais, iremos obter4 funções derivadas parciais de segunda ordem:
h,x; Ix:y; íJ,x e íJ,ySe as derivadas parciais de 2' ordem admitirem derivadas parciais, iremos obter8 derivadas parciais de 3' ordem, conforme os dispositivo abaixo.
Se for possível continuar derivando, obteremos 16 derivadas de 4' ordem, e assim
sucessivamente. A função derivada parcial de 2' ordem a~2:yindica a derivada
obtida após derivar duas vezes, a primeira vez em relação a x e a segunda vezem relação a y.
Já a função derivada parcial a3z indica a derivada obtida após 3 deri·'axay2
váveis sucessivas, a primeira vez em relação a x, a segunda vez em relação a ye a terceira vez em relação a y.
Consideremos agora a função w = f (x, y, z) e consideremos possível asua derivação sucessiva.
DElUV ADAS PARCIAIS 29
E4~Xh,x, h,~,yIx"X,x,Z
E4Y,XIx ' . "t'x,y t'x,y,yIx"x,y,z
/ E4~Xh,z h,~,y{;."x,z,zE!Y.~.x
t;,x 1J,~,y
h"Y,X,z
~"E y,y,xw = {(x, y, z) Íy tY.y, !Y.Y,y
. "'''" 'y,y,z
E!Y.~xt;,zt;,~,y
Ii,~z
Et.:~,xÍz:x Iz:~,y
. t'z"Z,X,z
Et.:~.xt;, h,y Iz:'y,y
Íz"z,y,z
Et.:~xIz:z . Iz:~,y
Iz"Z,Z,z
Exemplo:
Dada a função z = x4 - 3x3y + 6X2y2 - 4xy3 - 6y4 + 2, determine as derivadas parciais de 3~ ordem
( te)\ - --- .\ '() "I /
N d . das Ô3
Z Ô3
Z - difiotamos que as enva extremas -3 e -3 sao erentes, enquanto asôx ôy
mistas são iguais 3 a 3, mostrando-nos a invertibilidade da ordem de derivação:
2.5 - INVERTIBILIDADE DA ORDEM DE DERIVAÇAO
Conforme o exemplo estudado, notamos que a ordem de derivação é irrele-vante, se as derivadas parciais forem contínuas.
Teorema de Schwarz: Se a função f (x, y) admitir todas as derivadas parciaisde 2ª, ordem na região D C R2, e se estas derivadas forem funções contínuas emD, então:
ô2f ô2f-ô Ô =-ô ô emtodoponto~EDx y' y x
Este teorema se estende às derivadas mistas de ordem superior à 2ª, ordem. Assim:
ÔSz ôSz ôSzôxôxôxôxôy - ôxôxôxôyôx - ôxôxôyôxôx -
asz ôSz- ôxôyôxôxôx - ôyôxôxôxôx
podendo todas estas derivadas serem representadas unicamente por ô:z , indi-ôx ôy
cando que a função z deve ser derivada 4 vezes em relação a x ~ em relaçãoay.
O número de derivadas parciais distintas de ordem n nos é dado pelascombinações com repetição de m elementos (número de variáveis independentes)tomados n a n.
(CR) - C - (m + n - IXm + n - 2) ... em + 2Xm + 1)mm,n - m+n-l,n - n!
Uma função de várias variáveis y = F (x h X2, X3, ••• , xm) dir-se-á declasse Cn em uma região D C Rm, com n inteiro positivo, se e somente se exis-
tirem e forem contínuas em D todas as derivadas parciais de F de ordens 1, 2,3, 4, ... , n. Escrevemos
F E Cn (classe de diferenciabilidade).
PR1 Deternúne, em cada caso, as derivadas parciais da função:
z = (x2 - xy +y2tSolução: Notemos a existência das componentes potência e base.
PR2 Z = xy • yX, com x > O e y > O.Solução: Nos dois fatores figuram x e y, teremos então a função produto
õz , ,
C õx = JlxV + JlVx
zõz , ,õy = Jlyv + JlVy
a) Deternúnação de ~:. Em relação a x
Il = xy (potência natural) ====>: Jl~ = yxY-1
V = yX (exponencial) ===.=-.::::.-~> v~ = yX ~n y
b) Detenninação de ~;. Em relação a y
JJ. = xY (exponencial) --> JJ.~ = xY inx
v = yX (potência natural) ====:> Vy = xyX-l
PR3 Z = cos2(v'X - y).Solução: Notemos a existência das 3 componentes: potência, co-seno e arco.
~z = [2 cos(vx - y)][-sen(-vfX - y)]" _Ir::-x ,_______ ,;2 v xv
- seno do arco duplo
sen2(y'X - y)- -
2 v'X
az = [2 cos (-vfX - y)][-sen(v'X - y)](-I) = sen2(v'X - y)ay
PR4 Z = X3y2 + x22ny - cos(xy).
Solução: Na última parcela, quer em x ou y, temos as componentes co-senoe arco
z C ::= 3X2y2 + 2x 2ny + y sen(xy)
az x2- = 2x3y +- +x sen(xy)ay y
PRs z = xex-y +yex+y•
Solução: Em relação a x, a primeira parcela é função produto, pois tem x nosdois fatores e, em relação a y, a segunda parcela é função produto.
C .az = (1eX-Y + xex-y • 1) +yex+y • 1axz az = xeX-r(-I) + (1 eX+Y + y~+Y • 1)ay
C~:= (l + x)eX-Y + yeX+Y
z ÔZ = (l + y)eX+Y _ xeX-Yôy
eX, PR6 w =- - ~nxyz + sen(x - 2z)eY
Solução:Preparemos a função: w = eX-Y - ~nx - ~ny - ~nz + sen(x - 2z)
ôw = eX-Y • 1 - 1-+ [cos (x - 2z)] 1ôx x
ôw = eX-Y (-1) _1-ôy y
ÔW 1 .ôz = - Z + [cos(x - 2z)](- 2)
ÔW eX 1- =- --+ cos(x - 2z)ÔX eY x .
ÔW eX 1-=----ôy eY y
ôw 1ôz =-z-2cos(x-2z)
PR7 Z = x2 ~nxy.
Solução: Notemos que em relação a x a função é do tipo JlV (produto),pois tem x nos dois fatores.
Função preparada: z = x2 (~n x + ~ny)
, , + ' Et-z = uv -~> Zx = UxV UVX. n ao, comou = x2 ====:::> u~ = 2x
v = ~nx + ~ny ====> v~ =-;, 2 1> zx = 2 x (~n x + ~n y) + x - >
x-> z~ = 2xQnxy + x
az 2 1 x2-= X -=-ay y y
C z~ = 2x Qnxy + xz = x2(Qnx + Qny)-
, x2z =-y y
PRs z = f(senxy).
Solução: Notemos que a derivada da função f é a mesma, quer em relaçãoa x, quer em relação a y. O mesmo acontece com a derivada do seno. Apenasas derivadas do arco são diferentes
d . d f derivo d' denv. e d env. o arcoecosaz ---------- ,...-A--... ...----A----
C ax = rr (sen xy )][cos xy J y
z = f(sen xy) .-az rray = (senxy)][cosxy]x
a -- C a: = y rr (senxy)] cosxyz = f(senxy)
~; = x [f' (sen xy)] cos xy
Solução: Preparemos a função:
f(x, y) = senx-1 y + Qny - Qnx
af [ -1]( -2) 1
C-= cosx Y -x y--ax xf(x, y)
af = [cosx-1Y]X-1 +1.-ay y
af y y 1f(x, y) C ax = - x2 cos"X-X"
af 1 y 1-=-cos-+-ay x x y
PR10 Dada a função z = f(;), verifique se x :~ + y :; = o.
Solução:1. Deternúnemos as derivadas parciais de z
x af +yEt=~t(x) _x t(x) =0ax ay y y y YSim.
_ all all 31l 2PRu Dada a funçao Il = are sen (xyz), verfique se 3x • 3y • az = see Il tg Il·
Solução:1. Determinação das derivadas parciais
_a Il_ = --;:==1 ==yz3x v' 1 - (XYZ)2
all = 1 xz3y .J 1 - (XYZ)2
all 1-= ---""""'X.Yaz v' 1 - (xYZ)2
2. Verificação da igualdade ~~ • ~; • ~~ = see Il tg2 Jl. Montemos o produto
das 3 derivadas'"
a Il a Il a Il _ yz • xz • xyax . 3y • ai - [.J 1 - (XYZ)2]3
31l • all • all = (xYzi3x 3y ax [v' 1 - (xyz)2]3
De Il = are sen (xyz) > xyz = sen Jl.
SubstitUindo em (1) =>
a p. a p. a p. sen" p.-->_.-.-= ------ ax ay az [y' 1 - sen"p.]3
sen" p. 1 sen" p.=--= __ 0_-
cos3 P. COS J.l cos" J.lv
COS J.L
PR 12 Ache a equação do plano tangente e as equações da reta normal à superfíciez" = x2 + y2 no ponto (3,4, 5).
Solução: Vimos que a equação do plano tangente (1T) à superfície z no pontoPo (xo, Yo, zo) é
az azz - Zo = axo (x - xo) + ayo (y - Yo)
Determinemos pois as derivadas parciais no ponto.De Z2 = x2 + y" > Z = .J x2 + y2 (z = 5 > O)
az 1 -\, azax = ~y'X2+y2 ""x => axo =
_ 1 3=1v9 + 16 S
az 1 -b azay =.~ y'x2 + y2 ",y => ayo =
_ 1 4 =.±..V9 + 16 S
Substit]lipdo na equação do plano (1T)
z'- 5 =l(x - 3) +.!(y - 4)5 55z - 2S = 3x - 9 + 4Y - 16
13X + 4y - 5z = O I
As equações simétricas da normal (n) são:
x - Xo Y - Yo z - Zo- -az az -1
axo ayo
Então, (n)
x-3_y-4_z-5__ x-3_y-4_z-53 - 4 - -1 --.> (n) 3 - 4 - -5- -5 5
PR 13 Ache as equações do plano tangente e da reta normal à superfície x2 ++ y2 + Z2 = 38, no ponto que se projeta sobre o plano xOy em (2,3) etem z > O.
Solução:1. Determinação do ponto Po (xo, Yo, zo).
Temos Xo = 2 e Yo = 3. Substituindo na função, vem 4 + 9 + Z2 =
= 38 => 1 z 51, pois, z > O
2. Determinação das derivadas parciais em Po•Preparemos a função x2 + y2 + Z2 = 38:
z = ..j 38 - x2 _ y2
3. Determinação da equação do plano tangente.Como (1T)
-........
az az 2z - Zo = -ax-o (x - xo) + -ay-o (y - Yo) =-.::=----.> Z - 5 = - "5 (x -.2) -
3-SÓ' - 3)
5z-25=-2x+4-3y+9
\2x + 3 y + 5 z - 38 = O I
4. Determinação das equações canânicas da normal (n).Como (n)
x - Xo Y - Yo z - Zo-õz õz -1- -õXo õYo
Substituindo em (n)
x-2_y-3_ z-52 - 3 - -1
-- --5 5
x-2_y-3_z-52 - 3 - 5
PR14 Determine o ponto da superfície z = x2 + y2 - 4x - 6y + 9 em que oplano tangente é paralelo ao plano cartesiano xOy.
Solução: Se o 'plano tangente à superfície z for paralelo ao plano xOy, asderivadas parciais de z serão nulas.
C _õ_z= 2x - 4==:> 2x -4 = 0==> x = 2ÕX
zõz- = 2y - 6===>" 2y - 6= 0--> Y = 3õy
z=4+9-8-l8+9z =-4
O ponto procurado é Po (2, 3, - 4).
PR 15 Determine as derivadas parciais de 2~ ordem da funçãoy2 x2
z=----X Y
Solução: Preparemos a função:
F.P. (função preparada)z = X-1y2 _ x2y-1
a2z 2 2x2- - 2x-1 2x2y-3-2 - - -----ay x y3
PR16 Calcule as derivadas parciais de 2~ ordem da função z = e2Y sen x no pontoPo(rr/6, O).
z[
a2z = vf3
axoayo
a2z-=2ayJ
. X
PR17 Calcule as derivadas parciais de 3~ ordem da função z = ey + Qn (xy).e
Solução: Preparemos a função
F.P. => z = eX-Y + Qnx + Qny
Aplicaremos a invertibilidade da ordem de derivação, calculando as derivadasparciais extremas e delas as mistas, assim:
[
~: = eX-Y + ~ rz az _ x-y +1.-
ay - -e y l
PR V 'f' f - 2 xy , h ~.18 en lque se a unçao z = arc tg 2 2 e armomcaox -y
Solução: "Uma função z =f (x, y) diz-se harmônica quando satisfaz à equaçãoa2z a2zde Laplace - + - = O",ax2 ay2
a2z a2zCalculemos então --2 e -2 oax ay
derivo do arctg~
14X2y2
1 +---(x2 _ y2)2
1- (x2 _ y2)2 + 4X2y2
(x2 _ y2)2
azax -
az-=ay14X2y2
1 +---(x2 _ y2)2
derivo do quoçj.enteF .A ,
2y (x2 - y2) - 2xy • 2x _, (x2 _ y2)2
2x2y - 2y3 - 4x2y(x2 _ y2)'1.
2x(x2 - y2) - 2xy(-2y) =(x2 _ y2)2
1 2x3 - 2xy2 + 4xy2- ,--------(x2 _ y2)2 + 4X2y2 (x2 _ y2)2
(x2 _ y2)2
, . ,Ob - 2xy • d t' U 1 _ UxV - UVxservaçao: 2 2 e o lpO-, portanto, em re açao a x ==--=--=....> 2
X -y V V
U~V UV~, r A__ -.., ~
> Ux = 2y 2y(x2 _ y2) - 2xy • 2x=--=----> 2 2 2
V = X2 - y2 ====.> V~ = 2x (X - Y ), I
2xy U· UyV - UVy2 2 é do tipo -, portanto, em relação a y --> --v-
2--
X -y V
, UV'UyV Yr A \ ~
2x(x2 - y2) - 2xy (-2y)-->----------2 2 ' 2 (x2 _ y2)2V = X - Y => Vy = - y
--> U~ = 2x
az -2x2y - 2y3 = -2y(x2 + y2) =ax = x4 _ 2X2y2 + y4 + 4X2y2 x4 + 2X2y2 + y4
= -2y(x2 + y2) = _ 2y(x2 + y2i x2 +y2
az 2x3 + 2xy2 2x(x2 + y2)ay = x4 _ 2X2y2 + y4 + 4X2y2 - x4 + 2X2y2 + y4 -
= 2x(x2 + y2) = 2x(x2 + y2)2 x2 + y2
L a2z- = -2x(x2 + y2)-22y =ay2
4xy= -(x2 + y2l
a2z a2z 4xy-+-=----ax2 ay2 (x2 + y2)2
A função é harmônica.
PR19 Determine as derivadas parciais de 4~ ordem da função z = sen (x - y) - cos (2 x + y).
Solução: Até às derivadas parciais de 3~ ordem determinamos apenas as extremas e a partir delas achalemos as de 4~ mnp.m.
32zr -2= -sen(x- y) + 4cos(2x + y)ax
az
C-= cos(x - y) + 2scn(2x + y)ax
z = sen(x - y) -- cos(2x + y)
az-= -cos(x - y) + sen(2x + y) Lay
a2z-2 = ~sen(x - y) + cos(2x + y)ay
Resp.:
a4z-4::: sen(x - y) - 16cos(2x + y)aX
34z a4z a4z a4Z '--::: --::: --- ---::: -sen(x - y) - 8cos(2x + y)ax3ay ayax3 ax3y3x2 3x23yax
34z-- :::sen(x - y) - 4cos(2x + y)3x23y2
a4z a4Z a4Z a4Z--::: -- = --- ----::: -sen(x - y) - 2cos(2x + y)3y3ax ax3y3 ày3xay2 3y23x3y
34z- ::: sen (x - y) - cos (2 x + y)ay4
a4z
C4= sen(x - y) - 16cos(2x + y)
a3 ax-4= -cos(x - y) - 8sen(2x + y)a.\" a4z
-- = -sen(x - y) - 8cos(2x + y)ax3ay
a3z-3 = cos(x - y) - sen(2x + y)ay
a4z
C-3- = -sen(x - y) - 2cos(2x + y)ay ax
a4z4 = sen(x - y) - cos(2x + y)ay
PRzo Verifique se a função w = e3X + 4Y cos 5 z é harmônica.
Solução: Será harmônica a função w = f(x, y, z) se, e somente se,
a2w a2w a2w-+-+-=0ax2 ay2 az2
a w = 3 e3X + 4Y cos S zax
a w = 4 e3X + 4Y cos Szay. a2w
j -= -25e3x+4Y cos 5zaz2
a w = _ 5 e3X + 4Y sen 5 zaz
Façamos a verificação:
a2w a2w a2w-- + - + - = ge3X+4Y cos 5z + 16e3x+4Y cos 5z -ax2 ay2 az2
- 2S e 3X + 4Y cos 5 z = O
PRZ1 Dadaafunçãof(x, y) = eX ~ny + (seny)~nx, determine as derivadas parciaisde 2~ ordem no ponto P~ (17/2, 7T).
Solução: Derivemos f (x, y)
af = eX ~ny + seny Cax xf(x,y)
ay y .
No ponto P~ (rr/2, rr) as derivadas parciais de 2~ ordem assumem os valores:
- 1
~e 1T/2 cos x e 1T/2 - 2=-+--=---
rr rr 1T
2
oa2[ e 1T/2 ,,---A---,. rr e 1T/2
- = - - - (sen1T)Qn-= ---~J ~ 2 ~
Solução: Determinemos as derivadas parciais de 3a ordem que figuram naexpressão cujo valor procuramos.
a2z 1 a3z 1- = -sen(x +y) -- - -- = -cos(x +y) +-ayax x axax2 x2
az- = cos (x + y) - Q nxay a2z
C-2- = -cos(x + y)
a2z. ay ax-2= -scn(x + y)ay a3z
-= -cos(x + y)ay3
a~ a~ a~ 1--2 - 2 2 + -3 = - cos (x + y) + - + 2 cos (x + y) -ayax ay ax ay x2
1- cos(x + y) =""""2
x
az ·2 2 X2-= xye _.--aX
2= 4xeX
'--v--'I
funçãoproduto em relação a x
PR24 Derive z = f(senxy).
Solução: Consideremos as componentes f, seno e arco xy
~: = [f' (sen xy)][cos xy]y = y 11' (sen xy)] cos xy
~; = [f' (sen xy)][cos xy] x = x [f' (sen xy)] cos xy
Dada a função Jl = Qn (x + Jx2 + y2), verifique se x ~~ + Y ~y= 1.
Resp.: Sim.
Calcule a Jl • a Jl • a Jl com Jl = arctg (xyz).ax ay az'
Resp.: sen2 Jl • cos4 Jl.
PP3 Determine as derivadas parciais de 1~ ordem da função z = f (tg;).
Resp.: az = 1. t' [(tg~)] sec2~ax y y y
az = _ ~ t' [(tg X).]ay y2 \: y
PP4 Determine as derivadas parciais de 1a ordem da função z = 4 sen (; ) -
- Qn (~).
ôz 4 ·x 1Resp.: _. = - cos - + -ôx y y x
ôz 4x x 1-=--cos---ôy y2 Y y
PP 5 Determine as derivadas parciais de 1~ ordem de z = xyeXY .
ôz yResp.: ôx = yeX (1 + xy)
ÔZ = xexy (l + xy)ôy
PP 6 Determine as derivadas parciais de 1~ ordem de z = arc tg (sen xy ).
Resp.: ÔZ = Y cos xyôx 1 + sen2 xyÔZ xcosxy-=----ôy 1 + sen2 xy
PP, Calcule x ~: + y ~; + z, quando z . ~ f(~).Resp.: O
, xYPPs Deterriúne as derivadas parciais de 1a ordem de z =x.
yÔZ xY-1 xY
Resp.: - =-- -- ~nyôx yX-l yX
ÔZ xY xY+1-=-~nx---ôy yX yX+l
PP9 Determine a equação do plano tangente à superfície 3x2 + y2 + Z2 + xy ++yz + z - 4 = Ono ponto P~(1, -1) de cota negativa.Resp.: 5 x - 2 Y - 2 z - 5 = O
PPut Determine a equação do plano tangente e o vetor normal da superfície z == .J x2 - y2 no ponto P~(5, 3).Resp.: (7T) 5x - 3y - 4z = O
~n = (5, -3, -4)
PP 11 Calcule as derivadas parciais de 2a ordem da função z = arc sen Y2' comx
a2z yay2 ..j (X4 _ y2)3
a2Z a2Z 2x3--=--=-axay ayax ..j (X4 _ y2)3
a2z yCalcule -a a da função z = (x2 + y2) arc tg-.x Y x. a2z x2 _ y2Resp.: -a a = 2 2,
X Y X + Y
PP13 Verifique a função z = eX seny + eY cos x é harmônica.
Resp.: Sim
2 a4fDada a função f (x, y) = yeX
, determine 2 2ax ayResp.: O
Resp.: a3z 3-= -y cosxyax3
a3z-- = - 2y sen xy - xy2 cos xyax2aya3z
-- = -2x senxy - x2y cosxyay2axa3z-= -x3cosxyay3 , '''\ . ,:: ~
C' -- "',.."'-',
PP16 Determine as derivadas parciais de 2éJ.ordem da função z = Qn.J x2 + y2.
a2z x2 _ y2Resp.: - = - ----ax2 (x2 + y2)2
a2z a2z 2xyaxay = ayax = - (x2 + y2)2a2z x2 _ y2--= --~-ay2 (x2 + y2i
Determine as derivadas parciais de H ordem da função z = are tgL... xaz -y az xResp'-=--- e -=---
.' ax x2 + v'2 ay x'2 + y2
_ y az azDada a funçao z = e are sen (x - y), calcule ax + ay'
Resp.: eY arc sen (x - y)
PP S xy 'fo a3z19 e z = e , ven lque que 2
ax ay
x2 + y2 az az 3PP20 Verifique se z = -=====tem-se x ax + y - =-2 z ...j x + y ay
x - y _ õz azPP21 Prove que se z = are sen + ' entao, x -a + y -a . = o.x y x y
_ / '2 2PP22 Determine as derivadas parciais de 2~ ordem da função z = Qn x - v x - y .
. x + ..j x2 - y'2
a2z 2xResp.: -2 = '2 2 3/2ãx (x - y )
a2z a2z 2yãxay = ayax = - (x2 _ y2)312
ã2z = _ 2x (x2 - 2y2)ay2 y2 (x2 _ y2)3/2
PP23 Determine as derivadas parciais de 3~ ordem da função z = x2seny + y2 senx.
a3zResp.: -3 = - y2cosxaxa3z ã3z a3z
- - axayax = 2 cosy - 2y senxãx2ay ayãx2
a3z ã3z a3z-- - -- - ayaxay = -2xseny + 2cosxay2ax axay2
a3z- = -x2eosyay3
2 2' aZ aZPP2S Se z = Qn (x + xy + Y ) verIfique que x ax + y ay = 2.
. az azDado z = f(tg xy), deterrmne x ax - y ay'Resp.: O
PP27 Determine o ângulo no ponto (3, 4, 5) do parabolóide hiperbólico 5xy -- 12 z = O e a esfera x2 + y2 + Z2 = 50.
Resp.: f) :::: 720 11'
az az , IPP28 Mostre que x ax + y ay =.xy + z para z = xy + X6Y'x.
ax axar a<p
{
X = r cos i{)
paray = r sen 'P
PP30 Verifique se para w = (x - y)(y - z)(z - x) tem-se aaW + aaW + aaW = o.x y z .
DIFERENCIAÇÃO
Somos uma família só - a Humanidade. E oscompanheiros da família mais necessitados denós são aqueles irmãos sofredores e menospreparados para as lu tas da vida.
Seja a função z = f(x, y) definida e contínua na regiâ;oD C 1R2•
Atribuamos a x e a y os acréscimos b:.x e b:.y, respectivamente.O acréscimo total, como Vimos no Capo lI, será
b:.z = f(x + b:.x, y + b:.y) - f(x, y).
Por outro lado, no Capo V do Volume I, para a função de uma variável,y =f (x), vimos que o acréscimo da função
b:.y = t' (x) b:.x + 11b:.x'---v-----' '--y--/
parte parteprincipal secundária
dy
Então, tiramos para b:.z = f(x + b:.x, y + b:.y) - f(x, y) o valor
b:.z = [f~(x, y)] b:.x + 111b:.X+ l(;J (x, y)] b:.y + 112t:.y
b:.z = [f~(x, y)] b:.x + [f;(x, y)] b:.y + 111b:.X+ 112b:.y\~-----v /, v--_./
parte principal parte secundáriadz
Logo a diferencial total da função z = f (x, y) nos é dada por dz -= lf'x (x, y)] ~x + li;(x, y)] ~y ou
em que dx e dy são as diferenciais das variáveis livres x e y, respectivamente.Para o caso de função de 3 ou mais variáveis, procedemos da mesma forma.Assim, se
aw aw aww = f(x y z) => dw = - dx + . - dy + - rlz, , ax ôy az
Exemplos:
E1 Determine a diferencial total da função
z = 4x2y - tg(2x - y).
Solução: Vimos que dz = ~: dx + ~; dy. Determinemos, pois, as derivadas
parciais de 1~ ordem de z.
az 2ax = 8xy - 2sec (2x - y)
dz = [8xy - 2sec2(2x - y)]dx + [4x2 + sec2(2x - y)]dy
Ez Determine a diferencial total da função
w = eXY - 4 xz + yz
_ aw ax awSoluçao: dw = -dx + - dy + - dzax ax az
aw xy 4-=ye - zax
aw-=-4x+yaz
Então,
dw = (yexy - 4z)dx + (xexy + z)dy - (4x - y)dz
3.2 - APLICAÇÕES
Seja a barra prismática de dimensões x, y e z fixada num suporte S.Apliquemos à extrenúdade livre uma força F. A barra sofre uma deformação
medida pela variação de volume.O volume inicial é xyz.O volume acrescido é
(x + .ôx)(y + b-y)(z + .ôz)
O acréscimo de volume nos é dado por
.ôV = (x' + b-x)(y + .ôy)(z + .ôz) - xyz
.ô V ...;~+ xz!::,.y+ yzb-x + z!::"x!::"y+ xy!::"z ++ x.ôy.ôz + y!::,.x!::,.z+ !::,.x!::,.y.ôz- ~
.ô V = (yz!::"x + xz!::"z+ xy.ôz) ++ (z.ôx!::,.y+ xb-y.ôz + y!::,.x.ôz + !::"x!::,.y!::"z)
.ô V :::yz.ôx + xz.ôy + xy.ôz I CD
av-=yzax .
~; = xz e I dV = yz!J.x + xz!J.y + xy!J.z I @
av-=xyaz
Comparando CD e (3)
Na prática fazemos a deformação igual à diferencial.-~-------------
Como vimos no Capo V do Volume I, !J.x = X2 - Xl = dx, erro absolutona variável x,
dx. 1 .. sa- e o erro re atlvo = -x x
e 100 dx é o erro percentual = IDOs,x ..
E1 Deseja-se medir a distância dos pontos A e B separados por um obstáculo.Mediram-se, então, as distâncias x e y com erro de 3% em cada uma. Deter-mine o erro percentual cometido em AB"
AB = ~= f(x, y)z =.J x2 + y2
A
Obstáculo ~'<:.. xii' I7/ !
~~ IY
L/i;i/ !----- ~ J
B x C
1Q) Cálculo do erro absoluto
O erro absoluto é a diferencial dz
az azs =dz=-dx+-dya ax ay
Calculemos as derivadas parciais de 1~ ordem
_a_z = 1 2x = xax 2 ~ x2 + y2 ~ x2 + y2
_az_ = 1 2y = Yay 2 ~ x2 + y2 .J x2 + y2
Ea = dz = _..=-x..=-dx-=--===+ --;=y=d=O'==-v'x2 + y2 .J x2 + y2
29) Cálculo do erro relativo
O erro relativo
dz .QA...!E =- \..'
r Z
Dividamos, então, o erro absoluto dz por z
xdx + ydydz _ v' x2 + y2 .J x2 + y2Z - vx2 + y2
_d_z= xdx + ydyz x2 + y2 x2 + y2
39) Cálculo do erro percentual
O erro percentual é o erro relativo multiplicado por 100
dzEp = 100-
z
Portanto,
E = 100( xdx + ydy \p x2 + y2 x2 + y2)
Como vimos no problema, o erro percentual em x e em y foi de 3%.Logo:
100 dx = 3 => dx = 3xx 100
Substituindo fórmula de Ep
E - 100( x ~ + y ifo \p - x2 + y2 x2 + yi)
Ep = 100 [ 3x2
+ 3y2 ]
l00(x2 + y2) l00(x2 + y2)
Ep = 3C.:y' + x/; yi)x2 + y2
Ep = 3---x2 + y2
Ep = 3%
Ez Num triângulo os lados x e y mediram 2 dm e 10 cm com erros de 0,0005 cm
e 0,0002 cm, respectivamente, e o ângulo a por eles formado mediu ; rd,
com erro de ~ rd. Determine o erro relativo cometido na medida z do
lado oposto ao ângulo a.De acordo com o enunciado do problema,
x = 2dm= 20 em e dx = 0,0005 em B
y = 10 em e dy = 0,0002 em
1T v'3a =3rd e da = 100 rd
A medida z do lado BC depende das medidas x de AC e y de AB e da medidaa do ângulo A.Assim, z = f (x, y, z). Determinamos a lei f pela lei dos eo-senos
, Z2 = x2 + y2 - 2xy cosa ==--=--> z = .v x2 + y2 - 2xy cosa
O erro absoluto cometido em z nos será dado por
dz = ~ dx + ~ d + az daax ay Y aa
DIFERENCIAÇÃO 57
oz 1 (2x - 2y cos a)- -ox 2 y'x2 + y2 - 2xycosa
oz 1 (2y - 2 x cos a)z - -oy 2 y'x2 + y2 - 2xy cosa
oz 1 (- 2xyX- sen a)--oa 2 y'x2 + y2 - 2 xy cos a
Tiramos
dz = x - y cos a dx + y - x cos a dy +y'x2 + y2 - 2xy cosa y' x2 + y2 - 2xy cosa
+ xy sen a .--davi x" + y2 - 2xy cos a
x - y cos o: d Y - x cos o: d xy sen o: d-------- X -I- ------- Y + ------- o:
dz _.J x2 + y2 - 2xy coso: .J x2 + y" - 2xy coso: J x2 + y" - 2 xy coso:z - J x2 + y2 - 2xy coso:
dz _ (x - y COS0:) dx + (y - x COS0:) dy + (xy sen 0:) do:Z - x" + y2 - 2xycoso:
1/2 112 ../3/2~ ~ ,,-A-..
dz (20 - 10COS-f) 0,0005 + (10 -, 2ocosi) 0,0002 + (20' 10sen~)~-=z 20" + 102 - 2 • 20 • 10 cos ;
_dz _ 15 • 0,0005 + O + 3z 400 + 100 - 200
dz 3,0075 1,0025-= =z 300 100
dz= 0010025z '
Vimos no item 3.1 que o acréscimo total da função z = f(x, y) é
!:lz = f(x + !:lx, y + .6.y) - f(x, y)
Então, transpondo
f(x, y) --> f(x + .6.x, y + .6.y) = f(x, y) + .6.z CD
az az . CDComo ôz = ax dx + ay dy + 17tÔX + 112ÔY a Igualdade 1 fica:
az azf(x + ôx, y + ôx) = f(x., y) + ax dx + ay dy + 1hÔX + 1l2l:iy, " \ ./
v infinitésimodz de ordem
superior
. az azf(x + Ôx, y + ôy) -::::.f(x,y) + ax dx + ay dy
I f(x + Ôx, y + ôy) == f(x, y) + dz I
Exemples:
E1 Calcule o valor aproximado de J (3,96)3 •V (8,002)2.
Solução:1. Fórmula:
f(x + Ôx, y + ôy) -::::.f(x, y) + dz
2. Substituição de f:
J(x+ ÔX)3 tt (y + Ôy)2 -::::.# VY2 + dz
3. Determinação de dz:
x + D.x = 3,96x =4
Subtraindo ==--=----"> D.x = - 0,04
--> valor mais aproximado dex + D.x, que admite raizquadrada exata
y + D.y = 8,002Y = 8 =='> valor mais aproximado de y + D.y,
===> D.y = 0,002 que admite ~~C1JJ?!~ª..~xata
Substituindo em CDv' (3,96)'!j (8,002)2:::.,j43W +;.J4 W (-0)04) + ; 4#(0,002)
.J (3,96)3 V (8,002)2:::: 23 • 22 + ~ 2 • 22 (- 0,04) + ~ 4 ; 2 0,002
.J (3,96)3 ~ (8,002)2 ::::32 - 0,48 + 0,~16
.J (3,96)3 ~ (8,002)2 ::::32 - 0,48 + 0,0053
.J (3,96)3 V (8,002)2 ,.., 31,5253
E2 Calcule o valor aproxfinado de J 36,24 ..tg 44° 40'. ~
Solução:1. Fórmula: f(x + D.x, y + D.y) ::::f(x, y) + dz
2. Substituição de f: .J (x + D.x) tg (y + D.y) ::::y'; tg Y + dz
3. Determinação de dz: z = f(x, y) = yX tgy
x + b.x = 36,24x = 36
--> b.x = 0,24
e y + b.y = 44° 40'y = 45° (pois tg 45° = 1)
==> b.y = - 20' ===> b.y = - ~~.0,017 = -0,0056 (veja
Capo V do Volume I)
Substituindo em Q)
.j 36,24 tg 44° 40' ::: ../36 tg 45° + C ~ tg 45°) 0,24 +
+ (../36 sec2 45°)(-0,0056)
.j 36,24 tg 44° 10' ::: 6 . 1 + 2 ~ 6 1 . 0,24 - 6(.}r)2 0,0056
~ 36,24 tg 44° 10' ~ 6 + 0,02 - 0,0672
~ 36,24 tg 44° 10' ,.....,5,9528
A diferencial de uma função z =f (x, y), normalmente é ainda uma função de. , d . d . . ô z .f' ( ) Ô z f' ( ) figx e y, Ja que as enva as parcIaIs. ôx = x x, y e ôy = y x, y que I uram
nela são funções de x e y.Se as funções derivadas parciais sucessivas de f (x, y) forem contínuas, pode-
remos calcular as diferenciais totais de ordem superior.Desta forma, a diferencial de 2~ ordem é a diferencial de dz:
d (dz) = d2z
A diferencial de 3~ ordem é a diferencial da de 2~ ordem
d (d2z) = d3z
Tomemos z = f (x, y) com
ÔZ ÔZdz=-dx+-dyôx ôy
d (dz) = d (~~ dx + ~; dY)
d2z = d (~~ dx) + d (~; dY) (diferencial de soma)
d2z = [ d (;~) ] dx + ;~ [d (dx)] + [ d (;;) ] dy +
+ ~; [d (dy)] CD (diferencial de produto)
ôzôx = t
ôz-=JJ.ôy
d (ôz) = dt = E.!.dx + El.. d f2\ox ôx ôy y \.V
(ô z ) ô JJ. Ô JJ. /i)'-d - = dJJ. = - dx + - dy ( 3ôy ÔX ôy'
. f1\ ôz (;\ ÔZSubstItuamos em 0 t por ÔX e em 0 JJ. por ôy
Q) => d (~~) = [ô~ (~~)]®=>d(~;) =[ô~ (~~)]0=> dG~)'3' =-=> d (ÔÔyz) = Ê- dx + ô
2z d\.V ôxôy ôy2 y
(~:) ] dy
(~;) ] dy
a2zaxay dx dy
rA
,
d2z = a2Z (dx)2 + a2
Z d dx + az d2xaX2 ayax Y aX
Para x e y variáveis independentes, suas diferenciais de H ordem sãoconstantes e as de 2~ ordem, conseqüentemente, são nulas.
dx = constante ==~->- d2x = d (dx) = d (constante) = O
dy = constante ====>: d2y = d (dy) = d (constante) = O
Com esta simplificação a igualdade 0 se reduz a
Para facilitar a memorização da fórmula de d2z, podemos usar o quadradoda soma indicada de 2 parcelas, convencionando-se que o índice 2 seja expoentenas diferenciais dx e dy e seja ordem de derivação nas derivadas parciais.
d2z = (az dx + az dY) 2ax ay
d2z = a2z (dx)'- + 2 a2z dx d + a2z (d )2ax2 axay Y ay2 Y'------v----" ---v / '------v----"
quadrado dobro do 19 quadradodo 19 pelo 29 do 29
Podemos determinar d3z da mesma forma que o fizemos para d2z e com aconsideração que dx e dy sejam constantes, d2x = d3x = O e d2y = d3y = O.Então:
d3z = (_o_z dx + _o_zdY) 3 ====> d3z = _03_Z(dx)3 +ox oy ox3
'--y-----/cubo do 19
+ 3 03Z (dx)2dy + 3 03Z dx (dy)2 + 03Z (dy)302xoy . oxoy2 oy3
---v .J ~--v I '---v-------"3 x quadrado 3 X 19 pelo quadrado cubo do 29do 19 pelo 29 do 29
(o expoente na derivada indica ordem de derivação e na diférencial in~~c3:potência).
Exemplos:
E1 Determine a diferencial de 2~ ordem da função z = sen (2x - y).
Solução: A fórmula de d2z na forma sintética é:
d2z = (oz dx + oz dY\"3x oy)
Desenvolvendo, vem:
02. 32 02d2z = -2 (dx)2 + 2 _z_ dx d + --.:. (d )23x2 3x oy y oy~ lY
. 02Z-2 = -4sen(2x - y)
oz . ox-o = 2cos(2x - y) , .x 02Z 02Z
oz oxoy oyox-= -cos(2x - y)oy . 02Z
- = -sen(2x - y)oy2
Substituindo na fórmula de d2z, resulta
d2z = [-4sen(2x - Y)](dx)2 + [4sen(2x - y)ldxdy -- [sen(2x - y)](dYi
~ Determine a diferencial de 3a ordem da função z = eX cos y.
Solução: A fórmula de d3z é
d3z = (3 z dx + 3Z dY) 33x 3y
3z
C -= eXcosy3xz = eX cosy
3z xay = -e senYL
Substituindo na fórmula de d3z, resulta:
d3z = (eX cosyXdx)3 - 3 [eX seny](dx)2dy - 3 [eX cosy]dx(dy)2 ++ [eX seny](dy)3
Para a diferencial de ordem n, podemos tomar a forma sintética e para usá-Iausamos o desenvolvimento pelo "Binômio de Newton".
3.3.4 - FUNÇÕES DE 3 OU MAIS VARIÁVEIS
aw aw aww = f(x,y, z)--> dw = -a-dx + -a-dy + -a-dzx y z
d2w = (~; dx + ~w dy + ~: dZ) 2 (quadrado da soma indicada dey 3 parcelas)
[ aw aw aw]nw = f(x,y, z) --> dnw = -a- + -a-dy + - dzy y azPara mais de 3 variáveis, procedemos da mesma forma:Assim, se
t = f (xl> X2,X3,... , xm)·
n [at at at at]12d t= -dXl+-dx2+-dx3+""+-a-dxmaXl aX2 aX3 Xm
Determine as diferenciais totais de 1~ ordem em cada caso.
PR1
z = e2narc1gxy
_ az azSoluçao: dz = - dx + - dyax ay
F.P. Qnz = Qnarctgxy
z = arc tgxy
3z 1
[
3x = 1 + (xy)2Y
ydx + xdyz => dz = --_~-
3z = 1 x 1 + X2y2
3y 1 + (xy)2
.J x2 - y2PR2 Z = Qn ----. 2xy
_ 3z 3zSoluçao: dz = - dx + - dy
3x 3y
1F.P. z =2Qn(x2 - y2) - Qn 2 - Qnx - Qny
y2dx x2dydz = ---- -----X (x2 _ y2) Y (x2 _ y2)
y3dx _ x3dydz=----
xy (x2 _ y2)
PR3 w =~ +L+-=-y z x
_ 3w 3w 3wSoluçao: dw = - dx + -dy + - dz3x 3y 3z
F.P. w = xy-I + yz-I + zx-I
3w -I -2 1 Z x2_yz-=y -zx =---=3x Y x2 x2y
élw _ . -2 + -I _ X + 1 _ -xz + y2- - -~y Z - - - --ély y2 Z y2z
él w _ -2 + -I _ - y + 1 _ - xy + Z2- - -yz x -- --3z Z2 X xz2
2 ·2 2dz = x - yz dx + y - xz dy + z - xy dz
x2y y2z XZ2
PR4 W = e2n(Qnxyz)
_ aW aW aWSoluçao: dw = - dx + - dy + - dzaX ay aZ
F.P. Qn w = Qn(Qnxyz)w = Qnxyzw = Qnx + Qny + Qnz
aw 1-=-ax x
aw 1-=-ay y
aw -az
Logo:
-dw = dx +!!l.- + dz. x. y z
PR 5 .Na medida da aceleração da gravidade g usou-se a fórmula h = ; gt 2• Calcule o
erro percentual resultante das medidas de h e t, com erros de 1%.
dh100-= 1%h
dt100- = 1%t
2hg=f
Procuremos o erro percentual em g, que é Ep = 100dg.g
dg = ~ dh + ~dt CDah at
2hDe g ==-t2
Substituamos em CD. 2 4h
dg == - dh - - dtt2 t3
dg = dh _ 2 dtg h t
O erro percentual é t.p = 100 dg, isto é, o erro relativo multiplicado por 100.g
E:p = 100 g = 100 dh - 2 • 100 dth t
Nota: Os erros cometidos podem ser por falta ou por excesso, portanto,negativo ou positivo. Para apreciarmos o erro máximo possível, no nossocaso, tomamos o erro
dt100 - = -1t
100 dh == 1h
!00 dg = 1% - 2 (- 1%) == 1 + 2 == 3%g
PRó No cálculo do comprimento Q de um pêndulo, usou-se a fórmula T == 211' A,O período da oscilação mediu 2 segundos com erro de 0,001 s, e g, acele-ração da gravidade mediu 10 m/ç2, com erro de 0,01 cm/ç2. Calcule oerro relativo em Q.
Solução: Do problema tiramos
T = 2 s e dT = 0,001 s
g = 10 m/s-2 = 1.000 cm/s-2 e
Procuremos dQQ, então, de T = 21Th vem:
Como queremos d~, dividamos ambos os membros por Q
dQ = 0,01 cm/s-2 + 0,001 sQ 1.000 cm/s-2 2 s
~Q = 0,00001 + 0,0005
dQ = 000051Q ,
As diagonais de um losango mediram 8 e 6 m com erros de 2 e 3 cm, respec-tivamente. Calcule o erro percentual cometido na sua área.
Solução: Do problema tiramos:--~T x = D = 8 m = 800 cm ey = d = 6 m = 600 cm
dx=2cm -< J
dy=3cm
A =f(x,y)->A =1'II
__.-1._.Ii
[
~~=~ .
De A = X; Então, da Q) => dA = ~ dx + ~ dyaA x-=-ay 2
Ldx ~dy_dA_ = 2 +_2_A xy xy
2 2
dA = dx + dyA x y
Substituindo pelos valores dados no pro~lema,
dA 2 3A = 800 + 600
dA 1 1 3A = 400 + 200 = 400
dAEp = 100 A' logo:
Sp = 0,75%
PRs Calcule o valor aproximado de (sen 30° 10')(cos 59° 50').
Solução:
1. Fórmula:
f(x + !::J.x,y + !::J.y)::::f(x, y) + dz
2. Substituição de f:
sen (x + !::J.x)cos (y + !::J.x)::::sen x cosy + dz
3. Determinação de dz:
z = f(x, y) = senx cosy
ôz
Ca = cosx cosyz x=> dz = (cosx cosy)!::J.x - (senx seny)!::J.y =>
ôz- = -senx senyôy
=> sen(x + !::J.x)cos(y + !::J.y)::::senx cosy + (cosx cosy)!::J.x -- (senx seny)!::J.y ,
x + !::J.x= 30° 10'x = 30°
, 10'=> !::J.x= 10 ==--==---->!::J.x= 60' • 0,017 = 0,003
e y + !::J.y= 59° 50'y = 60°
===> !::J.y~ - 10' ===.> !::J.y= - 0,003
Substituindo na CD =>
==:==>" sen 30° 10' cos 59° 50' ~ sen 30° cos 60° + (cos 30 cos 60)0,003
- (sen 30 sen 60)(- 0,003)
300' o, 1 1 V3 1 1 y'3"sen 10 cos 59 50 :::::.2" 2" + 22"0,003 + 2"-2- 0,003
sen 30° 10' cos 59° 50' =.1 + 2 • 0,003 VI- 4 4
sen 30° 10' cos 59° 50' :::::0,25 + 0,0026
sen 30° 10' cos 59° 50' :::::0,2526
PR9 Calcule o valor aproximado de J (3,86)3 X 36,74 sen 150° 10'.
Solução: Temos uma função de 3 variáveis independentes
w = f(x, y, z)
1. Fórmula:
f(x + 6.x, y + 6.x, z + 6.z) :::::f(x, y, z) + dw
2. Substituição de f:
..j (x + 6.X)3(y + 6.y) sen(z + 6.z) :::::J x3y senz + dw
3. Determinação de dW:
ow ow owdv..: = - b.x + - b.y + - 6.zox oy oz
w = f(x, y, z) =..j x3y senz
ow 1 2- = ---3x ysenzox 2 ..J x3y
d 3x2y senz A +=> w = 2..j x3y uX
ow r7C:-- = V x3y coszOZ
x3senz rr::+ ;-::;:::6.y + V X'Y cosz 6.z -->2vx~ .=> ..j (x + 6.X)3(y + 6.y) sen(z + 6.z) :::::..J x3y senz +
3 2 3
+ x y sen z A + x sen Z A + ~ A CD~ uX ~ uy V .~"'Ycosz uZ2 vx3y 2 vx3y
x + 6.x = 3,86x =4
--> 6.x = - 0,14
y + b:.y = 36,74y = 36
=> 6.y = 0,74
z + 6z = 150°10'z = 1500
10' .=> 6z = 10' ==> 6z = 60' • 0,017 = 0,003
Substituindo na CD >
=> ..j (3,86)336,74 sen 1500 10' '" ..j 43 . 36 sen 1500 +~
sen 30°
3· 42• 36sen1S0° (-O 14) + 43sen150° 074 +
+ 2 ..j 43 . 36 ' 2 ..j 43 . 36 '
+ (v'43 '36 cos 150°) 0,003
13 . 16 . 36 .-)(3,86)336,74 sen 150° 10' ::::::23 • 6 . ; + .2
•. 2 • 23 • 6
64 • 1.. (-0,14) + 2_ . 0,74 + 23 • 6 . _V3_3. 0,003
2 . 23 . 6 2
)(3,86)336,74 sen 150010' ::::::24 - 1.26 + 0,246 + 0,125
) (3,86)336,74 sen 150010' ::::::23,111
PI'it Ul Calcule o valor aproximado do número (0,998)4.003.
Solução: A função é do tipo z = xY
1. Fórmula:
f(x + 6.x, y + 6.)) ::::::f(x, y) + dz
2. Substituição de f:
(x + 6.xY'+6y ::::::xY + dz
3. Determinação de dz:
az azdz = -::- 6x + - 6yox ay
[
~=YXY_1axDe z = xY =-==--=--> dz = yxY -1 6.x +
az Y- = x Qnxay
+ (xY Qnx)b.y ==> (x + b.x)Y+6Y :::: xY +- yxY-1b.x +
+ (xY Qnx)b.y CD4. Adaptação ao exercício:
x + b.x = 0,998x = 1
====>: b.x = - 0,002
y + b.y = 4,003Y =4
--> 6.y = 0,003
Substituindo na CD(0,998t,003:::: 14 + 4 • 13(-0,002) + (l4Qn 1)0,003
'--.r-"O
(0,998)4,003 :::: 1 - 0,008
(0,998)4,003 '" 0,992
PR 11 Determine a diferencial total, de 2? ordem da função z == x3 + 2 x2y -- 4xy2 - 2y3.
Solução:
d2z == (az dx + az d ) 2 = a2z (dx)2 + 2 ~ dx d +ax ay Y ax2 axay Y
+ a2z (d .)2ay2 Y
d2z = (6x + 4y)(dx)2 + 2(4x .- 8y)dxdy - (8x + 12y)(dyi
xPR 12 Calcule a diferencial total de 3? ordem da função z =!.-.ye
Solução: A fórmula de d3z é:
d3z = [az dx + az d ] 3 = a3z (dx 3 + 3. a3z . (dx)2d . +ax ay Y ax3) ax2ay y
+ 3. a3z dx (dy)2 + a3
z (dy)3axa2y ay3
. xDeterminemos as derivadas de 3~ ordem da função z = ey = eX - y
e
.. az _ x-y r- - e 1ax
ay
Determine as diferenciais totais de 1~ordem em cada caso:
PP1 z = e2n J 2xseny-y2
Resp.: dz = (seny)dx + (x cosy - y)dy.J 2x seny _ y2
x+yz~sen-.--1 + xy
Resp.: dz = [ 1 - y2 cos(1 + xy)2
.x + Y ] dx + [ 1 - x
2x '+ y ] d
1 + xy (1 + xy)2 cos 1 + xy . Y
x-yz=x + Y
R . d - 2 y dx - 2 x dyesp.. z - (x + y)2
pp4 W = xyeZ- xzeY + yzeX
Resp.: dw = (yeZ- zeY + yzeX)dx + (xeY - xzeY + zeX)dy +
+ (xyeZ- xeY + yeX) dz
PPs )Na medida da aceleração da gravidade usou-se a fórmula T = 217' fi,. Vg'tendo o comprimento Q do pêndulo medido 1 m, com erro de 0,01 cm, e operíodo da oscilação 2 s com erro de 0,001 s. Calcule o erro percentualcometido em g.
Resp.: 0,9% ," - ....•.• , ,......•..•
, "
PP6 Na medida da distância dos pontos A e B, em virtude do obstáculo O, foinecessário medir as distâncias AC = 150 m e BC = 200 m, perpendiculares,com erros de 1% e 2% respectivamente. Determine o erro absoluto emAB = z e o erro percentual em a.
daResp.: dz = 4,1 m e 100 - = 2,2%a
PP7 A área de um losango foi medida, determinando-se as medidas de suasdiagonais. A diagonal maior mediu 100 cm com erro de 0,002 e a diagonalmenor 50 cm com erro de 0,004. Calcule o erm absoluto cometido na áreado losango.
Resp.: 15 cm2
PPs Na determinação da medida do volume de um cone foi cometido um erro emvirtude dos erros de 2 • 10-3 e 1 . 10-3 cometidos, respectivamente, nasmedidas do raio e da altura. Calcule o erro percentual no volume.
Resp.: 0,5%
PP9 Na medida do pe;íodo de oscilação de um pêndulo (T = 2" A)cometeu-se
um erro motivado pelos erros cometidos nas medidas do comprimento Q e daaceleração g,que foram de 0,001 e 0,002, respectivamente. Calcule o errorelativo em T. .
PP 1. Calcule o erro relativo cometido na medida do volume de um paralelepípedoretângulo, sabendo-se que nas medidas de suas dimensões foram cometidos oserros de 0,02; 0,04 e 0,04, respectivamente.
Resp.: 0,10
sen 29° 55''Pu Calcule o valor aproximado de tg 45° 30'
Resp.: 0,4903
PP12 Calcule o valor aproximado de -y!57 cos 59° 50'. Sugestão: O númeroquadrado perfeito bastante próximo de 57 é 56,25. '
Resp.:· 3,793
24,93681,082 .
Resp. 0,5545
PP14 Calcule o valor aproximado de .J (4,99)3 - (2,02)2.
Sugestão: x + 6.x = 4,99Y + 6.x = 2,02
Resp.: 10,96
x=5y=2
PP1S Calcule o valor aproximado de sen 290 cos 610•
Resp.: 0,235278
j 1 +x(I + y)(1 + z)
Sugestão: Faça corresponder a x + D..x o valor 1 + x, o que dará D.x = 1.Proceda da mesma forma para 1 + Y e 1 + z.
Resp.: Ai [1 + ; C - ~ - ~)]PP17 Calcule o valor aproximado de V sen 30° 5' + cos 59° 58'.
Resp. : 1,00055
PP18 Determine a diferencial de 2:(1 ordem da função z = x2seny + y2senx.
Resp.: d2z = (2 seny - y2 senx)(dx)2 + (2 senx - x2 seny)(dy)2 ++ 2(2x cosy + 2y cosx) dxdy
PP19 Determine o diferencial de 2:(1 ordem da função w = eXYz.
Resp.: d2w = wy2z2(dx)2 + X2Z2W(dy)2 + X2y2W(dz)2 ++ 2 w(l + xyz)(z dx dy + ydxdz + x dydz)
PP20 Determine a diferencial de 3:(1 ordem da função z = Qn~.y
2 2Resp.: d3z = 3' (dxY -"3 (dy)3
X Y
PP21 Determine a diferencial de 2:(1 ordem da função w = eX Qn xy.
(2ex eX
) 2exResp.: d2z = eX Qnx + -- - 2 + eX Qny (dx)2 + - dxdy -
x x Y
eX__ (dy)2
y2
4,
j
I'-o .I!
I
FUNÇÕES COMPOSTAS
A esperança e a alegria são remédios preciososna farmácia da alma.
4.1 - FUNÇÕES COMPOSTAS DE UMA VARIÃVELINDEPENDENTE
Neste caso, z depende da única variável t e, para calcular sua derivada :'
podemos eliminar as variáveis intermediárias x e y, fazendo z = /111 (t), /2 (t)] == F(t) e derivar diretamente z em relação à t.
Procederemos de outra forma, sem eliminar x e y, estabelecendo uma regrade cadeia.
Para tanto, no ponto t, atribuamos à variável t um acréscimo D.t. Corres-ponderão os acréscimos ~x e D.y às variáveis x e y, e à função z, o acréscimo D.z.
Assim:
D.x = /1 (t + D.t) - /1 (t)
D.y = /2 (t + D.t) - /2 (t)
Como z = / (x, y) é diferenciável ==>
az az-> D.z = ax D.x + ay ó,y + 771.6.X + 772D.y
~o~o-> o~o
I" f::.z dZ}" 6.x + dZ l' 6.y + I' 6.x + 1 f::.y'1m - = - 1m - - 1m - 1m T'/l - im T'/2 A t!H-O f::.t dX 6t-O 6.t dY 6t-"'0 6.t 6t-o 6.[ 6t-o u'--v---" '----y------" '-----v---" ~-v / '-v-------'
dz dx dy O Odt dt dt
Esta fórmula se estende para o caso de
Z = l(xI, X2, X3, .•. , xn)
onde cada Xi é função diferenciável da variável t:
dz dZ dXl dZ dX2 dZ dxn-=--+--+ +--dt dXl dt dXz dt . . . dXn dt
dz In dZ d:xidt =" dX' d;-
I = 1 1
Exemplos:
E1 Determine a derivada de Z = x3 - 4x2y + xy2 - y3 + 1, com x = sent ey = cost.
Solução: Notamos que
Z = I (x, y) e x = 11 (t) e
=> z = 1[11 (t), 12(t)] = F (t)
Determinamos as derivadas parciais de z em x e y e as derivadas totais dex e y em relação à t
az 2
C ax = 3x2- 8xy + Y
zaz 2 2- = - 4x + 2 xy - 3yay
dxdt = cos t
dy = -sentdt
E2 No exercício anterior, calcule a derivada no ponto t = ~.Solução: Como
~~ = (3x2 - 8xy + y2) cos t + (4x2 - 2xy + 3y2) sen t
calculemos:
1T 1x = sen"6=2"
1T -vf3y=cos-=--
6 2
Sb' 'd dzu StItUlD o em dt' vem:
dz = (3 . 1-_ 8 . 1. . ..j3+ 1)cos 1T +dt \ 4 2 2 4 6
+4 .l._ 2 .l.. v'3 + 3 .1-)sen!!.\ 4 2 2 4 6
dz = (~_ 2 v'3 + 3) y'3 + (1 _ y'3 + 9) . .l-dt \4 4 2 \ 2 4 2. .
dz =~. y'3 -2y'3 . ..j3 +.!i .1._ V3 . .l-dt 4 2 2 4 2 2 2
dz = 3 v'3 _ 3 + 13 _ v'3 )dt 4 8 4dz 2..j3 11-=----dt 4 8
_dz = _4 •..•...Y3_3_-_I_I__ o dz = _(11 - 4 Y3)dt 8 --.> dt \, 8
F 3 Derive w = eXYz, com x = 2 t, Y = 1 - t 2 e z = 1 + t.
Solução: Como vemos, w = f (x, y, z) com x = fI (i); y . f2 (t) e z == f3(t). Então,
w = f (fI (t), f2 (t), f3 (t)] ==> w = 'P (t)
Logo:
dw = aw dx + aw dy + aw dz CDdt ax dt ay dt az dt
aw' dx- = yzexyz -=2ax dt
aw !!z = -2tw - = xzexyz eay dt
aw xy dz-=xye Z -= 1az dt
Substituindo em CD =>
dw==> - = 2yzexyz - 2 txzexyz + xyeXYzdt
dw = eXYz (2yz - 2 txz + xy)dt
4.2 - FUNÇÕES COMPOSTAS DE 2 OU MAIS VARIÃVEISINDEPENDENTES
Seja a função z = f (x, y) uma função diferenciável e suponhamos x == f1 (s, t) e y = f2 (s, t), também diferenciáveis.
Neste caso, z depende das variáveis s e t e,. para calcular suas derivadas". az az d 1" ., . . d"' . f dparcIaIs a:; e ai' po emos e lmmar as vanavelS mterme lanas x e y, azen o
z = fft1 (s, t), f2 (s, t)] ==>- z = F(s, t)
e derivar z, parcialmente, em relação à variável s e em relação à t.Procederemos p~la regra de cadeia:
az = az ax + az ayas ax as ay asaz = az ax + az ayat ax at ay at
Exemplo:
z = senxy + eX-Y,
onde x = p sen O e y = p cos O.
Solução:
z = f(x, y),
onde x = fi (p, O) e y = f2 (p, O) --> z = F (p, O).Logo:
az = az ax + az ayap ax ap ay apaz = az ax + az ayao ax ao ay ao
CD
Determinemos as derivadas parciais de z em relação às variáveis x e y e as derivadasparciais de x e y em relação às variáveis p e O.
C~~= y cosxy + eX
-Y
z = senxy + eX-Y
az X-Y- =xcosxy - eõyC élx= sene C ély= coseélp élp
x = pscne y = pcoseÔX ôyãe=pcose ae= -psene
Substituindo nas fórmulas CD -->
;~ = (ycosxy + eX~Y)senO + (xcosxy - eX-Y)cosO
~; = (ycosxy + eX-Y)pcosO - (xcosxy - eX-Y)psenO
Admitamos a função w = f(x y, z) com x = fi (p, O), Y = f2(P, O) e z = f3(P, O),todas diferenciáveis.
w = f Ifl (p, 0),12, (p, O), f3 (p, O)] --> w = F (p, O)
As d . d .. d - aw aw . al ul denva as parCIaiS e w sao a p e ao ' aSSIm c C a as:
Já a função z = f (x, y), onde x = fI (p, (J, a), y = f2 (p, O, a), todas diferen-ClavelS==>.z = f ftl (p, O, a), f2 (p, O, a)] --> z = F (p, O, a) e suas deri-vadas parciais:
az = az ax + az ayao ax ao ay ao
az = az ax + az ayaa dX aa ay aa
Como vemos, mediante esta regra, podemos estabelecer fórmulas de deri-vação, qualquer que seja o número de variáveis independentes.
Exemplo: Determine a~ derivadas parciais de z = 2x2y - 4xy'2 - y3, ondex = p2 Osen a e y = pO cos 2 a.
Solução: Em última análise, z = F (p, O, a). Então, suas derivadas parciaisaz az az . ,ap' ao e aa podem ser calculadas pelas formulas
az = az ax + az ayap ax ap ayap
az = az ax + az ayao ax ao ay ao
Calculemos as derivadas parciais de z em relação às variáveis x e y e as derivadasparciais de x e y em relação às variáveis p, O e a.
az 2-. = 4xy - 4yaxa .-.!... = 2 x2 - 8 xy - 3y2ayaxap = 2pOsena ay = O cos2aap
ay- = pcos2aao
ax 2- = p senaao
ax 2-= P Ocosaaa ay = -2pO sen 2aaa
Exemplo:
z = senxy + eX-Y,
onde x = p sen O e y = p cos O.
Solução:
z = I(x, y),
onde x = 11(p, O) e y = 12(p, O) --> z = F(p, O).Logo:
az = az ax + az ayap ax ap ay apaz = az ax + az ayao ax ao ay ao
CD
Determinemos as derivadas parciais de z em relação às variáveis x e y e as derivadasparciais de x e y em relação às variáveis p e O.
C~~= y cosxy + eX
-Y
z = senxy + eX-y
ÕZ x-y- =xcosxy - eõy
(
õX=sen8 ( õy =cos8õp õp
x = pscn8 y = pcoseõX õy- = p cose - = - p sen eõe õe
Substituindo nas fórmulas Q) ==>
~~= (y cosxy + eX~Y)sen O + (x cosxy - eX-Y) cos O
~~ = (ycosxy + eX-Y)pcosO - (xcosxy:"'- eX-Y)psenO
Admitamos a função w =I (x y, z) com x = 11(p, O), Y = 12(p, O) e z = /3 (p, O),todas diferenciáveis.
w = / [(1 (p, 0),12 (p, O), 13 (p, O)] ==> w = F (p, O)
As d . d .. d - aw aw . al ul denva as parCl3.1Se w sao a p e ao ' assun c c a as:
Ooz= (4xy - 4y2)2pOsena + (2x2 - 8xy - 3y2)Ocos2ap •
4.3 - DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES COMP9STAS
Vimos, no capítulo anterior, que dada a função z = f(x, y) com x e yvariáveis livres, sua diferencial
oz ozdz=-dx+-dy
ox oy
Admitamos que x e y sejam funções diferenciáveis das variáveis independentesp e O.
Assim, x = fI (p, O) e y = f2 (p, O) -->
==> z = f [(1 (p, O), f2 (p, O)] ===>" Z = F (p, O)
Então a diferencial
dz = oz d + àz dOop p 00 CD
dx = ox d + ox dOop P õ'e
dy = oY dp + oy dOop 00 ®Multipliquemos a 0 por ~~ e a 0 por ~;:
OZ dx = OZ OX d + oz ox dOOX OX op p ox 00
OZ d = az ~ d + az ~ dOay Y ay ap p ay ao
Somanrfo membr-o a membro
az dx + az d = (az ax + az ~) d + (az ax + az ~) deax ay lY ax ap a~ ap p ax ae ay ae'---v'---/' v ,/ \ V' j
az az 6l1"\dz = ap dp + ae de ~
Exemplo: Determine a diferencial de z = xy - 4 x2 onde x = p sen ~ ey = p2e.
az- =y - 8xaxax- = seneap
az-=xay
ax- = pcos()ae
az dz dx dZ ay- = - - + - - = 0' - 8 x) sen () + x 2 p()dp ax ap ayap
az az ax az ay 2- = - - + - - = (y - 8 x) p cos () + xpae ax ae ay dedz = [0' - 8x)sene + 2pexld~ + [0' - 8x)pcos() + p2X] de
4.4 - FUNÇÕES IMPLíCITAS
Tomemos a função y =f (x) definida implicitamente pela equação F (x, y) == O. Podemos escrever tal equação C01l}.O F [x, f (x)] = O, portanto o 19 membroda equação dada é uma função de x que é constante (igual a zero). No estudodestas funções no Volume I, demos um tratamento prático. Tomemos um exemplo2xy3 + y2 + y ~ 4x2 - x + 2 = O.
Derivamos a função considerando y = f (x), então a parcela 2 xy3 derivamoscomo produto, y3 como função de função.
Assim:
2y3 + 2x 3y2 dy + 2y dy + dy - 8x - 1 = Odx dx dx
aaz = (4xy - 4y2)2pOsena + (2x2 - 8xy - 3y2)Ocos2ap •
4.3 - DIFERENCIAÇÃO DE FUNÇÕES COMP9STAS
Vimos, no capítulo anterior, que dada a função z = f(x, y) com x e yvariáveis livres, sua diferencial
az azdz=-dx+-dyax ay
Admitamos que x e y sejam funções diferenciáveis das variáveis independentesp e O.
Assim, x = fI (p, O) e y = f2 (p, O) -->
==> z = f VI (p, O), f2 (p, O)] ==> Z = F (p, O)
Então a diferencial
dz = az d + ~dOap p ao CD
dx = ax d + ax dOap P nO
dy = ay dp + ay dOap ao ®Multipliquemos a (3) por ~~ e a ® por ~;:
az dx = az ax d + az ax dOax ax ap p ax aoaz d = az ~ d + az ~ dOay Y ay ap p ay ao
Somanrio membr-o a membro
az dx + az d = (az ax + az ~) d + (az ax + az ~) deax ay Y ax ap a;: ap p ax ae ay aeV
/ ,V
J /V
dz az az- -ap ae
az azdz = - dp + - deap a8
Exemplo: Determine a diferencial de z = xy - 4 x2 onde x = p sen (j ey = p28.
az- =y - 8xaxax- = sen8ap
az-=xayax- = pcoseae
az az ax az ay- = - - + - - = 0' - 8 x) sen e + x 2 peap ax ap ayap
az az ax az ay _ 2ae = ax ae + ay a8 - (y - 8x)pcose + xp
dz = [(y - 8x)sene + 2p8xlélp + [0' - 8x)pcos8 + p2x]d8
4.4 - FUNÇÕES IMPLíCITAS
Tomemos a função y =f (x) definida implicitamente pela equação F (x, y) == O. Podemos escrever tal equação corno F [x, f(x)] = O, portanto o 19 membroda equação dada é uma função de x que é constante (igual a zero). No estudodestas funções no Volume I, demos um tratamento prático. Tomemos um exemplo2xy3 + y2 + y ~ 4x2 - x + 2 = O.
Derivamos a função considerando y = f(x), então a parcela 2xy3 derivamoscomo produto, y3 como função de função.
Assim:
2y3 + 2 x 3 y2 dy + 2y dy + dy - 8 x-I = Odx dx dx
Coloquemos : em evidência:
(6xy2 + 2y + 1) : + (2y3-_ 8x - 1) = O
2 ) dy (3 8 )(6 xy + 2y + 1 - = - 2y - x-Idx .
dy = _ 2y3 - 8 x-Idx 6xy2 + 2y + 1
aFdy _ axdx - - aF
ayCom o estudo das funções compostas estamos habilitados a dedüzi. esta fórmula apartir do exemplo genérico F [x, y] = O.
Assim:,
d aF dx aF dydx F [x, y] = axdx + ay dx= O (lembremo-nos que y = f(x))
'-v-"1
aF + aF !lJ!... = Oax ay dx
aF dy aFay dx = - ax
aFdy = _ axdx aF
ay
Tomemos z = f (x, y) definida implicitamente por F (x, y, z) = O, diferenciável.Como z é função de duas variáveis independentes, ela admitirá 2 derivadas
.. az az D .parcIaIs ax e ay' etermmemo-Ias:
y constante emrelação ax
~
~ F (x y z) = aF dx + aF ay + aF az = Oax " ax dx ay ax az ax
~ '---y--/
1 Ox constante em
relação ay~
~ F (x z) = aFax + aF dy + aF az = Oay ,y, ax ay ay dy az ay
~ '-v-'O 1
aFaF + aF az = O __ > _az= __ax_ax az ax ax aF
azaF
aF + aF az = O > az = _ ayay az ay ay aF
az
Exemplo: Derive 2x2yz - 4xy2z2 + 6xz3 - 4 yz + 1 = O.
S I - D . aF aF aF E d d· - d 2o uçao: etermmemos ax' ay e az' m ca a envaçao estas, as outras
variáveis são consideradas constantes.
aF = 2x2z _ 8xyz2 - 4zay
~~ = 2x2y - 8xy2z + 18xz2 - 4yv ••
aFaz ax- -- - ----ax aF
az
4xyz - 4y2z2 + 6z3
2x2y - 8xy2z + 18xz2 - 4y
oFoz _ õY _ 2x2z - 8xyz2 - 4zoy - - oF - - 2x2y - 8Xy2z + 18xz2 - 4y
õz
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Seja o sistema formado por duas eauações de três variáveis:
{f1 (x, y, z) = O
12 (x, y, z) = O
onde 11 e /2 são funções diferenciáveis.Cada equação representa, como vimos, uma superfície do R3 e o sistema
representa o lugar geométrico dos pontos de R3 comuns às duas superfícies, acurva intersecção das duas superfícies.
Procuremos as derivadas de x e de y em relação a z.Se pudermos resolver o sistema de modo a exprimir cada uma das duas
prime~ variáveis como função da terceira:
x = g (z) e y = h (z),
dx = g' (z)dz
dY=h'(z)dz
Se-não pudermos ou não quisermos explícitar as funções x e y, da variável z,
aplicamos as derivadas parciais de funções compostas na determinação de : e : .
Assim:
r 0/1 dx + 011 dy + 0/1 dz = Oox dz oy dz oz dz--10/2 ri» 0/2 dy Õ/2 dz--+--+--=0ox dz oy dz oz E!
1
af1 dx a/1 dy a/1--+---=--ox dz oy dz azal2 dx + al2 EJ: = _ 012ox dz oy dz az
Sistema de duas equações cujas incógnitas são : e : .
Calcule as derivadas : e : no ponto P (3, 1, 8).
Facilmente explicitamos x e y em função de z.Somando as duas equações, membro a membro, => 2x2 + Z2 = Z + 74
j_z2+ z + 74 .x = 2 . (no ponto consIderado x > O)
Subtraindo ==> - 2 y2 - Z2 = Z - 74
Y_- j~z2 - z + 74. - 2 (no ponto considerado y > O)
10) dx = 1. -2z + 1 = -16 + 1 = _ IS. dz ~2v'-Z2+Z+74 4.J-64+8+74 4.J18
20) E!l. = 1- - 2z - 1 = 1. -16 - 1 _ _ 17. dz 2 2 v' -Z2 - Z + 74 2 2 v' -64 - 8 + 74 4 '\Íf
I ~=_17j2
E D . dx dz ·t d -2 etermmemos dz e dy no SISema e equaçoes
{
X2 + 4 y2 + Z2 - 12 = Ox2 + y2 - 2 z - 1 = O
no ponto A (2, 1, 2).
Apliquemos as derivadas parciais de funções compostas.
à/1 dx à/1 dy à/1--+--=--àx dz ày dz õz
àlz dx + àlz ~ = _ àlzàx dz ày dz àz
2X: + 8y: =-2z
dx dy .2x dz + 2y dz = 2
No ponto A (2, 1, 2)
4 dx + 8 dy = -4dz dz
4dx+2El.=2dz dz
Subtraindo - > 6 t = - 6 > I t 1 I >1 ~~ 11
Substituindo na 2~ ddzY por - 1 ==.> 4 _dx - 2 '2 ==> I dx 1 Idz dz
PR1 Derive z = xZy - 4, onde x = senO e y = cosO.
Solução: Como z = I(x, y), onde x = /1(0) e y :- Iz(O) ==>" z == 1[(1(0),/2(8)] > z = F(O).Então
dz àz dx àz dydO = àx dO + ày dO
C àz = 2xyàx
zàz 2- =xày
dx- = cosOdO
!!l... = - sen OdO
dzdO = 2 xy cos O - x2 sen O
~PR2 Determine a velocidáde angular do vetar posição OP, sendo O (O, O) e P(x, y),
com x = 1 - 2 t2 e y = 4 + t2, no instante t = 1 s.
Solução:
{X=1-2=-1
No instante t = 1 S ====> --> P(-l, 5)y=4+1=S
A velocidade angular do vetar oP é w = ~~'
derivada do ângulo O em relação a t, por sero ângulo descrito na unidade de tempo.
Da figura, tiramos tg O = L ==> O =X
= are tg L.x
Como y = g (t) e x = h (t) e O =f (x, y) >==-> O = f fg (t), h (t)] ==> O = F (t).
dO ao dx ao dyw::;;-=--+--dt ax dt ay dt
J:= -4t
1dy = 2tdt
W ====>: W = dO = 4 ty + 2 txdt x2 + y2 x2 + y2
_4ty+2tx diw- 2 2 r s
x + Y
{
X = -1No instante t = 1, >
y = 5
4 . 1 • S + 2 . 1 (- 1)>w=---------1 + 2S
18w = 26
9w = - rd/s
13
De um funil cônico escoa água à razão de 36 7T cm3/s. Sabendo-se que age~atriz faz com o eixo do cone um ângulo a = 30°, ache a velocidade comque baixa o nível da água no funil, no instante em que o raio da base dovolume líquido for igual a 4 cm.
Solução: Consideremos um corte ABC do funil.B 7TR2h
O volume do funil é V = -3-' Logo, V =
= f(R, h), porém R = fI (t) e h = f2 (t),pois onível baixa com o. tempo, variando a altura e oraio conforme t.
dV = av dR + av dh CD (velocidade de variação do volume)dt aR dt ah dt
av 27TRh-=aR 3
av 7TR2-=-ah 3
Do triângulo retângulo ABD tiramos tg a = ~ ou
o R ..j3 R 3Rtg30 =- >-=- >h=- >h=R..j3h 3 h ..j3
avaRNo instante em que R = r = 4 cm ==> h = 4 -J3 cm,
27T • 4 • 4 ..j3 327T..j3 av 7T. 16 161T- 3 = 3 e ah = 3 = -3-
Como, ~~ = 36rrcm3/s, substituindo na CD, vem:
36rr = 32rr .v3 dR + 16rr dh3 dt 3 dt
h = R . ;-:::;-3 ===> dh = ;-:::;-3 dR === dR 1 dhV.:J dt V.:J dt > -dt =-y'3-3 -dt
36rr = 32 rr>p? 1 dh + 16rr dh3 ~dt 3 dt
108rr = 48rr dhdt
dh 108 1T dh 9 . .dt = 48 rr ---> dt = 4" cm/ s, velocIdade com que baixa a altura do
líquido no funil, no instante em que r = 4 cm.
PR4 Determine a velocidade de variação do volume de um paralelepípedo retân-gulo, sabendo-se que as arestas da base crescem à razão de 2 cm/s cada umae a aresta vertical decresce à razão de 1 cm/s, no instante t, em que asarestas da base mediram 30 cm e 20 cm e a vertical 60 cm.
Solução: V = xyz, logo:
V = f(x, y, z) e x = g (t), Y = h (t) e z = i (t)
~----------- --/'~~
Por outro lado, a velocidade de variação do volume é
dV , d ddt ' que nos e a a por
dV = a V dx + a V ~ + a V dzdt ax dt ay dt az dt CD
dx dy- = - = 2cm/sdt dt
dze dt = - 1 cm/s (velocidade decrescente)
av-=yzax av = 20 X 60 = 1.200 em2
aXt
av-=xzay
av-=xyaz
av- = 30 X 60 = 1.800 em2
aYt
av- = 30 X 20 = 600 em2aZt
Substituindo na CDc;:; = 1.200 • 2 + 1.800 • 2 + 600(-1)
c;:; = 2.400 + 3.600 - 600
dVdt = 5.400 cm3/s
PRs Os lados de um triângulo em certo instante mediram 60 cm, 40 em e 70 cm.Sabendo-se que os dois primeiros crescem à razão de 1 em/ s-1 e 2 cm/ ç 1,
respectivamente, e o 3Q decresce à razão de 2 cm/ç 1, determine a veloci-dade de variação do ângulo formado pelos 2 primeiros lados, no instanteconsiderado.
C Solução:
dx = I cm/s-1
dtd)!e - = 2 em/s-1
dt
dz 2 /-1dt = - em s
Fig.4.4.
Do triângulo ABC, através da lei dos eo-senos, tiramos:
Z2 = x2 + y2 - 2xy cosa CDDo problema, concluímos que a =f (x, y, z), sendo x, y e z variáveis funçõesde t, logo a = F(t)
Da CD tiramos
x2 + y2 _ Z2 x2 + y2 _ Z2cosa = 2 ==> a = arccos 2xy xy
dcx = acx dx + acx dy + acx dzdt ax dt ay dt az dt
acx 1 4x2y - 2y(x2 + y2 - Z2)
-ax- - - } _ (X'+2~~ - zy , 4_X:y2
u~v - uv~v2
..No instante considerado t
acx 1 4 • 3.600 • 40 - 2 • 40 • 300-ax = -) _ ( 300)2 4 . 3.600 • 1.600 -
1 4.800
1 576 - 24- --;;::===
j~56 - 1 360 • 64256
23- -60V25S
a cx 16 4, 60 • 1.600 - 2 • 60' 300 29-= - --ay ..J255 4 . 3.600 . 1.600 120..J255
acx 16 70 7- -az ..J255 60 • 40 15 V25S
dcx 23. 1 _ 29 • 2 + 7 (_ 2)dt = - 60 Vill 120 Vill 15 Villdcx -46 - 58 - 112
-dt .120 Vill
da 216-=-----dt 120..j255
da = _ 9 rd S-1dt 5..j255
o ângulo a, no instante considerado, decresce à razão de Jm rd ç1.5 255
PR, D~ive z = t'tgy, onde x = p2 - 4 e y = 3p.
Solução: Concluímos que z = f(x, y), onde x = f1 (p) e y = f2 (p) do queresulta
dz = oz dx + oz dydp ox dp oy dp
Achemos as derivadas parciais de z em x e y e as derivadas totais de x e y em p.Preparemos a função: F. P. > Z = (tgy)1/x.
~z = (tgy)1/X (-~)Qn(tgy) (derivada de funçãox \ x , exponencial de base
a)z = (tgy)l/X
OZ =.1 (tgy)(l/X)-l sec2y (derivada de potência daoy x tgy)
dxdp = 2p
Aplicando a fórmula CDdz = [_ Vtgy Qn(tgy)] 2p + [.1(tgy)1/x-isec2y] 3dp x2 X
dy = 3dp
(tgy)<1/X)-1 = (tgy)(l-X)/X = (tgy)-(X-1)/X = 1 _(X-l)
(tgy) x
1-V (tgy)(X-l)
dz _ 2p X~t o (t ) + 3sec2y- - - - V 19y X.n gy ---dp x2 X ~ (tgy)(X-l)
eKx (v - z)PR7 Derive J.1. = 2 ' onde y = K senx e z = cosx e K constante.
K + 1
Solução: Derivemos como função composta.Numa 1~ análise J.1. = [(x, y, z), mas x = x (x), y = y (x) e z = z (x), então:
J.1. = F(x)
dJ.1. = a J.1. dx + a J.1. dy + a J.1. dzdx ax dx ay dx az dx
a J.1. _ KeKx (v - z)ax - K2 + 1
aJ.1. = eKx
ay K2 + 1
dx-= 1dx
dy = Kcosxdx
dzdx = -senx
Aplicando a fórmula de : ====->
dJ.1. _ eKx
dx --- (Ky - Kz + K cosx + senx)K2 + 1
Substituindo y e z pelos seus respectivos valores -->
dJ.1. eKx==.> - = --- (K2senx - K cosx + K cosx + senx)
dx K2 + 1
$ e~ efidx = 2 (K2senx + senx) = 2 senx (K2 + 1)
K + 1 K + 1
dJ.1. = eKx senxdx
PR~ Determine a diferencial de z = senx + cosy com x = 2p e y = 1 _ p2.
Solução:
z = f (x, y) > z = F (p)
dz = (az dx + az dY) dax dp ay dp p
[az = cosxax
De z = senx + cosyaz- = -senyay
dx = 2dp
gz = -2pdp
PR9 Determine a diferencial de w = xeYz com x = pe, y, = p - e e z = 2 p + e.
Solução: w = f(x, y, z) > w = F (p, e).
- aw aw CDEntao, dw = ap dp + ae de 1
aw = aw ax + aw ay. + aw azap ax ap ay ap az ap
aw = aw ax + aw ay + aw azae ax ae ay aB az ae
x [~~ = eaxao = p
aw Y- = xze Zay Cay = 1ap
yay = -1ae
c~;= 2
z az = 1aeEntão dw = (e +xz + 2xy)eYz dp + (p -xz +xy)eYz de.
aw- = xyeYzaz
. az azPRlO Se z = f(x - y, y - x) venfique que ax + ay = o.
Façamos x - y = t => Y - x = s.Então,
z=f(t,s) e t=fl(X,y) e S=f2(X,y)
Então:
az '(
[
a-=fr t,s)De z = f(t, s) . t
az ,as = fs (t, s)
at 1
[ax=
e de t = x - y
~= -1ay
Aplicando CD ====>
az , ) 1"' )ax = fr (t, s - J S (t, s
az , ,ay = - fr (t, s) + fs (t, s)
aFdy _ axd:x - - aF
ay
aF
C-=yXQnyax
FaF _ X-I 1--xy -ay
dy =_dx
yXQny
yXx--ly
dy = _ yyX Qny = _ yX + I Qny
dx xyX _ Y xyX _ Y
dy =_dx
dy = yX+IQnydx y _ xyX
PRI2 Determine : sendo 1 + xy - Qn (exy + e-xy) = O.
Solução: Como vimos:
aFdy _ axd:x - - aF
ay
CaF = y - yexy_ ye-xy = yexy + ye-xy - yexy + ye-xy = 2ye-xy
ax eXY + e-xy eXY + e-xy eXY + e-xy
F aF = x _ xexy - xe-xy = xexy + xe-xy - xexy + xe-xy = 2xe-xy
ay eXY + e-xy eXY + e-xy eXY + e-xy
Aplicando a fórmula:
2ye-xy
dy = _ eXY + e-xy = _Ldx 2xe-xy x
eXY + e-xy
I dy - Y Id:x x
PR13 Dada a equação x2 + y2 - Z2 - 4xy - 2x - y = O, determine ~: e ~;.
Solução: Vimos que dada F (x. Y. z) = O temos
aFaz axax - - aF
az
aFaz _ ayay - - aF
az
D. . aF aF aFeternunemos poIS ax' ay e az·
aF-= 2x - 4y - 2axaFay = 2y - 4x - 1
aF = -2zaz
az 2x - 4y - 2 = x - 2y ~ 1ax - - -2z z
az 2y - 4x - 1 _ 2y - 4x - 1ay - - -2z - 2z
PR'4 Dada a equação x2 + y2 = 16, determine .:; e ~;~.
Solução: De x2 + y2 = 16 ====> x2 + y2 - 16 = OProcuramos
aFdx _ aydy - - aF
ax
. aF aFDetcrnunemos ay e ax
aFF C ay = 2y
aF-=2xax
dx = _ 2y ==> dx = _Ldy 2x dy x
PR1S Determine as equações das retas tangente e normal à curva x2 + y2 = 25 noponto T(3, -4).
Solução: Sabemos da geometria analítica que a equação
de (t) y - Yl ='a(x - Xl)
1-de (n)Y - Yl = --(x - Xl)a
onde a = :.Então (t) Y + 4 = a (x - 3)
e (n) Y + 4 :.- - ..!..(x - 3)a
aFdy axCalculemos a = - = ---dx aF
ayaF"-.c ax = 2X__ 2x xPartindo de F ==---:. aF --:> a = - -2y-= - y =-=2y
. . ~ 3 3= - -4 ="4Substituindo em (t) e (n) a por :.
3tangente (t) y + 4 ="4(x - 3) :> 4y + 16 =
= 3x - 9 ==:> 3x - 4y - 25 = O
.•. " 4normal (n) y + 4 = - 3" (x - 3) :> 3y +_12 =
= -4x + 12 ==> 4x +3y = O
· d2y d 3 2 2PR16 Determme dx2 sen O x - 4 Y = 12.
aF'
Solução: Calculemos : = - ~~
ay
Partindo de F===="> C~~= 6x > dy = _ ~aF dx -8yay=-8y dy 3x
>-=-dx 4y
S h dy d I t- t ' d . d2y , 1/e c amarmos dx e y , en ao nos res ara etermmar dx2 que e y .
I 3xComo y = 4y , resulta
y" = ~(~~)
Lembrando-nos que y é função de x, devemos derivar ~; como quociente.
/IY =I I
UV - uvV2
3 • 4y - 3x • 4 • dy/I dx dy I 3x
y = - ----1-6-y-2---' mas dx = Y = 4Y
12y - 12x/Iy =-
3x.-4y _9x2
12y --y
16y216y2
/I _ 12y2 - 9x2
Y - - 16y3
12~
/I -3(3x2 - 4y2) .Y = - pOIS16y3
a equação dada é 3x2 - 4y2 = 12. Então,
FUNÇÕES COMPOSTAS
" _ 3 • 12 --> I" 9 Iy - 16y3 -- Y - 4y3
2PP1 Derive z = x tg Y onde x = pef) e y = p2e2f).
Derive z = xy , onde x = J12 + V2 e y = J12 - V2.x2 + y2
PP3 Derive z = x + y2, onde x = p2 + senO e y = Qn(p + O).
az _ 2y
[ap - 2p + p + O
Resp.:az 2yae = cos O + P + O
PP. Derive z = J: : ;, onde x = -COSfJ e y = cosv.
Res . az = sen J1 e az = J 1 .+ x sen vp. . a J1 2 J (1 + x)(1 + y) av 2 (1 + y) J 1 + Y
PP5 Em certo instante as diagonais de um losango mediram 20 cm e 10 cm.Determine a velocidade de variação da área do losango, no instante conside-rado, sabendo-se que a diagonal maior decresce à razão de 0,5 cm/s e amenor cresce à razão de 1 em/ s.
dAResp.: dt = 7,50 em2/s
pp 6 Um ponto se desloca sobre a esfera x2 + y2 + Z2 = 49, ao longo da circun-ferência do círculo máximo da esfera para a qual x = 2 sen t e y = 7 cos t -- 3, onde t representa o tempo.Detemilne a velocidade de ascenção· do ponto no instante em que suascoordenadas são (2, - 3, 6).
dz 7Resp.: dt = - 2"
PP7 Num instante t, as coordenadas de um ponto móvel P são x = 1 - 4 t2ey = 6 + 4t2
• -+Ache a velocidade angular do vetor OP, no instante t = 0,5 s.
dO 4Resp.: w = dt =7rd/s
PPs A altura de um cilindro circular reto mede 50 cm e o raio da base 20 em. Aaltura decresce à razão de 4 em/s, enquanto o raio da base cresce à razão de1 cm/s. Calcule a velocidade de variação do volume do cilindro no instanteem que foram medidos o raio e a altura.
dVResp.: dt = 400ll'cm3/s
PP9 O ângulo A de um triângulo decresce à razão de 2°/ s enquanto os lados AB eAC estão crescendo à razão de 2 cm/s e de 3 em/s, respectivamente.Calcule a velocidade de variação da área do triângulo no instante em queAB = 8 cm, AC = 5 cm e  = 60°.
Resp.: 14,36 cm2/s
PP 10 No problema anterior, calcule a velocidade de variação do lado BC noinstante considerado.
Resp.: 4,26 cm/seg
PPu Se Z = ~n~, onde x = 11.2+ V2 e y = Jl2 - V2, determine dz.y
R dz 2Jl(y-x)d +2v(Y+x)desp.: = Jl - vxy xy
PP12 Dada a função z = x3 - x2y + xy2 - y3, onde x = cos a + sen {3 e y =
= sen a + cos {3, determine dz no ponto a = ;e {3 = - ~.
3V3+9 3Y3-9Resp.: dz = - . 2 da + 2 d{3
_ xy yz x az azPP13 Dada a equaçao e - e + ze - 1 = O, calcule ax e ay'
õz yexy + zex õz xeXY - zeYzResp.: - = ---- e - = -----õx yeYz _ eX õy yeYz _ eX
Dado arc tg L - 2n (x2 + y2) = O, calcule dxdY •. x. dy _ 2x + y
Resp.. dx - - -x + 2y> ~\.--_._., .. _~._--
pp 15 No exercício anterior deterrnine a equação da normal à curva representadapela equação no ponto T (1, O).
Resp.: x + 2 y - 1 = O
PP 16 Determine as derivadas parciais de z, dada a função z = f (x, y), defmidaimplicitamente por x2 + 2xz + y2 - 3z2 + 4xy = O.
. õz _ x + z + 2y
C õx - - x - 3zResp.: z
õz _ y + 2xõy - - x - 3z
PP17 Dada a superfície x2 + y2 - Z2 - xy = O, deternrlne a equação do planotangente a ela no ponto T (- 1, O, 1).
Resp.: 2x - y + 2z = O .
PP18 Determine a equação da tangente à curva 2xy - 2ex seny + 1 = O no
ponto T (o, ~j.1T-3 1T
Resp.: y = 3..J3x +"'6
PP19 Determine no sistema
{
X2 + y2 + Z2 - 14 = O
2x2 + 3y2 + Z2 - 20 = O
dx dydz e dz no ponto P (2, 1, 3).
Resp.: : = -3 e!frz = 3
PP20 Dada a equação x2 + y2 - 36 = O, determine d2; .
dx
d2y 36Resp.: --2 = --3
dx Y
(~
, ',,--._,,\J.
5MÁXIMOS E MíNIMOS
Trabalharpelo mundo melhor é nosso dever detodos os instantes, construindo igualmentesantuários de amor e paz.
Sendo z = f(x, y) uma função definida e contínua na região D C R2,
dizemos que a função f assume um valor máximo em Mo(xo, Yo) E D se, esomente se, numa vizinhança V de Mo, suficientemente pequena, o valor dafunção neste ponto é maior que os valores assumidos por ela nos pontos vizinhosdele e pertencentes a V, isto é,
f(xo, Yo) > f(xo + b.xo, Yo + b.Yo)
No gráfico da função f não pode haver ponto mais alto que o pontoM (xo, Yo, f(xo, Yo))·
De modo análogo, defInimos o mínimo local:
f(xo, Yo) <f(xo + 6.xo, Yo + 6.Yo)
Exemplos:
E1 Seja a função z = 4.- x2 - y2• No ponto Mo(O, O)--> Zo = 4 - 0-- O = 4 o máximo valor de z em R2, pois, qualquer que seja (x, y) ER2 ,
teremos x2 ~ O e y2 ~ O--> _x2 ~ O e _y2 ~ O, portanto,
_x2 - y2 ~ O CDE se somarmos 4 a ambos os membros de (D, resulta
4 - x2 - y2 ~ 4, mostrando-nos que f(fJ, O)>{(i + 6.xo, @ + 6.Ye)
Ez Seja a função z =.2x2 + 2y2.
Solução: No ponto Mo (O, O)==> Zo = O o mínimo valor de z em R2,pois qualquer que seja (x, y) E R2, teremos 2x2 ~ O e 2y2 ~ O, logo,2x2 + 2y2 ~ O, ou seja:
{(O, O) <{(O + 6.xo, O + 6.Yo)
Nas funções diferenciáveis, podemos estabelecer uma condição necessáriapara que em determinado ponto ocorra o máximo ou míni,mo da função.Seja a função z = {(x, y) uma função diferenciável. Se no pontoMo(xo, Yo) E D tivermos o valor de f(xo, Yo), máximo ou mínimo, o pla-no tang~nte à superfície no ponto M(xo, Yo, zo) será paralelo ao .planoxOy e, conseqüentemente, as tangentes tI e t2 serão também paralelas esuas declividadesnulas:
De fato, a equação do plano tangente é
az 3z .z - Zo = - (x - xo) + - (y - Yo)
3xo 3yo
3z 3zComo z = Zo >3xo (x - xo) + 3yo (y - Yo) = O-->
==>·1 aa:. O I e I :;. O IChamamos pontos críticos de uma função diferenciável numa região D
, 1 . d d 1 d . d .. 3z 3z Uaque es cUJascoar ena as anu am as enva as parCl31S-a e ~. fi pontoXo uYo
crítico é também chamado estacionário.Concluímos do que foi exposto que os máximos e mínimos locais de uma
função diferenciável ocorrem em pontos críticos da função. Portanto, geralmentedescobrimos os máximos e os mínimos locais de uma função diferenciávelprocurando seus pontos críticos.
E1 Determine os pontos críticos da função
z = x3 - y2 - 12x + 4y + 2
Solução: Determinemos as funções derivadas parciais de 1ª ordem
[
~: = 3x2- 12
zaz-=-2y+4ay ,
Façamo-Ias iguais a zero
3x2 - 12 = O ==>. x2 = 4 ==» X = ±2
-2y + 4 = 0==>' -2y = -4 ===> Y = 2
~ Determine os pontos críticos de função z = x2 _ y2.
Solução: Procedemos da mesma forma que em Ei.
[
az = 2xaxz az = -2y
ay
o ponto Mo(O, O) é o único ponto crítico da função e não correspondenem a máximo, nem a mínimo local.
Numa vizinhança V deste ponto existem pontos tais como (Eb O) e(O, E2) com El =1= O e E2 =1= o.
Examinemos o comportamento da função nestes 2 pontos.
No ponto (El, O) ==> {(Eb O) = E; + 02 = El > O
No ponto (O, E2) ==. > {(O, E2) = 02 - E22= -E{ <: O
Assim, o ponto (O, O), ponto crítico, não corresponde nem a máximo nema mínimo e é chamado pPJ1to de sela. A função, graficamente, neste ponto temo aspecto de sela de montaria
Tomemos uma função z = f (x, y) diferenciável na região D C R2 e seja oponto Po(xo, Yo) ED um ponto crítico da função.
Como vimos Po é ponto solução do sistema de equações
az = Oax(condição necessária)
az = OayComo z = f (x, y), por mpótese, é diferenciável de classe C2, admite derivadasa2z a2z a2z a2zparciais de 2~ ordem, -2' -2 e -a a = -a a .ax ay x y y x
Com estas derivadas, formemos a função
a2z a2z- --ax2 ayax
H (x,y) = a2z a2z-- -axay ay2
que se chama hessiano da função z = f(x, y).Desenvolvendo o determinante, vem:
a2z a2z a2z a2zH=-------ax2 ay2 axay ayax
a2z a2Z a2Z a2Z (a2z )2Como axay = ayax => H = ax2 • ay2 - axayDeterminemos o valor do hessiano no ponto crítico Po (xo, Yo). Três resul-
tados podem ocorrer:
(a:.2:y.)2 > O e para esta diferença ser positiva,
.. a2z a2z_consequentemente --2 e --2 sao de mesmo sinal.axo ayo
Se a2z
2> O, há mínimo local no ponto Po
axo
Se a2z2 < O, há máXimo local no ponto Poaxo
Para o hessiano nulo nada podemos afirmar sobre o ponto crítico.,
Exemplo: Dada a função z = x2 + y2 - 4 x - 6y + 5, pesquise quantoao máximo e mínimo.
Solução: Procuremos o ponto crítico:
C az = 2x - 4axz
az- = 2y - 6ay
{2X-4=0 \x=21
> I 1===>Po(2, 3)2y - 6 = O . y = 3 .
Cà2Z = 2àx2
àzàx
à2z à2z
ày 2.à z' 2ày2
à2z= 4 > O e como - = 2 > O ====>àx2
Calculemos o valor mínimo da função
z = 2z + 32 - 4 • 2 - 6 • 3 + 5 = 4 + 9 - 8 - 18 + 5 ===:>==> Z =-8
IPm (2,~,-8) INuma função de 3 variáveis, w = f(x, y, z), os pontos críticos são deter-
minados da mesma forma:
àw = Oàx '
àw = Oày
àw = Oàz
àZw àZwàx2' àyz'
àZw à2wàyàz = àzày
A matriz hessiana de f é
àZw azwàxay = ayax'
a2w a2w a2w- --àx2 àyàx àzax
H= a2w a2w a2w-- - --àxày ay2 azaya2w à2w a2w-- --
àxàz ayàz àzz
, . ,;/v,,/-
a2w a2W a2W--axcl aYoaxo azoaxoH3=
a2W a2W a2we --axoayo aycl azoayoa2w .a2w a2w--axoazo aYoazo azcl
Calculamos seus determinantes. Então:
1. Se 6.H1 > O, 6.H'1. > O e 6.H3> O mínimo local no ponto Po2. Se 6.H 1 < O, 6.H'1. > O e 6.H3 < O lnáximo local no ponto Po
Exemplo: DeteInÚne os máximos e os mínimos locais da função w = x +y2 Z2 2+ -4 +- +-, onde x =1= O, y =1= O e z =1= O.x y z
Solução: Condição necessária
aw y2-= 1--ax 4x2
aw y Z'1.
ay = 2x - y2
aw 2z 2az = y - Z2
Y Z2- __ = O ==>: y3 = 2xz2 ==>y3 = yz2 ==>2x y2
==> '-!-Z-=-zz-I ==> I y z 10_~_z__~ = 0===> 2z3 = 2y > 1_~_3_y_10
Comparando @ e ® >
> Z3 = Z => Z2 = 1 >I z = ± 1
Conseqüentemente: da 0 --> I y = ± 1 I e da CD====>-1 x± ~ I
Então: P 1( ;, 1, ~ e P2 (- ;, - 1, - 1) "
Condição de suficiência:Determinemos as derivadas de 2a ordem:
awax
a2w y2-=--ax2 2x3
a2w = _ Laxay 2x2
a2waxaz = (j)
a2w =_2-ayax 2x2
a2w 1 2z2
-=-+-ay2 2x - y3
a2w 2zayaz = - y2
a2w--=0)azaxa2w 2zazay = - y2
a2w =1. +-±-az2 y Z3
No ponto PJ(;, 1, 1) ==>
awaz
a2w a2w a2w---> -=4"-= 3"-ax2 ' ay2 ' az2
a2w a2w a2w a2w--=-- = Oe -- = --=-2axaz azax ayaz azay
!J.H1 = 141 = 4 > O;
-23
-2
O- 2 = 72 - 24 - 16 > O
6
Mínimo local no ponto Pl( ~, 1, 1).
No ponto P2 (- ~, -1, -1) ====>"
a2w a2w a2w a2w a2w==> - = -4;- = -3- - = -6- -- = -- = 2-ax2 ay2 ' az2 ' axay ayax 'a2w a2w a2w a2w--=--=Oe--=--=2axaz azax ayaz azay
!J.H = 1-41 < O·1 '
2
-32
= 12 - 4 > O,
O
2 = - 72 + 24 + 16 < O
-6
'Mínimo local no ponto P2 (- ~, -1, -1).
5.3 - PONTOS EXTREMOS DE FUNÇOES IMPLíCITAS
No caso da pesquisa dos máximos e mínimos locais de funções diferenciáveisdefinidas implicitamente por equações, aplicamos as mesmas considerações.
Exemplo: Estude quanto ao máximo ou mínimo a função x2 + 2y2 -
- 12 x - 4 Y + Z2 - 3 z + 34 = O.
Solução:
C d· - ,. P az azon lçao necessana: rocuremos ax e ay·
aFaz ax 2x - 12ax = - aF = - 2z - 3
azaF
az _ ay _ 4y - 4ay - - aF - - 2z - 3
az
- 2x - 12 = 0--"> 2x - 12= O > x = 62z - 3 --
4y - 4- 2-2' '- 3 = O --'> 4 y - 4 = O >y = 1
-------,/
Para x = 6 e y = 1 =--=-----> 36 + 2 - 72 - 4 + Z2 - 3 z + 34 = O >
=-==--=-_> Z2 _ 3z _ 4 = O =-~_-_>{z= 4z =-1
a2z a (az) a ( 2x - 12)ax2 = ax ax = ax - 2 z - 3
az2(2z - 3) - (2x - 12) • 2 -ax(2z - 3)2
a2z _ a (az) _ a ( 4y - 4)ay2 - ay ay - ay - 2z - 3
4(2z - 3) - (4y - 4) • 2 ~ay(2z - 3)2
_0_2Z_ = _o (_OZ) = _o (__4Y_-_4) = _o (-(4y _ 4)(2z _ 3)-1]oxoy OX oy OX 2z - 3 OX
02Z -2 OZ-ox-o-y= (4y - 4X2z - 3) • 2 -ox
No ponto FI (6, 1, 4)
oz OZ O ( d' - , " )ãX = ãY = con lçao necessana
02Z __ 2 (2 • 4 - 3) _ 2 = __2ox2 (2 • 4 - 3)2 8 - 3 5
02Z _ _ 4 (2 • 4 - 3) = _ i.oy2 (2 • 4 - 3)2 502Z '.--=0oxoy
2 O5
H= >0O 4
5
o"z 2e como -2 = - -5 < O, no ponto (6, 1, 4) existe máximo local de valor 4.OX
No ponto F" (6, 1, -1)
OZ OZ O ( d" - , , )~ = ãY = con lçao necessana
02Z 2 (- 2 - 3) _ 2 _ 2ox2 - - (- 2 - 3)2 - - - 5 - 502Z _ 4 (-2 - 3) _ 4 _ 43y2 - - (- 2 - 3)2 - - - 5 -"502Z--=0oxoy
e como a2z
2> O,no ponto (6, 1, -1) existe mínimo local de valor - l.ax
Nos problemas práticos sabemos de antemão se eles são de máximo oude mínimo, dispensando-se a verificação de suficiência.
Vejamos o problema do ajustamento de retas.As variáveis x e y estão relacionadas por dados experimentais conforme
a tabela.
cada um dos pares (x, y) determina um ponto do plano cartesiano xOy.Loquemos estes n pontos.
y = ax + b Observemos que os pontos estão apro-ximadamente alinhados.Desejamos ajustar ao conjunto dos npontos uma reta, a reta MELHORAJUSTADA .Para cada um dos x observados corres-pondem dois valores de y:
desvioI ................................
1Q) Y observado
29) y calculado
Denominamos desvio à diferença
d = Yobs. - Yca1c. = Y - (ax + b)
I di = Y; - axi - b I
n n2: d2 = L (Yi-flXi- b)2=f(a,b)=wi=1 i=1
Nestas considerações, a e b serão os valores que tornam w mínimo.
A d" - '"' õ w O Õ w Ocon lçao necessana e õa = e õb = .Desenvolvamos a função w: -->.
n--> W = 2: (Yl + a2x? + b2 - 2axiYi - 2bYi + 2abxi)
í=1
n n n n n nW = 2: Yl + 2: a2xl + 2: b2
- 2: 2axiYí -; 2: 2 bYi + 2: 2abxií=1 í=1 í=1 i=1 i=1 i=1
n n n nW = I Y? + a2 I xl + nb2
- 2a I Xi Yi - 2 b I Yi +i=1 i=1 i=1 i=1
n+ 2ab L Xi
i=1
õ n n n
[
õ~ = 2a ~ xl -'2 ~ XiYí + 2b ~ XiZ=1 Z=1 Z=1
W
õw n n- = 2nb - 2 2: Yi + 2a 2: Xiõb i=1 i=1
n n n2a 2: xl- 2 2: XiYi + 2b L Xi = O
i=1 i=1 i=1
n n2nb - 2 I Yi + 2a I Xi = O
i=1 i=1
n n na L xl + b L Xi = L XiYi
i=1 i=1 i=1
n na L Xi + nb = L Yi
i=1 i=1
Sistema chamado Sistema de Equações Nonnais do Ajustamento da RetaMelhor Ajustada y = ax + b.
Exemplo: As variáveis X e y estão relacionadas pelos seguintes dados experi-mentais:
-2 -1 O7 6 6
1 24 3
determine a equação da reta mais ajustada.
Solução:
1. Loquemos os pontos (diagrama dedispersão)
2. Loquemos a reta mais ajustada
3. Construamos a tabela abaixo de acordocom o sistema de equações normais
n n na L xl + b L Xi = L XiYi
i=1 i=1 i=1
n na L Xi + nb = L Yi
i=1 i=1
N9 de pontos Xi y. 2 x·y·1 Xi 1 1
1 -2 7 4 -142 -1 6 1 - 63 O 6 O O4 1 4 1 45 2 3 4 66 3 1 9 3
n=6 ~Xi = 3 ~Yi = 27 ~x;= 19 ~xiYi =-7
{
19a + 3b =-7~> {19a + 3b = -7
3 a + 6 b = 27 a + 2 b = 9
H-2~X19====:> - 35 b = -178 > b = 5,086
o problema de máximos e mínimos condicionados consiste em determinaros máximos e mínimos locais da função z = f(Xb X2, X3, ... , xn) sob a restrição"P (Xb X2, X3, , xn) = O, sendo f e "P funções diferenciáveis. Se a funçãoz = f(Xb Xz, X3, , xn) e a restrição "P (Xb X2, X3, ... , xn) = Oforem lineares,teremos p~oblemas de Programação linear.
Consideremos a função de 2 variáveis z =f (x, y) e admitamos que as variáveisx e y devam satisfazer à equação "P (x, y) = O,sendo f e "P diferenciáveis. Queremosachar os extremos locais da função f.
Se pudermos resolver a equação "P (x, y) = O em refação à uma das variáveis,por exemplo, y = fI (x), resultará, z = f[x, fI (x)]. A função resultante é deuma única variável, z = F (x), aplicamos, então, a técnica estudada no Volume LÀs vezes, a resolução de I() (x,y) = O é muito difícil ou mesmo impossível.Teremos que examinar o problema de outra forma.
Estudemos o método dos multiplicadores de Lagrange, aplicável também afunções não lineares.
Método dos Multiplicadores de Lagrange
Seja a função z = f(x, y), sujeita à restrição (vínculo) I() (x, y) = O.Formemos a combinação linear entre z e I(), ambas funções diferen-
ciáveis ==> v = z + À"P ou v = f (x, y) + ÀI() (x, y), chamada função auxiliar.Diferenciando a função auxiliar
dv = av dx + ~ dax ay Y
onde av = af + À aI() e av = af + À a"Pax ax ax ay ay_ ay'
dv = (ar + À a~) dx + (ar + À a~) dyax ax ay ayNum ponto extremo, a função nem cresce, nem decresce. Logo sua diferencialé nula. No nosso caso, dv = O. Então:
(ar + À a~)dx + (ar + À a'P)dY = 0==">ax ax ay ay
A estas equações juntamos o vínculo. O sistema assim obtido nos permitiráresolver o problema proposto.
ar + À a'P = oay ay~(x,y) = o
Exemplo: De todos os paralelepípedos retângulos de volume dado, qual ode área total mínima?
Solução: Estabeleçamos a função r e o vínculo ~.A função f é a que admite o ponto extremo. Nonosso caso a área total:
O vínculo é a restrição. No nosso caso, o volume é quedeve ser constante (dado):
V = xyz = K ====>I xyz - K = O I
{A = 2xy + 2xz + 2yz (função)xyz - K = O (vínculo)
I A = 2 xy + 2xz + 2yz IIII ZII)-------------- --/'
v = 2 xy + 2xz + 2yz + À (xyz - K) >==>: V = F(x,y,z)-->
av av av> dv=-dx +-dy +-dzax ay az
av = Oax
~=oay
av = Oaz
av 2y + 2 z + yzÀ = O -À = 2y + 2z Q)- >ax yz
av 2x + 2 z + xz À = O -À = 2x + 2z @ay > xz
av 2x + 2y ®- 2x + 2y + xYÀ = O --> -À =az . xy
Comparemos Q) com ® e Q) com 0:
CD com 0 2y + 2z = 2x + 2z _> 2xy + 2xz=Yf xl
= 2xy + 2yz --> 2 xz = 2yz >I x y IQ) com ® 2y + 2z _ 2x + 2y __
jz - xl -->
-->. 2xy + 2xz = 2xz + 2yz ==>.
--> 2xy = 2yz --> I x z I
Do vínculo xyz - K = O ====>xxx =·K --> x3 = K ==>. X == VK. A aresta do cubo de volume K e área total mínima é x = VK.
27 27PR1 Z = xy + - + -x y
Solwção: Determinemos os pontos críticos da função
az 27z C ax =y - x2
az 27-=x--ay y2
27y--=Ox2
27x --= Oy2
x2y = 27
==> >x2y = xy2xy2 = 27
Resolvendo
x2y = xy2 ==> X = Y
Levando à uma equação
x2y = 27 > x2 • x = 27 ====>. x3 = 27 ====> x = 3
e como x = y ==>. Y = 3.Então, Po (3,3).Estudemos sua natureza. Determinemos as derivadas de 2a ordem
a2z 54
C-=-ax2 x3
azax a2z a2z
ay a2z 54-=-ay2 y3
a2z = 54 = 2
aX6- 27
a2z a2z---= 1axoayo aYoaxo
1 2
E a2z 2 > O d" .como --2 = correspon e a mmuno.axo
O valor mínimo da função é
27 27Zm = 3 • 3 + - + - = 9 + 9 + 9 = 273 3
I Pm (3, 3, 27) IPR2 Z = x4 + y4 - 3x2 + 6xy - 3y2.
Solução: Siga.TI1oSos mesmos passos
az 3
C ax = 4x - 6x + 6yz .
az = 4y3 + 6x - 6yay .
{
4X3 - 6x + 6 y = Osomando membro a membro ==>
4y3 + 6x - 6 y = O
> 4x3 + 4y3 = 0====>: 4x3 = _4y3 ====.>
Substituindo em 4x3 - 6x + 6y = O, resulta
4 x3 - 6 x - 6 x = O
4x3 - 12x = Ox3 - 3x = O
X (x2 - 3) = Ox=Ox2 - 3 = O ===> X = ± V3
Temos os pontos P1(O, O); P2 (VJ, - ..;3) e P3 (-....(3, V3).Determinemos as derivadas de 2ª ordem
a2z
C-= 12x2- 6ax2
azax a2z a2z
ay 2a z = 12y2 _ 6ay2
Pesquisemos o ponto P1(O, O)
a2z a2z a2z- = 12 • O - 6 = -6' -- = 6 e - = 12 • O - 6 =axo2 ' axoayo aYo2
= -6
Nada podemos afIrmar sobre o ponto P1(O, O).
Pesquisemos o ponto P2 (v'3: - ..;3)
a2z = 12 (..;3)2 _ 6 = 30; a2z = 6axl axoayo
a2z- = 12 (- ..;3)2 - 6 = 30ayo2
M' . , . a2z > O t d ,.axImo ou mlmmo e como --2 ===="> pon o e mmuno.axo
Valor mínimo da função:
z = (..;3t + (- ..;3)4 - 3 (V?,)2+ 6 V3 (-..;3) - 3 (- ...;3)2Z = 9 + 9 - 9 - 18 - 9z = -18P2,m (...;3, - ..j3, -18)
Pesquisemos, agora o ponto P3 (- .J?" V3)
a2z a2z-a 2 = 12(- y'3)2 - 6 = 30;~--= 6Xo axoayo
a2z- = 12 (y'3)2 - 6 = 30aYo2
H (- y'3, .vJ) = 864 > o ==> P3 mínimo
z = (- ..;3)4 + (v'3t - 3 (- .vJ)2 + 6 (- .vJXV3) - 3 (y'3)2Z = -18
I P3,m (- y'3, y'3, -11) I11ft 3 z = sen x + sen y + cos (x + y), com x e y arcos do 10 quadrante.
Solução:
az .z r 3x = cosx - sen(x + y) ==>
t az'-- - = cosy - sen(x + y)ay
{
cos x - sen (x + y) = o=--=----> . -> cos x = cós y >
cosy - sen (x + y) = o .'
==>Ix y I. .
De cos x - sen (x + y) =O para x =y ==.> 'cos X - sen 2x =O. >-> cosx - 2 senx.:cosX = O .~ > cosx (l - 2 serix) = 0==>
1rcosx = 0==.> x =-2
1 1r1 - 2senx =O --> senx ="2--> x =6
para x = ; ==> Y = ; ==> P1(;, ;)
para x = ~ ==>~ y = ~ ====>P2(~' ~)
a2z
[
- = -senx - COS(X + y)aX2aZ
[ax a2Z a2Z
Z -- =--= -COS(X +y)
[
axay ayaxaZay 2a z- = -seny - cos(x + y)ay2
NopontoPb temos:
a2z 7T- = - sen- - COS 7T = - 1 + 1 = Oax2 2
a2z 7T- = -sen-- COS7T = Oay2 2
a2z-- = -COS7T = 1axay
o pontodeselaé (~'%'1).NopontoP2, temos:
a2z 7T 7T 1 1- = -sen-- cos-= ----=-1ax2 6 3 2 2
a2z 7T 7T 1 1-. -= -sen-- cos~= ----=-1ax2 6 3 2 2
a2z 7T 1-- = -cos-=--axay 3 2
DeterIlÚnemosH (~, ~):
1 3=1--=->04 4
e como -::-~ = - 1 < O ==>. máximo local eIP ~~, ~).
Calculemos z:I
D ={ (x, y, z) E R31 x, y, z E [ O, ; ]}
Solução:
aw _ aw _ aw - Oax - ay - az -
awcosx = O Ti- = cosx >x=-ax 2
aw-seny = O >y=Ow - = -seny >ay
àw .cosz = O 1r- = cosz >z=-az . 2
Temos o ponto crÚico A (;, O, ;~
Condição suficiente:
ôwôx
ôwôy
ôwôz
ô2w- = -senxÔX2
Ô2W--=0ôxôy
Ô2WÔXÔZ = O
ô2w--=0ôyôx
Ô2W--= -cosyÔy2
Ô2W-=0ÔYÔZ
No ponto A ==>
ô2w 1T===> - = -sen-= -1·ax2 2 '
ô2w 1T-=-sen-=-1ôz2 . 2
ô2w--=0ôyôz
H1,A = 1-11 = -1 < O;
[
-1
H3,A = ~
O
-1
O
ô2w- = -cosO = -1·ôy2 '
ô2w ô2we ôxôy = O; ôxôz = O
[
-1H2,A = O O] = 1 > O;
-1
~]=-I<O-1
No ponto A (;, O, ;) existe máximo local.
PRs x2 - 2y2 - 6x + 4y + Z2 - 2 = O sendo z =1=O.
Solução:
az = Oax
aFaz ax 2x - 6 x - 3-=--=- ----ax aF 2z
azaF
az _ ay _ -4y + 4 = _ -2y + 2ay - - aF - - 2z z
az
x-3---=0==>x-3=0 >x=3z
_ -2y + 2 = 0==>. -2y + 2 = 0==> y = 1z
Para x = 3 e y = 1 >
> 32 - 2 • 12 - 6 • 3 + 4 • 1 + Z2 - 2 = O
9 - 2 - 18 + 4 + Z2 - 2 = O
Z2 = 9 ====> Z = ± 3
Ternos 2 pontos críticos:
B (3, 1, - 3)'
Condição suficiente:
Calculemos as derivadas parciais de 2~ ordem em cada um dos pontos.
a2z a (az) a ( x - 3)ax2 = ax ax = ax - z = -
azz - (x - 3)-ax
aza2Z = ~(az) == ~ (_ -2y + 2) == _ -2z - (-2y + 2) ãYay2 ay 3y 3y z Z2
a2Z == ~ ( az) = ~ (_ ...;.2y + 2) = -i. [_(_ 2 + 2) Z-l] ==3x3y 3x 3y 3x z ax y
= (_ 2y + 2)Z-2 3z3x
2=-"9<0 >23
==> No ponto A (3, 1, 3) há sela
No ponto B (3, 1, - 3) >
32z - 3 1 32z 6 2==> -= --=-" -== --=--3x2 9 3' 3y2 9 3
32z--=03x3y
2= --< O ===>9
PR6 A tabela abaixo traduz as vendas das lojas A • A nos anos de 1970 a 1974em bilhões de cruzeiros
t (ano)
Y (venda)
1970 1971
2 2,5
1972
3,1
1973
3,9
1974
4,8
Estime as vendas para 1975.
Solução: Organizemos a tabela tomando 1972 c·omo referência
t (ano) 1970 1971 1972 1973 1974
x -2 -1 O 1 2
Y (venda) 2 2,5 3,1 3,9 4,8
Detterminemos a reta y = ax + b, reta mais ajustada aos pares de pontos(- 2; 2), (-1; 2,5), (O; 3,1), (1; 3,9) e (2; 4,8)
Pontos Yi~ x·y·X· xiI I I
1 -2 2 4 -42 -1 2,5 1 -2,53 O 3,1 O O4 1 3,9 1 3,95 2 4,8 4 9,6
n = 5 ~Xi = O ~Yi = 16,3 ~xt = 10 ~xiYi = 7
n n na L xl + b L Xi = L XiYi
i=1 i=1 i=1
na I Xi + nb = I:fi
i=1
{
10a = 7 ---> a = 0,7--> e
5 b = 16,3 b = 3,26
a reta mais ajustada é y = 0,7 x + 3,26.O ano de 1975 corresponde a x = 3, então, a estimativa de venda éy = 0,7 . 3 + 3,26 -->- y = 5,36 bilhões de cruzeiros.
PR7 Determine a equação do plano que passa pelo ponto P(1, 2, 1) e que deter-mina; com os planos coordenados, o tetraedro de volume mínimo. Deter-mine este volume.
1A função é o volume V = 3" Bh,
mas B = i e h = "I.
Então, I V ~ a~r I
A equação do plano ABe é ~ + L(3 + ~ = 1 (equação segmentária)a "I
Como o suporte do plano é o ponto P (1,2,1) =>
Notamos que a função f é V = f(a, (3, "I) e o vínculo é dado pela equação4(J (a, ~,"I) == O tirada da equação do plano.Achemos a equação auxiliar v, combinando linearmente f e 4{):
1 (1 2 1 )v = - aç"l + À - + - + - - 16 a (3 "I
av av avdv = -da + -d(3 +-d"laa a(3 a"l
a v 1{3"1 _ ~ = o > À = a2
{3"1 CDaa 6 a2 6
av 1..a"l _ 2 À = o > À = a{32"1 f2\a{3 6 (32 12 \V
av 1 a{3 _ ~ == o ===> À = a{3"12 f3\
a"l 6 "12 6 \.V
1 2 1vínculo -+-+-- 1 = Oa {3 "I
121-+-+--1=0a 2a a
o volume do tetraedro é V =.l. 3 • 6 . 3 = 9u36
e a equação do plano é [1-+í+1- = 11·
PRs Uma calha deve ser construída com uma chapa de 120 cm de largura. Dá-seà secção transversal da calha a forma de um trapézio isósceles. Qual deveser a largura da base e a inclinação das faces para que a capacidade da calhaseja máxima?
Solução: A função é a capacidade da calha e o vínculo é a largura dachapa, 120 cm.
A capacidade da calha será máxima se a secçãotransversal for máxima
,y x y
S=x+2z+xw2
S = (x + z)w
~
I~···!························r·····~: '(Iw '! ! yI Ix
x + 2Y = 120 -->- x + 2Y - 120 = O'---y---/largura
Combinemos linearmente f e r.p:
v = xy cos a + y2 sen a cos a + À (x + 2y - 120)
1v = xy cos a +"2y2 sen 2 a + À (x + 2y - 120)
av CDax y cos a + À = O 1
av ~ay x cos a + y sen 2 a + 2 À = O 0av ~aa -xysena + y2cos2a = O 0
~cos2 a: - sen2 a:
vínculo x + 2y - 120 = O 0Da CD ====>: À = - y cos a.Substituindo na equação @ > x cos a + 2y sen a cos a - 2y cos a =
= O. Dividindo por cos a (possível porque a =1= ; --> cos a =1=0)
resulta
-x + 2ysen a = ---- =>2y
e cos2a = 1 - (2Y 2~ X)2
Substituindo na equação ® ====>
=> -xy( -x 2: 2Y) + y2[ 1- eY2~ x)' - (2Y2~ xJ] =
= O >
__ - • x2 - 2xy + 2 [1 _ 4y2 - 4xy + x2 _-> 2 Y 4y2
_ 4 y2 - 4 xy + x2 ] = O ==>_4y2
x2-2xy+ 2[4y2_8y2+8XY-2X2]_0--> y - -->2 4y2
x2 - 2xy _2y2 + 4xy - x2
> 2 + 2 =0 >
> 2xy - 2y2 = O >
-->x-y=O >jx ylSubstituindo na equação 0 ====> X + 2x - 120 = O >3x= 120 ==> x = 40 cm e y = 40 cm.
sen a = _-_x_+_2y- > sen a = _-_4_0_+_80_= l =='> a = 30°2y 80 2
Logo, as dimensões da calha de volume máximosão x = Y = 40 cm e a inclinação das faces, a = 30° .
PR9 Inscreva em um círculo de raio R, o triângulo de área máxima.
Solução: A função é a área, A = A1 + A2 + A3 e o vínculo o raio dado R.
b a aDo ABDO==> 2 = R sen"2 e h = R cos 2'
r A ,
R2 a: a: R2
> A 3 = 2" 2 sen 2" cos "2 -->- A3 =""2 sen a:
De modo análogo, tiramos AI = ~2 sen {3e A:! = ~2 sen "I. Logo a função
área nos é dada por
R2A ="2 (sena: + sen{3+ sen r)
A equação do vínculo é, a: + {3+ r = 2 1f e a equação auxiliar, v -R2
= 2" (sen a: + sen{3+ sen r) + À (a: + {3+ r - 2 1f).
Montemos o sistema resolutivo
õv R2 R2 Q)- -cosa: + À = O > -À =- cosa:õo: 2 2
õv R2 R2
0õ{3 2" cos{3+ À = O > - À = 2 cos{3
õv R2 R2
®õr-cos r + À = o > -À = -cosr2 2
vínculo o:+{3+r-21f=O 0Notamos a igualdade Q) = Q) = ® = - À. Então,
R2 R2 R2"2 cosa: = 2" cos{3= 2" cosr >
Da 0) > 3 a: = 2 1f> a: = 231f e o lado do triângulo Q = R fi.R2
De A = 2" (sen a: + sen{3+ senr) resulta,
V30--
2
PR 10 Estudemos os máximos e os mínimos da função z = x3 + xy2, com xy = 1.
Sqlução: A função é
z = x3 + xy2
Do vínculo
1xy = 1 => Y =-
X
1 -->x2
1--> z = x3 +- função da única variável xx
Neste caso aplicamos o método estudado no Volu~e L
Derivada 1ª ==>' dz = 3 x2 __ 1_dx ,x2
2 13x --= Ox2
3 x4 - 1 = O > x = ± _1_V3Temos 2 pontos críticos.Determinemos a derivada 2ª
d2z 6 2--> -2 = -4- + -4-- > O, portanto,dx V3 V33
1Experimentemos na derivada 2ª os valores de x: para x = -- =>V31 . , .
para x = -4- eXiste mlnImOyr3
1 d2zpara x = - --===> - =V3 dx2
= - ~ existe máximo local.yr3
6 2- --- -- < O, portanto, para x =V3 W
1 1 +4M"para x = -- ===>Z = -- v.;) ->V3 . W1+3 ~
> tr27=='>~
1 1para x = - --===> Z = - ---~ W
- V"J--+'M = - ~ I
Estude quanto ao máximo ou mínimo as funções:
PP1 z = x2 + y3 - 4x - 12y + 6
Resp.: P (2, 2, - 14) mínimo localP (2, - 2, 18) ponto de sela
PP2 Z = x2 - y4 - 6x + 4 y - 1
Resp.: P (3, 1, - 7) ponto de sela
1 8z=xy----x y
Resp.: P (- ;, -4, 6)8 8z=xy+-+-x y
Resp.: P (2, 2, 12) mínimo local
x2 y2 Z2 xy 3PPs w=""2+2+2"-2""+2"x-z
Resp.: P0(- 2, - 1, 1) ponto crítico- 2 valor mínimo da função
PP6 x2 - y2 - 2x + 4y + Z - 2 = O
Resp.: Ps (l, 2, - 1) ponto de sela
PP7 xt2 - y2 - 2x + 4y + Z3 + 5 = O
Resp.: Ps (l' 2, - 2) ponto de sela
PPs w = senx + seny + senz na região D = {(x, y, z) E R31 x, y, z E ]0, 1T[}
Resp.: P (;, ;, ;) m~mo local e Wmáx = 3
PP9 x3 - y2 - 3x + 4y + Z2 + z - 8 = O
Resp.: (1, 2, 2) ponto de sela, (1, 2, - 3) ponto de sela;(- 1, 2, - 2) máximo local e (- 1, 2, 1) mínimo local
PP10 Z = 6X3y2, - X4y2 - X3y3 , D = {(x, y, z) E R~JResp.: (3, 2, 108) ponto de máximo local.'
PPn 2x3 + y3 - 3x2 - 3y - z + 1 = O
Resp.: em (O, 1) há sela; (O, -1) máximo local;em (1, 1) há mínimo local e em (1, - 1) há sela
PP12 Determine a equação da reta que mais se ajusta aos pontos A (-4, 1),B (- 3,2), C (- 2,2), D (0,3), E (1, 3) e F(2, 4).
Resp.: y = 0,43 x + 2,93
1977 - 1,81978 - 2,31979 - 2,31980 - 2,9
Qual a estima.tivade faturamento em 1981?Resp.: 3.15 !:ilhões de Cr$, aproximadamente
PP14 Determine o máximo e o mínimo da função z = 2x + y sobre o círculox2 + y2 = s.Resp.: No ponto (2, 1) a função z assume o valor máximo 5 e
no ponto (-2, -1) ela assume o valor mínimo -S
PP IS Estude quanto ao máximo e ao mínimo a função z = xy havendo entrex e y a restrição x + 4y - 8 = O.Resp.: No ponto (4, 1) a função z assume o valor máximo absoluto 4.
PP16 Dentre os triângulos que têm o mesmo perímetro, qual o de área mínima?
Resp.: O triângulo é equilátero de lado x = 2:
PP17 Calcule as dimensões do paralelepípedo retângulo de volume máximo que2 2 2
se pode inscrever no elipsóide de equação x 2 +~ + z 2 = 1.a b c
,< 2 a 2 b 2 c , 8abcResp.'i$x = -y'3-3; Y = -y'3-3 e z = -y'3-3 e o volume e -3-y-f-3-
PP18 Ache o plano que passa pelo ponto P(3, -4,1) e forma com os três planoscoordenados o tetraedro de volume mínimo.Resp.: 4x - 3y + 12z - 36 = O
fiDERIVADAS DIRECI8NAIS
É na palma de espinhos que o Céu instala asrosas.
Sejam a função z = f(x, y), diferenciável numa região D C R2, e o pontoP(a, b) E D. Consideremos a direção orientada no plano 1T, definida pelo vetorunitário tt, de ângulos diretores a e {3. Portanto, 11 = 1cos a + 1cos {3.
Tomemos o ponto Q (a + ~x, b + ~y) E D, próximo de P e tal, que o~ ~ ~
vetor PQ tenha a mesma direção e sentido do vetor u. Então, u é versor do~
vetor PQ.O acréscimo da função f, quando passamos de P para Q, é
~z = f(a + ~x, y + ~y) - f(a, b)
I::::.z = :~ (P) I::::.x + :~ (P) I::::.y + 1hl::::.x + 112l::::.y CDonde 111 ) O e 1"/2 ) O quando I::::.s ) O.
Dividamos a CD por I::::. s =>
__ > I::::.z = aI (P\ I::::.x + aI (P\ I::::.y + I::::.x + .&.y f2\I::::.s ax ) I::::.s ay ) I::::.s 111 I::::.s 1"/2 I::::.s \.::.J
I::::. xPRQ - > I::::.s= cos a
Lly- = cos[3I::::.s
Substitum'do estes valores na 0 ==>
I::::.z aI aI> I::::.s= ax (P) cos a + ay (P) cos [3+ 111COS a + 112 COS [3
e 1im ~z = lim (aaI (P) cosoa + aal (P) cos [3+ 111 cos a + 112 COS [3\M~O uS M~O X Y ,j, ,j, ')
O O
o liro ~z quando existir e for tinito será chamado derivada da função I, noLis~O uS
pontoP, na direção do vetor z: e a indicaremos pelo símbolo a~ (P).au
Assim:
a~ (P) = aal (P) cos a + aal (P) cos [3 0au x y
Exemplo: Determine a derivada de z-+ -+ -+
direção v = 3 i - 4 j .
Solução: Preparemos a função: F.P: z = Qnx - Qny
= Qn ; no ponto p(;. - ~), na
af (P) = 2axNo ponto p(;, - ;) ==>.
af (p) = 3ay
Por outro lado o versor lt é a razão do vetor -; pelo seu módulo (verVetores e Geometria Analítica de Righetto, A.).
Então,
~ -: (3,-4) (3 4)u = '-:1 = v' 9 + 16 = \5' -"5 ==>'
3> cosa =5" e 4cos {3= --5
Aplicando a defmição de a~ (P) ===='>au
Para defmirmos o gradiente, divergente e o rotacional, usaremos o operador
~ ~a~a ~a\l=i -+j -+k-ax ay az
01 GRADIENTE: Consideremos a função w = f (x, y, z), definida e contínua naregião S. Admitindo, portanto, derivadas parciais de 1ª ordem em S:af af dfax' ay e azo
-;:Z af ~ af ~ af ~O vetor V f(P) = ax (P) i + ay (P) j + ay (P) k, cujas coorde-
nadas são as derivadas parciais de 1ª ordem da função no ponto origem dovetor, é chamado gradiente da função f no ponto P. .
ai (P) = ai (P) cos a + ai cos J3alt ax ay
e sendo o versor 1J' = (cos a, cos 11), poderemos imaginar ai (P) como. alrproduto escalar do versor ,; pelo vetor V f(P) = [~~ (P), ~: (P)]. De fato,
:f (P) = (1~~(P) + 1::(P») X (1cos" + 1cos (3) -->
==> a! (P) = aai (P) cos a + af (P) cos J3au x ay
o que concorda com 0.Lembrete: "O produto escalar de dois vetores é a soma dos produtos dascoordenadas homônimas."
a~ (P) = Vf(P) X Z!au~
A derivada direcional é o produto escalar do vetor gradiente pelo vetor u.Exemplo: Determine o gradiente e a derivada direcional de z =
= x3 - 2x2y + xy2 - 2y3 + 1 no ponto (1, O) e na direção da retatangente à circunferência x2 + y2 = 4 no ponto (l, ~).Solzlção:
C:~= 3x2 - 4xy + y2
Z ai = _ 2x2 + 2xy _ 6y2ay
No ponto P (1, O) estas derivadas assumem os valores:
C af (p) = 3 • 12 - 4 • 1ax
af (P) = - 2 • 12 + 2 • 1 • O - 6 • 02 = - 2ay'::t -+ -+ -+
Logo, vf(P) = 3 i - 2j ou Vf(P) = (3, -2).
2~) Determinação de ltO vetar lt é o versar do veter diretor V da reta (t), tangente à circun-ferência x2 + y2 = 4, no ponto (1, y'3). A reta (t) Ax + Ry + C = O,
~tem por vetar normal um vetar paralelo ao vetar OT = T - O == (1, y3)- (O, O).
~OT = (1, y3)
-+ ---+ -+Podemos tomar o vetar normal n = OT = (1, y'3) e como n =
-+= (A, R) ==> V = (-R, A) = (- y'3", 1)
-+lt=~=(-y'3,I)=(_y'3" 1-)
IVi ..J 3 + 1 2 ' 2-+ -+ -7 -+ y'3" -7 1 -7. af
Com V f(P) = 3 i - 2] e u = - 2 1 + 2 ] , tIramos -+ (P) =au= (3 - 2) X (_ v'3 ~) = - 3 y'3 _ 2 = _ 3 y'3" + 2
, 2 ' 2 222
af (P) = _ 3 ..J3 + 2alt 2
~ ~ ~ ~DIVERGENTE: Consideremos o vetor A = AI i + A2j + A3k. O produto
~ ~ ~escalar do vetor operador \J pelo vetor A é chamado divergente do vetor A.Assim:
~ ~ ~ (~a ~a ~ a) ~ ~ ~div A = \J X A = i ax + j ay + k az x (A I i +A2i +A3k) =
aAI aA2 aA3=-+-+-ax ay az
~ ~ ~ ~.03 ROTACIONAL: Consideremos o vetor A = AI i + A2i + A3k. O produto
vetorial do vetor operador V pelo vetor à é chamado de ROTACIONAL~ ~
DO VETOR A. Assim
-7 ~ ~1 i k
~ ~ ~ a a a CA. _ àA2)! +Rot A = A A = - - - -ax ay az ay azAI A2 A3
+ (aAI _ aA3) "7 + (aA2 _ aAI) kaz ax] ax ay
-7 ~ ~1 i k
0 9AÃ =a a a _ a (xz) -7 a (X2z2y) ~- - - - ay 1 + ax k +ax ay az
2xy x2z2y XZ
+ a (2xy) -7 a (2xy) ~k a (X2Z2Y)-7 a (xz) 7' _ 2 2 ~k~~-] - - ---1 - --I - xzy -az ay az ax
~ ~ ~ ~ ~ ~- 2xk - 2x2zyi - zj = - 2x2zyi - zi + (2xz2y - 2x)k
~ ~Consideremos F, G, A e B tendo derivadas primeiras contínuas, então:
9(F + G) = 9F + 9G
~ ~~ ';::t~~~V X (A + B) = v X A + V X B
~~~ ';::t~~~V A (A + B) = V A A + V A BI
~ ~ ';:7; ~ ~ ~V X (FA) = (vF) X A + F(VX A)
~ ~ ';:7; ~ ~ ~V A (FA) = (v F) A A + F (V A A)
-+ ~ ~ ~ ';:7; ~ ~ ~ ~V X (A A B) = B X (v A A) - A X (V A B)
~ ~ ~V A (VF) = O®
®@
-+ ~ -+VX(VAA)=O
-+ ~ ~ ::%~ -+ ~~VA (VA A) = v(VX A) - V2A
6.2.3 - INTERPRETAÇÃO FíSICA.
Consideremos dois tipos de funções em um domínio S no espaçotridimensional :
i) as funções escalares F (x, y, z);ti) as funções vetoriais t = f(x, y, z) l' + g (x, y, z) 7 + h (x, y, z) k.
Estas funções em física são chamadas de campos: campos escalares ou vetoriais.Estes campos aparecem em várias aplicações. No movimento de um fluido, osvetares velocidade dos pontos formàID um campo vetorial t, enquanto que atemperatura forma um campo escalar F.
-+Através de um campo escalar F, podemos obter um campo vetorial VF
(vetar gradiente de F). Este campo recebe o nome de campo gradiente. Um outrocampo vetorial é o formado pelo rotacional de ;. Podemos imaginá-Iocomo medindo a extensão em que um movimento é como uma rotaçãoem torno de um eixo préfixado. Se rot -; = O, o movimento diz-se irrotacional.Já o divergente de t é uma função escalar ou um campo escalar construído a
partir de 1". Em um campo de velocidades -:, div -: mede, por exemplo, oquanto um certo fluido se expande. Quando div -: = O, tal fluido diz-se incom-pressível e o campo vetorial 1" diz-se solenoidal.
A função z = I (x, y) foi suposta diferenciável na região D C R2, o quenos induz a considerar o seu gradiente defmido em cada ponto de D.
Desta forma, temos na região D, um campo vetorial, pois associado a cada-+
ponto P E D, existe um vetor \l I (P).-+ -+
Seja I{) o ângulo que o gradiente \lI (P) forma com o vetor u . Recordemos,
através da definição de produto escalar de 2 vetores, que a~ (P) =~I (P) X t =au-+ -+ -+ a/-+= I\lI (p)1 lu I cos I{) e como lu I = 1 > --:; (P) = 1\lI(P)1 cos I{) •au
Resultado que nos mostra ser a derivada de I, no ponto P, na direção dovetor Z:, a projeção do gradiente de I em P sobre a direção de t.
Se fixarmos o ponto P e fizermos variar z: = (cos 0:, COS (3) (variando 0:),
a derivada direcional a~ (P) variará, atingindo:au-+
19) Seu máximo valor, quando u tiver a direção e o sentido do gradiente, pois,"P = O e cos O = 1, valor máximo do co-seno
===>. a~ (P) = I~ I (P)I cos O ==.> ~I (P) = I~I (P)Iau aUmáx
Fig.6.4.
2.) Seu mínimo valor, quando z: tiver a mesma direção, porém, sentido contrárioao do gradiente, pois, 'P = 1r ecos 1r = - 1, valor mínimo do co-seno.
a~ (P) = I"vf (P)\ cos 1r ===>au-+
(P) = -1V'f(P)1
Fig.6.5.
39) O valor zero, quando 11' tiver direção perpendicular à direção do gradiente,. 1r 1r O
pOIS, 'P = 2" ecos 2" = ,
ar -+ 1r ar- (P) = lV'f(P)\ cos - ===> - (P) = OaZ: 2 aZ:
para 'P = O > af (P) = IVf(P)1 = derivada direcional máximaaZ:para l() = 1r ==> ar (P) = -IVf(P)1 = derivada direcional mínimaaZ:para l() =!!.. > _a r_ (P) = O
2 aZ:
Exemplo: Determine o valor máximo da derivada direcional da funçãon x
2( 1 1) d" _ .Z = x'n y' no ponto 2' - 3" e em que lIeçao Isto acontece.
Solução: Vimos que
~f (P) = IVf(P)\aUmáx
Determinemos, pois, o gradiente e em seguida seu módulo.Preparemos a função: z = 2 Qn x - Qn y
No ponto p(;, - ;) ---->
af (p) =1..= 4ax 1
2
af -1ay (P) = _ 1 = 3
3
====>: Vf(P) = 41 + 3r ==.> IVf(P)1 = v'42 + 32 = 5
af = 5~
aumáx
Vejamos em que direção a derivada atinge seu valor máximo. Nestas con-dições, z: tem a mesma direção e o mesmo sentido de Vf (P), então, ,; =
Vf(P} ~ (4 3) (4 '3) 4 3= IVf(P)1 => u = -5- = 5' 5 ==> cosa ="5 e sena = 5' por-
tanto,
A velocidade atinge o valor máximo na direção a = arc tg ~ .
Chama-se curva de nível ou de contorno de uma função ao lugar geométricodos pontos nas quais a função I tem valor constante.
as equações paramétricas da curva C3, nas proximidades de Po (a, b). Destasconsiderações ====>
===> I (fI (8), /2 (8)] = C
===> ai dx + ai dy = oax dO ay dO
===> (:~ (P), :; (P~ x ,(f~(00), h (00»" = ov
, --_/-+-. V'". U = vetor tangen teV f (P) =õ gradiente à curva de
nível no pontoPo
Como o produto escalar dos 2 vetores, V[(P) e lt, é nulo, concluímos que ovetor gradiente de t' é normal à curva de nível desta função que passa por Po.
"Na direção das curvas de nível a derivada direcional em qualquer ponto énula."
6.5-FUNÇOES DE TReS VARIAvEIS- DERIVADA DIRECIONAL
Tudo que foi estudado sobre derivada direcional para funções de duasvariáveis se estende para funções de mais de duas variáveis.
Sejam w = [(x, y, z), função diferenciável na região S C R3, e o vetor uni-tário lt = (cos a, cos (3, cos ')').
A derivada direcional de f no ponto P e na direção do vetor z: é:
a [ (p):: aa[ (P) cos a + aa[ (P) cos (3 + aa[ (P) cos ')'ar: x y z
ou a~ (p) = V[(p) x z:au
Exemplo: Sendo V = X2 + y2 - 2z2 a função potencial de um certo campo
eletrostático, determine a intensidade do campo no ponto ~, 1, ~).~ ~
Solução: A intensidade do campo é o módulo do gradiente, logo IE I = I'VV (P) I
oV-=2xoxoV - 2oy - y
av-= -4zoz
a V (P) = 2ox
No ponto (1, 1, ~) ==> a V (P) = 2oy
a v (P) = -1oz '
~ ~ -;;. -;;. ~E = 'VV (P) = 2 1 + 2] - k
~ ~e IE I = I 'VV (P)I = ~ 4 + 4 + 1 = 3 u
~ ~ ~ ~Se if> = xy3z4 e A = xzi - y3xj + 3xy2zk; calcular:
~ ~a) 'Vl/J; d) div (l/JA );
~ ~ ~b) 'VX A; e) rot (l/JA)
~ ~c) 'V 1\ A ;
Solução:
~ oA. ~ oA. ~ ol/J ~ 4~ 2 4~ 3 3~a)'Vl/J=-'I-' i +_'1-'j +-k =y3z i +3xyzj +4xyzk;ox oy õz
= a (xz) + a (- y3X) + a (3xy2Z) =ax ay az
= z - 3 y2x + 3 xy2
-+ -+ -+i j k
c) ~ 1\1= a a a- - -ax ay az-xz _y3x 3xy2z
_ a (3xy2Z) "7 a (- y3X) -+ a (xz) "7 a (xz) -+ a (- y3X) "7- ay 1 + ax k + az J - ay k - az l'
a (3xy2Z) -+ -+ ~ -+ -+- 'ax i = 6xyzi - y3k + xi - 3y2zi =-+ -+-+= 6xyzi + (x - 3y2Z)i - y3k;
d) div(epA) = vx(ep1) = (1 aax + 7 :y + k :z) x-+ -+ -+
X [xy3z4 (xzi - y3xj + 3 xy2zk)] =
= (1~ + 7 1.- + k ~) x (X2y3z57 - X2y6z47 +ax ay az-++ 3X2y5z5k) =
= a (X2y3Z5) + a (_X2y6Z4) + a (3X2y5Z5) =ax ay az
= 2xy3z5 _ 6X2y5t4 + 15x2y5z4
-+ -+ -+e) rot (epA) = \J 1\ (epA) =
(-+ a -+ a -+ a\ -+ -+
= i - + i - + k -) 1\ (X2y3z5i - X2y6z4i +ax ay az-+ -+ -+i i k
-+ a a a+ 3X2y5zsk) = - - - -ax ay azX2y3z5 _X2y6z4 3X2y5z5
~ ~ ~ ~= 15x2y4z5i - 2Xy6Z4k + 5x'y3z4j _ 3X2y2Z5k +~ ~ ~+ 4X2y6z3 i - 6xy5z5 j = (15 X2y4z5 + 4X2y6Z3) i +
~ ~+ (5x2y3z4 _ 6xy5Z5)j - (2xy6z4 + 3X2y2Z5)k
~~~ ~ ~ ~ ~PR2 Prove que 'VX( 'V 1\ A) = O onde A = Ali + A2j + A3k.
Prova:~ ~
Calculemos primeiramente 'V1\ A
~ka aA3 ~ aA2 ~ aAl ~
=-i +-k+-jaz ay ax azA3
PR3 Determine o gradiente da função z = V x2 + y2 no ponto P (- 1, O).
~ af ~ af ~Solução: O 'Vf(P) = ax (P) i + ay (P) j .
Determinemos, pois, as derivadas parciais de f no ponto P.
ai = 1 2x = xz C ax 2 .J x2 + y2 .J x2 + y2
ai = 1 2y = Yay 2 .Jx2 + y2 .Jx2 + y2
af -1
==">C -ax (P) = v' 1 + o = - 1
No ponto P(-I, O)af O. ay (P) =1" = O
~ ~Então: 'Vf(P) = (-1, O) = - i .
Determine a derivada direcional da função z = eX cos y, no ponto P (O, O)e na direção em que faz com o eixo dos x um ângulo de 600
•~
Solução: O vetor diretor V faz com Ox o ângulode 600
, então:
a = 600
{3 = 300
~ ( o oLogo, u = cos a, cos (3) = (cos 60 , cos 30 ) =17+V37="21 2}'
Determinemos o vetor gradiente:
C af = eX cosyaxz = eX cosy
af = _ex senyay
C ai (P) = eO cos O = 1axNo ponto P (O, O) >
af (P) = - eO sen O = Oay~
Então: 'Vf (P) = (1, O).Como
af (P) = Vf(P) X 11 ==>ait
> lL (P) = (1 O) X (lv'3) = 1 • 1..+ O • ..;3-+ ' 2' 2 2 2au
2Determine a derivada direcional da função z = 1'_ no ponto (1, ~) da
xelipse 2x2 + y2 = 4 e na direção da normal a esta elipse no mesmo ponto.
Solução: Representemos graficamente a elipse.
-+Vr = (ir, gr) = (-B, A)
ar -+ -+Procuremos -+ (P) = '\Jf (P) X u. Calculemos o gradiente:
au
No ponto P (l, ..;2) ==> C af 2-=--=-2ax 1
af = 2 ..j2= 2 fiay 1
-+Então: '\Jf(P) = (- 2, 2 vI2).
-+
D tOdO - -+ Ve enmnemos a ueçao u = -::;-.Ivl
~o vetor V, diretor da normal (n), é igual ao vetor normal da reta tangente
(t): V = ~t) = (A, B) = (gt, - ft). A dec1ividade da reta (t) é yp = ~;.
Da equação 2x2 + y2 = 4 > y = vi 4 - 2x2 e y' = /' -/~ .YV'4 - 2x2/
. r;; , -2 . 1 2 V2 gtNo ponto P(1, v 2) =--=-----> yp = -~-------=- - = -- =-"';4-2 y'2 -1 [t"
Logo,~ ~V = nt = (gt, - [t) = (..;2, 1)
a[ (p) = Oaít
PR6 Determine a derivada direcional da função z = sen (2x - y), no ponto
p(;, 1f) e na direção do vetor AB, sendo A(5, 1) e B(2, -3).
Solução: Sabemos que a[ (p) = ~ f(P) X ít, então, determinemos os doisaítvetores.
~1. Determinação de 'iJ [(P)
C a[ = 2cos(2x - y)axz = sen (2x - y)
a[ = _ cos (2 x - y)ay
[
a[ (P) = 2 COS (1f - 1f) = 2
No ponto p(;, ,,) > axa[ (P) = _ cos (7T - 1f) = - 1ay
2. Determinação de lt~
~ AB ~u = ~, mas AB = B - A = (2, -3) - (5,1) = (-3, -4).IABI
:~ (1') = (2, -1) X (- ~, - :)= -~ +: = -;af 2- (P) =--alt 5
PR7 Calcule a derivada direcional máxima da função z ,= v'x2 - y2 no ponto(5, 4) e a direção em que ela acontece.Solução: Como vimos:
af (p) = l~f(P)1~
aUmáx
af 2xz [ ax = 2 v' x2 - y2
af -2yay = 2 v' x"2 - y2
af 5 5
==>C ax = '1'25 - 16 =3
No ponto P (5, 4)af _ -4 -.i.ay - y'25- _ 16 - - 3
~ 57 47VI (P) = - l - - J3 3 IVf(P)1 = )25 + 16= v'4i
993
aI (P) = y'4T~ 3
aUmáx
Achemos a direção do vetor II
sen a cos {3tg a = cos a = cos a =
4
0IT =_~5 5
0IT
PRs Dados A (1, - ~) e B (- ~, ~) e a função z = Qn ~, determine o ângulo~ ~
formado pelos vetores VI (A) e VI (B).
Solução: Achemos cada vetor, preparando a função z --> z = Qnx - Qny.~
1. Determinação de VI(A)
z [:~ =~aI 1ay = - y
Por definição, Vf(A) =G (A), - ~ (A~ ===> V/(A) = (1, 2)
~2. Determinação de VI (B)
As funções derivadas parciais são as mesmas, porém, ~I (B) = - 2 edx
aIay (B) = -4.
Logo, I (B) = (- 2, - 4).
~ ~,:f(A) X ~f(B).3. O ângulo () dos 2 vetores nos é dado por cos () = ---r--- ---r--I \7f(A)1 l\7f(B)1
(o co-seno do ângulo de 2 vetores é o produto escalar de seus versores).Substituindo, vem
cos () = (l, 2) X (- 2, - 4) = - 2 - 8 = _ .!Q = _ 1v' 1 + 4 v' 4 + 16 y'1õO 10
() = arc cos (- 1)
PR9 Calcule a derivada direcional da função z = x4 - 2 X2y2 - y3 + 4 xy - 2,no ponto (O, - 2) e na direção perpendicular à direção da reta3x + 4y - 12 = O.
Solução: Da definição de derivada direcional =--=----> af (P) = ~ f (P) X 11.a11
Determinemos os dois vetores.
~ af ~ af f ~1. Determinação de \7f (P) = ax (P) i + ay (P) j
===> af (P) = 4(-2) = -8 e af (p) = -3(-2)2 = -12ax ay
I vf (P) = - 8 7' - 12 71~
2. Determinação de u~ ~
O vetor u é versor do vetor normal n = (A, B) da reta 3x + 4 Y - 12 = O.
~~ n _ (3,4)Logo u =- - ---, lril ~9 + 16
lI=(~±)5' 5
3. Determinação de af (P)alI
af (P) = (-8 -12) X (~ 4) = _ 24 _ 48 = _ 72~ , 5' 5 5 5 5au
af (p) = _ 72alt 5
PR 10 Determine a derivada direcional mínima da função z = ..j x2 + y2, noponto P (- 4, - 3) e a direção em que isto acontece.
Solução: ~ (p) = -IVf(P)1 e 'P = Tr.aUmín
Pois bem: Da função z = ..j x2 + y2 ====>_
af _ 2x af _ 4
[ax - 2 ~ x2 + y2 [ ax (p) - - 5
-->z =>af 2y af 3ay = 2 ~ x2 + y2 ay (p) = -5
~ )16 9===> -1\7f(P)1 = - -25 + -25 = -1 ==> ~ (P) = -1aUmín
A direção do vetor lf é a mesma do vetor Vf (P), apenas com sentidocontrário. Como nos interessa a direção, podemos tirá-Ia de zr, que, neste
~caso, nos é dada por lf = ~f(P).
l\7f(P)1Assim '
4cosa = --5
>3sen a = --5
3
tg a = -~- = ~ ====> I Q = are tg t I5
PR 11 Determine a derivada direcional mínima da função w = sen (2 x - y) ++ cos(x + z) + tg(y - 2z), no ponto p(;, 7T, o) e a direção em que
sua derivada, neste ponto, se torna máxima.
Solução: Sabemos que af~
aUmínmínima quando lf paralelo aodeterminemos o gradiente:
~ ,
(P) = - I \7f (P)I e derivada máxima ou
Vf(P) = af (p)7 + af (p)7 + af (P)k, ax ay J ax
:~ = 2cos(2x - y) - sen(x + z)
af = -cos(2x -y) + sec2(y - 2z)ay
:~ = -sen(x + z) - 2sec2(y - 2z)
af nax (P) = 2 cos O - sen 2" =
= 2 - 1 = 1
No ponto P (;, n, 0 --> ;~ (P) = -coso + sec2n =
= - 1 + (- 1)2 = O
af (P) = _ sen ~ _ 2 sec2 n .az 2=-1-2=-3
~ af ~\lf(P) = (1, O,-3) ===.> -- (P) = -1\7f(P)1 =~
aUmín
=-v'1+0+9=-v'TQ
af (P) = _ y'iO~
aUmín
~Determinemos a direção determinando U que tem a mesma direção dogradiente, portanto, ser o seu versor.
~f(P) = (1, O, -3) = (v'lO,O, _ 3 v'lO\=>l~f(P)1 y"TIf 10 10 ")
cos a = v'lO10
====> cos f3 = O
-3y'1Ocos'Y = 10
PR 12 Calcule a derivada da função w = .J x2 + y2 + Z2 no ponto P (- 2, 2, - 1)---+
e na direção do vetor AB, sendo A (1, - 2,1) e B (2, O, -1).
af -+ ~Solução: - (P) = \lf (P) X u.
alf~
1. Determinação de \l f (P)
af 2xax = 2 ~~X-2-+-y-2-+-Z-2
af _ 2yay - 2 ~-X-2 -+-y-2-+-Z-2
af _ 2zaz - 2 "';-x-2-+-y-2-+-Z-2
af -2 2ax (P) = ...;4 + 4 + 1 - --3
af (P) _ 2 _ 2ay -...; 4 + 4 + 1 3
af -1 1- (P) - ----- -az - y-4-+-4-+-1 3
2. Determinação de z:~
~ _ AB _ B - A _ (1, 2, - 2) _ (1 2 2\u - IÃÊI - L4B1 - -J 1 + 4 + 4 - \3' 3"' - 3)
3. Determinação de aI (P)aZ:aI (P) = (_ ~ ~ _.l) x (1. 2 _ 2),= _ 2 +i + ~ =~ 3' 3' 3 3' 3' 3 9 9 9au
PR13 Calcule a derivada da função w = xy + yz + zx, no ponto (1, - 2, 1), nadireção cujos parâmetros diretores são 4, - 4 e 2.
aI ~ ~Solução: - (P) = 'iJI (p) x u.alt
-7
1. Determinação de \Jf (P)
af = y + zaxaf --=x+zay
ai = y + xaz
~~ (P) =,-1
ai (PJ = 2ay
ai (P) = -107.
[Vf(P) = (-I, 2,-1) I2. Determinação de Lt = (cos a, cos (3, cos 1)
São dados os parâmetros diretores, portanto
442cos a = -..=-..=-..=-..=-..=-..=--=--=--== = - = -VI6+J6+4 6 3
221cos 1= -Y-I-6-+-16 +4 = 6" = "3
3. Determinação de aI (P)aLt:i (P) = - 1 ' ; + 2 (- t) - 1 • + = - ; - ~ - t
I aI 7 I-(P) = --II a~ 3I U
3 -+ -+ -+ -')o. -+ -+-~Se ep = X3y2z e A = x2zi - y2 j + 3x2y2k achar: (a) vep; (b) vXA;
-+ -+ -+ -+(c) V 1\ A; (d) div (epA); (e) rot (epA ), todos no ponto P 1,1,1).
-+ -+ -+Resps.: a) 3 i + 2 j + 3 k ;
b) O;
)6~ 5~c l - J;
d) 1.0;-+ -+ -+
e) 15 i --. 11 j - 5 k
J-+ -+ -+ -+
PP2 Sendo ep = x2y + yz2 + zxy e A = xy2 i + yzj + z2xk, calcular:-+ -+ -+ -+ -+ -+
(a)AX vep; (b) epvX A; (c) (vep) 1\ A no ponto P(1, 2,1).
Resps.: a) 36b) 42
-+ -+c) - 9 i + 18 j
-+ -+ -+ -+ -+PP3 Sendo A = 3x2zi - y2zj + (x2 + z) k, calcule rot [rot (A)].
-+Respr: (6x + 2 - 2y) k.
-+ -+ ~PP 4 Prove que V 1\ (vF) = O.
-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+PP 5 Prove que v X (A + B) = v X A + \l X B.
-+ a2F a2F a2FPP6 Prove que \l2F = - + - +-.ax2 ay2 az2
. x + vx2 + y2PP7 Determine a derivada de z = Qn ---~-_-_--=-...:=--= no ponto (3,4) e na
x - .J x2 + y2-+
direção do vetor AB, com A (3, 2) e B (7, -1).
Resp.: ai (P) = 21
aZ:PPs Ache a derivada direcional da função z = 4x2 + 9 y2 no ponto P (2, 1) e
na direção da reta normal à circunferência x2 + y2 = 25 no ponto (- 3,4).
ai (P) = 24alr 5
PP9 Ache a derivada direcional da função z = Qn (x2 + y2) no ponto P (1, 1)-+ -+ -+
e na direção do vetor v = 2 i + 3 j .
ai 5Resp.: - (P) =--aZ: VIT
pp 10 Mostre que as derivadas direcionais da função z = r (x, y), no ponto gené--* -*rico P (x, y) e nas direções dos vetores i e j são, respectivamente, ar (P)
ar axe ay (P).
PPu Calcule a derivada direcional da função z = x2 + xy + y2 no pontoP (3, 2 y'3), na direção da tangente à parábola y2 = 4x, naquele ponto.
Resp.: ar (P) = 5 .J3 + 92al!
PR 12 Dada a função z = Qn .J x 2 + y2, calcule a r.erivada no ponto P (2, 1),-* -* -*na direção do vetor v = 5 i + 2 j .
125 -J29
PP 13 Calcule a derivada direcional maXlma da função w - sen (x + y) +
+ cos (y + z~, no ponto p(;, O, - ~).
V6Resp.: 2
PP 14 Calcule a derivada de z = eX y + xeY, no ponto P (O, O) e na direção do-*vetor que forma com o vetor i o ângulo de 60°.
I +~..,•.. .PP1S Ache a derivada da função z = eQn (x/y) no ponto P (2, - ~) e na direção
. ~do vetor AB, onde A (9, - 1) e B (- 3, - 6).
64Resp.: 13
x + 2yPP 16 Ache a derivada da função z = 2 2 ' no ponto P (- 1, 1), na
x + y + 1direção da tangente à curva x2 - 2xy + 2y2 = 5, no ponto dado.
239v03
7INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Ofereçamos de nós mesmos a confiança e adiligência, a concórdia e o serviço e Jesus faráo resto.
Seja a função z = f (x, y) contínua numa reglao compacta D C R2•
Consideremos o sólido limitado superiormente pela superfície z = f (x, y),inferiormente pela superfície D C R2 e lateralmente pela superfície cilíndricadefinida pela curva fronteira da região D.
Tracemos planos paralelos ao plano yOz, partindo o intervalo fechado[a, b] em m partes.
De forma análoga, com planos paralelos ao plano xOz, façamos a partição,em n partes, do intervalo fechado [C, d].
A região D fica dividida em m X n retângulos elementares. Tomemos oretângulo elementar de área !:iix!:ijY. Por outro lado, o sólido S fica decompostoem m X n prismas elementares.
Tomemos o prisma elementar de base !:iix!:ijY, cujo volume é !:i V == {(Xi, Yi) !:iix!:ijY.
A soma dos volumes dos m X n prismas elementares será:
n m.L L {(Xi, Yj) !:iix !:ijYj=1 i=1
Se existir e for tinito o linúte desta sorna, com m ---) 00 e n ---) 00, eleserá chamado Integral Dupla.
n mlim L L {(Xi, Yj) !:iix!:ijY =
m~oo j=1 i=1n~oo
r r zdxdy =';"'D
( r zdxdyc a
N1 Se a função f for a soma de duas funções fI e {2, contínuas na regiãocompacta D, teremos:
r r f(x, y)dxdy =",JD
f r (fI (x, y) + f2 (x, y)]dxdy =-oID
f t ft(x,y)dxdy + Jtr {2 (x, y)dxdy-D
f f f(x, y)dxdy =D
fI K· {I (x, y)dxdy =D
fJ~f, (x, y)dxdy
N3 Se D = DI U Dz, onde DI e D2 são regiões também compactas, sem pontosinteriores comuns, então:
f L I(x,y)dxdy = f f f(x, y)dxdy +DI
f f f(x, y)dxdyn_
Esta consideração se estende à decomposição de D em regiões compactas,duas a duas, sem pontos interiores comuns.
N4 Se o sólido for limitado superiormente por ZI = fI (x, y) e interiormentepor Z2 = f2 (x, y), calcularemos o volume através de
De fato:
Consideremos o sólido limitado superiormente pela superfície fI (X, y),inferiormente pela f2 (x, y) e lateralmente pela superfície cilíndrica defi-nida pela fronteira da região D. Seu volume é a diferença entre os volumesV1 e V2, onde V1 é limitado superiormente pela superfície fI (X, y) einferiormente pela região D e V2, superiormente pela f2 (x, y) e inferior-mente pela D.
Assim, V, = f L f, (x,y)dxdy e v. = f L I. (x. y)dxdy e conse·
qüentemente V = VI - V2
v = f f ff! (x, y) - f2 (X, y)] dxdyD
7.1.2 - INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Podemos dar à integral dupla uma interessante e importante interpretaçãogeométrica.
f f z dx dy é o volume exato do sólido limitado superiormente pelaD .
superfície z = f(x, y); inferiormente pela superfície D C R2 e lateralmente pelasuperfície cilíndrica definida pela curva fronteira da região D.
De fato:
portanto, a integral dupla é o limite de soma dos volumes dos m X n paralele-pípedos. As áreas dos retângulos bases vão' se diminuindo, tendendo a zero, eos referidos paralelepípedos vão se tornando mais delgados, e seu número ten-dendo ao infinito.
7.1.3 - INTEGRAL DUPLA APLICADA AO CÁLCULO DE ÁREA
fJD
zdxdy = V
z = 1 ====>: JfD dxdy = AD
Para z = I a integral dupla JJD dx dy é numericamente igual à área da
região D; pois, como vimos na geometria V = B e h e para h = 1 =:-=> V = B,isto é, os números que exprimem o volume e a área da base são iguais.
• 2 .411 1xydydx. -
Sqlução: Inicialmente, integramos, a integral interior.
,.4 .4 [ 2]4 ..t xy dy = x 1ydy = x ~ 2 = x (8 - 2) = 6x
1 3
~ Calcule f. f. x2ydxdy.o 1
1= ro f 1 ~ 1\ 26[ 2] 1
o y\! -"3)dY =3 ~ o
26 1 13[= __e_=_3 2 3
rJ· ydxdyJ D -Jx + l'
sendo D a região limitada pelas retas y = O, x = O e x + y - 3 = O.
Solução: Representemos graficamente a região D e determinemos os limitesde integração.
Tomemos o retângulo elementar na posição da figura 7.3.Nesta posição os limites relativos a y são O e 3 e os relativos a x Oe (3 - y)(de x + y - 3 = O > x = 3 - y).
Então, II ydxdy = r 3 13-Yydx @ , dy exterior por ser a
D .Jx + 1 "0 t .JX. + 1base do retângulo elementar.Se tomássemos o retângulo elementar com base no eixo Ox, conforme afigura 7.4, teríamos
fI ydxdy = f 3 13,-x ydy @'" D.Jx+1 o o .Jx+l..
d~ 3y=o
Limites de x: Oe 3Linútes dey: Oe (3 -x) (De x +y - 3 = O >j= 3 -.Y)
r 3 f 3-y dxd1= y y-.0 o V x + 1
- 3-Y
f. 3-y dx 10
(x .+ 1)-1/2d(x + 1) =";x + 1 -
o
[
(x + 1)1/2]3-Y= --- =2V4-y-212 e
l= r(2 v' 4 - Y - 2)y<u> = 2 r v' 4 ~ y Y<u> - 2o o
3
f ydyo
'---y--/B
3
19) A = 2 1 v 4 - Y ydyo
Façamos ..; 4 - y = t ====>: 4 - y = t1.===='> I y = 4 - t1.1.
De y = 4 - t 2, tiramos I dy = - 2 tdt I·Os limites, de integração para a nova variável são:
para y = O ==> t = V 4 - 0====> t = 2para y = 3 --> t = V 4 - 3 >t = 1Substituind~ na integral A, vem:
1
A=21 t(4-t1.)(-2tdt)2
1
A = -4 r (4t1.- t4)dt
"'2
A = -4 (20 - 3 _ 160 - 96)15 15
A = -4 • 17 - 64 --> I A 188115 -- 15
3
29) B = -2 f ydyo
I = J' 3 r-yydxdy = 188 - 9 = 188 - 135 = i 531
o o V x + 1 15 15 15
Resolvamos na ordem da segunda escolha
• 3 ,. 3-x . d dx fO 3 1I = I y Y = J -----
';0 .10 V x + 1 o V x + 1
fO 3 1 [2] 3-X f. 3 1I J --- Y dx - --- (3 x)2dx= o "';~x-+-1 2" o - o 2 "';-x-+-l -
f 3 1 (9 - 6x + x2)dxo 2vx+1
f. 3 __ 1__ dx _io 2V-x-+-1 2
3
f x dx+o .JX + 1
~~---v----,/ '"-----vA B
+..!.. r 3 x2 dx
2 "0 V x + 1
J.3 1 --3
A = 9 -.==-~~dx = 9 [Vx + 1] = 9(Y4 - 1) =o 2vx+1 o
f.3 X dxo v'x + 1
v'x + 1 = t==> x + 1 = t2 ===>1 x = t2- 1 lei dx = 2tdt I
Os limites de integração para a nova variável são:
para x = 3 > t = v' 3 + 1 = 2para x = O ===> t = v' O + 1 = 1
Substituindo em B, vem:
12t1.-1 ",2B = - 3 t 2 tdt = - 6 J (t 2 - 1)dt
1 1
B = -6(; + ;) = -6 . ~= -8I B = -81
c =; rv'xx: 1dx
Façamos
v' x + 1 = t ==>: X + 1 = t1. ===> I x = t1.- 1 Ie I dx = 2tdtl
1 f. 2 (t2 1)2 f 2C="2 ~ 2tdt= (t4-2t2+1)dt1 1
C = [~_ 2 t3 + t] 2 = (32 _ 16 + 2) _ (1. _1 + 1)
5 3 1 5 3 \5 3
C = 96 - 80 + 3q _ 3 - 10 + 1515 15
C = i~- 185= i~==> I C i~I
13 13-X ydydx = 9 ,- 8 + 38 = 1 + 38 = 53
V x + 1 15 15 15o o
I I53
115
E4 Calcule a área da superfície limitada pela curva y = x2, pelo eixo dos ye pela reta y = 4, no primeiro quadrante do plano cartesiano.
Solução: A área da região D é A =
f f dxdy.D
Façamos a representação gráfica de D.Como tomamos o retângulo elementarcom a base no eixo dos y, a ordem de
integração será f f dx @ e osD
limites serão para y, O e 4 e para x, OenA = r ((Y dx)dy
4 4A = 1 [x][y dy = f yydy =
o o
A =[f[= ; • 43n
= ; • 8 = 136
IA=!fuzl
Dos estudos feitos sobre integral, podemos concluir que, para funções deuma variável, te~nos integrais simples, para funções de duas variáveis, integraisduplas e para funções de 3 variáveis seremos levados às integrais triplas.
Consideremos em R3, referida no referencial cartesiano, uma região com-pacta S, um sólido limitado superiormente pela superfície /1 (X, y), inferiormentepela superfície f-J. (x, y) e, lateralmente, limitada pela superfície cilíndrica defInidapela fronteira da região D.
Seja a função w = / (x, y, z) defI-nida e contínua na região S.A integral tripla pode ser consi-derada como a integral dupla ,da
fft (;x,y)
integral / (x, y, z) dzfz(x,y)
f. f,(x,y)J JD . f2(x,y) f(x,y, z)dzdxdy
Fig.7.6.
Concluímos que a integral tripla consiste em três integrais simples. Salvopor orientação do problema, começa·se a integral tripla pela integral da diferencialdz.
O produto dxdydz representa um volume elementar, portanto, se fIzermos
f'J J ft(x,y)' ,/ (x, y, z) = I, a integral tripla dz dx dy dar-nos-á o volume
. D fz(;x,y)
123
E1 Calcule 1= f f f (2x - 4y - z)dxdydz.o o o
Solução: Seguimos a ordem de integração na ordem dada no problema:
1 2
I = i f [x2 - 4xy - xz]~dydz =o o
- 3z)dydz
1 2J J (9 - 12y -o o
f1
1=o f
2 • 1
(9 - 12y - 3z)clft= j [9y - 6y2 - 3yz]~dzo - o
1
I = f (18 - 24 - 6z)dz =o
1= [-6z - 3Z2]~ = (-6 - 3)
1f (-6 - 6z)dzo
E2 Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 5, inferiormentepor z = 2 e lateralmente pelos planos y = O,y = 3, x = O e x = 1.
1 Y xdx y=O
Dx
Fig. 7.7.
Solução: Trata-se de um paralelepípedo. Representemo-Iograficarnente,bem como a região D.
v = ft rdzdxdy
1 3 5
V = f f. f. dzdy ®o o 2
1 3 1 3
V = f f [z]~dydx = f i (5 - 2)dydxo o o o
1 1
V = J [3y]:dx = J 9dx = [9x]~O O
7.3 - APLICAÇÕES
Sejam os pontos materiais Pb P1" P3, "', Pn do plano, de massas mb
m1" m3, ... , mn, respectivamente.Tomemos um referenciàl cartesiano no plano considerado:
Seja o ponto Pi = (Xi,Yi), i = 1, 2, 3, ... , n.
Chama-se Momento Estático do sistema dos n pontos materiais em relação aoeixo dos Y à soma dos produtos mlxl + m1,X1,+ m3X3 + ... + mixi + ... +
n+ mnXn = L mixi· De modo análogo definimos -o momento estático dos n
i=1pontos em relação ao eixo dos x:
nmiYl + m2Y2 + m3Y3 + ... + miYi + ... + mnYn = 2 miYi
i=1
nM = ml + m2 + m3 + ... + mi + ... + mn = L mi
i=1
Baricentro, ou centro de gravidade, ou centro de massa do sistema dos mpontos é o ponto G (x, y), tal que
nM' x = L mixi
i=1
nM· Y = L miYi,
i=1
nL mixii=lx= M
nL miYii=ly= M
Exemplos:
E1 Determine o baricentro do triângulo ABC,· sendo A (- 2,4), B (1,2) eC (4, - 3) de massas respectivas mA = 4; mB = 1 e me = 2.
Solução: A massa total é
M=4+1+2=7
nL miYi = 4 • 4 + 1 • 2 + 2 (-3) = 16 + 2 - 6 - 12i=l
nL mixi = 4 (- 2) + 1 • 1 + 2 • 4 = - 8 + 1 + 8 - 1i=l
nL miYii=ly= M
12=-7
nL mixii=l
o baricentro é G (;, 1/).Ez Determine o baricentro de uma região compacta Dcontida no plano carte-
siano.Suponhamos Uffig, região D C R2, compacta, de espessura desprezível, porémde massa M.A massa por unidade de área diz-se densidade da distribuição de massaque, em geral, é variável. Seja 5 (x, y) a densidade no ponto genéricoP(x, y) ED.Tomemos um elemento da ~uperfície contendo o ponto P de área dA == dxdy. A massa deste elemento é dM (massa elementar), produto dadensidade pela área elementar
dM = [j (x,y)dA = 5 (x,y)dxdy
M = ff dM = ff 8 (x,y)dxdyD D
Multiplicando a massa elementar dM pela abscissa do ponto P e somandotodos os produtos assim encontrados, obteremos o momento estático daregião D em relação ao eixo dos y
f f @ dM = Jf ô (x, y) @ dxdyD D '
f f (8 dM=D
f f ô (x, y) 0 dxdy,D
momento estático da região D em relação ao eixo dos x.O baricentro, G (x, y), da região D, tal é tal que
f f ô (x, y)xdxdy
f f ô (X, y)xdxdy
MX= >x=D
MD
e
Mj= f f ô (x, y)ydxdy >y=
ft 8 (x, y)ydx,ry
MD
Como vimos, M = f f 8 (x, y)dxdy.D
f f 8 (x, y)xdxdyDx= fJD 6 (x, y)dxdy
Jt 6 (x, y)ydxdy
y= f f 8 (x, y)dxdyD
f f ydxdyD
ft dxdy
Observação: f f D dxdy = área da região D.
E3 Determine o baricentro da superfície D limitada pela curva y = 2 x2 e areta y = 8, supondo-a de material homogêneo.
Solução: Representemos graficamente a região D.
y = 2x2 y=8
x y reta paralelaao eixo dos x
-2 8-1 2
O O1 22 8
A área da região D é f f dxdy.D
. - 2t-l O I 2
dx
2 8
A= L L2dY ®
f· 2 [2 3]2A = (8 - 2x2)dx = 8x - ; -2
-2
A = (16 - 136) - (- 16 + 136) = 32 - 332
I A ~U21
II xdydx =D
I I xdydx =I 2x(8 - 2x2)dx = I 2 (8x - 2x')dxD -2 -2
It xdydx = [ 4x2 - ~4L = (16 - 8) - (16 - 8) = O
fI xdydx = oD
2I IYdYdx = ID -2
8 r 2 [ 2] 8f ydydx = .y2X2 ·'-2 2x2
ff ydydx = I 2 (32- 2x4)dx = [32X - 2tLD -2 .
ff ydydx = (64 - ~)- (-64 + ~) = 128 _ 1~8D
.II 512ydydx =-5D
x=-º--=o643
512
Y =_5_= 24 = 4864 5 '3
cc:= (O; 4,8) Io baricentro pertence ao eixo de simetria da região D. Isto acontece paratodas as figuras planas que têm eixo de simetria.
Consideremos o sistema de n pontos materiais já considerado no 7.3.1.Tomembs o ponto Pi = (Xi, Yi) referido no referencia! cartesiano que estamosusando. Se (e), for uma reta (eixo) do plano e se ri for a distância do ponto Pi aesta reta (e), chamaremos a soma dos produtos das massas mi pelos quadrados desuas distâncias ri à reta (e) de momento de inércia do sistema de pontos emrelação ao eixo (e).
nle = mlr12 + m2r22 + m3r32 + ... + mnrn2 = L mirl
i~l
nle= L mir{
i~l
nIy = Lmix{ (Xi distância do ponto Pi ao eixo dos y)
i~l
nIx = L miY{ (Yi distância do ponto Pi ao eixo dos x)
i~l
Chamamos momento de inércia do sistema de pontos em relação à origem,à soma Ix + Iy e o indicamos por 10
n n10 = Ix + Iy = L miX{ + L miY{
i~l i~l
n10 - L mi (x7 + Y;) sendo X{ + y{ o quadrado da distância do
i~l
Consideremos uma região compacta D do plano, de espessura desprezível,com densidade ô (x, y) no ponto genérico P (x, y).
Já vimos que um elemento de superfície, contendo P, terá a área dA = dxdye a massa dM = ô (x, y) dx dy. Os momentos de inércia da região D em relaçãoaos eixos dos x e dos y são, respectivamente,
f f y2dM = f f y2ô (x, y)dxdy
.1
Ix =D D
e Iy = f f x2dM = f f x2 Ô (x, y)dxdy
D D-i
10 = Ix + Iy -
10= rf (X2+y2)Ô(X,y}dxdy01 D
f f y2dxdyD
f f Kx2dxdy = KD
Iy = f f x2dxdyD
Exercício: Calcule o momento de inércia de um retângulo em relação aoeixo paralelo ao suporte de sua altura e conduzido pelo centro do retângulo.
Solução: Seja o retângulo de base b ealtura h. Tomemos o referencial xOy. Deacordo com o problema, o eixo dos y éparalelo à altura.Calculemos, então, o momento de inérciaem relação ao eixo dos y.
y
h/2
~-p (x, y)
.........~:: :1: :
i! i- b/2 O b/2 x
dx
- h/2
I = h (b3 + b3)y 3 8 8
bh3Se calcularmos Ix, acharemos 12·
7.4 - TRANSFORMAÇÕES DAS INTEGRAIS MÚLTIPLAS
Muitas vezes ao calcularmos o valor de uma integral múltipla sebre umdomínio R é conveniente usarmos outros referenciais.
Sejam (u, v, w), coordenadas curvilíneas em 3 dimensões e as funçõesx = I(u, v, w), y = g(u, v, w) e z = h(u, v, w).
A igualdade
ff t F(x,y, z)dxdydz = . ff t.G(u, v, w) : ~~ ~ dudvdw
ax ax ax- - -au av awNota:
a (x, y, z) _ ay ay aya (u, v, w) au av awaz az az- - -au av aw
é o jacobiano de x, y e z em relação a u, v, w.Estes resultados generalizam-se a outras dimensões.
E. Calcule, usando coordenadas polares, f f R ,j x' + y' dxdy, onde R é
limitado por x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 9, sabendo-se que:
{
X = P cos ()
Y = P sen () (coordenadas polares)
a (p cos ()) a (p cos ()) cos ()ap a()a (x, y) -a (p, ()) -
a (p sen ()) a (p sen ()) sen ()ap a()
= P cos2() + p sen2() = p > a (x, y) = p.a (p, ())
f f .J X2 + y2 dxdy =R
f f .J p2COS2O + p2sen20 •RI
521T=-3-
~ Calcule, usando coordenadas cilíndricas, f f f 8xydv onde R é a. R
região cilíndrica dada por x2 + y2 ~ 1, O ~ z ~ 1 e .sabendo-se que:r = pcos8y = p sen o (coordenadas cilíndricas)
z =z
Solução: Ojacobiano neste caso é:
I a (P cos O) a (p cos O) a (p cos O)ap ao az,a (x, y, z) a (p sen O) !fp sen O) a (p sen O)- -a (p, O,z) ap ao az
a (z) a (z) a (z)ap ao azcos O -p sen O O
- sen O p cos O O =p
O O 1
fff 21r I r 1
8xydv = f f J. 8 (p cos O)(p sen O)p dz dp dO =R o o o
r 21r 1 1 21r I
= 4 J. f f p3sen 20dzdpdO = 4 f f p3sen20dpdO =o o o o o
1=- .4 f
27T [1 ]27T 1 14 sen 2 e de = - - cos 2 e = - - + - = o
.0 2 o 2 2
Determine o volume da esfera de raio R, sabendo-se que
{
X = P sen I{) cos ey = p sen I{) sen e (coordenadas esféricas)
,z = p cos I{)
Solução: Calculando jacobiano de x, y e z em relação a p, I{) e e, encontramos:
a (x,y, z) ...= p"'sen I{).a (p, I{), e) I
f f xydxdy, sendoD
a região D limitada pelas retas x = 4, x = 1, y = O e pela curva y = 2 ~.
Solução: Representemos graficamentea região D para constatarmos a ordemde integração mais conveniente.A figura indica a melhor ordem deintegração, pois, se tomássemos oretângulo elementar com a base nareta x = 1, teríamos que fazer duasintegrações duplas: uma entre oslimite~ 1 e 2 e outra entre 2 e 4 paray. Portanto, na ordem indicada, oslimites de integração são 1 e 4 parax e O e 2 ~ para y.
dX~. y=o
x=oFig.7.11.
f4 f2.JX f4 (f2.JX )
1 O xydy @J = 1 X O ydy dx
f 4 [ 2] 2.JX f 4 4 f 4X ~ dx = X.; dx = 2 x2 dx1 O 1 1
1= 2 [X3]4 = 2 (64 _ 1-) = 2 • 63 = 423 1 333
f f xydxdy = 42D
y21 + x2 dxdy,
sendo D = {(x, y) ER21 O ~ x ~ 1 e O ~ y ~ n.y = 1 Solução: Façamos a representação grá-
fica da região D.Neste caso as duas ordens de inte-gração oferecem a mesma conve-niência.
y=o-_·-°1x=o
11=-3
1y=o
x=l
f1 1 [3]1o 1 + x2 ~ o dx
fl dx
o 1 + x2
1 [ ]1 1I = 3" are tgx o = 3 (are tg 1 - are tg O)
~-~
1f 1f
PR3 Calcule f1f2 f"'3 eosx eosydydx"6 o
1f
r "2 1f/3I = cosx [seny]o dx
.J !!'..6
1f
1= J,,2 cosx (sen ; - seno) dx6
1f
1= v; J,,2 cosxdx
"6
..j3 1f/2 ~ (1r 1r)1= - [senx] = -- sen- - sen-2 1f/6 2 2 6
I=V;(l-D===>!I '713 y2
PR4 Integre f. t y dx dy representando graficamente a região de mte-
gração.
I = r(y' - y2)dy = [~4_~']:I = (81 _ 27) _ (16 _~) = 135 _ ~
4 . 3 4 3 12 12
I I - 119112
Interpretamos a região D.Analisando os limites da integração, notamos que
D = {(x, y) E R21y ~x ~y21\ 2 ~y ~ 3}
Então:
y
y=3
f f (x + l)dxdy,D
D = {(x, y) E R211 ~ x ~ 2 1\ X ~ Y ~ 2x}
1 dx 2 x
x=l x=2
Solução: Representemos graficamentea região D.Notamos que o retângulo elementardeve ter eixo vertical.
ff f.2 f2XI = (x + l)dx dy = (x + l)dy ®
D 1 X
[= j"(X+l)(fX
d)dx= (X + 1)LY1:1®1 x) 1
2
I = f. (x + lX2x - x)dx1
.•2I = J (x2 + x)dx
1
PR6 Calcule, usando integral dupla, a área da superfície D, limitada pelas retasy = O, y = x, y = 3 e x + y - 3 = O.
Solução: Representemos D, grafi-camente.Calculemos a área de D, tomandoo dobro da área de um dos doistriângulos.
3- 3-YA=2 .f.2.f. dx@
o Y
A = 2 f.~( r-y
dx) dy
3
A=2 f2
[xl;-YdY'o
3 3
A = 2 f' (3 - Y - y)dy = 2 f 1"(3 - 2y)dyo o .
A = 2 [3y - y21:12 = 2(; - :) = 2 · :
I A ; u'l
PR7 Calcule, nas duas ordens de integração, f f x2 dx dy, onde D é a regiãoD
do plano xOy, limitada por y = x e y = x2•
1 x
1= f f x2dy ®o X2
1= J.' (x' - x4)dx = [~4-.~l1=1-_1..
4 5
1 I io I
dy x=.JY
1= r[~3]~dy
_ J 1(y3/2 y3)1- --- dy. 3 3o
1= ; [Yi2 -~l= ;(; - ~)
1=1..8-53 20
1 31=-·-. 3 20
I I 2~ I
PRs Calcule, na ordem dada, f f (x - y) dy dx, sendo D a região de xOyD
limitada pelo eixo dos x e pelas retas y = x e x + 2y - 6 = O.
Solução: Representemos D, graficamente:
Na ordem dada, f f (x - y) dy @ , devemos tomar o retângulo ele-D
mentar com eixo vertical. Então, a região D será diviéJjdaem duas.
2f f (X - y)dydx = fD O
r (x - y)dydx +O
+ f. 6 f. 6-X2"" (X - y)dydx
2 O
1= f 2 ( r (x - Y)dY) dx = r r xY _ y;]X dx =O o o ~ o
=r (x2 - x;)dx =o J 2 2
~dx2
o
= r (6X ~ x2_ 36 - l;X + X2)dx
2
1 J 6 1 5x36II = 8" (36x - 5x2 - 36)dx = "8 [18x2 - 3 - 36x]2
2
II = ~ [(648 - 360 - 216) '- ~2 - ~o- 7~ 1II = 1(72 + 40) = 9 +~ = 32
8 3 3 3
Então, fI (x - y)dydx = ± + 32 = 36 = 12D 3 3 3
I ft (x -y)dydx = 121
A fIm de melhor compreendermos qual a ordem mais conveniente, inte-gremos na outra ordem.
f f (x -y)dx @D
- f 2 f 6-2Y(X - y)dxdy
o y
xx +2y- 6 = O
f I (x - y) dx dy =D f 2 ( f 6-2Y \
o y (x - Y)dx) dy
1= ff (x - y)dxdy = r[~2_Xy]6-2Ydy
D o y
1= J2o
2(18 - 12y + 2y2 - 6y + 2y2 _~ + y2)dy
'" 2 (9 2 )I = J ; - 18y + 18 dyo
[3 3 ]2I = ; - 9y2 + 18y o = 12 - 36 + 36
I 1= 121
PR9 Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 2 x + y + 4,inferiormente por z = -x - y + 2 e lateralmente pela superfície defmida
, 2
pelo contorno da região D, limitada pelas curvasy = x2 - 4 e y = ~ - 2.
Representemos, graficamente, a região D para a escolha da ordem de inte-gração mais conveniente.
2 X2_4
V = J fx2 [2x + y + 4) - (-x - y + 2)]dy @-2 "2-2
x2y =-- 22
2 xx2
y =-- 22
v = f 2 fx:2-' (3x + 2y + 2)dydx-2 '2-2
2
V = f [3xy + y2 + 2yl::2/:>_2--2
v = t:{[3x (X2
- 4) + (X2 - 4)2 + 2 (x2 - 4)] -
v = t: [(3X3- 12x + x' - 8x2 + 16 + 2x2 - 8) '-
(3X
3X4 )]- 2 - 6x +""4 - 2x2 + 4 + x2 - 4 dx
f 2(3X4 3x3 \V = 4 + T - 5x2 - 6x + 8)dx)
-2
V= [3X5 + 3x
4_ 5x
3_ 3x2 + 8x]2
20 8 3 -2
V = (254 + 6 - ~O - 12 + 16) - (- ~4 + 6 +*-12 - 16)
V = (254 - ~O + 10) _ (_ 2
54+ ~ - 22)
V = (72 - 2~~ + 150) _ (-~72 + ;~ - 330)
V = 22 + 20215
V 224 3=1SU
PR10 Calcule, usando integral tripla, o volume do tetraedro ABCD, com A (4, O, O),B (O, 2, O), C (O, O, O) e D (O, O, 6).
A equação segmentária do plano ABeé
~+Z.+!..=1p q r
~+Z+!..=l426
I 3x + 6y + 2z = 12 I3z=6-2"x-3y
3z = 6 --x - 3y2
x,-- ~ +L= 14 2
e para y > O e y. 2 - ~ tirado de ~ +~ = 1
x 34 2-- 6--X-3Y
v= f f 2 f 2 dzdy @o o o
xV = f.4 t2-, [Z]:-(3/2)X-3Y dydx
f4[ 3 3y2]2-<XI2)dxV= 6Y-"2xY-T
o o
PRu Calcule J J J s x dx dy dz, sendo S a superfície compacta limitada supe-
riormente por z = xy, inferiormente pelo plano ABC, onde A (O, O,O),B (4, O,O) e C (1, 2, 3) .e lateralmente pela superfície defInida pelo contornoda região D, limitada por y = O,Y = x e 3x + 2y '- 18 = O.
Solução: Determinemos a equação do plano ABC que nos dará o limite deintegração inferior Z2.
x y z 1O O O 1
1fABC > =0 >4 O O 11 2 3 1
x Y z= O > (_1)3 Y z__ > (_1)6 4 O O =0
2 31 2 3
-(3y - 2z) = O > -3y + 2z = O --> I Z ; Y I
fff dxdydz = ffS D f xy
dzdxdy.!y2
{y = X . 18
De ==>: 5y - 18 = O =-=--=-> Y =-53x + 2y - 18 = O
2x = 6 --y3
Então,
18 2
f :f 6-.Y fXY1= ~y dzdx @
o y 2
r 6-~
1= f 3 [Z~~12 dxdyo y
18 6-~
1= 5S f 3 (XY - 3J)dxdyo y
1'8 [2 3 r-2Y131= s x y _ xy dy
2 2·o y
18
I =; r [(6 - YYy - 3 (6 - 2J)y - y2y + 3y • y] dy
18
1= ~ 15(36Y - 8y2 + 4~3 _ 18y + 2y2 _y3 + 3y2)dY
o
181=; r ~8Y-3y2_5ndyo
I = 1- [9y2 _ y3 _ 5y4] 158
2 36 o
I = 1-(9 • 324 _ 5.832 _ 18 • 18 • 18 • 18)2 25 125 36 • 125:
I = .!(2.916 _ 5.832_ 2.916)2 25 125 125
I = 1.458 _ 2.916 _ 1.458 = 1.458 _ 4.37425 125 125 25 125
I I 2.916
1125
PR 12 Calcule o volume do sólido contido no primeiro octante, compreendidoentre o cilindro circular x2 + y2 :.- 9 e o cilindro parabólico x2 + 2 z = 9.
v= JJJ dxdydzs
S, inferiormente é limitada pelo plano xOy de equação z = O, superior-
mente pelo cilindro parabólico x2 + 2 z = 9, que nos dá z = ~ (9 - x2).
Então,
JJ J~(9-X2)
dzdxdyD o
~ 1( 2f 3 rl'-~- f"2 .-~)dzdy d:x
o o o
3 .
V = ~ f (9 - x2)(9 - X2)112 dxo
r 3
V =; J (9 - x2l/2 dxo
====> I dx = 3cosada I..J 9 - x2 = 3 cos a
J9 -x2
Fig.7.26.
I . J (3 cosa)33cosada
I = 81 f cos4ada
para· x = 3 > 3 = 3sena > sena = 1 > a = ;
1T
V = 821 f"2 cos4ada
o
1T 1T
V = 81 f 2 2 2 81 f"2 (1 + ~os2a)2dnJ2 (cos a) da = 2" ....o o
V = 812
1Tro 1 + 2cos 2a + cos22a4 da
n n n
V = 8; f"2 da + 81 f Z cos 2 ada + 8; f"2 cosz2adao o o
V = 81 [ ]nl'2 + 81 [ 2 ]n12 + ~8 a o 8 sen a o 8'--y---/
O
+ cos4a2 da
v = 811T + ~16 16
n n
f '2 81 f"2da + 16 cos4ada
o o
v = 811T + ~ [ ]nl'216 16 a o
V = 811T + 811T = 2431T16 32 32
PR 13 Determine o centróide (baricentro) da área plana limitada se curva y -= 4x - x2 e pelo eixo dos x.
y = 4x - x'2
4x - x2 = Ox (4 - x) = Ox=Ox=4
~
y
-1 -5O O2 44 O5 -5
d~ xy=oFig.7.27.
Para determinarmos G (x, y) deveremos aplicar as fórmulas:
f f xdxdyD
x = f f dxdyD
f f ydxdyD
f f dxdyD
2r rx-x
xdy @o o
J 4 J 4X-X2
dydxo o4
[4X' _ xTJ (4x2 - x3)dx340o
x = -
[2X2- :'f -
4. J (4x - x2)dxo o
256 256 256--- -_ 3 4 =~= 2
32 _ 64 323 3
I x 21
roy= ro
3 1y =--32 2
4X-X2J ydy ®o
J4X-X2dy @
o .
fJf[-X2dx
32 '3
y = 2- (1.024 _ 512 + 1.024) = 2- . 51264 3 5 64 15
EIJy=-5
PR 14 Determine o momento de inércia em relação ao eixo dos y da área limitadapela curva y = 9 - XZ e pela reta y = O.
Solução: Representemos graficamente a região D.
y y = 9 - XZ x Y9 - XZ = O -3 Ox=±V9 O 9x = ±3 3 O
I(Fig.7.28.
A fórmula do momento pedido é
Iy = f f xZdxdyD
3 " 9-X2
Iy - f j x2dy @-3 o
Iy = C (9x' - x4)dx = [3X' - ~lIy = (81 _ 2~3) _ (-81 + 2~3)
I = 162 _ 486 = 324y 5 5
[y 3~41
PR 15 Determine o momento estático em relação ao eixo dos x da área planalimitada pela curva y2 = X + 4, no 29 quadrante.Solução: Representemos graficamente a área D.
y2 =x + 4
I\-4, d O" x..•.....•1, = O
..................•.
- 2 .................•....•...•.---- ......•.
x y
-4 OO 25 3
Calculemos o momento da área D através da fórmula I I y dx dy.D
II 1 I o 1 [2 ] o 1D ydxdY=2 -4 (x+4)dx="2 ~ +4x -4 -2"(8-16)
86Resp.: 3"
f. I f. X-Ixdydx.
o 1
f; f 2X-4X
2
PP3 Calcule xydydx.o . X-2X2
1Resp.: 640
PP 4 Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 1 + x2, inferior-mente pelo plano z = O e lateralmente pela superfície cilíndrica defInida por
D = {(x, y) E R21_ 1 ~ x ~ 1 A x2 ~ Y ~ I}
8 3Resp.: SU
PPs Calcule, aplicando integral dupla, a área da região D, limitada pela curvay = x3 + 2x2 e pela reta y = 3x.
71 2Resp.: 6" U
PP6 Determine o volume do sólido limitado superiormente por z = x + y - 1,inferiormente por z = O e lateralmente pela superfície defInida pela regiãolimitada por y = x, y = 2 - x e x = O.
1 3Resp.: 3U
PP7 Calcule o volume do sólido limitado superiormente pela superfície z =- y , inferiormente por z = O e lateralmente pela superfíciex.J x2 - 1defInida pelo contorno da região
D = {(x, y) E R211 ~ x ~ .J5 A 2 ~ y ~ 3}
Resp.: 2,767 u3
ff ~dxdY2 sendo:D x + Y
D = {(x, y) E R211 ~ x ~ 2 A O ~ Y ~ I}
pp9 Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z =- x + y + 3,inferiormente por z = 2 e lateralmente pela superfície definida pelo contornoda região D, limitada por y = 4 - x2, para -1 ~ x ~ 1;Y = 3x paraO ~ x ~ 1 e y = - 3x para - 1 ~ x ~ O.
223 3Resp.: 15U
PPlO Calcule fI x: dx dy, sendo D a região do primeiro quadrante, limi-., D Y
tada pelas retas x = 2, x = y e a curva xy = 1.
9Resp.: 4
I to d dxI y 2' sendo:• D (x + y)
D = {(x, y) E R213 ~ x ~ 4 e 1 ~ Y ~ 2}
25Resp.: Qn 24
PP 12 Calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = 4 x, inferiormentepelo plano xOy e lateralmente pelo cilindro circular x2 + y2 = 16.
512 3Resp.: TU
PP 13 Calcule a área da região do plano xOy, limitada pelas duas4x - x2 2x2 - 11xe y = 4
125 2Resp.: ""8 U
PP14 Calcule rI x2 .J9 - y2 dydx, sendo.;D
D = {(x, y) E R21 x2 + y2 ~ 9}
864Resp.: -5-
PP 1S Calcule I I cos (x -+- y) dy dx, sendo D o triângulo de lados x - 1T,
DY = O e y = x.Resp.: -2
PP 16 Calcule f f f (x2 + 2y - z) dx dy dz, onde S é o paralelepípedoS
retângulo limitado pelos planos x = O, x = 3, y = O,y = 5, z = O e z = 8.
Resp.: 480
f f f s (x + y + z) dx dy dz, sendo S o tetraedro A (2, O,O),
B (O, 4, O), C (O, O, 3) e D (O, O, O).Resp.: 9
PP 18 Calcule f J f z dx dy dz, onde V é o tetraedro de vértices A (O, O, O),V
B (1, O, O), C(1, 1, O) e D (1, O, 1).1
Resp.: 24
PP 19 Calcule o volume do sólido situado no triedro formado pelas semi-retasOx. Oy e Oz e compreendido entre os planos z = O, y = z e x = 1 e ocilindro parabólico y2 = X.
.13Resp .. "4u
PP20 Calcule o momento estático, em relação ao eixo dos y, da área limitadapela curva y2 = X + 4, no 29 quadrante.
128Resp.: -15
PP21 Determine os momentos estáticos em relação aos eixos coordenados da áreaplana limitada pela curva y = 4x - x2, no 10 quadrante.
256 64Resp.: Mx =15 e My ="3
2PP22 Determine o baricentro da área limitada pela curva y = ~ e pela retay = x.
Resp.: G 0,~)PP23 Determine o momento de inércia, em relação a cada um dos eixos coorde-
nados, da área limitada pela curva y = sen x, desde x = O a x = 7T.
4Resp.: Ix ="ge Iy = 7T2 - 4
8INTEGRAIS CURVILÍNEAS
Ofereçamos de nós mesmos a confiança e adiligência, a concórdia e o serviço. Jesus faráo resto.
8.1 DEFINIÇêES
Consideremos no plano xOy, wna ycurva C que une os pontos M (a, b) eN (c, á) conforme Fig. 1. Sejam P (x, y) eQ (x, y) funções definidas e contínuas emtodos os pontos de C. A integral curvilíneaao longo da curva C é dada por
f [P (x, y) dx + Q (x, y) dy]Jc
J(c,ei)
(Pdx + Qdy)(a, b)
('
No espaço tridimensional esta,integral é dada por J (A1dx + A2dy + A3dz),C
8.2 - NeDTAÇAtI VET(f)RIAL DAS INTEGRAIS CURVILíNEAS
J (AIdx + A2dy + A3 dz) =c
= f à XdfC
-* -* ~ -* ~ ~ ~ -*onde A = AI i + A2j + A3k e dr = (dx)i + (dy)j + (dz) k.
Tais formas vetoriais são mais convenientes nas interpretações físicas ougeométricas, ou mesmo a simplificação da notação.
~Exemplo: Se a cada ponto (x, y, z) associarmos urna força F que atua
sobre um objeto, a integral f F X df representará, o trabalho total desen-C
volvido para o referido objeto ser deslocado ao longo da curva C.
p. f [P(x, y)dx + Q (x, y)dy] = f P(x, y)dx + f Q (x, y)dyC C C
(c,d) f (a,b)P2 f (Pdx + Qdy) = - Pdx + Qdy
~~ ~d)
f (c,d) f (m,n)(Pdx + Qdy) =' (Pdx + Qdy) +
(a,b) (a,b)
f(c,d)
+ (Pcix + Qdy)(m,n)
(1,3)
Exemplo: Calculemos f [(x2 - y2)dx + 0'2 + x2)dy] a0 ICDngod0(0,2)
segmente de reta de extremes (m, 2) e (1, 3).
Solução: A equação da reta definida pelos pontqs «;), 2) e (1, 3) é
L
Diferenciando temos dy = dx e a integral é assim calculada:
dy ,
fI"
{[x2 - (x + 2)2] dx + [(x + 2)2 + x2]} dx =x=o
- f 1 (x2 - x2 - 4x - 4 + x2 + 4x + 4 + x2)dx =o
- f 1 2x2dx = [2 ~'J:-; ouo
3f. [0' - 2)2 - y2] dy + fy2 + (y - 2)21dy =2
= s: (2y2 - 8y + 8)dy = [ ; y3 - 4y2 + 8y]: =
(16 . ) 16 2= (18 - 36 + 24) - - - 16 + 16 = 6 - - = -333
Chama-se curva fechada simples uma curva fechada que não intercepta elaprópria em nenhum ponto.
Sejam as funções P (x, y), Q (x, y), ~~ e ~~ uniformes e contínuas num
domínio limitado por uma curva fechada simples C. Então,
t(Pdx + Qdy) =C 55 (ôQ - ÔP)dxdôx ôy Y,
R
sendo o símbolo f usado para indicar que a curva é fechada e que é percorridaC
no sentido anti-horário (positivo).
Quando ~yP= ~; a integral curvilínea r (Pdx + Qdy) independe do., C
percurso C que liga dois pontos quaisquer do domínio R.
1=
A· ald d ÔP ô Q, b' d" - pax Q19u a e ôy = ôx e tam em con lçao para que + dy seja
uma diferencial exata, isto é, que exista uma função F (x, y) tal que Pax + Qdy ==dF.
ôP _ ôQ _Logo, se ôy - ôx entao
f (P dx + Q dy) = OC
Podemos fazer uma extensão dizendo que para a f (A1dx + Azdy +C
+ A 3dz) ser independente do percurso C, que liga dois pontos quaisquer de umôA1 ôAz ôA3 ôA1 ôAz ôA3
domínio R, é que, ôy = ôx' ôx = az' az = ôy' sendo as derivadas
parciais contínuas em R. Mas quando isto acontece (ver Capo VI - Defrnição-+ -+ -
de Rotacional) o rotacional de A é nulo, ou seja, 'V fi A = O, sendo esta umacondição para independência do percurso adotado na integral curvilínea.
-+Em física, por exemplo, se F representa um campo de força que age em
-+ -+um objeto ao se deslocar de um ponto a outro e se 'V fi F = O, diremos queo trabalho aí efetuado não dependerá do percurso e tal campo de força dir-se-á"CONSERVATIVO".
Podemos usar também a notação:
1 -+ -+'fAX dr = O
C
onde C é fechada e 'V fi à = Õ.
E1 Calcule; ~ (- y dx + x dy).C
Solução: dx dy = dA (elemento de área), então pelo teorema de Green:
P Q1 ~ -1- -1- 1- (-ydx+xdy)=-2 C 2
f f (1 + l)dxdy =R
f f 2dA =R
1 ~K+2C
P
0ax+
- f f dA = A (área de R)R
Q
8 dy -
1- K+2
1- K+2 f f xK (K + 2)dA (momento MKx), K = O, 1, 2, ...R
Consideremos uma superfície fechada S, fronteira de um Volume V. SeA1, Az e Ag são funções contínuas, tendo no domínio V derivadas parciais tambémcontínuas, então:
fff (aAl aAz aA3)-+-+- dV=V ax ay az
f f (A1cosa + Azcosf3 + Agcos-y)dSs
onde a, {3,-y são os ângulos diretores da normal à superfície S, traçada exterior-mente.
~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~Como A =Ali +Azj +A3K, n = icosa+jcos{3+Kcos-y,~ aA I aA z aA 3 ~ ~
'VX A = - + -- + -- e A X n = AI cosa + Azcos{3 + A3cos-y. Assim,ax ay az
fII CvXÃ)dV=V
que traduz o Teorema de Green no Espaço, também chamado Teorema daDivergência.
Sejam Ab Az e A3 contínuas tendo derivadas parciais de primeira ordemtambém contínuas em um domínio do espaço. Logo:
I (Aldx + Azdy + A3dz) =C II [(aAg aAz)
s ay - az cos a +
(aAI aAg)
+ a;- - ax cos{3+
(aAz aAI) ]+ ax - ay cos-y dS
~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~Como A - Ali + Azj + AgK, n = i cosa + i cos{3+ K cos-y,
~ (aA3 aA2\~ (aAI aAg)~'\7 J\ A = ay - az) i + az - ax j +
+ (aa~2_ a~l)K (Cap. VI) e
('\7 J\ Â) X -; = (aA3 _ aAZ) cosa + (aAI _ aA3)cos{3 +ay az az ax
+ (aAz _ aAI)cos-Yax ay
r ~ ~A X dr =
" C
Particularmente se 'iJ A Ã = Õ então ~ Ã X df = O o que era de se.lC
PR 1 C'}1culeo valor das integrais:
a) f (3 Y dx - 5x dy), C: x = 2 + t, Y = 2 - 4 t, O ~ t ~ 1C
Solução:
{
X = l + t > dx = dtY = 2 - 4t > dy = -4dt. Assim:
f~1
(3ydx - 5xdy) = J [3 (2 - 4t)dt + 5(2 + t)4dt] =C o
4 1- j (6 - 12 t + 40 + ,20 t) dt =o
- f \46 + 8t)dt = [46t + 4t2l~ = 50o
f(3,9)
b) (xy2 dx - yx2 dy), ao longo da parábola y = x2
(-2,4)
Solução: y = x2 ====>' dy = 2xdx. Assim:
= [_ X6]3 = _ ~ + (-2/ = _ 6656 -2 6 6 6
f xdx + ydyc) 2 2' C: X = cos t, Y = sen t, O ~ t ~ 217'.
C X + Y
{
X .= cost > dx = -sen tdty = sen t --> dy = cos t dt. Assim:
f X dx + y dy = J 21T - cos t sen ~dt + se~ t cos t dt = Ox2 + y2 COS t + sen tC o
d) f (y2dx + xydy), C: o caminho triangular de (1, O) para (1,1) paraC
(O, O) para (1, O).
Solução:
y(O, 1) (l, 1)
A equação da reta que passa pelos pontos (O, O) e (1, O) é y = 0=>=>dy=O.Assim:
f (y2dx + xydy) = OCl
A equação da reta que passa pelos pontos (1, O) e (1, 1) é x = 1 >--> dx = O.Assim:
A equação da reta que possa pelos pontos (1, 1) e (O, O) é y = x >=>dy=dx.Assim:
f c3(y2dx + xydy) = {O x2dx + x2dx = f, o2x2dx = [; x'J: =
2=-3"
~PR2 Ache o trabalho realizado pela força F dada, sobre uma partícula movendo-se
~ ~ ~ .em C, dados: F = 2 i - 5 j e C: caminho poligonal de (O, O) a (1, 1) a(1,2) a (2,2).
Y (1,2) C32 (2,2)T= f F X df =
C '
f ~ ~ ~= (2 i - 5 j ) X [(dx) i +C
+ (dy)11 = f (2dx - Sdy)C
f (2dx - 5dy) = J' (2dx - 5dx) = [-3x]~ = -3C1 o
f (2dx - 5dy) = f 2 -5dy = [-5y]~ = -5C2 1
f (2dx - 5dy) = f' 2dx = (2x]~= 2.C3 1
T = J (2 dx - 5 dy) = - 3 - 5 + 2 = - 6C
-l- -l- -l- -l-PR 3 Se A = (4 x3 - 2yz) i + (2y + 4 xz) j + (2 + 3 xy2 Z2) k, calcule
J Ã X dt de (O, O, O) a (1, 1, 1) ao longo de C: x = t2, Y = t, z = t3•C .
J Ã X dt = J [(4x3 - 2yz)t + (2y + 4xz)j +C C
-l- -l- -l- -l-+ (2 + 3xy2Z2) k] X [(dx) i + (dy)j + (dz)k)] =
= J [(4x3 - 2yz)dx + (2y + 4xz)dy +C
+ (2 + 3xy2Z2)dz]
x = t2 ==>" dx = 2tdtComo y=t ==>dy=dt
z = t3 > dz = 3 t2dt
f à X di = f 1 (4t' - 2t4)2tdt + (21 + 4t')dt +C o
+ (2 + 3 t1o)3 t2dtl =
_ fI (8t7 - 4t' + 2t + 4t' + 6t' + 9tlZ)dt =o
1
= J. (8t7+ 2t + 6 t' + 9tlZ)dt =
[9 ] 1 61= t8 + t2 + 2 t3 + - t13 = -13 o 13
·PR4 Achar a área do círculo x = R cos O e y = R sen O.
Solução:
{X = R cos O > dx = - R sen OdO
y = R sen O > dy = R cos OdO
1 J, 1 r 21T
Área = '2 r(x dy - ydx) = '2 (R cosO· R cosO dO +"O
PRs Verifique o teorema de Green no plano para f [(3 x2y - x3) dx +C
+ (x2 + y2) dy), sendo C a curva fechada do domínio limitado entre y = x2 ey =x.Solução:
y
1 (1, 1)
Fig.8.4.
Ao longo de y = x2 temos dy = 2xdx e
,. 1
J [(3X2x2 - x3)dx + (x2 + x4) 2xdx) =O
1
= f (3x4 + x3 + 2x5)dx =o
= (} x5 + x4 + X6)1 = 1 +1.. +1.. = 2!.\S 4 3 o S 4 3 60
f.o [3x' - x')dx + (X2 + x2)dx] =
=(~4+ ; X'X = _ ~
1[ 2 3 2 2 ] 71 7 1(3 x y - x )dx + (x + Y ) dy = - - - = -C ~ 6 ~
1f (2x - 3x2)(x - x2)dx =O
1- f (2x2 - 2x3 - 3x3 + 3x4)dx =O
3 5 2 1=---+-= -5 4 3 60
(3,5)
PR6 Verifique se f [(2xy +y2)dx + (x2 +2xy - y)dy] é ind~pendente(1,2)
do percurso e calcule o valor dessa integral.
Solução:
1ap
p(x, y) = 2xy + y2 ===> -ay = 2x + 2y
Q(x,y) = x2 + 2xy - y ==>. aQ = 2x + 2yax
Então, ~~ = ~~ e a integral dada é independente do percurso.
Calculemos o seu valor.Como ela não depende do caminho escolhamos um qualquer. Usemos oda figura:
y(1,5)
········PJ (3, 5)C2 :
C1 :
2 , (1,2) II I
A reta que passa pelos pontos (1, 2) e (1,5)é x = 1 onde dx = O e a reta que passa pelospontos (1,5) e (3,5) é y = 5 onde dy = O.Então:
f [(2xy + y2)dx+ (x2 + 2xy - y)dy] =Cl
( 2)5 27= y +L =_222
5f. (1 + y)dy =2
f [(2xy + y2)dx + (x2 + 2xy - y)dyf =C2
3
= f (lOx + 25)dx = (5x2 + 25x)~ = 901
r (3,5) 27 207[(2xy + y2)dx + (x2 + 2xy - y)dy] =""2 + 90 = "2"
• (1,2)
PR7 No problema anterior, calcule f [(2xy + y2)dx + (x2 + 2xy - y) dy]ao longo de y = x2 e y2 = X. •
Solução: Como aap = 2x + 2y = aaQ entãoy . x
~ [(2xy + y2)dx + (x2 + 2xy - y)dy] = O (T. de Green)
-'}- -'}- -'}-PRs V~rifique o teorema da divergência para A = (3x - 2z) i + (xy2Z) j +
-'}-+ (x2z) k, através do domínio limitado por x = O,x = 1, y = O,y = 1 ez = O, z = 1.Solução:
fff (ílXÃ)dV= Jl Jl fl(3+2XYZ+X2)dzdYdx=V o o o
I I- f f (3 + xy + x2) dy dx =
o o
1,1)
F(1,
1, O)y
A (1,
/x Fig. 8.6
f r -'}-J (A X ti) dS calcularemos face por face, pois S é superfície do cubo.S
-'}- -'}- -'}- -+ -'}--'}-1) Face ABGF: n = i , x = 1. Então A = (3 - 2z) i + (y2Z) j + zK e
'---v---'SI
1 1f f (1x ti) dS = f f (3 - 2 z) dy dz =SI o o
= (3z - Z2)~ = 2
~ ~ ~ ~ ~ ~2) Face BCDG: n = j ,y = 1. Então A = (3x - 2z) i + (xz) i + (x2z)K e
'--y--/
S2
1f (3 - 2z)dz =o
ff (Ã X rl)dS = r f ~2
S2 o o
= (~): = ~
fi 1dxdz = "2zdz =
o
~ ~ ~ ~3) Face OABC: n = -K e z = O. Então A = (3 x) i e
'---y--/83
J J (Ã X ri) dS = O83
~ ~ ~ ~ ~4) Face OEFA: n = - j e y = O. Então A = (3x - 2z) i + x2zK e
'----v--'S4
J f (Ã X ri) dS = O84 .
~ ~ ~ ~ ~5) Face DEFG: n = K e z - 1. Então A = (3 x - 2) i + (xy2) j +
'----v--'S5~+ (x2)K e
~ ~ ~ ~6) Face OCDE: n = - i e x = O. Então A = (- 2z) i e
'----v--'S6
ff1 1 1
(1' X ti) dS = f f 2 z dz dy = f dy = 1S6 o o o
rf -+ -+ 1 1 43J (A X n) dS = 2 + - + O + O + - + 1 = -
S 4 3 12
(3,9)
PP1 Calcular f [(x + 2y)dx + (2y - x)dy] ao longo(1,1)
a) da parábola y = x2;
b) de uma reta;c) dos segmentos de reta desde (1, 1) a (3, 1) e de (3, 1) a (3, 9).
a) 84; b) 88; c) 8.
PP2 Calcular t [(3x - 2y - 4)dx + (6y - 3x + 4)dy] ao longo do triângulo
de vértices (O, O), (1, 2) e (5, 2).
a) f [2y2dx - 4xdy], C: x = 2 - t, Y = 4 + 3 t, 1 ~ t ~ 2.C
Resp.: -152
b) f [(5y +x)dx + (3y - 4)dy], C:x = 4 + 2t,y = 10 -2t,. CO ~ t ~ 3.
Resp.: 150
(2,4)
c) f [xZydx - 3y2dy], ao longo da parábola y = x2•
(-2,4)
64Resp.: 5
(2,8) .
d) f [ ~ dx - ~ dY] ao longo da reta y = 2 + 3 x.(1,5) y
Resp.: 3,699 aproximadamente
'
" xdx - ydye) 2 2.' C: x = cos t, Y = sen t, O ~ t ~ 2 rr •
.; x + Y
f) f [2ydx + Sxdy]; C: x = sent, y = cost, O ~ t ~ 2rr.C
Resp.: - 3rr
g) f [y2xdx + 2x2ydy]; C: o caminho triangul~r de (1, O) para (2,2)C
para (-1,3) para (1,0).
77Resp.: 12
~PP4 Ache o trabalho realizado pela força F dada, atuando sobre uma partícula
que se move na trajetória C dada por:~ ~ ~
a) F = 2 i - 6 j , C: caminho poligonal de (O, O) a (1, 1) a (1,3) a (3, 3).
Resp.: -12~ ~ ~
b) F = i + 2 j , C: caminho poligonal de (1,2) a (1,3) a (3,4) a (4,4).
Resp.: 7
1 [(x2 - xy2)dx + 0'2 - 2xy)dy]C
onde C é o retângulo de vértices (O, O), (3, O), (3, 2) e (O, 2).
Resp.: 6
PP6 Calcular ~ [(2x - 3y - 2)dx + (3y + 2x - 6)dy] ao longo de um círculo
de raio 4 e centro em (O, O) usando o teorema do Green.Resp.: SOrr
f(2,1)
PP7 Prove que . [(2xy - y4 + 3)dx + (x2 - 4xy3)]dy independe do(1,0)
caminho entre (1, O) e (2, 1) e a seguir calcule o valor dessa integral.
Resp.: 5
PPs Calcule a área do círculo de raio 3 com centro em (O, O).
Resp.: 91T
PP9 Calcule a área da elípse x = 6 cos 8, y = 4 sen 8.
Resp.: 241T
PPlO Calcule a área do retângulo de vértices (1,1), (1,3), (5, 1) e (5,3).
Resp.: 8
PPll Calcule a área do trapézio isósceles de vértices (1, 1), (2,2), (4, 2) e (5, 1).
Resp.: 3
~ ~ ~ ~PP12 Verifique o teorema da divergência para A = (3 x - z) i + xy2 j - xzK
através do domínio limitado por x = O, x = 2, Y = O,Y = 2, z = O, z = 2.
Resp.: 32
~ ~ ~PP13 Verifique o teorema da divergência para A = (2xy + z) i + y2 j
~- (x + 3y)K tomado no domínio limitado por 2x + 2y + z = 6, x = O,y = O e z = o.Resp.: 27
~ ~ ~ ~PP14 Sendo F = (2xy + 3) i + (x2 - 4z) j - 4 yK calcule o trabalho reali-
zado por uma partícula sujeita a essa força ao se deslocar de (3, - 1, 2)a (2, 1, - 1).
Resp.: 6
PP15 Calcule novamente o problema anterior tomando outro caminho.
Resp.: 6
9SÉRIES
Nada como compor um poema alegre ao somda verdade e à luz do Infinito.
Consideremos a sequencia de números a}, a2, a3, ... e Sn = ai + a2 ++ a3 + ... + an onde n = 1, 2, 3, ...
Assim:
S1'= ai
S2 = ai + a2
S3 = ai + a2 + a3
Temos então uma outra seqüência de números S b S2, S3, •.. a qual échamada série de termos an, a qual indicaremos por "'Ean. Cada Sn é chamadade soma parcial da série.
tal que lim Sn = S, diremos que a série I an = ai + a2 + a3 + ... é conver-n-+oo n=l
gente e tem soma S. Quando tal limite não existir (ou for infinito), diremos que asérie é divergente.
00 nPodemos com isso escrever L an = lim L aj, quando existir o limite.
n=l n-oo j=l
00
E1 Consideremos a série L n (n 1+ 1)· Temos:n=l
00
" 1 111 1 1~ n (n + 1) = 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + ...n=l
1 1 1 1· ~Sn = '2 +"6+ 12 + 20 + ... = ~
Sn = lim 11n-oo n
00
- 1 diremos que a série L n (n 1+ 1) én=l
E2 A série L (_l)n-l = 1 - 1 + 1 - 1 + ... não é convergente pois sen=l
n é par Sn = O e se n é ímpar Sn = 1. Portanto não existe lim Sn e an-oo
Se I an e I bn são convergentes com somas A e B, respectivamente, en=l n=l
K é uma constante, então
a) I (an ± bn) = A ± Bn=l
b) I (K an) = K I an . KAn=l n=l
a) I (an ± bn) = A ± Bn=l
Consideremos as somas parciais
An = a I + a2 + a 3 + .Bn = bl + b2 + b3 + .==>. Sn = An ± Bn = (aI + a2 + a3 + ... + an) ±
± (bl + b2 + b3 + ... + bn) =
= (aI ± bl) + (a2 ± b2) + (a3 ± b3) + ... + (an ± bn)
Logo, lim Sn = lim (An ± Bn) = A ± B pois, por hipótese, An convergen-"oo n-..oo
2 (an ± bn) = A ± B.n=l
Propriedades
.PI Multiplicando cada termo de uma sene por uma constante não nula, asérie continua convergente ou divergente.
P2 Retirando ou acrescentando um número fmito de termos a uma série, estapermanecerá convergente ou divergente.
A série L an é absolutamente convergente quando I lan I converge. Se
I an converge, mas I lanl diverge, então I an é condicionalmente conver-n=l n=l n=lgente.
Toda série absolutamente convergente é convergente.
9.3 - CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA E DIVERGÊNCIA
Se não tivermos lim an = O entãon-oo
L an é uma série divergente.n=l
De fato se lim Sn = S temos lim Sn+ 1 = S e sendo an = Sn+ 1- Snn-oo n_oo
lim an = 1im (Sn+l - Sn) = Um Sn+l - Um Sn = S - S =n-+-oo n-+oo n-oo n-+oo
Logo, se an não converge para O, a série não pode convergir, sendo portantodivergente.
Este critério só pode ser usado para provar divergências e, também,
quando lim an = O, a série I an pode ser tanto convergente como diver-n-oo n=l .
00 2E A'"" 4 n + 1 , d" "1 sene L 2 e lvergente pOIS
n=l n
00
E A'·" 3n - 1 b' di .2 sene L 8 n + 5 tam em verge pOISn=1
tim 3n - 1 = ~ * On-+oo 8n + 5 8
00
E3 A série I ~é chamada "série harmônica de ordem ]". Veremos,n=1
a seguir, que ela diverge, apesar de lim 1.= O.n-+Q n
Seja y = f (x) uma função definida, contínua, monótona decrescente parax crescente, lim f(x) = O e f(n) = ano
x-+oo
A série L an convergirá ou divergirá, conforme a integral impróprian=1
J. 00 f(x)dx convergir ou divergir, onde C é arbitrário.C
00 .
1 1 1 1 .L li =.p + li + P + ... conVt::rge.quando p > 1 e dIverge quandoií=1 n 1 2 3p<;l.
De fato: f(n) " ~;f(x) = ~ e ~ é decrescente quando x cresce. Logo,\·n x x
C = 1 vem:
foo _1 dx = limxP K-+oo
1fK 1 fK- dx = lim x -P dx =
xP K-+oo1 1
[Xl-P ]K 1 K
= lim 1 = 1 lim [X1-P]1 =K-+oo - p 1 . - P K-+oo
_ 1 lim (K1-P - 1) =1-P K-+oo
= 1 ~ lim ( ;-1 - 1)P K-+oo K
f.oo 1 dx 1 •. ~ 1 .- e a sene L -p sera conver·
Xp - P - 1 n1 n=l
2 Se p ~ 1 ====> f 00 ~ dx = 00 a série será divergente.1 x
Seja limn._OO
= L. A série L ann=l
a) Converge (absolutamente), se L < 1
b) Diverge, se L > 1
c) Se L = 1, nada se poderá afirmar.
00
A •. " 2 .sene L (n + 1)! converge, POIS:n=l
2[(n + 1) +' 1]!
2. (n + 1)!
(n + 1)!(n + 2)!
(n + I)!(n + 2)(n + 1)!
= lim I 1 1=0<1. n-+oo n + 2
. ;;8$-C4 Oitério da raiz ou de C'rZchy
Seja lim ~ = L. A série L ann_oo n=l
a) Converge (absolutamente), se L < 1
b) Diverge, se L > 1
c) Se L = 1, nada se poderá afirmar.
A série i 1 n é convergente pois:n=2 (logn)
lim n /1 1 n I = lim _1_ = O < 1n-H'" ';j (logn) n_oo logn
A série alternada al - az + a3 - a4 + ... = L (_l)n-lan tal que al ~n=l
~ a2 ~ a3 ~ ... e lim an = O é convergente.n-4oo
00 n+lA série L C;-nl~1 é convergente pois:
n=l1 1 1
an + 1 = 2 (n + 1) _ 1 = 2 n + 1 e Qn - 2 n _ l' concluindo-se que
1 ~ 1 I' 1 - O2n + 1 -..:::2n - 1 e n~ 2n - 1- .'----v--' ~
an+l an
Sejam as séries L an e L bn tais que O ~ an ~ bn para qualquer n. Se:n=l" n=l
a) L bn converge, então L an, também convergen=l n=l
b) L an diverge, então L bn, também diverge.n=l n=l
00
'" Qn(n)L 2n4 - 1·n=l
1 1 Qn(n) n 1Como Qnn < n e '-4-- ~ 4' temos 4 ~ - = 3' Mas
2 n 1 n 2 n - 1 n4 n
00
L 1 é convergente conforme exemplo do critério da integral,n3
n=l
00
A série L -1 _1_ é divergente pois:ognn=l
n > logn
donde l.< -1 _1_ e a série i l. diverge (série harmônica de ordem 1).n ogn n=o n
Toda série da forma L an (x - a)n = ao + aI (x - a) + a2 (x - a)2 +n=o
+ ... + an (x - ar + ... , onde ao, ab a2, •.. , são constantes, chama-se "sé-rie de potências" em (x - a).
Toda série de potências tem um raio de convergência R, tal que, a sérieconverge quando Ix - ai < R e diverge quando Ix - ai > R (Fig. 1).
O intervalo Ix - ai < R ou a - R < x < a + R, com possível inclusãodos pontos extremos, chama-se "intervalo de convergência".
Quando R = O a série converge somente em x = a e quando R = 00 a sérieconverge para todo valor de x.
00 nP . al d ,." n (x - 1) .?ara quals v ores e x a sene L -'n converge.
. n=12 (3n-1)
(n + l)(x - l)n(x - 1)2 • 2n (3n + 2)
n(x - 1)n2n (3 n - 1)
_ lim I (n + 1)(3 n - l)(x - 1) I =n-oo 2n(3n + 2)
3n2 + 2n - 1 1----- = Ix - 110-
6n2 + 4n 2
C Ix - 11 < 1 ( dO - ~ .)orno 2 con lçao para convergencla temos
Io
o
n(-2)n I"" (-lt na) Para x = - 1 > ---- - ---n=l 2n(3n -1) - n=l 3n -1'
Diverge, pois, lim 3 ~ 1 = 31* O.n -+00 n
00
b) Para x = 3 ==> I 3 n ~ l' também diverge pelo mesmo motivo.n=l
Portanto, a série dada converge para - 1 < x < 3.
00
~ xn lOg~n + 1)
Solução: Aplicando o critério da razão temos:
1x • xn 10g(n + 2)
1xn log(n + 1)
_ lim 110g(n + 1) _n_oo x1og(n+2)
1 l'=- 1mIxl n_oo
10gen + 1 = _1_ lim n + 2 =_110ge Ixl n_oo n + 1 Ixl
n + 2
Mas I~I < 1 (critério da razão), então:
1 < Ixl => Ixl > 1 => X > 1 ou x < - 1
00
a) Para x = 1 temos a série I ·iog(~ 1+ 1)' Portanto, é divergenten=1
(omparar com i ~\.\ n=1 !)
00
b) Para x = -1 temos a série L n 1 , a qual é convergente,n=1 (-1) log(n + 1)
pois, é uma série alternada onde seus termos decrescem em valor absoluto
elim 1 =0n _00 log (n + 1) .
Portanto, o intervalo de convergência da série dada é x > 1 V x ~ -1.
Veremos, agora como representar através de uma série de potências, umaampla variedade de funções.
Suponhamos a existência de [(x) e suas derivadas[' (x),[" (x), ... ,rn) (x),contínuas num dado intervalo [a, b] e que rn + 1) (x) exista em (a, b). Assim
[(x) = [(a) + [' (a)(x - a) +f~~a) (x - a)2 + ... +
+rn) (a) (x _ a)n + Rn! n
onde Rn (resto) é dado pela forma:
rn)(Xl) \12+1
Rn = (n + I)! (x - aJ (resto de Lagrange)
r"~I ) ['" 3[(x) = [(a) + [' (aXx - a) + 2\~ (x _ a)2 + (a)~ - a) + ...
o qual é chamado desenvolvimento em série de Taylor de [(x). Ainda no casode a = O podemos simplificar [(x) obtendo
[(x) = [(O) + [' (O)x + ['~~O)x2 + r'~~o)x3 + ...
o qual é chamado desenvolvimento em série de Mac-Laurin de [(x) (veja adedução no livro Números Complexos e Funções Hiperbólicas, de Righetto, A.).
Exemplos:
EI Desenvolver [(x) = eX segundo série de potências:
Solução::
[(Xl) = eXI; i' (Xd = eXl; f' (Xl) = eXl; •.. ; fn) (Xl) = eXl.
Para a = O, X > O e O < Xl < X temos:
00 x n+lMas a série ~ (~ : 1)1 é convergente para todo X (aplicar o critério da
n=lx n+l
razão) onde lim t : 1)' = O e conseqüentemente lim Rn = O. Con-n-oo n . n_oo
c1uímos que eX pode ser representado por urna série de Taylor.
eO eO eOex = eO + eOx +- x2 + - x3 +- x4 + =21 3! 4! ...
~ Desenvolver segundo o desenvolvimento de Taylor a função [(x) = senx.
Solução:
[(x) = senx; fI (x) = cosx; [u (x) = - senx; {m (x) = - cosx;
{IV (x) = senx;fV (x) = cosx; ...
para a = O temos:
x2 x3 x4senx = senO + xcosO + 2! (-senO) +3T (-cosO) + 4! (senO) +
x5
.+ 5T cos O + ...
PR 1 O primeiro exemplo deste capítulo pode também ser resolvido assim:_ 1
Devemos transformar a fraçao n (n + 1) em uma soma algébrica de outras
frações ou seja:
1 = A + .-!!.- = A (n + 1) + Bn = (A + B)n + An(n+l) n n+l n(n+l) n(n+l)
{
A+B=Odonde
A=l->B=-l
111=----
n(n+l) n n+l
00 1 00 (1 "1) . n (1 1)~ n (n + 1)= {;l li - n + 1 = ,!~oo~l K - K + 1 =
=lim(l- 1 )=1n -+00 n + 1 '
I arn-1 = a + ar + ar'- + ar3 +
aonde a e r são constantes, converge para S = 1 se Irl < 1 e diverge-r
se Irl ~ 1.
li S 1· a (l - rn)m n= 1m
n-'>oo n-'>oo 1 - r1 a lim (l - rn)
- r n-'>oo
Se Ir I < 1 ==> lim (l - rn) = 1 e lim Snn-'>oo n-'>oo
a A' .- 1 . sene-r
aconvergirá para -1--
-r
2 Se Ir I ~ 1 o termo geral da série não convergirá para zero, e a sérieserá divergente.
2 (25)2 + (2
5)3PR 3 Prove que "5 + -i (;Y converge e ache sua
n=l
2 (2)2 (2)3 (2)nSn = 5 +"5 + 5" + ... + 5"
Multipliquemos ambos os membros por ~ ====.>
2 (2)2 (2)3 (2)n + (2)n+l-> "5Sn ="5 +"5 + ... + "5' "5
, . d ' 2e, portanto, a sene em estu o e convergente com soma 3'
Como lim : 1 = 1 =1= O, a série em estudo é divergente.n -+00 n
PRs Provemos o critério da integral.Para esta prova tomaremos C = 1.Por hipótese f(x) é monótona decrescente, assim
an+l. f(n + 1) ~f(x) ~f(n) = an, n = 1,2,3, ...
Integrando de x = n a x = n + 1 vem:
Maz + a3 + a4 + ... + aM ~ f f(x)dx ~ ai + az + a3 + ... +
1
MSupondo que exista lim f f(x)dx = S, então az + a3 + a4 + ... +
M-+oo1
+ aM é monótona crescente sendo limitada superiormente por S e portanto
i an converge. Se lim f M f(x)dx não existe então i an diverge.M-+oon-+l 1 n=l
00
PRó Investigue pelo critério da integral o caráter da série L ne-n2
n=l2 2
Solução: f(n) = ne-n e f(x) = xe-x . Tomando C = 1, vem:
f 00 f(x)dx = f 00 xe-x2 dx = l~ f K xe-x2 dx =1 1 K 1
[K ]. 1 _x2 2= 11m - - J. e d(-x) =
K -+ 00 2 1 '----y---/-2xdx
_ 1 lim [_x2)K 1 1· (_K2 -1)--- e =-- 1m e -e =2 K-+oc 1 2 K-+oc
" n2,L ne- e convergente.
n=lI
ocI Qnnn
n=l
f(n) = Qnnn
f(x) = Qn~x
f 00 f(x)dx = f oc Qnx dx = liro f K Qnx dx =x K-+oc X222
= lim f K Qnxd(Qn~) = 'lim [Qn2
2x]K _K-+oc 2 ~ K-+oc 2
dxx
oc
" Qnn , diL n e vergente.n=2
Prova: Seja 1im I an + 1 I = L. Provemos a convergência para L < 1.n-+oc an .
Escolhamos um número inteiro M tão grande que,
aM+l < raM
aM+2 < raM+l < r2aM
aM+3 < raM+2 < r3aM
e assim por diante.Por soma teremos:
aM+l + aM+2 + aM..l..3+ ... < raM + r2aM + r3aM + ... =
= aM (r + r2 + r3 + ... )
CDA série CD com O < r < 1 é convergente (série geométrica), logo a sériedada converge.No caso de variar o sinal dos termos, teremos
e a série L an conv~rge absolutamente.n=l
De maneira análoga, provamos as partes (b) e (c) do critério da razão.
0Cl
c) L n!3 • 5 ... (2n + 3)
n=l
~ n2
b) L (n + I)!n=l
a) limn-4OCl
(_l)(n+ü-13n+1
(n + li(_l)n-13n
n2
(-lf3 • 3n
(n + 1)2(_1)n(_1)-13n
n2
b) limn~oo
(n + 1)2(n + 2)!
n2
(n + I)!
(n + 1i(n + 1)!(n + 2)(n + I)! n2
(n + 1)2(n + 2)n2
2n + 23n2 + 4n
26n + 4 = O < 1
(n + I)!3 • 5 ... [2 (n + 1) + 3]
n!3 • 5 .. , (2 n + 3)
(n + l)n!3 • 5 ... (2 n + 3)(2 n + 5)
1-n!
3 • 5 " . (2 n + 3)
n+1 =1<12n + 5 2
c) limn~oo
Solução:
a) lim n I( n 3)n I = lim -~ = O< 1,n~oo 1 + n n~oo 1 + n
b) lim nn~oo I( n )
n21 . ( n)n . (n + l)-n-- =hm -- =hm -- =n + 1 n~oo n + 1 n~oo n
[ ( l)n]-l 1= lim 1 +- = e-I =-< 1,n~oo n e
CC
PR Pr " n! , , .11 ove que L..J n e uma sene convergente.n=l n
(n + I)! (n + l)n!
lim(n + l)n+l
1im (n + l)n(n + 1)- n! -n-cc n! n-cc- -
nn nn
= liro __ n_n__ lim ( n )n _n"""cc (n + l)n n-cc n + 1/
=[n~
cc (_l)n+lna) L 4n-3
n=l
cc. 1b) L (_l)n arcsen-
nn=l
2 1 4 5 21~-~-~-~-~-~ ...5 3 13 17 7
o que nos leva a concluir que a série dada é divergente.
1 1 1b) L (-1) n are sen -;; = - are sen 1 + are sen "2 - are sen "3 +
1+ arcsen '4 1are sen "5 + .. . =
= _90° + 30° - 19,47° + 14,47° -
- 11,53° + ...1Como vemos: a1 ~ a2 ~ a3 ~ a4 ~ ... e lim arc sen - = O, con-
n~oo n
00
a) L 1n 2n
n=1
c) i 1n=2 y'nlogn
00
)C 1 ~ 1 ,., 1, ,. ,. da orno -- -..;:::n e a sene ~ ---ri e uma sene geometnca on e r =n 2n 2 n=1 2
. • 00
.= ~ < 1 e conforme PR2 convergente, concluímos que a séri~ L ~n=1 n 2
também é convergente.
sen n ~ 1b) Como senn ~ 1 =='> --2- ::::::2'.
n n00 .
A série L ~ é convergente conforme exemplo do critério da integraln=1 n
00
. ,sen n ,e aSSIm ~ -2- e convergente.
n=1 n
logn<y'n===>_1_>_1_==> 1 >log n y'n ..;n log n
> 1 > 1 >1-y'n ..;n yn log n n·
00
Como a série harmônica L .l é divergente, concluímos que a sérien00
L 1 é divergente.n=1 ynlogn
Prova: A série 2 an ou é convergente ou é divergente. Se ela forn=l
ndivergente, lim L aK - 00. Como bn ~ an, por hipótese, teríamos
n_oo K=l
n 00
lim L bK = 00, donde concluiríamos que a série 2 bn divergiria, on-oo K=l n=l
que estaria em contradição com a lúpótese. Portanto a série I an con-n=l
(x - 2) + (x - 2)2 + (x - 2)3 +1 2 3 ...
_ (x - 2)(x - 2)nan+l - n + 1
para n = 1, 2, 3, ...Aplicando o critério da razão temos:
(x - 2Xx - 2)nn + 1
(x - 2)nn
- nl~ I (x - 2) n : 1 I =
= Ix - 21 lim n = Ix - 21n_oo n + 1
Para a convergência devemos impor Ix - 21 < 1 (critério da razão), donde:
~ (_l)n--> ~ --, >série convergente, pois, seusn
n=l
termos decrescem em valor absoluto e lim 1..= o.n-oo n
00
b) Para x = 3 ==>' L ~ > divergente (série harmônica de ordemnn=1
p = 1).Portanto, o intervalo de convergência da série em estudo é 1 ~ x < 3.
PR16 Desenvolver f(x) - arc tg x segundo o desenvolvimento de Taylor paraa = O.Solução:
f(x) = arc tgx > f(O) = O
fI (x) = 1 ===> fI (O) = 11 + x2
fO (x) = - 2x ==> fII (O) = O(1 + X2)2
III 6x2- 2 IIIf (x) = (1 + x2i ===> f (O)=-2
f(lV) (x) = 24x - 24x3
===>. f(lV) (O) = O(1 + X2)4
f(V) (x) = 120x4
- 240x2 + 24 > f(V) (O) = 24
(1 + x2)s
2 24 x3 xS
.arc tg x = x - 3! x3 + S! XS
- ••• = x - 3"" + "5 - ... =
PR 17 Determine o intervalo de convergência para a função f (x) = arc tg x.
Solução: Conforme problema anterior temos:
(_l)n+lX2(n+Ü+1
2(n + 1) + 1( _1)nX2n+l
2n + 1
-x2(2n + 1)2n + 3
Devemos ter pelo teste da razao Ix21 < 1 (convergência).Assim
1 Para x = 1 ====> i 2(~ 2n1 (série alternada convergente)
n=l
00 (_1)3n+ 12 Para x = -1 ====> " ---- (série alternada convergente)
~ 2n + 1n=o
1-1~x~11
Assim, trocando x por - x2 vem:
2 ( 2)2 ( 2)3 ( 2)4-x = 1 _ 2 + - x + - x + - x + ==>e x 2! 3! 4! ...
2 2 x4 x6 x8
---> e-x = 1 - x +"2 -"6 + 24 + ...
Portanto f.1 e-X' dx '" 0,747.o
ATENÇÃO: Só podemos integrar ou. diferenciar, termo a termo, uma sériede potências, dentro do intervalo no qual a série é convergente.
PP 1 Prove que as séries seguintes convergem e ache sua soma
1 1 1 1a) G3 +3:s +~+"7"=9 + ...
1Resp.: "2
co 1
b) L (n + 2)(n + 4)n=o5
Resp.: 12co
c) L n(n 1+ 2)n=l
3Resp':4 .~==~
"",co ,
\.. d) ~, (4n + 3)~4n - 1)'---- --- - ----r - -- 0'- • •.
Resp.: 12
· ~ 1a) L -2--n=l n + 1
n + 13n2 + Sn + 2
00 2c) L nn
n=l 2
00 earctgn
e) L n2 + 1n=l
00 n
f) L ~n=l n
h) ~ (_l)n+lL 2n-1n=l
00
n!i) L (n + 2)!n=l
00
(n!)2j) L (2n)!
n=l
00 nk) L a :! (a > 1)
n=l n
00 n1) " !!-L n!
n=l
00
m)L ;n=l
00
r) L log n : 1n=l
1 1 1 1t) 4' + 16 + 36 + 64 + ...
00
L [f(n + 1) - f(n - 1)] = lim [f(n) + f(n + 1)] -n=2 n-+oo
00 n.. , (x - 2)b) ~ 2
n=l n
"'"c) L n!xn
n=o
co
d) L 1 • 3 • 5 (2 n - 1) xn2 • 4 • 6 (2n)
n=l
e) x + 1 + (x + 1? + (x + 1?1 y'2 fi + ...
f) x - 3 + (x - 3)2 + (x - 3)3 +1 2 3 .. ,
) x + 3 + (x + 3? + (x + 3)3 +g 1 y'2 fi ...
x2 x3
h) 1 + x + 2! + 3T + ...
x2 x4 x6 X2n-2
a) cosx = 1 - 2T + 4! - 6T + ... + (_l)n-l (2 n - 2)! + ... ,
- 00 < x < 00, para a = O
PPs Prove os seguintes desenvolvimentos em séries de potências e seus respectivosintervalos de. convergência; segundo Taylor:
CO ( l)n + l(X l)nb) logx = L - n - , Ix - 11 < 1, para a = 1
n=l
IC
O e (x l)nd) eX = - - 00 < x < 00 para a = 1n!' ,
n=o
e ~ e (x - 1)3 e (x - 1)4eX = e + e(x - 1) +2! (x - 1) + 3! + 4! + ...
Calcule aproximadamente o valor de e3 nos dois casos e compare a diferençaverificando que ela é mínima quando o número de termos é muito grande.Qual dos dois desenvolvimentos se aproxima mais rápido do valor real?
ro 1 -x~-e2 dx
x
PPs' Calcular, erro inferior a 0,001:
a) sen 36°b) cos 45°c) tg 18°
Resp.: a) 0,586b) 0,706c) 0;323
d) Qn 4e) log 8
d) 1,386e) 0,903
18EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
É na palma de espinhos que o Céu instala asrosas.
10.1 - DEFINiÇÕES
Toda equação que envolve derivadas ou diferenciais é chamada equaçãodiferencial.
Exemplos:
d2y + Y dy = O
dx2 dx
As equações diferenciais podem ser ordinárias ou parciais: :'..
Equações diferenciais ordinárias: Só possuem derivadas ordinárias, ouseja, uma única variável independente (E1 e E2 acima)'
Equações diferenciais parciais: Só possuem derivadas parciais, ou seja,possuem duas ou mais variáveis independentes (E3 acima)
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada quenela aparece.
Nos exemplos E1, E2 e E3 as equações são de segunda ordem.O grau de uma equação diferencial é o valor do expoente da derivada de
maior ordem que nela aparece.Nos exemplos E1 e E3 as equações são do primeiro grau e no exemplo
E2 do segundo grau.Estudaremos apenas as equações diferenciais ordinárias.
10.2 - SOlUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Diz-se que uma função y = f(x) é solução de uma equação diferencialse tal. equação· é identicamente satisfeita ao se substituir y e suas derivadas porf (x) e suas derivadas correspondentes.
Exemplos:
C 'd - di&' 'al di á' d2yonSl eremos a equaçao J.erenCl or n na -2
dx2 dy + y - O e a
dx
função y = xex.dy d2y dy
Calculando dx e dx2 a partir de y = xex temos: dx = eX (x + 1) e
d2~ = eX (x + 2). Substituindo y, dxdye d2~ na equação temos:dx dx
d'y _ 2 dy + y = eX (x + 2) - 2 eX (x + 1) + xex =dx2 dx .
= xex + 2 eX- 2 xex - 2 eX + xex = O
Como vemos, a equação diferencial dada é identicamente satisfeita ao subs-tituir y e suas respectivas derivadas. Portanto, a função y = xex é soluçãodessa equação.
Consideremos a equação diferencial ordinária (x - 1) d2y - x ddxY+ y = O
dx2
e a função y = C1x + C2ex•Temos:
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
(X - 1) Z - X : + y = (x - 1) C2ex - x (C1 + C2eX) +
+ C1x + C2ex == C2xex - C2ex - C1x - C2xex +
+ C1x + C2ex = O
Portanto, y = C1x + C2ex é solução da equação diferencial dada.
Observação: Neste último exemplo, a solução y = C1x + C2ex depende dasconstantes arbitrárias C1 e C2• Neste caso, a solução é chamada "soluçãogerar' pois admite uma infinidade de soluções.Quando os valores das constantes assumem valores calculados, segundocondições dadas, as soluções passam a ser chamadas soluções particulares.O gráfico da solução geral é uma faml1ia de curvas e o gráfico da soluçãoparticular é uma curva da família, dada pela solução geral (Fig. 1).
/' uma solução particular
10.3 - EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PRIMEIRA ORDEME PRIMEI RO GRAU
É toda equação da forma:
M (x, y)dx + N (x, y)dy = O
. Exemplo: A equação diferencial dxdY+ y2
;x = O pode ser escrita como, Y x
(y2 -x)dx + (y + x)dy = O. Neste exemplo,
. M(x,y) = y2 - X e N(x,y) = y + x
10.3.1 - EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS
~ a equação M (x, y) dx + N (x, y) dy = O puder ser colocada na formaP(x)dx + Q (y)dy = O, a equação é chamada equação diferencial de variáveisseparáveis e sua solução é dada por:
Exemplos:
dy 1 + y2-=---dx x2
1 1onde P(x) =-- e Q(y) =--x2 1 + y2'
Sua solução é dada por:
f dy1 + y2 f dx = C ===> (are tgy) +..!.. = C
x2 X
dy = eXeY ===.> _dy e_x "--> eXdx - e-Y dy = O,dx dx' e-Y
onde P (x) = eX e Q (y) = - e-Y, cuja solução é dada por:
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
E3 eX tgy dx + (5 ~ eX) sec2y dy = O
Poderemos separar as variáveis) se dividirmos toda a equação pelo produtodos termos mal situados:
eX sec2yonde P (x) = x e Q (,v) = -- cuja solução é dada por5 + e tgy
f eX dx + f sec2y d = C
5 + eX tgy Y 1
fd(5 + eX) + f d(tgy) = C
5 + eX tgy 1
Qn (5 + eX) + Qn (tgy) = C2
ou Qn [(5 + eX) tgy] = C2
ou (5 + eX) tgy = eC2
e fazendo eC2 = C tem-se I (5 + êX) tgy = C I
11.3.2 - EQUACÃCDDIFERENCIAL H8M8GÊNEA DE 1êll .RDEM
Se na equação diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = O pudermos escrever
: como uma função F(~), a equação diferencial diz-se homogênea.
Sua solução é obtida através da substituição v = y que a transforma emxequação diferencial de variáveis separáveis. Vejamos alguns exemplos:
E1 (9x - 3y)dx + (y + 3x)dy = O
Dividindo todos os termos da equação diferencial por dx resulta:
(9x - 3y) + (y + 3x) : = O
onde : = 3; +- ;Xx, sendo o segundo membro uma função F(~), pois
3(L) - 9 (\dy _ x = F :), logo é homogênea.dx - (:) + 3
A sua solução é obtida fazendo y = v.xy ~ ~Sa-= v => y = vx ====>dy = vdx + xdv===='> - = v +x-x dx dx
dy 3v-9 ,e eorr.o dx = v + 3 eonclUlmos que:
+ dv 3v - 9v xdx= v+3
que é uma equação diferencial de variáveis separáveis.Multiplieando-a por dx obtemos:
3v - 9vdx + xdv = v + 3 dx =>
(3v - 9)- > v - v + 3 dx + x dv = O >
V2 + 9=> V + 3 dx + xdv = O >
dx v+3-> - + --- dv = O ====>
X V2 + 9
f _dxx+ f _v_+_3 dv = C =>V2 + 9 1
f"dx J> J ~ + v dv + 3 J dv = C1 ====>
V2 + 9 V2 + 9
=> Qn Ixl + ; Qn (V2 + 9) + are tg ; = C1 >
> (Qnx (~ V2 + 9)] -I- are tg ; = C2 -->
. V=> Qnx (~ V2 + 9) = - are tg"3 + C2 =--=---->
> x vi V2 + 9 = e-arctgvI3+C2 ====>
_> v'y2 + 9x2 = C3e-arCtgYI3X =--=--_-'>
> I y2 + 9 x2 = Ce-2arc tgYI3X I (x :1=O)
~ xy dy = (x2 + y2)dx
. dy x2 + y2AqUI dx = --- -xy
~ = V ==> : = v + x :. (exemplo anterior).
V + x dv = 1 + V2 => (v _ 1 + V2)dx v v dx + x dv = O =='>
--> (- ~)dx + xdv = O--> -a;- - vdv = 0-->
==> f ~ - f vdv = Cl==> (Qn Ixl] - ~ = Cl >
=> 2Qn Ixl - V2 = 2el ::::===>
====>(Qnx2) _ :: = C => I y2 = x2Qnx2 + Cx21 ~ : ~
A equação diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy = O é exata se M (x, y) dx ++ N (x, y)dy = du [eu = u (x, y)], ou seja, o primeiro membro é a diferencialtotal de uma função u (x, y).
Assim:
au auM(x,y)dx + N (x, y)dy = du = ax dx + ay dy
au auonde ax = M(x,y); ay = N(x,y) e du = O.
A condição necessária e suficiente para que a equação diferencial seja umaequação diferencial exata é que:
IaM aN I3y 3x
Exemplos:
E1 Resolva a equação diferencial (x3 +X2y3) dx + (X3y2 + y3) dy. Verifiquemosinicialmente se esta equação diferencial é exata.
3u .. 3 2 33x = M(x, y) = x + x Y
, x4 X3y3Integrando'esta expressão em relação a x, obtemos u =""4 + 3 +! (y)
onde !(Y) é~uma constante arbitrária que depende de y.Logo ,',
3u . ,3y =,'X3y2 + f (y) = N (x, y)
Assim: X3y2 + f' (y) = X3y2 + y3 ou f' (y) = y3.Integrando esta última expressão em relação a y obtemos:
4!(Y) =L
4
(não somamos constante, pois esta constante será absorvida pela constantefinal).
, x4 X3y3 LEntão: u (x, y) =4 + 3 + 4 e como du = O temos:
(x4 x3y3 v4)d-+ +L- =0434
E2 (seny + y cosx)dx + (x cosy + senx + y)dy = O
aMM (x, y) = seny + y cosx => ay = cosy + cosx
aNN (x, y) = x cosy + senx + y --> ax = cosy + cosx
aM aN,====> - = - (e exata)ay ax
auax = seny + y cesx => u = x seny + y senx + f(y) ==>
au ,-> ay = x cosy + sen x + f (y) = x cosy + sen x + y --)
2> t' (y) = y ==="> f(y) =L
22
Logo u = x seny + y'senx +~ .Então:
d (x seny + y sen x + ~2)= O,
I x seny + y senx +f = C I
Se a equação diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = O não for exata,deveremos encontrar um fator chamado fator integrante, que introduzido naequação diferencial a torne exata.
A seguir, alguns critérios que determinam o fator integrante:
aM aN---I Se ay N ax = f(x) função 'somente de x, então eJ!(x)dx é um fator de
integração da equação diferencial M (x, y)dx + N (x, y)dy = O, não exata.
é1Jl aN
2 Se ay M-- ax _---- - g (y), então ef g(y)dy é um fator de integração da refe-
rida equação.
3 Se M (x, y) dx + N (x, y) dy = O for homogênea e Mx + Ny =f= O, então
Mx ~ Ny será um fator de integração.
Exemplos:
E1 A equação diferencial x dy - y dx = O não é exata pois
àMM(x,y) = -y > ày =-1
N(x,y) = x ===> àN = 1àx
àM àNonde - =1=-ày àx
àM àN---M ày àx - 1 - 1 2 (f - '1 ) -as N - = - - unçao so (e x entao:x x
f d Q l2n -2 1F.1.= e - 2 IX X = e- 2 n X = e X = x - 2 =_x2
Logo, se multiplicarmos a equação diferencial dada por~, a equação dife·x
rencial tornar-se-á exata.De fato:
_xd_y __y dx_·= 0====·>1-dy _ -y dx = O.x2 x2 X x2
Y àM 1M(x,y)=-- >-=--x2 ày x2
1 àN 1N(x,y) =-=> - =--x àx x2
àM àNonde ày = àx' portanto, exata.
E2 2xy Qnydx + (x2 + y2 y'y2 + l)dy = O
àMM(x,y) = 2xyQny => ày = 2x + 2xQny
--- àNN (x, y) = x2 + Y 2 y'Y 2 + 1 =--=-=> àx = 2 x
àM -/- àN (_' )=> ày T àx nao e exata
àM àN---àY àx _ 2 x + 2 x Qny - 2 x -.1 (f - 'd )
M - 2 Q - unçao so e y .xy ny 'y
f.I. = e- J lIY dy = e-2ny _ 1y
Multiplicando-se a equação diferencial dada por 1.., ela tornar-se-á exat~.y
(2XYy2ny)dx + (Xl + yl fY' + 1 )dY = O =>
=> 2 x Qnydx + (;2 + y .Jy2 + 1) dy = OaM 2x
M(x,y) =2xQny -> -a =-y y aM==>
x2 ~-- aN 2x ayN(x,y) =-y + Y ..jy2 + 1 => - =-ax y
aNax
E3 (x2 - 3xy)dx + (y2 + x2)dy = O
aMM(x,y) = x2 - 3xy =='> - = -3xay
aNN(x,y) = y2 + x2 ~> ax = 2x
aM -J- aN (-' . )--> ay -r- ax nao e exata
Mas esta equação diferencial é homogênea pois:
3(L) - 1dy _ 3xy - x2 _ X _ F(L)dx - -y2 + x2 - (-; t + 1 - x
Mx + Ny = (x2 - 3xy)x + (y2 + x2)y =
= x3 _ 3 x2y + y3 + x2y = x'" + y'" - 2 x2y =1= O
1F.I. = 2
x3 + y3 - 2x y
_ X2 - 3xy aM _X4 + 6Xy3 - 3X2y2M (x, y) - 3 3 2 ====> -a - = --3 --3---2--2-
X + y - 2x y Y (x + y - 2x y)
y2 + x2 aN _ x4 + 6 xy3 - 3 X2y2N(x,y) = 3' 3 2 ==>, -a-= --3--3---2--I X + y - 2x y x x + y - 2x y
aM aNonde -=-.ax axNota: Conhecendo-se a diferencial exata de uma certa função pode-se
- descobrir um fator integrante conforme exemplos a seguir:
Como sabemos d (Qn y) = dy - dx. Assim, a equação diferencial x dy -\: x y x
- y dx = O pode ser multiplicada por l..- resultando:xy
xdy _ydx = Oxy xy
dy dx---=0y x
ou d (QnL] = O,x,
cuja solução geral é QnL= c. Se QnL é a constante C, a razãoL= eC = K,x x x
também será constante. Logo y = Kx.
N 1, f .este caso - e um ator mtegrante.xy
Es' (x2 + y2 + x) dx + y dy = O
(x2 + y2)dx + xdx + ydy = O =>
=> (x2 + y2)dx = -(xdx + ydy) =>
=> dx = _ xdx + ydy =--=>x2 + y2
{I "=> dx = - d 2" Qn(x2 + y2) J
: + P (x)y = º (x)
. é chamada equação diferencial de I? ordem linear.As equações lineares de I? ordem ou ordem superior são de grande impor-
tância, pois s.ão aplicadas, na resolução de problemas de eletricidade, mecânica,química, biologia, etc.
Determinação da solução geral
Encontremos a função u = u (x) tal que se multiplicarmos a equação dife-
rencial por u, o segundo membro se tornará :x (uy). Então:
u : + uP(x)y = uQ(x)
Impondo-se a condição, u : +uP(x)y = :x (uy) tem-se:
dy . dy duu - + uP(x)y = u - + Y -dx dx dx
du du .onde uP(x) = dx ou -:ç; = P(x)dx e aSSIm:
Qnu = f P(x)dx I u = eIP(x)dx I CD(não somamos constante de integração pois a mesma será absorvida pela cons-tante fInal).
Mas:X (uy) = uQ(x) ---> d(uy) = uQ(x)dx e por integração obtemos:
ruy = I uQ(x)dx + C ®
"' .
Usando CD e ® obtemos a súlução geral da equação diferencial linearde primeira ordem e primeiro gi·a'.l.
Achar a solução geral das equações diferenciais de pl imeira ordem lineara seguir:
dy 1a) - + ---- Y = cosxcix x+2
I
2b)dy + 2xycix = 2xe-x dx
dy 1a) cix + x + 2 Y = cos x
1P(x) = x + 2
Usando CDu = ef [1/(.x+2)ldx = e2n (.X+2) = X + 2
Assim, conforme @ temos:·
(O
(x + 2)y = j (x + 2)cosxcix + C -->
=> (x + 2)y = J x cosx cix + 2 J cosx dx + C >
. > [(x + 2)y = xsenx + cosx + 2senx + C
Observação: f x cosx cix = x senx + cosx + C (Voi. I) ..,2
b) dy + 2xy cix = 2xe-x cix
dy :-.Temos: cix + 2xy = 2xe-x
r P (x) = 2xlQ (x) = 2xe-x2
u = ef2Xdx = ex2
Como uy = f uQ (x) dx + C @ vem:
É toda equação que assume a forma
dy + P (x)y = ynQ (x)dx
onde n =1= O e 1.
Esta equação se reduz à linear fazendo a transformação z = _1_yn-l
Exemplo: Resolver a equação de Bemoulli:
dy x33x- - 2y =-dx y2
dy 2 x2---y=-dx 3x 3y2
Assim:
dy 2 1 2-2---y=-xydx 3x 3
z = _1_ = y3 ====> _dz = 3y2 _dyy-2-1 dx dx
dy 1 dzdx = 3y2 dx
Substituindo na equação diferencial dada tem-se:
x dz x3-- - 2y =-y2 dx y2
dz 2 3 2- --y = xdx x
I ~ - ~ z = X'! (equação diferencial 1~ ordem linear)
@1-Z=f_1X2dx+C >..!...- = x + C -->X2 X2 X2
==> Z = X3 + CX2 ou I y3 = X3 + ex2 I
10.3.6 - EQUAÇÕES DI FERENCIAIS LINEARES HOMOGÊNEAS COMCOEFICIENTES CONSTANTES
Todas as equações da forma:
dny dn-Iy dn-2yao + ai I + a2 2 + ... + anY = Odxn dxn- dxn-
onde ao =1= O, a I, a2, ... , an são constantes, dizem-se equações diferenciais lineareshomogêneas com coeficientes constantes.
Podemos usar a seguinte notação : = Dy, Z = D2y, ... , transformando
(1) em:
(aoDn +aIDn-1 +a2Dn-2 + ... +an)y = O
onde D = :x é chamado operador D que atue sobre y.
Mostra-se que, em geral, a equação (1) pode ser escrita como:
equação característica, A ••••••
I ri =1= r2 =1= r3 =1= ••• =1= rn. Então, sua solução geral é dada por:
y = Clerlx + C2er2x + C3er3x + ... + Cnernx
II a) ri = rz =1= r3 =1= ••• =1= rn• Então, sua solução geral é dada por:
y = Cle'lx + Czxe'zx + C3e'3X + ... + Cne'nx
b) r1 = r1. = r3 = ... = rn = m. Então:
y = C1emx + C1.xemx + C3x1.emx + ... + Cnxn-1emx
III Se os coeficientes de (1) forem reais e se a + bi for uma raiz complexa,a - bi também o será. Então, a solução geral para n = 2 é:
y = eox (C1 cosbx + C2 senbx)
Exemplos:
E1 Resolver a equação diferencial linear homogênea:
d1.y dy3--14-+ 8y= Odx1. dx
Solução: Podemos escrever a equação dada sob a forma
(3 D1.- 14 D + 8) y = O
ou 3 0 - ~1(D- 4)y= O
cuja solução geral é dada por y = C1e(2/3)X + c1.e4x pois r1 = ~ =1=r1. = 4.
d1.y dy--4-+4y=Odx1. dx
Solução: Podemos escrever a equação dada na forma (D2 - 4D + 4)y = Oou (D - 2)1.y = O cuja solução geral é dada por y = C1e2X + C1.xe2X poisr1 = r2 = 2.
E3 Resolver a equação diferencial linear homogênea
d2y _ 2 dy + 5 y = O
dx2 dx
Solução: Podemos escrever a equação dada na forma
(D2 - 2 D + 5) y = O
cujas raízes são (1 ± 2 i) e sua solução geral é
y = eX (C1 cos 2x + C2 sen 2x)
pois a = 1 e b = 2.
10.3./ - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES NÃO HOMOGÊNEASDE SEGUNDA ORDEM COM COEFICIENTES CONSTANTES
É toda equação da forma:
d"y dyao dx" + aI dx + ai)J = F(x)
19 MÉTODO DOS COEFlaENTES INDETERMINADOSA solução de uma equação diferencia1linear é dada por Y = Yh + Yp onde
Yh é a solução homogênea e Yp é uma solução particular.Este método é aplicado supondo conhecida a forma da solução particular
yp, a menos de constantes arbitrárias multiplicativas. Estas são calculadas emseguida, levando-se a suposta solução particular na equação diferencial, em análiseatravés da identificação dos respectivos coeficientes.
Formas gerais de yp:
CD Yp = Anxn + An_1xn-1 + ... + Ao
@ Yp = eax (Anxn + An_1xn-1 + ... + Ao)
® yp = eox sen ax(Atxn + ... + Ao) + eax cos ax(Bnxn + ... + Bo)
onde An, An-1, ••• , Ao são coeficientes a determinar.
Exemplos:
Resolver as equações diferenciais seguintes:
d"y dy "- -- - 2y = 5xdx" dx
A equação dada tem solução homogênea:
Yh = Cte-X + C2e"x
A forma de yp deverá ser:
Y = A2x" + A IX + Ao
Substituamos Y, :' Z na equação diferencial dada
2A2 - (2A2x + Al) - 2(A2x2 + A1x + Ao) = 5x2
ou - 2A2x2 - (2A2 + 2AI)x + (2A2 - AI - 2Ao) = 5 x2
Assim:
(-2A2=5 ~~ ~~-(2A2+2Al)=O > d'de~l2A2 - A I - 2Ao = O
5 2 5 15logo, Yp = - 2" x + 2" x - 4" e, portanto, a solução geral da equação
diferencial deve ser:
v--_/ '"-----v,----/Yh Yp
d2y. d1J-' - - 5 _'J_ + 6y = eX sen xdx2 dx
Esta equação tem solução geral Yh = C1e2X + C2e3X• A solução particulartem a forma geral:
Yp = Aex senx + Bex cosx
Então,
: = Aex cosx + Aex senx - Bex senx + Bex cosx
It = (A - B)eX senx + (A + B)eX cosx I
d2~ = (A - B)eX cosx + (A - B)eX senx - (A + B)eX senx +
dx
+ (A + B)eX cosx
Substituindo Z, : e Y na equação diferencial obtemos:
-2Bex senx + 2Aex cosx - 5 [(A - B)eX senx ++ (A + B)eX cosx] + 6 (AeX senx + Bex cosx) = eX senx
ou (A + 3B)eX senx + (B - 3A)eX senx
{A + 3B = 1 ===> I A I I e I B :6J
B - 3A = O 10
1 x 3 xlogo, Yp = 10 e senx + 10 e cosx e, portanto, a solução geral da
equação diferencial deve ser:
Y = C1e2X + C2e3X + 1 eX senx + 3 eX cosx10 10
29 VARIAÇÃO DOS PARÂMETROSEste método é mais geral do que o anterior, pois não é necessário supormos
conhecida a forma de Yp, podendo ser aplicado a todas as equações diferenciaislineares. Aqui, daremos o método apenas para as equações diferenciais linearesde segunda ordem.
Método:
Como. vimos, a solução homogênea de uma equação diferencial linear desegunda ordem é dada por
Yh = C1YI (x) + C2Y2 (x).
Uma solução particular para esta equação diferencial tem a forma:
Yp = VtYI + V2Y2
onde VI e V2 são funções de x determinadas resolvendo-seo sistema de equações~ineares:
{V;;'l + V;Y2 = O
v~~ + v;Y; = F(x)
Exemplo: Resolver a equação diferencial linear:
d2y _ dy _ 2Y = 3 e3X
dx2 dx
Solução: Esta equação diferencial tem Yh = C1 e-x + C2 e2X • Resolvendo osistema de equações lineares. Yl Y2
'.Não somamos constante de integração pelo fato de que estamos interessadosapenas na solução particular.
Substituindo @ em Q), vem:
, -x = _ e3XVle V, - e4X1- -
1 4XVI = - -e e assim:4
10.4 - APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DI FERENCIAISLINEARES
As equações diferenciais lineares possuem um campo vasto de aplicações.Daremos a seguir algumas de suas aplicações.
1. Equação Diferencial Linear de 1~ OrdemSupondo t (tempo) variável independente temos:
I a~+x =F(t) I ~Se F (t) = K (constante), a solução geral é dada por x = K + Ce-tla•
As curvas desta solução (Fig. 2) ilustram fenômenos muito comuns, conhecidoscomo decréscimo exponencial, tais como: queda de luminosidade de uma lâmpadaquando se desliga a corrente, resfriamento de um termômetro, perda de rádio etc.A reta x = K representa onde tais sistemas se equilibram.
Se a <O, as soluções crescerão em valor absoluto quando o tempo crescer.Isto acontece também em inúmeros problemas práticos: o crescimento de popu-lação, o crescimento de bactérias, o crescimento de dinheiro a juros compostos, etc.
2. Equação Diferencial Linear de 2~ Ordem2.1~Aplicação à Mecânica
Conforme figura temos:
Fr = - K2x (força de restauração)
Fa = - 2c V = - 2c dxd (força de atrito) (C> O). t
Segundo lei de Newton a força resultante do sistema é dada por FR = ma =d2x
= m dt2 e como FR = F, + Fa + F (t) tem-se:
d2x dx_2m - = -2c - - K x + F(t)dt2 dt
2.2. Aplicação a Circuitos Elétricos Simples
Em um circuito fechado (Fig. 3) a soma das quedas de tensão que ocorremnos elementos que o formam é igual à força eletromatriz E que o alimenta.
Fig.3.
As quedas de tensão são dadas por:
R • i queda num resistor de resistência R ohms
L ddi queda numa bobina de indutância L henriest .
'2 queda num condensador de capacidade C farads
Assim L ~~ + R • i + ~ = E (t) CDC"d R C L t dq " d2q di -onSl eremos , e cons antes e como -d = I e -2 = dt a expressao
t dtCD fica:
L d2q + R dq +iL= E(t)@I
dt2 dt C
Derivando CD temos:
L d2i + R di + ~ = E' (t) @)
dt2 dt C
As equações diferenciais @ e @ determinam respectivamente q -= q (t) e i = i (t).
10.5 - APLICAÇÕES DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAISÀ BIOLOGIA
A matemática e principalmente as equações diferenciais muito contribuemna compreensão dos fenômenos biológicos. Acreditamos que, com o desenvol-vimento' das pesquisas científicas e tecnológicas, esta contribuição será ainda bemmaior.
Os modelos matemáticos a seguir são bem elementares e valem somente comcertas restrições, pois, caso contrário surgiriam dificuldades que fogem do âmbitodeste livro.
1. Modelo para crescimento de célulasSeja mo a massa inicial de uma célula e m (t) a massa num instante
al S d . dm d '1 1 ' . al'qu quer. e a taxa e crescunento dt a ce u a e proporclon a sua massa a
cada instante, tem-se:
I dm Km Idt
onde K é uma constante positiva de proporcionalidade.Resolvendo esta equação diferencial temos:
_~m_t= Km ==> -a;- = Kdt --> f d: = f Kdt + C1 ==>
====>Qnm = Kt + C1 ====>m = eKt+C1 ====>
Mas para t = O --> m = mo e assim:
mo = CeK-o===="> C = mo
e portanto
[ m = moeKt I (crescimento exponencial)
Observação: É claro que após certo tempo o crescimento se limitará, poisa célula se divide.
2. Modelo para nascimento e morteSeja N = N (t) o número de indivíduos de uma população animal ou vegetal.
Esta função N (t) assume somente valores inteiros não sendo, por isso contínua.Porém se tomarmos a população com número de indivíduos suficientementegrande N (t) pode ser tomada como contínua e diferenciável.
Em um intervalo de tempo 6. t temos:
'Tamanho da população _ tamanho da populaçãoexistente - de nascimentos
tamanho da populaçãode mortes
6.N = DoP _ DoQ6.t 6.t Dot
I" DoN I" 6.P1m-=lm-
/::,.t-+o Dot /::"t-+oDot 1. DoQ1m--
/::,.t-+o Dot
dN = dP _dQ CDdt dt dt
(onde P(t) e Q(t) são consideradas contínuas e diferenciáveis).Concluímos que a taxa de variação da população é igual à taxa de nasci-
mentos menos a taxa de morte.Supondo que as taxas de nascimento e morte são proporcionais ao número
de indivíduos N (t) temos:
onde K 1 e K2 são constantes de propOicionalidade.
Substituindo estes valores em CD tem-se:
I ~ = (K1 - Kz)N I
se K1 > K2 a população cresce
se K 1 = K2 a população permanece constante
se K 1 < K2 a população diminui
Este modelo se chama não-estocástico pois não leva em consideração flu-tuações aleatórias.
3. Modelo de crescimento sazonal
A equação diferencial : = rN(t) cos t, onde r > O, pode ser interpretado
como um modelo de crescimento sazonal. Quando t cresce, a taxa : é alterna-
damente positiva e negativa e conseqüentemente a população N(t) cresce edecresce. Isto pode acontecer, por exemplo, na alimentação.
Resolução desta equação diferencial
: = rN(t) cos t (equação diferencial linear de Iª, ordem em N)
dNdt - r costN(t) = O
e-rrent N(t) = C => N(t) = Cerrent
para t = O > I N(O) = C I e portanto
I N(t) = N(O)errent I
I••••
f,. 7T 57T 97T
maXImo em .2' T' .2 ....apresenta:
l ,. 37T 77T 117Tmll1lmO em 2' 2' ~ ....,
Neste modelo a população oscila entre N(O)e-r e N(O)er com período 2Ti'.
Os tempos t = O. 27T, 47T .•.• podem ser interpretados como pontos médiosdas estações de maior disponibilidade de alimentos (verão) e t = 7T. 3 7T. 511 •...
pontos médios das estações de maior carência de alimentos (inverno). O compri-mento do ano é 27T unidades de h'mpo.
4. Alimen fação de glicose illfrarenosa
A infusão de glicosc no sangue é uma importante técnica médica. Se ainfusão da glicosc é fcita a uma taxa constante K gramas por minuto e sendo Q(t)a quantidade dc glicosc no sangue do paciente no instante t tem-se:
r--.-····.---3I dQ = K - aQ .! c/tL ....__.._
onde a glicose é convertida e removida do sangue à taxa proporcional à quantidadede glicose presente c a. uma constante positiva.
Resolução:
. -'."C:"_7.> Q (t) = l\. + Ce-ara
r--
n(o) = l\. + (' ..-,-. I (' - Q(O)- .__...> - -:.:: a
l\. rQU) = -; + lQ(O)
--l\.-] '--:l.- - e I
a II
/\.Com t crescendo Q (t) se aproxima d~ - (ponto de equil íbrio da glicosea
no sangue) pois [ Q (O) - ~ ] e-ar se aproxima de zero.
5. Modelo para propagação de infecção
Consideremos uma população de indivíduos igüalmente suscetlvels. Nesta.popuiação introduzimos um indivíduo infectante. Através do contato a doençase espalhará lentamente no início e depoIs o processo se acelerará até sc nivelar onúmerO de indivíduos suscetíveis e infectantes.
Considerando que o indivíduo infectante assim permaneccrá durante oprocesso c nenhum indivíduo será removido tem-se:
onde j = 1(t) é o número de indivíduos infectados. S =--= S (I) o número de indi-víduos suscetíveis e 11 o tamanho da população.
Supondo I (t) e S (t) cont ínuas. diferenciáveis c dI proporcional a jc/r
dI = KIS (K é constante positiva)dt
Como I + S = 11 + 1, d/I = K1(n +((
~~~~~~~~- ~ dI J (equação diferencial de variáveis separáveis) CDResolução:
___ l.__ _ = _A + __ B _ A (1__- Jl - 1) + BI _J (1- II -- 1) 1 1- 11 - - 1(1 - 11 - 1) -
(A + B)I + (-11 .- I)A= - -------,-----I(1-n-l)
A + B = O :=---=--'> I B = -.A IL- .. _
(-n - l)A = I ==> I A = - 1 I111+ 1IL.--- __
11 (I -- 11 - 1)
___1_ + 11 (11 + 1) (1 - n - 1)(11 + 1)
= (1 - }~-- 1 - ~) (11 ~ l~
Desse modo, podemos escrever a equação CD sob a forma
1 (1 1)n + 1 1- n - 1 - T dI = - K dt
n ~ 1 [f I - ~ - 1 - J f] = f -Kdt + C,
1 ( Qn (1- n - 1) - Qn 1] = - Kt + C1n + 1
(1- n - 1)Qn 1 = - K (n + 1) t + C2
1- n - 1 = e-K(n+l)t+C21
n + 1 = 1 + Ce-K (n+ I) t1
1= n+11 + Ce-K(n+l)t
Como para t = O > 1 (O) = 1 tem-se:
1 = ~ ~ ~ > I C = n ·1
1= n+11 + ne-K(n+ 1) t
o processo de infecção começa lentamente, é mais rápido no ponto de
inflexão da curva (~:; = O) e finalmente diminui. Este processo da propagação
da infecção segue a lei chamada logística a qual é conhecida como y =
- 1 + :e-ÀBt onde y = y (t) é o número de indivíduos em uma população
no instante t.Achemos o ponto de inflexâo.
n+l2
. dIComo dt = Kl (n + 1 - f) tem-se:
d2I [( dI) dI ]- = K I - - + (n + 1 - f) -
dt2 dt dt
K ~ [-I + (n + I - f)] = O
n + 1 - 21 = O
I=n+l2
Concluímos então que o processo de infecção é mais rápido quando I = n ; 1
6. Modelo de espécies competitivas
Sejam x (t) e y (t) populações de espécies em um mesmo ambiente. Osistema linear homogêneo
dy = mx + ny@Idt
descreve a influência de populações de duas espécies competitivas em seu cresci-mento.
Resolução deste sistema linear
d2x = a dx + b dy =>
dt2 dt dt
d2x dx--> - = a - + b (mx + ny)
dt2 dt
Mas conforme CD y = ~ (: - ax) e assim
d2x dx [ 1(dx ) ]- = a - + bmx + bn - - - ax
dt2 dt b dt
d2x dx dx- = a - + bmx + n - - anxdt2 dt dt
d2x (+) dx + ( b) O (equação diferencial linear de--a n- an-mx=dt2 dt 2:i}. ordem homogênea)
Conforme vimos neste capítulo, esta equação diferencial apresenta solução,conforme as raízes da sua equação característica sejam reais e distintas, reais e
iguai~ ou imaginárias. Após termos encontrado x (t), a substituimos em CD para
encontrar y (t). Vejamos um exemplo para melhor compreensão.
Exemplo: Dado o sistema linear homogêneo, encontrar a população de ambasespécies nos tempos futuros onde x (O) = 200 e y (O) = 400
dx = 4x - y tí'dt \V
d; = -x + 4y ®
De CD vem
d2x dx dy dxdt2 = 4 dt - dt = 4 dt - (- x + 4 y) >
-> ~::= 4 : + x - 4 (4X - :)~
y
d2x _ 8 dx + 15x = O (equaç~o diferencial linear de 2éJ ordemdt2 dt homogenea)
Sua equação característica possui raízes 3 e 5 (ver seção 10.3.6 destecapítulo).
Assim, sua solução geral é dada por
dxComo y (t) = 4x - dt tem-se
yJt) = 4 C1e3t + 4 C2est - 3 C1e3t - 5 C2est
ou I y (t) = C1e3l - C2est
Como x (O) = 200 e y (O) = 400 tem-se
{
200 = C1 + C, I I-> C1 = 300
400 = C1·- C2
A solução geral fica
x (t) = 300e3t - 100est
I C2 = -100
Y (t) = 300e3t + 100est
A primeira espécie se findará quando x (t) = O ou 300 e3t - 100 est = O
ou 3 - e2t = O ou e2t = 3 ou t = Q~ 3 ::::0,549, isto é, se findará quando
t = 0,549 unidade de tempo.Após este instante a segunda espécie y (t) continuará crescendo de acordo
com a equação @ tendo x (t) = O ou seja d; = 4y cuja solução damos a
seguir:
dy = 4y -> dy = 4dt =--=-_-_>Qny = 4t + C1 ====> Y = Ce4tdt y
Como para t = to, Y (t) = Y (to) tem-se
y (to) = Ce4to
onde C = y (to)e-4to e assim
y (t) = y (to) e-4toe4t
ou I y (t) = Y (to)e4U-tO) I (solução geral)
Esta solução com to '" 0,549 e y (to) = 300e3to + 100esto dá o desenvol-vimento da 2~ espécie, após a extinção da primeira espécie.
Resolva os problemas propostos de PP22 a PP2S•
- di&' . 1 d2y 5 dy + 6 xequaçao lerenCla d:x2 - d:x Y = e senx.
Temos:
: = 2 C1e2X + 3 C2e3X + /0 eX cosx + 110eX senx -
3 x 3 x- 10 e sen x + 10 e cos x
dy = 2 C1e2X + 3 C e3X + 2 eX cosx _1.. eX senxd:x 255
d7 2 1d:x2 = 4 C1e2X + 9 C2e3X
- 5 eX senx - 5 eX cosx
1 x 2 x- 5" e sen x + 5e cos x
d2y 3 1-- = 4C1e2X + 9 C2e3X x + xd:x2 - "5 e senx 5 e cosx
Substituindo na equação diferencial tem-se:3 1
19 membro = (4C1e2X + 9C2e3X -Sexsenx +Sexcosx)-
- (lOC1e2X + 15 C2e3X + 2ex cosx - eX senx) +
+ (6 C e2X + 6 C e3X + ~ eX senx + .!.ª- eX cosx) =1 2 10 10
= (- ~ + 1 + to)eX sen x + (~ - 2 + 1~) eX cos x =
PR2 Ache uma solução particular da equação diferencial : = cosx satisfa-
zendo à condição inicial y = 2 para x = ;.
Solução:
dy = cosx => dy = cosxd:xd:x
1r2 = sen - + C2 2=1+C==>IC=11
I y = 1 + senx I
PR3 A-ehe uma solução particular da equação diferencial d2.~ = 2 satisfazendodx
às condições de fronteira y = 1 para x = O e y = 3 para x = 2.
Solução:
-~-~ = 2 ===> :x (:) = 2
para y = 1 e x = O ====> I C2.= 1 Ipara y = 3 e x = 2 => 3 = 4 + 2 C1 + 1-->"~ -1 I
I y = x2. - x + 1 I
a) eY (1 + x2)dy - 2x(1 + eY)dx = O
Separando as variáveis temos:
eY dy _ 2 x dx _ O1 + eY 1 + x2
f _2_X_2 dx = C11 + x
J dO + eY) _ Jd(l + x2) = C
1 + eY 1 + X2 1
Qn 1 + eY = C
1 + x2 1
1 + eY--=C1 + x2
b) X2(y2 + l)dx + 2y .Jx3 + 3 dy = O
x2
dx + 2y dy = O.J x3 + 3 y2 + 1
~#+3 + Qn(y2+ 1)=C1
ou 8 x3 + 3 + Qn (y2 + 1)3 = C IPRs Resolva as equações diferenciais de 1~ ordem homogêneas:
a) x dy = y + .J y2 - x2dx
L= v . >y = vx > dy = v cix + x dv ====>X
>lt=v+x~I®Igualando CD com @ tem-se:
v +J V2 - 1 = v + x : =>
~ - .jv~v_ 1 > f ~ = f .jv~v_ 1+C,-->
-> ~nx = ~n(v + ..JV2 - 1) + C1 ->
v + JV2 - 1> ~n ----- = C2 - >x
=> v + ..J V2 - 1 = Cx =---~->
=> Y + ..J y2 - x2 = CX2 ==~>2 Cy = C2X2 + 1
b) (x sen y - y cos y) cix + x cosL dy = Ox x x
y y ydy_xsen- - ycos- + xcos- - - Ox x xcix
y yycos- - xsen-dy = x xcix xcosL
x
y y y- cos- - sen-dy = x x xdx cosL
x
rj'\ (dividiu-se todos os termos\.!:.) do 29 membro por x)
Como vemos é homogênea pois : = F~~).Fazendo a transformação
@Substituindo @ em CD e igualando a @ tem-se:
_v_co_s_v_-_s_e_n_v= v + x _dv_cosv dx
sen v dv---=x-cosv dx
dx- = -cotgvdvx
f ~ = - f cotgvdv + C1 --->
> Qnx = -Qnsenv + C1 ====>Qn(xse~v) = C1-->
PR6 Resolva a equação diferencial
(x3 - 3 xy2 + 2)dx - (3x2y - y2)dy = O
Esta equação diferencial é exata pois:
aMM(x,y) = x
3- 3xy2 + 2 > ay = -6xy [[]]
==> aM = aNaN ay ax
N(x,y) = -3x2y + y2 ===='> ax = -6xy
au = M(x,y) = x3 - 3xy2 + 2. Integrando em relação a x ==>axx4 x2 au=> u =- - 3-y2 + 2x + f(y) ===> -a =- 3x2y + ['(y)4 2 y
Mas ~~ = N(x, y) então -3x2y + t' (y) = -3x2y + y2 ou t' (y) = y2
3e assim f(y) = ~ . Logo
====> d(_x_4
_ i X2y2 + 2x + y3) = O423
PR7 Resolva a equação diferencial:
2xy Qnydx + (x2 + y2 Vy2 + l)dy = O
aMM (x, y) = 2xy Qny ==> ay = 2x (1 + Qny)
====>N(x,y) = x2 + y2 .Jy2 + 1==> _aN_= 2xax
aM =1= aN (-' )=> ay ax nao e exata
aM aNay - ãX 2x + 2x Qny - 2x 1
M = 2xyQny =y
F.I. = e-Idy/y = e-2ny _ 1y
1Se multiplicarmos a equação dada por - elay
2x~nyd< +(~2 + y Vy2 + l)dY = O
aM xM(x,y) = 2xQny => -a· = 2-
Y Y=>
x2 --- aNN (x, y) = - + Y .Jy2 + 1 ===.> - = 2 ~
Y ax y
aM aN,=------> - = - (e exata)ay axaax u(x,y) = 2xQny => u = x2Qny + t(y) =>
au x2
>ay =y + ['(y) = N(x,y) -->
x2 x2===> - + ['(y) =- + Y .Jy2 + 1 >y y
====> t' (y) = y ...;y2 + 1 >
=> t(y) = J y ...;y2 + 1 dy ===>
> t(y) = ~ (y2 + 1) .Jy2 + 1
onde u (x, y) = x2 Qny + t (y2· + 1) .Jy2 + 1 e como du = O
I x2Rny +t(y2 + 1) y'y2+ 1 = C I
a) (x + l)dy - (2y + (x + 1)4]dx = O
Multiplicando esta equação toda por (x +11)dx tem-se:
dy _ [ 2y + (x + 1)4] = O oudx x+1
dl) 2_"/ - -- Y = (x + 1)3dx x + 1
aM xM(x,y) = 2xQny => -a· = 2-
Y Y=>
x2 --- aNN (x, y) = - + Y .J y2 + 1 ==='> - = 2 ~y ax y
aM aN,=------> - = - (e exata)
ay ax
aax u(x,y) = 2xQny => u = x2Qny + f(y) =>
au x2I
> ay = y + f (y) = N (x, y) >
x2 x2===>- + t' (y) = - + Y .J y2 + 1 ->
Y Y__ >['(y)=y.vy2+1 >
=> f(y) = f y Jy2 + 1 dy ===>
onde u (x, y) = x2 Qny +t (y2' + 1) J y2 + 1 e como du = O
I x2 Rny +t (y2 + I) -fy2 + I = C I
PRs Resolver as equações diferenciais de 1~ ordem linear:
a) (x + l)dy - (2y + (x + 1)4]dx = O
Multiplicando esta equação toda por (x +11)dx tem-se:
dy _ [ 2y + (x + 1)4] = O oudx x+1
d1J 2_'.T Y = (x + 1)3dx x + 1
!P(X) - - x 11Q (x) = (x + 1)3 ===">
u = e-2! dx/(x +1) = e-22n(x + 1) = 1(x + 1)2
(x 11)2 y = f (X 11)' (x + 1)3dx + C ->
IY X
2 I---=-+X+C__ > (X + 1)2 2
b) (2 + y2)dx - (xy + 2y + y3)dy = O
Esta equação diferencial é linear considerando x como função de y.
Multiplicando-a por 1 2 tem-se:(2 + Y )dy
dx _ (xy + 2 y + y3) = O I dx y Idy 2 + y2 ou di - 2 + y2 x = Y
e como ux = f uQ(y)dy + C resulta
1 x_r 1 d+C.J 2 + y2 - J J 2 + y2 Y Y ou
x = J2 + y2 + C..J 2 + y2
ou I x = 2 + y2 + C ..j 2 +y2
L di + R • i = E sen 2 tdt
onde L, R, E são constantes e i = O para t = O.A equação dada pode ser escrita assim:
di R E- + - i = - sen 2 tdt L L
P(t) = ~=> U = e fP(t)dt = ef(R/L)dt = eRt/L
EQ (t) =T sen 2 t
e como u • i = f u Q(t)dt + C temos:
eRt/Li = f e Rt/L 1sen 2 tdt + C >
e R t/L ( R sen 2t - 2 cos 2 t)eR t/L i = E L + C ou
L R2 '-+4L2
i = E (R sen2t - 2L cos 2t) + Ce-Rt/LR2 + 4L2
A constante C pode aqui ser determinada pois é dada uma condição iniciali = O para t = O. Assim:
EO = R2 + 4 L 2 [R sen (2 • O) - 2 L cos (2 • O)] + C
C= 2ELR2 + 4L2
i = 2 E 2 (R sen 2t - 2L cos 2t + 2Le-Rt/L)R + 4L
ddxY + 1.y = y2 Qn (equação de Bernoulli)x x
J.. dy + _1 = Qnx CDy2 dx xy x
Fazendo a transformação z =.l temos:y
dz - 1 dy dy 2 dz-- - --------> - = - y -dx y2 dx dx dx
e Iassim CD fica
_1 (_y2 dZ) +..!..z = Qnx ouy2 \ dx x x
dz 1 Qnx---z=---dx x x
1P(x) = --
x=====> u = ef(-lIx)dx =.l
Qnx xQ(x) =--
x
Ver resoluçãoVolume I, pág. 235
~
!-= - f Qnx dx + C oux x2 1
I Y = I + exl+ Qnx I í
Utilizando O operador D podemos escrever a equação dada na forma
(D3 - 4 D2 + D + 6) y = Oou (D + l)(D - 2XD - 3)y = O
As raízes da equação característica são - 1, 2 e 3.Como as raízes são distintas, temos:
I y = C1e-x + C2e2X + C3e3X I
PR12 Resolver a equação diferencial
. d4y _ 4 d
3y _ 5 d
2y + 36 dy _ 36 = O
d:x4 d:x3 d:x2 d:x Y
Esta equação pode ser escrita na forma:
(D4 - 4D3 - 5 D2 + 36D - 36)y = O
ou (D - 2)2(D - 3)(D + 3)y = O
As raízes da equação característica são: 2 (raiz dupla), - 3 e 3. Logo,
I y = C1e-3X + C~e3X + c3éx + C4xe2X
PR 13 Resolva a equação diferencial
(D3 - 6 D2 + 12 D - 8) y = O
A raiz da equação característica é 2, porém com multiplicidade 3. Logo,
I y= C1e2X + C2xe
2X + C3x2
e2X I
PR14 Resolva a equação diferencial:
d3y _ d
2y + 9 dy _ 9 y = O
dx3 d:x2 dx
Solução:
(D3 - D2 + 9 D - 9) y = O (D - 1)(D2 + 9)y = O
As raízes da equação característica são 1 e ± 3 i. Logo,
I y = C1eX + C2 cos 3 x + C3 sen 3 x I
PR1S Uma barra de metal à temperatura de 60°C foi colocada em uma sala comtemperatura constante e igual a 5°C. Após 10 minutos mediu-se a tempe-ratura da barra acusando 40°C. Pergunta-se:
a) qual o tempo necessário para a barra chegar à temperatura de 10°C?b) qual a temperatura da barra após 22 minutos?
Solução: A lei de Newton para variação da temperatura diz:
"a taxa de variação de temperatura de um corpo é proporcional à diferençade temperatura entre o corpo e o meio ambiente".
T a temperatura do corpo
Tm a temperatura do meio ambiente
~~ a taxa de variação da temperatura do corpo
onde (T - Tm) > O e K é uma constante de proporcionalidade, positiva.
O sinal negativo na frente de K aparece a fim de tornar ~~ negativa· em um
processo de resfriamento.
A expressão ® pode ser escrita assim:
I dT +KT=KT. dt m
T = Tm + Ce-Kt IAssim, T = 5 + Ce-Kt.
a) para T = 60°C, t = O segue-se que
60 = 5 + Ce-K•o ==> I C = 55° Ipara t = 10 minutos, T = 40° C onde
40 = 5 + 55 e-lOK ====> 35 = 55 e-1oK => K = 0,0451
e assim T = 5 + 55 e-O,045lt • Quando T = 100e tem-se:
10 = 5 + 55 e-O,0451t ====>.\ t == 53 minutos I
T = 5 + 55 e-O,0451 <22 ====> I T == 25,4°C I
PR16 Uma certa cidade tem crescimento populacional a uma taxa proporcionalao número de habitantes existentes. Após 20 anos sua população triplicae após 6 anos é de 80.000 habitantes. Determine:
a) A população inicial,b) A população após 50 anos.
Solução: Seja 1'1 a população no instante t,No a população inicial e ~ a taxa
populacional. Assim,
dN dNdt = KN --> 1'1 = K dt >
> QnN = K t + C1 ====> I 1'1 = Ce K t I
a) para t = O ====> 1'1 = No > I No = C 1-> 1'1 = Noe Kt
para t = 20 ====> 1'1 = 31'10==>: 31'10 = Noe20K. >
--> e20K = 3 ====>_1K = 0,0549 Ipara t = 6 ====> 1'1 = 80.000 ==> 80.000 = Noeo,054906 >
====> i No == 57.548 habitantes I
PR17 Um corpo de 64 Newtons de peso cai de uma altura de 400 metros comvelocidade inicial de 5 m/sego Supondo a resistência do ar proporcional àvelocidade do corpo e sabendo-se que a velocidade limite é de 140 m/segdetermine:
a) Uma expressão para a velocidade do corpo no instante t.b) Uma expressão para a posição do corpo no instante t.c) A posição do corpo após 3 segundos.
Solução:a)
Consideremos a massa e a gravidade constantes.
Conforme lei de Newton F = m c:;; (F é a força resultante que atua
sobre o corpo).Duas forças atuam no corpo: a força de atrito e a força peso. Assim:
F = Fa + P
e como Fa = - Kv e P = mg =->
dv .=> m dt = -Kv + mg >
dv dv + Kv __ g==">m - + Kv = mg =>dt dt m
I v =~ + Ce-Kt1m I
onde Vi = ~ é a velocidade limite do corpo para K > O.
Para P = 64N - >mg = 64 => I m = 6,53 kg I
Vi = 140 m/seg => "Jt = 140 ====>I K = 0,4571 I
Para t = O => V = 5 m/seg => 5 = 140 + C =>-->- C = - 135.
Logo a expressão procurada é:
I v = 140 - 135 e-O,o7t I
b) Como dy = v ---> dy = 140 - 135e-o,o7t oudt dt
dy = 140dt - 135 e-o,o7tdt
I y = 140 t + 1.928,57 e-O,o7t + C Ipara t = O -> y = O=> O = 140 o O + 1.928,57 e-O,07°0 +
+C
I y = 140 t + 1.928,57 e-O,o7t - 1.928 57l expressão .da posição do. ' _. corpo no mstante t
c) Após 3 segundos, temos
y = 140 o 3 + 1.928,57 e-O,07°3 - 1.928,57
onde y = 54,7 metros.
- PR 18 Um circuito RL tem força eletromatriz de· 10 volts, uma resistência de 5 ne indutância de 10 henrys. Determine a corrente no circuito no instantet = 3 segundos, sendo a corrente inicial nula.
Solução:
di di R. EE = Ri + L -====>-- + -[ =-=>dt dt L L
I· EL + C -Rt/L I=> l = li e solução geral
O O C EL .Como i = para t = -> = - R e aSSIm
. EL EL -Rt/L --> Iz. = É:-R'L(1 _ e-Rt/L)z=-R---R-e --.
i = 10 ~ 10 (1 _ e-S-3IlO) => I i == 15,5 Ampêres
PR19 Uma certa substância radioativa diminui a uma taxa proporcional à quanti-dade presente. Inicialmente, a quantidade de material é de 80 miligramas eapós duas horas perde-se 9% da massa original. Determine:
a) A massa restante após 12 horas.b) O tempo necessário para que a massa inicial fique reduzida à metade
(half-life ).I
Solução: Seja N a quantidade de substância presente no instante t e comoa substância diminui a uma taxa proporcional à quantidade presente tem-se:
dN dNdt=KN >/i=Kdt>QnN=Kt+C1-->
===-=>.\ N = CeKr[
para t = O => N = 80 ====>.80 = CeK-o ====>I C = 80 I
Assim I N = 80eKt I
para t = 2 h· - --> N = 72,8 miligramas ====> 72,8 = 80 e2K =>
===> ~ = -0,0471
a) para t = 12 horas tem-se:
N = 80 e-O,047-12 -> I N = 45,5 miligramas Ib) para N = 8
20= 40 miligramas tem-se:
40 = 80 e-O,047t => e-O,o47t = 0,5 ====>
QnO,5==:> -0,047 t = Qn 0,5 -->. t = 0,047
====> I t == 14,7 horas IPR20 Uma viga horizont3.l possui comprimento igual a 4 Q e está livremente supor-
tada por suas extremidades. Achar a equação da curva elástica e a deflexãomáxima da viga sendo a carga w kg por unidade de comprimento.
ox=oy=o- R----1 x = 41y=o
2 wl
1--x-2
As forças externas que agem no segmento OP são:
a) A reação do apoio em O, a x metros de P, e igual à metade da carga,isto é, 2 wQ.
b) Uma força, orientada para baixo, de wx kg, admitida como concentrada
no meio de OP e, assim, a ; x metros de P.
Da mecânica temos:
E = módulo da elasticidade do material da viga
I = momento de inércia da seção transversal
R = raio de curvatux:a da curva elástica, no ponto P
M = momento fletor em P
Mas M = 2w/x - wx ; x = 2w/x'- ; wx2 e assim:
Integrando CD temos:
EI *= wlx2
- ~ + C, I®Como no meio da viga x = 21 e : = O, tem-se:
El' O = wl(21)2 _ w(21)3+ C1--> C1 = __8 w136 -- 3
e a @ fica:
Integrando @ temos:
wl 3 w 4 8 3EI Y = - x - - x - - wl x + C23 24 3
e a expressão ® fica:
wl 3 w 4 8 3EI y = 3" x - 24 x - 3" wl x
I y = z.fu (8lx3- x' - 64Z3x) I @)
A deflexão ou afundamento da viga em um ponto qualquer, distante x uni-dades de O, é dada por - y, sendo que a. deflexão máxima ocorre no meio
(x = 2l) e, conforme ®' temos:
w J4 4 4 80 w14 10 w14
-Ymáx = - 24EI(64t - 161 - 1281 ) = 24EI = 3EI
PR21 Uma viga horizontal engastada em uma extremidade e com a outra embalanço, está sujeita a uma carga uniformemente distribuída de w kg porunidade de comprimento. Ache a curva elástica e a deflexão máxima.
1-(1- x)2
dy = Od.x
Seja P (x, y) um ponto qualquer da curva.A única força agindo é a carga w (l - x) no me.lOde PR.Então,
M = -w(l- x).!..(l- x) = _.!..w(z- X)22 2
d2y 1e EI dx2 = -"2 w (l - X)2. Integrando esta expressão >
Eldy 1 ( 3- = - w Z - x) + C1dx 6 CDComo em O x = O e : = O temos:
1 3 C 1 3EI • O = 6" w (l - O) + C1 ==>: 1 = - 6" wl
A CD toma a forma
dv 1 1 ®EI ::::L. = - W (l - X)3 - - wz3 IIdx 6 6
Integrando a@==">
==>·1 Ely = - ~ w(l- X)4 -tWl3x +C21@)
e a @ fica
Ely = - _1 w(l - xt _ .!.."wI3x + _1 wZ4" ~ 6 ~
ou I y = 2iirr [-(I - X)4 - 4l"x + 1411 "curva elástica"
_Y' =- w [-(1-1)4-4-[3-1+14]=max 24EI
W wZ4
- - 24 EI (- 314) = 8 EI
A equação diferencial é
O08 ~ + 20 E9.. + q = 11O, dt2 dt 80 X 10-6
~~ + 250 ~ + 156.250q = 1.375 CDSolução homogênea
(D2 + 250D + 156.250)q = O
[D - (-125 + 375 z)][D - (-125 - 375 z)]q = O
I qh = e-12st (C1 cos 375 t + C2 sen 375 t) I (solução homogênea)
Solução particular
q = A > dq = O > d2q = O
dt . dt2
Logo, substituindo em Q), tem-se:
O + 250 • O + 156.250A = 1.375 > A = 0,0088
I qp = 0,0088 (solução particular) IComo q = qh + qp >
==> q = e-12st (C1 cos 375 t + C2 sen 375 t) + 0,0088 ®(solução geral)
Como q = O e i = O, para t = O, vem
® ==> C1 = -0,0088
@ ---> 375 C2 - 125 C1 = 0=> C2 '" -0,003
q = e-125t (- 0,0088 cos 375 t - 0,003 sen 375 t) + 0,0088
I i = e-125t (3,675 sen 375 t - 0,025 cos 375 t I
a) (d3y)2 + 4 dy _ 2 = Odx3 dx
b) (dy)3 + 3 d2y - 4 Y = 6
dx dx2
c) j: + y = 5y2
PP2 Mostre que:
a) y = C1 COS 2x + C2 sen 2x + senx é solução de d2~ + 4 y = 3 senxdx
) x 2X C -x' 1 - d d3y 2 dy2 dy + 2 Ob Y = Cle + C2e + 3e e souçao e - - - -- y =
dx3 dx2 dx
c) Y = xe2X + eX é solução de d2
y _ 4 dy + 4 Y = eX
dx2 dx
d) y = C, + C2x - seu (x + Ci) é solução de (~;J+(a;;.y = I
a) dy = e3X - 4xdx
b) d3y = O
dx3
1Resp.: a)y =3ej~ - 2x2 + C
x2
b) y . Cl2" + C2x + C3
PP4 Resolva as equações diferenciais de variáveis separáveis:
a) (l + y2)dx + (1 + x2)dy = O
b) (1 + y2)dx - xdy = O
c) x .J 1 + y2 + Y !!:l... .J 1 + x2 = Odx
Resp. : -vi 1 + x2 + .J 1 + y2 = C
d) cos x vi 4 - y2 dx + Y vi 1 + sen x dy = O
Resp.: 2 -vi 1 + senx - -vi 4 - y2 = C
e) (3x + 1)2dy + dx = O(2y2 + 5)y
8Resp.: 3(2y2 + 5)2 - 3x + 1 = C
Resp.: (2x - l)e2X- 4e-Y = C
dxg) - = eX cosy
dy
Resp.: y = arcsen (C - e-X)
h) ...;2xy dy = dx
PP5 Resolva as equações diferenciais de 1~ ordem homogêneas.
a) 4x - 3y + ~ (2y - 3x) = O
Resp.: y2 - 3xy + 2x2 = C
b) x dy = y + ..J y2 - x2dx
c) dy = 2xydx 3x2 _ y2
Resp.: y2 = x2 - Cx
e) xdy - ydx = xeY/xdx
Resp.: e-Y/x + Qn x = C
Resp.: )'2 = _x2 (1 + 1 )Qn Cx2
g) x cos.l. (ydx + xdy) = y sen y (xdy - ydx)x x
Resp.: xy cosL = Cx
PP6 Verifique se as equações diferenciais propostas são exatas. Em caso atir-mativo, resolva-as.
c) (eX + 2y)dx + (4eY + 2x)dy = o
Resp.: eX + 2xy + 4eY = C
d) (3x2y - 4 ~nx)dx + (x3 - ~ny)dy = O
, Resp.: x3y - 4x ~nx - y(~ny) + y + 4x = C
e) _dy= _2_+_y_e_x_y_
dx 2y - xexy
Resp.: 2x + eYx - y2 = C
g) Lx cos (x + y) + sen (x + y)] dx + x cos (x + y) dy = O
Resp.: x sen (x + y) = C
PP7 Resolva as equações propostas usando um fator integrante conveniente.
a) xdy - ydx + x3dx = O
Resp.: 2y + x3 = Cx
b) (x2 + x - y)dx + xdy = O
c) (x + y2)dx - 2xydy = O
Resp.: x = CeYz/x
d) (x + 3y) dx + x dy = C
a) dy + 8y = eXdx
Resp' Y =1.eX + Ce-8X.. 9
_X2 ..,Resp.: y = Ce + x~ - 1
dv 1c).::L. + -- Y = cosxdx x+l
Resp.: (x + l)y = (x + 1) senx + cosx + C
d) (sen2x - y)dx - tgxdy = O
e) (y2 - l)dx + (y3 - Y + 2x)dy = O
f) tg x ~ +y = sec x
g) (y2 + l)dx + (2xy + l)dy = O
C-yResp.: x =--1 +y2
h)~ + Y cotgx = 5eoosxdx
a) 2 dy + 4xy + xy3 = Odx
1 1 2Resp.: "2 = -"4 + Ce2X
y
dv 1 1b).=L + - Y = - (1 - 4x) y6dx 5 5
Resp.: ~ = -4x - 3 + Cexy5
.c) y2 : - xy3 - X = O
Resp.: y3 = -1 + Ce(312)X2
dx x 3 Od) 2 - - - + x .cosy =dy Y
PP10 A.che uma solução parti.cular para as equações diferen.ciais propostas, .con-forme 'as .condições dadas:
a) t J 2 02 + 4 dt + O .J t2 + 5 dO = O (O = O para t = 2)
Resp.: 2.J t2 + 5 + J 2 02 + 4 = 8
b) (x + 3)3dy + (x + 3)2ydx = dx (y = 2 para x . 1)
1 33Resp.: y = - 2 + 4 ( + 3)(x + 3) x
.c) (x2 - xy)dy = (y2 - yx)dx (y = 2 para x = 3)
d)Z = 2x [f'(2) = 3, ['(1) = 2,[(0) = -2]
e) 3xydx + x2dy = -2xdx (y = 1 para x = -1)
2 5Resp· y,v3 + - x3 + - = O.. ..•. 3 3
PP 11 Resolva as equações diferenciais lineares de 2~ ordem homogêneas (coe-ficientes constantes).
a) d2y + dy _ 12y = O
dx2 dx
d2y dyc) - - 4 - - 6y = Odx2 dx
d3y d'2y dyd) - - 6 - + 12 - - 8y = O
dx3 dx2 dx
d2y dye)3--2--5y=0dx2 dx
f) d4y _ 10 d
3y + 36 d2y _ 54 El.. + 27y = O
dx4 dx3 dx2 dx
Resp.: y = e2X (C1cos2x + C2sen 2x)
h) d2y + 2 !JE. + 3y = O
dx2 dx
PP13 Resolva as equações diferenciais de 2~ ordem lineares (coeficientes cons-tantes) não homogêneas pelo método dos coeficientes a determinar: .
a) d2y _ 2 dy + y = x3
dx2 d:x
( ) Kx eX
Resp.: y = C1 + C2x e + , 2(K - 1)
d2y dyc) - - 4 - + 3Y = cosxdx2 d:x
d2d) 2 ~ + y = 2 (x2 + x + 1)
Resp.: y = 2r + 2x - 6 + c,cos(V; x)+ c2sen(V; ~
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
d2 de) ---2. - 2 2 + 2y = x2eXdx2 dx
d2 d1) ~ + 2 ~ + 2y = x2 + senxdx2 dx
PP14 Idem, pelo método "VARIAÇÃO DOS PARÂMETROS"
a) d2y _ dy _ 2y = 5x2
dx2 dx
Colocou-se uma barra de metal, com temperatura de 120°C em um ambientecuja temperatura é constante e vale 8°C. Após 30 minutos mediu-se atemperatura da barra encontrando o valor de 70°C. Pergunta-se:
a) qual o tempo para a barra atingir a temperatura de 65°C?b) após 50 minutos qual a temperatura da barra?
Resp.: a) 34 minutos aproximadamenteb) 49,8°C aproximadamente.
Um corpo estava inicialmente com temperatura de 10°C. Colocou-se estecorpo em um recipiente cuja temperatura constante era de 120°C. Veri-ficou-se que após 10 minutos a temperatura do corpo atingiu 32°C.Pergunta-se:
a) a temperatura do corpo após 40 minutos;b) o tempo necessário para o corpo atingir 43°C;
Resp.: a) 74,4°C aproximadamenteb) 16,2 minutos aproximadamente
E= 3 cos 3tVolts ~
PP 17 No circuito ao lado determine acorrente no instante t supondo acorrente inicial igual a 4 amperes.
. . _ 200 ~ 6 236 -40tResp.. l-I 609 cos 3 t + I 609 sen 3 t + 1 609 e
PP18 Um corpo é abandonado de uma altura de 800 metros. Supondo a resistênciadoar proporcional à velocidade do corpo, e sabendo-se que a velocidadelimite e sua massa valem, respectivamente, 100 m/seg e 5 kg, determine:
a) uma expressão para a velocidade do corpo no instante t;b) uma expressão para a posição do corpo no instante t;c) a velocidade e a posição do corpo depois de 10 segundos.
Resp.: v = 100 - 100e-o,098t
y =.100 t + 1 020,4e-O,098t - 1020,4
PP19 Uma substância radioativa diminui a taxa proporcional à quantidade presente.Sendo a quantidade de material 80 miligramas e verificando-se que 3 horasdepois sua massa original diminui em 20%, determine:
a) a massa que resta após 6 horas;b) o tempo necessário para que a massa se reduza à metade.
Resp.: a) 51,3 miligramasb) 9,3 horas
PP20 A população de uma determinada cidade cresce a uma taxa que é propor-cional ao número de habitantes existentes. Após 7 anos a sua populaçãoaumenta em 28% e após 10 anos é de 60.000 habitantes. Qual a sua popu-lação após 20 anos da data inicial?
Resp.: 85.144 habitantes aproximadamente
PP21 Um paraquedista cai no espaço sob a ação da gravidade. Se a resistênciadoar é proporcional à velocidade da queda, determine a distância percorridano tempo t supondo que tal paraquedista parte do repouso para t = O.
Resp.: y = m2![Kt + e-Ktm _ 1], onde m é a massa, g a aceleração da
K m J
gravidade e K o fator de proporcionalidade na resistência do ar.
PP22 Urna população de bactérias cresce a urna taxa proporcional à popu·lação. Após 2 horas a população cresceu para 10.000 bactérias e após 8 horascresceu para 180.000 bactérias. Pergunta-se:
a) o número de bactérias após 4 horas;b) o tempo necessário para o número de bactérias chegar a 650.000.
Resp.: a) 26.207 aproximadamenteb) 10 noras e 40 minutos aproximadamente
PP23 Num estudo de jejum, o peso de um indivíduo caiu de 95 kg para 78 kg em27 dias., Supondo que a perda foi proporcional ao péso do indivíduo per-gunta-se:
a) o peso do indivíduo após 12 dias;b) o número de dias para que seu peso alcançasse 80 kg.
Resp.: a) 87 kg aproximadamenteb) 24 dias aproximadamente
PP24 Urna população de bactérias cresce de um tamanho inicial de 200 para umlimite de 400.000. Suponhamos que, na primeira hora, a população cresceaté 800. Assumindo que o crescimento é governado pela lei logísticapergunta-se:
a) a população de bactérias após 6 horas;b) o tempc necessário para que a população inicial de bactérias cresça para
13.240.
Resp.: a) 269.700 bactérias aproximadamenteb) 3 horas aproximadamente
PPZ5 Em urna população de 10.000 indivíduos igualmente suscetíveis é introduzidoum indivíduo infectante. Considerando que o indivíduo infectante assimpermanecerá durante todo o processo de transmissão; nenhum indivíduoserá removido e que após 20 dias 6 indi'V1d'UOSjá se apresentavam infectados.Pergunta-se.a) o tempo necessário para que a metade da população esteja totalmente
infectada.b) o número de infectados após 3 meses e 8 dias.
Resp.: a) 3 mese~ e 14 dias aproximadamenteb) 3.803 aproximadamente