4. Medidas descritiva para dados quantitativos · que ocupa a posição central das ... da tabela de frequências verifica-se que a observação mais ... Na situação em que ocorre

4. Medidas descritiva para dados quantitativos

4.1. Medidas de Posição da amostra: média, mediana e moda

Considere uma amostra com n observações: x1, x2, . . . , xn.

a) Média: (ou média aritmética) é representada por x e é dada

soma das observações, divida pelo número de observações.

n

xx

n

i i 1

Exemplo 1: Sejam os dados: 2, 3, 6, 3, 5, 4, 3, 4, 2, 3,

logo 3510

1

i

ix

5.310

35x

Propriedade:

Se y = ax + b, então, para uma amostra x1, x2, . . . , xn, temos:

nibxay ii ,,2,1, ,

e

bxay

Exemplo 2: Se Y = 2X − 1, então, temos os dados transformados:

3, 5, 11, 5, 9, 7, 5, 7, 3, 5 e 6010

1

i

iy

0.615.32 y

Note que, para duas variáveis x e y, se z = x/y, então:

y

xz

b) Mediana: representada por )(xmed , é dada pela observação

que ocupa a posição central das observações ordenadas.

Definição:

Estatística de ordem: a estatística de ordem i é dada pela i-ésima

observação ordenada, sendo representada por:

x(i), i = 1, 2, . . . , n,

ou seja:

i) x(1) é a primeira estatística de ordem, ou o valor mínimo da

amostra;

ii) x(n) é a n-ésima estatística de ordem ou o valor máximo da

amostra.

iii) x(i) é a i-ésima estatística de ordem, ou a i-ésima observação

ordenada;

Por exemplo, para i = 2, x(2) é a segunda estatística de ordem,

ou o segundo menor valor da amostra;

Desta forma, temos que as estatísticas de ordem fornecem a

amostra ordenada: x(1) x(2) . . . x(n)

Seja a amostra ordenada, x(1) x(2) . . . x(n), então, a posição

central é dada pela estatística de ordem, portanto,

2

1)( nxxmed

Exemplo 3: Sejam os dados: 2, 3, 6, 3, 5, 4, 2, 5, 2 (n = 9).

Dados ordenados: 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6

Então, 3)( 5 xxmed

Notas:

i) A mediana também é representada por x~ ;

ii) Se n é par, a mediana é dada pela média aritmética das duas

observações centrais.

Exemplo 4: Sejam agora: 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6 (n = 10).

Então, 5.32

43

2)(

)6()5(5.5

xxxxmed

c) Moda: representada por )(xmo , é observação da amostra com

maior frequência, ou seja, a que mais se repete.

Um conjunto de dados pode ter mais de uma moda, ou até

mesmo, não ter moda.

Classificação de um conjunto de dados em relação ao número de

modas:

i) unimodal: quando o conjunto tem uma única moda;

ii) bimodal: quando o conjunto tem duas modas;

iii) multimodal: quando o conjunto tem três ou mais modas;

iv) amodal: quando o conjunto não tem moda (neste caso, todas

as observações aparecem uma única vez na amostra).

Exemplo 5: Com os dados: 2, 3, 6, 3, 5, 4, 3, 4, 2, 3

Então, 3)( xmo (aparece 4 na amostra)

O conjunto é unimodal.

O moda pode, ainda, ser calculada para variáveis categóricas.

Neste caso, o resulta será um valor não numérico. Veja o exemplo:

Considere os conceitos de n = 10 alunos: D B A B C A A C B B

mo(conceito) = B (aparece 4 na amostra)

Exemplo 6: Dos alunos de Estatística 1, dos anos 2015, 2016 e

2017, que praticam alguma atividade física regularmente, seja o

número de vezes que praticam essa atividade física na semana.

Dados:

3 3 3 3 2 3 2 3 3 3

2 2 4 5 4 4 5 7 3 1

2 2 4 4 3 3 3 2 1 3

2 4 3 7 5 5 2

Dados ordenados:

1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

2 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3 4 4 4 4 4

4 5 5 5 5 7 7

i) Média amostral: 12037

1

i

ix ,

Portanto a média amostral é:

24,337

120x vezes/semana

ii) Mediana amostral: como n = 37, então 192

1

n, logo, a

mediana é a observação ordenada que ocupa a 19ª posição, ou seja:

3)( 19 xxmed vezes/semana

iii) Moda da amostra: da tabela de frequências verifica-se que a

observação mais frequente na amostra é o 3, que aparece 14 vezes.

Desta forma, a moda é:

3)( xmo vezes/semana

Podemos resumir as medidas de posição numa tabela:

Tabela: Medidas de posição amostral da variável número de

vezes que pratica atividade física na semana.

média 3,24 vezes/semana

mediana 3 vezes/semana

moda 3 vezes/semana

Exemplo 7: Altura (em metros) de n = 30 alunos de Estatística 1, de

2015 a 2017.

X = altura dos alunos (em metros)

Dados ordenados:

1,54 1,57 1,59 1,59 1,60 1,62 1,63 1,65 1,67 1,68

1,70 1,70 1,70 1,72 1,72 1,73 1,74 1,74 1,75 1,75

1,77 1,78 1,78 1,79 1,80 1,83 1,84 1,90 1,90 1,95

i) Média amostral: 75,5130

1

i

ix .

Portanto a média amostral é: 724,130

73,51x metros

ii) Mediana amostral: como n = 30, então 5,152

1

n, logo, a

mediana é a observação ordenada que ocupa a posição 15,5, ou

seja, é dada pela média aritmética entre a 15ª e 16ª observações

ordenadas:

725,12

73,172,1

2)(

)16()15(5,15

xxxxmed metros

iii) Moda da amostra: a moda é dada pela observação 1,70m, que

aparece 3 vezes na amostra:

70,1)( xmo metros

Comandos do R para as medidas de posição:

altura <- c(1.70, 1.73, 1.83, 1.60, 1.75, 1.84, 1.77,

1.78, 1.74, 1.62, 1.70, 1.67, 1.63, 1.90,

1.54, 1.68, 1.95, 1.90, 1.59, 1.74, 1.80,

1.57, 1.75, 1.72, 1.59, 1.70, 1.65, 1.78,

1.79, 1.72)

# soma das observações

soma <- sum(altura)

soma

# media anostral

xbar <- mean(altura)

xbar

# mediana amostral

mediana <- median(altura)

mediana

A moda não tem uma função pronta no R, portanto, podemos

programar uma função e utilizá-la sempre que for necessário.

# Função no R para a moda

##########################

mo <- function(v){

tabela <- table(as.vector(v))

m <- names(tabela)[tabela == max(tabela)]

if(is.numeric(v)){m <- (as.numeric(m))}

if(length(m)==length(v)){

print("Conjunto não possui moda.")}

else{return(m)}

}

x <- c(1,2,2,2,3,3)

mo(x)

x <- c("e","s","t","a","t","i","s","t","i","c","a")

mo(x)

# moda da variável altura

moda <- mo(altura)

moda

# veja isso!

altura[1] <- 1.69

mo(altura)

# Criando uma lista com estatísticas descritivas

# de posição média, mediana e moda.

################################################

descri <- as.matrix(c(mean(altura),median(altura),mo(altura)))

dimnames(descri)[[1]] <- c("média","mediana","moda")

dimnames(descri)[[2]] <- "altura"

round(descri,4)

4.1.1. Média, Moda e Mediana e a Simetria dos dados

Considere o histograma abaixo:

Figura 4: Função de distribuição de probabilidades sobre o histograma.

O que podemos dizer com relação a simetria da distribuição de

frequências representa por este histograma?

Quando uma distribuição de frequências é perfeitamente

simétrica, teremos que a média aritmética, a moda e a mediana

serão iguais, ou seja:

x = mo(x) = med(x)

E quanto ao exemplo acima (Figura 4), como podemos

classificá-lo em função da sua falta de simetria?

Quando a distribuição não é simétrica, podemos distinguir

duas situações possíveis (Figura 5):

i) A cauda superior da distribuição é mais alongada, puxando a

distribuição para a direita.

Neste caso, a média é maior do que a moda e a assimetria é

dita à direita ou positiva.

ii) A cauda inferior da distribuição é mais alongada, puxando a

distribuição para a esquerda.

Neste caso, a média é menor do que a moda e a assimetria é

dita à esquerda ou negativa.

Figura 5: Assimetrias à direita e à esquerda, respectivamente.

Assim, para cada situação, teremos:

i) Quando a simetria é perfeita as três medidas são iguais.

ii) Na situação em que ocorre a assimetria à direita, teremos a

moda menor do que a mediana que é menor do que a média.

iii) E, para a assimetria à esquerda, devemos ter a média menor do

que a mediana que é menor do que a moda.

Observação importante!

As relações apresentadas são consequência da

simetria (i) ou assimetria (ii) e (iii), não a causa.

Relação entre média, moda e mediana

➢ A Média :

usada para resumir dados contínuos simétricos ou

aproximadamente simétricos;

apropriada quando o tamanho da amostra é moderado ou

grande, mesmo quando a simetria não tão boa;

é influenciada por valores extremos, sendo puxada na direção

da cauda mais alongada (ver Figura 5), especialmente para

amostras pequenas.

➢ A Moda

é o elemento de maior frequência, sendo o ponto de máximo

de f(x);

a moda é apropriada para dados de contagem;

pode ser aplicada a dados qualitativos, nominais ou ordinais;

quando o tamanho da amostra é grande, é robusta a valores

extremos.

➢ A Mediana

está sempre no meio do conjunto, dividindo-o em duas partes

iguais, ficando entre as duas medidas anteriores;

por ser uma medida robusta a valores extremos, é apropriada

para resumir dados assimétricos;

pode ser utilizada para dados qualitativos ordinais.

4.1.2. As médias geométrica e harmônica

a) Média Geométrica: MG(x) e é dada pela n-ésima raiz do

produto das n observações da amostra

nn

nn

ii xxxxxMG

21

/1

1

)(


logo 15552010

1

i

ix

305054,3155520)( 10 xMG

Obs:

i) para o cálculo da média geométrica, os valores devem ser todos

positivos e diferentes de zero;

ii) outra forma de apresentação da média geométrica é dada pela

relação:

n

xxxxMG n )log()log()log(

exp)( 21

n

iix

n 1

)log(1

exp

Exemplo 9: Com os dados anteriores, 95453,11)log(10

1

i

ix , e

305054,310

95453,11exp)(

xMG

Propriedades:

i) Seja a amostra x1, x2, . . . , xn, então, )()( xMGaxaMG ;

Exemplo 10: Se y = 2x:

)(2610.6159252480)( 10 xMGyMG

ii) Sejam duas variáveis X e Y, então, )(

)(

yMG

xMG

y

xMG

.

Exemplo 11: Seja a seguinte amostra de uma varável y:

10,0 15,0 10,0 5,0 7,5 5,0 7,5 7,5 12,5 7,5, então

8,262636)( yMG

e, )(

)(4.0

yMG

xMG

y

xMG

b) Média Harmônica: MH(x) e é dada pelo recíproco da média

aritmética dos inversos das observações

n

xxxxMH

n/1/1/1

1)(

21

nxxx

n

111

21

n

i ix

n

1

1

Obs: também, para o cálculo da média harmônica, os valores

devem ser todos positivos e diferentes de zero.


logo 2.3110

1

i ix

125.32.3

10)( xMH

Propriedade:

Seja a amostra x1, x2, . . . , xn, então, )()( xMHaxaMH

Exemplo 13: Se y = 2x:

então, 6.1110

1

i iy

)(225.66.1

10)( xMHyMH

4.1.3. Relações entre as medidas deposição

i) Relação de desigualdades entre as médias aritmética, geométrica

e harmônica

xxMGxMH )()(

Se todas as observações forem iguais, ( x1 = x2 = . . . = xn), temos

a igualdade

xxMGxMH )()(

ii) Relação empírica entre média aritmética, mediana e moda.

Karl Pearson, matemático famoso, no final do século XIX e

início do XX, observou empiricamente, a seguinte relação

entre as três medidas de posição média, mediana e moda:

)(3)( xmedxxmox

ou, ainda

xxmedxmo 2)()(

Observações:

1) Se a distribuição dos dados for perfeitamente simétrica, então

)()( xmoxmedx ;

2) A relação só se aplica a distribuições com boa simetria;

3) Só é valida para casos unimodais;

4) Depende de um tamanho de amostra n elevado.

4.1.4. Exemplos de medidas de posição

Exemplo 14: uma grande companhia está preocupada com o tempo

em que seus equipamentos ficam em manutenção na assistência

técnica. Assim sendo, fez um levantamento do tempo de

manutenção (dias) de 50 equipamentos para um estudo mais

detalhado.

X = dias em manutenção de equipamentos.

15 13 21 9 5 5 10 6 2 2

9 10 3 4 2 13 12 16 7 6

4 11 8 6 6 10 17 13 9 5

2 5 9 14 15 3 6 18 3 4

5 7 8 3 10 5 5 4 5 2

Dados Ordenados:

2 2 2 2 2 3 3 3 3 4

4 4 4 5 5 5 5 5 5 5

5 6 6 6 6 6 7 7 8 8

9 9 9 9 10 10 10 10 11 12

13 13 13 14 15 15 16 17 18 21

n = 50 observações

Medidas Descritivas de Posição:

i) Média: 3921 ni ix

84.750

392x dias (≈ 8 dias)

ii) Mediana:

Determinando a posição da mediana

5.252

150

2

1

n

Logo, a mediana é dada pela média entre a 25ª e 26ª

observações ordenadas:

62

66

2)(

)26()25(

xxxmed dias

iii) Moda: mo(x) = 5 dias (aparece 5 na amostra)

o conjunto é unimodal.

iv) Média geométrica: 40

1

10895046.3

n

iix

6.483510895046.3)(50/140 xMG dias

Como 46311.93)log(1

n

iix , temos, ainda,

4835.6e50

46311.93exp)( 1.8693

xMG dias.

v) Média harmônica: 9.48111

1

n

i ix

5.27379.4811

50)( xMH dias

Exemplo 15: Em 1798 o cientista inglês Henry Cavendish mediu a

densidade do globo terrestre em 29 ensaios. Os dados foram

obtidos do Annals os Statistics, 1977.

X = densidade do globo terrestre (g/cm3).

5.50 5.61 4.88 5.07 5.26 5.55 5.36 5.29 5.58 5.65

5.57 5.53 5.62 5.29 5.44 5.34 5.79 5.10 5.27 5.39

5.42 5.47 5.63 5.34 5.46 5.30 5.75 5.68 5.85

Dados ordenados

4.88 5.07 5.10 5.26 5.27 5.29 5.29 5.30 5.34 5.34

5.36 5.39 5.42 5.44 5.46 5.47 5.50 5.53 5.55 5.57

5.58 5.61 5.62 5.63 5.65 5.68 5.75 5.79 5.85



i) Média: 99.1571 ni ix 448.5

29

99.157x g/cm3

ii) Mediana:

Determinando a posição da mediana

152

30

2

1

n

Logo a mediana é a 15ª observação ordenada.

5.46)( )15( xxmed g/cm3

iii) Moda: mo1(x) = 5.29 g/cm3 e mo2(x) = 5.34 g/cm3

o conjunto é bimodal.

vi) Média geométrica: 21

1

102.19065

n

iix

5.4435102.19065)(29/121 xMG g/cm3

Como 49.13848)log(1

n

iix , temos, ainda,

4435.5e29

49.13848exp)( 1.69443

xMG g/cm3.

vii) Média harmônica: 5.3317681

1

n

i ix

5.43915.331768

29)( xMH g/cm3

Exemplo 16: Altura dos alunos das turmas A e B de Estatística 1 no

primeiro semestre de 2015.

X = altura dos alunos (em metros).

Dados ordenados

1.52 1.55 1.57 1.58 1.59 1.60 1.60 1.60 1.61 1.63

1.63 1.64 1.65 1.65 1.65 1.67 1.68 1.68 1.68 1.69

1.70 1.70 1.70 1.70 1.70 1.72 1.72 1.73 1.73 1.73

1.73 1.74 1.74 1.74 1.75 1.75 1.76 1.77 1.77 1.78

1.78 1.78 1.79 1.79 1.79 1.80 1.80 1.80 1.83 1.83

1.83 1.83 1.89 1.90 1.95


Dados:

52.94 ix ;

32.092421

ix

Calcule as medidas de posição: médias aritmética, geométrica e

harmônica; mediana e moda.


i) Média: xi = 94.52 7185.155

52.94x m

ii) Mediana: 282

56

2

1

n, logo a mediana é a 28ª observação

ordenada:

72.1)( )28( xxmed m

iii) Moda: mo(x) = 1.70m aparece 5 na amostra,

o conjunto é unimodal,

4.2. Medidas de Dispersão (ou de variação)

a) Amplitude: é dada pela diferença entre o maior e o menor valor

da amostra.

Sejam ],,,[min 21)1( nx

xxxx e ],,,[max 21)( nx

n xxxx ,

então, a amplitude da amostra é definida por:

)1()( xxA n .

A amplitude A representa o tamanho da região na qual os dados

foram observados.

b) Variância e desvio-padrão amostrais:

A variância amostral é definida pela soma dos quadrados dos

desvios das observações em relação à media amostral x , dividida

por (n – 1), ou seja

1

1

2

2

n

xxs

ni i .

Mostra-se facilmente que s2 pode ser escrita como

1

21

22

n

xnxs

ni i .

O desvio padrão amostral, denotado por s, é definido pela raiz

quadrada da variância amostral e é expresso na mesma unidade dos

dados:

1

1

2

n

xxs

ni i .

c) Amplitude Interquartil: é dada pela diferença entre o 3º e o 1º

quartis e representa a região ocupada pelos 50% das

observações centrais.

Para definir a amplitude interquartil, vamos primeiro definir o

que são quartis amostrais,

Quartis amostrais são medidas descritivas que dividem a

amostra ordenada em quatro parcelas iguais de 25%, ou seja,

25% 25% 25% 25%

------------|------------|------------|------------

Q1 Q2 Q3

med(x)

Assim sendo:

i) Q1 é o primeiro quartil;

ii) Q2 = med(x), é o segundo quartil,

iii) Q3 é o terceiro quartil.

Desta forma, denotada por Aq, é definida por

Aq = Q3 – Q1

Aq determina o tamanho da região em torno da mediana que

contém 50% das observações centrais,

4.2.1. Métodos para a obtenção dos quartis amostrais

Para a obtenção dos quartis devemos proceder da mesma forma

que para a mediana.

Uma vez que a mediana esteja determinada, temos o conjunto

de dados ordenados dividido em duas partes. Os quartis, então, são

dados pelas observações centrais destas duas metades.

Q1 med(x) Q3

Observação central

da metade inferior

Observação central

da metade superior

O procedimento para encontrar os quartis é o mesmo usado

para a mediana, porém, teremos dois procedimentos dependendo

do tamanho da amostra n ser par ou ímpar.

i) Se o tamanho da amostra n for par: o procedimento é o mesmo

da mediana, sendo aplicada a cada uma das metades (inferior e

superior);

Exemplo 17:

Dados: 1 1 2 3 4 5 5 6 6 6 7 8 8 9 n = 14

5.52

6 5

2)(

)8()7(

xxxmed

A mediana med(x) = 5.5 divide os dados em dois grupos de 7

observações cada um. Assim,

42

17

Q1 é a 4ª observação da metade inferior e,

Q3 é a 4ª observação da metade superior.

Desta forma, os quartis serão as observações ordenadas que

ocupam as posições 4 e 7 + 4 = 11.

5,5

1 1 2 3 4 5 5 6 6 6 7 8 8 9

3)4(1 xQ

7)11(3 xQ

ii) Se o tamanho da amostra n for ímpar: devemos optar por

incluir, ou não, a mediana nos cálculos para a determinação dos

quartis.

ii.1) se a mediana não for incluída, então teremos dois grupos,

inferior e superior à mediana, cada um com 2)1( n

observações

2

1n

observações

inferiores

2

1n

observações

superiores

Q1 med(x) Q3

e os quartis Q1 e Q3 são obtidos normalmente.

Exemplo 18:

Dados: 1 1 2 3 4 5 5 6 6 6 7 8 9 n = 13

A mediana 5)( )7( xxmed divide os dados em dois grupos

ordenados de 6 observações cada e, os quartis serão as médias

entre as observações ordenadas )3(x e )4(x e as observações )10(x

e )11(x (7 + 3 = 10).

5.32

16

Q1 é a média da 3ª e 4ª observações do

grupo inferior e,

Q3 é a média da 3ª e 4ª observações do

grupo superior.

5

1 1 2 3 4 5 6 6 6 7 8 9

5.22

3 2

2

)4()3(

1

xx

Q

5.62

7 6

2

)11()10(

3

xx

Q

ii.2) se a mediana for incluída, então, ela deve ser considerada1

tanto para a obtenção do 1º quartil, na metade inferior

como na obtenção do 3º quartil, na metade superior. Desta

forma, teremos 2 grupos, com 2)1( n observações cada.

grupo

inferior

grupo

superior

Q1 med(x) Q3

e os quartis Q1 e Q3 são obtidos normalmente.

Exemplo 19:

Dados: 1 1 2 3 4 5 5 6 6 6 7 8 9 n = 13

A mediana 5)( )7( xxmed divide os dados em dois grupos

ordenados de 6 observações cada,

Incluindo a mediana ao procedimento, teremos uma observação

a mais em cada grupo, ou seja, teremos 7 observações

42

17

Q1 é a 4ª observação do grupo inferior e,

Q3 é a 4ª observação do grupo superior, ou

seja, a 10ª observação ordenada (6 + 4),

1 Observe que a mediana é uma só. Ela é apenas considerada nos dois grupos para as contagens das

posições dos quartis.

1 1 2 3 4 5 5

5 6 6 6 7 8 9

3)4(1 xQ

6)10(3 xQ

iii) Outra forma para a obtenção dos quartis é apresentada por

Murteira (2002),

Se a mediana ocupa a posição (n + 1)/2, então Q1 deverá

ocupar a posição:

4

3

2

12

1

n

n

Para a posição de Q3 fazemos:

4

13

4

3)1(

nnn

Portanto, Q1 e Q3 são dados pelas observações ordenadas que

ocupam as posições 4

3n e

4

13 n, respectivamente,

Se os valores de 4

3n e

4

13 n não forem inteiros, Q1 e Q3

devem ser obtidos por interpolação linear,

Por exemplo, se

kn

4

3,

em que k é a parte inteira e a parte decimal, então, Q1 pertence ao

intervalo );( )1()( kk xx e

][ )()1()(1 kkk xxxQ

Para Q3 o procedimento é semelhante, ou seja, se

4

13n,

então, Q3 pertence ao intervalo );( )1()( xx e

][ )()1()(3 xxxQ

Exemplo 20:

Dados: 1 1 2 3 4 5 5 6 6 6 7 8 8 9 n = 14

Para a determinação de Q1, temos:

posição de Q1: 25.44

17

4

314

.

Como = 0,25, Q1 é a interpolação entre a 4ª e 5ª observações

ordenadas:

25.3)34(25.031 Q .

Para a determinação de Q3, temos:


43

4

1143

.

Aqui = 0,75 e Q3 é a interpolação entre a 10ª e 11ª observações

ordenadas:

75.6)67(75.063 Q .

Obs: o item (iii) com n ímpar é equivalente ao item (ii.2),

Notas:

Assim como a mediana, os quartis amostrais dependem do

tamanho da amostra n, fazendo com que nem sempre os quatro

grupos tenham o mesmo tamanho;

Existem diversas outras formas para a determinação dos quartis,

Nesta disciplina daremos ênfase nos itens (i) e (ii.1);

Para n pequeno, pode-se, ainda, obter os quartis graficamente

pelo histograma dos dados;

Os quartis são casos especiais dos quantis (ou percentis), que

são denotados por:

x(p) p-ésimo quantil ou quantil de ordem p,

Portanto, o quantil x(p) é dado pela observação ordenada que

deixa uma frequência acumulada igual 100p % abaixo de si,

Assim sendo temos que:

i) Q1 = x(0.25) quantil de ordem 0.25;

ii) Q2 = med(x) = x(0.50) quantil de ordem 0.50;

iii) Q3 = x(0.75) quantil de ordem 0.75,

4.2.2. Exemplos de medidas de dispersão:

Exemplo 21: Número de pessoas com diabetes em 20 grupos de

1000 pessoas cada. Neste caso, foram obtidos os seguintes dados:

7, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12

1931 ni ix e 18891

2 ni ix

a) Média: 65.920

193x casos (≈ 10);

b) Mediana: 102

1010

2)(

)11()10(

xxxmed casos

c) Moda: mo(x) = 10 casos.

d) Variância e desvio padrão amostral:

19

45.18621889

120

)65.9(201889 22

s

397.119

55.262 s (casos)2

182.1397.1 s casos (≈ 1)

e) Amplitude amostral: 5712 A casos

f) Amplitude interquartil:


110

,

logo, o 1º quartil é dado pela média entre a 5ª e 6ª


92

99

2

)6()5(

1

xx

Q casos.

posição de Q3: 5.155.510 ,

logo o 3º quartil dado pela média entre a 15ª e 16ª


102

1010

2

)16()15(

3

xx

Q casos.

Desta forma, a amplitude interquartil é:

1910 qA caso.

Relação entre as amplitudes amostral e interquartil:

2.05

1

A

Aq

Ou seja, a metade das observações centrais representam 20%

da amplitude total dos dados.

Exemplo 22: Altura dos alunos das turmas A e B de Estatística 1 no

primeiro semestre de 2015.

X = altura dos alunos (em metros).

Dados ordenados

1.52 1.55 1.57 1.58 1.59 1.60 1.60 1.60 1.61 1.63

1.63 1.64 1.65 1.65 1.65 1.67 1.68 1.68 1.68 1.69

1.70 1.70 1.70 1.70 1.70 1.72 1.72 1.73 1.73 1.73

1.73 1.74 1.74 1.74 1.75 1.75 1.76 1.77 1.77 1.78

1.78 1.78 1.79 1.79 1.79 1.80 1.80 1.80 1.83 1.83

1.83 1.83 1.89 1.90 1.95


Dado: 52.94 ix e 162.884812

ni ix

a) Média: 7185.155

52.94x m;

b) Mediana: 72.1)( )28( xxmed m;

c) Moda: 70.1)( xmo .


54

4369.1628848.162

155

)7185.1(558848.162 22

s

008294.054

4479.02 s m2

09107.0008294.0 s m

e) Amplitude amostral: A 1.95 − 1.52 = 0.43m

f) Amplitude interquartil: (sem incluir a mediana)

O primeiro quartil é a posição central da metade inferior

65.1)14(1 xQ m

O terceiro quartil é a posição central da metade superior

78.1)42(3 xQ m


qA 1.78 − 1.65 = 0.13

Relação entre as amplitudes amostral e interquartil:

302.043.0

13.0

A

Aq

Metade das observações centrais representam 30.2% da amplitude

total dos dados.

Exemplo 23: Dias de manutenção de equipamentos de uma grande

companhia, (n = 50 observações)

X = dias em manutenção de equipamentos,

Dados Ordenados:

2 2 2 2 2 3 3 3 3 4

4 4 4 5 5 5 5 5 5 5

5 6 6 6 6 6 7 7 8 8

9 9 9 9 10 10 10 10 11 12

13 13 13 14 15 15 16 17 18 21

3921 ni ix e 41781

2 ni ix

a) 84.750

392x dias

b) 62

)()26()25(

xxxmed dias

c) mo(x) = 8 dias


5453.2249

28.30734178

150

)84.7(504178 22

s dias2

7482.45453.22 s dias

e) Amplitude amostral: 19221 A dias

f) Amplitude interquartil:

A mediana está entre a 25ª e 26ª posição, logo o primeiro

quartil é a posição central da metade inferior dos dados, ou seja:

132

125

, logo o 1º quartil é a 13ª observação ordenada,

4)13(1 xQ dias,

O terceiro quartil é a posição central da metade superior

381325 , logo o 3º quartil é a 38ª observação ordenada,

10)38(3 xQ dias,


5410 qA dias

Relação da amplitude interquartil com a amplitude total:

316.019

6

A

Aq.


total.

Exemplo 24: Dados Cavendish.

X = densidade do globo terrestre (g/cm3).

Dados ordenados

4.88 5.07 5.10 5.26 5.27 5.29 5.29 5.30 5.34 5.34

5.36 5.39 5.42 5.44 5.46 5.47 5.50 5.53 5.55 5.57

5.58 5.61 5.62 5.63 5.65 5.68 5.75 5.79 5.85


99.157 ix e 0855.8622 ix

448.529

99.157x g/cm3

a) Variância amostral:

04773.028

36638.1

129

)4479.5(290855.862 22

s (g/cm3)2

Desvio padrão amostral: 21847.004773.0 s g/cm3

b) Amplitude amostral: 97.088.485.5 A g/cm3

c) Amplitude interquartil:

A mediana é 15ª observação ordenada, o primeiro quartil

(excluindo-se a mediana do cálculo) é a posição central da metade

inferior dos dados, ou seja:

295.52

30.529.5

2

)8()7(

1

xx

Q g/cm3,

615.52

62.561.5

2

)23()22(

3

xx

Q g/cm3


qA 5.615 – 5.295 = 0.32 g/cm3,

Relação da amplitude interquartil com a amplitude total:

330.097.0

32.0

A

Aq.


total.

4.3. O coeficiente de variação amostral:

Uma medida utilizada para quantificar a variabilidade dos

dados é o coeficiente de variação, ou cv.

O cv de variação amostral é dado pela razão do desvio padrão

da amostra s e a média amostral x :

x

scv

Notas:

O coeficiente de variação compara a magnitude do desvio

padrão s com a média x . Se 1cv xs .

O coeficiente de variação é uma medida adimensional (é um

número puro) também podendo ser expresso em %.

Exemplo 25:

a) Número de casos com diabetes em 20 grupos de 1000 pessoas:

65.9x casos/grupo

397.12 s (casos/grupo) 2

182.1397.1 s casos/grupo

122.065.9

182.1cv ou 12.2%

b) Altura dos alunos da disciplina Estatística 1:

x 1.7185m

2s 0.008294m2

09107.0008294.0 s m

0530.07185.1

09107.0cv ou 5.30%

c) Dias de manutenção de equipamentos:

84.7x dias

5453.222 s dias2

7482.45453.22 s dias

606.084.7

7482.4cv ou 60.6%

d) Dados Cavendish:

448.5x g/cm3

21847.0s g/cm3

00401448.5

21847.0cv ou 4.01%,

Nos exemplos acima temos os cv’s de quatro processos

distintos, sendo o maior deles (dias manutenção) 15 vezes maior

do que o menor (Cavendish), indicando claramente as diferenças

na dispersão dos dados.

Tabela: Coeficientes de variação dos exemplos.

Dados cv cv (%)

Manutenção 0.606 60.6%

Diabetes 0.122 12.2%

Alturas 0.053 5.3%

Cavendish 0.040 4.0%

Um ponto de grande interesse, contudo, diz respeito a

classificar o cv e poder dizer se um conjunto de dados tem uma

dispersão muito alta, ou não. A seguir serão apresentados três

critérios para classificação do coeficiente de variação.

4.3.1. Como classificar o Coeficiente de Variação

O cv tem uma característica particular de ser intrínseco a

cada processo, tendo sido muito estudado na área agrícola, mais

especificamente, na experimentação agronômica.

Vários autores indicam diferentes métodos para se classificar o

coeficiente de variação. A seguir, são apresentadas três

classificações.

I) Classificação segundo Pimentel Gomes (1985), baseada em

ensaios agrícolas.

Faixa cv dispersão

menor ou igual a 10% baixo baixa dispersão dos dados

entre 10% e 20% médio média dispersão dos dados

entre 20% e 30% alto alta dispersão dos dados

maior do que 30% muito alto dispersão dos dados muito alta

II) Classificação segundo Ferreira, F.V. (1991), Estatística

Experimental Aplicada à Agronomia, classifica com respeito à

precisão do processo.

Faixa cv precisão

Abaixo de 10% muito baixo ótima

entre 10% e 15% baixo boa

entre 15% e 20% médio regular

entre 20% e 30% alto ruim

maior do que 30% muito alto muito ruim

(ou péssima)

III) Classificação obtida no site www.datalyser.com.br, muito

utilizada em CEP - Controle Estatístico do Processo.

Faixa cv dispersão

menor ou igual a 15% baixo baixa dispersão dos dados

entre 15% e 30% médio média dispersão dos dados

maior do que 30% Alto alta dispersão dos dados

Exemplo 26:

a) Diabetes:

122.065.9

182.1cv (12.2%) cv baixo a médio.

b) Aturas dos alunos:

cv (5.3%) cv baixo.

c) Dias de manutenção de equipamentos:

606.084.7

7482.4cv (60.6%) cv alto ou muito alto.

d) Dados Cavendish:

0401.0448.5

21847.0cv (4.01%) cv baixo.

4.4. O diagrama box-plot

Representação gráfica da dispersão dos dados em torno da

mediana, é construído com as 5 medidas ordenadas: mínimo, Q1,

med(x), Q3 e máximo.

As cinco medidas podem ser apresentadas pela representação dos

cinco números:

med(x)

Q Q1 Q3

E mín(x) max(x)

Observações:

i) A representação dos cinco números, além da construção do

box-plot, ajuda na comparação da assimetria das caudas;

ii) Outros percentis podem ser incluídos, ampliando a

representação.

O diagrama box-plot fornece uma visão simplificada da dispersão

e simetria dos dados, além de indicar possíveis valores fora do

padrão (valores discrepantes). Além disso, pode ser utilizado na

comparação de diferentes processos quanto à centralidade

(posição) e variabilidade (dispersão).

O nome box-plot refere-se à “caixa” construída para representar a

metade das observações centrais entre os quartis.

O box plot é constituído de 3 partes: caixa central, braços e

valores discrepantes.

i) A caixa central representa a metade das observações centrais

entre os quartis Q1 e Q3.

A mediana é destacada na caixa por uma linha que a divide

em duas partes. Com isso, pode-se avaliar a simetria na região

central da distribuição dos dados;

ii) Os braços são construídos a partir da caixa central,

representando as caudas da distribuição.

A construção dos braços é baseada nos valores dos quartis e, o

tamanho dos braços serve para avaliar a simetria das caudas.

iii) Valores discrepantes são valores fora do padrão de dispersão,

aparecendo muito distantes da maioria dos dados, podendo

indicar grande forte assimetria ou variabilidade (ou ambos).

Os valores discrepantes nem sempre estão presentes, sendo

representados individualmente a partir das caudas.

Valores discrepantes Valores discrepantes

Q1 – 1.5AQ Q1 med(x) Q3 Q3 + 1.5AQ

4.4.1. Procedimento para a construção do box-plot

i) Construir a “caixa” ou “box” com os valores de Q1 e Q3;

ii) Com uma linha, demarcar a mediana na caixa, dividindo-a em

duas partes;

iii) Calcular os limites inferior (LI) e superior (Ls):

LI = Q1 – 1.5Aq

LS = Q3 + 1.5Aq

Os limites LI e Ls são utilizados para se identificar valores

discrepantes.

Valores discrepantes são observações menores do que LI ou

maiores do que LS e são destacados individualmente no box-

plot com pontos além desses limites.

iv) Para os “braços” do box-plot, traçar linhas a partir dos centros

das laterais inferior e superior da caixa, obedecendo ao

seguinte critério:

traçar uma linha da lateral inferior da caixa até o menor

valor que não seja discrepante ou até min(x);

marcar os pontos discrepantes menores do que LI, caso

existam;

traçar uma linha da lateral superior da caixa até o maior

valor que não seja discrepante ou até max(x);

marcar os pontos discrepantes maiores do que LS, caso

existam.

Exemplo 27: variável: horas gastas por semana assistindo TV.

0, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5,

5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 8,

10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10,

10, 12, 12, 12, 12, 14, 14, 14, 14, 14,

15, 16, 18, 20, 20, 20, 25, 25, 28, 30

10

Q 5 14

E 0 30

Figura 2.2: Box-plot’s para a variável horas de TV, nas posições vertical e horizontal.

Comandos do R para o box-plot: x <- c( 0, 2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5,

6, 7, 7, 8, 8, 8,10,10,10,10,10,10,10,10,

10,10,10,12,12,12,12,14,14,14,14,14,15,16,

18,20,20,20,25,25,28,30)

boxplot(x, col="bisque", main="Horas assistindo

TV", ylab="Horas", pch=19)

Exemplo 28: variável Renda PC por exposição de crianças à

violência doméstica (grupos exposto e não exposto).

Grupo

exposto 68 96 100 100 112 112 117 120 120

135 150 160 160 200 260

não

exposto

36 50 70 84 108 109 120 120 150

150 180 220 250 260 300

Estatísticas descritivas (reais), por grupo.

Grupo n x med(x) s2 s Q1 Q3

Exposto 15 134.00 120.00 2257.29 47.51 100 160

Não exposto 15 147.13 120.00 6376.70 79.85 184 220

35 85 135 185 235 285

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Grupo Exposto

Fre

qü

ên

cia

0 66 132 198 264 330

0

1

2

3

4

5

6

Grupo não Exposto

Fre

qü

ên

cia

50 150 250

Box-plot renda per capita

Grupo Exposto

0 100 200 300

Grupo Não Exposto

Box-plot renda per capita

Figura 2.2: Histogramas e box-plot’s individuais

Figura 2.3: box-plot’s por grupo lado-a-lado.

Comandos do R para o box-plot lado-a-lado: exp <- c(68,96,100,100,112,112,117,120,120,135,150,160,

160,200,260)

nexp <- c(36,50,70,84,108,109,120,120,150,150,180,220,

250,260,300)

renda <- c(nexp,exp)

gr <- c(rep("nexp",length(nexp)), rep("exp",length(exp)))

boxplot(renda~gr, pch=19,

col=c("mediumseagreen","lightcoral"))

# para o box-plot horizontal

boxplot(renda~gr, pch=19, horizontal=T,

col=c("mediumseagreen","lightcoral"))

Exemplo 29: Peso da carne de mexilhões (g) provenientes de dois

locais em Santa Catarina: Sambaqui e Manguezal

Exemplo 30: Total de pontos obtidos pelos alunos ingressos na

UFSCar no ano de 2007, nos diferentes cursos.

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4. Medidas descritiva para dados quantitativos · que ocupa a posição central das ... da tabela de frequências verifica-se que a observação mais ... Na situação em que ocorre