4. Krivulje i površine - FER · 2007. 4. 3. · Ž. M, ZEMRIS, FER 4-1 4. Krivulje i površine KRIVULJE – analitički izraz izvorne krivulje u pravilu je nepoznat – poznato je

Ž. M, ZEMRIS, FER 4-1

4. Krivulje i površine

KRIVULJE

– analitički izraz izvorne krivulje u pravilu je nepoznat

– poznato je • koordinate u nekim točkama

• nagibi, zakrivljenost ili izvijanje u nekim točkama

modeliranje

– opis segmenta krivulje

– segmentiranje - povezivanje segmenata uz ostvarivanje kontinuiteta između segmenata


PODJELA KRIVULJA

• aproksimacijske• interpolacijske

• otvorene • zatvorene

• razlomljene• nerazlomljene

• periodične• neperiodične(periodičnost težinskih funkcija)

11213123 112

13

1 dtctbtatxdctbtat

dtctbtatx


POŽELJNA SVOJSTVA KRIVULJA

• višestruke vrijednostihttp://www.math.aau.dk/~raussen/VIDIGEO/GEOLAB/3Dparametrization.html

• neovisnost o koordinatnom

sustavu (Kartezijev, polarni)

• lokalni nadzor

x

y


• smanjenje varijacije - kod visokog stupnja polinoma može se javiti titranje krivulje

• kontrola reda neprekinutosti• http://www.slu.edu/classes/maymk/Applets/Derivatives2.html

C0 C1

ista vrijednost koordinate

ista tangentakontinuitet radijusa

zakrivljenostihttp://www.ies.co.jp/math/java/calc/curve/curve.html

http://www.vis.uni-stuttgart.de/~kraus/LiveGraphics3D/cagd/chap10fig4.html

C2

r

oskulatornakružnica

C3

kontinuitet u izvijanju


C0 - ista vrijednost koordinate f(t) = g(t)

C1 - ista vrijednost derivacije f ’(t) = g’(t)

C2 - ista vrijednost druge derivacije f ’’(t) = g’’(t)

Zakrivljenost krivulje obrnuto je proporcionalna radijusu oskulatorne kružnice.

Ako je radijus velik zakrivljenost je mala (i obrnuto).

C3 - ista vrijednost treće derivacije f ’’’(t) = g’’’(t)

Osim C kontinuiteta postoje i G kontinuiteti koji zahtijevaju proporcionalnost.

G (geometrijski)

G1 - proporcionalna vrijednost derivacije f ’(t) = k1 g’(t), k1>0

G2 - proporcionalna vrijednost druge derivacije f ’’(t) = k2 g’’(t), k2>0

G3 - proporcionalna vrijednost treće derivacije f ’’’(t) = k3 g’’’(t), k3>0

C1 kontinuitet implicira G1 kontinuitet osim kada je vektor tangente [0 0 0]

kod C1 kontinuiteta može doći do promjene smjera, kod G1 ne može.


ANALITIČKI OPIS PROSTORNIH KRIVULJAa) eksplicitni oblik - nemogućnost prikaza višestrukih vrijednosti

b) implicitni oblik - za prikaz dijela krivulje trebaju dodatni uvjeti

c) parametarski oblik

točka na krivulji - vektorska funkcija

vektor tangente

xgzxfy ,

x

y

x

y 0,, zyxF

.z,y,x tztytx

.zyxV tttt

x

y0p

,1p

,ip

t = 0

t = ti

t = 1

.zyxV tttt .Vitii

ptpt


4.1 SEGMENT KRIVULJE4.1.1. KRIVULJA BEZIERA

Postupak poznat pod imenom krivulje Beziera nezavisno su razvili

• BEZIER 1962. Rénault

• DE CASTELJAU 1959. Citroën

kao polaznu osnovu u CAD sustavima. De Casteljau direktno koristi Bernsteinove polinome.

1970. R. Forest otkriva vezu Bezierovog rada i Bernsteinovih polinoma.P. Bezier objavljuje svoj rad i krivulje dobivaju ime po njemu.

• aproksimacijske krivulje Beziera• interpolacijske krivulje Beziera

• Bezierove težinske funkcije (Bezier)• Bernsteinove težinske funkcije (De Casteljau)


APROKSIMACIJSKE KRIVULJE BEZIERAProlaze početnom i krajnjom točkom, a ostalima se samo približava.a) BEZIEROVE TEŽINSKE FUNKCIJEKorištenje gibanja vrha sastavljenog otvorenog poligona.

n+1 .. broj točaka.n .. stupanj krivulje.ai .. kontrolni poligon.p(t) .. točka na krivulji - linearna kombinacija fi,n(t) i ai.fi,n(t) .. težinska funkcija - njena vrijednost pokazuje koliko i-ti element poligona

pridonosi pripadnoj točki za parametar t.

tp

x

y

0r

1r

2r

3r

0a

1a

2a

3a

1,0,0

ttfatp nin

ii

nirra

ra

iii ..1,

,

1

00


fi,n(t) - težinska funkcija je općenita i mora zadovoljiti niz posebnih uvjeta:

1. početna točka p(0) = a0 f0, n(0) = 1, fi, n(0) = 0, i = 1 .. n

2. završna točka p(1) = ai fi, n(1) = 1, i = 0 .. n zbroj svih vektora

3. osnovni vektor a1 treba biti paralelan s tangentom u početnoj točki

p’(0) = k1a1 f ’1 ,n(0) 0,f ’i, n(0) = 0, i 1

4. osnovni vektor an treba biti paralelan s tangentom u završnoj točki.

p’(1) = knan f ’i, n(1) = 0, i = 0 .. n-1, f ’n, n(1) 0.


5. oskulatorna ravnina u početnoj točki treba biti paralelna s a1 i a2 f ’’1, n(0) 0, f ’’2, n(0) 0,

f ’’i, n(0) = 0, inače.

http://www.math.aau.dk/~raussen/VIDIGEO/GEOLAB/apposcplane.html

6. oskulatorna ravnina u završnoj točki treba biti paralelna s an-1 i an f ’’i, n(1) = 0, i = 0 .. n-2,

f ’’n-1, n(1) 0, f ’’n, n(1) 0. 7. simetričnost težinske funkcije - zamjena početne i završne točke povlači

promjenu smjera i redoslijeda vektora.

fi, n(t) = 1- fn-i+1, n(1-t) , i = 1 .. n.

oskulatornaravnina

oskulatornakružnica

tangenta

normala

binormala

r


BEZIEROVE TEŽINSKE FUNKCIJE

rekurzivni oblik pogodan za implementaciju na računalu:

n..iidt

tt

td

td

i

ttf

i

n

nin

ii

ni

11

,11

,!1

1

1

1

,

derivacijajegdje

.1,0,1

,1

,1,10,0

1,11,,

tftftf

tfttfttf

kkk

ninini

rekurzijenjazaustavljauvjeti


* PRIMJER

Odrediti Bezierove težinske funkcije

ako su zadane četiri točke.

,3311 23

3 ttt

tt

.

,23

,33

,1

,!1

33,3

323,2

323,1

3,0

13

1

3,

ttf

tttf

ttttf

tf

td

td

i

ttf

i

ii

i

t1

f(t) f0, 3(t)

f1, 3(t)

f3, 3(t)

f2, 3(t)

3323213203,

3

0

2333

,

atattatttatp

tfatp ii

i


Provjera postavljenih uvjeta na težinsku funkciju:

.11.7

,61.6

,60.5

,612666

,31.4

,30.3

,366363

,1.2

,0.1

3,33,1

23

12

321

3

1

32

22

12

3210

0

tftf

aap

aap

atatattp

ap

ap

atattatttp

aaaap

ap

stsimetrično

točkizavršnojuderivacija

točkipočetnojuderivacija

točkizavršnojuderivacija

točkipočetnojuderivacija

točkazavršna

točkapočetna


b) BERNSTEINOVE TEŽINSKE FUNKCIJE

De Casteljau - intuitivna geometrijska konstrukcija

x

y0 t 1

00 rb

22 rb

11 rb

221022,0

1,11,02,0

211,1

101,0

121

,1,1

,1

btbttbtb

btbtbbtbtb

btbtb

:uvrstimo-

:ijeinterpolaclinearneuzastopne-

tp 1,1b1,0b

2,0b

0 t 1

11 rb

y

00 rb

22 rb

33 rb

x

1,1b

1,0b

1,2b

2,1b2,0b

tp3,0b

http://saltire.com/applets/spline.htmhttp://www.cs.technion.ac.il/~cs234325/


- poopćenje ovog postupka daje De Casteljau-ov algoritam

krivulji.natočka

poligona,kontrolnogvrhovi

tptb

rbtb

rninrtbtbtb

n

iii

ririri

,0

0,

1,11,, ,..0,..1,1

1,0,0

ttbrtp nin

ii

pokušajaudogađajatočnopostizanjastvjerojatno

pokušaja1odsvakomu događajastvjerojatnot

:razdiobabinomnaDiskretna

stupnjapolinomiviBernsteinofunkcijebazne

1

1!!

!1

,

,

,

nib

n

ttini

ntt

i

ntb

ntb

ni

iniinini

ni

1,010

,

ttbn

inivrijedi


* PRIMJER

Odrediti Bernsteinove težinske funkcije

ako su zadane četiri točke.

.

,13

,13

,1

,1!3!

!3

33,3

23,2

23,1

33,0

33,

ttb

tttb

tttb

ttb

ttii

tb iii

t1

b(t)

b0, 3(t)

b1, 3(t)

b3, 3(t)

b2, 3(t)

33221230

3,

3

0

13131

,

rtrttrtttrtp

tbrtp ii

i

.31

,30

23

01

rrp

rrp

1ry

tp

0r

2r

3r

x

http://www.cs.brown.edu/


Matrično:

Za tangentu na Bezierovu krivulju opisanu preko Bernsteinovihtežinskih funkcija vrijedi:

Veza Bezierovih i Bernsteinovih težinskih funkcija:

.0001

0033

0363

1331

3

2

1

0

23

r

r

r

r

tttttp

...0,,, nitbtfn

ijnjni

krivuljestupanj...1

,0

1

01

nrrnp

rrnp

nn

nirarar

ili

nirrara

iii

iii

..1,,

,..1,,

100

100


SVOJSTVA APROKSIMACIJSKIH BEZIEROVIH KRIVULJA• postoji konveksna ljuska

suma težinskih funkcija je 1važno kod ispitivanja sjecišta krivulje

• krivulja nema više valova od kontrolnog poligonabroj sjecišta ravnine i kontrolnog poligona br. sjec. ravnine i krivulje• lokalni nadzor - nije ispunjeno• broj kontrolnih točaka je u direktnoj vezi sa stupnjem krivulje• neovisnost o transformacijama (translacija, rotacija, skaliranje)• simetričnost - kod uvrštenja možemo simetrično zamijeniti popis točaka• http://www.cs.unc.edu/~mantler/research/bezier/index.html• http://i33www.ira.uka.de/applets/mocca/html/noplugin/curves.html• http://www.ibiblio.org/e-notes/VRML/Anim/Morph.wrl

x

1ry

tp

0r

2r

3r

konveksna ljuska


INTERPOLACIJSKE KRIVULJE BEZIERAProlaze svim zadanim točkama.

POZNATO

1. n+1 točka krivulje s vrijednošću parametra

ili

2. tangente u pojedinim točkama

ili

3. oskulatorne ravnine, položaji centara zakrivljenosti

x

y

0r 1r

2r

3r

tp

0a

1a

2a

3a

1,0,1

0

ttfaatp nin

ii

uvjet.1poznavatijePotrebno

krivuljioželjenogilipoznatognečega

temeljunaseodređujenepoznato

točakabrojaosnovinapoznato

n

a

f

i

ni

,

...0,, nin

ittp iii

.,1

tfatp nin

iiii

.,1

tfatp nin

iiii


INTERPOLACIJSKA KRIVULJA KROZ n+1 TOČKU:

.

...

1...111

...............

...1

...1

0...001

...2

1

0

,,2,1

2,2,22,1

1,1,21,1

,,2,1

2

1

0

nnnnn

nnnn

nnnn

nnnn

n a

a

a

a

fff

tftftf

tftftf

fff

p

p

p

p

...0

,,...,,, 221100

nin

it

tpptpptpptpp

i

nn

gdjeparametaruz

točkepoznatesuneka

.1,00 ntt:smouvrstili

1,0,1

0

ttfaatp nin

ii


n

nnnn

nnnn

n p

p

p

p

tftftf

tftftf

a

a

a

a

...

1...111

...............

...1

...1

0...001

...2

1

0

1

2,2,22,1

1,1,21,1

2

1

0

...0,11,1

,..1,00,10,0

,0

,,00

nifap

niffap

ni

n

ii

nin

tj.ječku završnu toza

tj.ječku početnu toza

:ćemouvrstit

funkcija.skih ovih težin-Bernstein

iliovih -Bezijerosnovinadoćikrivuljetočke

pojedinedomožemo vektorenepoznateodredimokada ia


* PRIMJER

Odrediti Interpolacijsku Bezierovu krivulju kroz četiri točke korištenjem Bezierovih težinskih funkcija.

funkcije.esu težinskpoznate

krivuljeBezijeroveijskeaproksimaczaprimjeraprethodnogIz

točkepoznatesuNeka

.1,0

.1,3/2,3/1,0

3,

3

10

3210

ttfaatp

pppppppp

ii

i

.

,23

,33

,1

33,3

323,2

323,1

3,0

ttf

tttf

ttttf

tf

332321320 2333 atattatttatp

3

2

1

0

1

3

2

1

0

111127

8

27

20

27

261

27

1

27

7

27

191

0001

p

p

p

p

a

a

a

a


4.1.2. RAZLOMLJENE FUNKCIJEPRIKAZ KRIVULJA POMOĆU KVADRATNIH RAZLOM. FUNKCIJA

• pogodan oblik za prikaz krivulja drugog reda

• homogena koordinata omogućava prikaz koničnih krivulja

(presjek ravnine i stošca) http://www.slu.edu/classes/maymk/banchoff/CriticalPoints.html

• invarijantnost na transformaciju perspektivne projekcije (nerazlomljene krivulje su invarijantne samo na translaciju, rotaciju, skaliranje)

prostoru

radnomu

ctbta

ctbta

x

xz

ctbta

ctbta

x

xy

ctbta

ctbta

x

xx

233

23

4

3

222

22

4

2

211

21

4

1

,

,

oblikmatrični

cccc

bbbb

aaaa

ttxxxx

321

321

3212

4321 1X


K - karakteristična matrica kvadratne krivulje,

• derivacije vektora [x1 x2 x3 x4] po parametru t - u homogenom prostoru

• matrica K određuje i derivacije duž krivulje

KX 12 tt

.2

,2

,2

,2

44

333

3

222

2

111

1

btatd

xdx

btatd

xdx

btatd

xdx

btatd

xdx

KX 0124321 txxxx

KX 0024321 xxxx

KX 012 t

KX 002

,10 t


kvadratna razlomljena krivulja određena je s tri točke

tri točke uvrstimo u jednadžbu krivulje,

uzmimo da su poznati iznosi parametra

1,1,

1,2

1,

1,0,

2222

1111

0000

VXV

VXV

VXV

t

t

t

XK 12 1 tt

2

1

0

2

1

0

1

2

1

0

1

222

121

020

001

143

242

111

12/14/1

100

1

1

1

X

X

X

X

X

X

X

X

X

K

tt

tt

tt


* PRIMJER

Neka su zadane tri točke

i pripadni iznosi parametra.

Odrediti kvadratnu razlomljenu krivulju.

100,1,

100,2

1,

100,0,

222

111

000

rt

rt

rt

XV

XV

XV

100

0042

0040

100

100

100

001

143

242

r

rr

r

r

r

r

K

100

0042

0040

124321r

rr

r

ttxxxxX

.1

,0

,444

,212

4

3

222

1

x

x

ttrtrtrx

trrtrx

po komponentama


Rezultat je parabola, to je opća krivulja drugog reda.

Ako želimo načiniti kružnicu potrebno je upotrijebiti analitičke poznate izraze za kružnicu. http://i33www.ira.uka.de/applets/mocca/html/noplugin/curves.html

.1

,0

,2

,1

1

21

1

sin

cos

24

3

2

21

2

2

2

tx

x

trx

trx

t

try

t

trx

t

ry

rx

2tg

100

0020

100

124321r

r

r

ttxxxxX

x

y

V0=(r, 0)

V1=(0, r)

V2=(-r, 0)


PRIKAZ KRIVULJA POMOĆU KUBNIH

RAZLOMLJENIH FUNKCIJA• kvadratnim razlomljenim funkcijama ne možemo prikazati infleksiju i

ostale pojave višeg reda

prostoru

radnomu

dcttbta

dtctbta

x

xz

dcttbta

dtctbta

x

xy

dcttbta

dtctbta

x

xx

2333

23

33

4

3

2322

22

32

4

2

2311

21

31

4

1

,

,

oblikmatrični

dddd

cccc

bbbb

aaaa

tttxxxx

321

321

321

321

234321 1X


A - karakteristična matrica kubne krivulje,

• derivacije vektora [x1 x2 x3 x4] po parametru t - u homogenom prostoru

• matrica A određuje i derivacije duž krivulje

• za određivanje kubne razlomljene krivulje potrebna su četiri uvjeta

(kako bi mogli invertirati matricu)

To mogu biti 4 točke ili na primjer 2 točke i 2 derivacije.

AX 123 ttt

.23

,23

,23

,23

244

332

33

3

222

22

2

112

11

1

ctbtatd

xdx

ctbtatd

xdx

ctbtatd

xdx

ctbtatd

xdx

AX 0123 2 tt AX 0026t

,10 t

AX 0006


kubna razlomljena krivulja određena s dvije rubne točke i derivacije

x

y0V

,1V

t0 = 0

t1 = 1

0V

1V

AX 12344444321 tttxzxyxxxxxxx AX 0123 244444321 ttxzxyxxxxxxx

A

A

A

A

A

A

A

A

VVX

VVX

VX

VX

0123

0100

1111

1000

0123

0123

1

1

,1

,0

,1

,0

12

1

02

0

12

13

1

02

03

0

411411411

400400400

411411

400400

1

0

1

0

tt

tt

ttt

ttt

xxx

xxx

xx

xx

t

t

t

t


A

VV

VV

V

V

0123

0100

1111

1000

41141141

40040040

41141

40040

xxx

xxx

xx

xx

41141141

40040040

41141

40040

1

0123

0100

1111

1000

xxx

xxx

xx

xx

VV

VV

V

V

A

0

0

1

1

00

00

000

000

0001

0100

1233

1122

1

0

1

0

4141

4040

41

40

V

V

V

V

A

xx

xx

x

x

MHVA matricacijskatransformaauniverzaln.........M


• Segment krivulje određen rubnim točkama i derivacijama u njima

M - ne ovisi o obliku krivulje već o izboru točaka (derivacija)

H - krivulja prolazi početnom i krajnjom točkom uz zadane derivacije,

a derivacija homogene komponente određuje kako će prolaziti

- ako je x’40= x’41= 0 dobit ćemo specijalan slučaj odnosno običnu parametarsku kubnu krivulju koja se zove HERMITOVA KRIVULJA

V - zadane točke i derivacije koje određuju segment krivulje u radnom prostoru

MHVA

AX 123 ttt

0001

0100

1233

1122

M

0

0

1

1

1

0

1

0

V

V

V

V

V

4141

4040

41

40

00

00

000

000

xx

xx

x

x

H


• HERMITOVA KRIVULJA

• VEZA HERMITOVE I BEZIEROVE KRIVULJE (preko Bernsteinovih polinoma)

radi se o istoj krivulji

0

0

1

1

0001

0100

1233

1122

1

1

0

1

0

23

V

V

V

V

X ttt

.0001

0033

0363

1331

3

2

1

0

23

r

r

r

r

tttttp

231

010

31

00

3

3

,

rr

rr

r

r

V

V

V

V


* PRIMJER

Neka su zadane dvije točke

i derivacije u njima.

Odrediti kubnu razlomljenu krivulju.

.1,011

,0,011

,1,001

,0,000

11

00

11

00

t

t

t

t

V

V

V

V

baxxxx 1141404140

1000

011

201

00

0011

0011

1001

1000

100

010

0010

0001

0001

0100

1233

1122

a

bab

bab

b

aA

MHVA

AX 1234321 tttxxxx


?,

0

,12

,12

4

3

23

2

4

2

23

23

4

1

ba

x

xz

attbatba

tt

x

xy

attbatba

ttbtb

x

xx

Uvodimo dodatnu točku V2=(1/2 1/2 0), t2=1/2. a=-2, b=2

0

,122

,122

22

2

2

2

23

z

tt

tty

tt

tttx

http://www.rose-hulman.edu/~finn/courses/MA323GeomModel/TestApplets/RationalC2Spline.html


VEZA KOORDINATA I PARAMETARSKIH DERIVACIJA IZMEĐU RADNOG I HOMOGENOG PROSTORA

• radni prostor:

• homogeni prostor

• VEZA KOORDINATA

.zyxV tttt .zyxV

dt

t

dt

t

dt

t

dt

td

.4321 txtxtxtxt X

.xxxx 4321

dt

t

dt

t

dt

t

dt

t

dt

td X

4

3

4

2

4

1 ,,x

xy

x

xy

x

xx

434241 ,, xyxxyxxxx

11 4444444321 VX xzyxxxzxyxxxxxxx

14 VX x


• VEZA PRVE DERIVACIJE - homogena komponenta nije konstanta

• VEZA DRUGE DERIVACIJE

0

1444444444

44444321

zyx

zyxxxxzxzxyxyxxxxx

xzxyxxxxxxxX

0

144 V

VX xx

4444

4444444

2

0

1

xxxx

xxxxxxx

VVV

VVVV

VXX

0

0

1

2 444V

V

V

X xxx


* PRIMJER

Odrediti prvu derivaciju u homogenom i radnom prostoru na kružnicu.

100

0020

100

124321r

r

r

ttxxxxX

.2

,2

,2

4

2

1

tx

rx

rtx

.

21

12

,21

4

4

242

2

4

2

4

142

4

1

x

x

tt

tr

x

xy

x

x

tt

rt

x

xx

.1

,2

,1

24

2

21

tx

rtx

trx

:prostorhomogeni

.1

2

,1

1

2

2

2

t

rty

t

trx

:prostorradni


t x1 x2 x4 x y x’1 x’2 x’4 x’ y’

0 r 0 1 r 0 0 2r 0 0 2r

1 0 2r 2 0 r -2r 2r 2 -r 0

-1 0 -2r 2 0 -r 2r 2r -2 r 0

x

y

V0=(r, 0)

V1=(0, r)

V-1=(-r, 0)

tangentenagib

dtdxdt

dy

dx

dy

http://www.math.aau.dk/~raussen/VIDIGEO/GEOLAB/speed.html

Documents

4. Krivulje i površine - FER · 2007. 4. 3. · Ž. M, ZEMRIS, FER 4-1 4. Krivulje i površine KRIVULJE – analitički izraz izvorne krivulje u pravilu je nepoznat – poznato je