4 INTEGRACION VECTORIAL.pdf

20/03/2015

1

INTEGRACIN

FUNCIN VECTORIALnI :r

CAPTULO ICLCULO VECTORIALSESIN 4 Integracin de una funcin

vectorial

[ ]

( ) ++= nn

i

ctdtxcdttxdtt

bax

)(,,)()(

entonces,,encontinuas:

11 Lr

[ ] nba ,:r

2ROSA IQUE ALVAREZ

( ) nn txtxtxt = )(,),(),()( 21 LrSea una funcin vectorial definida por

donde

[ ] nba ,:r

=

b

a

b

an

b

a

dttxdttxdtt )(,,)()( 1 Lr

Integral Definida

3ROSA IQUE ALVAREZ

( ) nn txtxtxt = )(,),(),()( 21 Lr

Teorema del Clculo

)()( tt rR' =

4ROSA IQUE ALVAREZ

] )()()()( abtdtt bab

a

RRRr -==

Donde R es una funcin vectorial tal que

EJEMPLO 1: Evale

)1,,(cos)(donde

;)(

tett

dtt

-=

r

r

5ROSA IQUE ALVAREZ

Solucin

( ) +++= - 321 ,,cos)( cdtcdtecdttdtt tr

( )

( ) ( )321

321

,,,,)(

,,)(

ccctetsendtt

ctcectsendtt

t

t

+-=

++-+=

-

-

r

r

6ROSA IQUE ALVAREZ

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20/03/2015

2

EJEMPLO 2

ROSA IQUE ALVAREZ 7

( ) =2/

0

2,cos)(donde,)(p

tsenttdtt rr

Evale

Solucin

ROSA IQUE ALVAREZ 8

-=

=

2/

0

2/

0

2/

0

2/

0

2/

0

22/

0

42

2,)(

,cos)(

pp

p

p pp

tsenttsendtt

dttsentdtdtt

r

r

( )tsentt 2,cos)( =r

Solucin

ROSA IQUE ALVAREZ 9

=

-=

4,1)(

42

2,)(

2/

0

2/

0

2/

0

2/

0

pp

pp

p

dtt

tsenttsendtt

r

r

+dt

ttsenttet t1

3,3, 22

EJEMPLO 3: Evale

10ROSA IQUE ALVAREZ

Solucin

( ) ( )3212 ,,1ln23,cos33,

21 2 ccctttsentet +

+-=

11ROSA IQUE ALVAREZ

+dt

ttsenttet t1

3,3, 22

EJEMPLO 4: Evale

dtetet

tt

+-

2

0

2 ,,1

4

12ROSA IQUE ALVAREZ


20/03/2015

3

Solucin

( )1,1,3ln4 22 +-= - ee

13ROSA IQUE ALVAREZ

dtetet

tt

+-

2

0

2 ,,1

4

Propiedades 1

=b

a

b

a

dttdtt aaa ;)()( rr

[ ] nba ,:r

14ROSA IQUE ALVAREZ

Propiedades 2

[ ] =b

a

b

a

b

a

dttdttdttt )()()()( urur

[ ] nba, ,:ur

15ROSA IQUE ALVAREZ

Propiedades 3

( ) =b

a

b

a

dttdtt )()( rcrc

[ ] nba ,:r ),,( 1 ncc L=c

16ROSA IQUE ALVAREZ

Propiedades 4

( ) 3en;)()( = b

a

b

a

dttdtt rcrc

17ROSA IQUE ALVAREZ

[ ] nba ,:r ),,( 1 ncc L=c

Propiedades 5

Si adems es integrable en [a, b], tenemos

b

a

b

a

dttdtt )()( rr

)(tr

18ROSA IQUE ALVAREZ

[ ] nba ,:r


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4

LONGITUD DE UNA CURVA REGULAR o SUAVE

( ) =b

a

dttCL )(r'

ROSA IQUE ALVAREZ 19

[ ] 3,: ba:C rSea C una curva regular definida por

EJEMPLO 5


Calcule la longitud de la curva

kji r ttsentt cos334)( 2/3 +-=

desde t1 = 0 hasta t2 = 2.

Solucin


kji r: ttsenttC cos334)( 2/3 +-=

kji r sentttt 3cos36)( 2/1 --=

( ) ( ) ( )2222/1 3cos36)( sentttt ++= r

143)( += tt r

( ) =b

a

dttCL )(r'Solucin


dttCL

dttCL

+=

=

2

0

2

0

143)(

)()( r'

kji r: ttsenttC cos334)( 2/3 +-=

Solucin


( ) 20

2/3

2

0

1421)(

143)(

+=

+=

tCL

dttCL

Solucin


( )

13)(

1421)(

2

0

2/3

=

+=

CL

tCL


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5

Solucin


5

10

15

-3-2.5-2-1.5-1-0.5

0-2

-1

0

1

2

3

X

CURVA

Y

Z

13)()(2

0

== dttCL r'

LONGITUD1

kji r ttsentt:C cos334)( 2/3 +-= EJEMPLO 6


Calcule la longitud de la curva

0;44cos4)( ++= --- tesentetet ttt kjir

Solucin


0;44cos4)( ++= --- tesentetet:C ttt kjir

=

=

=

-

-

-

t

t

t

ezsentey

texC

44

cos4:

Solucin: interpretacin geomtrica


=

=

=

-

-

-

t

t

t

eztsentey

texC

40,4

cos4:

z = 4e-t es decreciente y mayor que cero.

La curva esta sobre el plano XY.

Punto Inicial t=0; A=(4,0,4)

Punto Final B (0,0,0)

Solucin:


-20

24

-0.500.51

1.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

X

CURVA

Y

Z

( ) 0;cos4)( ++= - tsenttet t kjir

LONGITUD2

3434)()(00

=== -

dtedttCL tr'

Solucin


0;44cos4)( ++= --- tesentetet:C ttt kjir


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6

Solucin:


-20

24

-0.500.51

1.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

X

CURVA

Y

Z

34)()(0

==

dttCL r' FUNCIN LONGITUD DE ARCO o CURVA

st =)(g


dsc

bta

FUNCIN LONGITUD DE ARCO o CURVA

( ) [ ] =t

a

batduut ,;)(r'g

[ ] [ ]dcba ,,: g


Sea C una curva regular o suave definida por

[ ] 3,: ba:C r

y definida por

FUNCIN LONGITUD DE ARCO

( ) [ ] =t

a

batduut ,;)(r'g


( ) [ ]battst ,,)( =g

NOTACIN

[ ]battt ,,)()( = r'g



( ) [ ] =t

a

batduut ,;)(r'g

)()()()( ttstt r'r' ==g


)()( tst =g



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7

OBSERVACIONES: C curva regular en [a, b]

[ ]battt ,;0)()( "= r'g

[ ]battt ,;0)()( ">= r'gROSA IQUE ALVAREZ 37

( ) [ ] =t

a

batduut ,;)(r'g

OBSERVACIONES

[ ]

crecientefuncinunaes)(

,;0)()(

t

battt

g

g ">= r'


La funcin longitud de arco es creciente y tiene inversa.

( ) [ ] =t

a

batduut ,;)(r'g

EJEMPLO 7

40;cosh)( ++= tttsenhtt kjir


Determine la funcin longitud de arco de lasiguiente funcin vectorial

Solucin: funcin longitud de arco



40;cosh)( ++= tttsenht kjir

1cosh)( 22 ++= ttsenhtr

ttt cosh2cosh2)( 2 ==r

tsenhttsenht

22

22

1cosh

1cosh

=-

=-



( ) ==tt

dttduut00

cosh2)(r'g


tt cosh2)( =r



stsenhduutt

=== 2cosh2)(0

g

( ) duutt

=0

)(r'g


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Funcin Longitud de Arco de C

40);(2)( == ttstsenhtg


t s0 01 1.6622 5.1293 14.1674 38.593

Funcin Longitud de Arco de C

40);(2)( == ttstsenhtg


inversa tieneycrecientefuncin)(tg

Funcin Longitud de Arco de la curva C

)(tg

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

5

10

15

20

25

30

35

40

t

s

Funcion Longitud de arco

)(tg


tsenht 2)( =g

Funcin Inversa de la Longitud de Arco:


dsc

j

bta

g

ts =)(j

Funcin Inversa Longitud de Arco

[ ] [ ]

tss

tsbadc

=g=j

j

- )()(

,,:

1


EJEMPLO 8

stsenhduutt

=== 2cosh2)(0

g

Funcin Longitud de Arco




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Valores de la variable sstsenht ==g 2)(

ssenht

ssenht

====

====

59,38)4(2)4(4

0)0(2)0(0

g

g


Clculo de la inversa de la funcin Longitud de Arco

59,380;)(2

1 =

=j - stsenhs s

stsenht ==g 2)(

29ROSA IQUE ALVAREZ 50


0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

s

t

Funcion Inversa de Longitud de arco

)(sj


( )21)( ssenhs -=j RESUMEN


bta

dsc

j g

ts =)(j

st =)(g


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