4. FLUIDI AERIFORMI NEI CONDOTTIcorsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/08BNIDN/Cap4_moto_in_condotti.pdf · Per lo studio del moto dei fluidi nei condotti si adotteranno le seguenti ipotesi

Politecnico di Torino

Laurea a Distanza in Ingegneria Meccanica – Corso di Macchine

Appunti del Corso (Docente: Fabio Mallamo) 4. Moto degli Aeriformi nei Condotti - pag. 36

4. FLUIDI AERIFORMI NEI CONDOTTI

Nello studio delle macchine si pone il problema di determinare la conformazione dei condotti in modo che il fluido subisca determinate trasformazioni durante il suo passaggio; il problema complementare è rappresentato dall’individuazione dell’evoluzione che il fluido sperimenta nell’attraversare un condotto di forma assegnata e con determinate condizioni al contorno.

Nella presente trattazione ci si riferirà esclusivamente al moto di fluidi aeriformi (comprimibili), tralasciando l’estensione al caso dei fluidi incomprimibili (liquidi).

4.1 DEFINIZIONI PRELIMINARI

VELOCITA’ DEL SUONO

La velocità del suono è generalmente identificata con la velocità di propagazione delle “piccole perturbazioni” in un fluido in cui si ritiene trascurabile la conducibilità termica. Il suo valore non dipende dalla geometria del campo di moto (monodimensionale, bidimensionale,…), ma esclusivamente dallo stato fisico del mezzo:

SS

pc

∂∂

=ρ

,

dove p è la pressione del fluido, ? la sua densità, mentre la derivata sotto radice quadrata è effettuata ad entropia costante (si considera la propagazione di una perturbazione infinitesima: le variazioni delle grandezze fisiche attraverso l’onda sono infinitesime e le trasformazioni del fluido si possono considerare reversibili; inoltre il fluido è supposto un sistema adiabatico, privo di conducibilità termica). Utilizzando la legge di evoluzione isentropica (p/?K=cost), l’espressione della velocità del suono diventa la seguente:

ρp

kcS = ,

valida per qualunque aeriforme (gas perfetto, fluido reale, vapore, ecc.). Nel caso di gas perfetto, utilizzando l’equazione di stato, si ottiene:

kRTcS = .

Nel caso del vapor d’acqua occorrerà far riferimento al diagramma di Mollier per determinare l’esponente k dell’evoluzione isentropica. Ad esempio, noti valori di p1 e ?1 (punto iniziale della trasformazione), spostandosi isentropicamente si possono leggere i valori p2 e ?2 di un generico punto lungo l’evoluzione. E’ possibile allora calcolare il valore di k mediante la seguente espressione:




1

2

1

2

ρρ

ln

pp

lnk = .

E’ opportuno notare che errori anche piccoli di lettura dei valori di pressione e volume specifico sul diagramma di Collier possono condurre a valori di k, calcolati per mezzo dell’equazione precedente, assai imprecisi.

NUMERO DI MACH

Il rapporto tra la velocità del fluido in un punto e la velocità locale del suono prende il nome di numero di Mach:

Scc

M = .

GRANDEZZE TOTALI (DI RISTAGNO) DI UNA CORRENTE

Si definiscono proprietà o grandezze di ristagno (o totali, o di arresto) di una corrente fluida i valori che i parametri termodinamici della corrente acquisterebbero se questa fosse decelerata fino a velocità nulla isentropicamente.

Figura 4.1: Grandezze totali di una corrente fluida.

L’entalpia totale è definita dalla somma dell’entalpia e dell’energia cinetica. Per l’unità di massa:

2c

ii2

0 += .

Applicando il primo principio della termodinamica in forma locale ad una trasformazione adiabatica e senza scambio di lavoro con l’esterno, si ottiene:

gr,cf,cie EiLQ ∆∆ +=+ , ( 0ELQ gr,cfie === ∆ )




.c

itcosi)c

i(Ei c 20

20

20

2

+==⇒=+∆⇒=∆+∆

Dalle precedenti relazioni si deduce che, per un fluido in moto stazionario (anche non isentropico), in una trasformazione adiabatica e senza scambi di lavoro l’entalpia totale è una grandezza costante. Per un gas ideale vale inoltre la seguente relazione:

,Ttcoscc

Ttcosc

Tc)c

i(iP

P0

2220

220

20 ==+⇒=+⇒=+∆⇒=∆

dove con il simbolo T0 si è indicata la temperatura totale, che dunque è una grandezza costante (per un gas ideale) in una trasformazione adiabatica e senza scambi di lavoro con l’estero applicata ad un fluido in moto stazionario (anche non isentropico). E’ bene rimarcare il fatto che le precedenti equazioni sono state ricavate non imponendo l’isentropicità del moto. Le definizioni e la costanza dell’entalpia totale e, per un gas ideale, della temperatura totale non dipendono pertanto da questa assunzione. Le altre grandezze di arresto, invece, per loro stessa definizione, sono i valori raggiunti dalle corrispondenti grandezze statiche quando la corrente viene arrestata con un processo isentropico. La pressione totale può essere calcolata con la seguente relazione, supponendo l’evoluzione isentropica:

100

−

=

kk

TT

pp ,

nella quale, al solito, l’apice “0” serve a distinguere le grandezze totali da quelle statiche. Per la densità totale, analogamente, vale l’espressione seguente:

11

00

−

=

k

TT

ρρ .

Per quanto detto, pressione e densità totali si conservano in tutto il dominio solo nel caso di moto permanente isentropico, in assenza di scambi di calore e lavoro con l’esterno. Con passaggi relativamente semplici, si ricavano infine le seguenti espressioni delle grandezze totali:

.)Mk

(

,)Mk

(pp

,Mk

TT

k

kk

11

20

120

20

21

1

21

1

21

1

−

−

−+=

−+=

−+=

ρρ




La prima delle precedenti relazioni è valida solo nell’ipotesi di gas ideale, le altre due valgono anche per gas reale o vapore.

4.2 EFFUSORI E DIFFUSORI

Per lo studio del moto dei fluidi nei condotti si adotteranno le seguenti ipotesi semplificative:

a) Flusso unidimensionale - un’unica coordinata, cioè l’ascissa misurata lungo l’asse del condotto, è sufficiente per individuare le condizioni del flusso, e quindi in ogni sezione normale all’asse del condotto il fluido si trova in condizioni termodinamiche e di velocità uniformi.

b) Flusso stazionario - le caratteristiche del fluido non sono funzioni del tempo, ma solo dello spazio, cioè le caratteristiche del fluido in ogni singola sezione sono costanti nel tempo.

EFFUSORE

Un effusore è un condotto in cui l'effetto utile è costituito da un aumento della velocità in uscita rispetto a quella in ingresso a spese di una riduzione di pressione fra monte e valle del sistema stesso. Applicando il primo principio della termodinamica in forma euleriana ad un sistema comprendente un condotto fisso (rispetto al sistema di riferimento inerziale) attraverso il quale un fluido comprimibile ideale si muove in moto stazionario, la velocità di efflusso, trascurando il termine legato alla variazione di energia potenziale, può essere scritta nel modo seguente ipotizzando il flusso unidimensionale:

( ) 21e212 cQ2ii2c +⋅+−⋅= ,

dove i pedici “1” e “2” indicano rispettivamente la sezione di ingresso e quella di uscita. Utilizzando invece il primo principio in forma mista, si ottiene:

21w

2

12 cLvdp2c +

−−= ∫ .

Se si considera il caso particolare di notevole importanza pratica in cui il flusso evolve secondo una politropica adiabatica con perdite (Qe = 0 e Lw ≠ 0), e se si assume che la velocità in ingresso sia trascurabile rispetto a quella finale, la velocità di efflusso può essere espressa dalle relazioni seguenti:

( )

−

−=

−=−⋅=

−−m

1m

1

211

m1m

1

21p21p2 p

p1vp

1kk

2pp

1Tc2TTc2c ,

−

−

−=

−

w

m1m

1

2112 L

pp

1vp1m

m2c .




Come si può notare dalle equazioni precedenti, la velocità di uscita da un condotto può essere calcolata se sono note le condizioni del fluido in ingresso (p1 e T1), la pressione in uscita p2 e l'esponente m della trasformazione (ovviamente devono anche essere note le proprietà del fluido). Spesso, piuttosto che ragionare in termini di conoscenza del coefficiente della politropica, si preferisce fare riferimento al valore del coefficiente di riduzione di velocità φ = c2 / c2,is . Questo, nel caso di trasformazione adiabatica e con velocità in ingresso al condotto trascurabile, può essere scritto, nel modo seguente:

kk

mm

is

pp

pp

cc

1

1

2

1

1

2

2

2

1

1

−

−

−

−

==ϕ ,

ricordando che la velocità di efflusso isentropico vale

−

−=

−k

1k

1

211is2 p

p1vp

1kk

2c .

I rendimenti idraulico ed isentropico dell'effusore sono definiti nel modo seguente:

wc

cye LE

E+

=∆

∆η ,

cis

ce E

E∆∆

η = .

Se il sistema non è inerziale, tutte le relazioni precedenti sono applicabili con riferimento al moto relativo.

DIFFUSORE

Un diffusore è un condotto in cui l'effetto utile è costituito da un aumento della pressione in uscita rispetto a quella in ingresso a spese di una riduzione della velocità tra ingresso ed uscita. Applicando il primo principio della termodinamica in forma euleriana ad un sistema comprendente un condotto fisso (rispetto al sistema di riferimento inerziale) attraverso il quale un fluido comprimibile ideale si muove in moto stazionario, e ipotizzando che la trasformazione alla quale è soggetto il fluido sia una politropica, risulta:

c

m1m

1

21pce E1

pp

TcEiQ ∆∆∆ +

−

=+=

−

,

1mm

1p

ce12 1

TcEQ

pp−

+

−=

∆,




dove, al solito, è stato trascurato il termine dovuto alla variazione di energia potenziale. Applicando il primo principio in forma mista, si ottiene:

cw

m1m

1

21cw

2

1i EL1

pp

RT1m

mELvdp0L ∆∆ ++

−

−

=++==

−

∫ ,

1mm

1

cw12

RT1m

mEL

1pp

−

−

+−=

∆.

Analogamente a quanto visto per l’effusore, il rendimento idraulico ed il rendimento isentropico di un diffusore sono definiti nel modo seguente (∆Ec < 0):

c

wcyd E

LE∆

∆η

+= ,

ii is

d ∆∆

η = .

Se il sistema non è inerziale, tutte le relazioni precedenti sono applicabili con riferimento al moto relativo.

4.3 ANDAMENTO DELLE AREE IN UN CONDOTTO

Esprimendo la variazione di portata fra due sezioni distanti dx lungo il condotto e considerando il fluido in moto permanente, si può scrivere:

0d

cdc

AdA

mmd

=++=ρρ

&&

. [1]

Dal primo principio della termodinamica espresso in forma euleriana con Li = 0 e Lw = 0 risulta (sistema inerziale):

dccdp

⋅−=ρ

,

da cui si evince che ad un aumento di velocità corrisponde una diminuzione di pressione, e viceversa. Sostituendo nella [1], si ottiene:

0d

cdp

AdA

2 =+−ρρ

ρ⇒ 0

ddp

11c1

dpdA

A1

2 =

+−

ρρρ

⇒ 22

11

sccdpdA

A−=

ρ. [2]

Nella scrittura delle precedenti relazioni si è assunta l’ipotesi di moto isentropico, e dunque si è calcolata la derivata della pressione rispetto alla densità ad entropia costante:

2s

tcosS

cddp

=

=ρ,

dove cS è la velocità del suono. La [2] può essere anche scritta come segue:




( )22

M1c1

dpdA

A−=

ρ

dove M è il numero di Mach. Si possono a questo punto effettuare alcune considerazioni sull’andamento delle aree delle sezioni di passaggio del fluido lungo la linea d’asse di un effusore o un diffusore, secondo quanto riassunto nella tabella seguente:

Subsonico

scc < M < 1 Supersonico c cs> M > 1

Effusore dp < 0 dA < 0 dA > 0 Diffusore dp > 0 dA > 0 dA < 0

Risulta pertanto che un effusore o ugello è un convergente se il moto all’ingresso del condotto è subsonico, è un divergente se invece è supersonico. Per un diffusore valgono le condizioni opposte. Nel caso di ugello convergente-divergente, dunque, se nella sezione minima non si è raggiunta la velocità del suono, rendendo divergente il condotto il flusso non viene più accelerato. Si parla di condizioni critiche quando in un punto viene raggiunta la velocità del suono (M=1). Tali conclusioni sono valide anche se il sistema non è inerziale, purchè si faccia riferimento al moto relativo.

4.4 PRESSIONE CRITICA IN UN CONVERGENTE

Ipotizzando di avere a disposizione un condotto convergente nel quale il fluido evolva secondo una trasformazione isentropica (Qe = 0 e Lw = 0), il primo principio della termodinamica si semplifica in questo modo:

2

ccii0

21

2is,2

1is,2

−+−= .

La massima pressione di valle che rende sonica la velocità di efflusso è detta pressione critica pcr. Se per ipotesi, inoltre, c1 = 0, applicando il primo principio al condotto, risulta:

( )cr,ptcosS

sis, TTcddp

cc 212

222 2 −=

==

=ρ,

con

cr,22

s2 kRTc = . Si può pertanto scrivere:

1

cr,21cr,2

1

cr,21 T

TkRTkRT

T

T1RT

1kk

2 ==

−

−⇒

1

cr,2

1

cr,2

T

T

T

T1

1k2

=

−

−,

da cui si ottiene:




1kk

1

cr,2

1

cr,2

1k2

p

p

1k2

T

T −

+=⇒

+= .

La velocità del suono nella sezione ristretta può essere espressa in funzione delle sole condizioni di monte:

1k2

c1k

2kRTkRTc 2

s11cr22

s2 +=

+== .

Nell’ipotesi in cui le condizioni a monte dell’ugello siano pari a quelle totali o di arresto, la pressione critica può essere ricavata immediatamente come segue:

.k

pp

)k

(pp k

k

cr,

kk

cr,

1

2

01

2

0

21

21

1−

−

+

=⇒−

+=

Il valore del rapporto critico tra pressione di uscita e pressione di monte dipende solo dal valore di k (nell’ipotesi di moto isentropico). Generalmente il rapporto p2,cr/pmonte è compreso tra 0.487 e 0.58 per k variabile tra 1.66 (gas monoatomici) e 1.135 (vapore saturo secco).

4.5 UGELLO SEMPLICEMENTE CONVERGENTE (CASO IDEALE)

Consideriamo la figura 4.2, in cui è rappresentato un ugello semplicemente convergente (effusore subsonico) e, sovrapposto, un grafico che riporta l’andamento della portata in massa di fluido che lo attraversa in funzione della pressione all’uscita del condotto. Siano p1 e p2 le pressioni all’ingresso e all’uscita dell’ugello rispettivamente. Se le due pressioni coincidono, non ci sarà portata all’interno del condotto, ma, mano a mano che la pressione all’uscita diminuisce, la portata aumenta. Quando nella sezione di uscita si sono raggiunte le condizioni critiche, ovvero la velocità del fluido è pari a quella del suono e la pressione è uguale a p2,cr, allora la portata si mantiene costante, cioè non aumenta più, anche abbassando ulteriormente la pressione p2. Questo può essere spiegato da un punto di vista fisico in questo modo: quando la pressione all’uscita è maggiore della pressione critica, il fluido si muove verso valle ad una velocità più bassa rispetto a quella del suono. Abbassando p2, ma mantenendosi ancora al di sopra della pressione critica, l’informazione di questo abbassamento, che viaggia alla velocità del suono, riesce a procedere verso monte (visto che la velocità del fluido è minore della velocità del suono), richiamando altro fluido (e quindi la portata aumenta). Allorchè nella sezione di uscita si sono raggiunte le condizioni critiche, ovvero la pressione è pari a p2,cr e la velocità del flusso nella sezione di uscita è uguale alla velocità del suono, l’informazione di un’ulteriore diminuzione della pressione di sbocco non è più in grado di procedere verso monte, e di conseguenza la portata si mantiene costante.




Figura 4.2: Andamento della portata in massa in funzione della pressione di sbocco e

della velocità per un ugello semplicemente convergente.

Nella figura sottostante è riportato lo stesso andamento della portata al variare della pressione all’uscita del condotto in un grafico ribaltato rispetto alla figura precedente:

Figura 4.3: Andamento della portata in massa di fluido in funzione della pressione di

sbocco.

Per un ugello semplicemente convergente la più alta velocità raggiungibile dal fluido è la velocità del suono nella sezione di uscita.




CALCOLO DELLA PORTATA

E’ possibile ricavare l’equazione del “tratto curvo” del grafico di figura 4.3, ovvero della portata in funzione della pressione della sezione di uscita (detta sezione, essendo la più piccola viene anche chiamata sezione ristretta o sezione di gola).

1° caso: p2 ≥ p2,cr : la portata in massa di fluido vale:

−

−

===

−

• kk

k

rrp

ppk

kp

pAcAAcm

1

01

201

01

1

01

20122 1

12

ρρρρ ,

=

−

−=

+

•

01

2

01

01

01

1

01

2

2

01

2

01

01

01

12

p

p,kf

vp

pA

p

p

p

pk

k

vp

pAm r

kk

k

r . [3]

2° caso: p2 ≤ p2,cr : la pressione nella sezione di sbocco risulta essere costantemente uguale a p2,cr (condizioni critiche). La portata dell’ugello risulta essere allora la seguente:

11

01

01

01

12 −

+•

+=

kk

rcrk

kvp

pAm [4]

Questa è anche l’equazione del tratto lineare del grafico di figura 4.3. Si definisce pressione di adattamento quella pressione per la quale si verifica uguaglianza tra la pressione dell’ambiente di valle e la pressione della sezione di scarico. A parità di condizioni di monte, al variare della pressione di valle, l’ugello si mantiene adattato finchè si raggiunge allo sbocco la pressione critica. Raggiunta la velocità del suono, in uscita, ulteriori abbassamenti della pressione di valle non modificano le portate. E’ quindi inutile, ai fini delle portate, creare un vuoto spinto a valle, in quanto la portata dipende ora solo dalle condizioni di monte. Se l’ugello non è adattato, cioè la pressione nell’ambiente esterno è minore della pressione di sbocco (nella sezione di gola), allora il fluido è costretto ad espandersi all’esterno dell’ugello con inevitabili perdite di natura fluidodinamica. Si consideri un ugello semplicemente convergente in certe condizioni di pressione in corrispondenza della sezione di ingresso. A tale ugello corrisponderà un grafico della portata in funzione della pressione di sbocco del tipo di quello introdotto in precedenza, con il tratto curvo rappresentato dalla relazione [3] e con il tratto rettilineo rappresentato dalla relazione [4]. Se, a parità di temperatura T1° del fluido, la pressione totale all’ingresso aumenta, come mostrato nella figura 4.4, anche la pressione critica dovrà necessariamente aumentare, dal momento che la quantità p2,cr / p1

0 è costante. Di conseguenza, in queste nuove condizioni di esercizio, l’andamento della portata in funzione della pressione di sbocco sarà rappresentato da una curva del tutto simile a quella precedente, ma caratterizzata da un valore di portata




critica più elevato. Si noti, nel grafico di figura 4.4 (che riporta l’andamento della portata in funzione della pressione di sbocco per diversi valori della pressione in corrispondenza della sezione di ingresso), come i punti rappresentativi delle condizioni critiche siano tutti allineati secondo una retta uscente dall’origine.

Figura 4.4: Andamento della portata in massa di fluido in funzione della pressione di sbocco al variare della pressione in corrispondenza della sezione di ingresso. I punti

rappresentativi delle condizioni critiche sono allineati lungo una retta uscente dall’origine.

4.6 UGELLO CONVERGENTE – DIVERGENTE (UGELLO DI DE LAVAL) (CASO IDEALE)

Per ottenere il passaggio da un flusso subsonico ad uno supersonico è necessario disporre di un condotto convergente – divergente: infatti se all’ingresso si ha un flusso subsonico, per accelerare la corrente bisogna incanalarla in un condotto convergente, permettendo così al flusso di espandersi fino al valore della pressione critica nella sezione di gola e di raggiungere in tale sezione la velocità del suono; ora, se si desidera che la velocità aumenti ulteriormente, diventando supersonica, il condotto, a partire dalla sezione di gola, deve diventare divergente permettendo così un’ulteriore espansione del flusso. Si faccia riferiemento riferimento alla figura 4.5, che rappresenta l’andamento della portata in massa di fluido e della velocità di sbocco in funzione della pressione di uscita.





sbocco e della velocità per un ugello di De Laval.

Sia p10 la pressione totale all’imbocco. Se la pressione in corrispondenza della

sezione di uscita è uguale a quella in ingresso, allora la portata sarà nulla. Mano a mano che la pressione allo sbocco diminuisce, la portata tende ad aumentare. La pressione nella sezione ristretta diventa critica quando la pressione allo sbocco raggiunge un determinato valore, chiamato pressione limite (p2,lim). In queste condizioni, nella sezione di gola, la velocità del flusso è pari alla velocità del suono. Fino al raggiungimento della p2,lim il fluido si espande nel convergente aumentando la propria velocità, mentre nel divergente si comprime, diminuendola. La velocità della corrente in corrispondenza della sezione di sbocco alla pressione limite è stata indicata con c2,lim (minore della velocità del suono). Per quanto riguarda la portata che attraversa l’ugello, al diminuire della pressione di uscita essa tende ad aumentare e diventa critica soltanto quando la pressione di sbocco ha raggiunto il valore limite. Riducendosi la pressione all’uscita al di sotto della p2,lim, la portata non aumenterà più. Nel caso in cui la pressione di valle p2 sia compresa tra p2,lim e p2,ad, il comportamento dell’ugello non può essere spiegato se non facendo ricorso a fenomeni non isentropici, detti urti. Si tratta concettualmente di sezioni di discontinuità nella pressione e nell’entropia (che aumentano) e nella velocità (che diminuisce). Gli urti possono essere retti, se la sezione di discontinuità è perpendicolare all’asse del condotto, e attraverso essi un flusso supersonico diventa subsonico, oppure obliqui, se la sezione di discontinuità non è perpendicolare all’asse del condotto, e attraverso essi un flusso supersonico può o meno diventare subsonico; a valle di un urto retto il flusso è ancora




isentropico, mentre a valle di uno obliquo la vena fluida in genere si stacca dalle pareti e tutto procede “come se in quel punto il condotto terminasse”. Esiste un valore della pressione di valle che localizza l’urto retto allo sbocco del condotto. Al di sotto di questo valore di pressione si manifestano urti obliqui a monte dello sbocco a seguito dei quali la pressione aumenta, la vena fluida si stacca dalle pareti del condotto e procede indisturbata. Per riuscire ad utilizzare l’ulteriore espansione del fluido nel divergente e quindi portare la corrente all’uscita del condotto da sonica a supersonica, è necessario abbassare la pressione di sbocco fino alla pressione di adattamento p2,ad. Questa è da considerarsi condizione ottimale ed è pertanto da intendersi come situazione di funzionamento in condizioni di progetto. Se la pressione di sbocco è inferiore alla pressione di adattamento, l’andamento della pressione nel condotto è quello di adattamento e l’espansione dal valore di pressione di adattamento al valore di valle si realizza nell’ambiente di scarico attraverso onde di espansione.

CALCOLO DELLA PORTATA

Per un condotto convergente – divergente ideale, la relazione

°

−

°−

⋅=

+k

kk

pp

pp

kk

vp

pAm

1

1

2

2

1

2

01

01

01

2 12& [5]

è vera solo fino a quando le condizioni di portata nel condotto consentono condizioni di espansione isentropiche, ovvero:

- nei casi in cui il condotto funzioni come tubo di Venturi (espansione e ricompressione), fino al raggiungimento del punto in cui si verifica la condizione sonica nella sezione ristretta (condizione limite);

- in corrispondenza della condizione di adattamento.

La massima portata è quella critica, pari a:

.pp

pp

kk

vp

pAcA

pp

pp

kk

vp

pAcA

kk

vp

pAcAm

kk

adk

adad,ad,

kk

limk

limlim,lim,

kk

rrsrrcr

°

−

°−

⋅⋅==

=

°

−

°−

⋅⋅==

=

+==

+

+

−+

1

1

2

10

101

01

2222

1

1

2

10

101

01

2222

11

01

01

01

12

12

12

ρ

ρ

ρ&

La portata subcritica dipende dalle condizioni totali, ma anche dalle condizioni di valle. Nel caso invece di ugello critico, le variazioni di valle non possono risalire la corrente (dal momento che la velocità di trascinamento è maggiore o




uguale a quella del suono). Di qui l’indipendenza della portata critica dalla pressione di valle. Si consideri ora il grafico di figura 4.6, che riporta l’andamento della portata in massa di fluido al variare della pressione di sbocco.


sbocco.

Tracciando la curva della portata (equazione [5]), si ottiene la curva tratteggiata in figura 4.6, e quindi anche il valore della portata critica rappresentata dal tratto rettilineo, il quale interseca la curva relativa al convergente in corrispondenza della pressione di adattamento e della pressione limite. Analogamente al caso dell’ugello semplicemente convergente, nel piano che rappresenta la portata in massa di fluido in funzione della pressione di sbocco, aumentando la pressione totale in corrispondenza della sezione di ingresso si ottengono tante curve con portata critica crescente, in cui tutti i punti angolosi individuati dalla pressione limite sono allineati lungo una retta uscente dall’origine (figura 4.7).




Figura 4.7: Andamento della portata in massa di fluido in funzione della pressione di sbocco al variare della pressione in corrispondenza della sezione di ingresso. I punti

dati dalla pressione limite sono allineati lungo una retta uscente dall'origine

CALCOLO DELLA PRESSIONE LIMITE

Per calcolare la pressione limite esistono due metodi:

1) si uguaglia la formula della portata in condizioni generiche con quella della portata critica (la pressione limite è in corrispondenza dell’intersezione tra le due curve descritte da queste due equazioni); si ottiene:

−

−=

+

+

−+

kk

kkk

rp

p

p

pk

kA

kkA

1

01

2

2

01

22

11

12

12

.

Le soluzioni fisicamente accettabili sono due, date dalle due intersezioni della curva di portata con il tratto orizzontale che individua la portata critica: la pressione limite e la pressione di adattamento.

2) si può anche procedere mediante “l’approssimazione ellittica della portata”, ovvero è possibile approssimare la curva che esprime la portata reale ad un’ellisse. Per l’ugello semplicemente convergente si perviene alla seguente equazione:

12

02

2

=

−−

+

•

•

cr

cr

crpppp

m

m,

mentre per l’ugello di De Laval:




12

2

2

2

=

−°−

+

•

•

cr

cr

cr

r

pppp

Am

Am.

Se in quest’ultima equazione si pone:

crmm••

= ,

ovvero si interseca l’ellisse con una retta orizzontale avente come ordinata il valore della portata critica, si perviene ad un’equazione di secondo grado le cui due soluzioni sono la pressione di adattamento e la pressione limite. In genere il tratto convergente degli ugelli è abbastanza corto dal momento che non esiste il pericolo del distacco della vena fluida; inoltre, minore è la sua lunghezza, minori sono le perdite di natura fluidodinamica. Il tratto divergente, invece, è decisamente più lungo affinchè il fluido possa espandere senza incorrere nel pericolo di un distacco della vena. Infine è necessario che il divergente termini con le pareti parallele all’asse dell’ugello per evitare che la velocità del fluido in uscita abbia componenti perpendicolari all’asse.

4.7 ESERCIZI SVOLTI

1) Ad un ugello convergente-divergente perviene elio (k = 1.67; cp = 5130 J / (kg*K)) con velocità d'ingresso c0 = 100 m / s, p0 = 10 MPa e t0 = 800 °C. Le condizioni di adattamento sono pari a p1ad = 4 MPa e t1ad = 500 °C e l'ugello può essere considerato adiabatico. Calcolare la velocità di sbocco ed il lavoro delle resistenze passive, ammettendo politropica la linea di trasformazione.

SOLUZIONE

Applicando il primo principio in forma euleriana con Qe = 0 e Li = 0, risulta:

( ) 02

ccTTcEi

20

21

0ad1pc =−

+−=+ ∆∆ .

La velocità di efflusso nella sezione di sbocco è:

( ) m/s 27.1757cTTc2c 20ad10p1 =+−= .

L'esponente della politropica può essere calcolato per mezzo della formula seguente:

3579.0

pp

lg

TT

lg

m1m

ad1

0

ad1

0

==−

,

da cui risulta: m = 1.5574.

Il calore specifico della trasformazione vale:




kJ/kgK 5436201

1.

m)k/m(

cc p −=−

−=

da cui il lavoro di attrito: ( ) kJ/kg 163.186TTcL 0ad1w =−= .

2) Un ugello convergente-divergente riceve nella sezione di ingresso (A0 = 100 cm2) aria (k = 1.4; R = 287 J / (kg*K)) con velocità d'ingresso c0 = 200 m / s, pressione e temperatura d’ingresso rispettivamente p0 = 120 kPa e t0 = 150 0C. Il tratto convergente è isentropico e, al termine di esso, la temperatura, in corrispondenza della sezione ristretta, è pari a tr = 100 °C; il tratto divergente invece, pur essendo adiabatico, ha un’evoluzione di tipo politropico con esponente pari a 1.47. Nella sezione di uscita l'aria ha una velocità c1 = 100 m / s. Calcolare le aree della sezione ristretta e della sezione allo sbocco, e determinare la pressione in corrispondenza di tali sezioni.

SOLUZIONE

Applicando il primo principio in forma euleriana con Qe = 0 e Li = 0, nel tratto convergente dell'ugello risulta:

( ) 02

ccTTcEi

20

2r

0rpc =−

+−=+ ∆∆ ,

dove Tr e cr sono rispettivamente la temperatura e la velocità nella sezione ristretta; esplicitando cr risulta:

( ) m/s 766.374cTTR1k

k2c 2

0r0r =+−−

= .

La velocità del suono nella sezione ristretta vale

rrs c m/s 132.387kRTc >== ,

e l'ugello pertanto non è critico. Applicando il primo principio in forma euleriana con Qe = 0 e Li = 0, nel tratto divergente dell'ugello risulta:

( ) 02

ccTTcEi

2r

21

r1pc =−

+−=+ ∆∆ ,

da cui si può ricavare la temperatura nella sezione di sbocco:

K 932.437c2

ccTT

p

21

2r

r1 =−

+= ,

dove:

J/kgK 5.1004R1k

kcp =

−= .

Le pressioni e le masse volumiche nella sezione ristretta e in quella di sbocco possono essere calcolate per mezzo delle seguenti relazioni:




kPa 263.77TT

pp1k

k

0

r0r =

=

−

,

kg/m3 72170.RTp

r

rr ==ρ ,

kPa 633.127TT

pp1m

m

r

1r1 =

=

−

,

kg/m3 0155.1RTp

1

11 ==ρ ,

mentre la massa volumica nella sezione di ingresso vale:

kg/m3 9884.0RTp

0

00 ==ρ .

La portata di fluido che passa attraverso l'ugello vale

kg/s 977.1cAm 000 == ρ&

e, per l'equazione di continuità, si ha: 111rrr cAcAm ρρ ==& ,

da cui si possono ottenere la sezione ristretta e la sezione di uscita, che valgono rispettivamente Ar = 73.09 cm2 e A1 = 194.68 cm2.

3) Due ugelli di De Laval disposti in serie l'uno rispetto all'altro con interposta una capacità (in cui il primo dissipa l'energia cinetica di scarico) presentano le seguenti condizioni: • ingresso 1° effusore - aria (k = 1.4; R = 287 J / (kg*K)) a p0I = 30 bar e T0I =

1200 K con velocità di ingresso trascurabile. La sezione minima è ArI = 5 cm2. L'espansione è adiabatica reversibile, in condizioni adattate.

• il 2° effusore presenta una sezione minima ArII = 20 cm2 e scarica nell'ambiente (1 bar e 20 °C) con un'espansione adiabatica reversibile, in condizioni adattate.

Calcolare la portata dei due effusori e la velocità di scarico dei due ugelli. Calcolare inoltre le aree di sbocco dei due effusori.

SOLUZIONE

Entrambi gli ugelli sono adattati, pertanto nella sezione ristretta si ha la pressione e la temperatura critica. Per il primo ugello pertanto si ha, ricordando che la pressione e la temperatura di monte coincidono con le rispettive grandezze totali (°):

bar 848.151k

2p

1k2

pp1k

k

I0

1kk

0I0rI =

+=

+=

−−,

K 10001k

2TT I0rI =

+= ,




kg/m3 522.5RTp

rI

rIrI ==ρ ,

m/s 877.633kRTc rIrI == . La portata che transita attraverso il primo ugello vale:

kg/s 75.1cAm rIrIrI == ρ& . La temperatura a monte del secondo ugello può essere calcolata per mezzo del primo principio in forma euleriana applicato ad un sistema termodinamico comprendente il primo ugello e l'intera capacità. In questo modo risulta che la sezione di uscita del fluido corrisponde alla sezione di ingresso del secondo ugello, per la quale la velocità del fluido stesso è trascurabile in quanto dissipata all'interno della capacità. Ricordando che questo sistema termodinamico è adiabatico (Qe = 0), senza organi mobili (Li = 0) e con variazione di energia cinetica nulla, risulta:

( ) 0TTci I0II0p =−=∆ , cioè:

K 1200TT I0II0 == .

Applicando ora l'equazione di continuità ai due ugelli, si ottiene:

11

0

0

12 −

+

+=ρ=ρ=

kk

II

IIrIIrIIrIIrIIrIrIrI k

kRT

pAcAcAm& .

Da questa relazione è possibile ricavare la pressione in ingresso al secondo effusore, uguale a quella di uscita dal primo p0II = p1I = 1.499 bar. Applicando il primo principio in forma euleriana con Qe = 0 e Li = 0 al primo e al secondo effusore, risulta che le velocità di efflusso dalle sezioni di sbocco valgono rispettivamente:

( ) m/s 983.887pp

1RT1k

k2TTR

1kk

2ck

1k

I0

I1I0I1I0I1 =

−

−=−

−=

−

,

m/s 186.1027pp

1RT1k

k2c

k1k

II0

II1II0II1 =

−

−=

−

.

L'equazione di continuità scritta con riferimento alla sezione ristretta e alla sezione di sbocco permette di ottenere la relazione seguente:

kk

k

k

ru

pp

pp

kk

AA1

0

1

2

0

1

12

12

21

+

−

−

+−

= .




La precedente relazione, applicata ai due effusori, permette il calcolo delle due aree di sbocco che valgono rispettivamente: AuI = 14.55 cm2 e AuII = 21 cm2.

4.8 ESERCIZI 1) Calcolare la portata e la velocità del getto di un endoreattore con effusore

refrigerato, per il quale le condizioni in camera di combustione sono di 18 ata e 3500 K, la pressione esterna (di adattamento) di 0.5 ata. L’espansione è politropica con esponente m = 1.19, il gas ha massa molecolare pari a 25 kg/kmol, l’esponente k = 1.2, il calore massico scambiato è pari a 30 kcal/kg, la sezione di sbocco A2 = 20 cm2.

[Risultati: c2 = 2413 m / s; •

m = 0.36 kg / s]

2) In un ugello convergente - divergente del distributore di una turbina a vapore

si fanno espandere 3.5 kg / s di vapor d’acqua da 30 bar e 500 °C (c1 = 0 m / s) fino a 10 bar. Ammettendo isentropica l’espansione, calcolare la sezione finale del condotto e valutare l’area della sezione ristretta. [Risultati: c2 = 825.8 m / s; A2 = 11.8 cm2; k = 1. 257; Amin = 10.4 cm2]

3) Un ugello semplicemente convergente con condizioni a monte 5 ata e 150°C

(c1 =0 m / s), e pressione di valle 2 ata lascia passare 3 kg / s di aria (k = 1.4, R = 287 J / (kg*K)). Calcolare la velocità e la temperatura nella sezione si sbocco per una espansione isentropica. Calcolare inoltre la nuova portata se le condizioni di monte diventano 10 ata e 300 °C e la pressione di valle 4 ata.

[Risultati: c2 = 376. 34 m / s; t2 = 79. 5 °C; 'm•

= 5.15 kg / s]

4) Ad un ugello adiabatico, ma con resistenze passive, perviene azoto (k = 1.4,

M = 28 kg / kmol) a 7 ata e 500 °C (c1 = 100 m / s). Sapendo che la sezione di sbocco è pari a 2 cm2 e che le condizioni di adattamento si verificano per pressione di sbocco di 2 ata e 300 °C di temperatura, trovare la portata, la velocità di sbocco e il valore di LW.

[Risultati: •

m = 0.15 Kg / s, c2 = 652.6 m / s, LW = 9.65 kcal / kg] 5) Un ugello convergente - divergente espande isentropicamente aria (k = 1.4,

cp = 0.24 kcal / kg). Nella sezione ristretta di area Amin = 100 cm2 si ha cs = 400 m / s con ps = 1.02 ata. In uscita la pressione di adattamento è pari a p2

= 0.102 ata. Calcolare la portata, la velocità dell’aria e l’area della sezione di sbocco. Determinare inoltre nella sezione di sbocco la pressione limite e la relativa velocità.

[Risultati: ts = 124 °C; •

m = 3. 5 Kg / s; c2 = 738 m / s; A2 = 280 cm2; p0 = 1.

93 ata; t0 = 204 °C; plim = 1. 87 ata; clim = 95 m / s]




6) Un diffusore adiabatico riceve aria (k = 1.4; R = 287 J / (kg*K)) a pressione 1.4 ata e temperatura 320 K, con velocità 250 m / s. Volendo ridurre la velocità a soli 50 m / s, calcolare la pressione raggiunta dall’aria in uscita al diffusore, sia nell’ipotesi di compressione isentropica sia nell’ipotesi di compressione reale con rendimento del diffusore pari a 0.9. [Risultati: pd = 1.91 ata; p’d = 1.85 ata]

7) Un diffusore reale riceve nella sezione d’ingresso (area trasversale A = 100

cm2) aria (k = 1.4, cp = 1004 J / (kg*K)) alla velocità c1 = 300 m / s con p1 = 100 kPa e t1 = 30 °C. Nella sezione d’uscita la velocità dell’aria è pari c2 = 30 m / s. L’evoluzione nel diffusore può essere considerata una politropica di esponente m = 1.5. Le resistenze passive nel diffusore dissipano un lavoro Lwd equivalente al 20% della variazione di energia cinetica nel diffusore stesso.

Determinare la pressione in uscita al diffusore, l’area A2 trasversale della sezione di uscita, la quantità di calore Qe eventualmente scambiata nel diffusore con l’esterno (specificando se il diffusore è refrigerato o riscaldato).

[Risultati: t2 = 71.4 °C; p2 = 146.8 kPa; A2 = 774 cm2; Qe = -2974.4 J / kg, diffusore refrigerato]

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4. FLUIDI AERIFORMI NEI CONDOTTIcorsiadistanza.polito.it/corsi/pdf/08BNIDN/Cap4_moto_in_condotti.pdf · Per lo studio del moto dei fluidi nei condotti si adotteranno le seguenti ipotesi