4. FLOWING FLUIDS FLOWING FLUIDS

and and PRESSURE VARIATION

Akışkan Kinematiği

Akışkan kinematiği, harekete neden olan kuvvet ve momentleri dikkate almaksızın,kuvvet ve momentleri dikkate almaksızın, akışkan hareketinin tanımlanmasını konu alır. Yapı üzerindeki hız dağılımlarınınYapı üzerindeki hız dağılımlarının hesaplanması yapıya etkiyen basınç ve kuvvetlerin bulunmasında yardımcı olurkuvvetlerin bulunmasında yardımcı olur.

Euler ve Lagrance Bakışları

Akışkan hareketini tanımlamanın iki yolu vardır. Bunlardan birincisi akışkan partikülü olarakBunlardan birincisi, akışkan partikülü olarak

adlandırılan küçük akışkan kütlesini tanımlamak ve akışkan partikülününtanımlamak ve akışkan partikülünün hareketini zamanla belirlemektir. Bu tür i i l i h k ti i t l d N tcisimlerin hareketini tanımlamada Newton

yasaları kullanılır. Bu yöntemin akan bir akışkana uygulanmasına akışın Lagrangetanımlaması denir.

Akışkan Parçacığının Konumu ve Hızı

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k

dxu =dyv = dzw =

dtu

dtv

dtw

wkvjui)t(V ++=

)(d )t,z,y,x(Vdt

)t(dr)t(V ==dt

Euler ve Lagrance Bakışları

Euler ve Lagrance BakışlarıEuler ve Lagrance Bakışları

Euler Tanımlaması

Euler tanımlamasında; akışkanın içerisinden girip çıktığı akış bölgesi veya kontrol hacmigirip çıktığı akış bölgesi veya kontrol hacmiadı verilen sonlu bir hacim tanımlanır. Bu şekilde akışkan parçacıkların konum veşekilde akışkan parçacıkların konum ve hızlarının izlenmesine gerek kalmaz. Bunun yerine kontrol hacmi konumun ve zamanınyerine kontrol hacmi konumun ve zamanın fonksiyonu olan alan değişkenleri tanımlanır. Örneğin basınç alanı için : P P(x y z t) veÖrneğin basınç alanı için : P=P(x,y,z,t) ve benzer şekilde V=V(x,y,z,t) gibi

Akışkanlar mekaniği uygulamalarında Euler t l d h d Ö ği bi ütanımlaması daha uygundur. Örneğin bir rüzgar tünelind V(x,y,z,t) ve P(x,y,z,t) ölçen problar genellikle sabit noktaya yerleştirilir.genellikle sabit noktaya yerleştirilir.

Diğer taraftan her bir ayrı akışkan parçacığını izleyen ğ y p ğ yLagrange tanımlamasında hareket denklemleri iyi bilinmesine karşın( Newton’un ikinci yasası gibi..), Euler tanımlamasında akışa ait hareket denklemleriEuler tanımlamasında akışa ait hareket denklemleri bu denli açık değildir ve dikkatli bir şekilde türetilmeleri gerekir.

Akışkan hızını tanımlamanın diğer bir yolu da, bunu akım çizgisi ve zaman açısından tanımlamaktırakım çizgisi ve zaman açısından tanımlamaktır.

V=V(s,t)

A steady, 2D velocity field is given by,

V=(0.5+0.8x)i + (1.5-0.8y)j

Stagnation pointP(2 3)P(2,3)

Akım Çizgisi (Streamline)Flow Pattern (Akış Deseni)

Ak ö ll ti il i k lAkışın görselleştirilmesi akış alanı özelliklerin belirlenmesinde faydalı olur. Akım çizgisi, her noktasındaki

eğimi akış hızına paralel olan eğridir. (her yerde anlık yerel hız vektörüne

teğet olan bir eğridir)

uv

dxdy

=udx

Ü b l k i

dzdydx

Üç boyutlu akışta ise

wz

vy

u==

Şekilde bir depodan olan su akışına ait akım çizgileri ve akış deseni görülmektedir. Burada üç farklı nokta için hız vektörleri görülmektedir.

Akım çizgileri akışkan partiküllerinin izlediği yolu verir. Ancak bazen akım çizgileri bir yüzey tarafından kesilebilir. Bu noktaya durgunluk (stagnasyon) noktası denir.Durgunluk noktasında (V=0), akışkanın hızı sıfırdır.sıfırdır.

Steady, incompressible, 2D velocity fieldV (0 5+0 8 )i + (1 5 0 8 )jV=(0.5+0.8x)i + (1.5-0.8y)j

y8.05.1vdy −==

x8.05.0udx +==

8751Cy += ( ) 875.1x8.05.08.0

y ++

=

Uniform flow

∂ 0=∂∂V

Non niform flo

∂s Daralan akışta akışkan partikülü ivmelenir. V2>V1

Nonuniform flow

∂V

Girdap (Vortex) akışında ise hız değeri değişmez, ancak yönü değişir.

0≠∂∂

sV∂s

V∂Steady flow 0

tV=

∂∂

t∂

Unstead flo 0V≠

∂Unsteady flow 0

t≠

∂

Laminer akış ─ akış düzgün akım çizgileri

d dü ü ve son derece düzgün hareketle karekterize edilir.Türbülanslı akış akış Türbülanslı akış ─ akış hız dalgalanmalarıylave son derece düzensiz hareketle düzensiz hareketle karekterize edilir.

laminerden türbülanslıakıma geçiş aniden akıma geçiş aniden olmaz.

16

Laminar flow

Turbulent flow

Akım Çizgisi (Streamline)Flow Pattern (Akış Deseni)

Ak ö ll ti il i k lAkışın görselleştirilmesi akış alanı özelliklerin belirlenmesinde faydalı olur. Akım çizgisi, her noktasındaki

eğimi akış hızına paralel olan eğridir. (her yerde anlık yerel hız vektörüne

teğet olan bir eğridir)

uv

dxdy

=udx

Ü b l k i

dzdydx

Üç boyutlu akışta ise

wz

vy

u==

Yörünge Çizgisi (Pathline)Bir akışkan parçacığının belirli bir süre boyunca

katettiği gerçek yol.

Çıkış çizgisi (Streakline)Akış içerisindeki belirli bir noktadan daha önce art arda

geçmiş akışkan parçacıklarının geometrik yeri.

Akım çizgisi (Streamline), yörünge çizgisi (pathline) ve çıkış çizgisi (streakline) kararlı akışta birbirine eşittir,

k k k t bi bi i d ld k f klancak kararsız akışta birbirinden oldukça farklı olabilir.

Akım çizgisi her yerde anlık yerel hız vektörüneAkım çizgisi, her yerde anlık yerel hız vektörüne teğettir.

Yörünge çizgisi tek bir akışkan parçacığının belirli birYörünge çizgisi, tek bir akışkan parçacığının belirli bir süre boyunca katettiği gerçek yoldur.

Çıkış çizgisi ise, akış içerisinde belirli bir noktadan Ç ş ç g , ş çdaha önce art arda geçmiş akışkan parçaçıklarının geometrik yeridir.

Steady, incompressible, 2D velocity fieldV (0 5+0 8 )i + (1 5+2 5Si ( t) 0 8 )jV=(0.5+0.8x)i + (1.5+2.5Sin(ωt)-0.8y)jω=2π rad/s, the period of oscillation 1 s, p

(0 5 0 5)(0.5, 0.5)(0.5, 2.5)( , )(0.5, 4.5)

Acceleration Fieldr

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛==

dtedVe

dtdV

dtVda t

t

rr

rr

⎠⎝⎠⎝ dtdtdt

VdsVdV ∂⎞⎛⎞⎛ ∂tV

dtds

sV

dtdV

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

nt e

rV

dted rr

=rdt

2eVeVVVarrr⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+⎟⎞

⎜⎛ ∂

+∂

= nt er

ets

Va ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+⎟⎠

⎜⎝ ∂

+∂

=

Acceleration Field

2VVVVrrr ⎟⎞

⎜⎛

+⎟⎞

⎜⎛ ∂

+∂

nt er

ets

Va314434421⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂+

∂=

nata3212

Acceleration FieldwkvjuiV ++=

Acceleration FieldwkvjuiV ++=

du dv dwdtduax = dt

dva y = dtdwaz =

kajaiaa zyx

rrrr++=

uddzu

ddyu

ddxuax ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=tdtzdtydtxx ∂∂∂∂

uuuu ∂∂∂∂tu

zuw

yuv

xuuax ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

=

İki boyutlu bir kanalda, tam gelişmiş akış için hız alanı:

⎤⎡ ⎞⎛2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2

0 hy1uu

U k l k i d ki k i h

⎥⎦⎢⎣ ⎠⎝ h

U0 , kanal merkezindeki maksimum hız. Kanal kalınlığı 2hU0 = 1.5 m/s , h = 0.2 m

Bir akışkan parçacığının bir akış alanında xBir akışkan parçacığının, bir akış alanında x yönündeki hızı, u=2(x+2) m/s olarak verilmiştirverilmiştir. Akışkan parçacığının x=2 ve x=4 m konumlarındaki hızını ve ivmesini hesaplayınkonumlarındaki hızını ve ivmesini hesaplayın. Akışkan parçacığının x=2 m’den x=4 m’ye kadar gelmesi için gerekli süreyi hesaplayınkadar gelmesi için gerekli süreyi hesaplayın.

4.19

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

=30r1Uu ⎟⎟⎠

⎜⎜⎝−−= 30 x

1Uu

uuuudu ∂∂∂∂tu

zuw

yuv

xuu

dtduax ∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

==y

Euler’s EquationEuler s Equation

ll maF =∑ ( ) laρzγp =+∂

−ll maF∑ ( ) ll

aρzγp +∂

7m3m

The Bernoulli Equation along a Streamline

∂ ( ) taρzγps

=+∂∂

−

2VVV ⎟⎞

⎜⎛⎞⎛ ∂∂

s∂

nt er

VetV

sVVa

rrr⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

=⎠⎝⎠⎝

V2CVρzγp

2=++

2ργp

Problem 4.103 (p. 138)(p )

Problem 4.62 (p. 132)(p )

Aplication of the Bernoulli Equation

Stagnation tube

Aplication of the Bernoulli Equation

Pitot tube

Pitot tube

Pitot tube

Pitot tube

Dairesel kesitli bir kanal için pitot tüpüDairesel kesitli bir kanal için pitot tüpü ölçüm noktaları

ABB

CD

E

R A = 0.949RB = 0.837RC = 0.707RD = 0.548RE = 0.316R

Problem 4.52 (p. 131)(p )

Pressure coefficient

Problem 4.107 (p. 139)(p )

Limitations on the use of theLimitations on the use of the Bernoulli’s Equationq

Steady flowFrictionless flowNo shaft workNo shaft workIncompressible flowNo heat transferFlow along a streamlineFlow along a streamline

Pressure distribution around a cylinder

Figure 4.24 (p. 121)P di t ib ti li d i t ti l flPressure distribution on a cylinder—irrotational flow.