工業数学Ⅰ第7章多変数関数の微分

4. ベクトル値関数千葉大学工学部機械工学科担当者 武居昌宏

教科書

工科系の数学 (4) [単行本]

マイベルク・ファヘンアウア著

及川正行 訳

出版社: サイエンス社 (1996/12)

ISBN-10: 4781907814

ベクトル値関数fも太字xも太字

4 .ベクトル値関数 4.1 微分

関数f(成分関数fkすべて)が連続、偏微分可能、Cr関数

𝒇:𝑹𝑛 ⊇ 𝐷 → 𝑹𝑚

m個の成分関数𝑓𝑘: 𝐷 → 𝑹,𝑓𝑘(𝒙) = 𝑓𝑘(𝑥1, 𝑥2, ⋯ , 𝑥𝑛 )

𝒇 𝒙 =

𝑓1(𝒙)𝑓2(𝒙)⋮

𝑓𝑚(𝒙)

fは細字で成分xは太字でベクトル

lim𝒙→𝒙𝟎

𝒇 𝒙 =

lim𝒙→𝒙𝟎

𝑓1(𝒙)

lim𝒙→𝒙𝟎

𝑓2(𝒙)

⋮lim𝒙→𝒙𝟎

𝑓𝑚(𝒙)

xは細字iが添え字で成分

𝜕𝒇 𝒙

𝜕𝑥𝑖=

𝜕𝑓1(𝒙)

𝜕𝑥𝑖𝜕𝑓2(𝒙)

𝜕𝑥𝑖⋮

𝜕𝑓𝑚(𝒙)

𝜕𝑥𝑖

図ベクトル値関数の例 n=N, m=2

http://www.tf-eng.com/solution_05.html

●o記号をベクトル値関数の線形近似に引き継ぐ

ベクトル値関数はf、g、0も太字

𝑓 𝒙 = 𝑓 𝒙0 +grad 𝑓 𝒙𝟎 ∙ 𝒙 − 𝒙0

…(6)+𝑜 𝒙 − 𝒙0

𝑔 𝒙x0の近くでのf(x)の線形近似

lim𝒙→𝒙0

𝑓 𝒙 − 𝑔 𝒙

𝒙 − 𝒙0= 0⇔

𝒇 𝒙 =

𝑓1(𝒙)𝑓2(𝒙)⋮

𝑓𝑚(𝒙)

= 𝒈 𝒙 +𝒐 𝒙 − 𝒙𝟎

lim𝒙→𝒙0

𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙

𝒙 − 𝒙𝟎= 𝟎

線形近似なので1乗fkとgkは細字

𝑓𝑘 𝒙 =𝑔𝑘 𝒙 +𝑜 𝒙 − 𝒙𝟎

⇔

⇔ 𝑘 =1,2,-----,m に対して

g, 𝒇:𝑹𝑛 ⊇ 𝐷 → 𝑹𝑚

g(x)の詳細?

多変数のスカラー関数のときの復習

定義 写像𝒇:𝑹𝑛 ⊇ 𝐷 → 𝑹𝑚はm×n行列AとDにおけるr近傍𝑈𝑟(𝒙𝟎) = 𝒙 ∈ 𝑹𝑛 | 𝒙 − 𝒙𝟎 < 𝑟 が存在しすべての𝒙∈𝑈𝑟(𝒙𝟎)に対し

𝒇 𝒙 =𝒇 𝒙𝟎 + 𝐴 𝒙 − 𝒙𝟎 +𝒐 𝒙 − 𝒙𝟎

が成り立つならば𝒙0 ∈𝐷において全微分可能(線形近似可能)である。

●ベクトル値関数の全微分可能(線形近似可能)

ベクトル値関数をスカラー値関数(P29定理2.3参照)と比べるとgrad f がm×nの行列Aになる!! A を Jf(x0)とおく!! これがヤコビ行列

𝑓𝑘 𝒙 =𝑓𝑘 𝒙𝟎 +grad 𝑓𝑘 𝒙𝟎𝑇 ∙ 𝒙 − 𝒙𝟎 +𝑜 𝒙 − 𝒙𝟎 ,

(1)はすべての成分関数fkが線形近似可能であることを意味する。

…(1)

𝑔 𝒙

=

𝑓1(𝒙𝟎)𝑓2(𝒙𝟎)

⋮𝑓𝑚(𝒙𝟎)

+

𝑛

𝑚 𝐴⋮

⋯

𝑥1 − 𝑥01𝑥2 − 𝑥02

⋮𝑥𝑛 − 𝑥0𝑛

+𝒐 𝒙 − 𝒙𝟎

線形近似なのでoの中は1乗

𝑘 =1,2,-----,m成分で解釈すると、 𝑔 𝒙

●ヤコビ行列(関数行列) J

𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙0 + 𝐽𝒇 𝒙0 𝒙 − 𝒙0 + 𝒐( 𝒙 − 𝒙0 )

Tがいる理由: x0は列ベクトルで定義されているので、Tをつけてgrad fkを行ベクトルにする

A = Jf(x0)

x0におけるfのヤコビ行列(関数行列)

𝑔 𝒙

𝒇 𝒙 = 𝐽𝒇(𝒙)𝒙

𝒇 𝒙 − 𝒇 𝒙0 = 𝐽𝒇(𝒙)(𝒙 − 𝒙0)

ここを新しくf(x)とxと思う

(2)

●導関数f’(x)、gradf(x)と微分係数f’(x0) 、gradf(x0)の違い⇒ Jf (x)も Jf (x0)もヤコビ行列

定理2.3によって、(1)の行列AはA=Jf(x0)と一意的に決まる。さらに、定理2.4から、任意のC1写像𝒇:𝑹𝑛 ⊇ 𝐷 → 𝑹𝑚 は線形近似可能である。すなわち、

例1 𝐴 ∈ 𝑹𝑚×𝑛によって定まる線形写像𝒇:𝑹𝑛 → 𝑹𝑚 , 𝒇 𝒙 = 𝐴𝒙

∆𝑓1 =𝜕𝑓1𝜕𝑥

𝑥0, 𝑦0 ∆𝑥

+𝜕𝑓1𝜕𝑦

(𝑥0, 𝑦0)∆𝑦 + 𝑜( 𝒙 − 𝒙0 )

∆𝑓2 =𝜕𝑓2𝜕𝑥

𝑥0, 𝑦0 ∆𝑥 +𝜕𝑓2𝜕𝑦

(𝑥0, 𝑦0)∆𝑦 + 𝑜( 𝒙 − 𝒙0 )

(𝑥0, 𝑦0)における𝑓1 (𝑥, 𝑦)と𝑓2 (𝑥, 𝑦)のテーラー展開は高次をo記号で表すと

ヤコビ行列…(A)

∆𝑓1∆𝑓2

=

𝜕𝑓1𝜕𝑥

(𝑥0, 𝑦0)

𝜕𝑓2𝜕𝑥

(𝑥0, 𝑦0)

𝜕𝑓1𝜕𝑦

(𝑥0, 𝑦0)

𝜕𝑓2𝜕𝑦

(𝑥0, 𝑦0)

∆𝑥∆𝑦

●R2からR2へのC1写像におけるヤコビ行列の例2つの実数組(𝑥, 𝑦)から2つの実数組(𝑓1, 𝑓2)を対応させる写像 𝒈 𝒙

𝑦

∆𝑓1𝑓1(𝑥0, 𝑦0)𝒙𝟎

𝑥

𝑓2 (𝑥0, 𝑦0)

𝒙 = (𝑥1, 𝑥2)

𝑥0

𝑦0

x

𝑦𝑔1(𝑥, 𝑦)

𝑔2(𝑥, 𝑦)

𝒇 𝒙𝟎

∆𝑓2

∆x

∆y

E

A

Δ𝑓1= 𝑓1 (𝑥, 𝑦)－ 𝑓1 (𝑥0, 𝑦0) , Δ𝑓2=𝑓2 (𝑥, 𝑦)－ 𝑓2 (𝑥0, 𝑦0),Δ𝑥＝ x－𝑥0, Δ𝑦＝ y－𝑦0 ←高次o記号を無視すると

←2変数関数の全微分係数と比較する

誤差𝑅(𝒙)

A(x,y)

grad 𝑓(𝒙𝟎)・(𝒙 − 𝒙𝟎)

𝑓(𝒙𝟎)

O

grad𝑓(𝒙𝟎)

𝑓(𝒙)

B

C

DE

●ヤコビ行列の例#2

∆𝑓1∆𝑓2

=

𝜕𝑓1𝜕𝑥

(𝑥0, 𝑦0)

𝜕𝑓2𝜕𝑥

(𝑥0, 𝑦0)

𝜕𝑓1𝜕𝑦

(𝑥0, 𝑦0)

𝜕𝑓2𝜕𝑦

(𝑥0, 𝑦0)

∆𝑥∆𝑦

7章2.実多変数の実数値関数式(7)参照

𝑓 𝒙 = 𝑓 𝒙0 + grad𝑓 𝒙0 ∙ 𝒙 − 𝒙0+ 𝑜( 𝒙 − 𝒙0 )

= 𝑔(𝒙)

𝒇 𝒙 = 𝒇 𝒙0 + 𝐽𝒇 𝒙0 𝒙 − 𝒙0

+ 𝒐( 𝒙 − 𝒙0 )

= 𝒈(𝒙)𝒈 𝒙𝑦

∆𝑓1

𝑓1(𝑥0, 𝑦0)𝒙𝟎

𝑥

𝑓2 (𝑥0, 𝑦0)

𝒙 = (𝑥, 𝑦)

𝑥0

𝑦0

x

𝑦𝑔1(𝑥, 𝑦)

𝑔2(𝑥, 𝑦)

𝒇 𝒙𝟎

∆𝑓2

∆x

∆y

E

A

𝒇 𝒙

誤差𝒐( 𝒙 − 𝒙0 )

(x0,y0)

式(7)

…(A)

A: m×nの行列x: n×1の列ベクトルAx: m×1の列ベクトル ->縦長grad ψ(x): n×1の列ベクトル(grad ψ(x))T: 1×nの行ベクトル ->横長(Ax)(grad ψ(x))T: m×nの行列ψ(x): スカラー値非線形項 ψ(x) A: m×nの行列

mn

Ax

n

Ax

m =

mn

(grad ψ(x))T(Ax)(grad ψ(x))T

n

Ax

m=

参照)線形写像f(x)=Axヤコビ行列Jf(x)=A

mn

ψ(x)

ψ(x) A A

=mn●行列の積

［m×p］［p×n］＝［m×n］左の列数と右の行数が等しい必要あり

𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

𝑥𝑦

𝜕𝜑(𝒙)

𝜕𝑥

𝜕𝜑(𝒙)

𝜕𝑦+𝜑 𝒙 𝐴

𝐴 =𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

●非線形写像のヤコビ行列の例

𝜕𝑓1(𝒙)

𝜕𝑥𝜕𝑓2(𝒙)

𝜕𝑥

𝜕𝑓1(𝒙)

𝜕𝑦𝜕𝑓2(𝒙)

𝜕𝑦

𝜕𝑓1 𝒙

𝜕𝑥= 𝑎11 𝑎12

𝑥𝑦

𝜕𝜑 𝒙

𝜕𝑥+ 𝜑 𝒙 𝑎11

𝜕𝑓1 𝒙

𝜕𝑦= 𝑎11 𝑎12

𝑥𝑦

𝜕𝜑 𝒙

𝜕𝑦+ 𝜑 𝒙 𝑎12

𝜕𝑓2 𝒙

𝜕𝑥= 𝑎21 𝑎22

𝑥𝑦

𝜕𝜑 𝒙

𝜕𝑥+ 𝜑 𝒙 𝑎21

𝜕𝑓2 𝒙

𝜕𝑦= 𝑎21 𝑎22

𝑥𝑦

𝜕𝜑 𝒙

𝜕𝑦+ 𝜑 𝒙 𝑎22

𝒇 𝒙 = 𝜑 𝒙 𝐴 𝒙𝑓1 𝒙

𝑓2 𝒙= 𝜑 𝒙 𝐴

𝑥𝑦

𝑦

∆𝑓1𝑓1(𝑥0, 𝑦0)

𝒙𝟎𝑥

𝑓2 (𝑥0, 𝑦0)

𝒙

𝑥0

𝑦0

x

𝑦 𝑓1(𝑥, 𝑦)

𝑓2(𝑥, 𝑦)

𝒇 𝒙𝟎

∆𝑓2

∆x

∆yE

A

色のついたスカラー場𝜑 𝒙4(a) 𝑱𝒇 𝒙 = 𝐴𝒙 grad𝜑 𝒙

𝑻+ 𝜑 𝒙 A

f1に相当 f2に相当xに相当 yに相当

𝐽𝑓(𝒙) =

𝜕𝑓1𝜕𝑥𝜕𝑓2𝜕𝑥

𝜕𝑓1𝜕𝑦𝜕𝑓2𝜕𝑦

=

●極座標における面積

d𝑺 = d𝒓 × d𝝋 =𝜕𝑥0𝜕𝑟

𝜕𝑦0𝜕𝜑

−𝜕𝑦0𝜕𝑟

𝜕𝑥0𝜕𝜑

d𝑟d𝜑𝒆𝒛

(A)式と比べて(C)式を理解する

ヤコビ行列は

ヤコビ行列の行列式⇒ヤコビアン

…(B)

r=r 0を代入 d𝑺 =

𝜕𝑥0𝜕𝑟

𝜕𝑥0𝜕𝜑

𝜕𝑦0𝜕𝑟

𝜕𝑦0𝜕𝜑

d𝑟d𝜑𝒆𝒛

= 𝑟0d𝑟d𝜑𝒆𝒛

𝑦

∆𝑓1

𝑓1(𝑟0, 𝜑0)

𝑓2 (𝑟0, 𝜑0)

𝒇 𝜸0dr

E

𝒈 𝜸

𝑔1(𝑟, 𝜑)∆𝑓2

A

ψ0

r0

x

dS

E点位置ベクトル𝜸0 = (𝑟0, 𝜑0)𝑇

dψ

A点の位置ベクト𝜸 = (𝑟, 𝜑) 𝑇

𝒇 𝜸𝒐( 𝜸 −𝜸0 )

rez

d𝝋 =𝜕𝑥

𝜕𝜑d𝜑,

𝜕𝑦

𝜕𝜑d𝜑, 0

𝑇drとdφをx-y座標で表す

d𝒓 =𝜕𝑥

𝜕𝑟d𝑟,

𝜕𝑦

𝜕𝑟d𝑟, 0

𝑇

𝒇 𝜸 = 𝒇 𝜸0 + 𝐽𝑓 𝜸0 𝜸 −𝜸0 + 𝒐 …(C)

𝜸 −𝜸0

𝑔2(𝑟, 𝜑)

= 𝒈 𝜸

f f f

f

合成関数のヤコビ行列変数fのヤコビ行列

変数x0のヤコビ行列

式(1)より、𝒇 𝒙 − 𝒇 𝒙0 = 𝐽𝒇 𝒙0 𝒙 − 𝒙0 + 𝑜( 𝒙 − 𝒙0 )𝐽𝑔°𝑓

fとx0は太字!!f

(5)

4.2 合成微分則 二つの写像

4.3 空間のスカラー場とベクトル場 スカラー場はここが1

ベクトル場はここが2以上

鳴門の渦潮

ベクトル場𝒗 𝒙の流線

ベクトル場𝒗 𝒙http://www.kansai.gr.jp/mt51/plugins/KWSpotSearch/spot-search.cgi?__mode=detail&id=314&lang_code=ja

e1x e2

e3

y

z𝑥1𝑥2𝑥3

x=

𝑥′𝑦′

=cosω𝑡 −sinω𝑡sinω𝑡 cosω𝑡

𝑥𝑦

= cosω𝑡𝑥𝑦 + sinω𝑡

−𝑦𝑥

𝒙 𝑡 = 𝒓 𝑡 + 𝒂 ∙ 𝒙𝟎 𝒂

𝒓 𝑡 = cos𝜔𝑡𝒓𝟎 + sin𝜔𝑡𝒓∗

= cos𝜔𝑡 𝒙𝟎 − 𝒂 ∙ 𝒙𝟎 𝒂 + sin𝜔𝑡 𝒂 × 𝒙𝟎

𝒓𝟎 = 𝒙𝟎 − 𝒂 ∙ 𝒙𝟎 𝒂

●剛体回転の位置ベクトル

x

y

(x’,y’)(x,y)

r0 r*ωtG

𝒓∗ = 𝒂 × 𝒙𝟎

= 𝒂 𝒙𝟎 sin𝜃𝒓∗

𝒓∗

O

…(c)

r0とr*、xとyは直交

r(t)

EF

単位ベクトルa

ωt

x(t)

O

x0

𝒂 ∙ 𝒙𝟎 𝒂

r(t)

r0

r*

A

B

C

EF G

O’

θ

𝒙 𝑡 = cos𝜔𝑡 𝒙𝟎 + 1 − cos𝜔𝑡 𝒙𝟎 ∙ 𝒂 𝒂 + sin𝜔𝑡 𝒂 × 𝒙𝟎

O

a

A

B

a =

𝑎1𝑎2𝑎3

ω

𝒙𝟎

O𝒙

BA

𝒙 =

𝑥1𝑥2𝑥3=V

外積は歪対称行列で書ける●歪（わい）対称行列の特徴参照

…(c)

𝒙 𝑡 = cos𝜔𝑡 𝒙𝟎 + 1 − cos𝜔𝑡 𝒙𝟎 ∙ 𝒂 𝒂 + sin𝜔𝑡 𝒂 × 𝒙𝟎

…(d)𝒗(𝒙) = 𝑉𝒙

速度𝒗 𝒙 = 𝒙(𝑡) なので

例1. 剛体回転 原点を通る方向ベクトル

𝒂 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3𝑇

, 𝒂 = 1 をもつ軸周りの一定の角速度𝜔の反時計回りの回転は、𝒙𝟎:時刻t=0での位置として、

※𝒙0から𝒙 𝑡 の求め方前ページ(c)式参照※𝒙 𝑡 から𝒗 𝑡 の求め方次ページ参照

𝒗 𝑡 = 𝜔𝒂 × 𝒙 𝑡

𝒗(𝒙) = 𝜔𝒂 × 𝒙 xになってい

る点に注意!!

𝜔𝒂:角速度ベクトル

𝒗(𝒙) = 𝜔

0 −𝑎3 𝑎2𝑎3 0 −𝑎1−𝑎2 𝑎1 0

𝑥1𝑥2𝑥3

剛体回転の速度場は線形写像

𝒗 𝑡 = 𝒙 𝑡𝒗 𝑡 = 𝜔 −sin𝜔𝑡 𝒙𝟎 + sin𝜔𝑡 𝒙𝟎 ∙ 𝒂 𝒂 + cos𝜔𝑡 𝒂 × 𝒙𝟎

…(A)式

●なぜ𝒗 𝑡 = 𝜔𝒂 × 𝒙 𝑡 か? ‥‥(c)𝒙 𝑡 = cos𝜔𝑡 𝒙𝟎 + 1 − cos𝜔𝑡 𝒙𝟎 ∙ 𝒂 𝒂 + sin𝜔𝑡 𝒂 × 𝒙𝟎

𝒂 × 𝒙 𝑡 = cos𝜔𝑡 𝒂 × 𝒙𝟎 + 1 − cos𝜔𝑡 𝒙𝟎 ∙ 𝒂 𝒂 × 𝒂+ sin𝜔𝑡 𝒂 × (𝒂 × 𝒙𝟎)

sin𝜔𝑡 𝒂 × 𝒂 × 𝒙𝟎 = sin𝜔𝑡 𝒂 ∙ 𝒙𝟎 𝒂 − 𝒂 ∙ 𝒂 𝒙𝟎= sin𝜔𝑡 𝒂 ∙ 𝒙𝟎 𝒂 − 𝒙𝟎

𝒂 × 𝒙 𝑡 を計算してみる =0

ベクトル三重積

…(B)式

𝒗 𝑡 = 𝜔𝒂 × 𝒙 𝑡(A)式と(B)式とを比べると ‥‥(e)

●RnからRmの線形写像

P82の式(3)の復習

= 𝒈(𝒙)

𝒂 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3𝑇

:原点を通る方向単位ベクトル

𝒙 → 𝒗(𝒙) = 𝜔𝒂 × 𝒙は線形写像であるから

𝑉 = 𝒗 𝒆𝟏 , 𝒗 𝒆𝟐 , 𝒗 𝒆𝟑 = 𝜔

0 −𝑎3 𝑎2𝑎3 0 −𝑎1−𝑎2 𝑎1 0

3×3行列

𝒗 =V𝒙 𝒙 ∈ 𝑹𝒏, V ∈ 𝑹𝒎×𝒏, 𝒗 ∈ 𝑹𝒎 Vがヤコビ行列Jv

…(10)

𝒗(𝒙) = 𝑉𝒙 Vは歪対称行列

O

a

A

B

●歪（わい）対称(Skew-Symmetric)行列の特徴

歪対称行列 Sの転置行列S 𝑇 = −𝑆

A はその対称成分と歪対称成分の和

S=

任意の正方行列 Aの対称成分:

ちなみに、対称行列Bは 直交行列BはB 𝑇 = 𝐵 B 𝑇 = 𝐵−1

歪対称成分:

𝒂 × 𝒙 =

𝑎1𝑎2𝑎3

×𝑥𝑦𝑧

=

𝑎2𝑧 − 𝑎3𝑦𝑎3𝑥 − 𝑎1𝑧𝑎1𝑦 − 𝑎2𝑥

=

0 −𝑎3 𝑎2𝑎3 0 −𝑎1−𝑎2 𝑎1 0

𝑥𝑦𝑧

= 𝑆𝒙

●外積は歪対称行列で書ける

●歪対称行列Sの作り方 任意の正方行列Aに対して 𝑆 = A− 𝐴 𝑇

𝑆 =

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

−

𝑎11 𝑎21 𝑎31𝑎12 𝑎22 𝑎32𝑎13 𝑎23 𝑎33

=

0 𝑎12 − 𝑎21 𝑎13 − 𝑎31− 𝑎12 − 𝑎21 0 𝑎23 − 𝑎32− 𝑎13 − 𝑎31 − 𝑎23 − 𝑎32 0

𝑆 =

0 −𝑎3 𝑎2𝑎3 0 −𝑎1−𝑎2 𝑎1 0

⇓新しくa1,a2 , a3を定義マイナスの位置注意

…(A)

grad

div

式(12) fの代わりにvになっている点注意

式(12) fが細字注意式(12) Jf(x0)はTを付けて列ベクトル

定義から自明

grad, div, rotは、ヤコビ行列Jで書ける!!

fは細字

gradは列ベクトル

歪対称行列

x0からの差

シュプールSpur S = 0 対角成分の和 a11＋a22＋…＋ann

●grad, div, rotとヤコビ行列Jとの関係

式(12) 𝐽𝒗 𝒙0 − 𝐽𝒗 𝒙0𝑇 𝒙 − 𝒙0 = rot 𝒗 𝒙0 × 𝒙 − 𝒙0

𝐽𝒗 𝒙0 =

𝜕𝑣1𝜕𝑥

(𝒙𝟎)𝜕𝑣1𝜕𝑦

(𝒙𝟎)𝜕𝑣1𝜕𝑧

(𝒙𝟎)

𝜕𝑣2𝜕𝑥

(𝒙𝟎)𝜕𝑣2𝜕𝑦

(𝒙𝟎)𝜕𝑣2𝜕𝑧

(𝒙𝟎)

𝜕𝑣3𝜕𝑥

(𝒙𝟎)𝜕𝑣3𝜕𝑦

(𝒙𝟎)𝜕𝑣3𝜕𝑧

(𝒙𝟎)

𝒗 =

𝑣1𝑣2𝑣3

●式(12)rotとJの関係式の証明#1

𝐽𝒗 𝒙0 − 𝐽𝒗 𝒙0𝑇=

0 −𝜕𝑣2𝜕𝑥

(𝒙𝟎) −𝜕𝑣1𝜕𝑦

𝒙𝟎𝜕𝑣1𝜕𝑧

𝒙𝟎 −𝜕𝑣3𝜕𝑥

(𝒙𝟎)

𝜕𝑣2𝜕𝑥

𝒙𝟎 −𝜕𝑣1𝜕𝑦

𝒙𝟎 0 −𝜕𝑣3𝜕𝑦

𝒙𝟎 −𝜕𝑣2𝜕𝑧

𝒙𝟎

−𝜕𝑣1𝜕𝑧

(𝒙𝟎) −𝜕𝑣3𝜕𝑥

𝒙𝟎𝜕𝑣3𝜕𝑦

𝒙𝟎 −𝜕𝑣2𝜕𝑧

(𝒙𝟎) 0

…(C)

O

aA

Bv

xy

z

𝒂 × 𝒙 =

𝑎1𝑎2𝑎3

×

𝑥1𝑥2𝑥3

=

𝑎2𝑥3 − 𝑎3𝑥2𝑎3𝑥1 − 𝑎1𝑥3𝑎1𝑥2 − 𝑎2𝑥1

=

0 −𝑎3 𝑎2𝑎3 0 −𝑎1−𝑎2 𝑎1 0

𝑥1𝑥2𝑥3

= 𝑆𝒙

…(A)

aをrotvと思う。(B)(C)式と(A)式と比較外積は歪対称行列で書ける

式(12) 𝐽𝒗 𝒙0 − 𝐽𝒗 𝒙0𝑇 𝒙 − 𝒙0 = rot 𝒗 𝒙0 × 𝒙 − 𝒙0

𝒗 =

𝑣1𝑣2𝑣3

●式(12)rotとJの関係式の証明#2

…(B)

rot𝒗 𝒙0 =

𝜕𝑣3

𝜕𝑦𝒙𝟎 −

𝜕𝑣2

𝜕𝑧𝒙𝟎

𝜕𝑣1

𝜕𝑧𝒙𝟎 −

𝜕𝑣3

𝜕𝑥(𝒙𝟎)

𝜕𝑣2

𝜕𝑥𝒙𝟎 −

𝜕𝑣1

𝜕𝑦𝒙𝟎

0 −𝜕𝑣2𝜕𝑥

(𝒙𝟎) −𝜕𝑣1𝜕𝑦

𝒙𝟎𝜕𝑣1𝜕𝑧

𝒙𝟎 −𝜕𝑣3𝜕𝑥

(𝒙𝟎)

𝜕𝑣2𝜕𝑥

𝒙𝟎 −𝜕𝑣1𝜕𝑦

𝒙𝟎 0 −𝜕𝑣3𝜕𝑦

𝒙𝟎 −𝜕𝑣2𝜕𝑧

𝒙𝟎

−𝜕𝑣1𝜕𝑧

(𝒙𝟎) −𝜕𝑣3𝜕𝑥

𝒙𝟎𝜕𝑣3𝜕𝑦

𝒙𝟎 −𝜕𝑣2𝜕𝑧

(𝒙𝟎) 0

Kは非線形写像𝑲 𝒙 = 𝜑 𝒙 𝐸𝒙 Eは単位行列

ヤコビ行列:

が成立。 𝒙0 ≠0に対して𝐽𝑲 𝒙0 は対称行列でSpur 𝐽𝑲 𝒙0 = 0である。

の重力は

x=(x1,x2,x3)

mq

O

M Q

𝒙 = 𝑂𝑋

K(x)クーロン力の場合;c = - kqQ, γ,kは定数

𝐽𝒇 𝒙 = 𝐴𝒙 grad𝜑 𝒙𝑻+ 𝜑 𝒙 A

𝒇 𝒙 = 𝜑 𝒙 𝐴 𝒙

…4(a)図193 中心場

流体では自由渦に相当

Hは非線形写像𝑯 𝒙 = 𝜑 𝒙 𝐸𝒙の形

e3

H(x)

O

外積演算を行列で表す

e3の成分

を除いている

e1

e2

𝐽(𝒙) = 𝐸𝒙 grad𝜑 𝒙𝑇+ 𝜑 𝒙 𝐸 これが新しいx

𝒙 =

𝑥1𝑥2𝑥3

では

ない!!

例4 円管内の層流ハーゲン・ポアズイユ流

𝒗(𝒙) = 𝑐0 0 0−𝑥1 0 −𝑥30 0 0

𝑥1𝑥2𝑥3

+0𝑟2

0

𝑥2

図195 管内の流れ

𝑥3 r

𝑥1

𝑥3 r

r

2

3

2

113 xxr

Jv(x) = 𝑐0 0 0−𝑥1 0 −𝑥30 0 0

教科書ミスプリ?

※参考2次元平面の流速

𝑣2 =−1

4𝜇

𝑑𝑝

𝑑𝑥𝑟2 − 𝑟13

2

𝒗 =Jv(x) 𝒙+Rなので

ヤコビ行列は

(11)

yxzyxvz ),,(下面からの流入量:

上面からの流出量:

Av d

yxzz

zyxvyxzyxvzzyxv z

zz

),,(),,(),,(

３方向加えると

両面の差

Vzyxz

v

y

v

x

v zyx d divd vAv

　

yxzzyxvz ),,(

u: 流体速度ベクトル[m/s]

VA

Vd divd vAv

面積分 体積分

●div v わき出し密度

長野県地獄谷温泉

https://ja.wikipedia.org/wiki/

ガウスの定理

yxddd nA

xΔx

Δy

Δz

),,( zzyxvz

),,( zyxvz

y

z n

の意味

Ad

Ad

ミスプリ この0は太字!!!

●ベクトル場まとめ

流体では自由渦に相当竜巻の渦

流体では強制渦に相当洗濯機の渦

●剛体回転と磁気渦

https://ja.wikipedia.org/wiki

e1

e2

e3

𝒙𝑻 = (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3)

b1

b2

b3

𝐸 = (𝒆𝟏, 𝒆𝟐, 𝒆𝟑)

𝒑

𝐵 = (𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑)

𝒗(𝒙) = 𝐵𝒘(𝒚)𝒘(𝒚) = 𝐵𝑇𝒗(𝒙)

●変換公式

X

I:O

アフィン座標系K:P

座標系Kにおけるベクトルy,w

𝒙 = 𝐵𝒚 + 𝒑𝒚 = 𝐵𝑇 𝒙 − 𝒑

𝒚𝑻 = (𝑦1, 𝑦2, 𝑦3)= (𝒙𝑻 − 𝒑𝑻)𝐵

座標系Iにおけるベクトルx,v

vw

Y

●座標変換と基底公式より

𝒗 𝒙 = 𝒗 𝐵𝒚 + 𝒑 = 𝐵𝒘(𝒚)𝒘 𝒚 = 𝐵𝑇𝒗 𝐵𝒚 + 𝒑 𝑱𝒘 𝒚 = 𝐵𝑇𝑱𝒗 𝒙 𝐵 xのyにおける

ヤコビ行列

前ページ 𝑱𝒘 𝒚 = 𝐵𝑇𝑱𝒗 𝒙 𝐵

式(12)

●grad, ラプラシアン、div, rotは直交座標系に依存しない

●grad, ラプラシアン、div, rotに関する公式

∆𝒗 = 𝛻2𝒗

= 𝛻2𝑣𝒙, 𝛻2𝑣𝒚, 𝛻

2𝑣𝑧𝑻

成分ごとのラプラス演算子

= 𝛻2𝑓

f(x)g(x)の積の微分より予測可能

☞成分計算よりあとで証明☞ベクトル値

☞スカラー値

𝛁 𝛁 ∙ 𝒗 =𝜕 𝛁 ∙ 𝒗

𝜕𝑥,𝜕 𝛁 ∙ 𝒗

𝜕𝑦,𝜕 𝛁 ∙ 𝒗

𝜕𝑧

𝑻

●ナブラ∇の表記

𝛻 =𝜕

𝜕𝑥,𝜕

𝜕𝑦,𝜕

𝜕𝑧

𝑇

x-y平面の回転は打消し

y-z平面の回転は打消し

y

x

zx-z平面の回転は打消し

はじめに、x-y平面で考える𝜕𝒗𝑦

𝜕𝑥≠ 0のときz軸+に回転

y-z、 x-y平面も同様で、どこにも回転の無い流れ場となる。

𝜕𝒗𝑥

𝜕𝑦≠ 0のときz軸-に回転

シュワルツの定理より、𝜕𝑣𝑦

𝜕𝑥=

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝜕𝑦=

𝜕2𝑓

𝜕𝑦𝜕𝑥=

𝜕𝑣𝑥

𝜕𝑦な

ので、𝑣𝑥は𝑣𝑦の向きを変え

ただけで大きさは同じ。回転は打ち消される。

スカラー場の勾配は渦なし!!

𝒗 = grad 𝑓

f : ポテンシャル 速度ベクトル 𝒗 = grad 𝑓にいる「あめんぼ」は回転するか?

x

y

z

𝜕𝒗𝑥𝜕𝑦

≠ 0

vxy

z x

𝜕𝒗𝑦

𝜕𝑥≠ 0 vy

●a)rot grad 𝑓 = 𝛻 × 𝛻𝑓 = 𝟎の直観的な理由

xy

zO

OO

O

Sxy1面上のrotvの法線成分(rotv・n) nは直方体から出て行く向き

Sxy2面上のrotvの法線成分(rotv・n) nは直方体に入る向き

●b) div rot 𝒗 = 𝛻 ∙ 𝛻 × 𝒗 = 0の直観的な理由

Sxy1面とSxy2面で打ち消しあう。

回転場はわき出しなし!!

剛体回転の場合rotv=2ωa

𝒂 = 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3𝑇

rotv

rotv

n

(rotv・n) n

(rotv・n) n𝑥

𝑦

𝑧Sxy1

Sxy2

y-z面、x-z面でも同様に打ち消しあう。

直方体表面全体で考えれば，rotのdivは0

http://www.kansai.gr.jp/mt51/plugins/KWSpotSearch/spot-search.cgi?__mode=detail&id=314&lang_code=ja

●d) div 𝑓𝒗 = grad𝑓 ∙ 𝒗 + 𝑓di𝑣 𝒗の理由

div (𝑓𝒗) =𝜕(𝑓𝑣𝑥)

𝜕𝑥+𝜕(𝑓𝑣𝑦)

𝜕𝑦+𝜕(𝑓𝑣𝑧)

𝜕𝑧

=𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑣𝑥 + 𝑓

𝜕𝑣𝑥𝜕𝑥

+𝜕𝑓

𝜕𝑦𝑣𝑦 + 𝑓

𝜕𝑣𝑦𝜕𝑦

+𝜕𝑓

𝜕𝑧𝑣𝑧 + 𝑓

𝜕𝑣𝑧𝜕𝑧

= grad𝑓 ∙ 𝒗 + 𝑓di𝑣 𝒗

●e) rot 𝑓𝒗 = grad𝑓 × 𝒗 + 𝑓rot 𝒗 演算すれば明らか

●f) rot rot 𝒗 = grad div 𝒗 − ∆𝒗 次ページ参照

●c) div grad 𝑓 = 𝛻2𝑓 = ∆𝑓 =𝜕2𝑓

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑓

𝜕𝑦2演算すれば明らか

𝒗 = (𝑣𝑥, 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧, )

grad 𝑓 =𝜕𝑓

𝜕𝑥,𝜕𝑓

𝜕𝑦,𝜕𝑓

𝜕𝑧

div 𝒗 =𝜕𝑣𝑥𝜕𝑥

+𝜕𝑣𝑦𝜕𝑦

+𝜕𝑣𝑧𝜕𝑧

vz

vz

Sxy1

Sxy2

色のついたスカラー場: 𝑓 𝒙

rot(rot v)=(∂(rot v)z/∂y－∂(rot v)y/∂z, ∂(rot v)x/∂z－∂(rot v)z/∂x, ∂(rot v)y/∂x－∂(rot v)x/∂y)…(0)(rot v)x=∂vz/∂y－∂vy/∂z…(1), (rot v)y=∂vx/∂z－∂vz/∂x…(2), (rot v)z=∂vy/∂x－∂vx/∂y…(3)式(0)の（rot v)zに(3)を代入すると、∂(rot v)z/∂y=(∂/∂y){ ∂vy/∂x－∂vx/∂y } =(∂/∂y)(∂vy/∂x)－∂2vx/∂y2 …(X1)式(0)の（rot v)yに式(2)を代入すると、 ∂(rot v)y/∂z=∂2vx/∂z2－(∂/∂z)(∂vz/∂x) …(X2)式(0)の（rot v)xに式(1)を代入すると、 ∂(rot v)x/∂z=(∂/∂z)(∂vz/∂y)－∂2vy/∂z2 …(Y1)式(0)の（rot v)zに式(3)を代入すると、 ∂(rot v)z/∂x=∂2vy/∂x2－(∂/∂x)(∂vx/∂y) …(Y2)式(0)の（rot v)yに式(2)を代入すると、 ∂(rot v)y/∂x=(∂/∂x)(∂vx/∂z)－∂2vz/∂x2 …(Z1)式(0)の（rot v)xに式(1)を代入すると、 ∂(rot v)x/∂y=∂2vz/∂y2－(∂/∂y)(∂vy/∂z) …(Z2)(X1)－(X2)は式(0)のx成分なので、rot(rot v)x=(∂/∂y)(∂vy/∂x)－∂2vx/∂y2－∂2vx/∂z2+(∂/∂z)(∂vz/∂x)=(∂/∂y)(∂vy/∂x)+(∂/∂z)(∂vz/∂x)－∂2vx/∂y2－∂2vx/∂z2

=(∂/∂y)(∂vy/∂x)+(∂/∂z)(∂vz/∂x)－∂2vx/∂y2－∂2vx/∂z2+∂2vx/∂x2－∂2vx/∂x2

=∂2vx/∂x2+(∂/∂y)(∂vy/∂x)+(∂/∂z)(∂vz/∂x)－∂2vx/∂x2－∂2vx/∂y2－∂2vx/∂z2

=(∂/∂x)(∂vx/∂x)+(∂/∂y)(∂vy/∂x)+(∂/∂z)(∂vz/∂x)－(∂2vx/∂x2+∂2vx/∂y2+∂2vx/∂z2)=(∂/∂x)(∂vx/∂x)+(∂/∂x)(∂vy/∂y)+(∂/∂x)(∂vz/∂z)－(∂2vx/∂x2+∂2vx/∂y2+∂2vx/∂z2)=(∂/∂x)(∂vx/∂x+ ∂vy/∂y+∂vz/∂z)－Δvx =(∂/∂x)(div v)－Δvx …(X3)同様に(Y1)－(Y2)は式(0)のy成分、(Z1)－(Z2)は式(0)のz成分なので、rot(rot v)y=(∂/∂y)(div v)－Δvy …(Y3), rot(rot v)z=(∂/∂z)(div v)－Δvz …(Z3)式(X3), (Y3), (Z3)と式(0)よりrot(rot v)=((∂/∂x)(div v)－Δvx, (∂/∂y)(div v)－Δvy, (∂/∂z)(div v)－Δvz)=((∂/∂x)(div v), (∂/∂y)(div v), (∂/∂z)(div v))－(Δvx, Δvy, Δvz)=((∂/∂x), (∂/∂y), (∂/∂z))(div v)－(Δvx, Δvy, Δvz)=grad(div v)－Δv

●f) rot rot 𝒗 = grad div 𝒗 − ∆𝒗 の証明

rot𝑬 = −𝜇0𝜕𝑯

𝜕𝑡1)ファラデーの法則:

rot𝑯 = 𝒋 + 𝜀0𝜕𝑬

𝜕𝑡

2)アンペールの法則:

電場と磁場の構成方程式𝑫 = 𝜀0𝑬,𝑩 = 𝜇0𝑯,𝒋 = σ0E

D: 電束密度[C/m2], ε: 誘電率[F/m]E:電場[V/m], B:磁束密度[T]=[Wb/m2]μ:透磁率[H/m], H:磁場[N/Wb]=[A/m]j:電流密度[A/m2], σ:導電率[S/m]下付0: 真空

3)電場のガウスの法則:

4)磁場のガウスの法則:

●公式f)の例:マックスウェル方程式から波動方程式の導出

div𝑯 = 0

div𝑬 = 0 𝒋 James C Maxwel

https://ja.wikipedia.org/wiki/

注)真空と導電誘電体では式がちょっと違う

𝑩 = 𝜇0𝑯

𝒋

注)左辺と右辺を教科書と逆にしている

●アンペールの法則を時間で偏微分すると

𝜕

𝜕𝑡

𝜕𝑬

𝜕𝑡=

1

𝜀0

𝜕

𝜕𝑡rot𝑯

●ファラデーの法則にrotをとると

公式f)より rot rot 𝑬 = grad div 𝑬 − ∆𝑬

電場のガウスの法則より0

3次元の波動方程式(電磁波)

=1

𝜀0rot

𝜕𝑯

𝜕𝑡

𝜕𝟐𝑬

𝜕𝑡2= 𝑐0

2𝛻2𝑬

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「見えない」を「視える」にTakei Laboratory

Laboratory on Multiphase Flow and Visualization