4 Elasticidad

Todo cuerpo sobre el que actan esfuerzos externos sufre una deformacin que depende de la naturaleza

del slido y de las fuerzas que sobre l actan.

Parte de la Fsica que estudia las Leyes que gobiernan las DEFORMACIONES sufridas por un cuerpo

cuando se le aplica un ESFUERZO externo.

ELASTICIDAD

2Lic. Fs. John Cubas Snchez

Esfuerzo y deformacin Consideremos un cuerpo al que se le aplican dos fuerzas exteriores iguales paralelas en sentido contrario y perpendiculares a dos secciones

Si F>0 (hacia fuera del cuerpo) fuerza de traccinSi F

Se define el esfuerzo como el cociente entre la fuerza detensin aplicada y el rea de la seccin transversal sobre laque se aplica.

= F/A (N/m2)el resultado ser un cambio en la longitud el mismo

Si Lo es la longitud original del cuerpo y L su longituddespus de aplicar el esfuerzo, el alargamiento producidoser L = L - Lo

si L>0 L>Lo fuerza de traccinsi L

La deformacin producida depender de la tensin por unidadde rea transversal sobre la que se aplica la fuerza.deformacin () el cociente entre la variacin delongitud producida y la longitud inicial del cuerpo

= L/Lo sin unidadesSi el esfuerzo aplicado sobre el cuerpo no es demasiadogrande (reversible), experimentalmente se encuentra que elesfuerzo aplicado es proporcional a la deformacin producida

Ley de Hooke = Y Y mdulo de Young (N/m2) caracterstico del material


Cuerpos perfectamente elsticos: son aquellos que recuperan suforma original una vez que cesa el esfuerzo aplicadoCuerpos perfectamente inelsticos: son aquellos que no recobran suforma original una vez que cesa el esfuerzo aplicado

Todo cuerpo posee intervalos de esfuerzos donde se comporta comoelstico e intervalos de esfuerzos mayores donde es inelstico

coeficiente de seguridad: cociente entre el esfuerzo aplicado y elesfuerzo de ruptura.

S < 1 el cuerpo no se rompeS = /C

S 1 el cuerpo se rompe


a = lmite de proporcionalidad (desde O a) ~ Hookeb = lmite de elasticidad (desde O b) zona elstica

a partir de b hasta d zona inelstica o plsticad = punto de ruptura o lmite de ruptura


Lmite elstico o lmite de

elasticidad

es el valor mximo de las fuerzasexteriores por unidad de rea (oesfuerzo) que el slido puedesoportar comportndose comoelstico. A partir de dicho valor lasdeformaciones son permanentes yel cuerpo se comporta comoinelstico o plstico.

Lmite de proporcionalidad:

es el valor mximo del esfuerzo queel slido puede soportar para que elesfuerzo aplicado y la deformacinproducida sean proporcionales(zona ley de Hooke)


Lmite de ruptura o esfuerzo de

ruptura:

es la mnima fuerzapor unidad deseccin capaz deproducir la rupturadel cuerpo.

Coeficiente de seguridad:

es el cociente entrela fuerza mxima porunidad de seccin yel esfuerzo deruptura.


Deformacin lateralAumento de la longitud de un cuerpo por la aplicacin deun esfuerzo de traccin una variacin en el reatransversal donde se aplica la tensin.

Si Ao es el rea transversal del cuerpo antes de aplicar elesfuerzo y A el rea posterior a la aplicacin del esfuerzo

AAo un esfuerzo de compresin

Ao A


La deformacin lateral = /o = -P Recordando la ley de Hooke = L/Lo

= -PL/Lo = -P /Ysi L>Lo < osi L o

Lo

Ao

L

A


P mdulo de Poisson (P>0) y es una cantidad adimensional.

- El signo negativo indica la disminucin de las dimensiones laterales(Lo).- El mdulo de Young (Y) como el de Poisson (P) dependen de la

naturaleza del material con que est hecho el cuerpo.

- El rea transversal del cuerpo se modifica al realizar sobre ella unesfuerzo de traccin o compresin

Esfuerzo de traccin disminucin del rea transversal

Esfuerzo de compresin aumento del rea transversal


variacin relativa del rea transversal:

A/Ao = -2P = -2P /Yvariacin en el variacin en

rea transversal su volumen

variacin relativa de volumen:

V/Vo = (1 - 2P) /Y


Compresibilidad: Disminucin del volumen de un cuerpo alaplicarle un esfuerzo de compresin igual en todas sus caras.

Vo V

variacin relativa de volumen: V=V/Vo = - p/BB mdulo de compresibilidad N/m2 = 1/B coeficiente de compresibilidad m2/N

El mdulo de compresibilidad est relacionado con el mdulo deYoung y el mdulo de Poisson:

Y = 3B (1 2P)


Elasticidad por deslizamiento o cizalladuraEs la deformacin que se produce en un cuerpo al aplicarle un par defuerzas coplanarias a su superficie, sin que vare su volumen.

El slido se deforma lminas del cuerpo se deslizanunas sobre otras

Deformacin angular del cuerpo al aplicarle una fuerza coplanariaal rea como la tangente del ngulo

= x/h = tg = (en rad)

x

F

h

F

h


La fuerza F aplica al slido un esfuerzo cortante o esfuerzo decizalladura, F:

= F/ASi el esfuerzo cortante no es demasiado grande ambas cantidades

estn relacionadas linealmente ~ = G

G mdulo de deslizamiento, mdulo de cizalladura N/m2

combinacin de esfuerzos de traccin y de compresin

el mdulo de cizalladura (G) estar relacionado con losmdulos de Young y de Poisson G = Y/2(1+P)


Esfuerzo Deformacin Mdulos de elasticidad

Tensor Longitudinal Mdulo de Young

Compresor Lateral Coeficiente de Poisson

Cortante Cizallante Mdulo de Torsin

Presin Volumtrica Mdulo de Compresibilidad

Coeficiente de compresibilidad

AF=

AF=

AF//=

AFp =

oLL=

o =

=== tghx

oV V

V=

LALFY o==

LLP

o

o

==

TgAF

xAhFG ===

dVdpV

VpVB oo =

=

B1=


500 kg

4900 N

Lo = 3 m

A = 2 x 10-5 m2

L = 4 x10-3 m

Esfuerzo:

AF=

51024900

= x = 2,45 x 108 Pa

Deformacin:

oLL=

3104 3= x

= 1,33 x 10 -3

=Y

Mdulo de Young:

3

8

1033,11045,2

= xxY

Y = 1,84 x 10 11 Pa


1. En experimento para medir el Mdulo de Young, una carga de 500 Kg suspendida de un alambre de 3 mde longitud y 0,20 cm2 de seccin recta produjo un alargamiento en el mismo de 0,4 cm respecto a sulongitud antes de haber sido cargado. Cul es el esfuerzo. La deformacin y el valor del mdulo deYoung para este alambre?

A = 1 x 5 x10 -3

A = 5 x10 - 3 m2

x = 2 x 10 - 4 mG = 0,36 x 10 11 Pa

xAhFG =

h = 1 m

hAGxF =

11036,0105102 1134 xxxxxF

=

F = 36 000 N


//=G

hxAF

G =

2. Supngase que el objeto de la figura es una lmina de bronce cuadrada de1 m de lado y 0,5 cm de espesor, qu fuerza F ha de ejercerse? si eldesplazamiento x de la figura es 0,02 cm. El coeficiente de rigidez delbronce es 0,36 x 10 11 Pa

Vo = 0,2 m3

p = 2,04 x 107 Pa = 20 x 10-6 atm -1

B1=

1=B

610201

= xB atm

atmPaxatmxB

110013,1.105

54=

B = 5,065 x 109 Pa

VpVB o

=

BpVV o

=

9

7

10065,51004,22,0xxV =

V = - 8,06 x 10 4 m3


3. El volumen de aceite contenido en una prensa hidrulica es de 0,2 m3. Calcule la disminucin devolumen de aceite cuando est sometido a una presin de 2,04 x 10 7 Pa. El coeficiente decompresibilidad del aceite es de 20 x 10 6 atm 1.

Lo = 4 m

A = 5 x 10 5 m2

L = 2 x 10 3 mF = 12 000 N

LALFY o=

35 102105412000

= xxxxY

Y = 4,8 x 10 11 Pa


=Y

oLL

AF

Y =

4. Una varilla de acero de 4 m de longitud y 0,5 cm2 de seccin, se estira 0,2 cm bajo la accin de unatensin de 12 000 N. Cul es el mdulo de Young para este acero?

Lo = 50 m

A= 6,36 x 10 5 m2

L = 1,5 mF = 80 x 9,8 N = 784 N

do = 9 x 10 3 m

4

2odA =

( )4

109 23= xA

Mdulo de Young:

5,11036,6507845 xx

xY =

Y = 4,1 x 10 8 Pa

LdLdP

o

o

=

Coeficiente de Poisson:

o

o

LLPdd =

505,11092,0 3 xxxd

=

d = 54 x 10 6 m


m = 80 kg

LALFY o=

F

Lo = 50 m

L

do

P = 0,2

5. Una cuerda de nailon de las utilizadas por los montaistas se alarga 1,5 cm bajo la accin de un escalador de 80 kg.Si la cuerda tiene 50 m de longitud y 9 mm de dimetro, cul es el mdulo de Young para este material? Si elcoeficiente de Poisson para el nailon es 0,2; calcule el cambio que experimenta el dimetro bajo la accin de esteesfuerzo.


6. Un alambre de cobre de 4 m de longitud y 1 mm de dimetro es sometido a la siguiente prueba. Se leaplica inicialmente una carga de 20 N para mantenerlo tirante. A continuacin se lee la posicin delextremo inferior del alambre, obtenindose la siguiente tabla:

a. Construya una grfica con estos valores, poniendo en las abscisas los aumentos de longitud y en lasordenadas las cargas adicionales.

b. Calcule el valor del Mdulo de Youngc. Cul es el esfuerzo en el lmite de proporcionalidad?

Cargas adicionales (N) Lectura en la escala (cm)

0 3,02

10 3,07

20 3,12

30 3,17

40 3,22

50 3,27

60 3,32

70 4,27

Lic. Fs. John Cubas Snchez 26

a. Grfica Fuerza vs posicin

3,02

3,07

3,12

3,17

3,22

3,27

3,32

4,27

0

10

20

30

40

50

60

70

80

3 3,5 4 4,5

F

u

e

r

z

a

(

N

)

Posicin(cm)

Lmite de proporcionalidad Lo = 4 m

r = 0,5 x 10 3 m

Lic. Fs. John Cubas Snchez 27

b. Mdulo de Young

NF 102030 ==mxcmx 410505,012,317,3 ===

LALFY o

=

2rA =( ) 23105,0 = xA 271086,7 mxA =

47 1051086,7410

= xxxxY

PaxY 111002,1=

b. Esfuerzo en el lmite de proporcionalidad

mxcmL 31033,002,332,3 ===

oLL= 43 105,7

4103 == xx

=Y Y=

411 105,71002,1 = xxxpropPaxprop

71065,7=


Nmero de diapositiva 1Nmero de diapositiva 2Nmero de diapositiva 3Nmero de diapositiva 4Nmero de diapositiva 5Nmero de diapositiva 6Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22Nmero de diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25Nmero de diapositiva 26Nmero de diapositiva 27Nmero de diapositiva 28Nmero de diapositiva 29Nmero de diapositiva 30Nmero de diapositiva 31Nmero de diapositiva 32

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