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Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-1
4. Differentialrechnung Literatur: [SH, Kapitel 6]
4.1. Steigungen von Kurven
4.2. Ableitung, Tangenten
4.3. Notationen für Ableitung von y = f(x)
4.4. Exkurs zu Grenzwerten
4.5. Ableitungsregeln
4.6. (Streng) Monotone Funktionen
4.7. Änderungsraten einer Funktion y = f(x)
4.8. Ableitungen höherer Ordnung
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-2
4.1. Steigung von Kurven
Steigung einer Kurve y = f(x) im Punkt (x0, f(x0))
= Steigung der Tangente an die Kurve in (x0, f(x0))
= Ableitung f´(x0)
Abbildung 17: Steigung von Kurven [SH]
f‘(1) = ___ f‘(4) = ___ f‘(7) = ____
1
1 1
1/2
f‘(x0) = ____
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-3
4.2. Ableitung, Tangenten (1)
Sekante PQ wird zur Tangente T, wenn Q P
Steigung der Sekante wird zur Steigung der Tangente.
Abbildung 18: Sekante, Tangente [SH]
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-4
4.2. Ableitung, Tangenten (2)
Differenzenquotient (Steigung der Sekante):
Abbildung 19: Differenzenquotient [SH]
x
)x(f)xx(flim)(xf' Ableitung
x
)x(f)x(xfPQ Sekante der Steigung
00
0x0
00
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-5
4.2. Ableitung, Tangenten (3)
Abbildung 20: f(x) = x2 [SH]
Beispiel: Ableitung von f(x) = x2 in einem Punkt x
x
)x(xx2 20
x
)xx2(x 0
xx2 0
Grenzwert für x0:
000x
0 x2)xx2(lim)x('f
Steigung der Sekante:
x
x)x(xx2x
x
)x(f)xx(f 20
20
2000
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-6
4.3. Notationen für Ableitung y = f(x)
Woher kommt die Notation?
"alquotientDifferenti"dx
dy
0)x für oben x( xvon gVeränderun kleine )unendlich(dx
oben) )x(f)xf(x(y von gVeränderun everursacht dadurchyd 00
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-7
4.4. Exkurs zu Grenzwerten (1)
Tabelle 3: Werte von f(x) = (ex1)/x, wenn x nahe bei 0 ist. [SH]
x
1e)x(f
x
). Ergebnis(""0
0
Beispiel:
Für x=0 ist die Funktion nicht definiert, da dann ex1 0 und x 0
Was passiert aber, wenn man x immer näher an Null herankommen lässt (ohne
sie zu erreichen)?
Offenbar nähert sich f(x) immer näher der Eins, wenn man sich x = 0 von beiden
Seiten nähert.
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-8
4.4. Exkurs zu Grenzwerten (2)
Man schreibt:
Abbildung 21: f(x) = ex1/x [SH]
0 x,1x
1e oder 1
x
1elim
xx
0x
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-9
4.4. Exkurs zu Grenzwerten (3)
Definition (Grenzwert). Allgemein heißt
dass f(x) beliebig nahe an A werden kann, für alle x, die sich hinreichend nahe an x0
befinden (aber nicht gleich x0 sind).
Rechenregeln:
A, f(x) lim0xx
(1) )x(glim)x(flim))x(g)x(f(lim000 xxxxxx
(2)
)x(glim)x(flim))x(g)x(f(lim
000 xxxxxx
(3)
)x(glim
)x(flim
)x(g
)x(flim
0
0
0xx
xx
xx
(4)
r
xx
r
xx)x(flim))x(f(lim
00
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-10
4.4. Exkurs zu Grenzwerten (4)
Beispiel:
)x5(lim)xx(lim)x5x(lim2x2x
2
2x
2
2x
5
2x
2
2x
2
2x
2
2xxlim5limxlimxlim)x5x(lim
)2(5)2)(2()x5x(lim 2
2x
6)x5x(lim 2
2x
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-11
4.5. Ableitungsregeln (1)
4.5.1. Konstante
Abbildung 22: Konstante Funktion [SH]
Steigung ist Null, da Funktion konstant.
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-12
4.5. Ableitungsregeln (2)
4.5.1. Konstante (Fortsetzung)
Abbildung 23: Parallele Graphen [SH]
Die Graphen der Funktionen sind parallel und die Funktionen haben in jedem Punkt
dieselbe Ableitung.
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-13
4.5. Ableitungsregeln (3)
4.5.1. Konstante (Fortsetzung)
Herleitung:
x
)x(g)xx(glim)x('g
0x
x
)x(fA)xx(fAlim)x('g
0x
x
)x(f)xx(flimA)x('g
0x
)x´(fA)x('g
)x(fA)x(g
Folie B4-14
4.5. Ableitungsregeln (4)
4.5.2. Potenzregel
Beispiele:
(a)
(b)
(c)
5xy
8x3y
100100
x100
1
100
xy
_______________y
_______________y
_______________y
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-15
4.5. Ableitungsregeln (5)
4.5.3. Summenregel
Beispiele:
(a)
(b)
(c)
2xxy
45 x2x3y
x2x8y 4
_______________y
_______________y
_______________y
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-16
4.5. Ableitungsregeln (6)
4.5.4. Produktregel
Beispiel:
)xx5()xx()x(f 243
_________________________________________)x('f
_________________________________________)x('f
_________________________________________)x('f
)x(h
g(x)
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-17
4.5. Ableitungsregeln (7)
4.5.5. Quotientenregel
Beispiel:
2x
5x3)x(f
_________________________________________)x('f
_________________________________________)x('f
)x(h
g(x)
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-18
4.5. Ableitungsregeln (8)
4.5.6. Kettenregel
Die wichtigste Regel um beliebig komplizierte Funktionen abzuleiten!
Ansatz: Die abhängige Variable y hängt „indirekt“ von x ab.
äußere Funktion:
innere Funktion:
Trick: Ich muss nur wissen, wie die (einfacheren) Ableitungen dy/du und du/dx gehen.
)g(x)f(y )x(gu
)u(fy
u
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-19
Beispiele:
(a)
4.5. Ableitungsregeln (9)
53 )x1(y
_______________________du
dy
_______________________dx
du
________________________________________dx
du
du
dy
dx
dy
:Funktion innere
:Funktion äußere
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-20
Beispiele (Fortsetzung):
(b)
4.5. Ableitungsregeln (10)
2/122 )1x(1xy
_______________________du
dy
_______________________dx
du
________________________________________dx
du
du
dy
dx
dy
:Funktion innere
:Funktion äußere
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-21
4.5. Ableitungsregeln (11)
4.5.7. Ableitung von natürlichen Exponentialfunktionen
Die Ableitung der e-Funktion ist die e-Funktion selbst!
Herleitung:
x
eelim
x
)x(f)xx(flim)x(f
xxx
0x0x
x
1
x
0x
xx
x
0xe
x
1elime
x
1eelim)x(f
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-22
Beispiele:
(a)
4.5. Ableitungsregeln (12)
)x(gey
_______________________du
dy
_______________________dx
du
________________________________________dx
du
du
dy
dx
dy
:Funktion innere
:Funktion äußere
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-23
Beispiele (Fortsetzung):
(b)
4.5. Ableitungsregeln (13)
1xx2
ey
_______________________du
dy
_______________________dx
du
________________________________________dx
du
du
dy
dx
dy
:Funktion innere
:Funktion äußere
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-24
4.5. Ableitungsregeln (14)
4.5.8. Ableitung allgemeiner Exponentialfunktionen
Herleitung: x)aln(x)aln(x eea)x(f
)aln(a)aln(e)x(f xx)aln(
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-25
Beispiele:
(a)
(b)
(c)
4.5. Ableitungsregeln (15)
x5y
x2xy
x32y
_______________y
_______________y
_______________y
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-26
4.5. Ableitungsregeln (16)
4.5.9. Ableitung von Logarithmus-Funktionen
Herleitung: 1
dx
)xln(de
dx
ed )xln()xln(
x
1
dx
dln(x)
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-27
Beispiele:
(a)
(b)
(c)
4.5. Ableitungsregeln (17)
xlnxy 3
xlnxy 2
x
xlny
_______________y
_______________y
_______________y
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B2-28
4.6.1. Wiederholung
Abbildung 24: (Streng) Monoton wachsende und fallende Funktionen [SH]
x2 x1
f(x1)
f(x2)
x1 x2
f(x1)=f(x2)
x1 x1 x2 x2
f(x1)=f(x2) f(x1)
f(x2)
Beispiele:
4.6. (Streng) Monotone Funktionen (1)
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B2-29
4.6.2. Zusammenhang mit Ableitungen
Wenn für alle x Df
4.6. (Streng) Monotone Funktionen (2)
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B2-30
Absolute Änderung von y, wenn sich x um eine kleine Einheit erhöht:
Relative Änderung (Änderungsrate) von y, wenn sich x um eine kleine Einheit er-
höht
4.7. Änderungsraten einer Funktion y = f(x)
)x(fdx
dy
)x(f
)x(f
ydx
dy
dx
y
dy
Beispiel: Bildungsrendite
Lohn w = f(educ), wobei educ = Ausbildungsjahre, prozentualer Anstieg des Lohns
dw/w bei Änderung der Ausbildungsjahre um 1 Jahr:
)educ(f
)educ('f%10
11.000
100
.B.z)educ(d
w
dw
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B2-31
Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung, die dritte die Ableitung der
zweiten usw.
4.8. Ableitungen höherer Ordnung (1)
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B2-32
4.8. Ableitungen höherer Ordnung (2)
Beispiele:
x2x3x2)x(f 35
dx
dy)x('f
2
2
dx
yd)x(''f
3
3
dx
yd)x('''f
4
4
dx
yd)x(''''f
5
5
dx
yd)x('''''f
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B2-33
4.8. Ableitungen höherer Ordnung (3)
Konvexe und konkave Funktionen
Die zweite Ableitung ist die Ableitung ist die Steigung der Steigung.
Beispiel: Quadratische Funktionen:
Wenn
a2)x(''f
bax2)x('f
cbxax)x(f 2
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B2-34
4.8. Ableitungen höherer Ordnung (4)
Konvexe und konkave Funktionen (Fortsetzung)
Abbildung 25: Die Steigung der Steigung [SH]
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B2-35
4.8. Ableitungen höherer Ordnung (5)
Man sagt:
Konvexe und konkave Funktionen können auch monoton sein.
Abbildung 26: Abbildung zu konvex und konkav [SH]
Wirtschaftsmathematik WS 2013/14 – lic. rer. pol. Diplom-Volkswirt Stefan Puth Folie B4-36
Ende