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1
2 Mg. John Cubas Snchez
Los fenmenos ondulatorios estn presentes en mltiples situaciones cotidianas:
ONDAS ONDAS
ELECTROMAGNTICASELECTROMAGNTICAS
ONDAS ONDAS
MECNICASMECNICAS
Casi todo lo que ocurre a nuestro alrededor se puede relacionar con el comportamiento de tipo ondulatorio.
Lo que se lee en estos momentos se debe a las ondas luminosas; lo que escuchamos a las ondas sonoras.
Las cosas tienen su propia temperatura debido a que sus componentes, los tomos estn vibrando permanentemente.
La vibracin es la causa de las ondas.
3 Mg. John Cubas Snchez
MOVIMIENTO ONDULATORIO
-Las partculas se desplazan relativamente poco de su posicin de equilibrio.
-No hay transporte de materia de un punto a otro -Se transmite una perturbacin, energa y cantidad de
movimiento.
4 Mg. John Cubas Snchez
(Un Compor tamiento de la Naturaleza)(Un Compor tamiento de la Naturaleza)
Cuando se pulsa una cuerda de guitarra, se provoca una vibracin; la cuerda se mueve en forma ondulatoria y el aire que esta dentro de la caja de resonancia se comporta tal que el sonido es amplificado.
5 Mg. John Cubas Snchez
La mayora de los objetos, especialmente los denominados elsticos; vibran si durante un espacio de tiempo se le aplica una fuerza. Mientras la fuerza se le aplica, se deforman; pero luego recuperan su forma y su posicin original; posicin de equilibrio. Por ejemplo; al accionar una cuerda de guitarra; un elstico o un resorte.
Una gota de lluvia no representa en s un fenmeno ondulatorio. Sin embargo cuando llega al suelo y cae, en un charco de agua; produce una serie de anillos concntricos que se mueven alejndose del punto donde cay la gota. El golpe genera una onda en todas direcciones.
6 Mg. John Cubas Snchez
La vibracin de un medio cualquiera, producto de una perturbacin externa produce ondas. Una onda, por lo tanto, es una perturbacin que viaja por el medio.
Una vibracin simple, como pulsar una cuerda de guitarra, produce lo que se denomina un pulso : una nica perturbacin que viaja por el medio de propagacin
Un pulso es una nica deformacin que
Viaja en un medio determinado.
7 Mg. John Cubas Snchez
Una onda es una sucesin de pulsos ondulatorios
8 Mg. John Cubas Snchez
ELEMENTOS DE LAS ONDAS
9 Mg. John Cubas Snchez
CARACTERSTICAS DE LAS ONDAS
Se propagan, no son estticas, se mueven, viajando de un punto a otro.
El movimiento ondulatorio es distinto al movimiento oscilatorio.
Cresta
Valle
Amplitud de onda
Longitud
de onda
Nodo Elongacin
PerfilPerfil oo patrnpatrn dede ondaonda
Mg. John Cubas Snchez 10
a. Por el medio de
propagacin
Mecnicas
Electromagnticas
b. Por la direccin
de propagacin
Transversal
Longitudinal
c. Por su dimensin
Unidimensional
Bidimensional
Tridimensional
Las ondas mecnicas slo existen cuando existe un medio material para propagarse (slido, lquido o gas)
11 Mg. John Cubas Snchez
Las ondas electromagnticas, en cambio, pueden presentarse en un medio material o en ausencia de l. Ejemplo de este tipo de ondas son la luz y la radiacin solar.
Mg. John Cubas Snchez 12
La onda se propaga perpendicularmente a la direccin de oscilacin de las partculas.
La onda se propaga paralelamente a la direccin de oscilacin de las partculas.
Mg. John Cubas Snchez 13
Se propaga en una sola direccin
Se propaga en una superficie
Se propaga en el espacio
La perturbacin viaja por el medio con rapidez de propagacin determinada por las condiciones del medio.
El medio no viaja, lo que viaja es el patrn.
Debe aportarse energa para iniciar el movimiento ondulatorio.
LAS ONDAS TRANSPORTAN ENERGIA, NO MATERIA !
Definicin: Definicin: Perturbacin que viaja por un material.
14 Mg. John Cubas Snchez
ONDAS MECANICAS
ONDAS TRANSVERSALESONDAS TRANSVERSALES
Una onda transversal en una cuerda se produce si el extremo de
sta se mueve perpendicularmente a su longitud. La onda viaja a lo largo de la cuerda, en tanto que sta misma vibra
perpendicularmente respecto de esa direccin
15 Mg. John Cubas Snchez
ONDAS MECANICAS
ONDAS LONGITUDINALES:
16 Mg. John Cubas Snchez
Una onda longitudinal en un resorte se produce si uno de sus
extremos se mueve en la misma direccin de su longitud.
Son una combinacin de los
casos anteriores; en parte son
transversales y en parte
longitudinales. Un ejemplo de
una superficial es el
movimiento de una ola de mar.
NotaNota :: Los sismos son movimientos
ondulatorios. En un sismo se
producen ondas de dos tipo: ondas S,
que son transversales y onda P, que
son longitudinales
17 Mg. John Cubas Snchez
ONDAS SUPERFICIALES:
ONDAS LONGITUDINALES + TRANSVERSALES:
DESCRIPCIN MATEMTICA DE UNA ONDA
(ONDA ARMNICA)
(FUNCIN DE ONDA)
X
y = f (x; t)
18 Mg. John Cubas Snchez
FUNCIN DE ONDA DE UNA ONDA SENOIDAL
Movimientos cclicos de diferentes puntos del medio estn desfasados en diversas fracciones de un ciclo: DIFERENCIA DE FASE.
Un punto: desplazamiento mximo positivo.
Otro punto: desplazamiento mximo negativo.
PUNTOS DESFASADOS
MEDIO CICLO.
19 Mg. John Cubas Snchez
ONDAS ARMNICAS
LONGITUD DE ONDA: (Longitud de un patrn de onda completo)
PERIODO: (Lapso en que onda avanza un patrn
de onda completo)
20 Mg. John Cubas Snchez
l
T
(Frecuencia que indica el nmero de
veces que vibra una onda en una
unidad de distancia, en proporcin al
cambio de ngulo)
NMERO DE ONDA
l
2k
k
w FRECUENCIA
ANGULAR:
FRECUENCIA: (Nmero de oscilaciones en cada
unidad de tiempo. f
(Frecuencia que indica el nmero de
veces que vibra una onda en una
unidad de tiempo , en proporcin al
cambio de ngulo)
T
w
2
fw 2
Tf
1
RAPIDEZ DE
PROPAGACIN: (Rapidez constante con que avanza la
onda) v
Adems de:
lfv
21 Mg. John Cubas Snchez
w
2
2
kv
EN MUCHAS SITUACIONES IMPORTANTES LA VELOCIDAD DE PROPAGACIN
DE LA ONDA DEPENDE UNICAMENTE DE LAS PROPIEDADES MECANICAS
DEL MEDIO.
Tv
l
La rapidez de onda, la longitud de onda
y el periodo se relacionan por medio de:
l
2k
T
w
2
k
l
2
w
2T
O tambin:
Reemplazando: k
vw
Luego:
Mg. John Cubas Snchez 22
Ondas viajeras unidimensionalesOndas viajeras unidimensionales Una onda viajera es una perturbacin que se propaga a lo largo de un
medio a una velocidad definida.
Una onda viajera se puede representar como una funcin y = f(x). Al
desplazamiento mximo del pulso se le llama amplitud. Si la forma del
pulso de onda no cambia con el tiempo, podemos representar el
desplazamiento y de la cuerda para todos los tiempos ulteriores como:
y = f(x vt)
Donde v es la velocidad de desplazamiento del pulso. A la funcin y se le
llama a veces funcin de onda.
Una onda senoidal es aquella cuyo desplazamiento y en funcin de la posicin est
dado por:
xAy
l
2sen
La funcin para todo t es:
vtxAy
l
2sen
23 Mg. John Cubas Snchez
Esta sera una instantnea de la onda senoidal en t = 0.
0
24 Mg. John Cubas Snchez
tfAtAtxy w 2coscos;0
t
v
xt
v
xtcosAt;xy w)(
x
25 Mg. John Cubas Snchez
v
xtAtxy wcos);(
Adems: coscos
t
v
xAtxy wcos);(
Onda senoidal que avanza
en la direccin + x:
t
v
x
TcosAt;xy
2)(
T
txcosAt;xy
l2)(
Donde: l
2k
T
w
2
Nmero de onda
Frecuencia angular
txkcosAt;xy w)(
kTv
wl Velocidad de la onda
FUNCIN DE ONDA DE UNA ONDA SENOIDAL
26 Mg. John Cubas Snchez
l
x
AxkAtxy 2coscos0;
T
tcosAtcosAtcosAt;xy ww 20
FUNCIN DE ONDA DE UNA ONDA SENOIDAL
27 Mg. John Cubas Snchez
tfcosAtcosAt;xy w 20
x
t
v
xt
t
v
xcosAt;xy w)(
0
FUNCIN DE ONDA DE UNA ONDA SENOIDAL
28 Mg. John Cubas Snchez
t
v
x
TcosAt;xy
2)(
T
txcosAt;xy
l2)(
txkcosAt;xy w)(
t
v
xAtxy wcos);(
Onda senoidal que avanza
en la direccin x:
En general:
txkcosAt;xy w)(
Donde: txk w Fase
Mientras seguimos una onda:
tetanconstxk w
Derivando respecto
al tiempo: 0w
dt
dxk
kdt
dx w
Tkv
lw (Velocidad(Velocidad dede fase)fase)
ONDAS PERIDICAS = COMBINACIN DE ONDAS SENOIDALES (Armnicas)
(Ondas Armnicas)
29 Mg. John Cubas Snchez
Reflexin
Refraccin
Dispersin
Transmisin
Difraccin
Interferencia
30 Mg. John Cubas Snchez
Podemos diferenciar los medios materiales de acuerdo con su densidad, esto es, su masa por unidad de volumen .
El aire es menos denso que el agua. El acero es ms denso que el concreto. El vaco, a diferencia de aquellos, no tiene densidad, pues no tiene materia.
Cuando una onda se propaga en un medio con cierta densidad y en su camino de propagacin se encuentra con otro medio mucho ms denso (para el tipo de onda), puede ocurrir que la onda "rebote". En ese caso, decimos que la onda se refleja.
31 Mg. John Cubas Snchez
Cuando la onda avanza en el medio, se dice que es una onda incidente. Cuando se es desviada por otro medio (de mayor densidad) al medio inicial, decimos que es una onda reflejada.
32 Mg. John Cubas Snchez
Entonces podemos reconocer dos ondas:
Pulso incidente
Reflexin de un pulso de onda viajera
en el extremo fijo de una cuerda
alargada.
El pulso reflejado se invierte, pero su
forma permanece igual.
33 Mg. John Cubas Snchez
Pulso
reflejado
Pulso
reflejado
Reflexin de un pulso de onda viajera
en el extremo libre de una cuerda
alargada.
El pulso reflejado no se invierte.
34 Mg. John Cubas Snchez
Pulso incidente
Cuando una onda se propaga y en su recorrido debe cambiar medio, puede ocurrir que parte de ella se refleje y otra parte contine recorrido en el otro medio.
Si una onda pasa de un medio menos denso a otro ms denso, gran parte de ella se refleja y slo una pequea se transmite al otro medio.
35 Mg. John Cubas Snchez
Pulso incidente
Pulso reflejado Pulso transmitido
Un pulso viaja hacia la derecha en
una cuerda ligera unida a una
cuerda pesada. Parte del pulso se
refleja y parte del pulso se transmite
a la cuerda ms pesada.
Pulso incidente
Pulso reflejado Pulso transmitido
Un pulso viaja hacia la derecha en
una cuerda pesada unida a una
cuerda ligera. Parte del pulso se
refleja y parte del pulso se transmite
a la cuerda ms ligera.
36 Mg. John Cubas Snchez
Los resultados anteriores pueden resumirse en lo siguiente:
Cuando un pulso de onda viaja de un medio A a un medio B y vA > vB (es decir,
cuando B es ms denso que A), el pulso se invierte en la reflexin.
Cuando un pulso de onda viaja de un medio A a un medio B y vA < vB (es decir,
cuando A es ms denso que B), el pulso no se invierte en la reflexin.
37 Mg. John Cubas Snchez
La refraccin de onda es una propiedad que est estrechamente relacionada con la transmisin.
Cuando una onda pasa de un medio a otro, en la mayora de los casos cambia la direccin de propagacin.
Si el ngulo de incidencia es 0, la onda incidente tiene la direccin de la normal y al pasar al otro medio lo hace en la misma direccin.
38 Mg. John Cubas Snchez
39 Mg. John Cubas Snchez
2211 sennsenn
Donde:
n1 = ndice de refraccin del medio 1
n2 = ndice de refraccin del medio 2
LeyLey dede SnellSnell:: nn11
nn22
nn1 1 < < nn22
40 Mg. John Cubas Snchez
La difraccin es un fenmeno
caracterstico de las ondas
consistente en el curvado y esparcido
de las ondas cuando encuentran un
obstculo o una abertura o rendija. La
difraccin permite que se desven a
travs de ella y pasen de un sector de
un medio a otro sector. La abertura se
comporta como un nuevo origen de la
onda. La difraccin ocurre en todo
tipo de ondas, desde ondas sonoras,
ondas en la superficie de un fluido y
ondas electromagnticas como la luz
y las ondas de radio.
La dispersin ocurre cuando
un frente de onda se refleja
en un obstculo en todas
direcciones.
Cuando una onda sonora
emitida por una fuente llega
a un obstculo, el sonido se
reflejar en l en mltiples
direcciones, permitiendo que
arribe a la mayora de los
sectores del lugar en donde
se produce.
41 Mg. John Cubas Snchez
Cuando una onda incidente o reflejada se mezcla con otra onda, incidente o reflejada, se produce el fenmeno denominado interferencia.
42 Mg. John Cubas Snchez
TIPOS
INTERFERENCIA
CONSTRUCTIVA
INTERFERENCIA
DESTRUCTIVA
43 Mg. John Cubas Snchez
La interferencia constructiva se produce cuando dos ondas
se interceptan al coincidir en el mismo lugar, en el mismo
instante de tiempo. Se dice que estas ondas estn en fase.
Onda 1
Onda 2
Resultante
La interferencia destructiva se produce cuando dos ondas se interceptan, pero estn desplazadas una respecto de la otra. Se dice que estas ondas estn desfasadas (en el ejemplo estn totalmente desfasadas).
44 Mg. John Cubas Snchez
Onda 1
Onda 2
Resultante
La funcin de onda est dada por: tkxcosAt,xy w
La velocidad de las partculas: tkxAsent
t,xyt,xvy ww
La aceleracin de las
partculas: tkxcosA
t
t,xyt,xay ww
2
2
2
t,xyt,xay2w
45 Mg. John Cubas Snchez
VELOCIDAD Y ACELERACIN DE
PARTCULAS DE UNA ONDA SENOIDAL
La funcin de onda est dada por: tkxcosAt,xy w
tkxkAsenx
t,xyw
tkxcosAkx
t,xyw
22
2
t,xykx
t,xy 22
2
46 Mg. John Cubas Snchez
ECUACIN DE ONDA DE UNA ONDA SENOIDAL
t,xyt
t,xy 22
2
w
t,xykx
t,xy 22
2
22
2
2
2
2
k
x
t,xy
t
t,xy
w
2
2
2
2
2
v
x
t,xy
t
t,xy
2
22
2
2
x
t,xyv
t
t,xy
Ecuacin de ondaEcuacin de onda
47 Mg. John Cubas Snchez
VELOCIDAD Y ACELERACIN DE
PARTCULAS DE UNA ONDA SENOIDAL
La aceleracin ay en cada punto es proporcional al desplazamiento y en ese punto.
La aceleracin es hacia arriba donde la curvatura es hacia arriba y hacia abajo donde
la curvatura es hacia abajo.
48 Mg. John Cubas Snchez
VELOCIDAD Y ACELERACIN DE
PARTCULAS DE UNA ONDA SENOIDAL
49 Mg. John Cubas Snchez
La velocidad de propagacin depende de las propiedades del medio, en relacin
con la rapidez con la que cada partcula del medio es capaz de transmitir la
perturbacin a su compaera.
En los medios ms rgidos las velocidades son mayores que en los medios ms
flexibles.
En los medios ms densos las velocidades son mayores que en los menos
densos.
2
22
2
2
x
yv
t
y
Ecuacin de ondaEcuacin de onda
50 Mg. John Cubas Snchez
51 Mg. John Cubas Snchez
x
t,xyFt,xFy
La fuerza que produce
la oscilacin es:
La Potencia producida en el movimiento ondulatorio es: t,xvt,xFt,xP yy
t
t,xy
x
t,xyFt,xP
Para una onda senoidal:
txkcosAt,xy w
txkAsenkx
t,xyw
txkAsent
t,xyww
txksenAkFt,xP ww 22
=F
POTENCIA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
Un mtodo para para producir un tren de pulsos de onda senoidales en una
cuerda continua.
52 Mg. John Cubas Snchez
RAPIDEZ DE UNA ONDA TRANSVERSAL
53 Mg. John Cubas Snchez
RAPIDEZ DE UNA ONDA TRANSVERSAL
(EN UNA CUERDA: Caso especial)
54 Mg. John Cubas Snchez
Impulso en el eje y: yy mvtF
Impulso en el eje x: vmtF
v
v
F
F yy
Fv
vF
y
y
Impulso transversal en el eje y:
tFv
vtF
y
y
La variacin del momento lineal
transversal en el eje y:
yy vtvmv
RAPIDEZ DE UNA ONDA TRANSVERSAL
(EN UNA CUERDA: Caso especial)
55 Mg. John Cubas Snchez
Impulso transversal en el eje y es igual a La variacin del momento lineal
transversal en el eje y:
y
yvtvtF
v
v
2vF
Fv
RapidezRapidez dede unauna ondaonda transversaltransversal enen
unauna cuerdacuerda::
56 Mg. John Cubas Snchez
A
B
ABy FF tantan
La fuerza resultante en la direccin y es:
Para ngulos pequeos se cumple:
tansen
ABy sensenFF
RAPIDEZ DE UNA ONDA TRANSVERSAL EN UNA CUERDA
yyFFFy 12
ABy tanFtanFF
AB
yx
y
x
yFF
2
2
t
yxmaF yy
2
2
2
2
x
yF
t
y
2
22
2
2
x
yv
t
y
Es decir:
La 2a. Ley de Newton:
x
xyxy
t
y
F
AB
2
2
De aqu obtenemos:
Comparando con la ecuacin de onda:
57 Mg. John Cubas Snchez
Fv
2
2
t
yx
x
y
x
yF
AB
0xSi
POTENCIA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
(PARA UNA ONDA TRANSVERSAL EN UNA CUERDA)
58 Mg. John Cubas Snchez
Adems de: k
vw
vk
w
Donde:
Fv
Reemplazando en la Potencia:
txksenAkFt,xP ww 22
txksenAv
Ft,xP www
22
txksenAF
Ft,xP ww
2221
txksenAFt,xP ww 222
Siendo la Potencia mxima:
22 AFPmx w
POTENCIA DEL MOVIMIENTO ONDULATORIO
(PARA ONDA SENOIDAL)
59 Mg. John Cubas Snchez
La Potencia media ser:
22
2
1AFPmed w
La energa asociada a un cuerpo
que oscila con movimiento
armnico es: 22
21 A
dt
dx
dt
dEP w
60 Mg. John Cubas Snchez
22212
2
1AmAkE w
Si aplicamos a cada elemento m
de la cuerda obtenemos:
2221 AmE w
En trminos de la densidad lineal:
2221 AxE w
Luego, la potencia ser:
vAP 2221 w
medPAFP 22
2
1w
w
FAP 22
21
Mg. John Cubas Snchez 61
r = densidad Y = mdulo de Young
z
x
y
x
dx dx + dy
o
A Y TT TT
r
A = rea de seccin recta
El mdulo de
Young se define
como:
x
yA
T
Y
Donde:
A
T
x
y
Reemplazando:
Mg. John Cubas Snchez 62
Despejando la tensin:
x
yYAT
Derivando respecto a x:
x
y
xYA
x
T
Luego:
2
2
x
yYA
x
T
Dado que existe una deformacin
longitudinal, la fuerza neta ser:
T'TTd
O tambin: xdx
TTd
De la segunda Ley de Newton:
2
2
t
ydmTd
Reemplazando: 2
2
t
ydmxd
x
T
Donde: xdAdVdm rr
Mg. John Cubas Snchez 63
2
2
t
ydmxd
x
T
Se obtiene la rapidez de la onda en
la barra: 2
2
2
2
t
yxAdxd
x
yAY
r
2
2
2
2
t
y
x
yY
r
2
2
2
2
x
yY
t
y
r
Comparando con la ecuacin de
onda:
2
22
2
2
x
yv
t
y
Reemplazando en:
r
Yv 2
r
Yv
Mg. John Cubas Snchez 64
z
x
y
x
dx dx + dy
o A
B
r
PAPA PAPA
ro
ro = densidad inicial B = mdulo de compresibilidad
r = densidad final
odm
odV
Consideremos
un gas ideal
en un proceso
adiabtico
g = constante adiabtica
La masa permanece constante:
dmdmo
g
dVdVoo rr
dV
dm
dydxAAdxo rr
Mg. John Cubas Snchez 65
dydx
dxo
r
r
dx
dydxo
rr
dx
dyo
1
rr
1
1
dx
dyorr
Como: 1dx
dy
dx
dyo 1rr
Usando el Binomio
de Newton:
dx
dyoo rrr
dx
dyoo rrr
La presin alrededor de
la posicin xo se puede
escribir como una serie
de Taylor:
En primera aproximacin:
rrr
rr
d
dPPP ooo
Donde: oPP o r
Y de:
V
mr
1 mVr
Mg. John Cubas Snchez 66
Reemplazando en
el Mdulo de
compresibilidad:
dV
dPVB o
1 mVddrdVmVd 2r
2
mV
ddV
r
m
dVdV
r2
oo
m
dVdV
r2
oo
o
m
dV
dPVB
r2
rd
dP
V
mB
o
o
rr
d
dPB o
Despejando:
o
B
d
dP
rr
oo
o
BPP rr
rr
Reemplazando en el
Polinomio de Taylor:
oo
o
BPP rr
r
Mg. John Cubas Snchez 67
De donde:
dx
dyBPP o
oo r
r
dx
dyBPP o
Para pequeos cambios
de presin:
dx
dyBdP
La fuerza que produce
el movimiento es:
AP'PF
AdPF
dx
dyABF
APP'F Para pequeos cambios
de presin:
dx
dyABddF
dxdx
dy
dx
dABdF
dxdx
ydABdF
2
2
De la 2 Ley de
Newton:
dmadF
Donde la masa es:
dVdm r
Adxdm r
Y la aceleracin:
2
2
dt
yda
Mg. John Cubas Snchez 68
2
2
2
2
dt
ydAdxdx
dx
ydAB r
Reemplazando en la 2 Ley
de Newton:
2
2
2
2
dx
ydB
dt
yd
r
Comparando con la
ecuacin de onda:
2
22
2
2
x
yv
t
y
r
Bv 2
r
Bv
Otras relaciones:
a)
Proceso adiabtico:
ctePV g
gV
kP
g kVP
1 ggVkdV
dP
Reemplazando en
el Mdulo de
compresibilidad:
dV
dPVB
1 ggVkVB
gg kVB
PB g
Mg. John Cubas Snchez 69
Reemplazando en la
rapidez de la onda:
r
g Pv
b)
De la ecuacin de
estado:
nRTPV
RTM
mPV
RTV
mPM
RTPM r
M
RTP
r
Reemplazando en la
rapidez de la onda:
r
rg
M
RT
v
M
RTv
g
c)
Considerando el aire
un gas diatmico; a
0C = 273,15K:
310928
15273314841
,
,,,vo
s
m,vo 7331
Para el aire:
Mg. John Cubas Snchez 70
Para otras temperaturas del
aire podemos obtener:
M
RTv
g
M
,Rvo
15273g
15273,
T
v
v
o
152737331
,
T,v
Cuando una cuerda est atada a un punto fijo y la movemos de tal forma que se produzcan pulsos sucesivos, obtenemos el fenmeno de reflexin y de interferencia.
La onda reflejada interferir con la onda incidente. Habr interferencias constructivas e interferencias destructivas.
Los puntos donde se produce interferencia destructiva se denominan nodos. Y las zonas donde se produce interferencia constructiva se denominan antinodos.
71 Mg. John Cubas Snchez
Los puntos N, se denominan
nodos. Los puntos A se
denominan antinodos
y1 = A sen (kx + w t) y2 = A sen (kx w t)
y = 2A sen (k x) cos (w t )
tkxsentkxsenAyy ww 21
2cos
2221
tkxtkxtkxtkxAsenyy
wwww
72 Mg. John Cubas Snchez
2cos
22
BABAsenBsenAsenDonde:
Mg. John Cubas Snchez 73
1xksen
2
12
nxk
2
122
l
nx
4
12l
nx Posicin de los antinodos
0xksen
nxk
l
nx
2
2
lnx
Posicin de
los nodos
Mg. John Cubas Snchez 74
txkAtxy w cos);(
l
2k
T
w
2
Velocidad de la onda
(de propagacin):
Frecuencia angular:
Nmero de onda:
fw 2
Tf
1Frecuencia normal o frecuencia:
Tv
l
fv l
kv
w
Mg. John Cubas Snchez 75
tkxAsent
txytxvy ww
,,
tkxAt
txytxay ww
cos
,, 2
2
2
t,xyt,xay2w
Velocidad de las partculas
que oscilan (de oscilacin):
Aceleracin de las partculas
que oscilan (de oscilacin):
2
22
2
2
x
t,xyv
t
t,xy
txksenAkFt,xP ww 22Potencia instantnea de las ondas: 22 AFPmx w
22
2
1AFPmedia w
Mg. John Cubas Snchez 76
Medio material Velocidad de la
onda
Onda transversal en una cuerda tensa
Onda longitudinal en una barra rgida slida
Onda longitudinal en una columna de fluido (lquido o
gas)
Onda longitudinal en una columna de gas
Onda longitudinal en una columna de gas ideal
Onda longitudinal en una columna de aire
Fv
r
Yv
r
Bv
r
g Pv
M
TRv
g
15,2737,331
Tv
F = fuerza tensora
= densidad lineal de masa
Y = mdulo de Young
B = mdulo de compresibilidad
g = constante adiabtica
P = presin
R = constante universal de los
gases ideales
T = temperatura, en kelvin
M = masa molar, en kg/mol
VELOCIDADESVELOCIDADES DEDE PROPAGACINPROPAGACIN DEDE LALA ONDAONDA
77 Mg. John Cubas Snchez
1.- Un movimiento ondulatorio se propaga segn la ecuacin: y(x, t) = 0,5 sen (0,785 x 0,628 t ) m. Determine:
a)La longitud de onda
b)La frecuencia
c) La amplitud de la propagacin.
d) La rapidez de propagacin de la onda Solucin:Solucin:
y(x, t) = A sen (k x w t)
y(x, t) = 0,5 sen (0,785 x 0,628 t )
A = 0,5 m
w = 0,628 rad/s
k = 0,785 m 1
a) k
l
2
785,0
2l
l = 8,00 m
b) w = 2 f
w
2f
2
628,0f
f = 0,09994 Hz
c) A = 0,5 m
78 Mg. John Cubas Snchez
d)
kv
w
785,0
628,0v
smv /8,0
2.- Por una cuerda se propaga una onda cuya ecuacin es: y(x, t)=2 sen (x + 6 t ), donde x e y vienen en
metros y t en segundos Determine:
a) La velocidad con que se propaga
b) La velocidad transversal en un punto situado a x = 4 m en el instante t = 5 s
c) Representa grficamente los valores de la elongacin y de la velocidad en funcin del tiempo.
Solucin:Solucin:
y(x, t) = A sen (k x + w t)
y(x, t) = 2 sen ( x + 6 t)
A = 2 m
w = 6 rad/s
k = 1 m 1
a) k
vw
1
6v
smv /6
b) t
yv
txkAv ww cos
t = 5 s
x = 4 m
564162 cos)(v
34cos12v
18034cos12
xv
smv /18,10
79 Mg. John Cubas Snchez