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Problemas de Geometría
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CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 3er Material de Estudio
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 1 -
GEOMETRÍA
01. En un triángulo equilátero ABC, con
diámetro AC se traza una
circunferencia que intersecta a AB en
el punto M y a BC en F , luego se
traza la tangente BQ Q FC .Si
AB 2u , entonces QM (en u) es
A) 6
3 B)
2 3
2
C) 3 6
3
D) 3
E) 6
02. En la figura se muestra a dos
circunferencias. Si BC 2u y
CD 3u , entonces AB (en u) es
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
03. En un triángulo rectángulo ABC (recto
en B), se traza la altura BH , P es un
punto de AH , la prolongación de la
altura BH interseca a la
semicircunferencia de diámetro PC en T y la tangente a la semicircunferencia en T pasa por A.
Si AT au y la prolongación de TP
interseca a AB en Q y QC bu ,
entonces AC (en u) es
A) ab B) 2 2a b
C) a b
2
D) 2 ab
E) 2 2a b
2
04. En el gráfico mostrado
AO OB R u , O1 y O2 son centros.
Calcule la longitud del radio (en u) de la circunferencia de centro O2.
A) R
9 B)
2R
9 C)
4R
9
D) 5R
9 E)
8R
9
05. Dos circunferencias C1 y C2 son
secantes en los puntos A y B, en C1 se inscribe el cuadrilátero ABCD y en C2 el cuadrilátero ABSQ, de manera
que DC AB QS P . Desde P se
traza la tangente PM a C1 y desde Q
la tangente QN a C2. Además si
C-B-Q y 2 2 2PM QN , entonces PQ es
A) 2 B) 3
2 C)
D) 3
4 E)
2
A
B
C
D
A B O O1
O2
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 3er Material de Estudio
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 2 -
06. En la figura B y E son puntos de tangencia. Si DE 3u , AC 8u y
CD 7u , entonces AB (en u) es
A) 2 6 B) 3 3 C) 4 3
D) 4 6 E) 2 2
07. En una circunferencia de diámetro
AQ y centro O, se traza la cuerda ED
perpendicular a AO en el punto C. La
cuerda AM intercepta a EC en el
punto B, y la prolongación de MC intercepta a la circunferencia en el
punto F. Las proyecciones de AF y
ED se interceptan en el punto k. Si BC 4m , CK 12m y OC 1m ,
entonces la longitud (en m) de OA es A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
08. En una circunferencia se intersecan 2
cuerdas AB y CD . Si el producto de las longitudes de los segmentos determinados en cada cuerda es 231 cm2 y el radio mide 20 cm, entonces la distancia (en cm) del centro de la circunferencia al punto de intersección de las cuerdas es A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
09. En la figura AE = a, BF = b, DH = d. Entonces CG es
A) ab
d B)
ad
b C)
bd
a
D) 2
2
a b
d E)
2b
a d
10. En un triángulo ABC, AB 13cm ,
AC 14cm y BC 15cm en su altura
BH se ubica el punto T .Si TH 3cm ,
entonces la longitud (en cm) del circunradio del triángulo BTC es
A) 10 B) 3
102
C) 2 10
D) 5
102
E) 3 10
11. En un triángulo ABC los lados son
números enteros consecutivos. Si la altura relativa al lado de medida
intermedia AC mide 12 u, entonces la longitud (en u) del circunradio es
A) 8 B) 65
8 C) 9
D) 12 E) 17
12. ABC es un triángulo (recto en B) se
traza la bisectriz BD D AC de
manera que 2AD DC . Si AB 2u ,
entonces la longitud (en u) de BD es
A
B
C
N
D E
M
A
B E
F G
D
C H
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 3er Material de Estudio
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 3 -
A) 4 2 B) 4 2
2
C) 4 2
3 D) 4 5
E) 4 3
2
13. En un triángulo acutángulo ABC de
circuncentro “O” se traza la bisectriz
interior BD , tal que m BDO 90 . Si BC a y AB c , entonces la longitud
de BD es
A) ac B) 2 2a c C) 2ac
a c
D) ac
2 E)
2 2a c
2
14. Se tienen las circunferencias C1, C2 y
C3 de manera que C1 y C2 son tangentes exteriores en el punto D; ambas son, además, tangentes interiores a C3. Los puntos A, B y C de la circunferencia C se obtienen de la
siguiente manera: BC es la tangente
exterior a C1 y C2; DA es la tangente común interior a C1 y C2 de manera que D y A están a un mismo lado de la recta BC; la recta AD intercepta a
BC en P. Entonces AP2 es
A) 2AB AC
BP CP
B) AB AC BP CP
C) AB AC BP CP
D) 2 2 2 2AB BP AC CP
E) 2AB AC
BP CP
15. En un triángulo ABC, m ABC 60 , I
es el incentro y T es el circuncentro del triángulo AIC. Si AB BC 24 cm ,
entonces la longitud (en cm) de TB es
A) 7 2 B) 8 3 C) 9 3
D) 10 2 E) 12 3
16. ABCD es un cuadrado, en los lados
BC y CD se ubican los puntos medios M y N respectivamente. Si
AM BN T y AB 4u , entonces
la longitud (en u) de TD es A) 2 B) 3 C) 4
D) 2 5 E) 3 5
17. En un cuadrilátero ABCD inscrito en
una circunferencia AB BD AD .
Si CD2
, entonces la longitud del
segmento que une los puntos medios
de AC y BD es
A) 6 22
B) 5 134
C) 3
D) 5
E) 10 2 55
18. En una circunferencia se inscribe un
triángulo ABC de incentro I, la
prolongación de BI intersecta a la circunferencia en el punto P. Si BC a y AB c entonces
2 2BP IP es
A) ac B) 2 2a c
C) 2 2
2 2
a c
a c D) 2ac
E) 2 2a c
2
19. En un heptágono regular ABCDEFG
2 2FC AC FC 48u .Entonces el
perímetro (en u) del heptágono es
A) 28 3 B) 36 3 C) 38 3
D) 48 E) 56
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 3er Material de Estudio
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 4 -
20. Un pentágono regular ABCDE está inscrita en una circunferencia. Si en el
arco AE se ubica el punto P,
entonces PA PC PE
PB PD
es
A) 1
4 B)
1
2 C) 1
D) 3
2 E) 2
21. Indique el valor de verdad de las
siguientes proposiciones: I. Si un hexágono convexo es
equilátero y tiene un punto interior que equidiste de los lados, entonces dicho hexágono es un polígono regular.
II. Si un pentágono es convexo y tiene un punto interior que equidista de cuatro de sus lados, y los ángulos que determinan los vértices con dicho punto interior mide 72 cada uno; entonces el pentágono es un polígono regular.
III. Si un pentágono es equiángulo y tiene un punto que equidista de las rectas que contienen a cuatro de sus lados, entonces dicho pentágono es un polígono regular.
A) FFF B) FVF C) VFF D) VVF E) VVV
22. En un polígono regular de doble
número de lados 2n inscrito en una
circunferencia cuyo radio mide R. Demuestre que la longitud de la
apotema 2nap del polígono regular
de doble número lados es
2n
existen n 1 radicales, n 3
R 2 2 2 2.... 2
23. En una circunferencia están inscritos los polígonos regulares de n, 2n y 6 lados cuyas longitudes de lados son
n , 2n y 6 . Si 2 2 2n 2n 62
entonces el valor de n es A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
24. En un triángulo rectángulo ABC se
traza la bisectriz BD del ángulo recto. Si AC 4u y BD AB , entonces la
longitud (en u) de la altura relativa a la hipotenusa es
A) 2 B) 2
2 C)
2
3
D) 2
4 E)
2
5
25. En una circunferencia se inscribe el
cuadrilátero ABCD tal que
mAB 120 , mBC 30 y mCD 60 .
Si AB 3 2u y BD 2 3 u ,
entonces AD (en u) es
A) 1 3 B) 2 3
C) 3 3 D) 12 6 3
E) 2 3 3
26. En una circunferencia se inscribe un
hexágono regular ABCDEF. En el
arco AB se ubica el punto P tales que PF a y PB b , (a > b). Entonces la
longitud de PD es
A) a b 3
2
B)
b a 3
2
C) a + b D) 2ab
a b
E) ab 3
a b
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 3er Material de Estudio
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 5 -
27. En un octógono regular ABCDEFGH, cuya longitud de su lado es
4 2 2 u , se ubica el punto P en la
diagonal AE tal que m DPE 30 .
Entonces, la longitud (en u) de BP es
A) 2 2 3 B) 2 3
C) 3 3 2 D) 3 2
E) 3 2 2
28. En un hexágono regular ABCDEF de centro O, la suma de las distancias de
O hacia CA y CD es de 2 3 1 u .
Entonces el perímetro (en u) del hexágono es
A) 22 B) 23 C) 24
D) 30 E) 33
29. Se tiene el semioctógono regular
ABCDE inscrito en una semicircunferencia de diámetro AE, donde AE 2R , se ubica el punto medio P del arco BC y el punto medio Q del lado DE. Entonces PQ es
A) R
6 22
B) R
8 22
C) R
16 3 22
D) R 5 3 2
E) R
12 22
30. En una semicircunferencia de centro
O y diámetro AB , se ubica el punto
medio M del arco AB y con centro en M se traza un arco tangente a la
semicircunferencia de diámetro AO que interseca a la semicircunferencia mayor en los puntos P y Q. Entonces
la medida del arco PMQ es
A) 60 B) 72 C) 90
D) 108 E) 120
31. En un sector circular AOB, se inscribe el cuadrado MNPQ cuyo lado mide
2 2 cm . Si m AOB 45 ,
entonces la longitud (en cm) de OA es
A) 2 B) 3 C) 1
D) 1,5 E) 5
32. En un cuadrado ABCD, M es un punto
de AB , N de AD y E es un punto de
AN tales qué BN y MD se intersecan
en un punto de AC y ME // BN . Si AM 4 m y AE 1m , entonces AB
(en m) es. A) 20 B) 12 C) 16 D) 18 E) 24
33. En una circunferencia de radio R, se inscriben 10 circunferencias de radio r (R > r) de manera que estas últimas sean tangentes entre sí y tangentes a la circunferencia mayor. Entonces el perímetro de la figura geométrica que se obtiene al unir los centros de las circunferencias de radio r es
A) 10R 5 2 B) 12R 5 2
C) 15R 5 2 D) 18R 5 2
E) 20R 5 2
34. En la figura
AB BC CD 10 2 5 u
Entonces BD (en u) es
A
D
4
3
2
B
C
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 3er Material de Estudio
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 6 -
A) 5 B) 2 5 C) 10
D) 2 10 E) 5 1
35. En un pentágono regular ABCDE, se
traza la diagonal BE y se ubica el
punto F, punto medio de CD . Si
BE AF H y 11 11u
AH AF
,
entonces la longitud (en u) del lado del pentágono es
A) 10 2 5 B) 12 2 5
C) 10 2 5 D) 10 5
E) 15 5
36. En un polígono regular de 13 lados;
ABCDE … LM. Si 2AD AD AE k ,
entonces la longitud de DJ es
A) k
3 B)
k
2 C) k
D) 2k E) 4k
37. En un octógono regular ABCDEFGH inscrito en una circunferencia de
centro O y radio R 5 2 2 u ; las
prolongaciones de AC y ED se intersectan en el punto P, entonces la
longitud (en u) de OP es
A) 17 B) 21 C) 23
D) 5 E) 5 2
38. En la gráfica mostrada, AB es el lado de un polígono regular y AOB el ángulo central correspondiente, si EF es el polígono regular isoperimétrico, entonces indique el valor de verdad de las proposiciones:
I. E y F son puntos medios de AC y
CB . II. El apotema del polígono regular
es mayor que el apotema del polígono regular isoperimétrico.
III. H es el punto medio de CD .
IV. El apotema del polígono regular isoperimétrico es igual a la semisuma del apotema y el radio del polígono regular.
A) VFVV B) VVFF C) VFFV D) FVFV E) VFFF
39. Sea a la longitud del apotema de un
polígono regular de n lados n 3 y
R la longitud de la circunferencia circunscrita al polígono regular. Entonces, la longitud del diámetro de la circunferencia circunscrita al polígono regular de 2n lados que sea isoperimétrico con el polígono regular de n lados es
A) R R a B) 2R R a
C) R R 2a D) R 2R a
E) 2R R a
40. En un pentágono regular ABCDE la
longitud de su lado es 5 1 u
entonces, la longitud (en u) del lado del pentágono regular determinado al trazar los segmentos cuyos extremos son los puntos medios de dos lados no consecutivos es A) 1,0 B) 3,0 C) 4,0 D) 5,0 E) 5,5
41. El simétrico del triángulo ABC respecto a la recta que contiene a la
bisectriz interior AD , es el triángulo
1 1AB C . Si AB c , BC a y AC b
(a > c), entonces la longitud de 1B C
es
A B
E F
C
O
D
H
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 3er Material de Estudio
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 7 -
A) b c
2
B) b – c C)
b c
2
D) b c
4
E)
a b c
4
42. En una circunferencia C de diámetro
AB , P es un punto exterior a C tal que P es simétrico de A y B respecto a los puntos M y N respectivamente. Si M y N pertenecen a C, entonces la medida del ángulo APB es A) 30 B) 45 C) 60 D) 75 E) 90
43. En un cuadrado ABCD cuyo lado
mide 6 u; M es punto medio de BC y F es el simétrico de D respecto a la
recta AM . Entonces FB (en u) es
A) 72
5 B)
115
3
C) 23 D) 109
3
E) 37
44. En una circunferencia de centro O, se
traza un sector circular AOB cuyo ángulo central mide . Se ubica el
punto P en el radio OB , de manera
que OP 1
OB 3 . En el arco del sector
AOB se ubica el punto Q, con
PQ // OA , tal que al trazar con radio
PB , un arco, éste intersecta a PQ en
T. Si la longitud del arco AB es 12 m, entonces la longitud (en m) del arco
TB es
A) 8 B) 12
5 C)
14
3
D) 16
5 E) 7
45. En la figura mostrada el radio de la semicircunferencia es 12 u. Entonces la suma de las longitudes (en u) de las circunferencias de centro O1 y O2 es
A) 8 3 2 1 B) 8 3 2 1
C) 8 4 2 3 D) 8 2 2 2
E) 8 3 2 2
46. Se tiene el triángulo equilátero ABC,
con diámetro BC se traza una semicircunferencia que no intercepte al triángulo, se ubica el punto D en
BC y F en CD de manera que
BD DF FC
2 4 3 , las rectas AD y AF
interceptan a la semicircunferencia en P y Q respectivamente. Entonces la longitud del arco PQ es
A) 2
AB9
B)
2AB
7
C) AB5
D) AB
4
E) 3
AB5
47. En un cuadrado cuyo lado mide L,
haciendo centro en cada vértice y con radio de longitud L se trazan arcos interiores, que al interceptarse determinan un cuadrilátero curvilíneo. Entonces, el perímetro del cuadrilátero curvilíneo es
A B O
60
O2 O1
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 3er Material de Estudio
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 8 -
A) 3 L
4
B)
2 L
3
C)
L
5
D) 3 L
5
E)
48. En un cuadrado ABCD cuyo lado
mide L, con centro en A se traza el
arco BD . Calcule la longitud de la
circunferencia con centro en CD ,
tangente al arco BD y al lado BC en C.
A) L
4
B)
L
3
C)
L
2
D) L
5
E)
2 L
3
49. En un triángulo rectángulo ABC /
m B 90 , está inscrito una
circunferencia C si: AB 3u ;
BC 4u ; entonces la longitud de la
circunferencia tangente a C y a los
catetos es A) 2 B) 1,5
C) 10 1
210 1
D) 0,34
E) 5 1
25 1
50. La longitud del lado del cuadrado
ABCD es 6 cm, con centros en los vértices A y D, se trazan los arcos BD y AC, secantes entre sí en el punto M. Con diámetro BC, se traza una semicircunferencia que interseca a los arcos anteriores en los puntos E y F, respectivamente. Entonces la suma de longitudes (en cm) de los arcos EF y FM es A) B) 3 C) 2
D) 5
3 E)
7
3
51. En un cuadrante AOB se inscribe el cuadrado PQRT de modo que Q y R pertenecen al arco AB, P y T pertenecen a los radios OA y OB respectivamente. Si el perímetro del cuadrado es 16u entonces la longitud (en u) del arco AB es
A) 10 B) 3 C) 2
D) 5
3 E)
7
3
52. Calcule YW X Z , para la vigésima posición:
Posición 1 Posición 2 Posición 3 … vigésima posición
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
53. Para la secuencia:
Calcule 3 48x x
A) 6 B) 3 C) 4 D) 5 E) 8
0 2
–2 1
0 –2
2 –1
1 0
2 –2 Z Y
W X
1
1
1
1
1
x1 x2 x3
1 1
1 … ,
1
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 3er Material de Estudio
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 9 -
54. ¿Qué figura continúa en la secuencia; en la posición 11?
A) B) C) D) E)
55. ABCD es un cuadrado de longitud de lado L. Se realiza la construcción de un cuadrado uniendo los puntos medios de los lados y se repite la secuencia 40 veces. Calcule el perímetro del último cuadrado.
A) 16
L
2 B)
17
L
2 C)
18
L
2
D) 19
L
2 E)
20
L
2
56. En la siguiente serie:
Determine el número correspondiente al polígono de 51 lados. A) 22 B) 21 C) 26 D) 24 E) 25
57. Indique la figura que continua la secuencia
A) B) C) D) E)
58. Calcule el valor de x + y, en la secuencia:
A) 13 B) 18 C) 17 D) 16 E) 14
59. es a como es a: A) B) C) D) E)
0 2 2 3 5 4 x y
1 2 3
00
1
2 1
0
3
2 …
0
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 3er Material de Estudio
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 10 -
60. x, y, z, w son cuatro términos consecutivos en la serie de Fibonacci, con los que se obtiene la figura:
donde: a = xw b = 2yz Entonces, el valor de c, se obtiene de:
A) 2 2x y B) xy zw
C) xz yw D) 2x yz
E) 2 2
x y y z
61. es a , como es a:
A) B) C) D) E)
62. Deben ser escritos los dígitos del 1 al 8, en:
de tal manera que dos consecutivos no sean “vecinos”, en forma diagonal, horizontal o vertical. Análogamente, en: los dígitos a considerar son del 1 al 6. Si en cada caso, un dígito ocupa un casillero, entonces xyz – vw es A) 9 B) 10 C) 12 D) 11 E) 10
63. Indique la figura que corresponde:
A) B) C) D) E)
64. es a , como es a:
a
b c
x y
x y
z
?
5 5 4
3 3
5
5
4
4
3
2
2
2
2
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 3er Material de Estudio
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 11 -
A) B) C) D) E)
65. Determine el símbolo que completa mejor la relación de analogía entre las figuras dadas: A) B) C) D) E)
66. Si es a
, entonces es a: A) B) C) D) E)
67. En un triángulo se trazan las
bisectrices interiores AD y CE intersectándose en el punto I tal que los ángulos AEC y ADC son suplementarios. Si las áreas de las regiones triangulares AIE y CID son 2 u2 y 3u3, entonces el área (en m2) de la región triangular EID es
A) 1 B) 3
2 C)
4
3
D) 5
6 E)
6
5
68. En un cuadrado ABCD, P y Q son
puntos medios de AB y BC
respectivamente. Si DQ y PC se intersecan en el punto M y
PM 6 5 cm , entonces el área (en
cm2) de la región cuadrada ABCD es A) 225 B) 280 C) 380 D) 400 E) 469
2
2
2 2
1
1
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
? ?
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 3er Material de Estudio
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 12 -
69. Dado un cuadrado ABCD en AB se ubica el punto P, la circunferencia de
centro O1 es tangente DA ; AP y DP y la circunferencia de centro O2 es
tangente a DP ; DC y BC . Si los radios de las circunferencias miden 3 u y 2 u respectivamente, entonces el área (en u2) de la región cuadrada es A) 18 B) 36 C) 48 D) 64 E) 72
70. En un triángulo acutángulo ABC se
trazan las cevianas AD y la altura BH
tal que AD DC y AD BH P ,
luego en BP y HC se ubican los puntos M y N tal que HMDN es un rectángulo. Si BP a y AC b ,
entonces el área de la región rectangular HMDN es
A) ab
2 B)
ab
4 C) ab
D) 2ab E) 4ab
71. Calcule el área máxima de una región rectangular de perímetro 2p.
A) 2p
4 B)
2p
2 C)
2p
8
D) 2p
16 E) 2p 2
72. Calcule las dimensiones del
rectángulo que limita la mayor área inscrita en un triángulo tal que un lado del rectángulo este contenido en un lado del triángulo, la altura y el lado correspondiente a ese lado del triángulo miden h y b.
A) h b
;2 2
B) h b
;3 3
C) h b
;4 4
D) 3 h
h;2 2
E) b h
;4 3
73. En un triángulo ABC recto en B, la prolongación de la bisectriz interior
BD intercepta a la circunferencia circunscrita al triángulo rectángulo en el punto P. Si BD a y DP b , entonces el área de la región triangular ABC es
A) b a b
2
B)
a a b
2
C) 2ab
D) ab
2 E)
3ab
2
74. En un triángulo rectángulo isósceles
ABC (AB = BC), se ubica el punto interior T. Tal que m ATB 90 y
m BAT m TBC . Si BT 8cm ,
entonces el área (en cm2) de la región BCT es A) 28 B) 30 C) 32 D) 35 E) 40
75. En una semicircunferencia de
diámetro AB , se ubica el punto medio M del arco AB y un punto F en la
prolongación del diámetro AB . La
secante FM intercepta a la semicircunferencia en Q. Si MQ a y
QF b , entonces el área de la región triangular AQB es
A) ab
4 B)
ab
2 C) ab
D) 2ab E) 2 2
2 2
a b
a b
76. En un triángulo ABC, se trazan
la altura BH y la mediana
BM M HC . Si AB 8 cm y
m ABH m HBM m MBC , entonces el área (en cm2) de la región triangular ABC es
A) 30 3 B) 32 3 C) 35 3
D) 40 2 E) 45 2
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 3er Material de Estudio
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 13 -
77. En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia cuyo radio mide 4 cm. Dicha circunferencia determina sobre uno de los lados, segmentos cuyas longitudes son 6 cm y 8cm. Entonces,
el área (en cm2) de la región triangular ABC es A) 48 B) 64 C) 72 D) 84 E) 96
78. El perímetro de un triángulo es 2p. Entonces, el área máxima de la región triangular es
A) 24p 3
9 B) 21
p8
C) 21p 3
9 D) 21
p16
E) 21p
3 3
79. Si en un triángulo, el inradio mide r,
entonces el área de la región mínima triangular es
A) 23r 3 B) 23r C) 22r
D) 2r 3 E) 26r 2
80. En un triángulo ABC las longitudes de
sus alturas son 3 cm, 4 cm y 5 cm. Entonces la longitud del radio de la circunferencia inscrita es
A) 60
47 B)
70
47 C)
80
47
D) 90
47 E)
100
47
81. En un triángulo ABC, AC b , AB c ,
BC a , el radio de la circunferencia
exinscrita relativa al lado BC es el doble del radio de la circunferencia inscrita. Demuestre que b + c = 3a
82. En un triángulo ABC, cuyos lados AB ,
BC y AC miden respectivamente 13 m, 14 m y 15 m, se trazan las
alturas AD y CE . Si el punto O, es el circuncentro del triángulo, entonces el área (en m2) del cuadrilátero EBDO es
A) 375
8 B)
375
16
C) 275
8 D)
275
16
E) 435
16
83. Las longitudes de los lados de un
triángulo son 5 cm, 6 cm y 7 cm. Entonces la longitud (en cm) del circunradio es
A) 3 2 B) 2 5
C) 5 6
4 D)
35 6
24
E) 3 6
2
84. El circunradio de un triángulo
isósceles mide 8 u y su altura relativa al lado desigual mide 10 u. Entonces el área (en u2) de la región que limita el triángulo isósceles es
A) 2 15 B) 10 10
C) 12 10 D) 5 15
E) 20 15
85. En un triángulo ABC recto en B, la
longitud del radio de la circunferencia
exinscrita relativa al lado AC es rb y la longitud del radio de la circunferencia inscrita al triángulo es r. Entonces, el área de la región triangular ABC es
A) b2r r B) br r C) br r
2
D) b3r r
2 E) b3r r
CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2014 – 1 3er Material de Estudio
CEPRE-UNI GEOMETRÍA - 14 -
86. Sea el triángulo ABC, r y ra son el inradio y el exradio relativo al lado BC. Si S es el área de la región triangular, entonces la longitud del lado BC es
A) a
a
S r r
r r B) a
a
Sr r
r r
C) a
Sr
r r D)
a
a
S r r
r r
E) a
a
S r r
r r
87. En un triángulo ABC el ortocentro es
O. En las prolongaciones de las alturas se ubican los puntos M, N y Q, tales que M, N y Q son exteriores
relativos a AB , BC y AC respectivamente. Si m AMB m BNC m AQC 90 y
AMB 1S S ; BNC 2S S y AQCS ;
demostrar 2 2 2 2ABC 1 2 3S S S S
88. En un triángulo CPE, una circunferencia de centro O es tangente en el punto B a la
prolongación de EC y a PC en el
punto A. Se ubica el punto D en EC tal que OP OD y PC CE .
Entonces la razón entre las áreas de las regiones BPC y DPE es
A) 2
2 B)
3
4 C)
2
3
D) 1
2 E) 1
89. Dado un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan las bisectrices
interiores AD y CE tales que se intersectan en el punto I. Si las áreas de las regiones triangulares AIE y CID son 2 u2 y 3 u2 entonces el área (en u2) de la región triangular EID es
A) 0,5 B) 1 C) 2
D) 1,5 E) 2
2
90. En un triángulo ABC, sobre AB y BC
se ubican los puntos E y F,
respectivamente, de modo que EF
sea paralelo a AC . Luego, en AC se ubica un punto cualquiera P y se
trazan PE y PF . Si las áreas de las regiones EBF y ABC son 4 cm2 y 25 cm2, entonces el área (en cm2) de la región triangular EPF es A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6