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Octubre 2002 • 2002 Urria 39

El problema de la cabra

EL PROBLEMA DE LA CABRA

Alberto Bagazgoitia (*)

La Resolución de Problemas (R.P) puede ser considerada como el tema estrella en el actualcurrículum de Matemáticas. Cuando se analizan, desde un punto de vista teórico o de refle-xión, cuáles son los aspectos fundamentales que habría que trabajar en la enseñanzaSecundaria, la R.P., en el sentido amplio de la expresión, alcanza un muy importante grado deconsenso entre el profesorado.

Y es que la Resolución de Problemas, además de trabajar y desarrollar estrategias más genera-les y de más alto nivel que la mera resolución de ejercicios de aplicación directa de fórmulasconocidas o recién estudiadas, permite un mejor tratamiento y una más fácil adecuación a lasdiferentes capacidades de los alumnos.

Sin embargo, en la práctica, en el aula, y sin entrar a valorar las razones por las que esto ocu-rre, la realidad no concuerda con la importancia que se le da en el plano teórico. Es evidenteque la disponibilidad por parte del profesorado, de material adecuado e interesante es condi-ción indispensable para que se vayan introduciendo actividades en esta línea.

El Problema de la Cabra que aquí se plantea ha sido objeto ya de varios artículos a lo largo deestos últimos años. Es un buen problema por varias razones:

• Permite trabajar estrategias propias de la Resolución de Problemas: Descomponer unproblema en partes más simples,

• El procedimiento de abordar el problema no es único.

• Permite diferentes niveles de dificultad según las capacidades de los alumnos: la situa-ción más elemental se puede ir complicando con sencillos cambios en el enunciado..

• Permite incorporar contenidos “tradicionales” : Trigonometría, Integrales.

Es un problema con el que se puede trabajar desde los primeros años de la Secundaria hastael último de Bachillerato. Mientras algunos alumnos se quedarán en las primeras fases del pro-blema, otros podrán llegar hasta el final, profundizando en el uso de las herramientas y cono-cimientos matemáticos necesarios para su resolución.

No se trata de que todos los alumnos aborden todas las variantes que aquí se proponen, sinoque cada uno o cada grupo las desarrolle hasta donde pueda con la colaboración del profe-sor, dentro de la metodología de la resolución de problemas.

(*) Asesor del Berritzegune de Vitoria-Gasteiz

ENUNCIADO 1: UN REDIL CUADRADO

A) Una cabra está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una de las esqui-nas exteriores de un redil de forma cuadrada, de 5 metros de lado. El redil está rodeadopor un campo de hierba. ¿En qué área puede pastar la cabra?

La Solución es muy sencilla :Las 3 cuartas partes del círculo de radio 3m.:

S = 3/4 p 32 = 27p/4 m2

B) ¿Y si la longitud de la cuerda es de 7 metros?

El alumno descompondrá la región en zonas.Por ej.:

S1: Los 3/4 del círculo de radio 7.

S2: 2 regiones de 1/4 de círculo de radio 2.

A = S1 + S2 = 3/4 p 72 + 2(1/4 p 22)

C) ¿Y si la longitud de la cuerda fuese mayor?

Se puede continuar con un proceso análogo al apartado anterior.

ENUNCIADO 2: UN REDIL TRIANGULAR

A) Una cabra está atada, mediante una cuerda de 3 metros de longitud, a una de las esqui-nas exteriores de un redil en forma de triángulo equilátero, de 5 metros de lado. El redilestá rodeado por un campo de hierba. ¿En qué área puede pastar la cabra?

El área de la región donde puede pastar la cabra es la del círculo menosla de un sector circular de 60º.

S = p 32 – (1/6)p 32 = (15/2)p m2

B) ¿Y si la cuerda mide 6 m.?

El alumno deberá descomponer la región en subzonas.Por ej:

S1 = Las 5/6 del círculo de 6 m. de radio

S2 = Cada una de las pequeñas regiones de 120º de un círculo de radio 1.

SIGMA Nº 21 • zk. 21 SIGMA40

Alberto Bagazgoitia

Con lo que el área total sería :

S = S1 + 2 S2 = (5/6) p 62 + 2(1/3) p = (30+2/3) p m2

C) ¿Y si la cuerda midiese 9 m?

Hacer una figura adecuada es imprescindible.

A la vista de la figura, la región en la que la cabrapuede pastar puede descomponerse de más deuna forma. Cada alumno o grupo de alumnospodrá encontrar la suya. Aquí se analizan tresdescomposiciones diferentes, utilizando diferen-tes métodos de resolución. (Además de las estra-tegias generales de resolución de problemas quese pueden trabajar, como hacer representacionesy dividir el problema en subproblemas, es claroque el conocimiento de diferentes herramientasmatemáticas —trigonometría, integrales— dotade mayores recursos para la resolución).

SOLUCIÓN

La región en la que la cabra puede pastar puede descomponerse como la suma de las regio-nes S1, S2, S3 y S4.

La región S1 es muy sencilla de ver y de calcular como un sector circular de 300º ( los 5/6 delcírculo ) de radio 9m. Así pues:

S1 = (5/6) p 92 m2 = 67’5 p m2

Para obtener la suma de las regiones S2 + S3 + S4 analicemos diferentes descomposiciones:

DESCOMPOSICIÓN I para el Cálculo de S2 + S3 + S4.

S2 = DGEC S3 = BEFA S4 = CEB

La Región S2 + S3 + S4 puede ser vista como la suma de las siguientes :

Sector circular de centro A : FEC (S3 + S4)Sector circular de centro D : GEA (S2 + S4)

A los que habrá que restar el área de la región S4que hemos contado dos veces.

Cada uno de los dos sectores circulares anteriores(FEC y GEA) son sectores de 120º de un círculo deradio 4m. Por tanto su área será :

Sector FEC + Sector GEA = (1/3) p 42 + (1/3) p 42 =(32/3)p = 33’5103 m2

Calculemos ahora el área de S4.



Observando la figura vemos que la mitad de esta área, concretamente la región CEH, puedeverse como la diferencia entre el sector circular (de centro A) CAE y el triángulo rectánguloHEA.

1/2 S4 = Sector CAE – Triángulo HEA

El ángulo en A del triángulo HAE, que es el mismo que el del sector CAE, se puede deducir apartir de las longitudes de los lados del triángulo que lo determinan.

AE = 4 AH = 2’5.

Por tanto, llamando a al ángulo (en A) HAE obtenemos :

Cos a = 2’5/4 = 0’625 ˛ a = 0’895665 rad = 51’3178º

Así pues, el área del Sector CAE es la de un sector de 0’855665 rad. correspondiente a un cír-culo de radio 4m.:

Sector CAE = (0’895665 / 2p) p 42 = 7’1653 m2

Y el área del triángulo HAE, será AH*EH / 2 , donde AH = 2’5 ,, EH = AE sen a

Area Triángulo HAE = (2’5 * 4 * sen 0’895665 ) / 2 = 3’9031 m2

Por tanto : 1/2 S4 = 7’1653 – 3’9031 = 3’2622 ˛ S4 = 6’5244 m2

AREA TOTAL : S2 + S3 + S4 = 33’5103 – 6’5244 = 26’9859 m2

DESCOMPOSICIÓN II PARA EL Cálculo de S2 + S3 + S4

Utilizando la misma figura anterior, se puede ver otra sencilla descomposición.

La región S4 se puede dividir en dosmitades : BEH y HEC y por tanto nospodemos limitar a calcular la mitad de laregión total (S3 + 1/2 S4) de vérticesHEFA.

Y esta región HEFA se puede descompo-ner como suma de un sector circular EAFy un triángulo rectángulo HEA (el mismocuya área hemos calculado en el apar-tado anterior). Es decir:

S3 + 1/2 S4 = Sector EAF + Area Triáng.HEA = Sector EAF + 3’9031

Calculemos el área del Sector EAF : Es un sector de b = 120º - a grados (2p/3 - a radianes) deun círculo de radio 4. Como a lo hemos calculado en el apartado anterior, a = 0’895665 rad.˛ b = 2p/3 – 0’895665 = 1’198730 rad.

Sector EAF = [b/(2p)] p 42 = 9’5898 m2

Por tanto: S3 + 1/2 S4 = 9’5898 + 3’9031 = 13’4929 ˛

S2 + S3 + S4 = 26’9858 m2


Alberto Bagazgoitia

DESCOMPOSICIÓN III PARA EL Cálculo de S2 + S3 + S4

La Geometría Analítica y el Cálculo Integral nosabren otras posibilidades diferentes. Imaginemosla figura anterior, en la que hemos fijado unosejes de referencia.

Tomaremos el eje vertical como Eje X y el hori-zontal como Eje Y.

La mitad del área que queremos calcular es laregión limitada por los vértices: AFEH

Esta región la podemos descomponer en otras dos : AFI y AIEH.

La primera, AFI, es un sector circular de 30º correspondiente a un círculo de radio 4 m. Portanto su área será :

Area AFI = 42p /12 = 4’1888 m2

La segunda, AIEH, la podemos calcular mediante el cálculo integral, como el área encerradapor la circunferencia x2 + y2 = 16, entre las abscisas 0 y 2’5.

Area AIEH = *=16 - x2 dx

Y haciendo el cambio x = 4 sen t

Area AIEH = *=16 - x2 dx = 16 *cos2 t dt = 9’3041 m2

Con lo que el área buscada será :

S2 + S3 + S4 = 2 ( 4’1888 + 9’3041 ) = 26’9858 m2

OTROS ENUNCIADOS:

Como se ha visto, cambiando la forma del redil y la longitud de la cuerda se obtienen pro-blemas de dificultad variable.

Repite el problema con un redil pentagonal, hexagonal,...

ENUNCIADO 3: REDIL CIRCULAR

A) Una cabra está atada a un poste de la periferia de un cercado circular de 10 m. de radio,mediante una cuerda de 10 m. de longitud. ¿En qué área puede pastar la cabra?

La mitad de la región en la que la cabra, que está atada al punto P (Poste), puede pastar es lalimitada por los arcos PA y CA y el segmento CP.Esta área se puede ver como el sector de centro C, PCA, más el sector decentro P, CPA, menos el triangulo equilátero PAC.

Los dos sectores PCA y CPA son iguales, 60º de un círculo de radio 10 m.Por tanto su área será :

Sector PCA + Sector CPA = 2 ((1/6) p 102) = 100 p / 3 m2

Área triángulo PAC = (10 =3 / 2 ) 10 / 2 = 25 =3 m2

Solución : La mitad del área es : (100 p / 3) - 25 =3 m2



2,5

0

2,5

0

0’675

0

OTRO MÉTODO : Para familiarizarse con el Cálculo Integral

Los alumnos deben habituarse a elegir los ejes de coordenadas de la forma más adecuada parapoder asociar a las figuras las ecuaciones más sencillas.

Tomando el origen de coordenadas en el Poste (0,0), la frontera delredil tendrá como ecuación la de una circunferencia centrada en elpunto (0,10) y de radio 10m.: x2 + (y – 10)2 = 102 y la que limita laregión en la que la cabra puede pastar será una circunferencia de radio10m. centrada en el origen : x2 + y2 = 102

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones de las circunfe-rencias se obtienen las coordenadas del punto de corte A (5=3,5).

La mitad del área buscada vendrá dada como la integral entre 0 y 5=3 de la diferencia de las“y” de las dos circunferencias.

El alumno deberá reconocer que si bien al arco de la circunferencia x2+y2 = 102 que queremosintegrar le corresponde el signo + de la raíz (y = + =(100-x2)), al arco de la otra circunferen-cia le corresponde el signo - . (y = 10 - =(100-x2)).

Por tanto el área buscada vendrá dada por la integral:

*[=100 - x2 - (10 - =100 - x2)] dx

Y haciendo el cambio habitual x = 10 sen t , e integrando en t entre los límites correspon-dientes 0 y p/3, se obtiene como en el caso anterior, que

La mitad del área es : (100 p / 3) - 25 =3 m2

B) Una cabra está atada a un poste de la periferia de un cercado circular de 10 m. de radio,mediante una cuerda de 12 m. de longitud. ¿En qué área puede pastar la cabra?

El problema es el mismo que el anterior con la dificultad añadida de queel triángulo CPA no es equilátero, sino isósceles, por lo que el cálculo delos ángulos en P y C no es inmediato y hay que utilizar el Teorema delCoseno.

La mitad de la región en la que la cabra, que está atada al punto P (Poste),puede pastar es la limitada por los arcos PA, BA y el segmento BP.

Esta área se puede ver como el sector de centro C, PCA, más el sector de centro P, BPA, menosel triangulo isósceles PAC. Para calcular el área de los dos sectores necesitamos saber losángulos, en P y C, del triángulo PAC.

Mediante el Tª del coseno, calculamos el ángulo en P.

102 = 102 + 122 - 2.10.12 cos P ̨ cos P = 3/5 ˛ P = 0’9273 rad.

Como los ángulos en P y A son iguales, el ángulo en C valdrá :

C = p - 2. 0’9273 = 1’2870 rad.

Por tanto,

Área del sector BPA: (122 / 2) 0’9273 = 66’77 m2

Área del sector PCA: (102 / 2) 1’2870 = 64’35 m2

Área triángulo PAC: PC.AP.sen P / 2 = 10.12.(4/5)/2 = 48 m2


Alberto Bagazgoitia

5=3

0

Solución:

La mitad del área será : 66’77 + 64’35 – 48 = 83’12 m2

MEDIANTE EL CÁLCULO INTEGRAL:

Análogamente a lo realizado en el Caso A), también se puede utilizar aquí el método del cál-culo integral. Así como con el procedimiento anterior, este caso B) es más complicado que elA), con la aplicación del cálculo integral no hay ninguna diferencia a lo visto en A).

Bastaría con resolver el sistema formado por las dos ecuaciones delas circunferencias:

x2 + (y – 10)2 = 102 y x2 + y2 = 122 para encontrar las coordenadasdel punto de corte A (9’6, 7’2).

La mitad del área buscada vendrá dada como la integral entre 0 y9’6 de la diferencia de las “y” de las dos circunferencias:

1/2 A = *[=144 - x2 - (10 - =100 - x2)] dx

Que resolviendo con los cambios x = 12 sen t y x = 10 sen t nos da el valor de 83’12.

C) Una cabra está atada a un poste de la periferia de un cercado circular de 10 m. de radio,mediante una cuerda. Si sólo puede pastar en la mitad de la superficie del campo, ¿Quélongitud (aproximada) tiene la cuerda?

Igual que en los casos anteriores el área en la que puede pastar lacabra será :

Área = Sector BPA + Sector PCA – Triángulo PCA

Esa área ahora es conocida y vale 1/4 p 102.

En vez de utilizar el valor 10 para el radio, usaremos a partir deahora la letra r, y sólo al final, si es necesario, usaremos el datoconcreto.

Para calcular las áreas, tanto la de los sectores como la del trián-gulo, vamos a utilizar el ángulo en P : a.

Mediante el Tª del coseno : r2 = r2 + x2 - 2rx cos a

Por tanto cos a = x / 2r

• Área sector BPA = x2 a/2

• Área sector PCA: Como el triángulo PCA es isósceles, el ángulo en C será: p - 2a. Portanto el área del sector PCA : r2 (p - 2a) / 2.

• Área triángulo PCA: (x r sen a) /2 = r2 sen a cos a.

De forma que el área en la que la cabra puede pastar se puede expresar:

p r2 / 4 = x2 a /2 + r2 (p - 2a) / 2 - r2 sen a cos a.

Y expresando x en función de a:

p / 4 = 2 a cos2 a + (p - 2a ) / 2 - sen a cos a.



9’6

0

2 a cos2 a + p / 4 - a - sen a cos a = 0

Para resolver esta ecuación podemos utilizar alguno de los programas informáticos que nosproporcionan soluciones aproximadas. Un método rápido consiste en representar gráfica-mente la función y observar sus puntos de corte con el eje X. Por las condiciones del problemaes claro que el valor de a buscado estará entre 0 y p/2 , o, afinando un poco más, entre p/4y p/2.

La gráfica siguiente está obtenida con DERIVE.

Mediante la Opción Traza, el propio programa nos ofrece las coordenadas de los diferentespuntos de la curva a medida que nos desplazamos sobre ella. Así obtenemos como soluciónaproximada de la ecuación, entre 0 y p/2 el valor a = 0’9548.

Por tanto, la longitud aproximada de la cuerda será x = 2r cos a

x = 2. 10 cos 0’9548 = 11’56 m

Mediante el CÁLCULO INTEGRAL, de forma análoga a los casos A) y B) también puede resol-verse, siendo completamente imprescindible el uso de un asistente matemático.

BIBLIOGRAFÍA:

Antonio Frías Zorrilla. “Procedimientos de resolución en un problema no rutinario”.EPSILON 1994 nº 30.

Ian D. McLachlan. “A.I.M.S. in the classroom”. MATHEMATICS TEACHER May 1994.

Elisabeth Busser. “Buscar, jugar, encontrar”. MUNDO CIENTÍFICO Abril 1999.


Alberto Bagazgoitia

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