§3 CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN SỐ CÓ GIÁ TRỊ

TUYỆT ĐỐI

Vì các phương trình và bất phương trình chứa ẩn số dưới dấu giá trị tuyệt đối chỉ

được xét trên tập hợp R các số thực, nên từ “trên R” sẽ được bỏ đi.

Thí dụ 26. Giải phương trình :

Giải.

~ ~

~

~ 08185 2 xx

~

Trả lời :

Thí dụ 27. Giải phương trình :

Giải.

Trả lời .

Thí dụ 28. Giải phương trình

Vì và , nên

~

~

Trả lời :

1

Thí dụ 29. Giải phương trình

(1)

Giải (1) ~

~

~

~

~

Trả lời. Nếu a < 0, thì nếu a > 0 thì {-a} nếu a = 0 thì ø

Thí dụ 30. Giải bất phương trình

Giải. ~

Trả lời.

Thí dụ 31. Giải bất phương trình:

Giải.

~

~

~

Trả lời .

Thí dụ 32. Giải bất phương trình :

2

Giải. Vì và , nên

Trả lời.

Thí dụ 33. Giải bất phương trình :

(1)

Giải. Nếu a > 0 thì –a < 3a

Nếu a > 0, thì 3a < -a

V V V V V

Trả lời: Nếu a < 0 thì ]- , 2a [;

Nếu a > 0 thì ] 0 , [;

Nếu a = 0 thì .

Giải phương trình (các § 420—428).

420. | 2 – 3x | - | 5 - 2x | = 0.

421. | 9 – 2x | = | 4 – 3x | + | x + 5 |.

422. |x| = | 2x + 3 | + x – 1.

423. | x + 1 | = 2 | x – 1 | + x.

424. | x + 1 | + |2 – x | - | x + 3 | = 4.

425. | x2 – 3x + 2 | = |x| - x2 + 4.

426. x2 = | 1 – 2x2 |.

3

427. .

428. .

Giải phương trình có chứa tham số (các bài 429—434).

429. 2 | x + a | - |x-2a|=3a

430.

431. |x2 – a2|=(x+3a)2.

432. x=2|x-a| -2|x-2a|.

433. |x+3a|-|x-a|=2a.

434.

Giải phương trình bằng tính toán và bằng đồ thị (các § 435—444).

435. |x|=x+1.

436. |3x- 1|=3-x.

437. |x|+|x-1|=1.

438. X2 -|x|-6=0.

439. |4+3x-x2|=x2-3x-4.

440.

441. |x+1|=x+3.

442. |3x+1|=5+6x.

443. |1-|x||=1.

444. |x2+2x-3|=3-2x-x2.

4

Giải bất phương trình (các § 445—463)

|

5

Giải các phương trình có chứa tham số: (các § từ 464- 469)

464.

465.

466.

467.

468.

469.

Giải bất phương trình bằng tính toán và bằng đồ thị ( bài 470- 475)

470.

471.

472.

473.

474.

475.

§ 9 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ MỘT ẨN SỐ

6

Vì chúng ta chỉ xét phương trình vô tỉ trên tập R các số thực, nên từ “ trên R” sẽ bỏ đi.

Ví dụ:giải phương trình:

(1)

Giải:

* Phương pháp thứ nhất:

Trả lời: {3}

* Phương pháp thứ 2:

Kiểm tra(bằng cách thay các giá trị tìm được vào phương pháp đã cho)

1/ x=0.

vì vậy 0 không thỏa.

2/ x=3.

Thỏa.

Trả lời {3}.

Ví dụ 35: Giải phương trình:

7

Giải:

Trả lời: [1/2;2]

Phương pháp thứ 2 nêu trong thí dụ 34, ở đây không áp dụng được, vì không thể kiểm tra

bằng cách thay thế vào phương trình đã cho mỗi số của ]- , 2]

Thí dụ 36: Giải phương trình: (1)

Giải:

8

Trả lời: {-3/4}

Ví dụ 37: Giải phương trình:

Giải: 1

Để thấy rõ, chẳng hạn x=-5/2 là nghiệm, ta hãy xét xem đẳng thức :

đúng hay bất đẳng thức

đúng.

Giả sử a= khi đó, . Phương trình (3)

Có nghiệm duy nhất là . Nghĩa là, đẳng thức (2) đúng.

Trả lời: {-5/2, 0, 5/2}

1 Vì tác giả có sơ sót nên người dịch đã giải lại và cách giải trên đây là của người dịch

9

Ví dụ 38: Giải phương trình:

Giải:

Trả lời:

+ Nếu a=0, thì ]- , 0[

+ Nếu a 0, thì { }

ví dụ: Giải phương trình:

giải:

10

trả lời:

+ Nếu a=b=0 thì ]- , 0]

+ Nếu a b>0, thì { }

+ Các trường hợp còn lại:

Đề thi khối A – 2007. Xác định tham số m để phương trình sau có nghiệm thực

Giải

ĐK: x1. Ta có PT tương đương

3t2-2t+m=0 , với , 0t<1.

PT đã cho có nghiệm thực khi và chỉ khi 3t2-2t = – m có nghiệm t[0 ,1)

Từ BBT suy ra:

11

Giải các phương trình sau:

476.

477.

478.

479.

480.

481.

482.

483.

484.

485.

486.

487.

488.

489.

490.

491.

492.

493.

494.

495.

496.

497.

498.

12

499.

Giải phương trình bằng đồ thị ( các bài 500- 503)

500. 501.

502. 503.

Giải các phương trình có chứa tham số: (các bài 504- 524)

504.

505.

506.

507.

508.

509.

510.

511.

512.

513.

514. 2x+2ax+ =0

515.

516.

517.

518.

13

519.

520.

521.

522.

523.

524.

Bài 10 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ MỘT ẨN SỐ

Vì bất phương trình chỉ xét trên tập R các số thực nên từ “trên R” bỏ đi.

Ví dụ 40: Giải bất phương trình:

Giải

trả lời: ]- , -2] [5, [

14

ví dụ 41: giải bất phương trình:

Giải:

Trả lời: [-2,2].

Ví dụ 42. giải bất phương trình :

(1)

Giải: (1)

-Trả lời: [4,5] U [6,7].

-Thí dụ 43:Giải bất phương trình :

Giải:2

2 Cách giải trên đây là của người dịch. Trong cách giải của tác giả có chỗ sơ sót (N. D.).

15

(*) xem hinh 9. _ -2 0 _ 3 x

+

Hình 9

Trả lời:

Thí dụ 44. Giải bất phương trình : (1)

Giải, dễ dàng thấy rằng với a 0 bất phương trình đã cho không có nghiệm .

Khi đó

Trả lời: Nếu a > 2, thì Nếu , thì .

Thí dụ 45. Giải bất phương trình :

16

Giải:

Trả lời:

+ Nếu a<0,thì [-2a, ];

+ Nếu a>0, thì [-a, ];

+ Nếu a=0, thì .

17

Giải bất phương trình (các bài 525-541):

18

19

Giải bất phương trình bằng đồ thị (các bài 542-545).

Giải bất phương trình có chứa tham số (các bài 546-561).

20

Bài 11.PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT MỘT ẨN SỐ

Vì các phương trình mũ và lôgarit chỉ xét trên tập hợp B các số thực nên từ ((trên R )) sẽ bỏ

đi.

Thí dụ 46: Giải phương trình :

(1) 22x+2 + 3.2x-1=0.

Giải . (1)~ 4.22x + 3.2x – 1 =0 ~ 2x =

~ x= -2

Trả lời: {-2}.

Thí dụ 47: Giải phương trình: (1) 4-x – 3-x – 1/2 = 31/2 – x – 2 -2x – 1.

Giải: (1) ~ 2 -2x + 2 -2x – 1 = 3 x/2 + 3 –x - ½ ~3.2 -2x – 1 = 4.3 –x – ½ ~ lg3 – (2x+1)lg2 = lg4-

-(x+1/2 )lg3 ~ (lg3 – 2lg2)x = -3/2(lg3 -2lg2) ~ x = -3/2.

Trả lời: { -3/2}.

Thí dụ 48: Giải phương trình :

21

Giải: (1)

Trả lời: .

Thí dụ 49: Giải phương trình :

logax = loga(x+ 6) – loga (x+2), trong đó a>0, a .

Giải:

(1) ~ loga x + loga (x+2) = loga (x+6) ~

Trả lời: {2}.

22

Giải phương trình (các bài 562-574):

23

Bis. Giải phương trình 7x =1+6x

24

Giải phương trình bằng đồ thị(các bài 580-600):

25

26

Giải phương trình bằng đồ thị(các bài 601-604).

604.bis1.

Giải phương trình có chứa tham số (các bài 605-617)

27

Bài 12.BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT MỘT ẤN SỐ

Vì các bất phương trình chỉ được xét trên tập hợp R các số thực , nên từ “trên R “ sẽ bỏ đi.

Thí dụ 50: Giải BPT:

Giải: (1)

Trả lời:

Thí dụ 51: Giải BPT : (1)

Giải: (1) ~

Trả lời:

Thí dụ 52: Giải Bất phương trình :

, trong đó a>0,

28

Giải(1)~

đặt y = ax, ta được:

(*) Xem hình 10:

_ + _ +

½ 1 2 y

Hình 10.

Vì y>0, nên ta được : . Nếu 0<a<1, thì Nếu

a>1, thì

Trả lời: Nếu 0<a<1, thì ;

Nếu a>1, thì .

Thí dụ 53: Giải bất phương trình : , trong đó a>0, .

Giải:

~

(*) Xem hình 11.

29

- + - +

-3 0 1

Hình 11

Trường hợp 1:

0 < a < 1. Khi đó ta được: 0 < x < a 1 < a < a-3.

Trường hợp 2:

a > 1. Khi đó ta được: a-3 < x <1 x > a.

Trả lời: Nếu 0 < a < 1 thì

Nếu a >1 thì

Giải bất phương trình ( các bài 618 – 640).

618.

619.

620.

621.

622.

623.

624.

625.

626.

627.

628.

629.

30

630.

631.

632.

633.

634.

635.

636.

637.

638.

639.

640.

Giải bất phương trình bằng đồ thị ( các bài 641 – 646 )

31

641.

642.

643.

644.

645.

646.

32

Giải bất phương trình có chứa tham số ( các bài 647 – 658 )

647.

648.

649.

650.

651.

652.

653.

654.

655.

656.

657.

658.

§13. HỆ (hội) VÀ TUYỂN PHƯƠNGTRÌNH

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử liên tiếp các ẩn ( các ví

dụ 54 – 56 ).

Ví dụ 54:

trên

Giải:

-2

3

-1

-5

33

MĐ(1) =

Trả lời:

Ví dụ 55:

trên

Giải:

-2

-1

-2 1

7

34

Trả lời : { (3 , 2 , 1) }

Ví dụ 56:

trên

Giải:

1

4

-2 -13-2

-2 1

5

-3 -2

-2

35

Trả lời: {(x, y, 1-3x-4y,1) }

Ví dụ 57: Giải hệ

trên

Giải:

Phương pháp thứ nhất (phương pháp khử liên tiếp các ẩn).

B =

* Trường hợp thứ nhất: a 0 và a -1

B

Trường hợp thứ hai : a = 0

B = MĐ(1) =

Trường hợp thứ ba : a = -1

B = x-3y=1 x=3y+1

Trả lời:

Nếu a 0 và a 1 thì ;

Nếu a=-1 thì ;

-a

-3a

36

Nếu a=0 thì

Phương pháp thứ hai (dùng định thức):

Trường hợp thứ nhất: , nghĩa là a 0 và a -1

Khi đó hệ (1) có nghiệm duy nhất:

có nghĩa là

Trường hợp thứ hai: , nghĩa là a = 0 hoặc a = -1

a) a=0. Khi đó hệ (1) không có nghiệm

b) a=-1.Khi đó hệ (1) , nghĩa là hệ

(1) có vô số nghiệm

Trả lời:

Nếu a 0 và a -1 thì ;

Nếu a=-1 thì ;

Nếu a=0 thì

Ví dụ 58: Giải hệ (I) trên R.

Giải:

Trường hợp thứ nhất:

Nếu y = 0 và z = 0 thì xR.

Tương tự nếu z = 0 và x = 0 thì yR. và x = 0 và y = 0 thì xR.

37

Trường hợp thứ hai:

a) Giả sử (x, y, z) là nghiệm của hệ (I). Khi đó:

b) Thử lại: thay trực tiếp các giá trị x, y, z vừa tìm được vào hệ phương trình

(1) ta thấy:

là các nghiệm của hệ (I)

Trả lời:

(4)

(5)

(6)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

38

Lập luận đưa ra ở điểm a) có thể biểu diễn bằng lược đồ như sau:

Ví dụ 59: Giải tuyển phương trình:

Giải:

1)

2)

Trả lời: { 0 , 3 }

Ví dụ 60: Giải tuyển phương trình:

Giải:

39

1)

2)

Trả lời: { -2 , 0 , 3 }

Giải hệ phương trình trên ( các bài 659 – 661):

659. 660.

661.

Giải tuyển phương trình trên ( các bài 662 – 670):

666.

667.

668.

669.

670.

662.

664.

663.

665.

40

Giải hệ phương trình bằng phương pháp khử liên tiếp các ẩn (các bài 671 – 676):

671. trên C

672. trên Q

673. trên R

674. trên R

675. trên Q

676. trên Q

Giải hệ phương trình (các bài 677 – 683):

677. trên R

678. trên R

41

679. trên C. 680. trên C

681. trên C 682. trên C

683. trên R

684. trên R

684. Giải hệ phương trình

Ta có hệ tương đương

Từ (1), (2) suy ra: (4)

Từ (2), (3) suy ra: (5)

Từ (3), (1) suy ra: (6)

1. Nếu x+y=0, từ (1) suy ra x=0 và do đó y=0.

Thay x=y=0 vào (3) có:z2=3z . Như vậy có: (0,0,0) và (0,0,3).

2. Nếu y+z=0, từ (2) suy ra y=0 và do đó z=0

Thay y=z=0 vào (1) có: x2=x . Như vậy có: (0,0,0) và (1,0,0).

3. Nếu x+z=0, từ (3) suy ra z=0 và do đó x=0.

Thay x=z=0 vào (2) có y2=2y . Như vậy có: (0,0,0) và (0,2,0).

4. Nếu (x+y)0 , (y+z)0 , (z+x)0.

Từ (4), (5), (6) suy ra:

42

. Thử lại nghiệm…

685. trên R

Từ (1) suy ra: z = – (x+y) thay vào (2), (3) có:

x+y=0:

2(x2 –xy +y2)-3xy=0 2x2 –5xy +2y2 =0 (x -2y)(y-2x) =0

686. trên R

687. trên R

688. trên R

689. Chứng minh rằng (0, 0, 0) là nghiệm duy nhất của phương trình:

trên R

690. Chứng ming rằng nếu:

thì x1 = x2 = … = x99 = x100 = 0

43

Giải hệ phương trình có chứa tham số (Từ bài 691 – 702)

691. trên R 692. trên C

693. trên C 694. trên R

695. trên R 696. trên R

697. trên R 698. trên R

699. trên R 700. trên C

699.

Giải: 4x2y2 – 4a2xy – a4=0

701. trên R, (a+1)(b+1)(c+1) > 0

702. trên R, a, b, c 0, a+b+c > 0

703. Khử x, y của hệ:

trên C

704. Khử a, b, c của hệ:

44

trên R, a, b, c 0

705. Khử x, y, z của hệ:

trên R, a, b, c 0

706. Khử x, y, z của hệ:

trên R.

Giải hệ phương trình trên R (Các bài 707 – 722)

707. 708.

709. 710.

711. 712.

713. 714.

715. 716.

717. 718.

718. Giải hệ

45

719. 720.

721. 722.

Giải hệ phương trình có chứa tham số trên R (các bài 723 – 726)

723. (a > 0) 724.

725. 726. Giải hệ

Giải hệ phương trình trên R ( Các bài 727 – 737)

727.

728. 729.

730. 731.

732. 733.

734. 735.

736. 737.

Giải hệ phương trình có chứa tham số trên R (Các bài 738 – 743)

46

738. 739.

740.

741.

742.

742. 743.

BÀI 14. HỆ (Hội) VÀ TUYỂN BẤT PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU BIẾN

Vì bất đẳng thức chỉ được xét trên tập R các số thực, nên từ “trên R” ta sẽ bỏ đi.

Ví dụ 61. Giải hệ bất phương trình:

(1)

Giải:

(1) ~

47

Ta vẽ những đường thẳng cho bởi các phương trình y=x, y=4-x, và đánh

dấu nửa mặt phẳng biểu diễn tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình y<x, y<4-x,

(Hình 12). Giao của ba nửa mặt phẳng nhận được là tam giác ABC (bỏ biên).

Giải phương trình

(đối với A)

x=4-x (đối với B)

(đối với C)

Ta tìm được hoàng độ của các

điểm A, B và C:

xA = -1, xB = -1, xC = -1

Khi đó (1)

~

V

Trả lời:

Ví dụ 62: Giải hệ bất phương trình:

(1)

Giải:

Hình 12

y=1/2x-1/2

y=xy=4-x

A

0

BV

C-1

2 3

48

Trả lời:

+Nếu a<0, thì

+Nếu a>0, thì

+Nếu a=0, thì

Ví dụ 63: Giải tuyển bất phương trình

Giải:

1)

2)

Trả lời:

Giải hệ bất phương trình (Các bài 744 – 750)

49

744.

745.

746.

747.

748.

749.

750.

Giải tuyển bất phương trình (Các bài 751 – 755)

751. 752.

753.

754.

755.

Giải hệ bất phương trình có chứa tham số (Các bài 756 - 761)

756. 757.

50

758. 759.

760. 761.

Chỉ ra hệ bất phương trình hoặc tuyển của hệ bất phương trình với các biến x, y, mà

tập hợp tất cả các nghiệm của nó được biểu diễn bởi miền được cho (với biên) trên mặt

phẳng XOY (Các bài 762 – 764).

762. Xem hình 13

763. Xem hình 14

764. Xem hình 15

Hình 13 Hình 14

51

Hãy chỉ ra trên mặt phẳng XOY, hình ảnh tập hợp tất cả các nghiệm của hệ bất

phương trình đã cho (Các bài 765 – 769)

765. 766.

767. 768.

769.

Giải các hệ bất phương trình có hai ẩn số bằng đồ thị và bằng phương pháp giải tích

(Các bài 770 – 782)

770. 771.

772. 773.

774. x + y – 2 > 0 775. x + y – 4 > 0

x – y > 0 x – y – 4 < 0

3x – y -6 < 0 3x + y + 4 > 0

776. x > 0 777. y > x2

y > 0 y < 1

Hình 15

52

y < 2x y < x + 1

y > x 778. x > y2

y < x – 2 < 0

779. y > 0 780. y x2

y < + 1 y 4 – x2

y <

781. | x + 2y | 2 782. | x - 2y | 2

| y | 1 4x + 3y 1

2x + y 0 | x | 3

53