39810740 เมทริกซ์ A

เอกสารประกอบการเรยีนวิชาคณติศาสตรเสริม 4(2) หนาที่ 1 ของจํานวน 63 หนา

หนวยการเรียนที ่ 1 เรื่อง เมทริกซ

โรงเรียนเซนตฟรังซีสเซเวียร

โรงเรียนเซนตฟรังซีสเซเวียร

เอกสารประกอบการเรียน วิชาคณิตศาสตรเสริม 4(2) รหัสวิชา ค 31202

ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 4 ประจําภาคเรียนที่ 2

หนวยการเรียนที่ 1 เร่ือง เมทริกซ

CONCEPT MAPPING

สมบัติของดิเทอรมินันต

สมบัติของอินเวอรส

การบวกเมทริกซ

ชนิดของเมทริกซ โดยวิธีการดําเนินการตามแถวเบ้ืองตน โดยวิธดีีเทอรมินันต

โดยใชอินเวอรสของเมทริกซ

การหาคําตอบของระบบสมการ

การเทากันของเมทริกซ สัญลักษณของเมทริกซ

สมบัติเก่ียวกับการบวก สมบัติของเมทริกซสลับเปล่ียน

โคแฟกเตอร แอดจอยซ

สมบัติของแอดจอยซ

อินเวอรสของเมทริกซ

การคูณเมทริกซดวยเมทริกซ

การคูณเมทริกซดวยจาํนวนจริง

การคูณเมทริกซ

เมทริกซสลับเปล่ียน

สมบัติเก่ียวกับการคูณ

ดีเทอรมินันต เมเมททริกซและดีเทอรมินันตริกซและดีเทอรมินันต


หนวยการเรียนที ่1 เรื่อง เมทริกซ

โรงเรียนในเครอืคณะภคินีเซนตปอล เดอ ชารตร

5231

4582

5012

ในป ค.ศ. 1973 วาสซิเลย เลออนทิฟ (Wassiley Leontief) ไดรับรางวัลโนเบลทางดานเศรษฐศาสตร จากผลงานที่

ไดพัฒนาแบบจําลองทางคณิตศาสตร เพื่อใชในการอธิบายสภาวะตาง ๆ ทางเศรษฐศาสตร ซ่ึงแบบจําลองที่ทานไดพัฒนา

นั้นเปนการนําเมทริกซมาใช และนับวันเมทริกซจะมีความสําคัญขึ้นเร่ือย ๆ เนื่องจากมีการนําไปประยุกตใชในศาสตร

สาขาตาง ๆ มากขึ้น

1. ความหมายของเมทริกซ

โรงงานผลิตเส้ือผาแหงหนึ่งทําบันทึกรายการสินคาที่ผลิตไดใน 1 วัน ดังนี้

รายการสินคา ขนาด S ขนาด M ขนาด L ขนาด XL

เส้ือ 180 250 100 85

กางเกง 220 200 150 50

กระโปรง 60 170 80 25

จากตารางขางตนอาจเขียนส้ัน ๆ เปน

2580170605015020022085100250180

หรือ

2580170605015020022085100250180

ในวิชาคณิตศาสตรเรียกกลุมของจํานวนที่เขียนเรียงกับเปนแถว แถวละเทา ๆ กัน และถูกปดลอมดวยวงเล็บ ( )

หรือ [ ] วา เมทริกซ (Matrix)

จํานวนแตละจํานวนในวงเล็บ เรียกวา สมาชิกของเมทริกซ ( element หรือ entry ) สมาชิกในแนวนอน เรียกวา

แถว (row) และสมาชิกในแนวต้ัง เรียกวา หลัก หรือ สดมภ (column)

ตําแหนงของสมาชิกของเมทริกซมีความสําคัญตอความหมายของเมทริกซมาก เพราะถาสลับตําแหนงของสมาชิก

เพียง 2 สมาชิก จะไดเมทริกซที่ตางไปจากเมทริกซเดิม เชน

654321

และ

651324

ตางกัน

2. การบอกตําแหนงของสมาชิกของเมทริกซ

พิจารณาจากตําแหนงของแถวและหลัก ดังนี้

แถวที ่

3

2

1

หลักที่ 1 2 3 4

สําหรับเมทริกซขางตน สมาชิกของเมทริกซในแถวที่ 1 หลักที่ 2 คือ 1

สมาชิกของเมทริกซในแถวที่ 2 หลักที่ 4 คือ 4

สมาชิกของเมทริกซในแถวที่ 3 หลักที่ 3 คือ 2

แนวคิดเกีย่วกบัเมทริกซ




3. มิติและสัญลักษณของเมทริกซ

เมทริกซที่มี m แถว และ n หลัก(สดมภ) เรียกวา m × n เมทริกซ (อานวาเอ็มคูณเอ็นเมทริกซ) และกลาววา

เมทริกซนี้มีมิติ (order) หรือขนาด m × n และมีสมาชิก mn จํานวน ตัวอยางเชน

− 02

21 เปน 2 × 2 เมทริกซ มีมิติเปน 2 × 2

−

53

เปน 2 × 1 เมทริกซ มีมิติเปน 2 × 1

[ ]0 เปน 1 × 1 เมทริกซ มีมิติเปน 1 × 1

เพื่อความสะดวกในการกลาวถึงเมทริกซ จะใชอักษรตัวใหญภาษาอังกฤษ A, B, C, … แทนเมทริกซ และใช

อักษรตัวเล็ก a, b, c, … ที่มีตัวเลขสองตัวเขียนตอไวทางขวาในระดับตํ่าลงไปเล็กนอยแทนสมาชิกของเมทริกซ A, B, C, …

ตามลําดับ เชน A =

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

, B =

232221

131211bbbbbb

ตัวเลขที่เขียนไวกับอักษร a , b เปนตัวเลขที่ใชบอกตําแหนงของสมาชิกของเมทริกซ เลขตัวแรกแสดงวาสมาชิกตัวนั้น

อยูแถวใด เลขตัวหลังแสดงวาอยูหลักใด เชน a23 เปนสมาชิกของ A ที่อยูใน แถวที่สอง หลักที่สาม เปนตน

เชน ถากําหนด A =

752143

จะได a12 = 4 , a23 = 7 , a22 = 5 เปนตน

ถา A เปน m × n เมทริกซ มี ija เปนสมาชิกของเมทริกซ ซ่ึงอยูในแถวที่ i หลักที่ j โดยที่ i = 1, 2, …, m

และ j = 1, 2, …, n จะเขียนเมทริกซ A ไดในรูป nmij ]a[ × ดังนี้

A = nmij ]a[ × =

mn2m1m

n22221

n11211

aaa

aaaaaa

ในเร่ืองนี้จะแนะนําใหรูจักเมทริกซเฉพาะบางเมทริกซ เพื่อจะไดนําความรูที่ไดเปนพื้นฐานในการศึกษาเร่ืองตอ ๆ ไป

1. เมทริกซแถว (Row matrix) คือ เมทริกซที่ประกอบดวยจํานวนแถวเพียงแถวเดียว

เชน A = [ ]7 5 2 0 เปนเมทริกซที่มีมิติเปน 41×

2. เมทริกซหลัก (Column matrix) คือ เมทริกซที่ประกอบดวยจํานวนหลักเพียงหลักเดียว

เชน A =

−

21

เปนเมทริกซที่มีมิติเปน 12×

3. เมทริกซศูนย (Zero matrix) คือ เมทริกซที่มีสมาชิกทุกตัวเปน 0

เชน A =

000000

ในที่นี้จะใช 0 เปนสัญลักษณแทนเมทริกซศูนย ดังนั้น เมทริกซศูนยขางตนเขียนไดเปน 0 มิติ 32×

ชนิดของเมทริกซ




4. เมทริกซจัตุรัส (Square matrix) คือ เมทริกซที่มีจํานวนแถวเทากับจํานวนหลัก

เชน A =

−

4321

เปนเมทริกซที่มีมิติเปน 22×

หมายเหตุ 1. ถา A เปนเมทริกซจัตุรัสมิติ 22× เราอาจเขียนในรูป 22A × หรือ 2A ก็ได นั่นคือ

ถา A เปนเมทริกซจัตุรัสมิติ nn× เราอาจเขียนในรูป nnA × หรือ nA ก็ได

2. เมทริกซจัตุรัสจะมีสมาชิกในแนวเสนทแยงมุม 2 ลักษณะ คือ ทแยงมุมจากซายบนลงมา

ขวาลาง กับทแยงมุมจากซายลางขึ้นไปขวาบน แตส่ิงที่เราจะกลาวถึงอยูบอย ๆ ก็คือ สมาชิกในแนวเสนทแยงมุมจากซาย

บนลงมาขวาลาง เราเรียกเสนทแยงมุมในแนวนี้วา “เสนทแยงมุมหลัก” (main diagonal)

5. เมทริกซเฉียง (Diagonal matrix) คือ เมทริกซจัตุรัสที่มีสมาชิกในเสนทแยงมุมหลักเปนจํานวนจริงใด ๆ และ

สมาชิกนอกแนวนี้เปนศูนยหมดทุกตัว

เชน A =

100

030

004

6. เมทริกซสมมาตร (Symmetric matrix) คือ เมทริกซจัตุรัสที่มีสมบัติวา ija = jia

เชน A =

035381512

7. เมทริกซเสมือน (Skew matrix) คือ เมทริกซจัตุรัสที่มีสมาชิกตามแนวเสนทแยงมุมหลักเปนศูนยหมด และ

เปนเมทริกซที่มีสมบัติวา ija = jia−

เชน A =

−−

−

035301510

8. เมทริกซสามเหล่ียม (Triangular matrix) คือ เมทริกซจัตุรัสที่มีสมาชิกที่อยูดานบนหรือดานลางของแนวเสน

ทแยงมุมหลักเปนศูนยหมด

เชน A =

−−

164043002

, B =

−

100940

1082

9. เมทริกซสเกลาร (Scalar matrix) คือ เมทริกซจัตุรัสที่มีสมาชิกตามแนวเสนทแยงมุมหลักมีคาเทากันทุกตัว

สวนสมาชิกนอกแนวนี้เปนศูนยหมด

เชน A =

1001

, B =

−−

−

200020002




บทนิยาม

ถา A เปน m × n เมทริกซใด ๆ แลว เมทริกซสลับเปล่ียนของ A คือ n × m เมทริกซ ที่มีหลักที่ i เหมือนแถวที่ i

ของเมทริกซ A เม่ือ i = 1, 2, …, m

หมายเหตุ ใชสัญลักษณ tA แทน เมทริกซสลับเปล่ียนของ A (Transpose of A)

ตัวอยางที่ 1 กําหนดให A =

3421

จะได tA =

3241

B =

− 2

0 จะได tB = [ 0 −2]

C =

fedcba

จะได tC =

fdbeca

เมทริกซสลับเปล่ียนมีสมบัติที่นาสนใจหลายประการ ในที่นี้จะกลาวแตเพียงตัวสมบัติโดยยกเวนการพิสูจนทั่วไป

ดังนี้

สมบัติของเมทริกซสลับเปลี่ยน

1. ถา A เปนเมทริกซใด ๆ แลว A)A( tt =

2. ถา A เปนเมทริกซใด ๆ และ k เปนจํานวนจริงแลว tt Ak)Ak( ⋅=⋅

3. ถา A และ B เปนเมทริกซที่มีมิติเทากันแลว ttt BA)BA( ±=±

4. ถา nmij ]a[A ×= และ nmij ]b[B ×= แลว ttt AB)AB( =

5. ถา A เปนเมทริกซสมมาตรแลว จะได AA t =

6. ถา A เปนเมทริกซเสมือนแลว จะได tA = A−


เมทริกซ 2 เมทริกซใด ๆ จะเทากันไดก็ตอเม่ือ เมทริกซทั้งสองนั้นมีมิติเดียวกันและมีสมาชิกที่อยูในตําแหนงเดียวกันเทากัน

เชน A =

6453

, B =

×++

3222512

จะได A = B เพราะวา A และ B เปน 2 × 2 เมทริกซ และสมาชิกที่อยูในตําแหนงเดียวกันมีคาเทากัน

แต

654321

≠

854321

เพราะสมาชิกในแถวที่ 2 หลักที่ 3 ไมเทากัน

การเทากันของเมทริกซ

เมทริกซสลบัเปลี่ยน (Transpose of A)




ตัวอยางที่ 2 จงหาคาของตัวแปรที่ทําใหสมการเมทริกซที่กําหนดใหเปนจริง

1)

43x1

=

4321

เมทริกซทั้งสองเทากัน ก็ตอเม่ือ x = 2 ดังนั้น x = 2 #

2)

− 55x33y

=

−+

554331x

เมทริกซทั้งสองเทากัน ก็ตอเม่ือ y = x + 1 และ x = 4 ดังนั้น y = 4 + 1 = 5 #

ตัวอยางที่ 3 จงหาคาของ x และ y ที่ทําใหสมการเมทริกซตอไปนี้เปนจริง

−−+

yxyx

=

5

3

วิธีทํา เมทริกซทั้งสองเทากัน ก็ตอเม่ือ yx + = 3 และ yx −− = 5

นั่นคือ 3 = 5− ซ่ึงเปนไปไมได

ดังนั้น ไมมีจํานวนจริงคูใดที่แทน x และ y แลว ทําใหสมการเมทริกซที่กําหนดใหเปนจริง #

รานขายเส้ือผาแหงหนึ่งทําบันทึกรายการเส้ือและกางเกงที่ขายไดในเดือนมกราคม 2545 ดังนี้

รายการสินคา ขนาด S ขนาด M ขนาด L

เส้ือแขนส้ัน 11 28 8

เส้ือแขนยาว 8 20 5

กางเกงขาส้ัน 23 16 18

กางเกงขายาว 15 22 10

สมมุติวาในเดือนกุมภาพันธ 2545 รานขายเส้ือผาแหงนี้ขายสินคาทั้ง 4 ชนิดได ดังนี ้






ถาตองการทราบวาในสองเดือน (มกราคมและกุมภาพันธ) รานขายเส้ือผาแหงนี้ ขายเส้ือและกางเกงแตละชนิดได

เทาไร ตองเอาจํานวนในตารางขางตนที่อยูในตําแหนงเดียวกันมาบวกกัน ซ่ึงจะไดผลลัพธ ดังนี ้






การบวกเมทริกซ




ถาเขียนแสดงจํานวนเส้ือและกางเกงในเดือนมกราคมและเดือนกุมภาพันธ ดวยเมทริกซ A และ B ตามลําดับจะได

A =

102215181623520882811

และ B =

1521106178222015182510

ให C เปนเมทริกซที่ไดจากการบวกสมาชิกในตําแหนงเดียวกันของเมทริกซ A และ B จะได

C =

++++++++++++

1510212210156181716823

225202015818825281011

=

254325243331274023265321

จากตัวอยางขางตนจะเห็นวา ถาตองการบวกเมทริกซโดยบวกสมาชิกในตําแหนงเดียวกันเขาดวยกันแลว จะตอง

กําหนดสมบัติของเมทริกซที่บวกกันดวยวา เมทริกซทั้งคูตองมีมิติเดียวกัน และนิยามการบวกเมทริกซไดดังนี้

จากบทนิยามขางตนอาจเขียนในรูปสัญลักษณไดเปน

ถา A = nmij ]a[ × และ B = nmij ]b[ × แลว BA + = nmijij ]ba[ ×+

ตัวอยางที่ 4 กําหนดเมตริกซ A =

−

−

140312

และ B =

−

−

453210

จงหา A+B และ B +A

วิธีทํา A + B =

−

−

140312

+

−

−

453210

=

−++++−−+−+

)4(154302)3()1()1(02

=

−−

−

393122

#

B + A =

−

−

453210

+

−

−

140312

=

+−++−+−+−+

1)4(4503)3(2)1()1(20

=

−−

−

393122

#

ขอสังเกต ถา A และ B เปน nm× เมตริกซ จะไดวา ABBA +=+

ตัวอยางที่ 5 จงหาเมตริกซ A + B เม่ือ A =

−−

24033.01

และ B =

−

−

643021

วิธีทํา เนื่องจาก เมตริกซ A มีมิติเปน 2 × 3 และ เมตริกซ B มีมิติเปน 3 × 2

ดังนั้น จึงหา A + B ไมได เพราะ A และ B มีมิติตางกัน #

ในทํานองเดียวกันกับเร่ืองจํานวนจริง ซ่ึงเราทราบวา 5 − 3 หมายถึง 5 + (− 3) จะนิยามการลบของเมตริกซ

A , B ซ่ึงมีมีมิติเดียวกัน โดยอาศัยบทนิยามการบวกไดดังนี้


ถา A และ B เปน m × n เมตริกซ แลว A − B = A + (− B)


ถา A และ B ตางก็เปนเมทริกซที่มีมิติ m × n สามารถหาเมทริกซ BA + ไดโดยนําสมาชิกที่อยูในตําแหนง

เดียวกันของ A และ B มาบวกกันและเมทริกซ BA + จะมีมิติ m × n ดวย




หรือ ถา A = nmij ]a[ × และ B = nmij ]b[ ×

แลว BA − = nmijij ]b)1(a[ ×−+

= nmijij )]b(a[ ×−+

= nmijij ]ba[ ×−

ตัวอยางที่ 6 กําหนด A =

−−

7432

และ B =

−−

8594

จงหา A − B

A − B =

−−

7432

−

−−

8594

=

−−−−−−−−

)8(75493)4(2

=

−

−11

126 #

ถา A = nmij ]a[ × , B = nmij ]b[ × C = nmij ]c[ × และ nm]0[0 ×= แลว

1) สมบัติปด

BA + เปน nm× เมทริกซ

พิสูจน โดยบทนิยามของการบวก จะไดวา BA + = nmijnmij ]b[]a[ ×× +

= nmijij ]ba[ ×+ ; ija และ ijb เปนจํานวนจริง

2) กฎการสลับที่

BA + = AB +

พิสูจน BA + = nmij ]a[ × + nmij ]b[ ×

= nmijij ]ba[ ×+

= nmijij ]ab[ ×+

= nmij ]b[ × + nmij ]a[ ×

= AB+

3) กฎการเปลี่ยนกลุมได

C)BA( ++ = )CB(A ++

พิสูจน (A+B)+C = ( nmij ]a[ × + nmij ]b[ × ) + nmij ]c[ ×

= nmijij ]ba[ ×+ + nmij ]c[ ×

= nmijijij ]c)ba[( ×++

= nmijijij )]cb(a[ ×++

= nmij ]a[ × + nmijij ]cb[ ×+

= nmij ]a[ × + ( nmij ]b[ × + nmij ]c[ × )

= A + (B + C)

สมบัติ 3) ทําใหเราสามารถแทน )CB(A ++ ดวย CBA ++ โดยไมเกิดความสับสน

สมบตัิเกี่ยวกับการบวกเมทริกซ




4) สมบัติการมีเอกลักษณการบวก

AA00A =+=+

พิสูจน เพราะวา A+0 = nmnmij ]0[]a[ ×× + = nmij ]0a[ ×+ = nmij ]a[ × = A

และ 0+A = nmijnm ]a[]0[ ×× + = nmij ]a0[ ×+ = nmij ]a[ × = A

เรียก 0 วา เอกลักษณการบวกภายในเซตของ nm× เมทริกซ

5) สมบัติการมีตัวผกผันการบวก

A)A(0)A(A +−==−+

พิสูจน เพราะวา A + (−A) = A + (−1)A

= nmij ]a[ × + nmij ]a[ ×−

= nmijij ]aa[ ×−

= nm]0[ ×

= 0

(−A) + A = (−1)A + A

= nmij ]a[ ×− + nmij ]a[ ×

= nmijij ]aa[ ×+−

= nm]0[ ×

= 0

เรียก A− วา ตัวผกผันการบวกของ A

6) กฎการตัดออก

กฎการตัดออกทางซาย : ถา CABA +=+ แลว CB =

กฎการตัดออกทางขวา : ถา ACAB +=+ แลว CB =

พิสูจน กฎการตัดออกทางซาย

เพราะวา A = nmij ]a[ × ดังนั้นจะมี A− = nmij ]a[ ×− ซ่ึงทําให

AA+− = 0

BA+ = CA+ (กําหนดให)

)BA(A ++− = )CA(A ++− (สมบัติการบวกดวยส่ิงที่เทากัน)

B)AA( ++− = C)AA( ++− (กฎการเปล่ียนกลุมได)

B0+ = C0+ (สมบัติการมีตัวผกผันการบวก)

B = C (สมบัติการมีเอกลักษณการบวก)

กฎการตัดออกทางซาย

AB+ = AC+ (กําหนดให)

BA+ = CA+ (กฎการสลับที่)

B = C (กฎการตัดออกทางซาย)




กําหนด A =

4321

จะได A + A =

4321

+

4321

=

++++

44332211

=

8 6

4 2 =

2(4) 2(3)

2(2) 2(1)

จะเห็นวา A + A มีสมาชิกของแตละตําแหนงเปน 2 เทาของสมาชิกของ A ที่อยูในตําแหนงเดียวกัน และเรา

นิยมเขียนแทน A + A ดวย 2A ซ่ึงหมายถึง 2 คูณดวยเมทริกซ A

ดังนั้น 2A =

2(4) 2(3)

2(2) 2(1)

จากคําอธิบายขางตน ทําใหสามารถสรุปเปนกรณีทั่วไปไดวา

จากบทนิยาม จะไดวา kA =

−−−mn2m1m

n22221

n11211

kakaka

kakakakakaka

ตัวอยางที่ 7 กําหนด A =

654321

จงหา 4A , −3A และ 2

1A

วิธีทํา 1) 4A =

)6(4)5(4)4(4)3(4)2(4)1(4

=

2420161284

#

2) −3A =

−−−−−−

)6(3)5(3)4(3)3(3)2(3)1(3

=

−−−−−−181512963

#

3) 2

1A =

)6(2

1)5(

2

1)4(

2

1

)3(2

1)2(

2

1)1(

2

1

=

32

52

2

31

2

1

#


51

และ B =

−

23

จงหา C ถา 2A + 3C = B

วิธีทํา ให C =

21

11cc

เพราะวา 2A + 3C = B

ดังนั้น 2

51

+ 3

21

11cc

=

−

23

102

+

21

11c3c3

=

−

2

3

++

21

113c 103c2

=

−

2

3


ให A เปนเมทริกซขนาด m × n และ k เปนจํานวนจริง แลว kA คือ เมทริกซที่เกิดจากการนําจํานวนจริง k

ไปคูณกับสมาชิกทุกตัวของ A เรียก k วา สเกลาร (Scalar)

การคูณเมทริกซดวยจํานวนจริง




จากสมบัติของการเทากันของเมทริกซ จะไดวา

2 + 3c11 = −3 และ 10 + 3c21 = 2

3c11 = −5 และ 3c21 = − 8

c11 = 3

5− และ c21 =

3

8−

เพราะฉะนั้น C =

−

−

3

83

5

#

ถา A = nmij ]a[ × , B = nmij ]b[ × , nm]0[0 ×= และ c, d เปนจํานวนจริงใด ๆ แลว

1) AA1 =⋅

พิสูจน nmij ]a1[A1 ×⋅=⋅

nmij ]a[ ×=

A=

2) AA)1( −=−

พิสูจน nmij ]a)1[(A)1( ×⋅−=−

nmij ]a[ ×−=

A−=

3) 0A0 =⋅

พิสูจน nmij ]a0[A0 ×⋅=

nm]0[ ×=

0=

4) dAcAA)dc( +=+

พิสูจน nmij ]a)dc[(A)dc( ×⋅+=+

nmijij ]adac[ ×⋅+⋅=

nmijnmij ]da[]ca[ ×× +=

dAcA+=

สมบตัิเกี่ยวกับการคูณเมทริกซดวยจํานวนจริง




5) )cA(d)dA(cA)dc( ==⋅

พิสูจน nmij ]a)dc[(A)dc( ×⋅=⋅

nmij )]da(c[ ×=

nmij ]da[c ×=

)dA(c=

เพราะวา cddc ⋅=⋅ ดังนั้น ดวยวิธีการเดียวกันกับขางตน จะไดวา

A)cd(A)dc( ⋅=⋅

)cA(d=

นั่นคือ )cA(d)dA(cA)dc( ==⋅

6) cBcA)BA(c +=+

พิสูจน nmijij ]ba[c)BA(c ×+=+

nmijij )]ba(c[ ×+=

nmijij ]cbca[ ×+=

nmijnmij ]cb[]ca[ ×× +=

cBcA+=

7) )เมทริกซn(A...AAAnA ++++= เม่ือ n เปนจํานวนเต็มบวก

พิสูจน nmij ]an[nA ×⋅=

nm

พจนn

ijijijij ]a...aaa[ ×++++=

nmijnmijnmijnmij ]a[...]a[]a[]a[ ×××× ++++=

A...AAA ++++= ( n เมทริกซ)

8) 00c =

พิสูจน nm]0c[0c ×⋅=

nm]0[ ×=

0=

ตัวอยางที่ 9 ถา A เปนเมทริกซใด ๆ แลว จงพิสูจนวา A)A( =−−

พิสูจน )A)(1()A( −−=−−

]A)1)[(1( −−= (สมบัติ 2)

A)]1)(1[( −−= (สมบัติ 2)

A1= (สมบัติของจํานวนจริง)

A= (สมบัติ 1) #




ใหนักเรียนพิจารณาปญหาตอไปนี้

โรงเรียนแหงหนึ่งตองการที่จะนํานักเรียนไปทัศนศึกษา ณ จังหวัดประจวบคีรีขันธ ปรากฏวามีจํานวนนักเรียนและ

ครูที่ไปทัศนศึกษาในคร้ังนี้ ดังตารางตอไปนี้

จํานวน ครู นักเรียน

ชาย

หญิง

3

12

80

120

สําหรับคาใชจายตาง ๆ แยกเปนคาอาหาร คายานพาหนะ คาที่พัก ตอหนึ่งคน แสดงดังนี ้

คาใชจาย คาอาหาร(บาท) คายานพาหนะ(บาท) คาที่พัก(บาท)

ครู

นักเรียน

500

400

100

80

300

250

โรงเรียนจะตองใชเงินในการนํานักเรียนและครูไปทัศนศึกษาในคร้ังนี้ ดังนี้

คาอาหารสําหรับชาย เทากับ )40080()5003( ×+× = 33,500 บาท

คาอาหารสําหรับหญิง เทากับ )400120()50012( ×+× = 54,000 บาท

คายานพาหนะสําหรับชาย เทากับ )8080()1003( ×+× = 6,700 บาท

คายานพาหนะสําหรับหญิง เทากับ )80120()10012( ×+× = 10,800 บาท

คาที่พักสําหรับชาย เทากับ )25080()3003( ×+× = 20,900 บาท

คาที่พักสําหรับหญิง เทากับ )250120()30012( ×+× = 33,600 บาท

ซ่ึงสามารถเขียนแสดงโดยตารางได ดังนี ้

คาใชจาย คาอาหาร(บาท) คายานพาหนะ(บาท) คาที่พัก(บาท)

ชาย

หญิง

33,500

54,000

6,700

10,800

20,900

33,600

จากตัวอยาง ถาแทนตาราง 1 ดวยเมทริกซ A แทนตาราง 2 ดวยเมทริกซ B และแทนตาราง 3 หรือตารางผลลัพธ

ดวยเมทริกซ C จะได

A =

12012803

, B =

25080400300100500

และ C =

33600108005400020900670033500

กรณีนี้เมทริกซ C คือผลคูณของเมทริกซ A กับเมทริกซ B เขียนแทนดวย AB นั่นคือ C = AB

จากกรณีขางตนเราสามารถแสดงขั้นตอนการคูณกันระหวางเมทริกซกับเมทริกซไดดังนี้ ถา

AB = C

12012803

25080400300100500

=

232221

131211cccccc

การคูณเมทริกซดวยเมทริกซ




ตอไปนี้จะแสดงวิธีการหาคาสมาชิก cij ของเมทริกซ C ในแตละตําแหนง เชน

c11 หมายถึง การคูณสมาชิกแถวที่ 1 ของเมทริกซตัวต้ังกับหลักที่ 1 ของเมทริกซตัวคูณ แลวนํามาบวกกัน ดังนี้

c11 = )40080()5003( ×+× = 33,500

นั่นคือ

12012803

25080400300100500

=

×+×

232221

1312ccccc)40080()5003(

ในทํานองเดียวกัน

c12 = )8080()1003( ×+× = 6,700

c13 = )25080()3003( ×+× = 20,900

c21 = )400120()50012( ×+× = 54,000

c22 = )80120()10012( ×+× = 10,800

c22 = )250120()30012( ×+× = 33,600

ดังนั้น จะไดวา

12012803

25080400300100500

=

33600108005400020900670033500

จากตัวอยางขางตน จะเห็นวาในการคูณเมทริกซดวยเมทริกซ ตองคูณสมาชิกของเมทริกซเขาดวยกันเปนคู ๆ

แลวนําผลคูณมารวมกัน ดังนั้น จํานวนหลักของเมทริกซตัวต้ังกับจํานวนแถวของเมทริกซตัวคูณจึงตองเทากัน

จากตัวอยางการคูณเมทริกซดวยเมทริกซดังที่กลาวมาแลว ถา A เปน nm× เมทริกซ และ B เปน rn×เมทริกซ สามารถหา AB ได และ AB จะเปน rm× เมทริกซ

ตัวอยางที่ 10 จงหา AB และ BA เม่ือกําหนดให A =

201021

และ B =

123103

วิธีทํา AB =

2 0 10 2 1

1 23 10 3

=

++++++++

(2)(1) (0)(3) (1)(0) (2)(2) (0)(1) (1)(3)(0)(1) (2)(3) (1)(0) (0)(2) (2)(1) (1)(3)

=

2 76 5

#

BA =

1 23 10 3

2 0 10 2 1

=

+++++++++

(1)(2) (2)(0) (1)(0) (2)(2) (1)(1) (2)(1)(3)(2) (1)(0) (3)(0) (1)(2) (3)(1) (1)(1)(0)(2) (3)(0) (0)(0) (3)(2) (0)(1) (3)(1)

=

2 4 36 2 40 6 3

#


ถา nmij ]a[A ×= และ rnij ]b[B ×= ผลคูณของ A และ B หรือ AB คือ เมทริกซ rmij ]c[C ×= โดยที ่

njinj22ij11iij ba...babac +++=




ขอสังเกต จากตัวอยางจะเห็นวา

1. A เปน 32× เมทริกซ B เปน 23× เมทริกซ AB หาคาได และ AB เปน 22× เมทริกซ

2. B เปน 23× เมทริกซ A เปน 32× เมทริกซ BA หาคาได และ BA เปน 33× เมทริกซ

3. AB ≠ BA


−

−2332

และ B =

1221


−

−2332

1221

=

+−+−−+−+

)1)(2()2)(3()2)(2()1)(3()1)(3()2)(2()2)(3()1)(2(

=

−−

4114

#

BA =

1221

−

−2332

=

+−−++−−+

)2)(1()3)(2()3)(1()2)(2()2)(2()3)(1()3)(2()2)(1(

=

−−

4114

#

ขอสังเกต จากตัวอยางจะเห็นวา AB = BA


0321

และ B =

807654


0321

807654

=

++++++

)8)(0()6)(3()0)(0()5)(3()7)(0()4)(3()8(2)6)(1()0)(2()5)(1()7)(2()4)(1(

=

181512

22518

หา BA ไมได เพราะจํานวนหลักของ B ไมเทากับจํานวนแถวของ A #


−−

2231

, B =

−

−

042312101

, I 2 =

1001

และ B =

100010001

จงหา AI2 , I2A , BI3 และ I3B

วิธีทํา AI2 =

−−

2231

1001

=

−+++−+−

)1)(2()0(2)0)(2()1(2)1)(3()0)(1()0(3)1)(1(

=

−−

2231

= A #

ในทํานองเดียวกันจะไดวา

I2A =

1001

−−

2231

=

−−

2231

= A #




BI3 =

−

−

042312101

100010001

=

−

−

042312101

= B #

I3B =

100010001

−

−

042312101

=

−

−

042312101

= B #

ขอสังเกต ถา A เปนเมทริกซจัตุรัสที่มีมิติเปน nn× เมทริกซ จะไดวา AIn = A = InA

ในการคูณเมทริกซบางคร้ังเราอาจคูณเมทริกซใด ๆ กับตัวเอง เชน เมทริกซ A คูณกับเมทริกซ A จะเขียนผลคูณ

ไดเปน AA และถาตองการเขียนผลคูณใหส้ันลงเปน 2A ในเมทริกซ จึงไดใหขอตกลงเก่ียวกับสัญลักษณดังกลาวดังตอไปนี้

สัญลักษณ ถา A เปน nn× เมทริกซ แลว จะให

1A หมายถึง A

kA หมายถึง 1kAA − เม่ือ k เปนจํานวนเต็มบวกที่มากกวา 1

ฉะนั้น จะไดวา

122 AAA −=

1AA=

AA=

133 AAA −=

2AA=

)AA(A=


3 02 1

จงหา 2A , 3A

วิธีทํา 1) 2A =

3 02 1

3 02 1

=

9 08 1

#

2) 3A = 2AA

=

3 02 1

9 08 1

=

27 026 1

#

Documents

39810740 เมทริกซ์ A