3832-16127-1-PB (2)

INGENIERA Vol. 16 No. 2 ISSN 0121-750X UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOS DE CALDAS 35

Una revisin al estado del arte del proble-ma de ruteo de vehculos: Evolucin hist-rica y mtodos de solucin

State of the art review of the vehicle routingproblem: A historic account with solving methods

Linda BibianaRocha Medina

EstudianteUniversidad Distrital FJC

Maestra en Ingeniera [email protected]

Elsa CristinaGonzlez La Rota

EstudianteUniversidad Distrital FJC

Maestra en Ingeniera [email protected]

Javier ArturoOrjuela Castro

DocenteUniversidad Distrital FJCFacultad de Ingeniera

[email protected]

Citacin: Rocha, L.; Gonzlez, C. y Orjuela, J. (2011). Una revisin al estado del arte del problema de ruteo devehculos: Evolucin histrica y mtodos de solucin. En: Ingeniera, Vol. 16, No. 2, pg. 35 - 55 .

Fecha recibido: Junio 12/2011Fecha modificado: Sept.14/2011Fecha aceptado: Octubre 20/2011

ResumenEste artculo presenta una revisin bibliogrfica acerca de la histo-

ria, tipologas y mtodos de solucin del Problema de Ruteo deVehculos (VRP). Explica las diferentes variaciones que han surgido,y hace referencia a las categoras bsicas de VRP, los mtodos desolucin propuestos, as como sus tendencias.

Palabras clave: Problema de Ruteo de Vehculos, Mltiples Via-jes, Mtodos Exactos, Heursticas, Metaheursticas.

AbstractThis paper is a literature review of the history, categories, and

solution methods of the vehicle routing problem with multiple trips(Multi-trip VRP). It explains the beginning of the concept of VRPand discusses the different variations that have arisen recently.Solution methods, approaches and tendencies to these variations aredescribed with references to further studies.

Key words: Vehicle Routing Problem, Solution Exact, Heuristics,Meta-heuristics Methods.

1. IntroduccinEn el mbito de competencia que caracteriza al siglo XXI, la logs-

tica industrial es usada por las compaas con el fin de generar ventajascompetitivas. Dentro de este contexto es de vital importancia losprocesos de aprovisionamiento y/o distribucin, por lo que el esta-blecimiento de las rutas para vehculos de la manera ms ptima hagenerado un gran inters investigativo. Como resultado se han pro-puesto un sin nmero de modelos que abarcan este problema con elfin de mejorar el desempeo logstico.

El presente artculo se enfoca precisamente en este aspecto. En lse realiza una revisin del estado del arte acerca de la evolucin delProblema de Ruteo de Vehculos (VRP, por sus siglas en ingls,Vehicle Routing Problem) desde su concepcin. Se presenta una resea

INGENIERA Vol. 16 No. 2 ISSN 0121-750X UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOS DE CALDAS36

Una revisin al estado del arte del problema de ruteo de vehculos: Evolucin histrica y mtodos de solucin

histrica acerca de la evolucin del VRP comenzando con el Problema del AgenteViajero (TSP) planteado en 1956 hasta los trabajos recientes. Se busca lograr estructuraruna taxonoma de los problemas tipo VRP, desde el punto de vista conceptual de formu-lacin matemtica y adems, de los mtodos de solucin empleados. La idea es generaren el lector un panorama ordenado y diferenciado de la construccin a travs del tiempode los modelos de ruteo. Para claridad en el apndice en la Tabla I se incluyen las siglasy denominaciones ms comunes para el problema de VRP.

2. MetodologaPara la elaboracin de este artculo se consultaron diferentes bases de datos bibliogr-

ficas (Academic Search Premier, Fuente Acadmica, MasterFILE Elite, Oaistier, Scirus,SpringerLink, ISI Web of Knowledge, JSTOR). Se realiz un ejercicio en el que seexaminaron los artculos publicados anualmente a partir del ao en el cual se encontra-ron registros acerca del ruteo VRP en cada base de datos. De los artculos de intersencontrados se establecieron los ms relevantes en bsqueda de las caractersticas prin-cipales del tema como antecedentes y fuentes importantes. A partir de dichas fuentes serevisaron los estudios y trabajos de los cuales se obtuvo informacin especfica. Conesta informacin se elabor una resea histrica de los autores que trabajaron (trabajan)el tema y con ello se estableci el estado del arte.

3. Marco tericoHay una tendencia creciente de publicaciones acadmicas sobre los problemas de

ruteo publicadas en las bases de datos consultadas: Academic Search Premier, FuenteAcadmica, ISI Web of Knowledge, JSTOR, MasterFILE Elite, Oaistier, Scirus ySpringerLink, evidenciando que entre los aos 1975 y hasta 2010, los primeros artculossobre este tema fueron publicados antes de 1977, siendo hasta ese punto relativamentepoco tratado. A partir del ao 1989 hubo un aumento importante de publicaciones. Amedida que pasa el tiempo, la investigacin sobre ruteo de vehculos avanza y la cantidadde artculos publicados aumenta, dando como resultado que en 2009 se encontraban entotal en estos repositorios 620 artculos.

A continuacin se describe la evolucin del VRP, su taxonoma de acuerdo con la formu-lacin de modelos matemticos y los mtodos de solucin utilizados para resolverlo.

3.1. Evolucin Histrica segn la Formulacin de VRPEl problema de VRP es uno de los ms comunes en la optimizacin de operaciones

logsticas y uno de los ms estudiados; plantea la bsqueda de la solucin ptima condiferentes restricciones tales como: nmero de vehculos, su capacidad, lugares de desti-no (clientes) y demanda de los clientes, entre otras. Una formulacin de ste tipo puedeincluir un amplio nmero de variables y diversos parmetros. Este tema presenta uninters prctico y acadmico por constituirse en un problema de optimizacin combinatoriay pertenecen en su mayora a la clase NP-Hard, pues no es posible resolverlos entiempo polinomial [1] [2] [3].


Linda Bibiana Rocha MedinaElsa Cristina Gonzlez La Rota Javier Arturo Orjuela Castro

El primer problema planteado tipo VRP fue el del agente viajero o TSP (TravellingSalesman Problem) introducido por Flood en 1956. El problema recibe ste nombre porquepuede describirse en trminos de un agente vendedor que debe visitar cierta cantidad deciudades en un solo viaje, de tal manera que inicie y termine su recorrido en la ciudadorigen; el agente debe determinar cual ruta debe seguir para visitar cada ciudad unasola vez y regresar de tal manera que la distancia total recorrida sea mnima.

De la formulacin propuesta por Flood, nacen variaciones como el TPS generalizadoen 1959 con Dantzing y Ramser; trabajo en el cual se modela el despacho de combustiblea travs de una flota de camiones a diferentes estaciones de servicio, desde una terminal.Este trabajo se convierte en la base para un desarrollo posterior de otras formulacionesque van incrementando el nmero de variables y restricciones [1] [4] [5].

Se encuentra la primera referencia del TSP mltiple o m-TSP en 1960 con Miller,Tucker y Zemlin. Este problema es una generalizacin del TSP en la cual se tiene undepsito y m vehculos, es decir m agentes viajeros. El objetivo planteado es construirexactamente m rutas, una para cada vehculo, de modo que cada cliente sea visitado unavez por uno de los vehculos. Cada ruta debe comenzar y finalizar en el depsito ypuede contener a lo sumo p clientes. En el problema m-TSP a cada cliente se le asociauna demanda y cada vehculo cuenta con cierta capacidad, razn por la que se concluyeque el problema del agente viajero da origen al problema de ruteo [1].

En 1969, a partir del trabajo de Tillman, se da origen al TSP probabilstico o PTSP. Elobjetivo de este problema es encontrar el mnimo costo de recorrido esperado a travsde un conjunto de nodos con probabilidades asociadas a la presencia o no de consumi-dores que requieren ser servidos [5]. La Figura 1 presenta un resumen de los primerosmodelos VRP, como se ha mencionado hasta el momento.

Figura 1. Modelos originarios del problema VRP.

La primera consideracin a observar es que el TSP generalizado, es decir el problemade los m agentes viajeros puede ser asumido como un VRP y an ms all, como unCVRP (Capacited VRP), es decir como un problema de ruteo de vehculos donde lacapacidad de la flota se convierte en restrictiva para la formulacin. La funcin objetivodel CVRP minimiza el costo total para surtir a todos los consumidores. En este tipo deproblema, a los consumidores les corresponde una demanda determinstica, todos losvehculos son iguales y salen de un centro de distribucin.


El CVRP encuentra una cantidad exacta de rutas con mnimo costo definido como lasuma de los costos de los arcos pertenecientes a los recorridos, de tal manera que cadarecorrido visita el centro de distribucin, cada centro de consumo es visitado por exacta-mente un vehculo y la suma de las demandas de los centros de consumo visitados noexcede la capacidad del vehculo. Cuando el costo de ir de un centro de consumo i a otrocentro de consumo j es igual al costo de ir del centro de consumo j al centro de consumoi el problema es llamado CVRP Simtrico (Symmetric CVRP, SCVRP) en caso contrario sedenomina CVRP Asimtrico (Asymmetric CVRP, ACVRP) [1] [6] [7].

A partir del TSP generalizado (es decir el VRP o CVRP) se desprenden dos grandescategoras definidas en este artculo: El VRP homogneo y el VRP heterogneo. El VRPhomogneo se refiere a caractersticas comunes en las que todos los nodos manejan elmismo recurso como distancia, ventanas de tiempo, retornos y entregas fraccionadas. Porsu parte, el VRP heterogneo se refiere a componentes desiguales en las que cada nodomaneja recursos distintos bien sea flota de vehculos, depsitos, viajes y componentesestocsticos en algunos casos.

A continuacin se presenta la taxonoma establecida en la presente revisin bibliogrfi-ca de las diferentes variantes surgidas dentro de estas categoras.

3.1.1. VRP Homogneo

Los modelos VRP homogneo, se pueden subdividir en cuatro tipos: DVRP (DistanceVRP), VRPTW, (VRP with time windows), VRPB (VRP with backhauls, es decir, con retor-nos) Y SDVRP (Split delivery VRP, con entregas divididas). Se considera el DCVRP(Distance and capacited VRP) como una sub divisin del DVRP, los cuales han sido estudia-dos en [1] [4] [5].

El VRPTW que aparece en 1967, presenta las variaciones tales como el VRPTD (VRPwith time deadlines, ventanas rgidas de tiempo) en 1986, el VRPMTW (VRP con ventanasde tiempo mltiples) el cual es formulado en 1988; y VRPSTW (VRP with soft timewindows, ventanas blandas de tiempo) en 1992 (ver [1] [4] [5]).

El tercer tipo de modelos en el VRP homogneo, es el VRPB en 1985, que deriva enVRPBTW en 1994, una combinacin de VRPB y VRPTW. El ltimo tipo en desarrollar-

Figura 2. Taxonoma para el VRP Homogneo



se es el SDVRP (Split Delivery VRP, con entregas fraccionadas) en 1989. En 1995 sufreuna variacin denominada SDVRPTW (entregas fraccionadas y ventanas de tiempo), siendola unin del SDVRP y VRPTW (ver [1] [4] [5]).

La Figura 2 presenta la taxonoma para la categora el VRP homogneo. Cada tipologade VRP referencia el autor o autores que proponen su formulacin matemtica y el aode realizacin.

Las siguientes son las principales variantes de los VRP homogneos.

DCVRP. Toth y Vigo muestran la primera variante del CVRP en un VRP con restriccio-nes de distancia (DVRP). En este problema la restriccin de capacidad es remplazada por larestriccin de mxima longitud (o tiempo) y la longitud de los arcos para cada ruta no puedeexceder la mxima longitud de la ruta. De presentarse restriccin tanto en la capacidad delvehculo como en la distancia mxima el problema es llamado DCVRP [1] [6] [7].

VRPTW. Es un problema de VRP con la restriccin adicional de una ventana detiempo asociada a cada consumidor, definiendo un intervalo dentro del cual el consumi-dor debe ser atendido, el intervalo en el depsito es llamado horizonte de programacin.En este tipo cada consumidor est asociado con un intervalo de tiempo llamado TimeWindow (Ventana de Tiempo). En el instante en el que los vehculos salen del centro dedistribucin, se da el tiempo de recorrido para cada arco y as mismo un tiempo deservicio adicional para cada consumidor. El servicio de cada consumidor debe empezardentro de la ventana de tiempo asociada y el vehculo debe parar en el centro de consu-mo por instantes de tiempo [1] [7] [8].

En caso que el vehculo llegue antes del tiempo establecido, este debe esperar hasta elinstante de tiempo en el que el servicio deba empezar. Las ventanas de tiempo estndefinidas de tal manera que se asume que todos los vehculos salen del centro de distri-bucin en el tiempo cero. En este problema se debe encontrar una cantidad de recorridossimples con el mnimo costo de tal manera que cada ruta o recorrido visita el centro dedistribucin, cada centro de consumo es visitado solamente por una ruta, la suma de lasdemandas de los centros de consumo visitados por un recorrido no excede la capacidaddel vehculo, para cada centro de consumo el servicio comienza dentro de la ventana detiempo y el vehculo se detiene por instantes de tiempo. Este tipo de problema tieneextensiones como VRPMTW, VRPTD y VRPSTW [1] [7].

VRPB. En el VRP con retornos (Backhauls) (VRPB) los consumidores pueden deman-dar o retornar algunas mercancas. Es necesario tener en cuenta cuales de los bienesque los consumidores devuelven al vehculo de reparto pueden caber en l. El supuestoms crtico en lo que respecta a todas las entregas, es que stas deben ser realizadas encada ruta antes de que alguna recogida1 pueda ser iniciada. Esto surge del hecho de quelos vehculos son cargados en la parte trasera y las cargas reacomodadas en los camionesy que los puntos de entrega son considerados econmicamente factibles. Las cantidadesa ser distribuidas y recogidas son fijas y conocidas con anticipacin [1] [7].

1 Se refiere a la actividad de recoger mercancas o materiales para llevar a la empresa.



En el problema tipo VRPB el conjunto de clientes se divide en dos. El primero contie-ne n centros de consumo con lnea de recorrido (linehauls), que requieren que unacantidad dada de productos sea entregada y el segundo contiene m centros de consumocon recorrido de vuelta o retornos (backhauls), donde se requiere que una cantidad deproductos dada deba ser recogida.

En esta variacin de VRP hay una restriccin importante entre linehaul y backhaul, cuan-do una ruta pueda servir a ambos tipos de consumidores todos los centros de consumocon linehauls deben ser atendidos antes que algn centro de consumo con backhauls, si loshay [1] [7].

Este VRPB consiste en encontrar una cantidad de recorridos simples con mnimocosto de tal manera que cada ruta o recorrido visita el centro de distribucin, cada centrode consumo es visitado solamente por una ruta y la suma de las demandas de los centrosde consumo con linehaul y backhaul visitados por un recorrido no excede, individualmen-te, la capacidad del vehculo [1] [7].

SDVRP. Es una relajacin del VRP en donde se permite que el mismo cliente puedaser atendido por diferentes vehculos siempre y cuando se reduzca el costo total. Estacondicin es importante si los tamaos de las rdenes de los clientes copan la capacidadde un vehculo [1] [4] [5] [7].

3.1.2. VRP Heterogneo

Los modelos VRP heterogneos referidos a componentes desiguales, se han clasifica-do de acuerdo al estudio realizado, en los siete tipos mostrados en la Figura 3. Se presentael nombre del modelo, los autores que los formularon y el ao de presentacin deltrabajo. Para el significado de los acrnimos ver el apndice la tabla I.

A continuacin se describen los detalles de cada variante.

Figura 3. Taxonoma para el VRP Heterogneo

VRPHF: En l los costos y capacidades de los vehculos varan; en esta formulacinse asume que la cantidad de vehculos de cada tipo es ilimitada, se decide sobre las rutasy la composicin de la flota de vehculos a utilizar. Este tipo de problema comprendeotras variaciones (para el significado de los acrnimos ver el Apndice 1 Tabla 1), comose muestra en la Figura 5 [1] [4] [5] [7] [9]-[12].



PVRP: En los VRP clsicos, tpicamente el periodo de planeacin es de un solo da,en el caso del VRP peridico (PVRP) el modelo se extiende a un perodo de planeacinde M das.

Multi-Trip VRP: Consiste en que cada vehculo puede llevar a cabo varias rutas en elmismo periodo de planeacin [13] [14]. Resolver este tipo de problema no slo implica eldiseo de un conjunto de rutas, sino tambin la asignacin de esas rutas de los vehculosdisponibles. Esto hace que este tipo de problema sea muy prctico a nivel operativo, enel cual los horarios diarios de los conductores deban estar diseados para una flota devehculos fija.

Una compaa puede tener muchos depsitos para atender a sus clientes. Si los clien-tes son agrupados alrededor de los depsitos, entonces el problema de distribucin debeser modelado con un conjunto de VRP independientes. Sin embargo, si los clientes y losdepsitos estn entremezclados entonces se debe plantear como un problema VRP multi-depsito (MDVRP, Multiple-Depot VRP). Un MDVRP requiere de la asignacin de clientesa depsitos, de la asignacin de una flota de vehculos a cada depsito, cada vehculoorigina desde un depsito, un servicio al cliente asignado a ese depsito, y el retorno almismo depsito [1] [4] [5] [7].

MCVRP: Consiste en transportar ms de una cantidad de objetos a la vez, es decir, siel CVRP se puede considerar como VRP con capacidad 1 y el MCVRP se consideracomo capacidad mayor a 1 [15].

MOVRP: Consiste en utilizar varios objetivos que pueden relatar diferentes aspectosdel VRP como ruta (costo, beneficio, etc.), nodos y arcos (ventanas de tiempo, satisfac-cin del cliente, etc.) y recursos (mantenimiento de flota de vehculos, especificacionesde producto, etc.) [5].

SVRP: Se trata del Problema de Ruteo de Vehculos Estocstico donde uno o varioscomponentes de la formulacin son aleatorios. Fue planteado inicialmente en 1983, e

Figura 4. Taxonoma para el VRPHF



incluye tres variaciones [1] [4] [5] [7] [16]-[20]: VRPUD, cuando la demanda de cadaconsumidor es una variable aleatoria; VRPSTT cuando los tiempos de servicio y tiemposde viaje son variables aleatorias; y el SVRP-SN, en el cual cada consumidor tiene unaprobabilidad p de presentarse y (1-p) de estar ausente. La Figura 5 muestra la clasificacinde ste tipo de modelos.

Figura 5. Taxonoma para el SVRP

3.2. Evolucin Histrica segn Mtodos de SolucinEn lo que respecta a los mtodos de solucin, de la revisin bibliogrfica se concluy

que se han abordado tres grandes categoras, las cuales pueden ser agrupadas de lasiguiente manera: mtodos exactos, heursticas y metaheursticas. La Figura 6 muestradicha taxonoma mencionada, a partir de la cual se desprenden las dems clasificacionesque se explicarn a continuacin.

Figura 6. Taxonoma segn mtodos de solucin

3.2.1. Mtodos Exactos

Los mtodos exactos son eficientes en problemas hasta 50 depsitos [13] debido arestricciones de tiempo computacional. Los mtodos exactos se pueden clasificar en tresgrupos: bsqueda directa de rbol, programacin dinmica, programacin lineal y entera.En la Figura 7 se muestra esta clasificacin [21].

Figura 7. Taxonoma para los mtodos exactos de solucin



Mtodos de Bsqueda Directa de rbol: La bsqueda se realiza sobre todos losnodos de un rbol de acuerdo a criterios especficos propios de cada mtodo. La Figura 8se muestra la clasificacin establecida a partir de [21]. Una descripcin breve se presentaa continuacin.

El algoritmo de asignacin de cota inferior asigna una cota inferior que permite dismi-nuir el nmero de vehculos requeridos para visitar todos los vrtices. Esto se realiza pormedio del m-TSP, como relajacin del VRP, proporcionando una cota superior para elnmero de vehculos y transformndolo en un TSP [21].

Por su parte, el algoritmo de ramificacin y acotamiento consiste en recorrer cada nododel rbol desde el nivel superior hacia la base del rbol y los nodos terminales resolvien-do en cada nodo un programa lineal y determina que nodos pueden eliminarse. Un nodose elimina (junto con sus descendientes) si no existe una solucin factible; pero si existesolucin factible se convierte en una cota inferior. El algoritmo termina cuando todos losnodos han sido revisados y la solucin ptima es la de mayor cota inferior [22].

El rbol del centro de k-grados (k-degree center tree algorithm) trabaja con un nmero fijode vehculos, una solucin factible en el conjunto de aristas se divide en cuatrosubconjuntos que son: las aristas que no pertenecen a la solucin, las aristas que formanel rbol, las aristas que inciden en el primer vrtice y las aristas que no inciden en elprimer vrtice. Estos subconjuntos se traducen en restricciones en el modelo y la solu-cin objetivo consiste en sumar el costo de todas las aristas en la solucin [21].

Programacin Dinmica: Propuesto por Eilon, Watson-Gandy y Christofides en 1971.En el mtodo se considera un nmero fijo de m vehculos. Encuentra primero el costomnimo alcanzable utilizando k vehculos, teniendo en cuenta la funcin del costo en lalongitud de una ruta de vehculos a travs de todos los vrtices del subconjunto, luegoencuentra el costo de todos los subconjuntos de vrtices con m vehculos [21].

Programacin Lineal y Entera: En la Figura 9 se muestran las tres tcnicas compren-didas dentro de esta clasificacin [21].

El mtodo de particin y generacin de columnas se considera un conjunto factible derutas y un coeficiente binario que es igual a uno si y solo si determinado depsitopertenece a una ruta. Tambin se tiene en cuenta el costo ptimo de una ruta y unavariable binaria que es igual a uno si y solo si esa ruta es utilizada en la solucin ptima.

Figura 8. Taxonoma para los mtodos de solucin mediante bsquedas en rbol



El valor de este costo se obtiene resolviendo un TSP. Por su parte el mtodo de flujo devehculos de 2 ndices y 3 ndices fue desarrollado para CVRPTW. En la formulacin de2 ndices Xij representa el camino que une el depsito i con el depsito j. En la formu-lacin de 3 ndices la variable Xijk indica el camino que une el depsito i con el depsitoj, utilizando el vehculo k. El algoritmo desarrollado est basado en una formulacin quegarantiza la solucin ptima en un nmero finito de pasos, si se ejecuta hasta finalizarlo.La formulacin no exige que los vehculos sean idnticos [21].

Figura 9. Taxonoma para los mtodos de solucin de Programacin Lineal y Entera

3.2.2. Heursticas

Las heursticas son procedimientos que proporcionan soluciones de aceptable calidadmediante una exploracin limitada del espacio de bsqueda [4] [23]-[30]. Clarke y Wright,propusieron el primer algoritmo que result efectivo para resolver el VRP en 1964. Lamayora de las heursticas clsicas para resolver el VRP fueron desarrolladas entre 1960y 1990. Estos mtodos parten de rutas que contienen un nico nodo para encontrar elmejor par (nodo, ruta) que representa la mejor interseccin [1] [2] [3] [31] [32].

En este artculo se han clasificado los mtodos heursticos en mtodos constructivos,mtodos de dos fases y heursticas de mejora, como se observa en la Figura 10.

Figura 10. Taxonoma para los mtodos de solucin heursticos



Mtodos Constructivos:.En los mtodos constructivos se encuentran los algoritmosde los ahorros y las heursticas de insercin, los cuales son ampliamente conocidosdentro del campo de la investigacin de operaciones. Los algoritmos de los ahorros(Savings Algorithms) comprenden el algoritmo de los ahorros de Clarke y Wright, el algorit-mo de los ahorros mejorado y el algoritmo de los ahorros basado en coincidencia. En laFigura 11 se muestra la clasificacin establecida a partir de los algoritmos de ahorros.

El algoritmo de los ahorros de Clarke y Wright se aplica generalmente a problemaspara los cuales el nmero de vehculos es una variable de decisin, calcula el mayorahorro en distancia, al utilizar los arcos. Si en una solucin se encuentran dos rutasdiferentes y estas dos rutas pueden ser combinadas para obtener una nueva en la cual seencuentre mayor ahorro en sus arcos entonces se utilizar esta nueva ruta [1] [4]. En laFigura 12 se muestra la representacin en forma de grafo para esta heurstica [4].

El algoritmo original de Clarke y Wright produce buenas rutas al inicio pero no hacia elfinal, pues incluye algunas rutas circulares. El algoritmo de Clarke y Wright mejoradopropuesto por Laporte, Toth y Vigo generalizaron los ahorros mediante un parmetrollamado Shape Parameter o Parmetro de Forma que penaliza la unin de rutas conclientes lejanos [1] [4].

Figura 11. Taxonoma para los mtodos de solucin mediante algoritmo de ahorros

Por su parte los algoritmos de los ahorros basados en coincidencia2 (Matching-Based SavingsAlgorithms) son una modificacin del algoritmo de ahorros estndar y plantean realizar launin de dos rutas teniendo en cuenta las posibles uniones subsiguientes. Esto se realizamediante un grafo que tiene todas las rutas en nodos y un arco entre dos nodos, el ahorrose obtiene al combinar las rutas correspondientes siempre que sea factible [4].

Figura 12. Heurstica del algoritmo de los ahorros de Clarke y Wright

2 En un grafo significa un conjunto de arcos que no tienen extremos en comn y el peso de una coincidencia (matching) es la suma de los pesosde sus arcos.



En lo que concierne a las heursticas de insercin, se encuentran dos algoritmos dedos fases cada uno, que aplican a problemas con un nmero de vehculos no especfico[1] [31]. En la Figura 13 se muestra la clasificacin establecida a partir de los autoresconsultados. Estas heursticas crean soluciones mediante sucesivas inserciones de clien-tes en las rutas, es decir, en cada iteracin se tiene una solucin parcial cuyas rutas solovisitan un subconjunto de los clientes y luego se selecciona un cliente no visitado parainsertarlo en la ltima ruta creada [4].

La heurstica de insercin secuencial de Mole & Jameson utiliza parmetros para expanderuna ruta en construccin. Para insertar un cliente se utilizan dos medidas; la primeramedida es el costo de insertar el cliente no visitado en la ruta. Esta medida se utiliza paradeterminar la mejor posicin de cada cliente no visitado, as mismo se calcula teniendoen cuenta nicamente las distancias sin reordenar los nodos que ya estn en la ruta.

La heurstica de insercin en paralelo de Christofides, Mingozzi & Toth es una heurs-tica de insercin se dos fases que utiliza dos parmetros controlados y . En la primerafase se determina la cantidad de rutas a utilizar aplicando la primera fase del algoritmo deMole & Jameson para obtener rutas compactas y conservar los clientes iniciales de cadaruta junto con la cantidad de rutas de la solucin final. En la segunda fase se crean lasrutas y se inserta el resto de los clientes en ellas [1].

Figura 13. Taxonoma para los mtodos de solucin con heursticas de insercin

Mtodos de dos fases: En los mtodos de dos fases se encuentran los mtodos deasignacin elemental, el algoritmo de ramificacin y acotamiento truncados, el algoritmode los ptalos, el mtodo de rutear primero y asignar despus y los procedimientos debsqueda local. En la Figura 14 se muestra la clasificacin establecida a partir de losautores [1] [4] [21]. Seguidamente se presenta una descripcin de cada uno.

Mtodos de Agrupamiento Elemental (Elementary Clustering Methods): En este tipo de mtodosse encuentran el algoritmo de barrido (sweep algorithm), el algoritmo basado en asignacingeneralizada (generalizad-assignment-based algorithm) y la heurstica basada en localizacin(location based heuristic) [1] [4]. El algoritmo de Barrido (sweep algorithm) consiste en formarinicialmente agrupamientos girando una semirrecta con origen en el depsito e incorpo-rando los clientes hasta violar la restriccin de capacidad. Una ruta de vehculos esobtenida para el cluster resolviendo un TSP. En algunos casos de implementacin esnecesaria una fase de post-optimizacin en la cual los vrtices se intercambian entreclusters adyacentes y las rutas son re-optimizadas.



Por su parte el algoritmo basado en asignacin generalizada (generalizad-assignment-basedalgorithm) en lugar de utilizar un mtodo geomtrico para formar clusters utiliza un Pro-blema de Asignacin Generalizada (GAP). La primera fase de este algoritmo consiste enescoger los vrtices semilla para construir los agrupamientos. En la segunda fase seasignan los vrtices a cada agrupamiento sin violar la capacidad del vehculo resolviendoun GAP.

Por ltimo en la heurstica basada en localizacin (location based heuristic) las rutas inicia-les (semillas) son establecidas como un problema de localizacin con capacidades y losvrtices restantes son incluidos gradualmente en la ruta asignada en una segunda etapa.Para satisfacer las restricciones de capacidad y minimizacin de los costos se debe deci-dir sobre las semillas a colocar y los terminales a los cuales se van a conectar cadasemilla pasa por. Las rutas de los vehculos se construyen entonces, insertando en cadapaso, el cliente asignado para que las semillas tengan el menor costo de insercin.

Ramificacin y Acotamiento Truncados (Truncated Branch and Bound). En este algoritmo elrbol de bsqueda tiene tantos niveles como rutas de vehculos y cada nivel contiene unconjunto de rutas de vehculos, para ello Christofides, Mingozzi y Toth proponen unaimplementacin en la cual determinan una rama en cada nivel y una se descarta al pasode seleccin de la ruta. Se puede construir un rbol limitado manteniendo pocas rutas encada nivel [1].

Algoritmos de los Ptalos (Petal Algorithms). Este algoritmo es una extensin del algoritmode barrido y se utiliza para generar varias rutas llamadas ptalos con el fin de hacer unaseleccin final resolviendo un Set Partitioning Problem. Se dispone de un conjunto de rutasR en la que cada cliente es visitado por varias rutas y se debe seleccionar un subconjuntode R que visite exactamente una vez cada cliente [1] [4] [33].

Mtodos de Ruteo Primero y Asignacin Despus (Route-First, Cluster-Second Methods). Estemtodo consta de dos fases. En la primera se calcula una gran ruta que visita a todos losclientes resolviendo un TSP sin tener en cuenta las restricciones del problema. Luego enla segunda fase, esta ruta gigante se descompones en varias rutas factibles, es decir,teniendo en cuenta la solucin de la primera fase se determina la mejor particin tenien-do en cuenta la capacidad del vehculo [1] [4].

Figura 14. Taxonoma para los mtodos de solucin de dos fases



Procedimientos de Bsqueda Local (Local Search Procedures). Los procedimientos de bsquedalocal se aplican para mejorar una solucin ya obtenida. En estos procedimientos sedefine un conjunto de soluciones vecinas y parte de una solucin primaria para luegoremplazarla por una solucin vecina con menor costo. El procedimiento se repite hastaque no pueda mejorar la solucin. Los diferentes procedimientos de bsqueda local sepueden observar en la Figura 15, establecida a partir de los autores [1] [4] [21].

Figura 15. Taxonoma para los mtodos de solucin con bsqueda local

3.2.3. Metaheursticas

Las metaheursticas fueron desarrolladas hacia finales de la dcada de los 90 y secaracterizan por que realizan un procedimiento de bsqueda para encontrar solucionesde aceptable calidad, mediante la aplicacin de operadores independientes del dominioque modifican soluciones intermedias guiadas por la idoneidad de su funcin objetivo.Dentro de estas se encuentran el Recocido Simulado, Redes Neuronales, Bsqueda Tab,Algoritmos Genticos, Algoritmos de Hormigas y Bsqueda de vecindades [32]. En laFigura 16 se muestra la clasificacin establecida a partir de los autores [1] [4] [7] [34]-[39]

Figura 16. Taxonoma para los mtodos de solucin metaheursticos

Algoritmos Genticos (Genetic Algorithms). Inspirado en la teora de la evolucindarwiniana, este algoritmo parte de una poblacin inicial de individuos que representansoluciones iniciales factibles pero subptimas. Seguidamente el algoritmo evolucionamediante la aplicacin de operadores evolutivos que combinan y modifican a los indivi-duos de la poblacin creando una nueva. Para cada individuo se define una funcin deaptitud f(i) que califica su idoneidad. Usualmente, se trabajan tres operadores: seleccin,cruzamiento y mutacin [1] [4] [40] [41] [56].



La forma de operar de estos algoritmos para la solucin del VRP se resume de lasiguiente forma. Se generan soluciones iniciales, las cuales representan cada viaje comouna secuencia de ciudades (a diferencia de los algoritmos genticos tradicionales queutilizan una representacin de dgitos binarios). Para cruzar dos soluciones, se toma unasubruta que no necesariamente cumpla que inicie y termine en el depsito, y se determi-na el cliente ms cercano que no est en la subruta. Si la ruta no fuera factible, separticiona. De sta manera se genera un descendiente, es decir, una copia modificada deuna de las soluciones iniciales. Usualmente para este tipo de problemas, se considerancuatro operadores de mutacin: intercambio de la posicin de dos nodos en una ruta;inversin del orden de la ruta; reinsercin de un nodo en una ruta diferente a la originaly seleccin de una subruta para insertarla en otro lugar de la solucin.

Algoritmos de Hormigas (Ant Algorithms). Estos algoritmos estn inspirados en laestrategia que usan las colonias de hormigas en la bsqueda de alimentos. Cuando unahormiga encuentra el camino para ir a la fuente de alimento deposita una sustancia(feromona) que depende de la longitud del camino y la calidad del alimento. Las hormi-gas tienden a seguir los trayectos con mayor cantidad de feromonas puesto que es msprobable que conduzcan ms rpido hacia la fuente de alimento, lo que a su vez provocaun refuerzo de los mejores trayectos, es decir, los que demoren menos tiempo y pordonde transiten la mayor cantidad de hormigas [1] [4] [43].

En el caso de los VRP, el modo de funcionamiento de estos algoritmos se resume as:Se inicializa el algoritmo colocando una hormiga en cada nodo. Para la construccin decaminos, se utiliza una regla probabilstica que asigna una probabilidad igual a cero si elnodo ya fue visitado y diferente a cero para el caso contrario. La hormiga visita el nodoque tenga una probabilidad mayor. En cada arco, se actualiza la feromona y finaliza sise obtiene una solucin inferior a una cota preestablecida, de lo contrario se recalculanprobabilidades y la hormiga sigue construyendo soluciones.

Bsqueda Tab (Tabu Search). Consiste en realizar una bsqueda local aceptando solu-ciones que mejoran el comportamiento del costo de tal manera que en cada iteracin alalgoritmo se mueve de una solucin (st) a otra mejor (st+1) dentro de un subconjunto desoluciones cercanas. Como st+1 no necesariamente es el menor costo, se utiliza una memo-ria de corto plazo que registre algunos atributos de soluciones ya visitadas. Estas solucionesprohibidas se llaman soluciones tab y las movidas que llevan a esas soluciones se llamanmovidas tab. En algunos casos es necesario aceptar soluciones tab porque poseen mejo-res atributos que las dems y para esto se utiliza un criterio llamado criterio de aspiracin; elcriterio tambin se usa para aceptar soluciones que no son tab. A estas soluciones por lascuales pasa el criterio de aspiracin se llaman soluciones admisibles y la bsqueda serealiza sobre las soluciones admisibles de la vecindad [4] [44] [45] [56].

El procedimiento para un problema de ruteo debe responder a los seis criterios si-guientes:

Algoritmo de bsqueda local: Se genera una solucin inicial de prueba, la cual puede sercualquier secuencia de nodos, se inician las iteraciones seleccionando el mejor vecinoinmediato que no est descartado de la lista Tab



Estructura de vecindad: Se generan dos arcos (que unan dos nodos) y se eliminan dos dela solucin actual, debe tenerse cuidado de descartar subviajes que solamente invier-tan la direccin de la ruta.

Forma de los movimientos Tab: Enumerar los arcos de tal manera que un subviaje inversose convierta en tab si los dos arcos que se eliminan se encuentren en la lista.

Adicin de un movimiento Tab: En cada iteracin del algoritmo, despus de incluir dosarcos a la solucin actual, tambin se incorporan estos dos arcos a la lista tab

Tamao mximo de la lista Tab: Se debe generar un criterio bajo el cual un par de arcosse inserte a la lista y salgan los que llevan ms tiempo en ella.

Regla de detencin: Criterio para detener el proceso puede ser despus de un nmeroconsecutivo de iteraciones, donde no se produzca mejoras en la solucin.

Otras metaheuristicas utilizadas en el problema VRP son Memoria Adaptativa (AdaptativeMemory)3 [46]. Redes Neuronales (Neural Networks)4 [1]. Recocido Simulado (SimulatedAnnealing)5 [5] [42] [56] y Recocido Determnistico (Deterministic Annealing)6 [1].

4. Nuevas tendenciasEn la dcada de los 90 se presenta una variacin de VRP que se refiere a la idea de

VRP con mltiples usos de vehculos (VRP multiple use of vehicles), basada en el supuestoque un vehculo puede hacer ms un viaje en un periodo de planeacin. Esta idea fueintroducida por Fleischmann en 1990. En 1997 Brandao y Mercer lo trabajaron comoVRP con viajes mltiples (VRP with multiple trips) resolvindolo mediante una BsquedaTab [47]-[49]. En 2002 Prins introdujo el VRP con viajes mltiples de flota heterogneamediante un caso real a larga escala, luego en 2008 aparece el VRP con viajes mltiplesperidico y el VRP con viajes mltiples independientes del sitio (site-dependent). El ltimotrabajo encontrado sobre Multitrip VRP es el VRPTW con mltiples usos de vehculos,resuelto mediante mtodos exactos [13] [50] [51].

Los mtodos de solucin utilizados para resolver estas variaciones recientes del VRPhan sido en su mayora metaheursticas tales como la Bsqueda Tab y los AlgoritmosGenticos, pero se han empleado otros mtodos como el algoritmo de memoria adaptativa,algoritmo gentico hbrido, bsqueda de vecindades, algoritmo de ramificacin y valor,estrategia de gua autoadaptativa, heurstica multifase y heurstica basada en ahorros [14][27] [41] [46] [48] [52].

Entre los aos 1999 y 2009, a partir del Problema VRPPD se desarrollaron variacionesde dicho problema de tal manera que se pueden considerar dos grandes clasificaciones:la primera son problemas estticos donde los datos del problema son conocidos antes

3 Es una mejora de la bsqueda tab propuesto por Rochat y Taillard en 1995. Construye buenas soluciones mediante la combinacin de otrasbuenas soluciones. Una memoria contiene los componentes de las soluciones visitadas y peridicamente se construye una nueva utilizando datosen la memoria y se mejora mediante un procedimiento de bsqueda local, la mejor solucin es utilizada para actualizar la memoria.

4 Modelo computacional compuesto de unidades interconectadas a travs de conexiones fuertes, parecidas a las neuronas del cerebro humano. Seenva una seal desde una unidad a otra mediante una conexin y se modula a travs del peso asociado.

5 Mtodo de bsqueda local aleatorio, en el cual una modificacin a la solucin actual que conduzca a un incremento en el costo solucin puede seraceptado.

6 Funciona de una manera similar al recocido simulado, salvo que utiliza una regla determinstica para aceptar un movimiento.



de construir las rutas y la segunda son problemas dinmicos en los cuales algunosdatos solo son conocidos durante el periodo de tiempo de operacin, adems que elhorizonte de planeacin puede ser no acotado [53].

A partir del ao 2002 y hasta el 2011, se desarrollaron mtodos exactos de solucinaplicables al CVRP y al VRPTW basados principalmente en dos tcnicas: la primera es laformulacin de algoritmos de particin de conjuntos que permiten incorporar restric-ciones adicionales que pueden ser aplicables en la modelacin de situaciones especficasen la industria y la segunda son algoritmos basados en la generacin de columnasque han sido derivados de pequeas modificaciones de los algoritmos originales de gene-racin de columnas para solucionar el VRP [54].

Los mtodos de solucin para el SVRP pueden ser aplicables a problemas que no tenganparmetros estocsticos pero con una estructura similar. En las ltimas revisiones (2005-2010) se presenta un especial inters por los tiempos de viaje y de servicio aleatorios [55].

Es importante resaltar que en Colombia se ha presentado inters en los ltimos aospara el estudio de los problemas VRP, en especial en aplicaciones concretas, lo anteriorse evidencia en la participacin con ponencias en congresos internacionales, tal es elcaso de lo presentado en el XVI congreso Latinoamericano de Investigacin de opera-ciones (XVI CLAIO/ XVIV SPBO).

A manera de ilustracin, se encontraron en CLAIO las siguientes ponencias realizadaspor investigadores colombianos:

Diseo de un modelo matemtico para el despacho de vehculos de emergenciasmdicas en Colombia. En l se presenta un modelo de programacin lineal enteramixta para solucionar un problema de despacho de vehculos en emergencias mdicasque responde a un MDVRPTW que cambia a medida que se reciben llamadas en elsistema o ocurren daos en el vehculo [57].

Sistema de soporte a decisiones para el diseo de rutas escolares en CoomunclaverLtda. En este trabajo se implementa un algoritmo hibrido compuesto por una heurs-tica constructiva y una autoinsercin de CVRP mediante lenguaje de programacinorientado a objetos con un sistema de informacin geogrfica para resolver un VRPaplicado al diseo de rutas escolares [58].

Estrategias para el diseo e hibridacin de una metaheurstica basada en bsquedadispersa que resuelva el problema MDVRP multiobjetivo: costo y balanceo de carga.Aqu se presenta una formulacin matemtica y una aproximacin metaheurstica paraun MO-MDVRP,. Se trata de una estrategia de hibridacin y la estructura general parala metaheurstica de bsqueda dispersa multiobjetivo (Multiobjective Scatter SearchMetaheuristic, MOSS), mtodos constructivos y bsqueda local para las solucionesiniciales y optimizacin y estrategias de decisin multicriterio [58].

Hybrid heuristic for the inventory location-routing problem. Presenta un mtodo desolucin a un problema de ruteo y localizacin de inventario mediante un modelo deprogramacin lineal entera mixta. El mtodo es un hbrido basado en el supuesto quelos vehculos pueden visitar ms de un vendedor por ruta y que las decisiones deadministracin de inventario son incluidas por un sistema multi-depsito multi-vende-



dor (multi-depot multi-retailer system) con capacidad de almacenamiento para un horizontede planeacin de tiempo discreto [59].

Vehicle routing problem with random components for the collection of perishableproducts. Este trabajo presenta un modelo matemtico para solucionar un SVRP para larecogida de productos perecederos que contempla la demanda, los tiempos de recorridoy los tiempos de servicio como variables aleatorias normales. El mtodo de solucin esun hbrido de dos fases compuesto por mtodos exactos y una bsqueda tab [60].

5. ConclusionesEl VRP es un problema recurrente dentro del campo de la logstica, puesto que con-

siste en el diseo de rutas eficientes utilizando tcnicas y algoritmos propios de lainvestigacin de operaciones. Las tipologas de VRP han evolucionando a medida queaparecen nuevos requerimientos logsticos. Un primer resultado del estudio abordado eneste trabajo es una taxonoma propuesta para clasificar dicha tipologa de VRP basada enla inclusin de diferentes variables, parmetros y restricciones, y que ha consideradodesde los modelos originalmente propuestos a mediados del siglo anterior, hasta los dehoy en da.

La segunda tipologa encontrada en el estudio se refiere a los mtodos de solucinpropuestos para el VRP. En este sentido, se present una taxonoma que diferencia losmtodos exactos, heursticas, metaheursticas o hibridaciones de los anteriores.

Adicionalmente se puede resaltar que en el contexto competitivo de la economa de hoy,los ms recientes modelos VRP han tomado particular relevancia, en la medida en queabarcan problemas logsticos actuales referentes a mltiples viajes con ventanas de tiempo(Multi-trip VRP) y problemas incluyendo variables con comportamiento estocstico (SVRP).

La revisin bibliogrfica realizada permiti realizar las taxonomas aqu propuestas;estas se presentan a manera de gua bsica que permita a investigadores o ejecutivos enlogstica encontrar puntos de partida y referencias a para revisar en profundidad la litera-tura que permita abordar el estudio de problemas VRP que sean de su inters.

Por ltimo vale la pena destacar que el problema de VRP ha generado un crecienteinters en los grupos de investigacin en Colombia, con varios modelos propuestos paraa algunos de los problemas descritos en este artculo. El hecho de que se abarquen estostemas es de importancia para las soluciones logsticas que requieren las empresas colom-bianas, dentro de entornos cada vez ms exigentes de mercados globalizados y acuerdosde libre comercio en aumento.

Apndice: Tabla I. Siglas por tipos de VRPSIGLA SIGNIFICADOTSP Travelling Salesman Problem (Problema del Agente Viajero)m-TSP Multiple Travelling Salesman Problem (Problema del Agente Viajero Mltiple)m-TSPTW Multiple Travelling Salesman Problem Time Windows (Problema del Agente Viajero Mltiple con Ventanas de Tiempo)m-PTSP Multiple Probabilistic Travelling Salesman Problem (Problema del Agente Viajero Mltiple Probabilstico)PTSP Probabilistic Travelling Salesman Problem (Problema del Agente Viajero Probabilstico)CVRP Capacited Vehicle Routing Problem (Problema de Ruteo de Vehculos Capacitado)DVRP Distance Vehicle Routing Problem (Problema de Ruteo de Vehculos con restricciones de Distancia)



DCVRP Capacited and Distance Vehicle Routing Problem (Problema de Ruteo de Vehculos con restricciones de Capacidad y Distancia)VRPTW Vehicle Routing Problem Time Windows (Problema de Ruteo de Vehculos con Ventanas de Tiempo)VRPMTW Vehicle Routing Problem Multiple Time Windows (Problema de Ruteo de Vehculos con Ventanas de Tiempo Mltiples)VRPTD Vehicle Routing Problem with Time Deadlines (Problema de Ruteo de Vehculos con Ventanas de Tiempo Duras)VRPSTW Vehicle Routing Problem with Soft Time Windows (Problema de Ruteo de Vehculos con Ventanas de tiempo duras Flexibles)VRPB Vehicle Routing Problem with Backhauls (Problema de Ruteo de Vehculos con Retornos)VRPBTW Vehicle Routing Problem with Backhauls and Time Windows (Problema de Ruteo de Vehculos con Retornos)SDVRP Split Delivery Vehicle Routing Problem (Problema de Ruteo de Vehculos con Entregas Fraccionadas)SDVRPTW Split Delivery Vehicle Routing Problem with Time Windows

(Problema de Ruteo de Vehculos con Entregas Fraccionadas y Ventanas de Tiempo)VRPHF Vehicle Routing Problem Heterogeneous Fleet (Problema de Ruteo de Vehculos Flota Heterognea)VRPPD Vehicle Routing Problem Pickup and Delivery (Problema de Ruteo de Vehculos Recogida y Entrega)VRPPDTW Vehicle Routing Problem Pickup and Delivery and Time Windows

(Problema de Ruteo de Vehculos Recogida y Entrega con Ventanas de Tiempo)Site-dependent VRP Vehicle Routing Problem Site-dependent (Problema de Ruteo de Vehculos Dependiente del Sitio)HVRPFD Heterogeneous Vehicle Routing Problem with Vehicle Dependent Routing Fixed Cost

(Problema de Ruteo de Vehculos Heterogneo con Costo Fijo y Vehculos Dependientes de Ruta)HVRPD Heterogeneous Vehicle Routing Problem with Vehicle Dependent Routing Cost

(Problema de Ruteo de Vehculos Heterogneo con Costo y Vehculos Dependientes de Ruta)FSVRP Fleet Size Vehicle Routing Problem with (Problema de Ruteo de Vehculos Tamao de Flota)FSMFD Fleet Size and Mix Vehicle Routing Problem with Fixed Costs and Vehicle Dependent Routing

(Problema de Ruteo de Vehculos Mixto y Tamao de Flota con Costo Fijo y Vehculos Dependientes de Ruta)FSMD Fleet Size and Mix Vehicle Routing Problem with Costs and Vehicle Dependent Routing

(Problema de Ruteo de Vehculos Mixto y Tamao de Flota con Costo y Vehculos Dependientes de Ruta)FSMF Fleet Size and Mix Vehicle Routing Problem with Fixed Costs

(Problema de Ruteo de Vehculos Mixto y Tamao de Flota con Costo Fijo)PVRP Periodic Vehicle Routing Problem with (Problema de Ruteo de Vehculos Peridico)Multi - trip VRP Vehicle Routing Problem Multiple Trips (Problema de Ruteo de Vehculos Mltiples Viajes)Multi - depot VRP Vehicle Routing Problem Multiple Depots (Problema de Ruteo de Vehculos Mltiples Depsitos)MCVRP Multi Capacity Vehicle Routing Problem (Problema de Ruteo de Vehculos Mltiples Capacidades)MOVRP Multi Objective Vehicle Routing Problem (Problema de Ruteo de Vehculos Mltiples Objetivos)SVRP Stochastic Vehicle Routing Problem (Problema de Ruteo de Vehculos Estocstico)VRPUD Vehicle Routing Problem Uncertain Demand (Problema de Ruteo de Vehculos Demanda Incierta)VRPSTT Vehicle Routing Problem with Stochastic Travel Times (Problema de Ruteo de Vehculos )SVRP nodos Stochastic Vehicle Routing Problem Stochastic Nodes (Problema de Ruteo de Vehculos Estocstico con Nodos Estocsticos)estocsticos

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Linda Bibiana Rocha MedinaLinda Bibiana Rocha MedinaLinda Bibiana Rocha MedinaLinda Bibiana Rocha MedinaLinda Bibiana Rocha MedinaIngeniera Industrial de la Universidad de La Sabana, Colombia. Candidata a Ttulo de Maestra en Ingeniera Industrial en la Universidad DistritalFrancisco Jos de Caldas, Bogot, Colombia. Se desempe como Coordinadora de Calidad en Almacenes Brisa y como consultor Junior deprocesos en Novartis de Colombia. Posteriormente, ejerci el cargo de asesora en la Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas donde participel proyecto de Documentacin e Implementacin del Sistema Integrado de Gestin MECI-Calidad. Actualmente se desempea como docente enel rea de Logstica en la Universidad Minuto de Dios de Soacha, Colombia.

Elsa Cristina Gonzlez La RottaElsa Cristina Gonzlez La RottaElsa Cristina Gonzlez La RottaElsa Cristina Gonzlez La RottaElsa Cristina Gonzlez La RottaIngeniera Industrial de la Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas, Bogot, Colombia. Candidata a Ttulo de Maestra en Ingeniera Industrialen la Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas, Bogot, Colombia. Se desempe como docente en la Universidad Antonio Nario.Actualmente se desempea como profesora en el rea de Investigacin de Operaciones en la Universidad Catlica de Colombia.

Javier Arturo Orjuela CastroJavier Arturo Orjuela CastroJavier Arturo Orjuela CastroJavier Arturo Orjuela CastroJavier Arturo Orjuela CastroIngeniero Industrial y Especialista en Ingeniera de Produccin de la Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas de Bogot e Ingeniero deAlimentos. Obtuvo su ttulo de Maestra en Investigacin de Operaciones y Estadstica en la Universidad Tecnolgica de Pereira, Colombia,Estudios de Doctorado en Ingeniera Qumica, Universidad Nacional, de Bogot, Colombia. Actualmente se desempea como docente de tiempocompleto en la Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas, adscrito a la Facultad de Ingeniera.


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3832-16127-1-PB (2)