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C a l c u la t i o n o f B l a d e - t o - B l a d e F l o w i n

a T u r b o m a c h i n e b y S t r e a m l i n e C u r v a t u r e

~ i . ,

By D . H . WILKINSON

C en tr al El ec tri ci ty G en er at in g B o ar d ........ ~,,, ' ,i ' '!~ii

Repor ts and Memoranda No. 3704*

December , 1970

4 . ,

Summary

T h e o b j e c t o f a b l a d e - t o - b l a d e m e t h o d i s t o c a l c u l a t e th e b l a d e s u r f a c e v e l o c i ty d i s t r i b u t i o n a n d t h e

o u t l e t a n g l e f o r a g i v e n t h r e e - d i m e n s i o n a l c a s c a d e . T h e s e g i v e t h e h e a t d r o p o r w o r k d o n e a n d i n d i c a t e

w h e t h e r s h o c k w a v e s a re l i k el y t o o c c u r . A b o u n d a r y l a y e r c a l c u l a t io n c a n t h e n a l s o b e d o n e t o e s t i m a t e

t h e p r o f i le lo s s a n d t o s e e i f s e p a r a t i o n i s l i k e ly a n d h o w m u c h l a m i n a r f l o w th e r e m i g h t b e . M o s t m e t h o d s

a v a i l a b l e a t p r e s e n t c a n o n l y d e a l w i t h s p e c ia l c a se s s u c h a s t w o - d i m e n s i o n a l c o m p r e s s i b l e f lo w o r

t h r e e - d i m e n s i o n a l i n c o m p r e s s i b l e f lo w . T h e n e a r e s t a l t e r n a t i v e a p p r o a c h t o a c o m p l e t e m e t h o d , u s i n g

a t h r o u g h f l o w m e t h o d , h a s a l o n g e r r u n t i m e a n d c a n n o t f i n d t h e o u t l e t a n g l e .

A n e w m e t h o d i s d e s c r i b e d i n th i s r e p o r t f o r c a l c u l a t in g t h e c o m p r e s s i b l e f lo w i n a t h r e e - d i m e n s i o n a l

c a s c a d e o f b l a de s . T h i s u s es t h e ' s t r e a m l i n e c u r v a t u r e ' t e c h n i q u e w i t h t a n g e n t i a l q u a s i - o r t h o g o n a l s ,

a n d t h e s h a p e s o f t h e s t a g n a t i o n s t r e a m l i n e s a r e d e t e r m i n e d i t e r a t i v e l y t o s a t is f y t h e c o n d i t i o n o fp e r i o d i c i t y i n t h e t a n g e n t i a l d i r e c ti o n . T h i s c o n d i t i o n i s a ls o s u f f ic i e nt t o d e t e r m i n e t h e o u t l e t a n g l e .

T h e c a l c u l a t i o n i n c l u d e s a ll e ff ec t s o f c o m p r e s s i b i l i t y , c h a n g e o f a n n u l u s a r e a a n d c h a n g e o f ra d i u s ,

e n a b l i n g d e v i a t i o n s d u e t o v e l o c i t y r a t i o a n d C o r i o l i s f o rc e s t o b e f o u n d . C o m p a r i s o n s o f t h e o r e t i c a l

p r e d i c t i o n s w i t h t h o s e o f o t h e r t h e o r i e s a n d w i t h e x p e r i m e n t f o r p a r t i c u l a r c a s e s s h o w g o o d a g r e e m e n t .

A n e w d e s i g n m e t h o d f o r c a l c u l a t in g t h e b l a d e s h a p e r e q u i r e d f o r a p r e s c r i b e d v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n

i s a l s o o u t l i n e d a s a s i m p l e e x t e n s i o n t o t h e a n a l y s is m e t h o d .

T h e s e m e t h o d s c a n b e a p p l i e d t o c a s c a d e s i n s t e a m , g a s a n d w a t e r t u r b i n e s , g a s c i r c u l a t o r s , c o m -

p r e s s o r s a n d p u m p s w i t h a x i al , m i x e d o r r a d i a l f lo w .

* Re p l a c e s A .R .C . 3 2 8 7 8.

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°

2.

,

4.

5.

6.

L IS T O F C O N T E N T S

I n t r o d u c t io n

E q u a t i o n s a n d M e t h o d o f S o l u t io n

2 .1 . Ve lo c i ty g r ad ien t eq u a t io n

2 .2 . C o n t in u i ty an d lo sse s

2 .3 . S t ab i li t y an d co n v e r g en ce

2 .4 . S t ag n a t io n s t r eam l in e sh ap es

2 .5 . Nu m er ica l d i ff e ren t ia t io n an d sm o o th in g

2 .6 . Star t ing values

D a t a f o r C o m p u t e r P r o g r a m

C o m p ar i so n s wi th Oth e r Th eo r i e s an d Ex p e r im en t

A N e w D e s i g n M e t h o d

C o n c lu s io n s

L i s t o f Sy m b o l s

References

A c k n o w l e d g e m e n t

Tab le 1

Illustration s, Figs. 1 to 17

De tach ab le Ab s t r ac t C a r d s

2

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1 . I n t r o d u c t i o n

T h e s o l u t i o n o f th e p r o b l e m o f c a l c u l a t i n g t h e c o m p r e s s i b l e i n v i s ci d fl o w t h r o u g h a t h r e e - d i m e n s i o n a l

c a s c a d e , d ef i n e d b y t h e i n t e r s e c t io n o f a n a r b i t r a r y m e r i d i o n a l s t r e a m s u r fa c e o f v a r y i n g t h i c k n e s s w i t h a

b l a d e r o w i s u s u a l l y a t t e m p t e d b y o n e o f t w o m a i n a p p r o a c h e s , t h e m a t r i x m e t h o d , o r s tr e a m l i n e c u r v a -

t u r e . T h e r e i s w i d e a g r e e m e n t o n t h e g e n e r a l e q u a t i o n s o f m o m e n t u m , c o n t i n u i t y , e tc ., g o v e r n i n g t h e f lo w

" a n d t h e m e t h o d s d i f fe r i n t h e n u m e r i c a l t e c h n i q u e s u s e d f o r s o l v in g t h e e q u a t i o n s a n d a p p l y i n g t h e

b o u n d a r y c o n d i t i o n s . A r e c e n t p a p e r b y S m i t h a n d F r o s t 1 ( 19 7 0 ) h a s d e s c r i b e d t h e ' m a t r i x ' m e t h o d i nw h i c h t h e f lo w e q u a t i o n s a r e c o m b i n e d i n t o o n e e q u a t i o n f o r t h e s t r e a m f u n c t i on , in t h e f o r m o f a P o i s s o n ' s

e q u a t i o n o f w h i c h t h e r i g h t h a n d s i d e i s d e t e r m i n e d i t e r a ti v e l y a s t h e c a l c u l a t io n p r o c e e d s . T h e u n k n o w n s

a r e t h e s t r e a m f u n c t i o n v a l u e s a t p o i n t s o n a n o n - u n i f o r m g r i d c o v e r i n g t h e f l o w f i e l d . T h e m e t h o d a s

p u b l i s h e d d o e s n o t f i n d t h e o u t l e t a ng l e , a l t h o u g h t h i s is n o t a f u n d a m e n t a l l i m i t a t i o n a n d f u r t h e r d e v e l o p -

m e n t m a y e n a b l e i t t o d o s o . S o l u t i o n s p u b l i s h e d s o f a r h a v e b e e n v e r i f i e d o n l y f o r t w o - d i m e n s i o n a l

c a s e s w i t h s t r e a m s u r f a c e t h i c k n e s s v a r i a t i o n a l t h o u g h a s i t s t a n d s t h e m e t h o d s h o u l d b e a b l e t o in c l u d e

c h a n g e o f r a d i u s e f f e ct s f o r fi x e d o r r o t a t i n g b l a d e s . A d i s a d v a n t a g e a t p r e s e n t is t h e l o n g r u n t i m e s b u t

t h i s i s p r o b a b l y m a i n l y d u e t o u s i n g a c o m p u t e r t h a t i s t o o s l o w a n d h a s i n a d e q u a t e s t o r a g e , a n d i t i s

e x p e c t e d t h a t r u n t i m e s w il l b e r e d u c e d . A m o r e i m p o r t a n t l i m i t a t i o n i s t h a t t h e f o r m o f t h e e q u a t i o n

f o r th e s t r e a m f u n c t i o n p r e v e n t s c a l c u l a t i o n s w i t h a n y s u p e r s o n i c f lo w , a n d t h e c o n v e r g e n c e o f t h e

m e t h o d w o u l d a l s o b e e x p e c t e d t o b e s i g n i f i c a n t l y w o r s e a t h i g h M a c h n u m b e r s . T h e r e i s a t p r e s e n t ,

n o v e r y o b v i o u s w a y ro u n d t h is M a c h N u m b e r l i m i ta t io n , a l t h o u g h o n e m a y o f c o u r s e be f o u n d .

T h e o t h e r m a i n a p p r o a c h f o r s o l v i n g t h e e q u a t i o n s is t h e ' s t r e a m l i n e c u r v a t u r e ' t e c h n i q u e . T h i s

a p p e a r s i n t w o f o r m s , o n e u s i n g n o r m a l s t o t h e f lo w , J a n s e n z , a n d B i n d o n a n d C a r m i c h a e l 3 , ( 19 7 0 )

a nd the o the r u s ing qu a s i - o r tho go na l s , K a t sa n i s 4 's ( 1964 ), ( 1965) , W i lk in so n 6 ( 1970) . Th e m e th od s

u s i n g n o r m a l s h a v e , a s fa r a s is k n o w n , o n l y b e e n u s e d f o r t w o - d i m e n s i o n a l c a s es , b u t a r e f o r a n u m b e r

o f r e a s o n s p r o b a b l y l es s g o o d t h a n t h e q u a s i - o r t h o g o n a l m e t h o d s . A q u a s i - o r t h o g o n a l , o r q - o a s it w i ll

be r e f e r r e d to , i s a f i xe d l i ne w h ic h i s i n p r a c t i c e n e a r ly a lw a ys s t r a igh t , bu t i s no t ne c e s sa r i l y so , a nd

w h i c h g o e s f r o m o n e w a l l t o t h e o t h e r o f t h e c h a n n e l c o n f i n i n g t h e f lo w . A ll o f t h e m a s s f l o w t h e r e f o r e

C r os se s it a n d t h i s is u s e d t o s a ti s fy t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n b y a d j u s t i n g t h e v e l o c i t y l e ve l a l o n g t h e q - o '

t o g i v e t h e c o r r e c t m a s s f l o w . T h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n a l o n g t h e q - o ' i s g i v e n b y t h e v e l o c i t y g r a d i e n t

e q u a t i o n w h i c h is d e ri v e d fr o m t h e e q u a t i o n s o f m o m e n t u m , e n t r o p y a n d e n e rg y . A s al l o f t h e t e r m s o n

t h e r i g h t h a n d s i d e o f t h e v e l o c i t y g r a d i e n t e q u a t i o n a r e n o t k n o w n , a n i t e r a t i v e p r o c e d u r e is u s e d t os o l v e th e e q u a t i o n s s i m u l t a n e o u s l y . I t h a s b e e n s h o w n i n W i l k i n s o n 6 ( 1 97 0 ) t h a t t h e m e t h o d c a n i n c l u d e

s u p e r s o n i c f lo w i n p a t c h e s w h i c h o c c u p y u p t o h a l f t h e c h a n n e l a n d b y B i n d o n a n d C a r m i c h a e l 3 ( 19 7 0)

t h a t t h e m e t h o d c a n b e e x t e n d e d t o i s e n t ro p i c s u p e r s o n i c fl o w fo r th e ' n o r m a l s ' m e t h o d .

I n W i l k i n s o n 6 ( 19 7 0 ) a t w o - d i m e n s i o n a l m e t h o d w a s d e s c r i b e d i n w h i c h q - o ' s a p p r o x i m a t e l y n o r m a l

t o t h e f l o w w e r e u se d . A d i f fi c u lt y w a s e n c o u n t e r e d i n d e c i d i n g o n t h e c o r r e c t s h a p e f o r t h e u p s t r e a m a n d

d o w n s t r e a m s t a g n a t i o n s t r e a m l in e s (s .s .1 .). A l t h o u g h t h e f l o w g o e s t h r o u g h a n i n f in i t e c a s c a d e t h e

m e t h o d o n l y c o n s i d er s t h e fl o w t h r o u g h o n e c h a n n e l , d e fi n e d w i th i n t h e b l a d e r o w b y t h e s u c t i o n a n d

p r e s s u r e su r f a c e s o f a d j a c e n t b l a de s a n d ou t s ide t he b l a de r ow by the s . s.l .'s . I n K a t sa n i s 5 ( 1965) a nd

W i lk in son 6 ( 1970 ) t he s .s .1 , sha pe s m u s t be e s t im a te d , b u t i t is sho w n in W i lk in s on a nd A l l so pp 7 ( 1969 )

t h a t t h i s c a n c a u s e c o n s i d e r a b l e e r r o r s , p a r t i c u l a r l y f o r c o m p r e s s i b l e f lo w . T h e r e a s o n f o r t h i s c a n e a s il y

b e s e e n b y c o n s i d e r i n g a n o z z l e b l a d e F i g . 1 0 f o r w h i c h o v e r t h e l a s t h a l f o f t h e s u c t i o n s u r fa c e , w h e r e

t h e M a c h N u m b e r i s h i g h e s t, th e c h a n n e l i s f o r m e d b y t h e s u c t i o n s u r f a c e i t se l f o n o n e s i d e a n d t h es .s.1 , f r o m t h e t r a i l in g e d g e o n t h e o t h e r . A t h i g h M a c h N u m b e r s s m a l l v a r i a t i o n s i n c h a n n e l w i d t h d u e

to e r r o r s i n t he s .s .1 , sha p e h a ve a l a r g e e f f ec t , a n a r e a r e d uc t ion o f on ly 4 pe r c e n t be ing su f f i c i en t t o

r a i se t h e m e a n M a c h N u m b e r f r o m 0 . 8 to 1 .0 . A p a r t f r o m d i f f i cu l t ie s w i t h c h o k i n g , t h e l o a d a t t h e t r a i l i n g

e d g e w i l l n o t r e d u c e t o z e r o a n d t h e v e l o c i t y g r a d i e n t s a l o n g t h e b l a d e s u r f ac e s w i ll b e i n c o r r e c t. T h e r e

i s n o s i m p l e w a y o f e s t i m a t i n g t h e s .s .1 , s h a p e s a s t h e s e d e p e n d o n t h e b l a d e s h a p e , t h e M a c h N u m b e r

o n a n n u l u s a r e a c h a n g e s , w h i c h m a k e t h e s .s .l .' s cu r v e , a n d o n r e l a t iv e v o r t i c i t y o r C o r i o l i s f o r c e e f fe c ts

f o r a r o t a t i n g b l a d e r o w . H o w e v e r , it i s p o ss i b l e t o d e t e r m i n e t h e s .s .1 , s h a p e s b y u s i n g t h e c o n d i t i o n

o f p e r i o d i c i ty . T h i s c o n d i t i o n i s s i m p l y t h a t f o r a n i n f i n i te a r r a y o f b la d e s , a ll f l o w p a r a m e t e r s a r e p e r i o d i c

i n t h e t a n g e n t i a l d i r e c t i o n w i t h a w a v e l e n g t h e q u a l t o t h e p i t c h o f t h e b l a d es . T w o p o i n t s a t t h e s a m e

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ax i a l o r m e r i d i o n a l s t a t io n s o n t h e ' s u c t i o n ' an d ' p r e s s u re ' s t a g n a t i o n s t r eam l i n es a r e i n e f f ec t t h e s am e

p o i n t a n d s h o u l d h a v e t h e s a m e v e l o c i t i e s a n d o t h e r f l o w p a r a m e t e r s . T h i s c o n d i t i o n h a s b e e n g i v e n

b y S m i t h a n d F r o s t ( 1 97 0 ), a m o n g o t h e r s , w h e r e i t is u s e d a s a p a r t o f a t w o - d i m e n s i o n a l s t r e a m l in e

c u r v a t u r e m e t h o d a l t h o u g h n o i n f o r m a t i o n i s g i v e n t h e r e o n h o w t h e s . s . l , s h a p e s a r e f o u n d , a n d t h e

p u b l i s h ed ex am p l es d o n o t v e r i fy i ts s u cces sfu l o p e ra t i o n .

T h i s r ep o r t w i l l s h o w t h e d e r i v a t i o n o f t h e v e l o c i t y g rad i en t eq u a t i o n i n t h e m o s t s u i t ab l e fo rm fo r

t an g en t i a l q -o 's . T h e s t ab i l i ty an d ac cu ra cy o f th e s o l u t i o n w i ll b e an a l y s e d an d a n ex p res s i o n fo r t h e

o p t i m u m d a m p i n g f a c t o r d e r iv e d . A n e w m e t h o d w i ll b e g i v e n fo r i te r a t iv e l y d e t e r m i n i n g t h e s h a p e so f t h e s t a g n a t i o n s t r e a m l in e s , a n d a l s o o f t h e o u t l e t a n g le b y m e a n s o f a K u t t a - J o u k o w s k i c o n d i t io n .

T h e m e t h o d s f o r f i n d in g f ir st a n d s e c o n d d e r i v a t iv e s a n d o f s m o o t h i n g w i ll a ls o b e d i s c u s s e d a n d r e c o m -

m e n d a t i o n s m a d e . F i n a l l y , a n u m b e r o f c o m p a r i s o n s o f t h e m e t h o d w i th o t h e r t h e o r i e s a n d w i t h e x p e ri -

m e n t w i ll b e s h o w n f o r sp e c ia l c a se s w h i c h i n d i c a t e t h e a c c u r a c y o f t h e n e w m e t h o d w h e n a p p l i e d t o

g e n e r a l c o m p r e s s ib l e f lo w b l a d e - t o - b l a d e c a s e s w i th c h a n g e o f ra d i u s a n d a n n u l u s a r e a a n d f ix e d a n d

ro t a t i n g b l ad es .

A l s o a n e w d e s i g n m e t h o d w i l l b e s u g g e s t e d i n w h i c h t h e p r o c e d u r e f o r c a l c u l a t i n g t h e s t a g n a t i o n

s t r eam l i n e s h ap es w i ll b e ex t en d ed t o m o d i fy t h e b l ad e s h ap e a s we ll a s t o o b t a i n a p re s c r i b ed s u c t i o n

s u r face v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n .

2 . Eq u a t i o n s a n d M e t h o d o f S o l u t i o n

2.1 . Ve loc i ty Grad ient Equ at ion

An e q u a t i o n fo r t h e g rad i en t o f r e l a t i v e v e l o c i ty W in t h e 0 -d i r ec t i o n t o g i v e t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n

a l o n g a t an g en t i a l q -o ' i s req u i r ed . C o n s i d e r a cy l i n d r i ca l co o rd i n a t e s y s t em (z, r , 0 ) f i xed i n s p ace an d

a co ord ina te sys tem (z , r , 0 ') ro ta t in g w i th the b lades a t a ng ula r ve loci ty o), wh ere ~o i s pos i t ive in th e0-d i rect ion , Fig . 1 .

T h e m o m e n t u m e q u a t i o n i s

1 d ( V o r ) 1 O p

r d t p r 0 0 " (1)

T h e e n t r o p y e q u a t i o n i s

O s O h 1 O p

T 00 - 00 p 00" (2)

E l i m i n a t i n g p b e t we en (1 ) an d (2 )

1 d ( V o r ) T O s 1 O h

r d t r 0 0 r 0 0 '( 3 )

h can b e r ep l aced u s i n g E u l e r ' s t u rb i n e eq u a t i o n fo r p o i n t s o n a s t r eam l i n e

h~l - o~rV ol = h~2 - corVo2 = I

o r

h , = I + o o r V (4)

a n d t h e e n e r g y e q u a t i o n

V 2

h ~ = h + ~ - . ( 5 )

4

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F r o m (4 ) a n d ( 5 )

V 2

h = I + c ° rV ° 2 (6 )

A l s o , f r o m t h e t w o c o o r d i n a t e s y s t e m s

O = O ' + o ) t

0 0 0 0 '= r z i + o ) r

(7 )

or

D e f i n i n g a m e r i d i o n a l v e l o c i t y V m b y

i t f o l l o w s t h a t

o r f r o m ( 8 )

w h e r e

F r o m ( 6) , ( 8) a n d ( 1 1)

V = W 0 + m r . (8 )

V ~ = V 2 + V f , (9 )

V 2 = V 2 + V o (1 0 )

= V ~ + W 2 + 2 o ~ r W + c o 2 r 2

= W 2 + 2corWo + c o Z r2 , ( 1 1 )

W 2 = V 2 + W o . ( 1 2)

~2r2 W 2

h = I + - - ( 1 3 )2 2

I t w i ll b e a s s u m e d (i) t h a t t h e r e i s u n i f o r m i n f l o w s o t h a t 0 I / ~ 0 = 0 , ( ii ) t h a t t h e f l o w i s w i t h i n a m e r i d i o n a l

s t r e a m s u r f a ce w h i c h i s a s u r fa c e o f r e v o l u t i o n s o t h a t

0r

-- ~ 0~

0 0

a n d ( iii) t h a t t a n g e n t i a l e n t r o p y g r a d i e n t s m a y b e n e g l e c te d , Os/O0 = 0 . A s s u m p t i o n (ii) i s t h e u s u a l o n e

o f n e g l e c t i n g s t r e a m s u r f a c e t w i st . A s s u m p t i o n ( ii i) n e g l e c t s e n t r o p y g r a d i e n t s d u e t o l o s s e s w i t h i n t h e

b o u n d a r y l a y er s . I t d o e s n o t p r e v e n t a s / O m b e i n g n o n - z e r o a n d i n f a c t l o s s e s o f t h i s t y p e w i ll c o m e i n

v i a th e c o n t i n u i t y e q u a t i o n , i n t h e f o r m o f r e d u c e d p r e s s u r e a n d d e n s i t y a n d h e n c e i n i n c r e a s e d v e l o c i t y

l e v el , a n d i t i s i m p o r t a n t t o p u t t h e m i n t o g e t t h e r i g h t v e l o c i ti e s a n d e n t h a l p y c h a n g e s .

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W i t h t h e s e a s s u m p t i o n s ( 1 3 ) g i v es

1 O h 1 O W 2

r a0 2 r ~0

a n d (3 ) b e c o m e s

W O W _ 1 d (V or ) _ 1 d ( W o r + w r 2 )

r 30 r d t r d t '( 1 4 )

s ince V0 = V0(z , , 0 , t ) an d W = W0(z, r , 0 ') , it i s conv en ien t to e xpre ss the to ta l de r iva t ive in te rm s o f

p a r t i a l d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o t h e r o t a t i n g c o o r d i n a t e s y s t e m ( z, r , 0 ') t o a v o i d t i m e d e p e n d e n c e .

T h e r e f o r e

w 0v w0 aw0W c~W aW o + + 2w V~ + - - - + V~ (15 )r 3 0 - V ' o r r r 0 0 ' a z "

F r o m t h e d e f i n i ti o n o f d i s t a n c e m a l o n g t h e m e r i d i o n a l s t r e a m s u r f a c e i m p l i e d b y (9 )

a a a

cqm co s a~zz + s in ~

or

v Z v L v LOm = Oz + Or

a n d (1 5) b e c o m e s

w0v~ WoaWoO W a W ° + + 2 wV , + - - - - .

r 0 0 - V ~ ~ m r r 0 0 '

S i m i l a r l y , d e f i n i n g d i s t an ce a l o n g a s t r eam l i n e , s , b y

d s z = d m 2 + r 2 dO 2,

w _ d +W o ad s = V " o m ~ - O 0- ~

a n d

w a w w d W o w ovr O 0 - d s + r + 2 w V ~ (16)

w h e r e d W o / d s i s th e c o n v e c t i v e d e r i v a t i v e o f W o a l o n g a s t r e a m l i n e . N o t i n g t h a t d m / d s = cos f l = V , , / W

( 16 ) can b e w r i t t en

w a w v , aW o W o V .r aO - - ~ m + r + 2w V r . (17)

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E q u a t i o n ( 1 7) f o r t h e v e l o c it y g r a d i e n t c a n b e s h o w n t o b e t h e s a m e a s t h a t g i v e n b y K a t s a n i s s (1 96 5)

a n d m a y a l s o b e f o u n d f r o m t h e c o n d i t i o n o f z e ro a b s o l u t e v o r t i c i t y a b o u t a n e l e m e n t o f t h e m e r i d i o n a l

s t r eam s u r f ace

E q u a t i o n ( 1 7) m a y a l s o b e w r i t te n

8 W -° s o 0 f l { ~ + 2o)r J-ram} (18)

I f u s e d i n t h is f o r m , d e t e r m i n a t i o n o f th e r i g h t h a n d s id e i n v o l v e s 'd o u b l e d i f f e r e n t i a t i o n ' i n t h e s e n s e

o f W i l k i n s o n 6 (19 7 0) . S i n ce t h e d i s t r i b u t i o n o f W i s f o u n d a s ~ r e s u l t o f an i t e r a t i o n , W0 c a n o n l y b e f o u n d

f r o m t h is b y

w i t h f l f r o m

W o = W s i n f l ,

dOt a n fl = rd---~m.

T h i s i n v o l v e s n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n o f dO/din f o l l o w e d b y a s e c o n d n u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o n o f W 0 .

T h i s ' d o u b l e d i f f e r e n t i a ti o n ' p r o c e s s w a s s h o w n i n W i l k i n s o n 6 (1 97 0) t o b e r a t h e r i n a c c u r a t e a n d t o

i n v o l v e a p a r t i c u l a r a n d h i d d e n s m o o t h i n g p r o c e s s w h i c h m a y b e n e i t h e r n e c e s sa r y n o r d e s ir a b le . M o r e

f l ex i b il it y i s o b t a i n e d b y m a k i n g t h e s e c o n d d e r i v a ti v e d 2 0 / d m 2 a p p e a r d i r e c t ly in t h e e q u a t i o n .

S i n ce

dOWo = I'm ta n f l = V, .r~m

2 dOWor = V. , r ~ ,

a n d ( 1 8) b e c o m e s

a w f d ( V m r dO 2 d 20 a }8---0- = c o s ( dm d m + Vmr -dmgm + 2cor . (19)

E q u a t i o n ( 19 ) i s th e f o r m o f t h e v e l o c i ty g r a d i e n t e q u a t i o n u s e d . N u m e r i c a l d i f f e r e n ti a t io n is c o n s i d e r e d

i n Se c t i o n 2 .5 . T h e p ro c ed u re w i t h e q u a t i o n (1 9 ) i s t o s t a r t w i t h t h e v a l u e o f W ~,NMo n t h e m i d s t r e a m l in e

f r o m t h e p r e v i o u s i t e r a ti o n a n d t o i n t e g r a t e n u m e r i c a l l y i n b o t h d i r e c t i o n s u s i n g t h e t r a p e z i u m r u l e t o

f i n d t h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n f ro m s u c t i o n t o p r e s s u re s u r f ace . A f t e r th i s i t i s n eces s a ry t o ad j u s t t h e

v e l o c i ty l ev e l to s a t is f y c o n t i n u i t y a n d t h is i s d o n e b y a d d i n g a c o n s t a n t A W a t a l l o f th e s t r e a m l i n e s.

I t i s n o t n eces s a ry t o r ec a l cu l a t e O W / O 0 u n t i l t h e i t e r a t i o n i s co m p l e t e an d a n e w s e t o f s t r eam l in e s h asb e e n f o u n d .

2 . 2 . C o n t i n u i t y a n d L o s s e s

Co n s i d e r i n g t h e m er i d i o n a l s t r eam s u r f ace t o h av e a t h i ck n es s A r = A r (m) , F i g . 1 , t h e mas s f l o w

c r o s s in g a n y q - o ' c o n s i d e r i n g o n e f l o w c h a n n e l o n l y , is

f 0 ~ /¢M N = p W c o s f l c o s c~Ar. r . dO,

1(20)

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w h e r e s u b s c r i p t s 1 a n d N i n d i c a t e t h e s u c t i o n a n d p r e s s u r e s u r f a c e s, o r t h e i r a ss o c i a t e d s t a g n a t i o n

s t r e a m l i n e s , r e sp e c t iv e l y . I n f ro n t o f o r b e h i n d t h e b l a d e r o w

2 7 r

ON - 01 -N B

w h e r e N B i s t h e n u m b e r o f b l a d e s. W i t h i n t h e b l a d e r o w

27 r

O u - O a = N B - O t ( 2 1 )

w h e r e 0 , i s t h e l o c a l t a n g e n t i a l t h i c k n e s s o f t h e b l a d e i n r a d i a n s .

T o t a l e n t h a l p i e s a l o n g a s t r e a m l i n e a r e f o u n d b y (4 ) o r , in r e l a t i v e q u a n t i ti e s

o ~ 2 r 2

h , ~ = I + 2 - h i t ( m ) (22)

t h e n

W 2

h = h t . 2 (23)

I t is u se f u l t o w o r k i n t e r m s o f r e l a t iv e q u a n t i t i e s a s lo s s e s m a y b e e s t i m a t e d a p p r o x i m a t e l y f r o m

f i x e d t w o - d i m e n s i o n a l c a s c a d e t e s t s a s a l o s s c o e f f i c i e n t w h i c h i s t h e r e l a t i v e t o t a l p r e s s u r e l o s s d i v i d e d

b y t h e o u t l e t r e l a t iv e d y n a m i c p r e s s u r e . A t a n y p o i n t , a s s u m i n g a p e r f e c t ga s ,

1 h \~/(~- i)

~ r % o d(24)

w h e r e s u b s c r i p t r e f i n d i c a t e s r e f e r e n c e v a l u e s , s a y a t i n l e t, a n d A p t r i s th e l o s s in r e l a t i v e t o t a l p r e s s u r e

w h i c h m u s t b e e s t i m a t e d f r o m lo s s c o r r e l a t i o n s o r b o u n d a r y l a y e r c a l c u l a ti o n s .

T h e t o t a l p r e s s u r e l o s s t h r o u g h t h e w h o l e b l a d e r o w i s u s u a l l y i n p u t a s a l o s s c o e f f i c i e n t n o n -

d i m e n s i o n a l i s e d w i t h r e s p e c t to r e l a ti v e d y n a m i c p r e s s u r e a t o u t l e t. T h i s l o s s m u s t b e d i s t r i b u t e d i n s o m e

w a y t h r o u g h t h e c h a n n e l a n d t h e s i m p l e a s s u m p t i o n i s m a d e t h a t i t v a r i e s l i n e a rl y in t e r m s o f d i s t a n c e

a l o n g t h e m i d - s t r e a m l i n e f r o m z e r o a t t h e l e a d i n g e d g e , i = M L t o a m a x i m u m a t t h e t r a i l i n g e d g e

i = M T a n d i s c o n s t a n t a t z e r o a n d t h e m a x i m u m i n f r o n t o f a n d b e h i n d t h e b l a d e r o w r e s p e c ti v e l y .

T h e r e l a ti v e t o t a l d e n s i t y t h e n f o l l o w s f r o m t h e g a s l a w

7 P t r

P t r - (7 - 1)J hr, (25)

a n d t h e s t a ti c d e n s i t y f r o m t h e i s e n t r o p i c r e l a t i o n

P = P t r = P t~ 1 - -r r

(26)

E q u a t i o n s ( 2 2 ) , ( 2 4 ) , ( 2 5 ) a n d ( 2 6 ) e n a b l e t h e s t a t i c d e n s i t y t o b e f o u n d a n d s u b s t i t u t e d i n e q u a t i o n ( 2 0 )

t o f i n d t h e m a s s f l o w .

E q u a t i o n ( 2 0 ) i s m o r e c o n v e n i e n t l y w r i t t e n

M N = M N _1 f f Ncos a . A r . r . (0N - 0a ) - (ON 0a) p W c o s f l d O , (27)

1

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s i n c e al l o f t h e q u a n t i t i e s i n t h e d e n o m i n a t o r o f 3AN a r e k n o w n a s f u n c t i o n s o f z a n d M N c a n b e f o u n d

a t t h e s t a r t o f t h e c a l c u l a t i o n f o r e a c h q - o ' .

I n g e n e r a l a g i v e n W d i s t r i b u t i o n i n ( 27 ) w i ll n o t g i v e t h e c o r r e c t M N a n d a n i n c r e m e n t A W a t a l l

p o i n t s a l o n g t h e q - o ' m u s t b e a d d e d . T o f i n d A W w e n e e d

d m N

d W

w h i c h i s a p p r o x i m a t e l y

dMN d(p W) N M

d W " " c o s f l N m d W

F r o m ( 2 6 )

_ W 2 (2-y ) /(7- 1)

o r , a l t e r n a t iv e l y , i n t e r m s o f p

c o sa .p 2 - 7 - z 5

(28)

w h e r e s u b s c r i p t N M i n d i c a t e s t h e m i d - s t r e a m l i n e .

E q u a t i o n s ( 2 7) a n d (2 8) a r e u s e d t o f i n d A W a n d t h e i t e r a t i o n p r o c e s s r e p e a t e d u n t i l A W i s n e g l ig i b le .

F o r q - o ' s o n w h i c h M a c h N u m b e r s n e a r o r a b o v e 1 .0 m a y b e r e a c h e d i t i s a d v i s a b le t o e v a l u a t e

d ( p W )

d W

a t a l l p o i n t s o n t h e q - o , a n d u s e

dMN 1 f j N , , d(p W) ,40d W - (On - 01) cos P - - -d -W ~ '""

1

T h i s i s b e c a u s e i f t h e q - o ' i n t e r s e c t s a s u p e r s o n i c p a t c h a t a h i g h a n g l e , t h e v e l o c i t y c o u l d b e s u b s o n i c

a t b o t h e n d s a n d s u p e r s o n i c in t h e m i d d l e w i t h o u t i t b e in g c h o k e d . F o r h i g h l y i n c li n e d q - o 's t h e n t h e

M a c h N u m b e r o n t h e m i d - s tr e a m l i n e m a y n o t b e a g o o d e n o u g h g u i d e t o w h e t h e r i t i s c h o k e d o r n o t ,

a n d t h e e x a c t e x p r e s s i o n fo r d M N / d W g i v e n a b o v e s h o u l d b e u s e d .F o r c h o k i n g d M N / d W = 0 a n d f r o m ( 28 )

(29)

T h e s p e e d o f s o u n d is g iv e n b y

a 2 = ( y - - 1 ) h = h r . ( y - 1) 1 - .r

9

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T h e r e f o r e

a *2 = h t ( 7 - 1 ) [~ ? T T - ~ ]

a n d t h e r e f o r e

W . 2

Mr~e2 : 7 : 1"0.

T h i s s h o w s t h a t c h o k i n g o c c u r s a p p r o x i m a t e l y a t a r e l a t i v e M a c h N u m b e r o f 1 .0 o n t h e m i d - s t r e a m l i n e ,

a n d t h a t s u p e r s o n i c f lo w o n l es s t h a n h a l f t h e q - o ' c a n e x i s t w i t h o u t c h o k i n g t h e q - o ' a s a w h o l e . T h i s

e n a b l e s t h e m e t h o d t o d e a l w i t h s u p e r s o n i c p a t c h e s . T h e r e a r e o f c o u r s e t w o p o s s i b l e d i s t r i b u t i o n s o f

W t h a t s a t i s f y e q u a t i o n ( 2 7 ) , e x c e p t a c t u a l l y a t c h o k i n g . T h e s e a r e t h e s u b s o n i c a n d s u p e r s o n i c v a l u e s .

E i t h e r c a n b e f o u n d u s i n g e q u a t i o n s (2 6), (2 7), a n d ( 2 8), th e o n e t h a t a p p e a r s d e p e n d i n g o n w h e t h e r t h e

i n i t ia l W NM t ak e n i s l e ss t h an o r g r e a t e r t h a n W * f r o m eq u a t i o n ( 2 9 ). T h i s a s s u m e s t h a t t h e s u p e r s o n i c

f l o w is i s en t r o p i c , w h i ch w i ll o n l y b e t r u e i n t h e ab s en c e o f s h o ck w av es . S u p e r s o n i c q - o ' s w i l l o n l y ex i s t

f o l l o w i n g a s o n i c t h r o a t a n d t h e e x t e n t o f t h e s u p e r s o n i c r e g i o n w i ll d e p e n d o n t h e d o w n s t r e a m p r e s s ur e .

2 . 3 . S t a b i l i ty a n d C o n v e r g e n ce

I n o r d e r t o e n s u r e c o n v e r g e n c e a n d m i n i m i s e t h e n u m b e r o f i t e r a t i o n s r e q u i r e d i t i s n e c e s s a r y t o

d e t e r m i n e t h e o p t i m u m d a m p i n g f a c t o r . I n W i l k i n s o n 6 (1 97 0), K a t s a n i s 5 ( 19 65 ), a n d K a t s a n i s ~ (1 9 64 )

t h e c h a n g e i n st r e a m l i n e p o s i t i o n b e t w e e n o n e i t e r a t i o n a n d t h e n e x t w a s m u l t i p l i e d b y a f a c t o r le s s t h a n

1 .0 t o p r ev e n t d i v e r g en c e o f t h e ca l cu l a t i o n p r o ces s . W i l k i n s o n 6 ( 19 70 ), ex p l a i n ed t h e r e a s o n f o r t h i s

a n d g a v e a n e x p r e s s i o n f o r t h e o p t i m u m d a m p i n g f a c t o r i n t h e t w o - d i m e n s i o n a l c a s e w i t h q - o ' s r o u g h l y

n o r m a l t o t h e f l ow . T h i s s t a b i l i ty a n a l y s i s w a s e x t e n d e d t o a x i s y m m e t r i c c a s e s i n W i l k i n s o n 8 (1 96 9).

H o w e v e r i n a p p l y i n g t h i s t o m u l t i - s t a g e t u r b o m a c h i n e s i t w a s f o u n d n e c e s s a r y t o d a m p t h e c h a n g e i n

v e l o c i t y g r a d i e n t i n s t e a d o f t h e c h a n g e i n s t r e a m l i n e p o s i t i o n a n d t h e s a m e p r o c e d u r e w i ll b e f o l lo w e d

h e r e .T h e s i m p l e f l o w m o d e l f o r t h e s t ab i l i t y an a l y s i s i s s h o w n i n F i g . 2 w h e r e t h e ex a c t s o l u t i o n i s a u n i f o r m

h e l ic a l fl o w a b o u t a c o n s t a n t r a d i u s c y l i n d e r . T h e c o o r d i n a t e s y s t e m i n th e m e r i d i o n a l s t r e a m s u r fa c e

i s u s u a l l y ( m , 0 ') b u t a n o t h e r u s e f u l n o n - d i m en s i o n a l o n e i s (4 , 0 ') w h e r e

= f ! d m . (30)

T h i s g i v es a c o n f o r m a l t r a n s f o r m a t i o n o f t h e f l ow i n th e m e r i d i o n a l s t r e a m s u r fa c e , w h i c h g e n e r a l l y h a s

d o u b l e c u r v a t u r e , o n t o a f l a t p l a n e i n w h i c h a l l f l o w a n d g e o m e t r i c a l a n g l e s a r e p r e s e r v e d .

T h e e x a c t v a l u e s o f ~ W / O 0 ' i n F ig . 2 a r e z e r o a n d a p e r t u r b a t i o n w i ll b e a s s u m e d o f t h e f o r m

O W 4 ( z 27rA - ~ - = K . ~ q . q N - q ) c o s ~ - ( m - m o)

w h er e q = 0 ' - 0 '~ , an d K i s a co n s t an t .

S i n c e i t w a s f o u n d i n W i l k i n s o n 6 ( 19 7 0) t h a t t h e p h a s e o f t h e e r r o r c o m p o n e n t h a d n o e f fe c t o n t h e

r e s u l t, w e w i l l t ak e m = m o a t q - o ' z e r o .

T h e n a t q - o ' z e r o ,

3 W K ~ 2 N ( q .q N - - q 2 ) .~ - ~ - = .

10

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I n t e g r a t i n g ,

t'q O W 4K [ q2 ~ )w = w ~ + J o / ' 5 ¢ = w ~ + ~ q ~ - .

N e g l e c t i n g t h e s m a l l v a r i a t i o n i n f l f r o m q l t o qN a s t r e a m f u n c t i o n ~ i s d e f i n e d b y

o r

p u t t i n g

w h e r e ,

T h e n

F r o m ( 31 ) a n d ( 33 ),

= p W c o s fir dq

_ f q p W= r c o s ~ p J o - ~ - a q ,

p W _

~ - w + ( w - W ) ~ = (1 - e ) W + ~ wP

= 1 d ( p W )

d W '

= (a - e ) W q + e w @ .

_ 4 ~ K [ q 3 q ~ )= (1 -- ~ )W q + gW l q + -~ -u l qN- ~ - i -2 "

T o s a t i sf y c o n t i n u i t y , p u t i~ = W qN a t q = q N , f r o m w h i c h

W = W - K qN3

T h 6 r e f o r e

a n d

f f = ( W - - -

0 - - ~ = W

KqN~ I 4~KI q3 q41 ]I~qN ' 4~K [ q2 q3~

x + - - f f ~ q . Y - - y )

(3 1 )

( 3 2 )

(3 3 )

( 3 4 )

11

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T h e p o s i t i o n o f t h e m i d - s t re a m l i n e , q; = WqN/2 is f o u n d b y a p p r o x i m a t i n g t o t h e 0 d i s t r i b u t i o n n e a r

q = qN/2 b y

0 q ,

f r o m w h i c h

qN ~ - - I [ I q . /2q - - ~ 2 - + (C ~q q)q ./2 ( 3 5)

F r o m ( 3 4 ) an d ( 3 5 ) t h e m i d - s t r eam l i n e i s a t

qN 5 K6 q 2

q = 2 - + 4 8 - - W - - '

s o th e d i s p l a c e m e n t f r o m t h e c o r r e c t p o s i t i o n i s ~ ( K ~ q 2 / W ) . T h e r e a r e s im i l a r d i s p l a c e m e n t s a t n e i g h b o u r -

i n g q - o ' s w i t h t h e s a m e w a v e l e n g t h a n d w a v e f o r m a s t h e v e l o c i t y g r a d i e n t e r r o r , a n d t h e n e w v e l o c i t y

g r a d i e n t c a n b e c a l c u l a t e d f r o m t h e s t r e a m l i n e s h a p e b y e q u a t i o n ( 1 9) w h i c h , f o r th i s c a se , r e d u c e s t o

a W f l~r 2 d O dV m 2 d 2 0 )a0 = co s [ dm dm + Vmr -~-~m2; (36)

o r , n eg l ec t i n g t h e f i r s t t e r m , co n s i d e r ed b e l o w .

t~W - - 2 d20~ 0 = c ° s 2 ~Wr

t h e c a l c u l a t e d s t r e a m l i n e p o s i t i o n s a r e u s e d t o f i n d d20/dm 2 a n d h e n c e t h e ne w OW/aO f r o m t h i s e q u a t i o n .

F o r t h e c a l c u l a t e d s t r e a m l i n e d i s p l a c e m e n t s

d20 5 k K~ q z

d m 2 - 48 h 2 W

w h e r e k = k(2/h) d e p e n d s o n t h e n u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o n m e t h o d u s e d , see W i l k i n s o n 6 ( 19 7 0) , an d n ew

a W 5 . _ [ r qN l 2- K . ) c o s 2 8 .

T h i s i s t h e n ew ~?W/OO o n t h e m i d - s tr e a m l i n e a n d c o m p a r e s w i th t h e o r i g i n a l v a lu e o f K .

C h a n g e i n d W / O 0 d u e t o t h e i t e r a t i o n i s t h e r e f o r e

- K ( 1 - 4 ~k ~ c o s 2 f l A 2 ) ,

a n d s i nc e th e c o r r e c t c h a n g e i s - K t h e i n it i al e r r o r c a n b e r e d u c e d t o z e r o b y f a c t o r i n g t h e c a l c u l a t e d

c h a n g e b y

1f = 1 - ~ k ~ c o s 2 f lA 2 (37)

12

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w h e r e

A - r (O N - 0 1 )

h

F r o m e q u a t i o n s ( 28 ) a n d (3 2) i t c a n b e s h o w n t h a t

1 2= - - M r e I •

B y c o n s i d e ri n g t h e w h o l e r a n g e o f e r r o r c o m p o n e n t s w i t h w a v e l e n g th s f r o m 2 / h = 2 to oo i t w a s show n

i n W i l k i n s o n 6 ( 19 7 0 ) t h a t t h e o p t i m u m d a m p i n g f a c t o r w a s b i g g e r t h a n t h a t r e q u i r e d t o r e d u c e t h e m o s t

u n s t a b l e c o m p o n e n t t o z e ro , a n d a p p l y i n g t h e s a m e r e a s o n i n g t o t h is c a s e gi v es t he o p t i m u m f a c t o r a s

1f ' = ( 38 )

1 - ~ 6 k m i , ( 1 - M ~ I ) c o s 2 f l A TM

T h e c o n v e r g e n c e l i m i t f a c t o r c a n b e d e r i v e d f r o m (3 7) a s

2

fc = 1 ~gkmi , (1 2- - - M r e l ) C O S 2 f l A 2 , (39)

b u t u s e o f f ' f r o m (3 8) w i ll a l w a y s e n s u r e c o n v e r g e n c e si n c e f ' < f~ .

E q u a t i o n ( 38 ) is t h e s a m e a s e q u a t i o n ( 35 .3 3 ) o f W i l k i n s o n 6 (1 9 7 0) e x c e p t f o r t h e e x t r a c o s 2 f l te r m .

H o w e v e r , c o m p a r e d t o a s e t o f q - o ' s n o r m a l t o t h e f l o w A i s se c 2 f l t i m e s a s l a rg e , s o t h e s e c o n d t e r m

o f t h e d e n o m i n a t o r i s s ec z f l t i m e s a s b i g a n d f ' i s sm a l l er . T h i s s h o w s t h a t h a v i n g q - o ' s i n c l i n e d t o t h e

f l o w i s l es s s t a b l e t h a n h a v i n g t h e m n o r m a l t o i t.

T h e n e g l e c t o f t h e f ir s t t e r m o n t h e r i g h t h a n d s i d e in e q u a t i o n ( 36 ) i s n o t w i t h o u t c o n s e q u e n c e s f o r

c o m p r e s s i b l e f l o w s i n ce Vm w i ll v a r y w i t h ft. A n e r r o r c o m p o n e n t i n s t r e a m l i n e p o s i t i o n w i ll c a u s e e q u a l

a n d o p p o s i t e c h a n g e s i n Vm a t i = - 1 a n d + 1, t h e a m o u n t d e p e n d i n g o n f l a n d M r e I . T h e q u a n t i t y

d V m / d m w i l l t h e n n o l o n g e r b e z e r o , b u t t h e w h o l e t e r m r 2 ( d O / d m ) ( d V o ] d m ) w i l l ha ve the s a m e s ign a s

t h e s e c o n d t e r m a n d a d d t o i t, m a k i n g t h e i t e r a t i o n p r o c e s s l e s s s t a b le . T h i s i s o n l y s i g n i f ic a n t f o r h i g h

M a c h N u m b e r s a n d h i g h d e f l e c t i o n s , a n d r a t h e r t h a n c o m p l i c a t e e q u a t i o n ( 3 9 ) w i t h m o r e t e r m s , i t h a s

b e e n f o u n d e m p i r i c a l ly t o b e s u f fi c ie n t t o d a m p t h e c h a n g e i n s lo p e , d O / d m b e t w e e n i t e r a t i o n s b y t h e

a dd i t i ona l f a c to r 0 -5 . Th i s ha s w or k e d w e l l f o r t he c a se s t r i e d so f a r bu t i f o th e r c a se s c a use d i f f i c u l ty t he n

f u r t h e r i n v e s t i g a t i o n o f th i s t e r m m a y b e n e c e s s a r y .

T h e n u m b e r o f i t e ra t i o n s r e q u i re d i s a f u n c t i o n o n l y o f t h e d a m p i n g f a c t o r f ' a s in t h e t w o - d i m e n s i o n a l

c a se , W i lk in son 6 , ( 1970) . To r e duc e the ve loc i ty e r r o r t o e t im e s i t s i n i ti a l va lue

I nI T S - -

l n ( 1 - - f ' )

o r , f o r e = 19/o

- 4 . 6 1IT S = (40)

In(1 - f ' )"

2 . 4 . S t a g n a t i o n S t r e a m l i n e S h a p e s

T h e m a i n r e a s o n f o r h a v i n g t a n g en t i a l r a th e r t h a n ' n o r m a l ' q - o ' s b e c o m e s a p p a r e n t w h e n c o n s i d e r i n g

t h e s t a g n a t i o n s t r e a m l i n e s h a p e s . C o r r e s p o n d i n g p o i n t s o n t h e s u c t i o n a n d p r e s s u r e s u r f a c e s . s . l . ' s a t

t h e s a m e m e r i d i o n a l s t a t i o n a r e a t t h e e n d s o f t h e q - o ' s . T h e s h a p e o f t h e s .s .l .' s c a n r e a d i l y b e c h a n g e d

b y a d d i n g a n a m o u n t 6 ; t o a ll o f t h e 0 o r d i n a t e s o n q - o ~ . C o n s i d e r i n g a n i n i ti a l s.s.1 , s h a p e t h e c a l c u l a t i o n

13

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m e t h o d d e s c r i b e d a b o v e e n a b l e s a ll o f th e v e l o c i t ie s in t h e c h a n n e l d e f i n e d b y t h e b l a d e s a n d s .s .l .' s to

b e f o u n d . F o r q - o ' s o u t s i d e t h e b l a d e r o w i t i s t h e n n e c e s s a r y t o f i nd a s e t o f i n c r e m e n t s 6 j to c o r r e c t

(W/,N - Wi,1) to ze ro.

A t q - o ' i t h i s i s a p p r o x i m a t e l y e q u i v a l e n t t o c h a n g i n g c ~ W / O O ~ , u M b y

aw (w~,~- w ~ , ~ )

A ~ O i , N M - - ( O i , N - - O i , 1 )b (41)

E q u a t i o n ( 1 9 ) g i v es

3 W t~ ~ d ( V , . r 2 ) d OO O ,,N ~ t = C O S p i ' N M ] . - ~ m d m

2 d 2 0 d r2 o ~ r - - [ .

+ V , ,r ~ + d m j i ,N m

T h i s w i ll b e d i f f e r en t i a t ed t o f i n d t h e e f f ec t o f a ch an g e 6 , i n t h e 0 v a l u es a t q - o ) ' .

0 [ c~ W ] a C O S f li ,N M . , ( d (V ~r 2 ) 0 [ d O ] + V . r 2 0 { d 2 0 I t~ ( ~ jlO O I,N M ] -- ~ j { ' ' ' } A F C O S p i ' N M ~ ~ m a ~ A d ~ i , U M ] m c 3 6 j ld m ~ , n M ] . [ (42)

O c o s f li ,N M _ sin f l i , N M 3 f l i ' s M3 6 j 0 6 j

B u t f l = t a n - 1 t an fl an d t an fl = r ( d O / d m ) , t h e r e f o r e

a/3 1

06 j 1 + tan 2 f l

O t a n f l 2 0 I d O ~- c o s

T h e r e f o r e

_ f 2 o o l a o l )0 COS f l i ,NM -- s in f l cos # r - - - -3 6 j l c ~ 6 j ~ d m ] ; i ,N M

a n d e q u a t i o n ( 4 2 ) b e c o m e s

C ~ 6 j l O O i . N M j = COS fl -- si n f l r ~ o - + ~ ] ~ ( d - m m ] + V m r z c ~ a A d m Z l J Ji,~4 (43)

F r o m t h e n u m e r i c a l d i f f e r e n t i a ti o n f o r m u l a e g i v e n in S e c t i o n 2 .5 t h e g e n e r a l f o r m f o r d O ~ d i n is

d O 1

d m i = h '- ~ k i . jO j "

T h e r e f o r e

3 [ d O 1 k i j

s im i lar ly . ( 44)

0 _ [ 0 1 < ,~aAdm~/ ~ '

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T h e c o n d i t i o n o f p e r i o d i c it y a t q - o ' i t h e n b e c o m e s

0 ( a w ) ( w , , 1 - w , , N )

~ j 8 j . ~ - j ~ i - - ( O i ,N - - 0 i , 1 )(45)

a nd f rom e qu a t i on s (43 ), (44 ) a nd (45 )

hZ (W ~'I - W~'N) (46 )~ ( A ik i j + l~ , j ). 8J=r2(Oi . N _ 0 i 1 )" V , ,i cos fiij

w h e r e

h , 1 ( O W d ( r2 V ~ ) IA i - r 2 " ~ i - s in f l ' r '~+ d m ] , (47)

Eq ua t i o n (43 ) ha s be e n n on-d i me n s i ona l i s e d to g i ve e qua t i on (46 ) so t ha t t he c oe f f i c i en t s a nd r i gh t ha n d

s i de a re o f o rde r 1 .0 t o a vo i d a ny pos s i b l e i na c c u ra c i e s i n so l v i ng the e qua t i ons .

F i gu re 3 show s t he va l ue s o f i a nd j fo r t he l e a d i ng a nd t r a i l ing e dge s .s .l. 's . The c ho i c e o f pos i t i ons fo r

t he qu a s i -o r t h ogo na l s wi ll be d i s c us se d i n S e c t i on 2 .5 .Con s i de r i ng f i r s t t he l e a d i ng edge s .s .1 , t he un kn ow ns a re t he 8 j fo r j = 1 t o M L , w h e r e M L i s in f ront

o f the l e a d i n g e dge . Eq ua t i o n (46) mus t be s a t i sf i e d fo r q -o ' s 2 t o M L , b u t a t p o i n t 1 n o t o n l y is d 2 0 / d m z

ve ry d i f f ic u l t t o f i nd a c c u ra t e l y bu t i n a n y c a se i t i s ne c e s sa ry t o s a t i s fy the c on d i t i on o f a spe c i fi e d i n f low

a ng l e . Assumi ng t ha t t he c u r re n t s l ope i s (r dO /din) 1 a nd t ha t t he r e qu i re d s l ope is t a n i l l , t he n , u s i ng a

p a r a b o l a t h r o u g h 3 p o i n t s ,

do

- - ( - 1 " 5 6 1 + 2 8 2 - - 0 " 5 8 3 ) = t a n f l l - r l d m 1

o r

- 1.561 + 2 6 z - 0-563 = h l t a n f l l - hx d O (48 )r d m 1 "

Eq ua t i o ns (48 ) fo r i = 1 a nd (46 ) fo r i = 2 t o M L give M L s i m u l t a n e o u s l i n ea r e q u a t i o n s f o r t h e q - o ' s

shifts fi j a t j = 1 to M L . The e qua t i ons a re so l ve d t o g i ve t he ne w s t r e a ml i ne sha pe .

F o r t he t r a i l i ng e dge s . s . l , t he unknowns a re t he 6 j f o r j = M T + 1 t o M . P o i n t M T i s a t t he t r a i l i ng

e dge a nd so c a nno t move . Equa t i on (46 ) c a n be a pp l i e d a s i t s t a nds t o t he q -o ' s i = M T + 1 to M - 1 .

F o r q - o ' M t h e c u r v a t u r e d 2 0 / d m 2 wo ul d a ga i n be d i f f i c u lt t o f i nd a c c u ra t e l y bu t i n a ny c a se t he r e ma i n i ng

e qua t i on i s u se d t o i n t roduc e a t r a i l i ng e dge l oa d i ng c ond i t i on . The re i s t he re fo re no e qua t i on fo r t he

q - o ' M , a l t h o u g h 6M i s foun d by so l v i ng fo r t he pe r i od i c i t y c on d i t i on a t t he o t he r p o i n t s a n d s e rve s to

de t e rm i ne t he o u t l e t a ng l e . At t he t r a i l i ng e dge , i = M T , e qu a t i on (45 ) c ou l d be a pp l i e d d i re c t l y a nd wo u l d

c o r re s pon d t o e qua l ve l oc i ti e s on a t a n ge n t i a l l i ne a t t he t r a i l ing e dge . A m ore ge n e ra l c ond i t i on m a y bej us t a s e a s i l y a pp l i e d how e ve r i n wh i c h e q ua l ve l oc i t ie s oc c u r on a l i ne m a k i n g a n a ng l e ~b t o t he t a ng e n t i a l

d i rec t ion , F ig . 4 wh ere ~b m ay be a ny spec i f ied va lue .

In F i g . 4 t he ve loc i t ie s a t po i n t s A a nd B m a y be w r i t t e n a pp rox i m a t e l y i n t e rms o f t he ve l oc i ti e s a t

p o i n t s o n n e i g h b o u r i n g q - o ' s a n d o f t h e g e o m e t r y . A s s u m i n g t h a t t h e s u c t i o n a n d p r e s su r e s u r f ac e s ar e

ne a r l y p a ra l l e l t o t he t r a i l i ng e dge ,

{ 0 , }s = r ~ cos fl(tan fl - tan(f l - q~)) (49)

M T

15

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A p p r o x i m a t i n g t o v e l o c i t ie s n e a r i = M T ,

A s O W M r , 1W a ~- WM r,1 + ~?s + - -

A s 2 0 2 W M T , 1

2 Os 2

a n d

A s O W M r , NW n = W M r , N - OS + - -

A s 2 O 2 W ~ r ,N2 (~S2

a n d p u t t i n g

O W M T, I 1

O s - 2 h ( W M r + I ' I - W M T - I ' I ) '

0 2 W g r , 1 10 s 2 - h g ( W ~ r _ l , t - 2 W M r , 1 + WMT+I,1)

e t c . , an d eq u a t i n g v e l o c i t i e s a t p o i n t s A an d B , r eq u i r e s

A s

A s 2 ) / 1 A s2 1+(WMT+I,1 + WM T-I,1- WMT+I,N -- W M T - A ,N ) . ~ / [ 1 - ~ -] t 5 o )

T h e e x i s t in g v a l u e o f ( W M r , N - - W M r , 1 ) w i l l u s u a l l y d i ff e r f r o m t h i s an d e q u a t i o n ( 50 ) can b e u s ed t o f i n d

t h e c o r r e c t i o n r e q u i r e d

AOW A(W ~v,u- W~r,1)

O 0 ~ v ( O M r , N - O M r , x )

an d t h i s f o r m s t h e r i g h t h an d s i d e o f eq u a t i o n ( 4 5) f o r t h e t r a i l i n g ed g e q - o .

T h e c h o i c e o f a t r a i li n g e d g e c o n d i t i o n h a s b e e n t h e s u b j e c t o f m u c h d i s c u s s io n b u t i n r e a l i t y it p r e s e n t s

l it tl e p r o b l e m e i t h e r c o n c e p t u a l l y o r n u m e r i c a l l y . I t i s s h o w n i n C h a p t e r 5 o f T h w a i t e s 9 ( 19 6 0) t h a t f o r

v i s c o u s fl ow s , e it h e r a t t a c h e d o r s e p a r a t e d t h e s t e a d y l i ft c o n d i t i o n i n v o l v e s t h e s h e d d i n g o f e q u a l a n d

o p p o s i t e a m o u n t s o f v o r t ic i t y i n t o t h e w a k e f r o m t h e s e p a r a t i o n p o i n t s o n t h e s u c t io n a n d p r e s su r e

s u rf a c es . T h i s i m p l i e s e q u a l v e l o c i ti e s a t t h e e d g e s o f t h e b o u n d a r y l a y e r s a t t h e s e p a r a t i o n p o i n t s o n t h e

t w o s u r f a c es . F o r a r o u n d e d o r b l u n t t r a i l i n g e d g e t he c o n d i t i o n , F i g . 4

WA = WB (51)

w h i c h w a s u s e d t o g i v e e q u a t i o n ( 50 ) i s e q u i v a l e n t t o s p e c i fy i n g t h e s e p a r a t i o n p o i n t p o s i t i o n s o n t h e t w o

s u rf a ce s . F o r a b l u n t t r a il i n g e d g e c h a m f e r e d o f f a t a n a n g l e , t h e c o r n e r s s e e m o b v i o u s s e p a r a t i o n p o i n t s,

a n d t h i s is v e r y us e f ul fo r d e a l i n g w i t h t h e c o m m o n s t e a m t u r b i n e p r a c t i c e o f c h a m f e r i n g o f f t a n g e n t i a l l y

s o t h a t ~p = 0 . F o r r o u n d e d t r a i l i n g ed g es i t is p r o b ab l y m o r e r ea s o n ab l e t o p u t q 9 = f 1 2, m ak i n g t h e

l in e j o i n i n g A a n d B n o r m a l t o t h e m e a n l in e . H o w e v e r it i s e n c o u r a g i n g t o f i nd t h a t t h e v a l u e o f q9 c h o s e n

i s n o t a t a l l c r i t ic a l . I n F i g s . 8 an d 9 f o r a b l a d e w i t h a f a i r l y t h i ck r o u n d ed t r a i l i n g ed g e an d a h i g h l y

c u r v e d c a m b e r l in e n e a r t h e t r a i l in g e d g e , v a r y i n g q~ f r o m 0 t o 6 0 d e g r e e s c a u s e d t h e t h e o r e t i c a l o u t l e t

a n g l e t o c h a n g e o n l y f r o m 5 1 .8 t o 5 2-5 d e gr e e s. T h i s m i g h t b e c o m p a r e d w i t h a n o u t l e t a n g l e f r o m t h e

ex ac t s o l u t i o n s f o r th i s s ec t i o n o f 5 1 .0 d eg r ees w i t h a r ea r s t ag n a t i o n p o i n t s p ec i f i ed a t a p o i n t a t w h i ch

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t h e t a n g e n t t o t h e s u r f a c e m a k e s a n a n g l e t o a b o u t 3 5 d e g r e e s t o t h e 0 - d i r e c t i o n . H o w e v e r t h i s i m p l i e s

t h a t t h e s t a g n a t i o n s t r e a m l i n e h a s a n a n g l e o f 35 d e g r e e s t o t h e a x i a l g i v in g a k i n k i n t h e fl o w d i r e c t i o n

a n d l es s l o a d n e a r t h e t r a i l in g e d g e t h a n w i t h e i t h e r o f t h e s t r e a m l i n e c u r v a t u r e c a s e s s o it i s n o t s t r ic t l y

c o m p a r a b l e . N e v e r t h e l e s s t h e a g r e e m e n t i s s t il l f a i rl y c lo s e a n d t h e i n s e n s i t iv i t y o f t h e o u t l e t a n g l e t o

q~ h a s b e e n s h o w n . A n u m b e r o f o t h e r c o m p a r i s o n s f o r t u r b i n e c a s e s w i t h e x p e r i m e n t i n F i gs . 1 0 - 1 7

s h o w v e r y g o o d a g r e e m e n t c o n f i r m i n g t h e s o u n d n e s s o f t h i s a p p r o a c h . B e c a u s e o f i ts p h y s i c a l b a s is t h e

a s s u m p t i o n (5 1), l e a d in g t o e q u a t i o n (5 0) , m a y b e e x p e c t e d t o w o r k f o r b l u n t t r a i li n g e d g e s c u t o f f a t

a n y a n g l e , a n d f o r r o u n d e d o r s h a r p t r a i l i n g e d g e s.S um m a r i s ing the n f o r t he t r a i l i ng e dge s . s . l , t he r e a r e M - M T - 1 e qu a t io ns ( 46) f o r i = M T + 1

t o M - 1 , a nd one e q ua t ion ( 46) w i th t he r i gh t ha n d s ide de r ive d f r o m e qu a t io n ( 50 ) i n s t e a d o f ( 41 ) f o r

i = M T . T h e s e a r e s o l v e d f o r t h e M T - M u n k n o w n s 6 j , j = M T + 1 to M , t o g ive t he ne w t r a i l i ng e dge

s.s.1, sh ap e.

I t i s f ou nd w i th bo th l e a d in g e dge a nd t r a i l i ng e dge s .s .l .'s t ha t t he r a t e o f c on ve r g e nc e i s im pr o ve d

i f t h e c a l c u l a t e d s h if ts 6 j a r e m u l t i p l i e d b y a b o u t 1 . 5. I t is h o w e v e r f o u n d a t h i g h M a c h N u m b e r s t h a t

ve r y sm a l l e r r o r s i n s lope , w h ic h oc c u r un t i l t he s . s . l . ' s r e a c h the i r f i na l pos i t i ons , c a n r e s t r i c t t he f l ow

a r e a a n d c a u s e s p u r i o u s c h o k i n g . I t i s b e t t e r t o s l o w t h e m o v e m e n t o f t h e s .s .l .'s d o w n t o a v o i d t h i s a n d

t h i s is d o n e i n t h e p r o g r a m b y f a c t o r i n g t h e c a l c u l a t e d 6 j 's b y

1 . 5 ~ / 1 2- - M r e I , 1 , N M

f o r t he l e a d ing e dge s . s.1 , a nd by

1.5~/1 2- - M r e I , M , N M

for the t r a i l ing edge s . s . l .

O n e f u r t h e r p o i n t o f im p o r t a n c e c o n c e r n s w h e n t h e s t re a m l in e s s h o u l d b e s h i f te d d u r i n g t h e c o u r s e

o f t h e c a l c u l a t io n . T h e r e a r e t w o i t e r a t i o n l o o p s , t h e i n n e r o n e o f w h i c h c o r r e c t s t h e s o l u t i o n o f th e

e q u a t i o n s o f m o t i o n f o r g i v e n s.s .1 , s h a p e s a n d t h e o u t e r o n e o f w h i c h c o r r e c t s t h e s .s .l, s h a p es . T h e i n n e r

l o o p h a s a n a c c u r a c y t o l e r a n c e s p e c if i ed i n t h e i n p u t d a t a o f A W / W = e s a y. I t is o b v i o u s l y n o t w o r t h

do i ng a l l o f t he i t e r a t i on s r e q u i r e d to ge t t he e r r o r dow n to e w i th t he i n i t i a l i nc o r r e c t s. s.l , sha pe s , so a

l e s se r a c c u r a c y i s i n f a c t r e qu i r e d f o r t he e a r ly s .s .1 , pos i t i o ns un t i l t he s t r e a m l ine s a pp r o a c h the i r f i na l

s h a p e s . O n t h e o t h e r h a n d i f t h e s o l u t i o n f o r g i v e n s.s.1 , s h a p e s h a s e r r o r s t h a t a r e t o o l a rg e , t h e c o r r e c t i o nt o t h e s .s .1 , s h a p e s w i l l c o n t a i n a s i g n i f ic a n t c o m p o n e n t d u e t o t h e r e m a i n i n g n u m e r i c a l e r r o r s i n t h e

s o l u t i o n a n d t h e c o n v e r g e n c e o f t h e s .s .1 , s h a p e s m a y b e r e d u c e d . W i t h o u t h a v i n g d o n e a n e x h a u s t i v e

i n v e s t i g a t i o n o f t h is , a r e a s o n a b l e c o m p r o m i s e w a s t a k e n t o b e t o u s e a t o l e r a n c e w h i c h i s e f a c t o r e d b y a

f u n c t i o n o f th e n u m b e r o f s t re a m l i n e s h if ts , v a r y i n g f r o m 5 e f o r t h e i n i t i al s .s .1 , s h a p e a n d r e d u c i n g t o

a f t e r a b ou t 10 s.s .1 , sh i ft s . The f u nc t io n u se d i s

4.3731e p = e 0 . 6 2 7 + p + 1 ] (52)

w h e r e p is the nu m be r o f s t a gn a t ion s t r e a m l ine sh i f ts . A p lo t o f e p/ e ~ p is sho w n in F ig . 5.

2 . 5 . N u m e r i c a l D i f f e r e n t ia t i o n a n d S m o o t h i n g

I t is n e c e s s a r y i n e v a l u a t in g t h e r i g h t h a n d s i d e o f e q u a t i o n (1 9) f o r O W / ~ O t o c a l c u l a t e d ( V m r 2 ) / d m ,

d O /d in , d r /d in a n d d 2 0 / d m 2 w h e r e t h e q u a n t i t i e s V, r 2 , 0 a n d r a r e k n o w n a t p o i n t s o n t h e q - o ' s a t u n e q u a l

i n t e r v a l s o f m . I t is p e r h a p s n o t a l w a y s a p p r e c i a t e d t h a t s i n ce t h is i s t h e o n l y i n f o r m a t i o n t h e p r o g r a m

h a s a b o u t t h e c u r v e s a n y n u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o n m e t h o d w i l l i n t r o d u c e s m o o t h i n g . I t w a s s h o w n i n

W i l k i n s o n 6 ( 19 7 0 ) t h a t i f a t r i g o n o m e t r i c a l i n t e r p o l a t i o n m e t h o d is u s e d t o f i t a g e n e r a l c u r v e t h r o u g h a

s et o f p o i n t s w h i c h m a y b e t h o u g h t o f a s a s u m o f F o u r i e r c o m p o n e n t s o f w a v e l e n g th s 2 , t h e n t h e a c c u r a c y

o f t h e n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n t o t h e d e r iv a t i v e s o f t h e F o u r i e r c o m p o n e n t s w i ll b e a f u n c t i o n o f 2 / h ,

w h e r e h i s t h e p o i n t s p a c in g . I n p a r t i c u l a r a t h i g h 2 /h m o s t m e t h o d s a r e a c c u r a t e b u t a s 2 / h r e d u c e s t h e r e i s

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a t s o m e s t a g e a r a p i d f al l i n a c c u r a c y a n d a t 2 /h = 2 o r l es s n o m e t h o d s a r e r e a l l y a d e q u a t e . A d e c i s i o n t o

u s e a p a r t i c u l a r n u m b e r o f p o i n t s t o d e f i n e a c u r v e , s u c h a s a b l a d e s u r f a c e s h a p e , t h e r e f o r e i m p l i e s t h a t

t h e s h a p e d o e s n o t r e q u i r e t h e p r e s e n c e o f F o u r i e r c o m p o n e n t s w i t h 2 l es s t h a n a b o u t 2 o r 3 t i m e s h . I n

f a c t i t m a y b e d e c i d e d t h a t t h e m i n i m u m s i g n i f i c a n t w a v e l e n g t h i s m o r e t h a n 2 o r 3 t i m e s h a n d t h e u n -

w a n t e d c o n t r i b u t i o n s t o t h e d e r iv a t i v e s a t th e s e w a v e l e n g t h s , d u e t o s m a l l e r r o r s i n i n p u t c o o r d i n a t e s s a y ,

m a y n e e d t o b e s u p p re s s ed b y fu r t h e r s m o o t h i n g . T h e s m o o t h i n g a n d d i f f e re n t ia t io n f o r m u l a e m a y b e

c o m b i n e d t o g i v e a si n g le d i f fe r e n t i at i o n m e t h o d o f t h e f o r m

a n d

dy 1 N

(53)

d2y 1 N

d x 2 = - ~ ~ g ,, Y, .n= --N

T h e c o r r e c t c h o i c e o f t h e c o e ff i ci e n ts f , a n d g , is t h e r e f o r e g o v e r n e d b y t h e n u m b e r o f p o i n ts t o b e u s e d

o n t h e b l a d e , u s u a l l y a b o u t 1 5 f o r t h e c a s es c o n s i d e r e d s o fa r, a n d b y t h e m i n i m u m 2 n e e d e d t o d e fi n e

t h e b l a d e s h a p e . T h e s e g iv e a m i n i m u m s i g n if i c an t 2/h f r o m w h i c h a s u it a b le d i f f e r e n t ia t i o n m e t h o d c a n

b e c h o s e n o n t h e b a s i s o f th e ( 2 /h ) 1o v a l u e s g i v e n i n W i l k i n s o n 6 ( 1 97 0 ).I n o r d e r t o g i v e a r a t h e r m o r e f l e x ib l e f o r m u l a t h a n w a s p o s s i b l e w i t h t h e e x a m p l e s i n W i l k i n s o n 6

( 19 70 ), a g e n e r a l s m o o t h i n g p r o c e s s w a s i n t r o d u c e d . T h e f o r m u l a e f o r e q u a l i n t e r v a l s o f t h e a r g u m e n t

w i ll b e c o n s i d e r e d f ir st . F o r a q u a r t i c t h r o u g h 5 p o i n t s

d2y 1

d x g - 1 2h 2 ( - y - 2 + 1 6 y - 1 - 3 0 y o + 1 6 y l - Y2) . (54)

T h i s h a s k m in = - 5 . 3 3 a n d ( 2 /h )~ 0 = 3 .3 5. A c o m m o n s m o o t h i n g p r o c e s s r e p l a c es Y o b y t h e o r d i n a t e

o f t h e l e as t s q u a r e s p a r a b o l a t h r o u g h 5 p o in t s . T h i s i s e q u i v a l e n t t o

Yo '= 1~(2 -Y -2 + 4y _ 1 + 6yo + 4Yl - - Y2) (55)

w h e r e .' = m e a n s ' is r e p l a c e d b y ' a n d t h e y 's m a y b e d y / d x , d 2 y / d x 2 o r a n y o t h e r q u a n t i t y t o b e s m o o t h e d .

C o n s i d e r i n g t h e 2/h = 2 c o m p o n e n t w i t h Y 0 = 1 , Y I = Y - 1 = - 1 , Y2 = Y-2 = 1 , e t c ., e q u a t i o n ( 5 5 )

g i v es Yo ' = - ~ a c h a n g e o f - 34 -. A f o r m u l a w i t h n o s m o o t h i n g c a n b e w r i t te n a s

Yo ' = ( ' " 0 x y - 2 + O x y - I + l X y o + O x y l + 0 x y 2 . . . ) (56)

a n d a n y l i n e a r c o m b i n a t i o n o f e q u a t i o n s ( 5 5) a n d ( 5 6) r e p r e s e n t s a s m o o t h i n g p r o c e s s . P u t t i n g Y o : = PY o

f o r a r a n g e o f p g iv e s t h e f o r m u l a e i n T a b l e 1 .

M e t h o d

A

B

C

D

E

F

G

1

¼

01

S n

n - 2 - 1 0

(0 0 11

4~ ( - 1 4 4 21

3-~ ( - 1 4 261

2--~ ( - 1 4 18164 ( -- 3 12 46

IIT ( - 1 4 101

1-~ ( - 1 4 6

18

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T h e s e c o e f fi c i en t s m a y b e u s e d i n t h e f o r m

N

y o : = ~ s~ y . ( 57 )n = -N

w h e n a p p l i e d t o s i n e c u r v e s o f a r a n g e o f 2 / h t h e y r e d u c e t h e a m p l i t u d e o f t h e 2 /h = 2 c o m p o n e n t t o p

t im e s i t s o r ig ina l va lue a nd l e a ve the 2 /h = o o c o m p o n e n t u n c h a n g e d , w i th i n t e r m e d i a te v a l u es o f 2 /h

h a v i n g a n a m o u n t o f s m o o t h i n g b e t w e e n p a n d 1 , F i g . 6 . I f m e t h o d F , w i t h p = 0 , i s a p p l i e d t o e q u a t i o n( 54 ) the e xp r e s s ion

d 2 y 1d x ~ - h-g (0 -00694y_4 - 0 . 11 l i l y _ 3 + 0 . 444 44y_ 2 + 0 . 1 1 l i l y_ 1 - 0 . 90278y0 + . . . ) (58)

i s p r o d u c e d w h i c h i s th e s a m e a s m e t h o d 6 o f W i l k i n s o n 6 ( 19 7 0 ) w h e r e i t w a s o b t a i n e d b y ' d o u b l e d i f f er -

e n t i a t i o n ' . T h i s s h o w s t h a t a c o n t i n u o u s p r o g r e s s i o n b e t w e e n t h e m e t h o d s o f W i l k i n s o n 6 ( 19 7 0 ) c a n b e

o b t a i n e d b y i n t e r p o l a t in g i n t h e s m o o t h i n g p r o ce s s.

A q u i t e g e n e r a l 5 p o i n t s m o o t h i n g f o r m u l a c a n b e d e r i v e d w i t h o u t r e f e r e n c e t o l e a st s q u a r e s p a r a b o l a s

b y n o t i n g t h a t t h e r e a r e 3 c o e f fi c ie n t s i n v o l v e d a n d s o a n y 3 r e a s o n a b l e c o n d i t i o n s w i l l d e t e r m i n e t h e m .

O n e o f th e s e is t h a t f o r 2 / h = o o t h e p r o c e s s l e a v e s t h e c u r v e u n c h a n g e d o r , w i t h

t h e n

I f w e a l so spe c i f y

t h e n

a n d

a n d t h e t h i r d c o n d i t i o n c o u l d b e

T h e r e f o r e

y o , = a y - 2 + b y _ l + cy o + b y1 + a y2

2a + 2b + c = 1 .

Yo '= P Yo f o r 2 / h = 2

2 a - 2 b + c = p

1 - - pb -

4

y o , = q a t ) ~ / h = 3 say ,

- a - b + c = q .

1 + 2 qC - - - -

3 '

b _ l - P

4

(59)

(60)

19

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a n d

1 - q 1 - pa -

3 4

N o t a l l c o m b i n a t i o n s o f p a n d q a r e e q u a l l y s u i ta b l e a n d a c u r v e o f Y o / Y o o r i g ~ 2 / h o v e r t h e r a n g e f r o m

2 t o ~ s h o u l d b e c a l c u l a te d t o a v o i d g o i n g a b o v e 1 o r b e l o w z e ro .

T h e c h o i c e o f a p a r t i c u l a r a m o u n t o f s m o o t h i n g i s a c o m p r o m i s e b e t w e e n t h e l o ss o f a c c u r a c y i n v o l v e d

w i t h t o o m u c h a n d t h e r e d u c t i o n i n Ik m i.l a n d h e n c e i n th e n u m b e r o f i t e r a t i o n s r e q u i r e d , e q u a t i o n s

( 40 ) a n d ( 38 ). E x p e r i e n c e w i t h a b o u t 1 5 q - o ' s o n t h e b l a d e , a n d o f b l a d e s h a p e s t y p i c a l o f s t e a m t u r b i n e

a p p l i c a t i o n s , h a s s h o w n t h a t i t i s r e a s o n a b l e t o u s e a s m o o t h i n g f o r m u l a e q u a t i o n (5 7) w i t h p = 0 .2 5

a n d q = 0 . 44 3 , g iv i n g , f r o m ( 60 )

y o ' = - 0 . 0 0 1 7 4 y _ 2 + 0 . 1 8 7 5 y _ 1 + 0 . 6 28 4 7 y 0 + . . . . ( 61 )

T h i s e x p r e s s i o n i s a l s o s h o w n i n F ig . 6 . W h e n c o m b i n e d w i t h e q u a t i o n (5 4) it g i v e s k m in = - 1 . 6 6 a n d

( 2/ h) 10 = 8 .2 . T h e a r g u m e n t f o r h a v i n g t h e s e p a r t i c u l a r v a l u e s o f p a n d q is a s f o ll o w s , p i s s m a l l b u t

g r e a t e r t h a n z e r o . I f p e q u a l s z e r o t h e n t h e a n a l y s i s w o r k s p e r f e c t ly w e ll f o r f i n d i n g t h e f lo w w i t h g i v e n

s t a g n a t i o n s t r e a m l in e (s .s .1 .) s h a p e s b u t t h e s i m u l t a n e o u s e q u a t i o n s c f. ( 46 ), f o r fi n d i n g ~ b e c o m e u n -

s a t i s f a c t o r y . T h e v a l u e s o f l~ ,j i n ( 46 ) a r e t h e n t h e c o e f f i c i e n t s i n e q u a t i o n ( 58 ). I t is s i m p l e r t o t h i n k o f t h ee q u i v a l e n t f o r m u l a f o r p a r a b o l a s w i t h d o u b l e d i f f e r e n t ia t i o n .

d Z y 1d x ~ - h 2 ( 0 " 2 5 y - 2 + 0 y - I - 0 " 5 y ° + 0 y l + 0 "2 5 y2 )" (62)

T h i s m a y e a s il y b e se e n t o s p li t t h e p o i n t s i n t o t w o s et s o f o d d a n d e v e n n u m b e r e d q - o ' s w h i c h d o n o t

a f f ec t e a c h o t h e r t h r o u g h t h i s e q u a t i o n . I t i s o n l y a t th e e n d o f t h e r a n g e a t p o i n t M - 1 w h e r e a d i ff e r e n t

f o r m u l a h a s t o b e u s e d t h a t y ~ i s a f f e c te d b y y _ 1 o r y + ~. T h i s c o n n e c t i o n i s n o t h o w e v e r s t r o n g e n o u g h

t o p r e v e n t t h e s o l u t i o n o f e q u a t i o n (4 6) l~ ro m p r o d u c i n g t w o f a i rl y i n d e p e n d e n t s e ts o f 6 j w i t h c o n s e q u e n t l y

a l a rge 2 / h = 2 c o m p o n e n t i n t h e s h a p e a n d a l a r g e e r r o r i n o u t l e t a n g l e . A l s o , a s t h e f o r m u l a e ( 5 8 ) o r

( 62 ) c a n n o t ' s e e ' 2 / h = 2 c o m p o n e n t t h e w a v i n e s s is n o t c o r r e c t e d o u t a t t h e n e x t s t r e a m l i n e s h if t. P u t t i n g

p = ¼ s e e m s s u ff ic i en t to p r e v e n t t h is p h e n o m e n o n a n d e n s u r e s m o o t h s t a g n a t i o n s t r e a m l in e s . I t i s o fc o u r s e p o s s i b l e t o u s e o n e f o r m u l a f o r th e f l o w s o l u t i o n a n d a n o t h e r t o g i v e k i,J and l l. j for the s .s .1 , sh ap e

s o l u t i o n b u t t h i s w a s f o u n d t o g i v e a f i n a l s o l u t i o n i n w h i c h p e r i o d i c i t y w a s n o t q u i t e a c h i e v e d a n d

c o u l d n o t a p p a r e n t l y b e m a d e a s a c c u r a t e a s r e q u i re d , h o w e v e r m a n y s t r e a m l in e s h if ts w e r e d o n e .

F o r p = ¼, kmin o c c u r s a t a b o u t 2 / h = 3 i n s t e a d o f 2 a n d i s t h e r e f o r e p r o p o r t i o n a l t o q. R e d u c i n g q

m a k e s k min l e ss n e g a t i v e b u t i n c r e a s e s ( 2 / h )1 o . T h e v a l u e q = 0 . 4 43 w i t h ( 2 /h )1 o = 8 .2 g i v e s g o o d r e s u l t s

a n d n o i m p r o v e m e n t w a s o b t a i n e d w i t h a h ig h e r q , a l t h o u g h m o r e i t e ra t i o n s w e r e o f c o u r s e r e q u ir e d .

I f m o r e c o m p l e x b l a d e s h a p e s t h a n t h o s e t ri e d s o f ar a re e n c o u n t e r e d t h e n i t w o u l d b e e a s y e n o u g h t o

i n c r e a s e q a n d c a l c u l a t e n e w v a l u e s f o r t h e c o e f f i c i e n t s a n d k m in.

T h i s p r o g r a m is a t a fa i rl y e a r ly s t ag e i n it s d e v e l o p m e n t a n d t h e r e c o m m e n d e d n u m e r i c a l m e t h o d s

m a y w e l l b e c h a n g e d i n d e ta i l a s ti m e g o e s o n .

I n o r d e r t o f i n d k i. a n d li. J i n e q u a t i o n s ( 44 ) a n d ( 46 ), e q u a t i o n ( 61 ) w a s a p p l i e d t o ( 54 ) g i v i n g

d Z y 1d x g - h - ~ ( 0 ' 0 0 0 1 4 y - 4 - 0 " 0 1 7 9 4 y - 3 ÷ 0 " 2 0 1 9 8 y - 2 ÷ 0 " 3 5 1 2 7 y - 1 - 1 ' 0 7 09 0 y ° + ' ' )

a n d t o a v o i d h a v i n g t o o m a n y s p e c ia l e n d - o f -r a n g e c a s es th i s w a s a p p r o x i m a t e d b y

d 2 y , , ,d x 2 - ( 0 - 2 0 2 1 2 y _ z + 0 . 3 3 3 3 3 y _ 1 - 1 . 0 7 0 9 0y o + . . . ) , (63)

2 0

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ch a n g i n g t h e co e f f i c ien t s s o t h a t k a t 2 /h = 2 r e m a i n e d t h e s a m e . I n t h e m a i n p r o g r a m t h e s m o o t h i n g

p ro ces s , (6 1 ) w as ap p l i ed a s a s u b - ro u t i n e t o b o t h f i r s t an d s eco n d d e r i v a t i v e s a f t e r t h ey h a d b e en ca l -

cu l a t ed f ro m eq u a t i o n s (6 4 ) b e l o w an d (5 4 ),

w h i c h , af t e r s m o o t h i n g b e c o m e s

d y 1d x ° - 1 2 h ( Y - z - 8 y - 1 + 8 y l - Y2) (64)

d x o = ( - 0 " 0 0 0 1 4 y - 4 + 0 .0 1 67 8 Y _3 - 0 . 0 7 2 6 3 y _ z - 0 -4 0 4 5 2 y -1 . . . )

~ ( - - 0 . 0 4 7 7 4 y _ 2 - - 0 " 4 0 4 5 2 y _ 1 . . . ) ,

ch a n g i n g t h e co e f f i c ien t s s o t h a t t h e s l o p e o f a s t r a i g h t l i n e w as s t i ll co r rec t .

A t t h e e n d o f t h e r a n g e , f o r d y / d x

d y~ ( - 1 . 5 y l + 2 y 2 - 0 . 5 y 3 )d x l

a n d

(65)

d y 1- - r ( - 0 . 5y I + 0 .5y3) (66)

d x 2 n

(dy /dx ) i , i = 3 , 4 . . . i s g iven by (64) . Th en (dy /dx )2 w a s s m o o t h e d b y

g i v i n g

y2, =0. 25 y1 + 0.5y 2 + 0-25y 3,

d y =d x 2 (--0 .60 41 7y l + 0.33333y2 + 0 .125y 3 + 0.16667y4 - 0-02083y5).

(67)

F o r d 2 y / d x 2 ,

(68)

d 2 y d 2 y 1

d x ~ - d x ~ - - ~ ( Y l - 2y2 + Y3) (69)

(d2y /dx2) i , i = 3 , 4 . . . w as g i v en b y (5 4) . T h en , ap p l y i n g (6 7 ) t o t h e s e

d 2 y 1d x~ = ~ - ( 0 . 7 2 9 1 7 y l - 1 -1 66 6y 2 + 0 . 1 2 5 y a + 0 . 3 3 3 3 3 y 4 - 0 . 0 2 0 8 3 y 5 ) . (70)

A n a l o g o u s e x p r e s s i o n s f o r d y /d X M _ l , d 2 y / d x 2 - 1 can r ead i l y b e d e r i v ed f ro m (69 ) an d (7 0 ).

S u m m a r i s i n g t h e n , d e r i v a ti v e s i n t h e m a i n p r o g r a m s a r e f o u n d b y e q u a t i o n s ( 64 ) a n d ( 5 4) w i t h e n d - o f -

r a n g e v a l u e s b y ( 6 6) a n d ( 6 9 ) a n d t h e s e a r e t h e n b o t h s m o o t h e d b y e q u a t i o n ( 6 1 ) w i t h ( 67 ) f o r e n d o f

r an g e v a l u es . T h e i = 1 an d M v a l u es a r e n o t s m o o t h e d . Fo r f i n d i n g th e s .s .l , s h ap es w i t h eq u a t i o n (46 ),

th e k id a n d l i j v a l u es co m e f ro m eq u a t i o n s (65 ) an d (6 3) w i t h en d -o f - r an g e v a l u es f ro m (68 ) an d (70 ).

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S i n c e t h e q - o ' s a r e g e n e r a l ly a t u n e q u a l i n t e r v a l s o f m s o m e m o d i f i c a t i o n t o t h is p r o c e d u r e i s n e c e s s a r y ,

an d t h i s a l s o i n v o l v es t h e ch o i ce o f t h e b es t p o s i t i o n s f o r t h e q - o ' s . I n S e c t i o n 2 .4 an d F i g . 3 o n e q - o

w a s t a k e n t o b e a t t h e t r a i l i n g e d g e , i = M T a n d o n e j u s t i n f r o n t o f th e l e a d i n g e d g e . E q u a t i o n s ( 38 )

a n d (4 0) s h o w t h a t f o r r o u g h l y e q u a l r a t e s o f c o n v e r g e n c e o n a l l p a r t s o f th e b l a d e A c o s / ~ =

[r(ON - O 0] /h co s f l s h o u l d b e co n s t a n t o r , s i n ce ON - - 01 i s f a i r ly co n s t a n t h /r = A ~ s h o u l d b e p r o -

p o r t i o n a l t o c o s f t. B u t t h i s c o r r e s p o n d s a p p r o x i m a t e l y t o e q u a l s p a c i n g a l o n g t h e m e a n l i n e , F i g . 3, a n d

t h is f o r m s a s i m p l e r u l e fo r fi n d i n g a r e a s o n a b l e q - o d i s t r i b u t io n . I t is b e s t t o h a v e t h e a c t u a l l e a d i n g

e d g e h a l f w a y b e t w e e n t w o q - o ' s s o t h e m e a n l i ne l e n g t h i s m e a s u r e d i n t h e ( m , 0 ), o r (4 , 0 ) p l a n e a n d

d i v i d e d b y { M T - M - ½} t o g i v e t h e q - o s p ac i n g a l o n g t h e m e an l i n e . T h i s q - o s p ac i n g i s co n t i n u ed

a l o n g t h e u p s t r e a m a n d d o w n s t r e a m s .s .l.'s u s u a l l y w i th a g r a d u a l i n c r e a s e g o i n g a w a y f r o m t h e b l a d e .

T h e s . s. l. 's w i l l u s u a l l y f a i r i n t o t h e m ea n l i n e cu r v e u n l e s s a v e r y ' o f f - d es i g n ' i n c i d en ce i s b e i n g co n s i d e r ed

a n d s o m~ w i ll u s u a l l y b e a s m o o t h f u n c t i o n o f q - o n u m b e r i. I t i s t h e n p o s s i b le t o u s e t h e e q u a l i n t e r v a l

f o r m u l a e f o r d e r i v a t i v e s a b o v e b y u s i n g ' p a r a m e t r i c d i f f e r e n t i a t io n ' W i l k i n s o n 6 (1 97 0).

a; ay/a

d m d m / d i

a n d

d m d 2 y d y d 2 m

day d i d i 2 d i" d i 2

dm 2 (dm/d i ) 3(71)

H o w e v e r , t o a v o i d e r r o r s d u e t o l a c k o f s m o o t h n e s s i n m ~ i, p a r t i c u l a r l y i n fi n d i n g d Z y / d m 2 , th e

i n p u t c o o r d i n a t e s z~ , r~ , 0 ~ ,1 0 ,, an d A r~ a r e a l l s m o o t h e d t w i ce w i t h r e s p ec t t o i u s i n g eq u a t i o n ( 55 ). T h i s

r e d u c e s d i s c r e t e e r r o r s t o ¼ o f th e i r i n p u t v a l u e s a n d 2 /h = 2 c o m p o n e n t s t o ~ t h . I t i s n e c e s s a r y t o

p r ev en t t h e k i n k i n t h e s .s .1 , a t l e ad i n g ed g e an d t r a i l i n g ed g e f r o m a f f ec t i n g t h e s ec t i o n s h ap e d u r i n g t h e

s m o o t h i n g p r oc e s s, s o t h e v al u e s o f t h e c o o r d i n a t e b e i n g s m o o t h e d a r e m a i n t a i n e d u n c h a n g e d a t

i = M L + 1 an d M L + 2 an d a t i = M T - 1 an d M T . T h i s p r e s e r v e s t h e s h a p e o f t h e b l a d e a t l e a d i n g

a n d t r a i li n g e d ge s . A t in p u t t h e t a n g e n t i a l t h i c k n e s s c o o r d i n a t e 0 i s p u t e q u a l t o z e r o o n t h e l e a d i n g

a n d t r a il i n g s .s .l.'s a n d s u d d e n l y i n c r e a s e s t o o r d e c r e a s e s f r o m a n o n - z e r o v a l u e a t l e a d i n g a n d t r a i li n g

e d g e s. T h e s m o o t h i n g p r o c e s s w i ll h o w e v e r i n t r o d u c e n o n z e r o v a l u e s in t h e f o r m o f a s m a l l c u s p a te a c h e n d o f t h e b l a d e . T h e c u s p s c a r r y n o l o a d , a s t h e p e r i o d i c i t y c o n d i t i o n e n s u r e s e q u a l v e l o c i t ie s e a c h

s id e o f t h e m , a n d m e r e l y s e r ve t o d i v i d e t h e f l o w .

T h e r e i s n o p a r t i cu l a r n eces s i t y f o r 0 t t o b e ze r o o n t h e s . s. l. 's an d i f i t w as d e s i r ed t o r e p r e s e n t a t h i ck

w a k e , a n o n - z e r o v a l u e o f 0 t b e h i n d t h e t r a il i n g e d g e w o u l d d o t h is . A s p r o g r a m m e d s u c h a w a k e w o u l d

h a v e z e r o l o a d o n i t i n th e t a n g e n t i a l d i r e c t i o n . T h e p r o g r a m c o u l d e a s i l y b e m o d i f i e d t o h a v e z e r o l o a d

n o r m a l t o t h e w a k e o r to h a v e a n o r m a l l o a d w h i c h w a s a f u n c t io n o f a n i n p u t w a k e m o m e n t u m a n d o f

t h e c a l c u la t e d w a k e c u r v a t u re , t h e w a k e d e v e l o p m e n t a n d c u r v a t u r e b e i n g c a l c u la t e d a s p a r t o f t h e

p r o g r a m .

A f u n d a m e n t a l l i m i t a t i o n w i t h s t r e a m l i n e c u r v a t u r e m e t h o d s i s t h e i r i n a b i l i t y t o g i v e a n a c c u r a t e

p o t e n t i a l f l o w s o l u t i o n i n t h e l e a d i n g a n d t r a i li n g e d g e r e g i o n s , w h e r e t h e r e i s a r i g h t -a n g l e d k i n k i n t h e

w a l l s h a p e a s t h e s t a g n a t i o n s t r e a m l i n e m e e t s t h e w a ll . In t e r m s o f a F o u r i e r a n a l y s i s o f t h e s t r e a m l i n e

s h a p e t h r o u g h t h e k i n k , a l l w a v e l e n g t h s d o w n t o )~/h = 0 w o u l d b e n e e d e d f o r e x a c t r e p r e s e n t a t i o n .W i t h a f i n i te n u m b e r o f q - o ' s i n t h e k i n k r e g i o n , t h e r e is n e v e r e n o u g h i n f o r m a t i o n p r e s e n t t o f u ll y d e f i ne

t h e s h a p e a n d t h i s m a n i f e s t s i t se l f i n t h e f a c t t h a t a l l n u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o n m e t h o d s n e g l e c t c o n t r i b u -

t i o n s f r o m c o m p o n e n t s w i t h 2 /h l es s t h a n a b o u t 2 . W i t h s m o o t h i n g , o f c o u r s e , e ve n . h i g h e r w a v e l e n g t h

c o m p o n e n t s a r e i g n o r e d . S o m e e r r o r i n e s t i m a t i n g c u r v a t u r e s , a n d h e n c e v e l o c i t y g r a d i e n t s , i n t h e

s t a g n a t i o n r e g i o n s is t h e r e f o r e i n e v i t a b l e a n d a c h o i c e m u s t b e m a d e i n w h i c h i m p r o v i n g t h e a c c u r a c y

b y h a v i n g m o r e q - o ' s a n d a m o r e a c c u r a t e d i f f e re n t i a t i o n m e t h o d is t r a d e d a g a i n s t t h e r e d u c e d s t a b i l it y

a n d h e n c e g r e a t e r n u m b e r o f i t e r a t i o n s r e q u i r e d f o r h i g h e r A a n d [k mi,[. T h e i n t r o d u c t i o n o f a s m a l l c u s p

c o u l d e a s i ly b e a v o i d e d b u t i s t h o u g h t t o h a v e a g e n e r a l l y b e n e f ic i a l e ff ec t . T h e d e g r e e o f e r r o r c a u s e d

22

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b y s m o o t h i n g o u t t h e s t a g n a t i o n r e g i o n s w i t h t h e p r e s e n t n u m e r i c a l c o e f fi c ie n t s c a n b e s e e n in F i g s . 8

t o 1 7. F o r s t e a m t u r b i n e a p p l i c a t io n s w h e r e f l o w n e a r t h e l e a d i n g e d g e o f n o z z l e s is n o t v e r y i m p o r t a n t ,

a n d w h e r e i m p u l s e b l a d e s g e n e r a l ly h a v e t h i n l e a d i n g e d g e s , t h i s d e g r e e o f a g r e e m e n t i s p r o b a b l y q u i t e

a c c e p t a b l e i n t h e l e a d i n g e d g e r e g io n . A t t h e t r a i l in g e d g e t h e r e a l f l o w is p r o b a b l y m o r e l i k e t h e s m o o t h e d

o u t s t r e a m l i n e c u r v a t u r e a p p r o x i m a t i o n , d u e t o t h e b o u n d a r y l a y e r s, w a k e a n d s e p a r a t i o n s , t h a n t h e

i d e a l is e d p o t e n t i a l f l o w m o d e l w i t h a s t a g n a t i o n p o i n t , a n d g o o d a g r e e m e n t o n l o a d i n g a n d o u t l e t a n g le

i s o b t a i n e d . F o r c o m p r e s s o r c a s c a d e s o r l a r g e o f f- d e s ig n in c i d e n c e s a m o r e a c c u r a t e v e r s i o n o f t h e

p r o g r a m m i g h t b e r e q u i r e d a n d c o u l d e a s il y b e p r o d u c e d u s i n g t h e m e t h o d s o u t l i n e d a b o v e .

2 . 6 . S t a r t i n g V a l u e s

I n o r d e r t o s t a r t t h e c a l c u l a t i o n of f, s o m e i n i ti a l v a l u e s o f p a r a m e t e r s a p p e a r i n g o n t h e r i g h t h a n d s id e

o f eq u a t i o n (1 9 ) m u s t b e s p ec i f ied . T o f i n d t h e o v e ra l l v e l o c i t y l ev e l a ze ro v e l o c i t y g rad i en t a W / 9 0 = 0

i s a s s u m e d a n d a f l o w a n g l e r(dO/dm) i s req u i r ed . A n i n i t ia l 0 d i s t r i b u t i o n i s n eed ed a l s o fo r d 2 0 / d m 2 a n d

i t w a s a t f i r st t h o u g h t t h a t t h e s t r e a m l in e s c o u l d b e s p a c e d u n i f o r m l y a l o n g t h e q - o ' s . T h i s w o r k e d w e ll

e n o u g h a t l o w M a c h N u m b e r s b u t n o t a t h i g h e r m a s s f l ow s w h e r e s p u r i o u s c h o k i n g w a s o f t e n p r e d i c t e d

a t , o r j u s t b e f o re , t h e t r a il i n g e d g e q -o . T h i s w a s b e c a u s e t h e u n i f o r m s p a c i n g a p p r o x i m a t i o n r e s u l ts i n a

s l o p e dO/dm t h a t i s s l i g h t ly t o o h i g h n e a r t h e t r a i l i n g ed g e , w i t h a co n s e q u e n t r e d u c t i o n i n e f f ec ti v e f l o w

a r e a . T h e M a c h N u m b e r i s so s e ns it iv e t o a r e a n e a r M = 1 t h a t t h i s w a s o f te n s u ff i ci e n t t o c a u s e c h o k i n g

t o b e i n d i c a t e d . T h e c u r e f o r t h is w a s t o s p a c e t h e s t r e a m l i n e s u n i f o r m l y a l o n g n o r m a l s t o t h e f lo w a n dt h en i n t e rp o l a t e b ack t o f i n d t h e p o s i t i o n s a l o n g t h e q -o ' s . As t h i s i s n o t q u i t e a s s t r a i g h t fo rward a s i t

s o u n d s a b r i e f d e s c r ip t i o n o f t h e m e t h o d w i ll b e g iv e n .

T h e m i d - s t r e a m l i n e f o r u n i f o r m s p a c in g w a s f o u n d f r o m

Oi,NM = (0i,1 + 0i,N)/2

an d d i f f e r en t i a t ed t o g i v e ri (dO/dmi ,NM) = dO/d~i ,NM. T h e n o r m a l t h r o u g h t h e p o in t i , N M i s then

O = a ¢ + b

w h e r e

- 1a - -

dO/d~,NM

a n d

b = O i, N M - - a ¢ N M .

T h e i n t e r s ec t i o n s o f t h i s n o rm a l w i t h t h e s u c t i o n an d p res s u re s u r f ace s t ream l i n es , j = 1 , N , were t h en

f o u n d . I n F i g . 7 in t h e 4 , 0 p la n e a s e t o f q u a s i - n o r m a l s a r e f o u n d , n u m b e r e d f r o m K F to K B w h e r e K F

i s f o u n d b y

(01'/q - - 81'1) sin 2[fll,NM[,~rV /> 41 + 4

w h e r e

f l t a n - 1 dOd m "

23

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Si mi l a r l y K B fo l lo w s f ro m

~KB ~ ~M ( O M ' N - - O M ' t s i n 2 1 f l M , N M I .4

F o r a n y q -n i , K F < ~ i <~ K B , at in tersec t ion w i th the suct io n sur fac e (o r s .s .1 .) .

~ ' i ,1 ~- ¢ i ,N M + (Oi ,N - - Oi,1)sin 2[3 i ,N M .4

T h i s l o ca t e s t h e s e t o f 4 p o i n t s a l o n g t h e s u c t i o n s u r f ace n ea re s t t o t h e i n t e r s ec t i o n p o i n t , t w o e i t h e r

s i de o f ~ 'i.~ . T h e co e f f i c ien t s C1 t o C 4 o f a cu b i c t h ro u g h t h es e p o i n t s a r e fo u n d , b y s o l v i n g s i mu l t an eo u s

e q u a t i o n s , a s

0 = C 1 -J - C 2 ~ - {- C 3 ~ 2 - -{ - C 4 ~ 3 .

T h en , f o r eq u a l 0 a t t h e i n t e r s ec t i o n o f t h e q -n an d t h e cu b i c ,

f (~ ) = (C 1 - b ) + ( C 2 - - a ) ~ .-q -- C 3 ~ 2 + C 4 ~ 3 = 0

an d t h i s i s s o l v ed fo r t h e acc u ra t e ~ '~ .1, s t a r t i n g f ro m t h e ap p ro x i ma t e ~'~,1 ab o v e , b y N ew t o n ' s m e t h o d ,

an d 01, i s found .

A s im i lar p r oce dur e i s used to f ind ~I .N, 01,N on the p ressur e su r face (o r s .s .l .) . W i th the e nds o f the

q u a s i - n o r m a l k n o w n , t h e i n t e r m e d i a t e s t r e a m l i n e p o s i t io n s a r e f o u n d b y l i n ea r i n t e r p o l a t i o n f o r u n i f o r m

spac ing. Th is gives ~i ,~, 01,~ for K F <<, i <~ K B , 1 <<, <~ N d e f i n i n g t h e u n i f o r m l y s p a c e d s t r e a m l i n e

p o s i t i o n s o n t h e q u as i -n o rma l s . I t i s n o w n eces s a ry t o i n t e rp o l a t e b ack t o f i n d t h e co r r e s p o n d i n g 0 i , ~

v a l u es a l o n g t h e q -o ' s . Fo r t h e t r i an g u l a r r eg i o n s a t e i t h e r en d o f t h e ch an n e l t h e s t r eaml i n es a r e s t il l

l e ft s p aced u n i fo rm l y a l o n g t h e q -o ' s. T h es e r eg i o n s a r e d e f i n ed b y

~i ~< ~K F,j, j = 1 to N

a n d

~ i > / ~ D . j , j = 1 t o N .

Fo r p o i n t s n o t i n t h e t r i an g u l a r r eg i o n s , f o r each ( i , j) t h e s e t o f 4 p o i n t s (~14 , 0 1 j) a l o n g t h e j t h s t r eam -

l in e is f o u n d s u ch t h a t 2 a r e e i t h e r s i d e o f ~ i an d 4 -p o i n t i n t e rp o l a t i o n u s ed t o f i n d 0 id .

3. Da ta for Com puter Program

A l a rg e d r aw i n g o f o n e b l ad e i s r eq u i r ed o n w h i ch t h e i n i ti a l s h ap es o f t h e s t ag n a t i o n s t r eam l i n es a r e

d r a w n i n . F o r a t h r e e - d i m e n s i o n a l c a s c a d e i t i s p r o b a b l y b e s t t o d r a w t h e b l a d e i n t h e t r a n s f o r m e d(3, 0) p l an e . Se l ec t io n o f p o s i ti o n s fo r t h e q u a s i -o r t h o g o n a l s w as d i s cu s s ed i n Sec t i o n 2 .5 , an d s u m m ar i s i n g

th i s ,

( a) O n e q -o s h o u l d g o t h ro u g h t h e m ean l i n e a t t h e t r a i li n g ed g e .

(b) T h e l ead i n g ed g e s h o u l d b e h a l f w ay b e t w ee n t w o q -o ' s .

(c ) D i v i d e u p t h e me an l i n e l en g t h b e t w een q -o ' s M L a n d M T w i t h eq u a l l y sp aced q -o ' s .

( d ) Co n t i n u e t h i s s p ac i n g fo r t h e q -o ' s a l o n g t h e s t ag n a t i o n s t r eaml i n es , b u t w i t h a g r ad u a l i n c r eas e

g o i n g a w a y f r o m t h e b l a de .

(e ) T h e s t ag n a t i o n s t r eaml i n es mu s t ex t en d s u f f i c ien t l y f a r u p an d d o w n s t r e am o f t h e b l ad e s o t h a t a

r eg i o n o f s u b s t an t i a l l y p a r a ll e l u n i fo rm f l o w i s r each ed .

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( f ) T h e t o t a l n u m b er o f q -o ' s a l l o w ed , a s p ro g r am m ed , i s 3 0, b u t t h i s co u l d b e i n c r eas ed i f r eq u i r ed .

T h i s mean s t h a t 1 2 t o 1 5 can b e o n t h e b l ad e .

(g ) At the t ra i l ing edge , Fig . 4 , the po in t ( M T , N ) (o r ( M T , 1)) m ay b e o f f t h e ac t u a l b l ad e an d i t is

n eces s a ry t o d r aw i n an ap p ro x i m a t e f a i r i n g l i n e f ro m t h e p r e s s u re s u r f ace t o t h e s .s .1 , a s i n d i ca t eda n d t a k e t h e p o i n t a s b e in g o n t h a t .

E i t h e r t w o - o r t h r e e - d i m e n s i o n a l c a s c a d e s m a y b e i n p u t a n d a r e i n d i c a t e d b y p u t t i n g I D I M = 2 o r 3 .

F o r I D I M = 2 t h e 0i,1 a n d Oti o r d i n a t e s a r e i n p u t a s d i m e n s i o n a l q u a n t i t ie s i n i n c he s a n d d i v i d e d b y t h e

c o n s t a n t r a d i u s r l w i t h i n t h e p r o g r a m . F o r I D I M = 3 t h e 0~,1 a n d 0 , v a l u e s a r e i n ra d i a n s a n d a r e t r u ea n g u l a r c o o r d i n a t e s.

T h e m a x i m u m n u m b e r o f s tr e a m l i n e s a l lo w e d i n c l u d i n g s u c t io n , 1 , a n d p r e s s u r e N , s u r f a c es is 9.

T h i s co u l d b e i n c r ea s ed i f r eq u i r e d b u t 7 s t r eaml i n es a r e u s u a l l y s u f fi c ien t .

N m u s t b e o d d .

A l l d a t a c a r d s u s e i n p u t f o r m a t s a n d t h e s e m u s t b e s t ri c tl y o b se r v e d .

T h e d a t a r eq u i r ed i s s e t o u t a s f o l l o w s .

(2) Ti t le

( A n y c h a r a c te r s f r o m c o l u m n s 2 t o 6 6 )

M N M L M T

(A ll f o rm a t I 5 )

I D I M

(I2)Z l r l 01,1 0 ,1 A rl

(All F10.3)

(z, r , Ar in inch es. 0 , 0 i n i n c he s , I D I M = 2 /

o r i n r a d i a n s I D I M = 3 ) 1

Z M

¢ (degrees )

(F10.3)

(4) R P M 7

(F10.3) (F10.3)

(1) V:, Vo,

(All F10.3)

N E X T

(I2)

r M O M , 1 O tM A r M

T O L N B I TS J U M P S

(F10.3) (I5) (I5) (I5)

ht , p , loss coef t .

t = f i n i s h e d= 01: new V~l ' V°~' e t c" re pea t f r° m ( 1 ) l

= 2 , n ew g eo m e t ry , r ep ea t f r o m (2 ) ]

= 3, ne w 95, give ne w 95 va lue on ly ]

= 4 , n ew RP M , ~ , e t c ., r ep ea t f r o m (4) [

(V~,, V01 in ft/s ec , htl i n B t u / l b , P t, i n l b / i n 2 ) /

N B i s t h e n u m b e r o f bl a de s . F o r a t w o - d i m e n s i o n a l c a s e th i s m u s t f i t i n w i t h r t o g i v e t h e r i g h t p i tc h

f r o m

27~rs =

N B

o r

s . N Br - wh ere s i s in inches .

2~

A n y c o n v e n i e n t v a lu e s o f N B a n d r m a y b e u s e d . A l s o a n y c o n s t a n t A r m a y b e u s e d fo r th e t w o - d i m e n -s i o n a l ca s e .

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F o r t h e t h r e e - d i m e n s i o n a l c a s e it i s o n l y t h e r a t i o s o f A r f r o m o n e q - o t o a n o t h e r t h a t m a t t e r a n d a n y

c o n v e n i e n t m a g n i t u d e c a n b e u se d .T O L i s t h e e s t im a t e d r e m a i n i n g v e l o c i t y e r r o r r e q u i r e d , d i v i d e d b y t h e m e a n v e l o c it y , t a k i n g t h e

m a x i m u m o f t h i s r a t io f o r a ll q - o 's . A v a l u e o f 0 .0 0 5 h a s b e e n f o u n d r e a s o n a b l e .

I T S i s t h e m a x i m u m n u m b e r o f i t e ra t i o n s t h a t w i ll b e d o n e f o r a n y s t r ea m l i n e s h a p e a n d p r e v e n t s

t h e p r o g r a m r u n n i n g i n d e f i n it e ly i f i t d o e s n o t c o n v e r g e f o r s o m e r e a s o n . I t c a n b e f o u n d a p p r o x i m a t e l y

f r o m e q u a t i o n ( 40 ), o t h e r w i s e a v a l u e o f a b o u t 5 0 c a n b e u s e d .

J U M P S is t h e m a x i m u m n u m b e r o f s t a g n a t i o n s t r e a m l i n e s hi ft s t h a t w il l b e d o n e , a l th o u g h t h e p r o -g r a m w i ll p r o b a b l y c o n v e r g e w i t h l es s. A b o u t 1 5 s h if t s a r e u s u a l l y e n o u g h .

V._, a n d V o , w i t h d r ~ d i n , f r o m t h e g e o m e t r y , a n d t h e R P M a n d r ~ , d e f in e th e r e l a t iv e a n d a b s o l u t e i n l et

a n g l e s a n d t h e s e w i l l b e p r e s e r v e d d u r i n g t h e c a l c u l a t i o n . T h e i n l e t a n g l e d o e s n o t d e p e n d o n t h e i n i t i a l

s.s.l , shape.F o r a r a n g e o f i n le t m a s s fl o w s o r M a c h N u m b e r s i t is a d v i s a b l e t o s t a r t w i t h t h e h ig h e s t a n d w o r k

d o w n t o l o w e r M a c h N u m b e r s . T h i s i s t o t a k e a d v a n t a g e o f (a ) t h e a b i li t y to s p a c e t h e tr a i li n g s t a g n a t i o n

s t r e a m l i n e w e l l a w a y f r o m t h e b a c k o f t h e b l a d e a n d ( b ) t h e i n it ia l s t r e a m l i n e s p a c i n g , u n i f o r m n o r m a l

t o t h e f l o w , w h i c h i s c l o s e to t h e c o r r e c t s p a c i n g f o r s o n i c f lo w . B o t h o f t h e s e t h i n g s m i n i m i s e t h e p o s s i b i l i t y

o f s p u r i o u s c h o k i n g b e i n g p r e d i c t e d , a n d s i m p l e s u m s b a s e d o n p a s s a g e a r e a s s h o u l d e n a b l e t h e c r it i c al

m a s s f lo w t o b e e s t im a t e d b e f o r e h a n d a n d a v o i d ed .

T h e s t r e a m l i n e s h i f t i n g m e t h o d c a n c o p e w i t h l a r g e c h a n g e s i n i n l e t a n g l e a n d t o c h a n g e t h e i n c i d e n c e

i t i s u s u a l ly s u f fi c ie n t t o p u t N E X T = 1 a n d c h a n g e ~ , a n d V o l w i t h o u t h a v i n g t o c h a n g e t h e w h o l e

g e o m e t r y .F o r d r y s t e a m a g o o d a p p r o x i m a t i o n t o i ts p r o p e r t i e s is o b t a i n e d b y u s i n g 7 = 1.3 a n d ( h - 8 3 5)

i n s t e a d o f h . T h e c a l c u l a t e d h t v a l u e s in t h e p r o g r a m o u t p u t s h o u l d t h e n h a v e 8 3 5 a d d e d t o t h e m .

T h e o u t p u t i n c lu d e s v a l u e s o f a ll g e o m e t r i c a l a n d f l o w p a r a m e t e r s o v e r t h e w h o l e g r i d . T h e p r e s s u r e

c o e f fi c ie n t S i s o n e u s e d b y N A S A a n d i s

S i i P , ~ - P l , j (72)-

w h e r e s u b s c r i p t 1 r e f er s t o q - o ' 1.

T h e v e l o c i t y r a t i o V / V 2 i s a l s o o u t p u t a n d t h i s is a c t u a l l y

V ) _ W ~ . j

i , j WM,N M"

N o t e t h a t t h i s n o n - d i m e n s i o n a l i s e s r e l a ti v e t o a v e l o c i ty o n t h e l a s t q - o ' a n d t h a t , w h i ls t t h is r e p r e s e n t s

a m e a n t r a i l i n g e d g e v a l u e i n tw o - d i m e n s i o n s , i t d o e s n o t i n t h r e e - d i m e n s i o n s b e c a u s e o f c h a n g e o f

r a d i u s a n d a n n u l u s a r e a .T h e p r o g r a m is i n F O R T R A N I V an d o n t he I B M 3 6 0- 75 r u n t im e s w it h M = 3 0, N = 7 a r e a b o u t

0 -4 s e c s p e r i t e r a t i o n , a n d 0 - 1 4 s e c s p e r s t r e a m l i n e s h i f t g i v i n g a n o v e r a l l r u n t i m e o f a b o u t 2 0 t o 4 0 s e cs .

W i t h t h e I B M 3 6 0 -8 5 r u n t i m e s a r e e x p e c t e d t o b e a b o u t 4 0 p e r c e n t o f t h o s e o n t h e -7 5 , g i v i n g o v e r a l l

t i m e s o f 8 t o 1 6 s ec s. T h i s i s p e r c a se , a n d e a c h M a c h N u m b e r a n d i n c i d e n c e c o m b i n a t i o n i s a s e p a r a t e

c a s e, a l t h o u g h f o r a r a n g e o f t h e s e a n e w s o l u t i o n is d e r i v e d f r o m t h e p r e v i o u s o n e a n d t h e f u ll t im e

m a y n o t b e r e q u i r e d .

4 . C o m p a r i s o n s w i th o t h e r T h e o r i e s a n d w it h E x p e r i m e n t

T h e m e t h o d s h o u l d b e a p p l i c a b l e t o a w i d e r a n g e o f c a s e s a s it c a n d e a l w i t h c o m p r e s s i b l e o r i n c o m -

p r e s s i b le f lo w , c h a n g e s o f d u c t a r e a i n t h e f l o w d i r e c ti o n , c h a n g e s o f r a d iu s a n d r e l a ti v e v o r t i c i t y e ff e ct s

o n r o t a t i n g b l a d e s . I t c a n t h e r e f o r e b e u s e d f o r a x i a l , m i x e d f l o w , o r r a d i a l f l o w t u r b i n e s o r c o m p r e s s o r s

i n c l u d i n g s t e a m t u r b i n e s , g a s t u r b i n e s , a x i a l a n d c e n t r i f u g a l c o m p r e s s o r s a n d g a s c i r c u l a to r s . A v e r y

e x t e n s i v e p r o g r a m o f w o r k w o u l d b e n e e d e d t o v e r i fy t h e m e t h o d o f a ll p o s s i b l e g e o m e t r i e s in a ll th e s e

2 6

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a p p l i c a ti o n s a n d o n l y a l i m i te d n u m b e r o f c o m p a r i s o n s f o r c as e s r el e v a n t t o s t e a m t u r b i n e s h a v e b e e n

done so f a r . The pa r t i c u l a r c a se s c ons i de re d a re t hose wi t h i nc ompre s s i b l e o r c ompre s s i b l e a x i a l f l ow,

fo r wh i c h e xa c t o r e xpe r i me n t a l r e su l t s we re a va i l a b l e a nd wi t h i nc ompre s s i b l e mi xe d f l ow wi t h f i xe d

a n d r o t a t i n g b l a d e s f o r w h i c h a l m o s t e x a c t s o l u t i o n s w e r e a v a i l a b l e f r o m t h e W i l k i n s o n / M a r t e n s e ns ing ula r i ty m eth od W ilkin son 1°,11 (1967) , (1969) .

F i gu re s (8 ) a nd (9) show t he 112 de g re e s c a mb e r c a sc a de o b t a i ne d by G os t e l o w l z (1964) by t r a ns fo rm a -

t i o n a n d a c o m p a r i s o n b e t w e e n t h e a s s o c i a t e d e x a c t s o l u t i o n a n d t h e s t r e a m l i n e c u r v a t u r e s o l u t i o n .

Th i s ha s a l r e a dy be e n d i s c us se d t owa rds t he e nd o f S e c ti on 2 .4 whe re i t wa s s t a t e d t ha t t he ou t l e t a ng l ei n t he s / lc . so l u t i on , wi t h q~ = 0 wo u l d no t be e xpe c t e d t o be t he s a me a s t he ' e xa c t ' va l ue a s t he t w o

K u t t a - J o u k o w s k i c o n d i t i o n s w e r e n o t e q u i v a le n t . I f t h e s / lc . v el o ci ti es , V / V 2 , a re f a c t o re d by t he r a t i o

o f t he V z ' s o f t h e t w o s o l u t i o n s so t h a t t h e y a re n o n - d i m e n s i o n a l i s e d o n t h e s a m e v a l u e o f V t h e t w o

ve l oc i t y d i s t r i bu t i on s a re t he n i n a l m os t e xa c t a g re e m e n t e xc e p t a t t he l e a d i ng a nd t r a i l ing e dge s. Ne a r

t h e l e a d i n g e dg e t h e s m o o t h i n g o u t p r o ce s s, d u e t o t h e i n a c c u r a t e d i f f e r e n t ia t i o n m e t h o d a n d t h e i n t ro -

d u c t i o n o f a s m a l l c u sp , h a s p r e v e n t e d t h e s t a g n a t i o n v e l o c it y f r o m b e i n g o b t a i n e d a n d c a u s e d a m o r e

g ra dua l t r a ns i t i on f rom t he ups t re a m t o b l a de su r fa c e ve l oc i t i e s . In t he t r a i l i ng e dge re g i on t he re ha s

a l s o b e e n s o m e s m o o t h i n g o u t a n d t h e e x t r a l o a d d u e t o t h e h i g h e r t u r n i n g a n g l e a p p e a r s h e r e . A p a r t

f r o m t h i s t h e r e i s g e n e r a ll y v e r y g o o d a g r e e m e n t b e t w e e n t h e t w o m e t h o d s .

F i gu re s (10 ) a nd (11 ) show t he b l a de sha pe a n d ve l oc i t y d i s t r i bu t i ons fo r a NA S A se c t ion , W hi t ne y 14

( 19 67 ). T h e r e i s g e n e r a ll y g o o d a g r e e m e n t i n c l u d i n g th e b a c k o f th e b l a d e w h e r e t h e M a c h N u m b e r

i s f a i r l y c on s t a n t a t a bo u t 0 .85. The o u t l e t a ng l e p re d i c t e d i s 0 .5 de g re e s t oo h i gh a nd t h i s ma y a l so be

re f le c t e d in a t e n de nc y fo r t he l oa d t o be t oo h i gh ne a r t he t r a i li ng e dge . I t is l ike l y t ha t t he re w e re no t

qu i t e e nough q -o ' s a f t e r t he b l a de , a s c ompl e t e l y un i fo rm f l ow ha d no t be e n e s t a b l i she d by t he l a s t one .

The re wa s s t i ll a sma l l va r i a t i on i n t a nge n t i a l ve l oc i t y a nd t h i s m a y ha ve a f fe c t e d t he f i na l r e su lt . Ano t he r

pos s i b l e e xp l a na t i on i s t ha t v i s c ous e f fe c ts , due t o t he suc t i on su r fa c e boun da ry l a ye r d i sp l a c e m e n t

t h i c kne s s be i ng l a rge r t ha n t h a t on t h e p re s su re su r fa c e a t t he t r a i l ing e dge , m a y ha v e c a use d t he ' e f f e c t ive 'b l a de sha pe t o t u rn t he f l ow s l i gh t ly l es s .

F igu i~ es (12 ) t o (14 ) show som e c om pa r i s ons fo r c ompre s s i b l e t wo -d i m e ns i on a l f l ow pa s t a c a sc a de

o f N A C A p r i m a r y s er ie s tu r b i n e b l a d e s D u n a v a n t 13 ( 19 56 ) a t t w o i n c i d en c e s a n d M a c h N u m b e r s . T h e

b l a de h a d 0 c = 80 de g re e s a nd wa s a t a s t a gge r o f 38 .4 de g ree s . The c o o rd i na t e s c a n be found i n D un a va n tan d Erw in 13 (1956) .

I n F i g . (1 2 ) s o m e d i f fi c u lt y w a s c a u s e d b y t h e e x p e r i m e n t a l i n le t a n d o u t l e t M a c h N u m b e r s a n d f l o wa ng l e s no t s a t i s fy ing c on t i nu i t y fo r i s e n t ro p i c f l ow, a s t he s / lc . va l ue s mu s t do . Ad d i t i on o f l o s s ef fec t s

wo u l d m a ke t he d i s c re pa n c y g re a t e r s t il l. I t ma y be t ha t , due t o t he ge ne ra l i nc re a se i n t he f low ve l oc i t y

t h r o u g h t h e b l a d e r o w , t h e s i de w a l l b o u n d a r y l a y e r s h a v e b e c o m e t h i n n e r a n d t h is h a s r e d u c e d t h e o u t l e t

M a c h N u m b e r . T h e e x p e r i m e n t a l ½ p i V 2 = ( V / 2 ) p I M 2 for a g iven M z wo ul d t h e n be r e l a t i ve l y l a rge r

t h a n t h e o r y a n d S w o u l d b e r e d u c e d . H o w e v e r , s c a li n g b y t h e r a t i o o f t he t h e o r e t i c a l /e x p e r i m e n t a l

½p lV~ va l ue s t a ke s t he t he o re t i c a l S c u rve on l y a bou t ha l f -w a y t ow a rds t he e xpe r i m e n t a l va l ue s in

F i g . 12 . The re mus t t he re fo re be some o t he r e r ro r . I t mus t be no t e d t ha t ( a ) fo r t he g i ve n ou t l e t Ma c h

N um be r t he t he o ry s a t is f ie s c on t i nu i t y wh i l e the e xpe r i m e n t doe s no t , (b) the t he o ry g i ves t he e xpe r i m e n t a l

ou t l e t a ng l e t o 0 .1 de g re e s , ( c ) s i nc e t he c ha nge i n t a nge n t i a l mome n t um i s r e f l e c t e d i n t he l oa d on t he

b l a de t he t he o re t i c a l l oa d mu s t be c o r re c t , (d) t he sha pe s o f t he t he o re t i c a l a nd e xpe r i m e n t a l S . ,~ x /c

c u r v e s a r e v e r y s i m i l a r . I t i s c o n c l u d e d t h a t t h e e x p e r i m e n t c o n t a i n s s o m e u n k n o w n e r r o r i n t h e n o n -

d i me ns i ona l i s i ng qu a n t i t y ½p lV~ - A su i t a b l e va l ue c a n e a s i l y be fou nd t o m a ke t he t he o re t i c a l a ndx p e r i m e n t a l c u r v e s a l m o s t c o i n c id e n t .

Th i s t e nde nc y fo r t he t he o re t i c a l S va l ue s t o be h i ghe r t ha n e xpe r i me n t a l one s i s a l so shown i n F i gs .

13 ) a nd (14 ), a l t ho ug h t o a l e s ser e x t e n t t he ou t l e t M a c h Nu mb e rs be i ng ra t he r d i f f e re n t i n t he l a tt e r .

T h e i n l e t a n d o u t l e t M a c h N u m b e r s a n d a n g l es f r o m e x p e r i m e n t a r e n e a r e r t o s a t is f y in g c o n t i n u i t y

bu t p re su ma b l e ½p~ V~ i s s t il l t oo h i gh . The ou t l e t a ng l e s a re p re d i c t e d ve ry w e l l a nd t he sha pe s o f t he

t h o u g h t h e r e a r e n o p r e s s u re t a p p i n g s o v e r t h e la s t i 0 p e r c e n t c h o r d a n d S m i g h t a c t u a l ly

s e t o w a r d t h e t r a il i n g ed g e. T h i s m i g h t a l s o b e d u e t o t h e h i g h e r t h e o r e t i ca l o u t l e t M a c h N u m b e r .

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I n g e n e r a l , w i t h s o m e fa i r ly r e a s o n a b l e s c a li n g , t h e t h e o r e t i c a l p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n s s h o w g o o d

a g r e e m e n t w i t h e x p e r i m e n t a n d t h e o u t l e t a n g l e s a r e p r e d i c t e d v e r y w el l.

T h e c o m p a r i s o n s s o f a r a ll d e a l w i t h a x ia l fl ow , o v e r a r a n g e o f M a c h N u m b e r . T h r e e - d i m e n s i o n a l

f lo w e ff ec ts h a v e t w o m a i n f o r m s , c h a n g e o f a n n u l u s a r e a a n d c h a n g e o f r a d i u s o f th e m e r i d i o n a l s t r e a m

s u r f a ce , a n d e i t h e r o r b o t h o f t h e s e m a y b e p r e s e n t . T h e r e a r e n o e x a c t s o l u t i o n s o r t e s t d a t a o n t h e c o m -

p r e ss i b le t h r e e - d i m e n s i o n a l c a s c a d e c a s e a n d t h e b e s t a v a i l a b le c o m p a r a t i v e p r e d i c t io n s a r e t h o s e f o r

i n c o m p r e s s i b l e f l o w f r o m t h e W i l k i n s o n / M a r t e n s e n m i x e d f l o w a n a l y s i s m e t h o d W i l k i n s o n ~ °'1 1 (1 96 7) ,(1 96 9) . T h i s m e t h o d u s e s s in g u l a r i ti e s t o g i v e a n a l m o s t e x a c t s o l u t i o n . A c a s e w a s t h e r e f o r e r u n o n b o t h

t h e s t r e a m l i n e c u r v a t u r e a n d s i n g u l a r i t y m e t h o d s f o r a s e c t i o n d e r i v e d f r o m , b u t n o t t h e s a m e a s , t h e

N A S A p r i m a r y s e ri es tu r b i n e b l a d e. T h e ( z , r , O ) c o o r d i n a t e s f o r p o i n t s o n t h e b l a d e a r e g i v e n i n T a b l e 1 .

T h e m e r i d i o n a l s t r e a m s u r f a c e h a d 4 5 d e g r e e s f l a r e a n d w a s d e f i n e d b y

r = 78.6 + z

w h e r e t h e l e a d i n g e d g e i s a t z = 0 a n d t h e a x i a l c h o r d i s 7 . 8 6 i n s g i v i n g a 1 0 p e r c e n t i n c r e a s e i n r a d i u s

f r o m l e a d i n g t o t r a i l i n g e d g e . T h e a n n u l u s a r e a , d e f i n e d b y A r a l s o i n c r e a s e s a c c o r d i n g t o

Ar = Ari . e 1 +

T h i s c o r r e s p o n d s t o a h u b / t i p = 0 .5 a n d c o n i c a l m e r i d i o n a l s t r e a m l i n e s f r o m a n o r i g i n a t ( - 3 9.3 , 39 .3 , 0) .

T h e u p s t r e a m a n d d o w n s t r e a m l i m i t s o f t h e r e g i o n o f i n t e r e s t w e r e t a k e n a s z = - 4 . 1 8 t o + 1 1.5 3 a n d a

r e l a ti v e in l e t a n g l e o f 0~ = 1 0 d e g r e e s w a s u s e d a t z = - 4 . 1 8 f o r b o t h f i x e d a n d r o t a t i n g b l a d e s . F o r

t h e l a t t e r t h e r o t a t i o n a l s p e e d p a r a m e t e r , o ~ r ~ / V , , l , a t z = - 4 . 1 8 w a s 1 -0 . T h e s t r e a m l i n e s a r e n o t s t r a i g h t

e i th e r u p s t r e a m o r d o w n s t r e a m d u e t o t h e c h a n g i n g r a d i u s a n d a n n u l u s a r e a b u t 0 2 w a s th e f lo w a n g l e

a t z = 1 1.5 3. A p l o t o f t h e b l a d e s h a p e s a n d p r e d i c t e d s t r e a m l i n e s i s s h o w n i n F ig . 1 5 f o r t h e t r a n s f o r m e d

p l a n e ( 4 , 0 ) i n w h i c h a ll a n g l e s a r e p r e s e r v e d r e l a t i v e t o t h e m e r i d i o n a l s t r e a m s u r f ac e . I n t h i s c a s e w h e r e

t h e f lo w w a s o n a c o n e t h e s u rf a ce c o u l d h a v e b e e n ' u n w r a p p e d ' a n d p l o t t e d w i t h o u t d i s t o r ti o n b u t t h is

w o u l d n o t g e n e r a l l y b e s o .

A l s o t h e z = c o n s t a n t l in e s w o u l d h a v e b e e n a r c s o f c i rc l e s a n d i t w o u l d n o t h a v e b e e n a s e a s y to s e e

t h e f l o w a n g l e s .

F i g u r e s (1 6) a n d ( 17 ) c o m p a r e t h e p r e d i c t i o n s o f t h e s t r e a m l i n e c u r v a t u r e a n d t h e s i n g u l a r i ty m e t h o d s

f o r fi x e d a n d r o t a t i n g b l a d e s . T h e r e i s c l o s e a g r e e m e n t f o r v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n s a n d o u t l e t a n g l e s in b o t h

c a s es , w i t h t h e u s u a l s m o o t h i n g o u t e r r o r n e a r t h e l e a d i n g e d g e . T h e r e i s a 3 0 p e r c e n t a n n u l u s a r e a

i n c r e a s e i n b o t h c a s e s , s o t h i s l a r g e e f f e c t i s e v i d e n t l y a l l o w e d f o r s u c c e s s f u l l y a n d t h e r e l a t i v e v o r t i c i t y

e ff e ct c a n a l s o b e s e e n t o b e la r g e b y c o m p a r i n g t h e l o a d i n g s i n t h e t w o c a se s . A l t h o u g h o n l y f o r o n e c a s e ,

t h is d o e s c o n f i r m t h a t t h e p r o g r a m i s i n c l u d i n g c o r r e c t l y t h e e ff e c ts o f a n n u l u s a r e a a n d r a d i u s c h a n g e

f o r b o t h f i x e d a n d r o t a t i n g b l a d e s .

T a k i n g t h i s i n c o n j u n c t i o n w i t h t h e e a r l ie r c o m p a r i s o n s f o r c o m p r e s s i b l e f lo w i n a x ia l c as e s it s e e m s

r e a s o n a b l e t o c o n c l u d e t h a t t h e m e t h o d w o r k s s u c c e s sf u l ly f o r tu r b i n e c a s c a d e s o f t h e t y p e i ll u s t r a te d

f o r g e n e r a l t h r e e - d i m e n s i o n a l c o m p r e s s i b l e f l o w c a s es . I t s h o u l d a l s o b e a p p l i c a b l e t o a w i d e r a n g e o f

o t h e r c a s c a d e s i n c l u d i n g a x i a l , m i x e d a n d c e n t r i f u g a l c o m p r e s s o r s b u t f u r t h e r c o m p a r i s o n s w o u l db e n e c e s s a r y t o v e r i f y th i s .

5 . A N e w D e s ig n M e t h o d

T h e d e s i g n o r ' i n v e r s e ' p r o b l e m , i n i ts u su a l a e r o d y n a m i c f o r m , is t o c a l c u l a t e th e b l a d e s h a p e t h a t

w i ll g i v e a s p e ci f ie d v e l o c i ty d i s tr i b u t i o n o n o n e o r b o t h s u r f ac e s . T h e m e t h o d d e v e l o p e d i n S e c t i o n 2 .4

f o r a d j u s t i n g t h e s t a g n a t i o n s t r e a m l i n e s h a p e s t o g i v e a s p e c if i ed , z e r o d i ff e r e n c e b e t w e e n t h e v e l o c it i es

a t t h e e n d s o f a q - o ' , c a n r e a d i l y b e e x t e n d e d t o o b t a i n s p e c if i e d b l a d e s u r f a c e v e lo c i ti e s.

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C o n s i d e r a c a s e w h e r e t h e s o l u t i o n f o r t h e f l o w t h r o u g h ' t h e c h a n n e l w i t h t h e i n i ti a l s .s .l .' s h a s a t t a i n e d

s u f fi c ie n t a c c u r a c y t o m a k e i t w o r t h w h i l e s h i f t in g t h e s .s .l .'s t o m a k e t h e m m o r e p e r i o d i c . W e n o w c o n -

s ide r sh i f ts cSj f o r a ll q - o ' s j = 1 t o M . Th e pe r io d ic i t y c on d i t i o n f o r i = 2 t o M L a n d M T + 1 to M - 1

i s s t il l e qua t ion ( 45 ) a nd tha t f o r i = M T i s f o u n d f r o m e q u a t i o n ( 50 ). T h e ki,~ a n d Ii, v a l u e s n o w h a v e t o

be c a l c u l a t e d f o r 6 j ' s on the b l a de a s w e l l .

O n the b l a de i f t he r e q u i r e d suc t io n su r f a c e ve loc i t i e s a r e W ~ ,~ , i = M L + 1 to M T - 1 , t he n a c ha n ge

o f ~ W / a O o n t h e m i d - s t r e a m l i n e i s r e q u i r e d g i v e n a p p r o x i m a t e l y b y

a w - 2 ( w ' ~ , 1 - w ~,l)

A O O i , N M ~ ( O i , N - - 0 i , 1 )(73)

f r o m w h i c h , b y c o m p a r i s o n w i t h e q u a t i o n (4 1) a n e w r i g h t h a n d s i de f o r e q u a t i o n (4 6) c a n b e f o u n d .

T h i s g iv e s M - 1 e q u a t i o n s f o r t h e M u n k n o w n 6 i v a l u es , b u t i n f a c t o n e o f t h e 6 f s i s n o t n e e d e d

s inc e a un i f o r m t r a n s l a t i o n due to a d d ing 6 t o a ll q - o ' s w i ll ha ve no e f fe c t. W i tho u t l o s s o f ge ne r a l i t y ,

t h e r e f o r e , o n e o f t h e 6 f s a t j = 1 o r M L o r M T , s a y , i s s e t t o z e r o a n d t h e r e m a i n i n g M - 1 e q u a t i o n s

s o l v e d t o g iv e t h e n e w b l a d e a n d s t a g n a t i o n s t r e a m l i n e s h a p e s . T h i s w o u l d r e p l a c e t h e p r o c e d u r e f o r

f i n d i n g t h e s.s .l , s h a p e s a l o n e a n d , a p a r t f r o m t h e e x t r a t i m e n e e d e d t o d e a l w i t h a b o u t 3 0 s i m u l t a n e o u s

e q u a t i o n s i n s t e a d o f a b o u t 7 b e f o re , t h e w h o l e c a l c u l a t i o n s h o u l d n o t t a k e m u c h l o n g e r t h a n t h e a n a l y s i s

m e t h o d .T h i s d e s i g n m e t h o d h a s n o t y e t b e e n p r o g r a m m e d a l t h o u g h i t i s a r e la t i v e l y s i m p l e m o d i f i c a t i o n t o

t h e e x is t i n g p r o g r a m a n d c o u l d e a s i ly b e d o n e i f t h e r e w a s a d e m a n d . T h e m a i n d r a w b a c k t o t h e p r e s c r ib e d

v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n m e t h o d s i s t h a t t h e o u t l e t a n g l e c a n n o t b e s p e c if i ed a s w el l, b u t c o m e s o u t a s a

d e r i v e d q u a n t i t y f r o m t h e c a l c u l a t i o n . I t w o u l d b e n e c e s s a r y t o t r y s e v e r a l v e lo c i t y d i s t r i b u t i o n s o f th e

de s i r e d type to f i nd the one g iv ing the r i gh t ou t l e t a ng le , a nd th i s m igh t be a u se f u l ' l i gh t - pe n ' e xe r c i s e .

T h e o t h e r a p p r o a c h t o d e s i g n i n g b l a d e s h a p e s u s e s t h e f a c t t h a t t h e o u t l e t a n g l e c a n b e e s t im a t e d f a i r ly

a c c u r a t e l y f r o m t h e o p e n i n g / p i t c h r u l e , f o r t u r b i n e s a t l e a st , a n d s o i t i s p o s s ib l e t o d r a w s e v e r al d i f fe r e n t

b l a d e s w i t h th e s a m e o u t l e t a n g le . T h e v e l o c i t y d i s t r i b u t i o n s c a n b e f o u n d b y t h e a n a l y s is m e t h o d a n d

g e o m e t r i c a l v a r i a t i o n s i n t r o d u c e d t o o b t a i n t h e b e s t d e si g n . T h e l a t t e r a p p r o a c h , w h i c h c o u l d a l s o b e

d o n e b y l i g h t p e n , i s p r o b a b l y m o r e s a t i s f a c t o r y , a l t h o u g h t h e P . V . D . m e t h o d m a y b e u s e f u l i n s o m e

a p p l i c a t i o n s , o r a s a w a y o f e l im i n a t i n g v e l o c i t y p e a k s o r a d v e r s e p r e s s u r e g r a d i e n t s o n s e c t i o n s t h a t a r e

n e a r l y g o o d e n o u g h .

6. Conclusions

6 .1 . A n e w m e t h o d h a s b e e n g i v e n f o r c a lc u l a t i n g t h e c o m p r e s s i b l e f lo w t h r o u g h a t h r e e - d i m e n s i o n a l

c a s c a d e d e f i n e d b y t h e i n t e r s e c t i o n o f a m e r i d i o n a l s t r e a m s u r f a ce w i t h a b l a d e r o w . T h e e f f e ct s o f c h a n g i n g

a n n u l u s a r e a a n d r a d i u s f o r fi x ed a n d r o t a t i n g b l a d e s a r e i n c l u d e d . T h e s t r e a m l i n e c u r v a t u r e t e c h n i q u e

i s u s e d w i t h t a n g e n t i a l q u a s i - o r t h o g o n a l s , a n d t h e u p s t r e a m a n d d o w n s t r e a m s t a g n a t i o n s t r e a m l i n e

s h a p e s a r e d e t e r m i n e d i t e r a t iv e l y t o s a t is f y p e r i o d i c i t y in t h e t a n g e n t i a l d i r e c t io n . A K u t t a - J o u k o w s k i

c o n d i t i o n s u i t a b l e f o r t h i n a n d t h i c k t r a i l in g e d g e s is u s e d t o f i n d t h e o u t l e t a n g le .

6 .2 . T h e m e t h o d h a s b e e n s h o w n t o b e i n g o o d a g r e e m e n t w i t h o t h e r t h e o r i es a n d w i t h e x p e r i m e n t

f o r spe c ia l c a se s a nd , b y im p l i c a t ion , shou ld be a pp l i c a b le t o a w ide r a ng e o f f l ow ca se s i nc lud ing a x i a l ,

m i x e d a n d r a d i a l f l o w i n t u r b i n e s , c o m p r e s s o r s , f a n s , c i r c u l a t o r s a n d p u m p s f r o m i n c o m p r e s s i b l e t oc h o k e d f lo w .

6 . 3 . A n e w d e s i g n m e t h o d h a s b e e n s u g g e s t e d a n d o u t l i n e d f o r f i n d i n g t h e b l a d e s h a p e t o g i v e

a p r e s c r i b e d s u c t i o n s u r f a c e v e lo c i t y d i s t r i b u t i o n f o r a g i v e n t a n g e n t i a l t h i c k n e s s d i s t r i b u t i o n . T h i s

s h o u l d h a v e t h e s a m e r a n g e o f a p p l i c a t i o n a s t h e a n a l y s i s m e t h o d .

Acknowledgement

T h e A u t h o r w o u l d l ik e to t h a n k t h e D i r e c t o r o f t h e M a r c h w o o d E n g i n e e r i n g L a b o r a t o r y o f t h e C e n t r a l

E l e c t r i c i t y G e n e r a t i n g B o a r d f o r p e r m i s s i o n t o p u b l i s h t h i s r e p o r t .

29

8/3/2019 3704[1]


A

f

L

f .

g

g ,

h

h t

IJ

K

k

k i j

M

m

M

M L

M T

N

N B

N M

P

q

r

A r

S

S

S n

T

t

V

L I ST O F S Y M B O L S

Aspec t r a t io o f s t r eam l ine cu rva tu re g r id e lem en t , equa t ion (37 )

Com pres s ib il i ty func t ion , equa t ion (32 )

Da m p ing f ac to r to co r rec t in i ti a l e r ro r to ze ro , equa t ion (37 )

O p t i m u m d a m p i n g f a c t o r, e q u a t i o n ( 38 )

Con vergence l im i t dam p ing f ac to r, equa t ion (39 )

Num er ica l d i f f e ren ti a t ion coef f ic ien t, equa t ion (53 )

Grav i ta t iona l acce le ra t ion

Num er ica l d i f f e ren t i a tion coef f ic ien t, equa t ion (53 )

S ta t ic en tha lpy , o r p o in t spac ing in te rva l

T o t a l e n t h a l p y

E n tha lpy func t iom equa t ion (4 )

Me chan ica l equ iva len t o f hea t

A c o n s t a n t

Nu me rical d if ferent iat ion funct ion , W ilkinson 6 , (1970)

Num er ica l d i f f e ren ti a t ion coef fi c ien t equa t ion (44 )

Num er ica l d i f f e ren ti a t ion coef fi c ien t equa t ion (44 )

M a c h N u m b e n o r m a s s f lo w , o r n u m b e r o f q u a si - o r th o g o n a l s

D is tance a long m er id iona l s t r eam su r face , equa t ion (9 )

Fac to re d m ass f low , equa t ion (27 )

No . o f q -o ' ju s t in f ron t o f l ead ing edge

No . o f q -o ' th rou gh t r a i l ing edge

No . o f st r eam l ines

No . o f b lades

No . o f m id - s t r eam l ine

Pres su re

T ange n t ia l d i s tance m ea sured f rom suc t ion su r face

R a d i a l c o o r d i n a t e

Rad ia l th icknes s inc rem e n t be tween two m er id ion a l s t r eam su r faces

Pressu re coeff ic ient , equa t ion (72)

E n t ropy , o r d i s tance a long s t r eam l ine in m e r id iona l s t r eam su r face

Num er ica l sm oo th ing coef f i c ien t , equa t ion (57 )

A b s o l u t e t e m p e r a t u r e

T i m e

Abso lu te ve loc i ty

30

8/3/2019 3704[1]


W

X, y

z

?

0

O'

O t

2

P

(I.)

Subs c r i p t s

1

2

M

m

N

N M

f

re l

t

z

0

Relat ive veloci ty

C ar te s i an coo rd ina te s

Ax ia l coo rd ina te

t a n - l (dr /dz ) , Fig. 1

t a n - 1 r(dO/dm), Fig. 1

Ra t io of specif ic heats

C hange in pos it ion , in 0 -d i rec t ion , o f qua s i -o r th ogo na l j

Tangen t i a l coo rd ina te

R e la t ive tangen t i a l coo rd ina te

B lade t angen t ia l th i cknes s coo rd ina te

W a v e l e n g t h o f e r r or c o m p o n e n t

Trans fo rmed mer id iona l coo rd ina te , equa t ion (30 )

Dens i ty

Trai l ing edge cut-of f angle , F ig . 4

S t r eam func t ion

Angu la r ve loc i ty o f b lade row

Ups t r eam , s uc t ion s u r f ace o r f ir st quas i -o r thogon a l

D o w n s t r e a m

Las t quas i -o r thogona l

In the mer id iona l d i r ec t ion

O n the p r es s u re s u rf ace

On the mid - s t r eaml ine

In the r ad ial d i r ec t ion , o r r e l a t ive to coo rd ina te s y s tem mov ing w i th the b lades

R e la t ive to coo rd ina te s y s tem mov ing wi th the b lades

to ta l o r s t agna t ion va lue

In the ax ia l d i rect ion

In the tangent ia l d i rect ion

31

8/3/2019 3704[1]


N o . A u t h o r ( s )

1 D . J . L . S m i th a n d

D . H . F r o s t

2 W . J a n s e n . .

3 J . P . B i n d o n a n d

A . D . C a r m i c h a e l

4 T. K a t s a n i s . . . .

5 T . K a t s a n i s . . . .

6 D . H . W i l k in s o n . .

D . H . W i l k i n s o n a n d . .

K . A l l s o p p

8 D . H . W i l k in s o n . .

9 B . T h w a i t e s ( E d . ) . .

1 0 D . H . W i l k in s o n . .

11 D . H . W i l k in s o n . .

R E F E R E N C E S

Title, etc.

C a l c u l a t i o n o f t h e f l o w p a s t t u r b o m a c h i n e b l a d e s .

I. M e c h . E . T h e r m o d y n a m i c s a n d F l u i d M e c h a n i c s C o n v e n t i o n ,

Paper 27 (1970) .

A m e t h o d f o r c a l c u la t i n g t h e f l o w i n a c e n t r i fu g a l i m p e l l e r, w h e n

e n t r o p y g r a d i e n t s a r e p r e s e n t.

U n p u b l i s h e d N . R . E . C . r e p o r t .

S t r e a m l i n e c u r v a t u r e a n a l y s i s o f c o m p r e s s i b l e a n d h i g h M a c h

N u m b e r c a s c a d e fl ow s .

Proc . I . Mech . E (1970) .

U s e o f a r b i t r a r y q u a s i - o r t h o g o n a l s f o r c a l c u l a t i n g fl o w d i s t ri b u -

t i o n i n t h e m e r i d i o n a l p l a n e o f a t u r b o m a c h i n e .

N A S A T N D - 2 5 4 6 ( 1 9 6 4 ) .

U s e o f a r b i t r a r y q u a s i - o r t h o g o n a l s f o r c a l c u l a t i n g f lo w d i s t r ib u -

t i o n o n a b l a d e - t o - b l a d e s u r f a c e i n a t u r b o m a c h i n e .

N A S A T N D - 2 8 0 9 ( 1 9 6 5 ) .

S t a b i li t y , c o n v e r g e n c e a n d a c c u r a c y o f t w o - d i m e n s i o n s t r e a m l i n e

c u r v a t u r e m e t h o d s u s i ng q u a s i - o r th o g o n a l s .

I. M e c h . E . T h e r m o d y n a m i c s a n d F l u i d M e c h a n i c s C o n v e n t i o n ,

Paper 35 (1970) .

T h e e f fe c t o f d u c t h e i g h t v a r i a t i o n o n t h e p o t e n t i a l f l o w t h r o u g h

a 2 - D cas cad e .

E n g l i s h E l e c t r ic C o . M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g L a b o r a t o r y . T e c h .

M e m o . N o . W / M ( 3 F ) . u . 9 2 3 3 ( 19 69 ).

S t r e a m l i n e c u r v a t u r e m e t h o d s f o r c a l c u l a t i n g t h e fl o w in t u r b o -

m a c h i n e s .

E n g l is h E l e c t ri c C o . M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g L a b o r a t o r y . R e p o r t

N o . W / M ( 3 F ) p .1 5 9 1 ( 1 9 6 9 ) .

. . I n c o m p r e s s i b l e A e r o d y n a m i c s .

C l a r e n d o n P r e s s (1 9 60 ).

T h e c a l c u l a t i o n o f r o t a t i o n a l n o n - s o l e n o i d a l fl o w s p a s t t w o -

d i m e n s i o n a l a e r o f o i l s a n d c a s c a d e s.

E n g l i sh E l e c t ri c C o . L t d . M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g L a b o r a t o r y

R ep o r t N o . W / M ( 6 c ) p .1 2 9 1 ( 1 9 6 7 ) .

T h e a n a l y s is a n d d e s i g n o f b l a d e s h a p e s f o r r a d i a l, m i x e d a n d

a x i a l f l o w t u r b o m a c h i n e s w i t h i n c o m p r e s s i b l e f l o w .

E n g l is h E l e c t ri c C o. M e c h a n i c a l E n g i n e e r i n g L a b o r a t o r y R e p o r t

N o . W / M ( 3 F ) p .1 5 7 8 ( 1 9 6 9 ) .

3 2

8/3/2019 3704[1]


1 2 J . P . G o s t e l o w . . . .

1 3 J . C . D u n a v a n t a n d . .

J . R . E r w in

14 W . J . W hi tne y , E . M . S z a nc a ,

T . P . M o f f i t t a n d D . E . M o n r o e

P o t e n t i a l f l o w t h r o u g h c a s c a d e s - - a c o m p a r i s o n b e t w e e n e x a c t

a n d a p p r o x i m a t e s o l u ti o n s .

A R C C . P . 8 0 7 (1 9 6 3)

I n v e s t i g a t i o n o f a r e l a t e d s e ri e s o f tu r b i n e - b l a d e p r o f il e s in

c a sc a de .

N A C A T N 3 8 0 2 .

C o l d a i r i n v e s t i g a t i o n o f a t u r b i n e f o r h i g h - t e m p e r a t u r e - e n g i n e

a p p l i c a t i o n .

N A S A T N D - 3 7 5 1 ( 19 67 ).

33

8/3/2019 3704[1]


TABLE 1

Coordinates o f modif ied N A S A pr imary ser ies b lade used in 45 ° flare

test case. Number of blades = 93, 01 = 10° (relative) oJrt/Vml = O, 1.0.

0

0.330

1.010

1.688

2.338

2.947

3.514

4.048

4.552

5.028

5.480

5.909

6.330

6.746

7.140

7.500

7.860

78.60

78.93

79.61

80.29

80.94

81.55

82.11

82.65

83.15

83.63

84.08

84.51

84.93

85.35

85.74

86.10

86.46

O s u e t

0-0182

0.0232

0.0252

0.0245

0-0219

0-0181

0-0134

0.0079

0.0020

-0-0044

-0-0112

-0.0182

-0.0257

-0.0333

-0.0406

-0-0473

-0.0541

O p r e s

0.0182

0-0155

0.0133

0.0107

0.0075

0.0034

-0.0012

-0.0062

-0.0112

-0.0164

-0.0217

--0.0271

-0.0326

-0.0385

--0.0443

-0.0501

-0.0562

Ar

0.1000

0.1008

0.1026

0.1043

0.1060

0.1075

0.1089

0-1103

0.1116

0.1128

0.1139

0.1150

0.1161

0.1171

0.1182

0-1191

0.1200

34

8/3/2019 3704[1]


r ~ ' ~ j Vz

F I G . 1 . C o o r d i n a t e s y s t e m .

1

N

NM

1

Quasi-ort hogo nal s

= I d?

F I G . 2 . S i m p l e m o d e l o f i n c l in e d f l o w o n a c y l i n d r i c a l m e r i d i o n a l s t r e a m s u r f a c e .

35

8/3/2019 3704[1]


Nn a ~ / Q u a s~ - o rth oc jo na I s

m

IFIG. 3 . Ar r an g emen t o fq u as i -o r th o g o n a l s .

Q u a s l - o r t h o g o n a l s

M T

M T + I

/ S t a g n a t io n, ~ / / s t r e a m l ine

\\

\

" tM T + 2

FIG. 4 . The t ra i l ing edge reg ion of a b lade .

36

8/3/2019 3704[1]


_

5

4

3

2

m

0

- - O - - - O -

I I I I I I I I1 Z 3 4 5 6 7 8

p , N o o f s t a g n a t i o n s / I s h i f t s

F I G . 5 . T o l e r a n c e ~ s t r e a m l i n e s h i ft s .

C~

I I10 11

_ _ O

8/3/2019 3704[1]


1.2

1-0

0 . 8

Yo/y O.6° r i 9 0 . z

0-;

0

-0 .2

-0.4

~ . j ~ M ~ h o (

G

F

C

E q u n ( 6 1~, h

FIG. 6 . Ef fec t of sm ooth ing processes .

P

~ 3 i °

0 x

4-

0

F

F IG . 7 . Q ua s i - o r t hogon a l s a nd qua s i - nor ma l s .

38

8/3/2019 3704[1]


1"0

0 "8

0 "6

0 "4

0 " 2

- 0 "2

11

1 4

11

19

2 !

z l \

2 2

- o . 4 1 - / . 4

- 0 " 6 I 1 I0 0"2 0"4

1 I I I I 166 0"8 1"0 l "Z 1"4 1"6 1"8

F I G . 8 . 1 1 2 ° C a m b e r s e c t i o n t h e o r e t i c a l s t r e a m l i n e .

8/3/2019 3704[1]


"a ,

,61.4 ~.%,

. l ~ , \ ! / -

0.6 -

O - Z i o~

0.4 x - - [ Exact 5 1 ' 0

I

- o - - - I S / L curv.,/, 0 1 5 1 . B

- 0 . 1 0

• .....0~

I I I I I I I I I

0 " I O ~ 0 " 3 0 - 4 0 " 5 0 " 6 0 - 7 0 - 8 0 - 9 1 . 0 1 "1

x/c

1 o "

FIG. 9. 112 ° Ca mb er section.

8/3/2019 3704[1]


FIG. 10. Nasa TN D-3751 stator mean radius cascade.

41

8/3/2019 3704[1]


i. 2

1 .0

0 ' 8 - -

V / V *

0 . 6 -

M = i ' O

X I . p . r , o . n , I , %S/L curvature 167 -5

0"? k "~ x ' ~ - ° -

!o ! I o ! 2 o ! 3 o ! 4

I 1 I I I I05 0'6 0"7 0-8 0.9 1-0

S / S m a x

F I G . 1 1 . N a s a T N D - 3 7 5 1 s t a t o r m e a n s e c t i o n d e s i g n c a s e V/V* = 0 . 2 3 1 .

8/3/2019 3704[1]


-p .

4

I ~ t l - . ~ . ~ 3 ~

s = l p l v l Z

Z

1

I I H 1 H z,, o , E x p e r im e n t O . Z Z 4 0 - 4 0 i

- - x - - ] S / C ¢ u r w l t u r e I 0 . Z l l 0 ; 4 0 1

~/' XX' XL - " ~ X - - ~ - X - - - - - - X - - - - - - X - - - - X - - t ¢ - -

..-- X ~ . . . X ~ * * , , * * ~ . . . ~ . ~

** *' . . X ~ " ~ ' ~ ' ~ .

L ~ - x I I I I i I I I I I

0"1 02 0"3 0-4 0-5 06 (>7 0-8 0"9 1"0X / C

~ 2

-5B'1

- 5 B ' 0

F I G . 1 2. N a s a p r i m a r y s e r i e s t u r b i n e b l a d e , 0 C = 8 0 ° , 2 = 3 8 - 4 ° , f i t = 2 0 ° , p i t c h / c h o r d = 0 - 5 5 6 .

8/3/2019 3704[1]


6

p t 4 _ p 5

S : I /z - - ~ 1 V 1 4

3

Z ,

x , . 1

M , I M 2 1 2o E x p e r i m e n t 0 - 2 4 5 1 0 " 5 0 7 1 - 5 8 " Z

_ - - ~ - - I s / t o u ~ , , t 0 ~ , 1 0 . z 4 1 1 0 - 5 0 3 I -S ~ . ~

- / ~ ~ ~ ' x - - - - - x - -

" ~ I I I I I I I0"1 0"2 0"3 0-4 0"5 0"6 0"7 0-8 0"9 1"0

x / c

FIG. 13. Na sa pr ima ry se r ie s turb ine b lade , 0c = 80° , 2 = 38.4 ° ,/~1 = 10° , p i tc h/c hor d = 0-556.

8/3/2019 3704[1]


4~

=P t t - P

t Z

7 Z P l V 1

x , , .

4 " - / ~~ ' / ' j ' 1 ~-- X' " ~*X'*'*"''X'*

, ~ . ~ x ' ~

f..~.*'x"

S ~ e ( H - - 1 . 0 )

, ~ . X - ~ - x ' - ~ . ~

IX.,*- " X ..~

.,.,.x"" --.,-,-_

i x , "f/ / ~ " J

" " x - - . _ _ x - " ' ' ' x ' " i / / ~

/

/

// X /

I / x f . ~

l / f X ~. I X j ' ' f

. . . x . I~/L°urv°'u"- M , , 2 ~ z ox o

I . - - ~ " o E x p e r i m e n t 0 . 3 1 9 0 . 8 0 1 - 5 8 " 2

- - - - - - 1 0 " 3 1 9 1 0 " 8 4 6 - 5 8 " 4

@ I I I I I I I I I I I

0 0 - 1 O 'Z 0 ' 3 0 "4 0 " 5 0 - 6 0 " 7 O - 8 0 - 9 1 - 0 1-1x /e

F I G . 1 4 . N a s a p r i m a r y s e r i e s t u r b i n e b l a d e , 0 c = 8 0 ° , 2 = 3 8 : 4 ° , f l l = 1 0 ° , p i t c h / c h o r d = 0 . 5 5 6 .

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R . & M . N o . 3 7 0 4

© C rown copyr igh t 1972

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1 3 a C a s t l e S tr e e t , E d i n b u r g h E H 2 3 A R

1 0 9 S t M a r y S t r e e t, C a r d i f f C F I 1 J W

B r a z e n n o s e S t re e t , M a n c h e s t e r M 6 0 8 A S

50 Fa i r fax S t ree t , B r is to l BSI 3DE

2 5 8 B r o a d S t re e t , B i r m i n g h a m B I 2 H E

80 Chiches te r S t ree t , Be l fas t BTI 4JY

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