3.4. Perspektív ábrázolások

Emlékeztető

• Kollineáció: H3 H3 (affin: E3 E3 és I3 I3 )

pont-, egyenes-, sík- és illeszkedést tartó

• Kollineációk – projektív transzformációk

• kollineációk { MM44; det MM44 0 }

• Homogén koordináták: P = [x,y,z,w]T ~ [x,y,z,w]T; 0

• Kollineációk: MM44 (mik) MM44 ; 0

ezért egy (nem nulla) eleme „szabadon” választható

Emlékeztető

• Középpontos és párhuzamos vetítés (egy módja):

1. olyan M M = ? ? :

P’ = MM · P, H3 H3, és

2. utána z’ szerint: láthatóság

3. És z’ elhagyásával: a síkvetület

• Középpontos vetítésnél projektív transzformáció

párhuzamos vetítésnél affin transzformáció

Projektív transzformáció mátrixának előállítása

• A határozatlan együtthatók módszere

• 5-5 független pont; pl a TKR „ölében ülő” téglatest

(1) O

(2,3,4) Ix, Iy, Iz : a tengelyek ideális pontja

(5) E = (a, b, c);

illetve: (A, B, C) !!!

Perspektív ábrázolások

• „Perspektíva” = távlati kép

• Elsősorban nagyobb terek ábrázolására

• Tapasztalat:

sík területen a látóhatár

párhuzamosok látszólagos összetartása

a méretek látszólagos csökkenése

• Projektív transzformáció

• Egy-, két-, három iránypontos perspektíva, . . .

A két iránypontos perspektíva

A két iránypontos perspektíva mátrixa:

• P’= M2·P ; M2= ( sai1/a sbi2/b 0 ou );

| sah/a sbh/b c’/c ov |

| 0 0 0 ow |

( sa/a sb/b 0 1 )

• sa = O’A’/A’I1

i1 az iránypont helye

a a TKR téglatest oldala ou,ov: O’ a képsíkon

ow > 0, tetszőleges,

h : a horizont magassága, c’ : a c képének hossza,

A mátrix vizsgálata

MM2= [ TT(ru,rv,rw)S S ] NNxy [ S’S’RRy RRx(900) ] KK(sa/a, sb/b, 0)

KK(sa/a, sb/b, 0) = ( 1 0 0 0 )

| 0 1 0 0 | | 0 0 1 0 | ( sa/a sb/b 0 1 )

MM2= HHasonlóságasonlóság Nyírás Nyírás MMozgás ozgás K(projektív)K(projektív)

elemzés

Gyakorlati tanácsok

• Középen lévő horizont:kiegyensúlyozott kép

• Iránypontok távol: valószerűbb kép (számolás)

• Távolodó iránypontok – távolodó tárgyak

• Interaktív program: a paraméterek változtatása

Az egy iránypontos perspektíva

Leonardo: Az utolsó vacsora

5 pont és képe:

•

O O’ a képsík fölött w = ow-vel

Ix’ = Iu, Iz’

= Iv ,

Iy’ = I (iránypont a horizonton)

E helyett három tengelypont: A’, B’, C’

1= (a’/a i·s/b 0 ou)

( 0 h·s/b c’/c ov)

( 0 0 0 ow)

( 0 s/b 0 1 )

= T(ou, ov, ow) Nxy S Rx(900) KK(0, sb/b, 0),

a,b,c : TKR téglatest oldalai, a’, c’ : a, c képének hossza, ou,ov O’ a képsíkon és

ow > 0, tetszőleges,

h a horizont magassága, i az iránypont helye rajta. s = O’B’ / B’I

Az egy iránypontos perspektíva mátrixa:

Három iránypontos perspektíva (olv)

  M3= ( fusa/a gusb/b husc/c ou )

( fvsa/a gvsb/b hvsc/c ov )

( 0 0 0 ow )

( sa/a sb/b sc/c 1 )

a, b, c a TKR-ben adott téglatest oldalai, a’ és c’ a és c képének hossza, (ou,ov) az O’ a képsíkon, ow tetszőleges,

(fu,fv), (gu,gv) és (hu,hv) az X,Y,Z tengelyek

ideális pontjának képe a képsíkon sa= O’A’/A’F, sb=O’B’/B’G, sc=O’C’/C’H

A három iránypontos perspektíva mátrixa: