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Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 61
3.2.6 Dämpfung
• Dämpfungsarten
• Werten• Hochbauten unter Wind:• Hochbauten unter Erdbeben:• Brücken unter Erdbeben:• Spezielle Anlagen: von Fall zu Fall unterschiedlich• Weitere Angaben in [Bac+97]
• Massnahmen zu Erhöhung der Dämpfung• Dissipatoren erhöhen die Dämpfung und die Periode. Das führt zu
kleineren Kräften und grösseren Verformungen der Struktur.
Dämpfung
Interne Externe
MaterialKontaktbereiche
innerhalb der Tragwerke
Hysteresis(Viskos, Rei-
bung,Fliessen)
Relativbewegungzwischen Teiltrag-werken (Lager, Fu-
gen, etc.)
Externer Kontakt (nichttragende Ele-mente, Energieab-strahlung im Bo-
den, etc.[Bac02] Bild 5.6
ζ 1…2%=ζ 3…7%=ζ 1…5%=
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 62
• Dissipatoren
Bilder aus [Mar03]
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 63
• Dissipatoren
Bilder aus [Mar03]
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 64
3.3 Tragwiderstand und Duktilität
3.3.1 Anschauliches Beispiel
Gegenüberstellung der Zeitverlaufsberechung eines elastischenund und eines inelastischen Einmassenschwingers (EMS):
Wobei:
: Reduktionsfaktor (3.27)
: Maximale Rückstellkraft, die der elastische EMS während des Erdbebens erreicht
(3.28)
: Fliesskraft des inelastischen EMS (3.29)
: Verschiebeduktilität (3.30)
: Maximale Verschiebung, die der inelastische EMS während des Erdbebens erreicht
(3.31)
: Fliessverschiebung des inelastischen EMS (3.32)
Telastisch = Tinelastisch
Ryfelfy-----=
fel x··g t( )fy
μΔxmxy------=
xm x··g t( )xy
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 65
• Resultate
0 5 10 15 20 25 30 35 40Zeit [s]
-0.15
-0.10
-0.05
0.00
0.05
0.10
0.15
Ver
schi
ebun
g [m
]
Elastischer EMSInelastischer EMS (Ry=2)Inelastischer EMS (Ry=6)
-0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15Verschiebung [m]
-150
-100
-50
0
50
100
150
Kra
ft [k
N]
Elastischer EMSInelastischer EMS (Ry=2)Inelastischer EMS (Ry=6)
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 66
• Bemerkungen
Beide inelastische EMS zeigen während des Erdbebens ein sta-biles Verhalten.
Grösse Elastischer EMS Inela. EMS Ry=2 Inela. EMS Ry=6
T [s] 2.0 2.0 2.0
Fmax [kN] 134.70 67.35 22.45
Ry [-] – 2.0 6.0
xy [m] – 0.068 0.023
xm [m] 0.136 0.147 0.126
μΔ [-] – 2.16 5.54
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 67
3.3.2 “Verhaltensgleichung”
Bezüglich Einsturzgefahr gilt die folgende approximative Bezie-hung:
(3.33)
und um ein Erdbeben zu überstehen sind unterschiedliche Kom-binationen von Tragwiderstand und Duktilität möglich:
″Güte″ des Erdbebenverhaltens Tragwiders d Duktilität×tan≈
FΔ
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 68
• Realistischere Darstellung der Entscheidungsvarianten
• Ein geringerer Widerstand des Tragwerks ist typischerweise durcheine geringere Steifigkeit begleitet.
• Falls die Massen bei den verschiedenen Tragwerken mehr oderweniger gleich sind (was normalerweise der Fall ist), dann besitztdas weichere Tragwerk eine längere Grundschwingzeit T.
• Tragwerke mit einer längeren Grundschwingzeit T erreichen wäh-rend eines Erdbebens typischerweise grössere Verformungen,d.h. der Verformungsbedarf ist grösser.
FΔ
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 69
3.3.3 Dynamisches Verhalten von Stahlbetonwänden [LWB99]
• Das linke Bild zeigt die Momen-ten-Krümmungs-Beziehung implastischen Bereich der Wand.
• Trotz Überschreitung der elasti-schen Grenze, hat die Wandnicht versagt.
• Das plastische Verformungsver-mögen von Tragwerken kannbei der seismischen Bemes-sung bewusst berücksichtigtwerden. -30 -20 -10 0 10 20 30
Kr mmung [1/km]
-100
-50
0
50
100
Mom
ent [
kNm
]
Wand WDH4
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Alessandro Dazio Seite 70
3.3.4 Statisch-zyklisches Verhalten von Stahlbetonwänden
Wand WSH6 aus [DWB99]
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 71
• [DWB99]: Hysteretisches Verhalten einer Stahlbetonwand
Plastischer Bereich der Wand WSH6 (links) und Vergrösserung des linken Endbereichs(rechts). Beide Aufnahmen wurden bei Duktilität 6 aufgenommen
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100Kopfverschiebung [mm]
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
Kol
benk
raft
[kN
]
-Fy
-0.75 Fy
0.75 Fy
Fy
μΔ=6 μΔ=5 μΔ=4 μΔ=3 μΔ=2 μΔ=1 μΔ=1 μΔ=2 μΔ=3 μΔ=4 μΔ=5 μΔ=6
Wand WSH3
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 72
3.3.5 Allgemeine Definition von Duktilität
• Bemerkungen• Das Duktilitätsvermögen ist eine Eigenschaft des Bauteils.• Der Duktilitätsbedarf ist eine Auswirkung der seismischen Anre-
gung und er ergibt sich aus dem dynamischen Verhalten des Trag-werks.
• Ein Bauteil übersteht ein Erdbeben wenn folgende Bedingung er-füllt ist:
(3.34)
• Die Bruchverformung eines Bauteils wird erreicht wenn lokal dasVerformungsvermögen der Baustoffe (Bruchdehnung) erreicht ist.Das Duktilitätsvermögen ist dann somit ausgeschöpft.
Duktilitätsbedarf
Duktilitätsvermögen:
μ……m…y---------=
μ……u…y--------=
Duktilitätsvermögen Duktilitätsbedarf≥
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 73
3.3.6 Definition und Arten der Duktilität
Dehnungs-duktilität
Krümmungs-duktilität
Rotations-duktilität
Verschiebe-duktilität
μεεuεy-----=
μφφuφy-----=
μθθuθy-----=
μΔΔuΔy------=
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 74
3.4 Inelastische Antwortspektren
, Ryfelfy-----= μΔ
xmxy------=
μΔ Ry( ) ?=
0.01 0.10 1.00 10.00 100.00
5
10
Sa [
m/s
2 ]
0.01 0.10 1.00 10.00 100.00.0
0.5
1.0
Sv [
m/s
]
0.01 0.10 1.00 10.00 100.0Periode [s]
0.1
0.2
0.3
0.4
Sd [
m]
μΔ=1μΔ=2μΔ=4μΔ=6
μΔ=1μΔ=2μΔ=4μΔ=6
μΔ=1μΔ=2μΔ=4μΔ=6
ζ = 5%
ζ = 5%
ζ = 5%
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 75
Reduktionsfaktor Ry
0.1 1.0 10.0Period [s]
1
10
Ry [
−]
μΔ=6
μΔ=4
μΔ=2
TA TB TC TD TE TF
Ry=μΔRy=(2μΔ-1)0.5
ζ = 5%
Ry 2μΔ 1–=Ry μΔ=
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 76
Verschiebeduktilität
• Bei kleinen Perioden, kann schon eine kleine Reduktion des ela-stischen Widerstands eines EMS zu einem riesigen Duktilitätsbe-darf führen.
• Die Problematik des grossen Duktilitätsbedarfs werden im Kapitel7 verdeutlicht.
• Auch im Periodenbereich, wo das “Prinzip der gleichen Verschie-bungen” vorausgesetzt wird, kann sich ein wesentlich grössererDuktilitätsbedarf ergeben.
μΔ
0.1 1.0 10.0Period [s]
1
10
Ver
schi
ebed
uktil
itaet
[−]
Ry=6
Ry=4
Ry=2
TA TB TC TD TE TFζ = 5%
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 77
3.4.1 Inelastische Bemessungsspektren
• Doppelt-log. Darstellung von inelastischen Antwortspektren
Neue Achsen: , , (3.35)
wobei: = Fliessverschiebung
0.1 1.0 10.0Periode [s]
1
10
100
Vy [
cm/s
]
D y [cm
]
0.1
1
10
100
Ay [cm/s 2]
1
10
100
1000
10000
g
ζ = 5% μΔ=1μΔ=2μΔ=4μΔ=6
Dy xy= Vy ωnxy= Ay ωn2xy=
xy
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Alessandro Dazio Seite 78
• Inelastische Bemessungsspektren nach Newmark [NH82]
• Maximale Verschiebung eines EMS:
• Fliesskraft eines EMS:
0.1 1.0 10.0Periode [s]
1
10
100
Vy [
cm/s
]
D y [cm
]
0.1
1
10
100
Ay [cm/s 2]
1
10
100
1000
a gvg
dg
A=α aag
V=αvvg
D=αd d
g
g
TA=1/33s TB=1/8s TE=10s
TF=33s
B
A
F
CD
E
ζ = 5%
B’
A’F’
C’ D’
E’ D=dg
A=a g
A/(2μ Δ-
1)0.5
V/μΔ
D/μΔ
D/μΔ
ElastischesBemessungsspektrum
InelastischesBemessungsspektrumfür μΔ=4
xm μΔ Dy⋅=
fy m Ay⋅=
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Alessandro Dazio Seite 79
Inelastische Spektren anhand von Ry-μΔ-Tn Beziehungen
Anhand der Ry-μΔ-Tn Beziehungen werden die inelastischen Bemes-sungsspektren mit folgenden Gleichungen berechnet:
(3.36)
(3.37)
Es ist wichtig zu merken, dass:
(3.38)
• Ry-μΔ-Tn Beziehungen nach [NH82]
(3.39)
Wobei: (3.40)
, (3.41)Eckperiode zwischen den Bereichen konstanter Spaund konstanter SpvEckperiode zwischen den Bereichen konstanter Spaund konstanter Spv im inelastischen Spektrum
Ay Spa, inelastisch1
Ry------ Spa, elastisch⋅= =
D Sd, inelastischμΔRy------ Sd, elastisch⋅= =
Spa, inelastisch ω2 Sd, inelastisch⋅≠
Ry
1 Tn Ta<
2μΔ 1–( )β 2⁄ Ta Tn Tb< <
2μΔ 1– Tb Tn Tc'< < (Prinzip der GE)
TnTc------μΔ Tc' Tn Tc< <
μΔ Tn Tc> (Prinzip der GV)�����������
=
β Tn Ta⁄( ) Tb Ta⁄( )log⁄log=
Ta 1 33s⁄= Tb 1 8s⁄=Tc =
Tc' =
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 80
• Inelastische Bemessungsspektren nach Newmark
0.01 0.10 1.00 10.00 100.000
1
2
Ay /
ag [
−]
0.01 0.10 1.00 10.00 100.00Periode [s]
0
1
2
Sd /
dg [
−]
TA TB TC TD TE TF
TA TB TC TD TE TF
μΔ=1μΔ=2μΔ=4μΔ=6
μΔ=1μΔ=2μΔ=4μΔ=6
Prinzip gleicher Verschiebung
Prinzip gleicher Verschiebung
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 81
• Inelastische Bemessungsspektren nach Newmark (linear)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.00.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
Ay [m
/s2 ]
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0Periode [s]
0.00
0.05
0.10
0.15
D [m
]
TB TC TD
TB TC TD
μΔ=1μΔ=2μΔ=4μΔ=6
μΔ=1μΔ=2μΔ=4μΔ=6
Prinzip gleicher Verschiebung
Prinzip gleicher Verschiebung
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 82
3.4.2 Verhaltensbeiwert q nach Norm SIA 261 [SIA03]
In den meisten Normen wird die Fähigkeit von Tragwerken mehroder weniger grosse inelastische Verformungen zu ertragen in-direkt anhand des sogennanten Verhaltensbeiwerts q charakte-risiert.
Unter Annahme des “Prinzip der gleichen Verschiebungen” kannder Zusammenhang zwischen Verschiebeduktilität und Verhal-tensbeiwert wie folgt veranschaulicht werden:
(3.42)
wobei die inherente Überfestigkeit des Tragwerks darstellt.
q μΔ λo⋅=
λo
λ0 = Überfestigkeit
λ0
Erdbebensicherung von Bauwerken I FS 09
Alessandro Dazio Seite 83
• Bemerkungen• Im Bemessungskonzept der Norm wird das duktile Verhalten von
Tragwerken berücksichtigt indem der elastische Bedarf infolgeEinwirkung anhand des Verhaltensbeiwerts q reduziert wird, umden Bemessungswert der Einwirkung zu bekommen.
• Infolge Anwendung von Sicherheitsfaktoren im Rahmen der Be-messung, besitzt das Tragwerk eine inherente Überfestigkeit unddeshalb liegt das erwartete Verhalten des Tragwerks zwischendem rein elastischen Verhalten und dem Verhalten, dass währendder Bemessung angenommen wurde (siehe auch [Daz04b]).
• Die Überfestigkeit reduziert somit den Duktilitätsbedarf des Trawerks.• In Bezug auf die maximalen Verformungen, die während eines
Erdbebens auftreten, spielt typischerweise dieser Unterschiedzwischen angenommenem und erwartetem Verhalten eine eheruntergeordnete Rolle.
• Bemessungsspektren nach Norm SIA 261
0.01 0.10 1.00 10.00Periode [s]
0
1
2
3
4
Sd /
agd
[−]
TB TC TDBodenklasse B
ElastischesAntwortspektrum
q=2
q=3
q=4
λ0=1.5
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Alessandro Dazio Seite 84
3.4.3 Inelastische Bemessungsspektren: Zusammenfassung
• Bemessungsspektren sind sehr nützliche Werkzeuge, umTragwerke auf die zu erwartende Erdbebeneinwirkung zu be-messen. Im Mittel können Bemessungsspektren die Auswir-kung von Erdbeben gut abbilden.
• Wenn einzelne Erdbeben betrachtet werden, kann es hinge-gen oft vorkommen, dass die Spektren diese Auswirkung un-terschätzen.
• Diese Eigenschaft der Spektren soll bei Bemessungsaufgabenberücksichtigt werden, indem möglichst robuste Tragwerkeangestrebt werden sollen.
Die Prinzipien der “Gleichen Verschiebungen” und der
“Gleichen Verformungsarbeit” vereinfachen das
wirkliche Verhalten stark.