3200 a.C-1000 a.C.

1400 a.C- 600 a.C.

500 a.C.- 400 a.C.- 300 a.C.

300 a.C.-100 a.C.

100 a.C.- 300 d.C

300- 750

750- 850

850-1250

1400-1600

1600-1800

1800-1900

3200 a.C-1000 a.C.In Egitto, Mesopotamia, India, Cina è già noto il numero pi greco, per la risoluzione di problemi pratici vengono già utilizzate le quattro operazioni: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione tra numeri interi e anche tra frazioni; sono conosciute le equazioni quadratiche e si sa calcolare l'area di quasi tutte le figure geometriche allora conosciute dai matematici del tempo.Tale abilità di calcolo consentiva di risolvere molti problemi geometrici e aritmetici di ordine pratico, legati alle necessità della vita quotidiana. Testimonianza di ciò è contenuta negli scritti delle tavolozze di terracotta ritrovate negli scavi archeologici, e negli antichi papiri, il più famoso dei quali è il papiro di Rhind. APPROFONDIAMO

APPROFONDIAMO

1400 a.C- 600 a.C.Gli antichi Greci definiscono i due processi mentali che stanno alla base del processo matematico: l'astrazione, cioè trarre un'idea generale dalla percezione di una o più qualità comuni a cose diverse, e la dimostrazione, ovvero giungere da certe premesse a una conclusione in modo che non si possano trovare contraddizioni in nessuna parte dell'argomentazione. Il greco Talete stabilisce alcuni importanti teoremi di geometria, misura l'altezza della piramide di Cheope, in Egitto applicando la similitudine dei triangoli. Talete viene considerato l'iniziatore dell'indagine scientifica, in quanto ricerca le cause dei fenomeni naturali proponendone però una spiegazione razionale.

APPROFONDIAMOLA LUNGA STORIADELLA GEOMETRIA

500 a.C.- 400 a.C.Pitagora e la sua Scuola formulano e dimostrano il teorema sui triangoli rettangoli che porta il nome del maestro. Ai pitagorici si deve anche lo studio delle relazioni tra numeri, dei quadrati e dei cubi; la scoperta dei numeri irrazionali; la risoluzione delle equazioni quadratiche miste; lo studio dei poliedri regolari, e la scoperta delle relazioni tra la lunghezza e il tono di una corda vibrante.

APPROFONDIAMO

400 a.C.- 300 a.C.Il greco Ippocrate (Coo 460-377) scrive il primo trattato di geometria Elementi, in cui per primo introduce le lettere dell'alfabeto per descrivere le figure geometriche.I greci Democrito (Abdera 460-370), Eudosso (Cnido 408-353) e Archita (Taranto sec. IV) risolvono importanti problemi di geometria e aritmetica, quali la determinazione di volumi, il teorema della sezione aurea, e il metodo della esaustione.

300 a.C.-100 a.C.Il greco Euclide espone negli Elementi di geometria, in forma sistematica e con numerose intuizioni proprie, le proporzioni geometriche e la teoria dei numeri, patrimonio della cultura matematica ellenica dell'epoca. Nella sua opera importa le conoscenze matematiche della cultura babilonese e di quella egiziana, le riordina e sistema procedendo per definizioni, postulati, assiomi, con una esposizione che è rimasta classica per ogni tempo.Il siciliano Archimede si occupa in maniera geniale di aritmetica, algebra, geometria, fisica: tratta dei grandi numeri, di equazioni cubiche, di potenze. Con il suo lavoro anticipa la legge esponenziale e il calcolo logaritmico e pone i primi fondamenti del calcolo integrale.Il greco lpparco (Nicea 190-125) fonda la trigonometria piana e sferica.

APPROFONDIAMO

100 a.C.- 300 d.CIl greco Erone (Alessandria II-I sec. a.C.) compie importanti studi di geometria e fisica.Il greco Claudio Tolomeo nell'Almagesto tratta problemi di trigonometria piana e sferica, introducendo gradi, minuti e secondi nella misurazione degli angoli.I Cinesi usano il sistema di numerazione decimale.Il greco Diofanto usa per primo i simboli algebrici ed enuncia le regole per risolvere equazioni di primo e di secondo grado. È considerato il padre dell'algebra.

APPROFONDIAMO

300-550Il latino Severino Boezio (Roma 480-524) compie ricerche di logica, matematica, geometria, che avranno grande influenza durante tutto il Medioevo.

550-750Gli Indiani usano la numerazione posizionale e i numerali indù: simboli per i numeri dall'1 al 9, più lo 0.I Cinesi introducono l'estrazione della radice quadrata, le equazioni cubiche, il sistema indù di nume

750- 850Gli Arabi diffondono la numerazione posizionale indiana, detta poi in Occidente 'arabica'. Compaiono nella matematica e nell'astronomia numerosi termini di origine araba: algebra, algoritmo, nadir, zenit, cifra, zero ecc.Il turkestano Muhammad ibn Mùsa al KhuwarizmiMuhammad ibn Mùsa al Khuwarizmi compone il trattato Al-giabr wa'l mu kabala, ovvero Del modo di assestare cose opposte, dalla cui parola iniziale deriverà il termine 'algebra'.

850-1150L'indiano Sridhara (nato nel 991) nel suo Compendio di calcolo dà una chiara considerazione sull'uso dello zero, con le proposizioni a+0=a; 0xa=0; ax0=0.Il persiano Omar Khayyam (morto a Nishapur circa nel 1123) sviluppa il sistema di calcolo delle radici irrazionali, detta le regole per l'estrazione di radici e indici arbitrari e

1150-1250Leonardo FibonacciLeonardo Fibonacci nel suo trattato Liber Abaci (1202) fa risaltare i vantaggi del sistema di numerazione arabo, introducendolo in Europa.1250-1400Il francese Nicola di Oresme (Oresme 1325-Lisieux 1382) espone la teoria delle quantità irrazionali e la teoria delle funzioni, concetto fondamentale della matematica in Occidente.

1400-1500Luca Pacioli pubblica (1494) la Summa de arithmetica, geometria, proportioni e proportionalità, primo trattato generale di aritmetica e algebra, con un accenno al calcolo delle probabilità e ai logaritmi.

1500-1600Gerolamo Cardano studia le operazioni sui numeri interi, frazionari e irrazionali, discute le radici delle frazioni, espone il sistema di soluzione algebrica delle equazioni di terzo grado; è il primo a trattare le cosiddette grandezze immaginarie.Niccolò FontanaNiccolò Fontana detto detto TartagliaTartaglia enuncia (1546) il sistema di soluzione delle equazioni cubiche ridotte.Il francese François Viéte (Fontenay-Le Comte 1540-Parigi 1603) dà la prima esposizione di algebra simbolica (1591), che permette di scrivere lunghe espressioni matematiche, secondo il metodo moderno.

APPROFONDIAMO

1600-1700Lo scozzese John Napier (Giovanni Nepero) (Edimburgo 1550-1617) e lo svizzero Jost Bürgi (Licktensteig 1552-Kassel 1632) inventano i logaritmi, giungendo allo stesso risultato indipendentemente l'uno dall'altro.L'inglese Henry Briggs (Warleywood 1561-Oxford 1631) pubblica (1617-24) le prime tavole di logaritmi a base 10.Il francese Pierre de Fermat (Beaumont-de-Lomagne 1601-Castres 1665) concepisce i principi essenziali della geometria analitica.Bonaventura Cavalieri (Milano 1598-Bologna 1647) realizza notevoli progressi nel campo della trigonometria sferica e del calcolo infinitesimale (1632-35).

Il francese René Descartes (Renato Cartesio) (La Haye 1596-Stoccolma 1650) pubblica (1637), come appendice al Discours de la méthode, la Géometrie, contenente i fondamenti della geometria analitica.Il francese Blaise Pascal (Clermont 1623-Parigi 1662) crea le basi della geometria proiettiva e, insieme con Fermat, fonda il calcolo delle probabilità (1639-47).L'inglese Isaac Newton (Woolsthorpe 1642-Londra 1727) inventa (1665) il calcolo delle flussioni, più tardi detto calcolo differenziale.Il tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz (Lipsia 1646-Hannover 1716) giunge (1684) per altra via, indipendentemente da Newton, a curare il calcolo differenziale.Lo svizzero Jakob Bernoulli (Basilea 1654-1705) inventa (1687) il calcolo delle probabilità; suo fratello Johann Bernoulli (Basilea 1667-1748) pone i fondamenti (1697) del calcolo esponenziale.

1700-1800Lo svizzero Eulero, nome latinizzato di Leonhard Euler (Basilea 1707-Pietroburgo 1783), introduce (1744) nella geometria analitica il calcolo delle variazioni, che permette moltissimi nuovi impieghi del calcolo applicato alle curve e alle superficie.

1800-1900Il tedesco Karl Friedrich Gauss (Brunswick 1777-Gottinga 1855) dà la dimostrazione rigorosa (1797) del teorema fondamentale dell'algebra: ogni equazione ha tante soluzioni quanto è il suo grado. Nel campo della geometria, è il primo a considerare il concetto di spazio curvo, mettendo in crisi la geometria euclidea.Il francese Pierre Simon de Laplace (Beaumont-en-Auge 1749-Parigi 1827) espone (1809) i fondamenti del calcolo con funzioni generatrici (analisi matematica) e utilizza il calcolo infinitesimale per sviluppare la teoria delle probabilità.Il francese Augustin Cauchy (Parigi 1789-Sceaux 1857) stabilisce (1821) su basi rigorose il calcolo infinitesimale.Il francese Jean-Victor Poncelet (Metz 1788-Parigi 1867) fonda la geometria proiettiva (1822).ll norvegese Niels Heinrich Abel (Finney 1802-Arendal 1829) fonda la teoria delle equazioni algebriche (1824).Il russo Nikolaj lvanovié Lobacévskij (Makar'ev 1793-Kazan' 1856) espone (1926) e poi pubblica nei Nuovi fondamenti della geometria (1835-38) la sua concezione della geometria non euclidea che verrà successivamente detta iperbolica.

L'ungherese Janos Bolyai (Kolozsvar 1802-Marosvasarhely 1860) pubblica nel 1831 una teoria sulla geometria iperbolica.Il tedesco Bernhard Riemann (Breselenz, Hannover, 1826-Selasca, Lago Maggiore, 1866) elabora nuove teorie sulle funzioni, sugli integrali e sulla costruzione di un sistema geometrico non euclideo (geometria ellittica di Riemann). Postula, inoltre, spazi curvi a tre e più dimensioni.Il tedesco August Ferdinand Mòbius (Schulpforta 1790-Lipsia 1868) getta le basi (1863) della topologia, una branca della geometria che studia le proprietà degli enti geometrici che non variano quando vengono sottoposti a una deformazione continua.L'irlandese George Boole (LincoIn 1815-Cork 1864) è uno dei fondatori dell'algebra astratta, e il primo ad avere piena coscienza dell'inapplicabilità delle nozioni e dei metodi algebrici a oggetti non materiali. È fondatore anche dell'algebra della logica (logica o algebra booleana).

APPROFONDIAMO

Il tedesco Georg Cantor (Pietroburgo 1845-Halle 1918) espone la teoria dei numeri irrazionali, definisce i numeri transfiniti, formula in modo compiuto e rigoroso la teoria degli insiemi.Il tedesco Felix Klein (Dùsseldorf 1849-Gottinga 1925) studia i rapporti tra le geometrie non euclidee e la teoria dei gruppi, e definisce rigorosamente l'ambito della topologia.Il tedesco Friedrich Ludwig Gottlob Frege (Wismar 1848-Bad Kleinen 1925) inizia l'opera di unificazione tra aritmetica e logica.Giuseppe Peano (Cuneo 1858-Torino 1932) espone un completo e organico sistema di calcolo geometrico ed elabora una simbologia che diverrà elemento fondamentale della logica matematica.Federigo Enriquez (Livorno 1871-Roma 1946) dà una sistemazione rigorosa alla geometria proiettiva.

APPROFONDIAMO

Pitagora nacque a Samo nel 572 a.C. Il padre fu un bravo tagliatore di pietre preziose, sufficientemente agiato per potere pagare al figlio, ragazzo intelligente e studioso, eccellenti maestri, i migliori cervelli del tempo.Nel 548 a.C., dopo un' ultima visita a Delo, il suo maestro ed amico morì. Pitagora riprese a viaggiare da solo, ininterrottamente per 12 anni, come rappresentante di commercio del padre. In Egitto, offrendo belle coppe cesellate, si accattivò il favore dei sacerdoti egiziani, i quali lo accolsero come uno di loro e gli aprirono i misteri della loro scienza; fu così che il giovane imparò l'egiziano, la geometria, i pesi, le misure, il calcolo con l'abaco, le qualità dei minerali. Si recò, poi, in Fenicia ed in Siria, e nel 539 a.C. lo troviamo a Babilonia , dove i sacerdoti caldei, anch'essi catturati dalla generosità dello studioso Samio, gli insegnarono l'astronomia e la matematica.Tre anni dopo fu a Creta, dove prese moglie e conobbe Epimenide, una sorta di mago, purificatore ed indovino, che si arrogava il privilegio di un rapporto diretto ed esclusivo con la divinità, e si vantava di avere vissuto molte vite. Ancora un breve soggiorno a Sparta, per studiarvi le leggi ed il calendario; e nel 538 a.C., dopo 18 anni di assenza, eccolo di nuovo a Samo.

Forte delle conoscenze accumulate, Pitagora aprì nell'isola una scuola, che funzionava anche come centro di consulenza scientifica. Con i suoi concittadini, però, i rapporti furono tutt'altro che idilliaci. L'ambizione e la superiorità intellettuale del giovane scienziato non piacevano a nessuno: né ai ricchi arroganti aristocratici, i quali lo disprezzavano per le sue origini borghesi, né agli invidiosi artigiani, i quali lo ignoravano, né allo spregiudicato Policrate, il quale, divenuto il padrone dell'isola, lo snobbava e non gli affidava nemmeno uno dei progetti delle tante opere pubbliche che stavano sorgendo a Samo. L'isola natale cominciava ad andargli ormai troppo stretta: di qui la decisione di trasferirsi a Crotone, da lui conosciuta attraverso la descrizione che gli aveva fornito l'immigrato Democede, diventato suo amico.

A Crotone, nella fiorente Magna Grecia, fondò la famosissima SCUOLA PITAGORICA, che ebbe un notevole peso sullo sviluppo politico-sociale della città. Le scoperte scientifico-matematiche alla Scuola Pitagorica furono parecchie, ma il merito veniva sempre attribuito all’ illustre maestro Pitagora.

A Crotone, nella fiorente Magna Grecia, fondò la famosissima SCUOLA PITAGORICA, che ebbe un notevole peso sullo sviluppo politico-sociale della città. Le scoperte scientifico-matematiche alla Scuola Pitagorica furono parecchie, ma il merito veniva sempre attribuito all’ illustre maestro Pitagora. Le sue più grandi scoperte sono:•Il famoso TEOREMA;•La risoluzione di alcuni problemi sulle aree:•La costruzione dei poliedri regolari;•Il teorema sulla somma degli angoli di un triangolo.La scoperta più famosa è stata, senza ombra di dubbio, il teorema di Pitagora. Esistono molti modi per raffigurarlo ma purtroppo non si hanno documenti specifici originali del tempo. Oggi viene raffigurato così:

IIl teorema di Pitagora dice che:

il quadrato costruito sull’ ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei due quadrati costruiti sui due cateti.

Una dimostrazione del teorema venne inventata nel 1876 da un deputato dell’ OHIO al Congresso degli Stati Uniti di nome James Abram Garfield, che sarebbe diventato poi presidente degli USA.

222

222

2

2

2

2

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2

yxz

xyyxzxy

yxyxzzyx

L’area dei triangoliT1 ,T2 e T3 è equivalente all’area del trapezio ABED

L’area dei triangoliT1 ,T2 e T3 è equivalente all’area del trapezio ABED

B

E

y

A y C x D

z

T3

zT1 T2

x

Come già detto Pitagora si occupò anche di geometria solida.Infatti costruì i POLIEDRI REGOLARI (solidi che hanno per facce poligoni regolari uguali fra loro) che sono 5:

L’icosaedro

Le figure erano dette cosmiche perché ai tempi la natura era costituita da particelle piccolissime: i tetraedri rappresentavano il fuoco, ottaedri per l’aria, icosaedri per l’acqua e cubi per la terra. Il dodecaedro era il modello per l’universo.

Il dodecaedro

L’ottaedro

L’esaedro o cubo

Il tetraedro

1)Anni fa una navicella spaziale venne lanciata nello spazio, senza meta.Doveva essere un messaggio per eventuali altri abitatori dell’universo, una testimonianza dell’esistenza dell’umanità e del grado di civiltà da essa raggiunta. Pensare che vi era raffigurata l’immagine dell’uomo e della donna e…il teorema di Pitagora!

2)Ci sono molti minerali che assumono le forme di poliedri regolari diventando così vere e proprie bellezze del creato.Ecco alcune immagini…

Esempi di cristalli ottaedrici

RITORNO AL PERCORSO

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Le frazioni nascono dal bisogno delle antiche civiltà di usare nel loro commercio di sottomultipli delle unità di misura.

La prima testimonianza dell’uso delle frazioni risale agli antichi Egizi nel XVII secolo a. C.

La leggenda narra che Seth aveva e glielo aveva ridotto in pezzi, ma Thot riuscì a rimetterglielo insieme. Gli antichi egizi usavano i pezzi di questo occhio per

descrivere le frazioni. Il diagramma mostra quale parte dell'occhio indica quale

frazione. Sarebbe possibile avere altre frazioni combinandole, così tre quarti corrisponde alla parte

dell'occhio che mostra metà più un quarto. Evidentemente usavano solo alcune frazioni. Non

potevano descrivere la frazione 1/3 accuratamente, evidentemente. Un occhio intero rappresenta uno.

Sommando tutti i pezzi, si ottengono 63/64, e non 64/64! Gli egiziani dicevano che il 1/64 mancante sarebbe

venuto fuori grazie a una magia di Thot!

Indichiamo con una a un numero naturale qualsiasi e con b un numero naturale diverso da o e consideriamo la frazione a/b; il numero b scritto sotto la linea di frazione si dice denominatore e indica in quante parti uguali si deve dividere la grandezza considerata (detta unitaria o intero). Il numero a scritto sopra la linea di frazione si dice numeratore e indica quante parti si devono considerare. Il numeratore e il denominatore si dicono i termini della frazione.

Una frazione è il quoziente della divisione tra il suo numeratore e il suo denominatore.

Ogni frazione avente denominatore 1 rappresenta un numero uguale al numeratore.Viceversa: ogni numero naturale può essere rappresentato da una frazione avente per denominatore 1 e per numeratore il numero stesso.Frazione con numeratore uguale al denominatoreOgni frazione avente il numeratore uguale al denominatore è uguale all’ unità.Viceversa:l’unità può essere rappresentata con una frazione avente denominatore e numeratore uguali tra loro.Frazione con numeratore 0 e denominatore diverso da 0Ogni frazione avente numeratore uguale a zero e il numeratore diverso da zero è uguale a zero. Frazioni con denominatore zeroUna frazione avente il denominatore zero è priva di significato.

Frazione propria. Frazione impropria. Frazione apparente.1 REGOLAUna frazione si dice propria se il denominatore è minore del denominatoreOgni frazione propria è minore di 1.2 REGOLAUna frazione si dice impropria se il numeratore è maggiore o uguale al denominatore.Ogni frazione impropria è maggiore o uguale a 0. 3 REGOLAUna frazione impropria si dice più precisamente frazione apparente se il numeratore è multiplo del denominatore. Ogni frazione apparente rappresenta un numero naturale diversi da 0. Operando su una grandezza con una frazione apparente otteniamo una grandezza che è 1, 2, 3 volte la grandezza data.Proprietà invariantiva delle frazioni. Frazioni equivalenti.Due o più frazioni si dicono equivalenti se, applicate a una stessa grandezza o a grandezze uguali, conducono allo stesso risultato.Proprietà invariantiva delle frazioni o proprietà fondamentale:moltiplicando o dividendo il numeratore e il denominatore di una frazione per uno stesso numero,diverso da zero,si ottiene una frazione equivalente alla frazione data.

Applicazioni della proprietà invariantivaSemplificare una frazione significa trovarne un’ altra equivalente a essa,ma con i termini più piccoli.Per semplificare una frazione si dividono numeratore e denominatore per uno stesso numero,loro divisore comune.Una frazione semplificabile si dice anche riducibile.Una frazione si dice anche irriducibile o ridotta ai minimi termini quando numeratore e denominatore sono numeri primi tra loro.Per ridurre una frazione i minimi termini si può procedere in due modi:1 REGOLADividere successivamente il numeratore e il denominatore per un loro divisore comune fino a che i due termini della frazione cosi ottenuta siano numeri primi tra loro.2 REGOLADividere numeratore e denominatore per il loro M.C.D.Trasformazione di una frazione in un’ altra equivalente di assegnato denominatore.Una frazione può essere trasformata in un’ altra equivalente di assegnato denominatore solamente se questo denominatore è multiplo del denominatore della frazione data o di quello ottenuto dopo aver ridotto la frazione data ai minimi termini.

Per trasformare una frazione in un’ altra di assegnato denominatore:1 REGOLASi riduce ai minimi termini la frazione data (se è necessario)2 REGOLASi divide il denominatore assegnato per il denominatore della frazione data (o di quella ridotta ai minimi termini)3 REGOLAPer ottenere il nuovo numeratore si moltiplica il numeratore della frazione data (o di quella ridotta ai minimi termini) per il quoziente esatto ottenuto.Riduzione di due o più frazioni allo stesso denominatorePer ridurre una o più frazioni al minimo comun denominatore: 1 REGOLASi riducono le frazioni date ai minimi termini (se non lo sono gia)2 REGOLASi calcola il m.c.m. dei denominatori delle frazioni ridotte3 REGOLASi trasforma ciascuna delle frazioni ridotte nella frazione equivalente avente per denominatore il m.c.m. prima calcolato.

Di due frazioni aventi uguale denominatore la maggiore è quella che ha numeratore maggiore.Di due frazioni avente uguale numeratore la maggiore è quella che ha per denominatore minore.Per confrontare due frazioni aventi numeratori diversi e denominatori diversi si riducono al m.c.d.: la frazione maggiore è quella che,dopo la riduzione, ha il numeratore maggiore.Classi di frazioni equivalenti. numeri razionali assoluti.Una classe di frazioni equivalenti è un insieme di frazioni tutte equivalenti tra loro;ogni classe di frazioni equivalenti è rappresentata da una qualunque delle frazioni che vi appartengono:generalmente come frazione rappresentante si assume la frazione ridotta ai minimi termini;una classe di frazioni equivalenti si dice numero razionale assoluto.L insieme di tutte le classi di frazioni equivalenti costituisce l insieme dei numeri razionali assoluti e si indica con il simbolo Qa.

AddizioneLa somma di due o più frazioni aventi uguale denominatore è una frazione avente per denominatore uguale e per numeratore la somma dei numeratori.L addizione di frazioni gode di tutte le proprietà dell’ addizione di numeri naturali ed è sempre possibile nell’ insieme Qa dei numeri razionali assoluti. L insieme Qa dei numeri razionali assoluti è quindi chiuso rispetto all’ addizione e l elemento neutro è lo zero.Numero mistoIl numero misto è la somma indicata di un numero naturale e di una frazione propria.Un numero misto qualsiasi può essere scritto sotto forma di frazione impropria.Ogni frazione impropria può essere scritta sotto forma di numero misto nel quale la parte intera è il numero naturale quoziente della divisione tra il numeratore e il denominatore della frazione;la parte frazionaria ha come numeratore il resto della divisione e come denominatore, il denominatore della frazione impropria.

SottrazioneLa differenza tra due frazioni,la prima delle quali maggiore o uguale alla seconda,è quella frazione che addizionata alla seconda dà per somma la prima,la differenza tra due frazioni aventi uguale denominatore è una frazione avente per denominatore uguale denominatore e per numeratore la differenza tra i numeratori.La sottrazione tra due frazioni gode di tutte le proprietà della sottrazione tra i numeri naturali ed è un’ operazione possibile nell’ insieme Qa dei numeri razionali solamente se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo.Quindi l’ insieme Qa dei numeri razionali assoluti non è chiuso rispetto alla sottrazione.MoltiplicazioneIl prodotto di due frazioni è la frazione avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.Il prodotto di più frazioni è una frazione avente per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.In pratica si opera direttamente sui fattori della moltiplicazione dividendo il numeratore e il denominatore,anche di frazioni diverse,per un loro divisore comune.La moltiplicazione di frazioni gode di tutte le proprietà della moltiplicazione dei numeri naturali ed è un’ operazione sempre possibile nell’ insieme Qa dei numeri razionali assoluti.L’ insieme Qa dei numeri razionali assoluti è quindi chiuso rispetto alla moltiplicazione e l’ elemento neutro è l’ unitàInverso o reciproco di una frazioneLa frazione inversa di una frazione data si ottiene scambiando il suo numeratore con il suo denominatore;ilprodotto di una frazione per la sua frazione inversa è uguale a uno.

RITORNO AL PERCORSO

A partire dal XVI secolo la matematica cominciò a progredire e dopo la metà dell’Ottocento sempre di più.Nel Novecento ci si accorse che gli argomenti della matematica si erano ampliati e divisi in diversi rami che si potevano ancora allargare e pian piano gli argomenti sono aumentati sempre di più.Per unificare tutti gli argomenti matematici (aritmetica, geometria, algebra,...) Georg Cantor li raggruppò grazie alla teoria degli insiemi.

Georg Cantor (1845-1918) nacque a Pietroburgo, studiò in Germania e in Svizzera, si laureò a Berlino e fu docente di matematica all’università di Halle, dove insegnò per quasi tutta la sua vita. Con la “teoria degli insiemi” si è potuto scoprire la “matematica senza numeri”. Fra il 1878 e il 1883 viene pubblicato il libro del matematico Georg Cantor, “Mathematische Annalen”, riguardante la teoria degli insiemi. La teoria di Cantor suscitò fin dall’inizio vivaci discussioni tra i matematici dell’epoca, alcuni dei quali riconobbero subito l’importanza delle idee esposte, mentre altri non diedero molta importanza a queste idee.

Bertrand Russell ( 1872-1970), matematico e filosofo inglese, fu il primo a mettere in discussione la teoria di Cantor detta “Teoria ingenua degli insiemi”. Russell nel 1902 scrisse una lettera al suo collega in cui descriveva la cosiddetta “antinomia di Russell”:“In un villaggio consideriamo l’insieme degli uomini che non si fanno la barba da soli, ma se la fanno fare dall’unico barbiere del villaggio. Il barbiere apprtiene o no all’insieme?”Se vi appartiene non si rade da solo, ma si fa radere dal barbiere. Cioè da se stesso. Quindi in realtà si rade da solo, cioè non appartiene all’insieme. Se non vi appartiene, cioè si rade da solo, essendo il barbiere, si fa radere dal barbiere. Il barbiere insomma appartiene e non appartiene contemporaneamente all’insieme. Una palese contraddizione!

Russell e le sue antinomie diedero inizio al periodo della crisi dei fondamenti della matematica, che fu superato grazie agli studi più precisi ed elaborati dei criteri di comprensione di un elemento in un insieme

Ernst Zermelo nacque nel 1871 e morì nel 1953, nel XX secolo grazie a lui fu sviluppata la teoria assiomatica degli insiemi in contrasto alla teoria contraddittoria di Cantor, Ernst Zermelo fu professore Gottinga ed è considerato il fondatore della moderna teoria degli insiemi.La teoria di Cantor oggi è riconosciuta da tutti, è il fondamento dei più importanti campi attuali della matematica e sono molti i riconoscimenti della sua grande opera.

Un insieme è un gruppo di elementi con una caratteristica in comune.Si può rappresentare in diversi modi:la rappresentazione per elencazione o tabulazione,A = { do, re, mi, fa, sol, la, si }la rappresentazione per caratteristica, A = { a/a è un nota musicale }la rappresentazione con il diagramma di Eulero Venn.

. do .re .mi. fa . sol . la .si

A

Un insieme è finito o limitato quando ha cardinalità. Un insieme è infinito quando non ha cardinalità. Può avere dei sottoinsiemi che si dividono in propri e impropri.

A U B

AЛB .1 . 3 .5

Operazione

UnioneDati due insiemi A e B si calcola A unito con B prendendo tutti gli elementi di A e di B (una sola volta per quelli comuni)A = { 1, 3, 5, 7 }B = { 2, 4, 6 }

AUB = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }IntersezioneDati due insiemi A e B si calcola AUB prendendo solo gli elementi comuni ai due insiemi.A ={ 1,2,3,4,5 }B ={ 1, 3, 5, 7, 8 }AпB ={ 1, 3, 5 }

B .2 .4 .6

A .1 .5 .7 .3

.2 B .4

A .8 .7

.10 .12 .14 .16 .18

.0 .2 .4 .6 .8

SottinsiemeDato un insieme A e un suo sottoinsieme proprio B si chiama complementare=B;CBi quel sottoinsieme che unito a B dà l’insieme A.A={a/a un numero pari minore di 20}B={b/b un numero pari minore di 10}

PartizioneOperare una Partizione significa dividere l’insieme da ripartire in sottoinsiemi propri e disgiunti tali che la loro unione dia l’insieme iniziale.A={a; e; i; o; u}P1={a; u}P2={o}P3={e; i}

Insieme delle partiDato un insieme A si calcola l’insieme delle sue parti scrivendo tutti i suoi sottoinsiemi propri e impropri.A={1; 2; 3}IP={{1; 2; 3}; Ǿ; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; {1}; {2}; {3}}

RITORNO AL PERCORSO

La lunga storia di

L’importante scoperta che il rapporto tra una circonferenza eil suo diametro è costante risale ad epoche molto lontane.

Il suo simbolo , fu introdotto nel XVII secolo ed è l’iniziale della parole greca “circonferenza”, ma alla ricerca del suo effettivo valore si erano dedicati molti matematici già parecchi secoli prima.

Iniziamo con il…..PAPIRO DI RHIND

Il papiro di Rhind è il più esteso papiro egizio di natura matematica giunto fino a noi. Deve il suo nome all'antiquario scozzese Henry Rhind che lo acquistò nel 1858 a Luxor in Egitto. È scritto in ieratico ed è largo 33 cm e lungo 3 m. Contiene tabelle di frazioni e 84 problemi aritmetici, algebrici e geometrici con lerelative soluzioni.

A = pr² = (8/9 d)²p = A/r²=A:(d/2)² =(8/9 d)² : (d/2) = 64/81 d² · 4/d² = 256/81 = 3,16049…

Continuiamo con

Un’altra testimonianza si trova nella Bibbia dove, a proposito della co-struzione di un tempio a Gerusalemme nel 968 a.C. , si parla di bacinodi rame destinato a contenere l’acqua per l’abluzione dei sacerdoti. Tale bacino misurava 10 cubiti da un bordo all’altro e con una cordadi 30 cubiti se ne faceva il giro; per gli Ebrei dunque il valore di p era 3,valore confermato ancora in epoca posteriore come si legge nel Tal-mud, un complesso di insegnamenti ebraici, parlando della circonfe-renza come di “ciò che ha tre palmi di giro ed è largo un palmo”.

PERSONAGGI:

Archimede fu matematico, fisico,inventore di grandissima genialità. Isuoi studi e le sue scoperte ebberoenorme importanza nella storia dellascienza. Nacque a Siracusa, in Sicilia,nel 287 avanti Cristo, ma compì i suoistudi ad Alessandria, con i seguaci diEuclide. La sua fama è legatasoprattutto alle sue scoperte nelcampo della geometria edell'idrostatica, una scienza chestudia l'equilibrio dei fluidi.

Verso il 150 d. C. il grande astronomo Tolomeo, studiando il comportamento dei pianeti, ebbe bisogno di particolari strumenti

matematici che lo portarono ad imbattersi in di cui calcolò ilvalore 3,1416, ottenuto considerando un poligono inscritto di 360 lati. Nei secoli

successivi, progressi nel calcolo di si registrarono in Oriente. Finora abbiamo usato la

notazione decimale per indicare i valori di , per avere un più immediato confronto delle diverse approssimazioni, ma fu solo quando l’Europa si risvegliò dal lungo sonno matematico del Medioevo, che venne introdotto il moderno sistema di scrittura decimale delle frazioni.Questo permise un calcolo più spedito e un più alto grado di precisione.

Il francese François Viète non era un matematico professionista: giurista e polito, divenne conseguire del Re Enrico IV al parlamento di Bretagna. François Viète matematico e uomo politico francese. Come matematico è noto soprattutto per l'introduzione di notazioni algebriche sintetiche capaci di rendere gli sviluppi deduttivi più compatti e più stringenti; egli si può ritenere la figura centrale ed eminente del periodo rinascimentale. È conosciuto anche con il suo nome latinizzato, Franciscus Vieta. Le sua attività si dividono tra una intensa vita politica e una serie di ricerche matematiche.

Viète dedica alla matematica soltanto il tempo che gli rimane libero dagli impegni politici, ma ciò nonostante riesce a dare notevoli contributi all'aritmetica, all'algebra, alla trigonometria e alla geometria.

All’inizio del 1600 il matematico olandese Van Ceulen,

che aveva dedicato anni a calcolare , ne trovò una sua approssimazione fino alla 35esima cifra esatta.

Nel 1670, il grande Isaac Newton affronta il calcolo di con il suo metodo delle flussioni e con il suo teorema dello sviluppo del binomio.

Nel 1674, il suo grande rivale Leibniz scopre che si può calcolare /4 con una discreta approssimazione sommando i termini della serie.

Carl Lindemann nacque il 12 Aprile 1853 e morì il 6 Marzo 1939. Egli era un matematico tedesco celebre e noto per la sua dimostrazione della trascendenza di p (1882). Lindemann naque in Germania. La famiglia si trasferì successivamente e Ferdinand iniziò i suoi studi. Studiò matematica A Erlangen rivette il dottorato, con la supervisione di Felix Klein, sulle geometrie non Euclidee. Nel 1882, pubblicò il risultato per cui è più noto, la dimostrazione della trascendenza di pi greco e che l'antico problema della quadratura del cerchio con riga e compasso era irrisolvibile.

Gottfried Wilhelm Leibniz nacque a Lipsia il primo luglio del 1646. Dopo aver studiato filosofia, diritto e matematica a Lipsia ottenne il diritto di tenere lezioni nell'università di Lipsia.

p/4= 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 ..............

Il matematico indiano, Srinivasa Ramanujan (1887-1920),

elaborò teorie per approssimazione rapide e accurate di . Nato in India da una famiglia povera, non possedeva i mezzi per seguire regolari corsi di studi. Fu quindi un autodidatta e si concentrò essenzialmente sullo studio della matematica. Per mantenere se stesso e la famiglia, accettò un impiego a Madras con un salario da fame. Preso dalle disperazione, spedì i risultati delle sue ricerche ad alcuni dei più famosi matematici inglesi del tempo.

Godfrey Hardy si degnò di rispondere ai risultati delle ricerche di Srinivasa Ramanujan, dopo che fu convinto, dalla lettura del resoconto del giovane indiano, di avere di fronte “un diamante allo stato grezzo”. Superando mille difficoltà fece venire Srinivasa Ramanujan da lui a Cambridge e per cinque anni lavorarono insieme in piena sintonia e ottenendo brillanti risultati. La tubercolosi, e forse anche la grande nostalgia della sua terra, minarono il fisico e il morale di Srinivasa.

Anche il matematico inglese Shanks nel 1873 si

occupò di e calcolò 707 cifre decimali. Dopo di

lui,

Nel 1946 il connazionale Ferguson si accorse che Shanks, dopo la 527ˆ cifra, aveva commesso un errore, e quindi tutte le cifre che seguivano erano sbagliate. Le ricalcolò esattamente fino alla 710ˆ.

Ecco dal 1579 ad oggi le tappe del lungo cammino di questa ricerca:

Anno della scoperta Autore del calcolo Numero di cifre

decimali di

1579 Viète 9

1593 Romanus 16

1610 Ludolph van Ceulen 25

1621 Snell 35

1699 Sharp 72

1706 Machin 101

1790 Vega 137

1844 John Dase 201

1853 Rutherford 441

1873 William Shanks 527

1949 Calcolatore ENIAC 2 036

1959 Calcolatore IBM 704 10 000

1997 Yasumasa Kanada 5 540 000 000

1999 Percival 40 000 000 000 000

NOI E …..

Nel triennio della scuola secondaria di 1° grado, abbiamo incontrato nelle seguenti formule:1) misura della circonferenzac= 2 r

2) area del cerchio

Ac= r ²

3) area totale e laterale del cono e cilindro e loro volumi

Al cilindro= 2 r hAt cilindro= 2 r h + 2 r²

Al cono= 2 r a : 2

At cono= 2 r a : 2 + 2r²

V cilindro= r² hV cono= r² h : 3

4) superficie e volume della sfera

As= 4 r²

Vs= 4/3 r ³

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È come scrivere la terna pitagorica: 32+42=52

L’uso delle lettere al posto dei numeri è abbastanza recante nella storia della matematica.Bisogna infatti arrivare intorno al XVI secolo con i grandi matematici, quali tedeschi Adamo Riese (1492-1559) e Michele Stiefel (1486-1567) e gli italiani Gerolamo Cardano (1501-1576), Nicolò Tartaglia (1506-1557) e soprattutto Raffaele Bombelli, autore di un’ opera, L’algebra, pubblicata nel 1572.

Nicolò Tartaglia

Gerolamo Cardano

Il padre moderno calcolo letterale è però considerato il matematico francese Franosi Viète (1540-1603), che introdusse l’uso sistematico delle lettere e, in particolare, i simboli delle operazioni tuttora in uso.Viète fece proprio una netta distinzione fra il calcolo numerico e il calcolo letterale; chiamò il primo “logistica numerosa” e il secondo “logistica speciosa”, cioè “arte del calcolo con le species” (dal latino species= simboli), e i simboli erano proprio le lettere dell’alfabeto.Molti altri matematici successivamente diedero una grandissima importanza all’uso delle lettere quale sistema impareggiabile per descrivere e generalizzare proprietà e procedimenti. Fra questi ricordiamo Cartesio, Newton, Leibniz, Eulero,Abel,e Galois .

Newton

Eulero

Cartesio

L’introduzione del calcolo letterale segnò una svolta decisiva negli studi matematici, al punto che i grandi algebristi del rinascimento chiamarono l’algebra “ars magna” (arte grande).Fare algebra, infatti, significa non occuparsi più di questo o quel particolare numero, ma interessarsi ai numeri in generale e quindi alle relazioni che si possono stabilire tra di essi, relazioni che valgono per interi insiemi di numeri. Leibniz

AbelGaloisRITORNO AL

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“A Diofanto Dio concesse di rimanere fanciullo un sesto della sua vita, dopo un altro dodicesimo le sue guance si ricoprirono di barba, dopo un settimo egli si

sposò e dopo cinque anni gli nacque un figlio.Ma questi, giovane sventurato, aveva appena raggiunto la metà dell’età a cui

doveva arrivare suo padre, quando morì.Diofanto visse nel dolore per la scomparsa dell’ amato figlio quattro anni

ancora, mitigando il proprio dolore con la scienza dei numeri, indi giunse al termine della sua esistenza”.

Se indichiamo con x l’età alla quale Diofanto morì, avremmo: x=1/6x + 1/12x + 1/7x + 5 + 1/2x + 4 da cui:

x – 1/6x – 1/12x – 1/7x – 1/2x=5+4 (84-14-7-12-42) /84x =9

9/84x =9 x=9·84/9=84Diofanto morì dunque all’età di 84 anni.

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La “geometria” si sviluppò ai tempi dei nostri antenati e molto più tardi dell’abilità di “contare”.Nacque come scienza nel 13° secolo a.C. grazie alla civiltà egizia.Per via delle inondazioni del Nilo, gli egiziani dovevano misurare periodicamente i confini dei terreni agricoli: si sviluppò così una primitiva geometria grazie alla quale poterono successivamente costruire le piramidi ovvero le tombe degli antichi faraoni.

La costruzione della piramide richiedeva moltissime conoscenze geometriche per poterle prima progettare, tagliare i blocchi per la costruzione e per la disposizione di questi ultimi.

Tuttavia la geometria era incompleta e mischiata a credenze religiose.Fu in Grecia che, nel 5° secolo nacque la geometria come disciplina, studiata nelle scuole.

1- La scuola ionica fondata da Talete di Mileto2- La scuola eleatica fondata da Parmenide3- La scuola pitagorica, fondata da Pitagora

Le scuole in cui si studiava la matematica erano:

PARMENIDE: Parmenide nacque ad Elea, in Magna Grecia (nell'Italia meridionale), presso l'odierna Ascea-Velia (SA), da una famiglia aristocratica. Della sua vita si hanno poche notizie. Forse fu discepolo di Senofane. Dai suoi concittadini sarebbe stato chiamato a redigere le leggi della sua città. Ad Elea fondò inoltre una scuola, insieme al suo discepolo prediletto Zenone.

PITAGORA: Alcuni storici mettono in dubbio la veridicità storica di tale personaggio.

I biografi antichi gli attribuirono una natura semidivina, che anche gli permetteva di compiere prodigi tra i quali guarire dalle peggiori malattie. Fondò l'omonima scuola filosofica ma, convinto della superiorità della tradizione orale rispetto alla scrittura, non lasciò scritti.

Inoltre, siccome vietò a seguaci di scrivere e di parlare con estranei delle proprie teorie, risulta impossibile accertare quali idee furono sue e quali dei seguaci.

Ma fra tutti questi filosofi greci, il più importante è sicuramente Euclide. Egli ha raccolto insieme gli studi di tutti i filosofi matematici, rielaborandole e sistemandole, raccogliendo tutto lo scibile matematico disponibile nella sua epoca. La sua opera è stata considerata per oltre 20 secoli un testo esemplare per chiarezza e rigore espositivo, e può considerarsi il testo per l'insegnamento della matematica e della precisione argomentativa di maggior successo della storia, ovvero il testo più letto dopo la Bibbia.

Raffaello SanzioScuola di Atene

Euclide

Talete da una svolta alla geometria, infatti è suo il primo trattato di geometria che permette la trasformazione di questa disciplina da scienza nozionistica a scienza logica e coerente. Talete può essere considerato il padre fondatore della geometria deduttiva ed è certo il primo matematico a cui si devono importanti scoperte.Si devono a Talete, ad esempio, le dimostrazioni dei tre seguenti teoremi:

Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono congruenti

Gli angoli opposti al vertice sono congruenti

Due triangoli aventi rispettivamente congruenti un lato e i due angoli ad esso adiacenti sono congruenti

Il trattato di geometria di Talete è il primo libro di geometria che la storia ci tramanda, ma è anche il più importante e attuale libro di matematica della storia ci tramanda.

EUCLIDE: Euclide di Alessandria è un matematico greco, che visse molto probabilmente durante il regno di Tolomeo I (367 a.C. ca. - 283 a.C.). Euclide è noto soprattutto come autore degli "Elementi", la più importante opera di geometria dell'antichità; tuttavia di lui si sa pochissimo. Euclide è menzionato in un brano di Pappo, ma la testimonianza più importante su cui si basa la storiografia che lo riguarda viene da Proclo, che lo colloca tra i più giovani discepoli di Platone. Dopo la morte di Alessandro Magno, Alessandria d’Egitto diventa un’ importante centro culturale in cui nasce, grazie ad Euclide, la “Scuola matematica di Alessandria”.

L’ opera principale di Euclide è formata da tredici libri e rappresenta il primo trattato della matematica, raccoglie tutto il lavoro compiuto in secoli di ricerca. Euclide ha posto le basi di studio al metodo assiomatico- deduttivo.

Nell’ ottocento Karl Friedrich Gauss si interesso di geometria, le sue opere furono pubblicate dopo la sua morte, esse aprirono la strada alla moderna matematica.

Gauss iniziò a interessarsi di matematica quando era ancora uno studente e giunse alla conclusione che era possibile costruire una nuova geometria fondata su un concetto di parallelismo diverso da quello di Euclide.

Gauss non pubblico mai i suoi studi perché sapeva che avrebbero suscitato scandalo tra i filosofi del tempo; le sue teorie furono pubblicate nel XIX secolo.Gli studi di Gauss, quelli di Nikolaj Ivanoviĉ Lobacevskijĉ e di Janos Bollai segnarono la nascita delle geometrie non euclidee anche se questi scritti vennero accolti con difficoltà dai matematici del tempo.

Nikolaj Ivanovič Lobačevskij

Da una di queste critiche nasce il quinto postulato che aveva suscitato perplessità tra gli studiosi dell’epoca e lo stesso Euclide.Il quinto postulato è famoso “Per un punto P non appartenente a una retta A, passa una e una sola parallela alla retta A”.Gauss, Lobačevskij e Bolyai negarono il quinto postulato correggendolo in questo modo:”Per un punto P non appartenente a una retta A, passa più di una retta parallela alla retta A”.

Da questa affermazione nacque la geometria iperbolica, non più sul piano euclideo, ma su un formato dall’insieme dei punti interni a un cerchio.

Un altro studioso George Friedrich Riemann allievo di Gauss,negò il quinto postulato nel seguente modo: “ Per un punto P non appartenente a una retta A non passa alcuna retta parallela ad A ”.Nacque così la geometria ellittica, il cui piano e formato dall’insieme dei punti di una sfera.

GEORGE FRIEDRICH

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Archimede,il più geniale scienziato dell’antichità classica, nacque a Siracusa, in Sicilia, nel 287 a.C. e

morì nel 212 a.C. Già da ragazzo dimostrava una sfrenata passione per la

matematica, infatti le sue giornate passavano avvolte negli studi matematici o nelle figure geometriche. Molto

più tardi Galileo lo chiamò “il massimo genio sovrumano”.

Tra le notizie certe vi è inoltre quella, tramandata da Diodoro Siculo, che abbia trascorso un soggiorno in Egitto, e che ad Alessandria strinse amicizia con il matematico e astronomo Conone di Samo (come capiamo dal rimpianto per la sua morte espresso in alcune opere).

Coclea o vite di Archimede

Tornato a Siracusa, tenne corrispondenza con vari scienziati di Alessandria,tra i quali Dositeo edEratostene, al quale dedicò il trattato Il metodo e rivolse il problema dei buoi del sole. Polibio, Tito Livio e Plutarco riferiscono che durante la seconda guerra punica, su richiesta di Gerone II, si dedicò (a detta di Plutarco con minore entusiasmo ma secondo tutti gli autori con non minori successi) alla realizzazione di macchine belliche che potessero aiutare la sua città a difendersi dall'attacco di Roma. Infatti, appena Gerone re di Siracusa, che dopo una precedente alleanza con Cartagine preferì l’amicizia di Roma malvista dai suoi concittadini, morì(214 a.C.), la città si schierò con Annibale capo dell’esercito cartaginese.

Siracusa non disponeva che di poche migliaia di uomini e del genio di un vecchio; le macchine di Archimede avrebbero scagliato massi ciclopici e una tempesta di ferro contro le sessanta imponenti quinquereme di Marco Claudio Marcello. Sfortunatamente il matematico, nel 212 a.C. fu ucciso durante il sacco della città

I romani si sentirono offesi da questa voltata di spalle e non ci pensarono due volte prima di assaltare la città. Plutarco racconta che, contro le legioni e la potente flotta di Roma,

Fu matematico,geometra,astronomo,ingegnere,fisico e inventore e si dedicò costantemente alla ricerca e alla realizzazione delle sue invenzioni.

Ideò una quarantina di invenzioni fra le quali la COCLEA, o VITE DI ARCHIMEDE utilizzata per trasportare le acque del Nilo verso le zone non raggiunte dalle inondazioni e ancora oggi viene usato per irrigare in molte regioni del Medio Oriente.

Inoltre formulò il PRINCIPIO TEORICO DELLA LEVA; pare che, durante la costruzione e il varo di una grossa nave, fosse riuscito a moltiplicare le forze grazie ad una combinazione di leve e di carrucole e che, in quella occasione pronunciò la sua celebre frase:

“Datemi un punto d’appoggio e vi solleverò il mondo”

P : R = br : bp

Inoltre,Archimede, seppe applicare i principi della leva anche alle pulegge che sono sistemi di carrucole fisse e mobili.

Ma, in realtà, il campo in cui preferiva lavorare e al quale dedicòla maggior parte della sua attenzione, fu la matematica. Nel 225 a.C. circa scrisse un libretto di pochissime pagine, dal titolo: “Misura del cerchio”:questo contiene solo tre proposizioni dove fornisce un’ottima approssimazione del e l’area del cerchio.

Inoltre scoprì i poliedri semiregolari,oggi chiamati archimedei, cioè poliedri aventi come facce poligoni regolari, non tutti dello stesso tipo, ma con vertici nei quali occorre lo stesso numero di spigoli. In totale sono tredici e si possono pensare ottenuti dai poliedri regolari nei quali vengono “smussati” i vertici con opportuni piani paralleli alle varie facce e tali da formare altre facce che siano poligoni regolari.

Poliedri archimedei

Grazie agli studi condotti, Archimede è diventato il padre anche dei principi dell’idrostatica, fra cui quello famoso detto principio di Archimede.

Qualsiasi solido collocato in un fluido si immergerà in misura tale che il peso del solido sarà uguale al peso del fluido spostato.

Qualsiasi solido collocato in un fluido si immergerà in misura tale che il peso del solido sarà uguale al peso del fluido spostato.

Si dice che Archimede “scoprì” il principio dell’idrostatica durante uno dei suoi rari bagni. Bisogna sapere che il re di Siracusa, Ierone, temendo che l’orefice che aveva incaricato di forgiare la corona avesse utilizzato una lega poco preziosa invece che l’oro, chiese al matematico di trovare un metodo per capire che cosa aveva usato. Archimede lavorò a lungo su questo nuovo problema e, come ho già detto, durante uno dei suoi bagni trovò la soluzione, saltò fuori dalla vasca e corse per le strade di Siracusa urlando di gioia. Ovviamente non si accorse di non essersi rivestito, comunque, che sia una diceria o no, Archimede divenne il padre dei principi dell’idrostatica oltre alle altre innumerevoli scoperte.

IL genio matematico studiò la sfera, su cui scrisse un altro dei suoi tanti trattati: “Sulla sfera e sul cilindro”, dove specifica volumi e superfici di sfere e dei solidi a cui sono collegate. Con il metodo di esaustione il grande matematico dimostra che l’area della superficie laterale della sfera è quattro volte il suo cerchio massimo,(un cerchio passante per il centro della sfera); Dopo la superficie, Archimede considera nel trattato il volume della sfera e svela che anche in questo caso il rapporto costante fra il volume e il cubo del diametro è nuovamente legato a .

Le costanti relative alla circonferenza, all’area del cerchio e al volume della sfera si possono ricondurre a una sola. Per finire, nel trattato, il nostro matematico considera il cilindro circoscritto a una sfera e dimostra che esso è grande una volta e mezzo la sfera, sia per superficie che per volume. Ed è proprio lo stesso Archimede ad affermare che queste ultime scoperte siano i suoi più grandi capolavori, infatti, l’importanza che gli attribuiva è testimoniata dalla sua epigrafe tombale.

Tomba di Archimede

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2 3

- 5

-2/7

La scoperta dei “numeri irrazionali” avvenne più di 2500 anni fa ad opera dei pitagorici,studiosi greci della famosa scuola pitagorica e fu una scoperta che suscitò fra gli studiosi sorpresa e sgomento. Quella dei Pitagorici (seconda metà del VI secolo a.C. inizi del III secolo d.C.) costituisce indubbiamente una delle sette più numerose che vanti la filosofia antica, con una storia che si protrae per più di otto secoli con un totale di ben 218 uomini e 17 donne che hanno partecipato alla setta. Per loro ogni misura si poteva esprimere solo con un numero naturale o con il rapporto tra 2 numeri naturali, cioè un numero razionale. Fu il pitagorico Ippaso che, mentre risolveva un problema (dato un quadrato di lato 2 piedi trovare il lato di quello di area doppia), si accorse dei numeri irrazionali.

Infatti si trovò a combattere con il numero 21/2: un numero irrazionale in quanto decimale illimitato non periodico.Questi strani enti geometrici furono quindi chiamati alogas, ovvero indicibili, inesprimibili.Questa scoperta spazzò via tutte le dimostrazioni pitagoriche che si basavano sulla supposta commensurabilità di tutti I segmenti, fece vacillare la supremazia dei numeri interi, stabilì una superiorità della geometria sull’aritmetica. Infine, I pitagorici, irritati e confusi, per la sua scoperta gettarono Ippaso nel Mar Mediterraneo.

32

Il calcolo con i numeri irrazionali si deve ai matematici:

Nacque il 6 ottobre 1831 e morì a Braunschweig il 12 febbraio 1916. Ha dato importanti contributi alla teoria dei numeri, lavorando in stretto contatto con Ernst Eduard Kummer.Nel 1848, entra al Collegium Carolinum a Braunschweig e nel 1850, dopo aver conseguito una robusta conoscenza della Matematica, entra all’Università di Göttingen. Qui Gauss insegna Matematica ad un livello abbastanza elementare e Dedekind apprende la teoria dei numeri presso il Dipartimento di Matematica e Fisica

Nacque a San Pietroburgo il 3 marzo 1845 e morì ad Halle il 6 gennaio 1918. Cantor riconobbe che gli insiemi infiniti possono avere differenti cardinalità, separò gli insiemi in numerabili e più che numerabili e provò che l'insieme di tutti i numeri razionali Q è numerabile mentre l'insieme di tutti i numeri reali R è più che numerabile, dimostrando in questo modo che esistono almeno due ordini di infinità. Egli inventò anche il simbolo che oggi viene usato per indicare i numeri reali.

Nacque il 12 Aprile 1853 e morì il 6 Marzo 1939 in Germania. Era un matematico tedesco celebre e noto per la sua dimostrazione della trascendenza di p (1882). La famiglia si trasferì successivamente e Ferdinand iniziò i suoi studi di matematica. A Erlangen ricevette il dottorato, con la supervisione di Felix Klein, sulle geometrie non Euclidee. Nel 1882, pubblicò il risultato per cui è più noto, la dimostrazione della trascendenza di p e che l'antico problema della quadratura del cerchio con riga e compasso era irrisolvibile.

L’ introduzione dei numeri negativi negli studi matematici non è stata affatto facile. I matematici furono per lungo tempo diffidenti perchè togliere da una quantità una quantità più grande era un’operazione quantitativamente impossibile.Diofanto utilizzò i numeri sottrattivi nel terzo secolo D.C. per indicare i debiti finanziari.Nel 600 d.C. Brahmagupta, matematico indiano, e nel nono secolo il matematico arabo Al-Khuwarizmi accennarono nelle loro opere i numeri negativi

Gerolamo Cardano, ne “La grande opera “ definisce i numeri positivi “veri “ e i numeri negativi “finti”. Invece Michael Stiefel li definisce numeri assurdi.Li studiarono i grandi matematici del Seicento come gli italiani Ga ileo, Cavalieri, Viviani, i francesi Cartesio, Fermat, Pascal, l’olandese Huygens, gli inglesi Wallis , Newton e il tedesco Leibniz.

Diofanto di Alessandria è noto come il padre dell’algebra. Della sua vita si sa ben poco; non sappiamo neppure il secolo in cui è vissuto. Alcuni ritengono che sia stato l'ultimo dei grandi matematici greco-ellenistici. Diofanto scrisse un trattato sui numeri poligonali e sulle frazioni, ma la sua opera principale è l'Arithmetica, trattato in tredici volumi dei quali soltanto sei sono giunti fino a noi. La sua fama è principalmente legata a due argomenti: le equazioni indeterminate ed il simbolismo matematico.

Nato nel 598  e morto nel 668. È stato un matematico e astronomo indiano. Gestì l'osservatorio astronomico d’Ujjain, e durante la sua permanenza scrisse due opere di matematica ed astronomia:

il Brahmasphutasiddhanta nel 628, ed il Khandakhadyaka nel 665. Il Brahmasphutasiddhanta costituisce la fonte più antica conosciuta, eccettuato il sistema di numerazione ma ya, a trattare lo zero come un numero a tutti gli effetti, enuncia le regole dell'aritmetica sui numeri negativi e sullo zero che sono piuttosto vicini al modo di ragionare moderno.

NUMERIREALI

RELATIVI(R)

SI DIVIDONO IN

NUMERI POSITIVI

PRECEDUTIDAL SEGNO +

SE

ZERO

NUMERINEGATIVI

PRECEDUTI DAL

SEGNO -

SE

SI SUDDIVIDONO IN

NUMERIRAZIONALI RELATIVI

(Q)

CHE CONTENGONO

NUMERIINTERI

RELATIVI (Z)

NUMERIIRRAZIONALI RELATIVI (I)

CON ESSI

È SEMPREPOSSIBILE

EFFETTUARE

LE OPERAZIONI DI

ADDIZIONE ALGEBRICA

MOLTIPLICAZIONE

ELEVAMENTOA POTENZADIVISIONE

Con Cartesio, in particolare, i numeri negativi diventano addirittura indispensabili nella rappresentazione dei punti nel piano.

PIANOCARTESIANO

PUNTI

SEGMENTI

POLIGONI

AREA PERIMETRO

FUNZIONIMATEMATICHE

POSSONO ESSERE

FUNZIONI DIPROPORZIONALITÁ

DIRETTA

FUNZIONI DIPROPORZIONALITÁ

INVERSA

ALTRE FUNZIONI

FUNZIONIEMPERICHE

SI POSSONORAPPRESENTARE

SI CALCOLA

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