3

3.1. Automate Push-down

Vom introduce un nou tip de dispozitiv care s accepte limbajele I.D.C., numit automat push-downxe "automat:push-down determinist".

Un automat push-downxe "automat:push-down determinist" are, pe lng o band de intrare, i o stivxe "stiv" (o list LIFO). ntr-o astfel de stiv, intrarea i ieirea unui simbol se face numai la capul stivei. Cnd un simbol intr n stiv, simbolul care anterior a fost capul stivei devine al doilea, cel care a fost al doilea devine al treilea .a.m.d. n mod similar, cnd un simbol este scos din stiv, simbolul care anterior acestei scoateri era al doilea, ajunge n capul stivei, cel care era al treilea devine al doilea .a.m.d.

O astfel de stivxe "stiv" se poate compara cu un teanc de farfurii n care se ridic sau se pune o farfurie deasupra teancului.

Exemplul 3.1.1 S utilizm o stivxe "stiv" de "farfurii", cuplat cu un control finit pentru a recunoate o mulime neregulat.

Fie limbajul I.D.C. L={}, care nu este regulat (posibil de demonstrat acest lucru folosind lema de pompare) i fie gramatica

G=({S},{0,1,c},S,P)

unde mulimea regulilor este P=.

Pentru a recunoate limbajul L, vom utiliza un control finit cu dou stri q1 i q2 i o memorie push-down pe care vom plasa "farfurii" albastre, roii i verzi. Dispozitivul va opera dup urmtoarele reguli:

Maina pornete cu o farfurie roie pe stivxe "stiv" i cu controlul finit n starea q1.

Dac simbolul de intrare este 0 i starea este q1, dispozitivul plaseaz o farfurie albastr pe stivxe "stiv", iar dac simbolul de intrare este 1 i starea q1, atunci plaseaz o farfurie verde pe stiv i, n ambele cazuri, rmne n starea q1.

Dac intrarea este c i starea q1, i schimb starea n q2 fr a aciona asupra stivei.

Dac intrarea este 0, starea q2 i pe stivxe "stiv" se afl o farfurie albastr, scoate farfuria i rmne n q2, iar dac este 1, starea q2 i pe stiv este o farfurie verde, scoate farfuria i rmne tot n q2.

Dac dispozitivul este n starea q2 i pe stivxe "stiv" este o farfurie roie, scoate farfuria indiferent de intrare.

n alte situaii dispozitivul nu face nici o micare.

Dispozitivul accept irul de intrare dac, dup citirea lui, stiva devine goal.

Vom defini un automat push-downxe "automat:push-down determinist" ca fiind un dispozitiv format din: band de intrare, control finit i memorie push-down (stivxe "stiv"), precum n Figura 3.1.1..

Dispozitivul este nedeterminist, avnd un numr finit de anse de micare n fiecare situaie. Micrile vor fi de dou tipuri:

- tranziie cu simbol de intrare: n funcie de simbolul de intrare, de captul stivei i de starea controlului finit, sunt posibile anumite micri care constau fiecare din: o nou stare a controlului finit i un ir (posibil vid) de simboluri care nlocuiete capul stivei. Dup alegerea unei micri posibile, dispozitivul avanseaz cu un simbol pe banda de intrare.

- "-tranziie" : este similar cu micarea tip I., dar nu e utilizat nici un simbol de intrare.

Limbajul acceptat de un automat push-downxe "automat:push-down determinist" se poate defini n dou moduri:

mulimea irurilor de intrare care conduc la golirea memoriei push-down sau

mulimea irurilor de intrare pentru care automatul intr ntr-o stare final.

Cele dou tipuri de acceptri sunt echivalente.

Formal, un automat push-downxe "automat:push-down determinist" se definete prin:

Definiia 3.1.1 Un automat push-downxe "automat:push-down determinist" nedeterministxe "automat:push-down nedeterminist", M, este un sistem format din:

M = ,

unde:

Q este o mulime finit de stri

este un alfabet finit al benzii de intrare

este un alfabet finit al memoriei push-down

stare iniial

simbol de start al memoriei push-down

mulimea strilor finale

Interpretarea expresiei , unde , este aceea c automatul push-down aflat n starea q, cu a pe banda de intrare i Z n capul stivei, poate trece ntr-una din strile pi nlocuind pe Z cu i apoi avanseaz cu un simbol pe banda de intrare.

Interpretarea expresiei , unde , este aceea c automatul push-down aflat n starea q i avnd pe Z n capul stivei, indiferent de simbolul aflat pe banda de intrare i schimb starea ntr-una din strile pi i nlocuiete pe Z cu fr s avanseze pe banda de intrare.

Exemplul 3.1.2 n exemplul anterior, automatul push-down accept limbajul {} prin memorie vid (v.definiia 3.1.4). S descriem formal acest automat.

M=({q1,q2},{0,1,c},{R,A,V},,q1,R,)

Observaia 3.1.1 Automatul din Exemplul 3.1.2 este determinist pentru c are o singur posibilitate de micare la fiecare pas.

Un astfel de automat, idiferent dac este determinist sau nedeterminist, se poate i el reprezenta printr-o diagram de tranziie[23], similar cu cea pentru automatul finit, cu excepia faptului ca una dintre etichetele unui arc ntre starea p i starea q, este de forma:

(a, A BC) dac

(q, BC) ( ((p,a,A)

sau, folosind forma din [13]:

(a, A, BC) dac

(q, BC) ( ((p,a,A)

S considerm automatul push-down, definit printr-o diagram de tranziiexe "diagram:de tranziie", din figura 2.3.2, care recunoate cuvintele limbajului:

{anbn | n 0}.

Definiia 3.1.2 O configuraie instantanee este o pereche , unde i , unde cel mai din stnga simbol al lui este vrful stivei push-down, iar reprezint coninutul stivei.

Dac , , , i , atunci scriem:

a : (q,Z) (p,) (Intrarea "a" trece automatul M din (q,Z) n (p,).)

Dac pentru fiecare , i irurile , avem:

ai : (qi,i) (qi+1,i+1) , atunci scriem: a1 an : (q1,1) (qi+1,i+1)

Similar, se poate folosi descrierea instantaneexe "descrierea instantanee", constituit din tripletul i atunci scriem:

(p,w,) dac (p, ).

Definiia 3.1.3 Limbajul acceptat prin stri finalexe "Limbajul acceptat:prin stri finale" de ctre automatul M este

EMBED Equation.3.

Definiia 3.1.4 Limbajul acceptat prin stivxe "stiv" vid de ctre automatul M este

EMBED Equation.3.

Exemplul 3.1.3 S construim automatul push-down care accept limbajul {}.

M=({q1,q2},{0,1},{z0,A,B},,q1,Z0,)

Spre exemplu, irul de intrare 001100 este acceptat de automatul pushdown deoarece exist un calcul de configuraii care se finalizeaz prin golirea memoriei push-down dup citirea benzii de intrare:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3+

,

deci 001100. Problema care apare n acest exemplu este de a determina mijlocul cuvntului de pe banda de intrare. Pentru determinarea mijlocului, singura condiie cunoscut este de a avea pe banda de intrare doi de 0 consecutivi sau doi de 1 consecutivi. ns aceast condiie nu determin n mod precis mijlocul cuvntului de intrare, situaia nefiind unic. Astfel, automatul push-down poate "bnui" c a ajuns la mijlocul cuvntului de intrare ori de cte ori apar doi de 0 sau doi de 1 consecutivi. Deci, de cte ori automatul ntlnete dou simboluri identice pe banda de intrare, are de ales ntre dou variante: "bnuiete" c aici este mijlocul i trece n starea q2, care ncepe s tearg stiva, sau "bnuiete" c nu este la mijloc i continu s memoreze n stivxe "stiv". Dac a "bnuit" corect atunci va reui s-i goleasc stiva. De aici apare nedeterminismul.

Observaia 3.1.2

a) Un automat push-downxe "automat:push-down determinist" este deterministxe "automat:push-down determinist" dac sunt ndeplinite urmtoarele condiii:

- pentru fiecare corespunztoare, nu conine mai mult de un element;

- pentru fiecare , dac atunci (aceste condiii evit situaia n care ar fi posibile att o -mutare ct i o mutare nevid, genernd astfel nedeterminism).

b) Pentru automatele push-down n general, modelul determinist i cel nedeterminist nu sunt echivalente. Acest lucru se demonstreaz n 3.9., seciune dedicat limbajelor independente de context deterministe

aiBanda de intrare

ZCapul stiveiZ0Figura 3.1.1

CONTROL

FINIT (Q)

Figura 3.2.2

q

pq

0, A AA

1, A

srpq

rpq

1, A

, Z0

0, Z0 AZ0

, Z0

_1264673499.unknown

_1264673515.unknown

_1264673523.unknown

_1264673527.unknown

_1264673531.unknown

_1264673533.unknown

_1264673534.unknown

_1264673535.unknown

_1264673532.unknown

_1264673529.unknown

_1264673530.unknown

_1264673528.unknown

_1264673525.unknown

_1264673526.unknown

_1264673524.unknown

_1264673519.unknown

_1264673521.unknown

_1264673522.unknown

_1264673520.unknown

_1264673517.unknown

_1264673518.unknown

_1264673516.unknown

_1264673507.unknown

_1264673511.unknown

_1264673513.unknown

_1264673514.unknown

_1264673512.unknown

_1264673509.unknown

_1264673510.unknown

_1264673508.unknown

_1264673503.unknown

_1264673505.unknown

_1264673506.unknown

_1264673504.unknown

_1264673501.unknown

_1264673502.unknown

_1264673500.unknown

_1264673483.unknown

_1264673491.unknown

_1264673495.unknown

_1264673497.unknown

_1264673498.unknown

_1264673496.unknown

_1264673493.unknown

_1264673494.unknown

_1264673492.unknown

_1264673487.unknown

_1264673489.unknown

_1264673490.unknown

_1264673488.unknown

_1264673485.unknown

_1264673486.unknown

_1264673484.unknown

_1264673474.unknown

_1264673478.unknown

_1264673481.unknown

_1264673482.unknown

_1264673479.unknown

_1264673476.unknown

_1264673477.unknown

_1264673475.unknown

_1264673470.unknown

_1264673472.unknown

_1264673473.unknown

_1264673471.unknown

_1264673468.unknown

_1264673469.unknown

_1264673467.unknown