3.1.1 Flexion Método Gráfico

7/26/2019 3.1.1 Flexion Mtodo Grfico

1/7

262 CAPTULO6 FLEXIN

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

6.2 Mtodo grfico para la construccinde diagramas de fuerza cortantey de momento

En los casos donde se somete una viga a varias cargas diferentes, la de-terminacin de V y M como funciones de x para despus graficar esas

ecuaciones puede resultar un proceso bastante tedioso. En esta seccin

se analiza un mtodo ms sencillo para la construccin de los diagramas

de fuerza cortante y de momento; este mtodo se basa en dos relaciones

diferenciales, una que existe entre la carga distribuida y la fuerza cortante,

y otra entre la fuerza cortante y el momento.

Regiones de carga distribuida. Con el fin de generalizar, consi-dere la viga de la figura 6-8a, que est sometida a una carga arbitraria. En

la figura 6-8bse muestra un diagrama de cuerpo libre para un pequeo

segmentoxde la viga. Como este segmento se ha elegido en una posicinxdonde no hay fuerza concentrada o momento, los resultados que se ob-

tengan no se aplicarn en estos puntos de carga concentrada.

Observe que todas las cargas mostradas sobre el segmento actan en sus

direcciones positivas de acuerdo con la convencin de signos establecida,

figura 6-3. Asimismo, tanto la fuerza cortante como el momento resultan-

tes internos, que actan en la cara derecha del segmento, deben cambiarse

por una cantidad pequea para mantener al segmento en equilibrio. La

carga distribuida se sustituye por una fuerza resultante w(x)xque acta a

una distancia fraccional k(x) desde el lado derecho, donde 0 6k61 [por

ejemplo, si w(x) es uniforme, k=12]. Al aplicar las ecuaciones de equilibrio

para el segmento, se tiene

La falla de esta mesa se produjo en el pun-tal de apoyo ubicado en su lado derecho. Sise dibujara, el diagrama de momento flexio-nante para la carga en la mesa indicara queste es el punto donde ocurre el momentointerno mximo.

(a)

x x

w(x)

M0

F

(b)

M M

M

V

x

w(x)x

w(x)

k(x)

Diagrama de cuerpo libredel segmento x

O

V V

Figura 6-8


2/7

6.2 MTODOGRFICOPARALACONSTRUCCINDEDIAGRAMASDEFUERZACORTANTEYDEMOMENTO 26

Al dividir entre xy tomar el lmite cuando xg0, las dos ecuaciones

anteriores se convierten en

M = Vx + w1x2k1x22

-Vx - M - w1x2x[k1x2] + 1M + M2 = 0d+ MO = 0;

V = w1x2x

V + w1x2x - 1V + V2 = 0+ c Fy = 0;

(6-1)

(6-2)

=

dM

dx = V

pendiente del diagramade fuerza cortante

en cada punto

pendiente del diagrama

de momento en

cada punto

intensidad de lacarga distribuida

en cada punto

fuerza cortante

en cada

punto

=

dV

dx = w1x2

Estas dos ecuaciones proporcionan un medio conveniente para obte-

ner rpidamente los diagramas de fuerza cortante y de momento para una

viga. La ecuacin 6-1 establece que en un punto lapendiente del diagrama

de fuerza cortante es igual a la intensidad de la carga distribuida. Por ejem-

plo, considere la viga de la figura 6-9a. La carga distribuida es negativa y

aumenta desde cero hasta wB. Por lo tanto, el diagrama de fuerza cortante

ser una curva con pendiente negativa, la cual aumenta desde cero has-

ta -wB. En la figura 6-9b se muestran las pendientes especficas w

A=0,

-wC-wDy wB.

De manera similar, la ecuacin 6-2 establece que en un punto la pen-

dientedel diagrama de momento es igual a la fuerza cortante. Observe

que el diagrama de fuerza cortante en la figura 6-9b comienza en +VA

,

decrece hasta cero y luego pasa a ser negativo y disminuye hasta -VB. El

diagrama de momento tendr entonces una pendiente inicial de +VA

que

decrece hasta cero, despus la pendiente se vuelve negativa y disminuye

hasta -VB. En la figura 6-9cse muestran las pendientes especficas V

A, V

C,

VD

, 0 y -VB.

ww(x)

A

C D

wB

0

0

V

VA

VA

VC

VD

M

wC

wD

(a)

(b)

(c)

w= incremento negatpendiente = incremento

V = decremento positivopendiente = decremento pos.

Figura 6-9


3/7

264 CAPTULO6 FLEXIN

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

Las ecuaciones 6-1 y 6-2 tambin pueden rescribirse en la forma dV=

w(x) dxy dM=Vdx. Si se tiene en cuenta que w(x) dxy Vdxrepresentan

reas diferenciales bajo la carga distribuida y el diagrama de fuerza cor-

tante, respectivamente, es posible integrar estas reas entre dos puntos

cualesquiera Cy Dde la viga, figura 6-9d, y escribir

La ecuacin 6-3 establece que el cambio en la fuerza cortanteentre Cy D

es igual al reabajo la curva de la carga distribuida entre esos dos puntos,

figura 6-9d. En este caso, el cambio es negativo ya que la carga distribuida

acta hacia abajo. Del mismo modo, a partir de la ecuacin 6-4, el cambio

en el momento entre Cy D, figura 6-9f, es igual al rea bajo el diagrama de

fuerza cortante en la regin entre Cy D. Aqu, el cambio es positivo.

Como las ecuaciones anteriores no se aplican en los puntos donde ac-

ta una fuerza o un momento concentrado, a continuacin se considerar

cada uno de estos casos.

Regiones de fuerza y momento concentrados. En la figura

6-10bse muestra un diagrama de cuerpo libre de un pequeo segmento dela viga mostrada en la figura 6-10a; el segmento se tom por debajo de la

fuerza. Aqu se puede ver que el equilibrio de fuerzas requiere

(6-3)

(6-4)

=

M = LV1x2dx

cambio en la

fuerza cortante

cambio en

momento

rea bajo la

carga distribuida

rea bajo el diagrama

de fuerza cortante

=

V = Lw1x2dx

(6-5)V = F

V + F - 1V + V2 = 0+ c Fy = 0;

M + M - M0 - Vx - M = 0d+ MO = 0;

(6-6)M = M0

As, cuando Facta hacia arribasobre la viga, Vespositivopor lo que la

fuerza cortante saltar hacia arriba. Del mismo modo, si Facta hacia

abajo, el salto (V) ser hacia abajo.

Cuando el segmento de viga incluye al momento M0, figura 6-10b, en-

tonces el equilibrio de momentos requiere que el cambio en el momento

sea

Si se hace que xS0, se obtiene

En este caso, si M0se aplica ensentido horario, Mespositivopor lo que

el diagrama de momento saltar hacia arriba. Del mismo modo, cuando

M0acta ensentido antihorario, el salto (M) ser hacia abajo.

(d)DC

x

x

V

DC

DC

(e)

(f)

M

V

M

Fig. 6-9 (cont.)

F

V

V V

M M

x

(a)

M

M

(b)

M0

O

V

V V

M M

x

Figura 6-10


4/7


Procedimiento de anlisis

El siguiente procedimiento proporciona un mtodo para construir

los diagramas de fuerza cortante y de momento para una viga, con

base en las relaciones entre carga distribuida, fuerza cortante y mo-

mento.

Reacciones en los apoyos.

Determine las reacciones de apoyo y descomponga las fuerzas

que actan sobre la viga en sus componentes perpendiculares y

paralelas al eje de la viga.

Diagrama de fuerza cortante.

Establezca los ejes Vyx,y grafique los valores conocidos de la

fuerza cortante en los dos extremos de la viga.

Observe cmo varan los valores de la carga distribuida a lo lar-

go de la viga, y note que cada uno de estos valores indica la pen-diente que tendr el diagrama de fuerza cortante (dV>dx=w).

Aqu wes positiva cuando acta hacia arriba.

Si debe determinarse un valor numrico para la fuerza cortante

en un punto dado, tal valor puede encontrarse mediante el m-

todo de las secciones y la ecuacin de equilibrio de fuerzas, o

bien por medio de V=w(x) dx, que establece que el cambio

en la fuerza cortanteentre dos puntos cualesquiera es igual al

rea bajo el diagrama de cargaentre esos dos puntos.

Diagrama de momento.

Establezca los ejes Myx,y grafique los valores conocidos delmomento en los extremos de la viga.

Observe cmo varan los valores del diagrama de fuerza cortan-

te a lo largo de la viga, y tenga en cuenta que cada uno de estos

valores indica la pendiente que tendr el diagrama de momento

(dM>dx=V).

En el punto donde la fuerza cortante es cero, dM>dx=0; por lo

tanto, en este punto ocurre un momento mximo o mnimo.

Si debe determinarse un valor numrico para el momento en un

punto dado, tal valor puede encontrarse mediante el mtodo de

las secciones y la ecuacin de equilibrio de momentos, o bienpor medio de M=V(x)dx, que establece que el cambio en el

momento entre dos puntos cualesquiera es igual al rea bajo

el diagrama de fuerza cortanteentre esos dos puntos.

Como w(x) debe integrarsea fin de obtener V, y V(x) se inte-

gra para obtener M(x), entonces si w(x) es una curva de grado

n, V(x) ser una curva de grado n +1 y M(x) ser una curva de

grado n+2. Por ejemplo, si w(x) es uniforme, V(x) ser lineal y

M(x) ser una parbola.


5/7

266 CAPTULO6 FLEXIN

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

EJEMPLO 6.5

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga

mostrada en la figura 6-11a.

SOLUCINReacciones en los apoyos. La reaccin en el soporte fijo se mues-tra en el diagrama de cuerpo libre, figura 6-11b.

Diagrama de fuerza cortante. Primero se representa la fuerzacortante en cada extremo de la viga, figura 6-11c. Como no hay carga

distribuida sobre la viga, la pendiente del diagrama de fuerza cortante

es cero, tal como se indica. Observe que la fuerza Pen el centro de la

viga hace que el diagrama de fuerza cortante salte en forma descenden-

te una cantidad P, dado que esta fuerza acta hacia abajo.

Diagrama de momento. Se grafican los momentos en los extre-mos de la viga, figura 6-11d. Aqu el diagrama de momento consta de

dos lneas inclinadas, una con pendiente de +2Py la otra con pendiente

de +P.

El valor del momento en el centro de la viga puede determinarse

por el mtodo de las secciones, o con base en el rea bajo el diagrama

de fuerza cortante. Si se elige la mitad izquierda del diagrama de fuerza

cortante,

M x=L = -3PL + (2P)(L) = -PL

M x=L = M x=0 + M

(a)

L

PP

L

P

2P

2P

3PL

P

V

P

x

M

x

3PL

PL

w0pendiente0

Vconstante positivapendienteconstante positiva

(b)

(c)

(d)

fuerza Phacia abajosalto Phacia abajo

Figura 6-11


6/7


EJEMPLO 6.6

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para la viga

mostrada en la figura 6-12a.

SOLUCIN

Reacciones en los apoyos. Las reacciones se muestran en eldiagrama de cuerpo libre de la figura 6-12b.

Diagrama de fuerza cortante. En primer lugar se representa lafuerza cortante en cada extremo, figura 6-12c. Como no hay carga dis-

tribuida sobre la viga, el diagrama de fuerza cortante tiene pendientecero y por lo tanto es una lnea horizontal.

Diagrama de momento. El momento es igual a cero en cada unode los extremos, figura 6-12d. El diagrama de momento tiene una pen-

diente constante negativa de M0>2Lpuesto que es la fuerza cortante

en cada punto de la viga. Observe que el momento de par M0ocasiona

un salto en el diagrama de momento justo en el centro de la viga, pero

no afecta al diagrama de fuerza cortante en ese punto.

(a)

L L

M0

(b)

(c)

V

(d)

M

x

x

L L

M0

M0/2LM0/2L

M0 /2

M0/2

M0/2L

w0pendiente0

Vconstante negativapendienteconstante negativa

momento M0ensentido horario

salto positivo M0

Figura 6-12


7/7

268 CAPTULO6 FLEXIN

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

EJEMPLO 6.7

Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento para cada una

de las vigas mostradas en las figuras 6-13ay 6-14a.

SOLUCINReacciones en los apoyos. Las reacciones en el soporte fijo semuestran en cada diagrama de cuerpo libre de las figuras 6-13by 6-14b.

Diagrama de fuerza cortante. En primer lugar se representa lafuerza cortante en cada punto extremo, figuras 6-13cy 6-14c. La carga

distribuida en cada viga indica la pendiente del diagrama de fuerza cor-

tante y produce as los perfiles mostrados.

Diagrama de momento. Primero se representa el momento encada punto extremo, figuras 6-13dy 6-14d. Los diferentes valores de la

fuerza cortante en cada punto de la viga indican la pendiente del diagra-

ma de momento en ese punto. Tenga en cuenta que esta variacin pro-duce las curvas mostradas.

NOTA: Observe cmo el grado de las curvas de w, Vy Maumenta

debido a la integracin de dV=w dxy dM=V dx. Por ejemplo, en la

figura 6-14, la carga distribuida

lineal produce un diagrama de

fuerza cortante parablica y un

diagrama de momento cbico.

(a)

L

w0

(b)

w0L

w0

w0L2

2

(c)

V

x

w0L

Vdecremento positivopendiente = decremento positivo

(d)

M

x

w0L2

2

wconstante negativa (w0)pendiente = constante negativa (w0)

w0

(a)

L

(b)

w0

w0L2

w0L2

6

(c)

0

V

x

w0L

2

(d)

M

x

w0L2

6

Vdecremento positivopendientedecremento positivo

wdecremento negativopendientedecremento negativo

Figura 6-14Figura 6-13

Documents

3.1.1 Flexion Método Gráfico