31-Matematicas IIIx

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31

Humanidades

PREPARATORIA

ABIERTA

MÉXICO

MATEMÁTICAS III



31 MATEMÁTICAS III

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2

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

MODULO 1Ecuación lineal con dos variables

Es el turno ahora de estudiar un tipo de relaciones a las que nos enfrentaremosfrecuentemente, tanto en matemáticas como en otras ciencias. Estas relaciones sondefinidas por medio de igualdades llamadas ecuaciones lineales o ecuaciones de primer grado con dos variables que usualmente serán x,y.

Definición (Ecuación lineal)Una ecuación lineal o una ecuación de primer grado en x, y es cualquier ecuaciónequivalente a una de la forma Ax + By + C= 0, en donde A, B, y C son constantesreales tales que A, B no sean ambas cero.

Ejemplo 1. 2x – 3y- 12= 0 es una ecuación lineal en donde A= 2, B = -3 y C = -12.Ejemplo 2. 2y - x = 0 es una ecuación lineal en donde A= -1, B = 2 y C = 0.

Llamaremos solución de la ecuación lineal a todo par ordenado (x, y ) concomponentes reales, los cuales al sustituir en las variables de la ecuación, hacencierta igualdad.

Ejemplo 1. (0, -4) es una solución de la ecuación 2x -3y -12= 0, porque al sustituir(0,4) en x, y de la ecuación, se da la igualdad.2x -3y -12= 02(0) -3(-4) -12=0

0+12-12=00=0

Ejemplo 2. (2,1) es una solución de la ecuación 2y – x =0, porque al sustituir (2,1) enx, y de la ecuación, se da la igualdad.2y -x =02(1) -(2)=02-2=00=0

La gráfica de una ecuación lineal es la gráfica de su conjunto de solución y esta

siempre nos representará una línea recta en el plano cartesiano. Como es una rectay una recta queda determinada si se conocen dos de sus puntos, entonces lasgráficas de estas ecuaciones las podemos obtener graficando en el plano dos desus soluciones y trazando después la recta que pasa por esos puntos.

Ejemplo. Graficar la ecuación 2x -3y -12= 0Si x =0 entonces 2x -3y -12= 0

2(0) – 3y -12=00 – 3y -12=0-12= 3y 12 = y 3

-4 = y lo que nos da la solución (0,-4)



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3

Si y = 0 entonces 2x -3y -12= 02x -3(0) -12=02x -0-12=02x = 12x = 12

2

x = 6 lo que nos da la solución (6,0)

La gráfica de la ecuación 2x -3y -12= 0 es la recta que pasa por los puntos (0,-4)(6,0)

MODULO 2Pendiente y Ordenada en el Origen, Familias de Rectas

Toda ecuación lineal de la forma Ax + By + C= 0 se puede ver también como y = mx + b, donde m es la pendiente y se calcula con m = A y b es la ordenada en elorigen y se obtiene con b = - C B

B

Ejemplo. Calcular la pendiente (m ) y la ordenada en el origen (b ) de la ecuación 6x + 3y + 2=0.Solución. En la ecuación 6x + 3y + 2=0, A =6, B = 3 y C =2, por lo tantom = A = - 6 = - 2 y b = - C = - 2

B 3 B 3

Ya establecimos que una ecuación lineal y = mx +b representa una recta para

valores fijos de m y b. Consideramos un caso particular: sea b = 1 y dejemos a m enlibertad de tomar cualquier valor, la gráfica obtenida es la siguiente:

(6,0)

(0,-4)

y

X



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El conjunto de todas las rectas con la ecuación y = mx +1 se le conoce como unafamilia de rectas, por que tienen en común la ordenada en el origen b = 1.Supongamos ahora que mantenemos fijo el valor m y dejemos que b sea variable;determinamos así la otra familia de rectas, en la cual todas tienen la mismapendiente, y por tanto son paralelas; así y = 2x +b representa la siguiente familia de

rectas:

MODULO 3Sistema de ecuaciones 2x2

Sabemos que una ecuación de la forma Ax + By + C= 0 tiene un número infinito desoluciones. En este modulo nos corresponde analizar el conjunto solución para unsistema de dos ecuaciones con dos incógnitas de la forma:

Lo que buscamos son los pares ordenados (x, y ) que satisfagan simultáneamenteambas ecuaciones. Como ya sabemos la gráfica de toda ecuación lineal es unalínea recta, así que se pueden presentar tres casos diferentes cuando tenemos dosecuaciones lineales.

CASO 1. Dos rectas que se interceptan en un solo punto .En este caso tenemos una solución única. Ejemplo:

A1x+B1y+C1=0A2x+B2y+C2=0

Y

X

x – y – 4 = 0

x + y - 2=0S (3,-1)

X

Y



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CASO 2. Dos rectas paralelas. En este caso no tenemos soluciones. Ejemplo:

CASO 3. Dos rectas coincidentes .En este último caso se tienen infinitas soluciones. Ejemplo:

Solución de un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

Varios son los métodos que se usan para resolver sistemas de ecuaciones lineales,nosotros nos concentraremos a analizar solamente dos; gráfico y suma y resta.

Método gráficoPara usar este método, es necesario recordar como graficar una ecuación lineal,luego como son dos ecuaciones, entonces tenemos dos rectas, donde la solución

del sistema (si tiene) es la intersección de las rectas.Ejemplo: resolver el sistema

Solución: para graficar la primera ecuación encontraremos dos puntos por dondepase.Si x = 0, entonces 3x + 2y -6 =0

3(0) + 2y -6 =00 + 2y -6 =02y =6

y = 6 =3 por lo tanto tenemos (0,3)2

3 x + 2 y -6 =0 x -2 y -6 =0

X

Y

X

Y

x-y+2=0

x-y-2=0

4x+2y-8=0

2x+2y-4=0



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6

Si y = 0, entonces 3x + 2y -6 =03x + 2(0) -6 =03x + 0 - 6 =03x =6x = 6 =2 por lo tanto tenemos (2,0)

3

Análogamente para la segunda ecuaciónSi x = 0, entonces x -2y -10 =0

0 -2y -10 =0-2y =10y = 10 = -5 por lo tanto tenemos (0,-5)

-2

Si y = 0, entonces x -2y -10 =0x -2(0) -10 =0x -0 -10 =0x =10 por lo tanto tenemos (10,0)

Luego si graficamos ambas rectas obtenemos que la solución se encuentra en laintersección de las rectas.

Método de suma y resta.

Ejemplo: resolver el sistema

Solución: para eliminar a la variable y, multipliquemos la ecuación (1) por 2 y la

ecuación (2) por 3 y luego sumemos.(2x +3y =7) (2) 4x + 6y =14(3x +2y =4) (3) 9x – 6y =12

13x =26x = 26 x = 2

13

Para encontrar y , sustituimos a x en alguna ecuación.2x + 3y = 72(2) + 3y = 74 + 3y = 73y = 7 – 4

3y = 3 y = 3 y =13

2 x +3 y =7……...(1)3 x +2 y =4……...(2)

X

Y3x+2y-6 = 0

x-2y-10 = 0

S (4,3)



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MODULO 4Desigualdades lineales.

A un sistema de dos o más desigualdades de la forma Ax + By + C > 0 ó Ax + By +C < 0 se le llama un sistema de desigualdades lineales con dos incógnitas.

La gráfica de una desigualdad son todos los puntos localizados en la mitad de unplano y por lo tanto, la gráfica de un sistema de desigualdades es la intersección delas dos mitades de planos que representan las gráficas de cada una de lasdesigualdades lineales.Ejemplo 1. Graficar la desigualdad x + y -2 < 0Solución. Primero necesitamos encontrar las intersecciones con los ejescoordenados, considerándola como una ecuación, esto es x + y -2 = 0Para interceptar con el eje x se hace y = 0x + y -2 = 0x + 0 -2 = 0x -2 = 0x = 2 Así la intersección con el eje x es (2,0)

Para interceptar con el eje x se hace x = 0x + y -2 = 00 + y -2 = 0y -2 = 0y = 2 Así la intersección con el eje y es (0,2)Como la desigualdad es <, entonces son todos los puntos por debajo (ó izquierda)de la inecuación o desigualdad. Gráficamente tenemos:

Ejemplo 2. Resolver el siguiente sistema de inecuaciones lineales.

Solución. Primero encontremos las intersecciones con los ejes de la primera

desigualdad.Para el eje x (y = 0). x - 2y =-4

x -2 > -42 x + y < 2

X

Y



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x -0 = -4x = -4 una intersección es (-4,0)

Para el eje y (x = 0). x - 2y =-40 -2y =-4-2y = -4

y = -4 = 2 otra intersección es (0,2)-2

Ahora para la segunda inecuaciónPara el eje x (y =0). 2x + y = 2

2x + 0 = 22x = 2x = 2 = 1 una intersección es (1,0)

2

Para el eje y (x = 0). 2x + y = 20 + y = 2y = 2 otra intersección es (0,2)

Gráficamente, la solución al sistema de desigualdades es la que se encuentra condoble sombreado.

UNIDAD X NUMEROS COMPLEJOS

MODULO 5Números complejos, suma de complejos.

La ecuación x 2 + 1 = 0, no tiene solución dentro del conjunto de los números realesR, puesto que ningún número real x al elevarlo al cuadrado y luego sumarle launidad da cero. Las soluciones de las ecuaciones de este tipo están contenidasdentro de un conjunto al cual llamamos el conjunto de números complejos y se

denota por C.

X

Y



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Definición (Número complejo).Un número complejo es un par ordenado por componentes reales a, b . en términosde conjuntos tenemos C = { z | z= (a, b ), a, b E R}.

Cada número complejo se puede representar geométricamente en el plano

cartesiano como un punto de R2.

Ejemplo. La gráfica de los números complejos z1 = (-3, 0), z2 = (1, 2), z3 = (2, 1), z4 =(3, -3), z5 = (-1, 4) es:

Nota: Un número complejo de la forma z = (a, b ) también se puede encontrar comoz = a + bi , donde a se le conoce como la parte real y b como la parte imaginaria.

Ejemplo 1. Otra forma de escribir el complejo z = (2, 5) es z = 2 + 5i .

Ejemplo 2. Otra forma de escribir el complejo z = (6, 3) es z = 6 – 3i.

Definición.Dos números complejos son iguales si y solo si tiene el mismo primer componente ytambién son iguales sus segundos componentes.

Ejemplo. Los números complejos (x, y) y (2, 3) son iguales si y solo si x = 2 y y = 3

SUMA DE NUMEROS COMPLEJOS

Definición (suma de complejos).

Sean z1, z2 E C de la forma z1 = (a 1, b 1) y z2 = (a 2 , b 2 ), entonces la suma de loscomplejos z1 y z2 queda determinada por z1 + z2 = (a 1 + a 2 , b 1 + b 2 ).

Ejemplo 1. Encontrar la suma de (1,2) y (3,-4).Solución. (1,2) + (3,-4) = (1 + 3, 2 + (-4)) = (1 + 3, 2 -4) = (4, -2).Ejemplo 2. Encontrar la suma de (-3, 4) y (1, -2).Solución. (-3, 4) + (1, -2) = (-3 + 1, 4 + (-2)) = (-3 + 1, 4 -2) = (-2, 2)

MODULO 6Resta y multiplicaciones de complejos

Resta de números complejos.Definición (resta de complejos)

X

Y



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Sean z1, z2 E C de la forma z1 = (a 1, b 1) y z2 = (a 2 , b 2 ), entonces la resta de loscomplejos z1 y z2 queda determinada por z1 – z2 = (a 1 – a 2 , b 1- b 2 ).

Ejemplo 1. De (6,7) restar (3, 1).Solución. (6,7) – (3,1) = (6,-3, 7-1) = (3,6).

Ejemplo 2. De (1,2) restar (-3, -4).Solución (1,2) – (-3, -2) = (1 – (-3), 2 – (-4)) = (1 + 3, 2 + 4) = (4,6).

Multiplicación de números complejos.Sean z1, z2 E C de la forma z1 = (a 1, b 1) y z2 = (a2, b2), entonces la multiplicación delos complejos z1 y z2 = (a 1, b 1) (a 2 , b 2 ) = (a 1a 2 – b 1b 2 , a 1b 2 + a 2 b 1).Ejemplo 1. Multiplicar (2,3) y (0,1)Solución. (2,3)(0,1) = ((2)(0) – (3)(1), (2)(1) + (3)(0)) =(0 -3, 2 +0) = (-3,2)Ejemplo 2. Multiplicar (3, -1) y (2,5)Solución (3, -1)(2,5) = ((3)(2) – (-1)(5), (3)(5) + (-1) (2)) = (6 +5, 15 – 2) = (11, 13)Ejemplo 3. Desarrollar (3,1)2.Solución (3,1)2 = (3,1)(3,1) = ((3)(3) - (1)(1), (3)(1) + (1)(3)) = (9 – 1,3 +3) = (8, 6)

MODULO 7Cociente y conjugado de números complejos.

Cociente de números complejos.Sean z1, z2 E C de la forma z1 = (a 1, b 1) y z2 = (a 2 , b 2 ), entonces el cociente de loscomplejos z1 y z2 queda determinada por:z1 (a 1,b 1) a 1a 2 +b 1b 2 a2b1 – a1b2 z2

= (a 2 ,b 2 ) a 2 + b 2 a 2 + b 22

2

2

2

Ejemplo 1. Dividir (1,-3) entre (1,2)Solución

Solución del ejemplo 1 del modulo 7

1,31, 2

11 321 2 ,

13 121 2

1 61 4 ,

3 21 4

55 ,

55 1,1

Ejemplo 2. Dividir (3,1) entre (-2,7)

3, 12,7 32 17

2 7 , 21 372 7 6 7

4 4 9 , 2 214 4 9 1

53 , 2353

,



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Definición (Conjugado de un número complejo )Un número complejo se dice que es el conjugado de otro, si la única diferenciaentre ellos es el signo de la parte imaginaria. Si z= a+bi , entonces su conjugado es= a-bi .

Ejemplo 1. El conjugado de z = 3 + 4i es z = 3 - 4iEjemplo 2. El conjugado de z = 1 – i es z = 1 + i

MODULO 8Valor Absoluto de Complejos

En la representación geométrica de los números complejos, se acostumbra llamarplano complejo al plano cartesiano, don el eje de las x’s es ahora el eje real y el ejede las y’s es ahora el eje imaginario , gráficamente tenemos.

Ejemplo. Graficar los siguientes complejos: a) 2 + 5i, b) -2 -2i, c) -2 + 4i, d) 4 – 3i

La abscisa y la ordenada de un número complejo son los catetos de un triángulorectángulo cuya hipotenusa es el segmento de dicho número con el origen; el

teorema de Pitágoras nos permite afirmar que la distancia entre el número y elorigen es √ ; a esta magnitud se le conoce como el valor absoluto de z, se

denota por || y se define como || | | √

Ejemplo 1. Calcular el valor absoluto de z = 2 + 41

Solución: |2 4 | √ 2 4 √ 4 1 6 √ 20

Ejemplo 2. Calcular el valor absoluto de z = -7 -3i

Solución: | 7 3| 7 3 √ 4 9 9 √ 58

Ejemplo 3. Calcular el valor absoluto de z = 3 – 4iSolución: |3 4 | 3 4 √ 9 1 6 √ 25 = 5



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UNIDAD XI FUNCIONES CUADRATICASMODULO 9

Grafica, vértice y concavidad de parábolas

Consideraremos ahora un segundo tipo de función a la que llamaremos función cuadrática .Definición (Función cuadrática )Una función cuadrática es una función f definida por la ecuación de segundo grado.f(x) = ax 2 + bx +c, a, b, c , a 0

La grafica de toda ecuación cuadrática se llama parábola y sus ramas puedenextenderse hacia arriba o hacia abajo.

Ejemplo 1. Graficar la función f(x) = 2x 2 – 8x +6 Solución: sustituyendo algunos valores en x de la ecuación tenemos:Si 1 , entonces 2 1 81 6 2 8 6 1 6 Si 0 , entonces 2(0 80 6 0 0 6 6 Si 1 , entonces 2 1 81 6 2 8 6 0 Si 2 , entonces 2 2 82 6 8 1 6 6 2 Si 3 , entonces 2 3 83 6 1 8 2 4 6 0 Si 4 , entonces 2 4 84 6 3 2 3 2 6 6 Si 5 , entonces 2 5 85 6 5 0 4 0 6 1 6 Los valores obtenidos en una tabla serían:x -1 0 1 2 3 4 5y 16 6 0 -2 0 6 16

Graficando los puntos y uniéndolos con una línea suave, obtenemos la siguienteparábola:

Ejemplo 2. Graficar la función f(x) = -2x 2 – 8x + 6 Solución: sustituyendo algunos valores en x de la ecuación tenemos:Si

5 ,entonces

25

85 6 5 0 4 0 6 4

Si 4 , entonces 24 84 6 3 2 3 2 6 6 Si 3 , entonces 23 83 6 1 8 2 4 6 1 2 Si 2 , entonces 22 82 6 8 1 6 6 1 4 Si 1 , entonces 21 81 6 2 8 6 1 2 Si 0 , entonces 20 80 6 0 0 6 6 Si 1 , entonces 21 81 6 2 8 6 4 Los valores obtenidos en una tabla serían:x -5 -4 -3 -2 -1 0 1y -4 6 12 14 12 6 -4

Graficando los puntos y uniéndolos con una línea suave, obtenemos la siguienteparábola:



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Definición (Concavidad )Una parábola de la forma y =ax 2 +bx +c es cóncava hacia arriba cuando a > 0 y escóncava hacia abajo cuando a < 0.

Ejemplo 1. Determinar la concavidad de la parábola

2

8 6

Solución: Como 2 0 , entonces 2 8 6 es cóncava hacia arriba.

Ejemplo 2. Determinar la concavidad de la parábola 2 8 6 Solución: Como 2 0 , entonces 2 8 6 es cóncava hacia abajo.

Definición (Vértice de una parábola )

Una parábola de la forma y =ax 2 +bx +c, tiene vértice en el punto ,

Ejemplo 1. Encontrar el vértice de la parábola 2 8 6

Solución: V ,

,

, , 2,2

Ejemplo 2. Encontrar el vértice de la parábola 2 8 6

Solución: V ,

,

,

,

2,14

MODULO 10Solución de ecuaciones/inecuaciones cuadráticas.

Toda función cuadrática que representa una parábola, puede interceptar al eje x endos puntos distintos, ser tangente al eje ó en el peor de los casos no interceptarlo.

Lo que nos interesa ahora es determinar sus raíces o ceros, es decir aquellosvalores de x que hacen que ax 2 +bx +c = 0 intercepte al eje x , para esto disponemosde algunos métodos.

Método Gráfico En este método lo que nos interesa es conocer donde la gráfica intercepta al eje x ,para esto es necesario tener la grafica de la función.

Ejemplo. Resolver 2 8 6 0 por el método graficoSolución: sabemos ya que la grafica de 2 8 6 es



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Luego, los puntos donde intercepta al eje x son el 1 y el 3, por tanto la solución de laecuación es 2 8 6 0 es 1 y 3

Método de factorización Este método solo lo utilizaremos cuando la ecuación ax 2 +bx +c sea fácil defactorizar, está basado en el hecho de que cada factor se puede igualar a cero si elproducto de los factores es igual a cero. Para aplicar este método es necesariorecordar como factorizar un trinomio de la forma x 2 + bx + c y de la forma ax 2 +bx +c.

Ejemplo 1. Resolver por el método de factorización la ecuación 5 6 0 Solución: Como 5 6 0 factorizando queda 3 2 0 luego

3 0

3

2 0 2

Ejemplo 2. Resolver por el método de factorización la ecuación 10 1 7 3 0 Solución: Como 10 1 7 3 0 1010 1710 310 0 100 17 3 0 0 10151 0 2 0 10151 0 2 0 10151 0 2 0

2

351

0

2 3 0 2 3

5 1 0 5 1

Método de la formula general En muchos casos se presentan serias dificultades para descomponer en factores laecuación cuadrática (no tienen factores reales), por lo que el método más simplepara resolver estas ecuaciones es el de la formula general.

Definición .Una ecuación de la forma ax 2 +bx +c = 0, tiene por solución a:

, √

Ejemplo. Resolver por la formula general la ecuación 2 6 0 Solución: En este caso 2, 1 6, luego sustituimos y queda:

, √

√ √

2

Inecuaciones cuadráticas



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Las inecuaciones cuadráticas que a continuación resolveremos tienen la forma 0 ó 0. Los métodos a utilizar son el gráfico y elalgebraico.

Método gráfico

Cuando la inecuación tiene la forma 0, lo que nos interesa saber esel intervalo donde la función no es negativa, es decir los valores de x para que y seano necesariamente negativa.Caso contrario cuando, cuando tenemos la forma 0, lo que nosinteresa saber es el intervalo donde la función donde la función es no positiva, esdecir los valores de x para que y sea necesariamente no positiva. En ambos casos,para determinar el intervalo es necesario tener previamente la gráfica.

Ejemplo 1. Resolver la siguiente inecuación 2 8 6 0 . Solución: La gráfica se comporta de la siguiente manera:

Los valores que hacen que la gráfica sea positiva son | 1 ó 3 Ejemplo 2. Resolver la siguiente inecuación 2 8 6 0 . Solución: En base a la grafica del ejemplo 1 los valores que hacen que la gráficasea negativa son | 1 3 Método algebraico La solución por este método es semejante al de ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo 1. Resolver por el método algebraico la siguiente inecuación 5 6 0 Solución: 5 6 0

3 2 0

Para que el producto de dos factores sea positivo ó los dos son positivos (caso 1) ólos dos son negativos (caso2).

Caso 1 3 0 3 Y | 3 2 0 2

Caso 2 3 0 3 Y | 2 2 0 2

Por lo tanto la solución de esta desigualdad es | 3 | 2 | 2 ó 3



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Ejemplo 2. Resolver por el método algebraico la siguiente inecuación 2 8 6 0 . Solución: 2 8 6 0 22 28 2 6 0

4

82 1 2 0

2 6 2 2 0

0

3 1 0 Para que el producto de dos factores sea negativo deben tener signos contrarios.Caso 1 3 0 3

Y 1 0 1

Caso 2 3 0 3 Y | 1 3 1 0 1 Por lo tanto la solución de esta desigualdad es | 1 3 | 1 3

MODULO 11Ecuaciones con radicales

Estudiaremos ahora un tipo de ecuaciones en las que la variable puede aparecer

dentro de un radical de segundo orden, por ejemplo

√ 1 1 √ 2 2 ó √ 1 3. El método consiste en dejar de un solo lado el radical y después elevaral cuadrado ambos miembros de la ecuación para desaparecer la raíz, despuésresolver la ecuación resultante por alguno de los métodos ya conocidos.

Ejemplo 1. Resolver √ 3 4 4

Solución: √ 3 4 2 = 42

3 4 1 6 3 1 6 4 3 1 2

4

4

Ejemplo 2. Resolver √ 5 √ 3 2

√ 5 2 √ 3

√ 5 2 = 2 √ 3 2

5 2 22√ 3 √ 3 2

5 4 4√ 3 3

5 4 3 4√ 3

4 4√ 3

4

√ 3 2

1 6 1 6 3 1 6 1 6 4 8



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1 6 4 8 1 6 64 16

4

4

Ejemplo 3. Resolver √ 3 √ 8 1 1

√ 3 √ 8 1 1

√ 3 2 √ 8 1 1 2

3 √ 8 1 2 2√ 8 1 1 1

3 8 1 2√ 8 1 1

2√ 8 1 8 1 1 3

2√ 8 1 7 1

2√ 8 1 2 7 1

48 1 49

1 4 1

3 2 4 4 9 1 4 1 49 3 2 1 4 4 1 0 49 4 6 3 01 49 4 6 3 0 por la formula general 4 9 4 6 3

, √ 42 46 46 4493

249 46 √ 211658898

46 √ 270498 4 6 5 2

98

1

MODULO 12Sistemas de ecuaciones; una cuadrática y una lineal.

En esta ocasión estudiaremos los métodos para resolver sistemas de ecuaciones dela forma:

0

Donde a, b, c, d, e, f, g, h, k son todas constantes. Los métodos que utilizaremosson el gráfico y el algebraico.

Método Gráfico Como cada ecuación representa un conjunto de puntos (gráfica), entonces laintersección de estas gráficas es la solución de nuestro sistema.

Ejemplo. Resolver por el método gráfico el sistema 2 8 6 02 2

Solución: primero grafiquemos la parábola.Sustituyendo algunos valores en x de la ecuación tenemos:Si 1 , entonces 21 81 6 2 8 6 1 6

Si 0 , entonces 2 0 80 6 0 0 6 6 Siguiendo con el procedimiento se obtiene la siguiente tabla.



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1 0 1 2 3 4 5 16 6 0 2 0 6 16 Graficando los puntos y uniéndolos con una línea suave, obtenemos la siguienteparábola:

Ahora grafiquemos la recta.Intersección con el eje 0 2 2

2 2 1 1

Intersección con el eje

0

2

2 2 Por lo tanto las intersecciones de ambas gráficas se dan en los puntos (1, 0) (4, 6)entonces la solución al sistema es (1, 0) (4, 6)

Método algebraicoEste método consiste en resolver para una de las variables en función de la otra la

ecuación lineal y sustituir esa expresión en la ecuación cuadrática, quedando conesto una ecuación cuadrática con una sola variable, la que resolveremos porcualquiera de los métodos ya conocidos. Sustituyendo estos valores en la ecuaciónlineal, obtenemos la solución completa del sistema.

Ejemplo 2. Resolver por el método algebraico el sistema 2 8 6 0 … 12 2 … … … 2

Solución: Despejando a y de la ecuación (1) tenemos: 2 2 … … … … 3 Sustituyendo (3) en la ecuación (4), tenemos: 2 8 6 0 2 2 2 8 6 0

2 2 2 8 6 0 2 1 0 8 0 Resolviendo por formula general con 2 , 1 0 8 se tiene que lassoluciones para x son:

, √

√ √

4

1

Por lo tanto la solución al sistema es , es decir (4,6)(1,0)

UNIDAD XII FUNCIONES POLINOMIALESMODULO 13



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19

Suma y producto de funciones polinomiales.

Una función polinomial es de la forma . Donde n es un numero no negativo y ,, … , son números

reales o complejos. A cada monomio

se le conoce como termino del polinomio.

Si , entonces decimos que la función es de grado n . algunas operacionespermitidas con funciones polinomiales son la suma y el producto.

Suma de funciones polinomialesDefiniciónSi , entonces la suma de denotada por es: . Ejemplo. Sumar 4 3 1 con 3 2 4 . Solución:

4 0 3 0 1 4 3 5 1 5

Multiplicación de funciones polinomiales.

La multiplicación de funciones polinomiales se efectúa igual que la multiplicación depolinomios.

Ejemplo multiplicar 4 3 con 3 2 2 Solución:4 3

x 8 6 2 4 3 8 6 2

12 17 13 3 5 2

MODULO 14Residuo de la división y teorema del residuo.

Definición (Algoritmo de la división).Sean a y b dos números enteros con 0 , entonces existen dos números únicos q y r tales que , donde 0 . En la división de a entre b , a se llamadividiendo, b se le llama divisor, q cociente y r residuo.



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Usemos ahora el algoritmo de la división para funciones polinomiales.

Ejemplo: Encontrar el cociente y el residuo cuando 5 4 2 se divide por 3

Solución:

3 2 0 2 6 6 4 6 18 142 1442 44 Por lo tamto el cociente es

2

6 1 4y es residuo es -44

Cuando una función polinomial se divide por un binomio de la forma , esposible aplicar el teorema del residuo.Teorema (del residuo).Si un polinomio se divide por un binomio de la forma , entonces el residuoes .

Ejemplo. Encontrar el residuo cuando 5 4 2 se divide por 3.Solución: Como 5 4 2 y 3, entonces el residuo es 3.

3 3 5 43 2 8 1 1 3 5 1 2 2 4 4 Por lo tanto el residuo es -44

MODULO 15División sintética y teorema del factor.

Algunas veces es necesario dividir una función polinomial por un binomio de laforma . Cuando tenemos este caso, el trabajo de la división se simplifica siusamos el proceso de división sintética, el cual consiste en solamente trabajar conlos coeficientes de la función.

Ejemplo 1. Dividir 2 5 3 2 1 por 2 . Solución:2 5 3 2 1 2 4 2 2 8 2 1 1 4 7

cociente residuoPor lo tanto el cociente es 2 4 y el residuo es 7

Ejemplo 2. Dividir

2

25 50 po r 5

Solución:1 2 25 50 5

x - 3



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5 35 50 1 7 10 0

cociente residuoPor lo tanto el cociente es

7 1 0y el residuo es 0.

Cuando el residuo de la división de po r es cero, se dice que es unfactor de . Un camino para probar que un binomio de la forma es un factor de esque el residuo sea cero al efectuar la división sintética, otro es usar el teorema del factor .

Teorema (del factor).Una función polinomial tiene como factor a si y solo si 0.

Ejemplo. Probar usando el teorema del factor que 5 es un factor de 2 2550. Solución. Como 5 , entonces 5 25 255 5 0 1 2 5 5 0 1 2 5 5 0 0 Luego 5 0, por lo tanto 5 es un factor de 2 2 5 5 0

MODULO 16Raíces racionales.

Toda función polinomial de la forma , 0, tiene exactamente n raíces. La determinación de los ceros de una función polinomial

se fundamenta en el siguiente hecho sea: , 0 una función polinomial con coeficientes enteros; para toda raíz racional

de , c es un factor de y d es un factor de con c y d primos entre sí, y

0

Ejemplo. Encontrar todas las raíces de 3 2 18 8. Solución. Primero determinamos los factores de 8 y 3. Los factores de 8 son 1,12,4,8, pero como 0 , entonces solo nos quedamos con 1, 2, 4, 8.Los factores de 3 son 1,3. Entonces cualquier raíz racional es una de las siguientes , , , , , , , de esta 16 posibilidades no más de cuatro pueden

ser raíces; para determinar cuales son, nos valemos de la división sintética.

Probemos para , es decir 2 como factor.

3 2 18 0 8 2 6 16 4 8 3 8 2 4 0 residuo

Como el residuo es cero, entonces

2es un factor. Luego

3

2

18

8 23 8 2 4 .



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Las otras tres raíces se buscan ahora del polinomio 3 8 2 4 . Probemos

para, es decir

como factor.

3 8 2 4

2 4 4 3 6 6 0 residuo

Como el residuo es cero, entonces es otro factor. Luego 3218 8

2 3 6 6.

Las ultimas dos raíces se buscan ahora del polinomio 3 6 6. Para estousemos la formula general 3 , 6 , 6

, √

√ √

√

√ 1 √ 3

√ 1 √ 3

Por lo tanto dos raíces son 2 , , 1 √ 3, 1 √ 3.

En términos de factores lo que tenemos es: 3218 8 2

1313.

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31-Matematicas IIIx