Upload
others
View
24
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
परकरण 3 तरिकोण ाची एकरपत
साकलपन तरचि
परवजञ न रष खाड ची एकरपत कोन ाची एकरपत तरिकोण चय तरिरोबिदामधील एक स एक सागती तरिकोण ाची एकरपतची साकलपन
तरिकोण ाचय एकरपतची वय खय़
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
i) पर रतवनत ii) समतरममत iii) साकरमकत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कसोटय
1) ि ndash को ndash ि कसोटी
2) ि ndash को ndash को कसोटी
3) ि ndash ि ndash ि कसोटी
4) कणव भज परमय
तरिकोण एकरपतचय कसोटय ाच उपयोजन
i) समतरददभज तरिकोण च परमय- ii) समतरिभज तरिकोण चय परमय च वयतय स- iii) 300 minus 600 minus 900 मापाचा तरिकोण व तयाचया बाज मधील गणधमम व वयतयास-
तरिकोण तील असम नत सािाध-
1) तरिकोण चय मोठय ि जसमोरील कोन 2) तरिकोण चय मोठय कोन समोरील ि ज 3) तरिकोण चय दोन ि जाचय ल ािीची िरीज ही तरतसर य ि जाचय ल ािीपकष ज सत असत 4) क टकोन तरिकोण चय कण वच गणधमव- 5) लघतम रष खाड च परमय-
T3
1
परकरण 3
तरिकोण ाची एकरपत
T3_L1
2
ऑकटोिर 1659 सरर जय रर फ र मोठ साकट अफझलख न चय रप न आलल होत
तररज परहन ख न न परचाड फौजतरनिी मह र षटर कड कच कलल होत
मह र ज ानी परत पगड रर र हनच ख न ल ज रळीचय खो-य त अाग रर घय यच ठरतररल
क नहोजी जधय ानी ि र म रळ तन म रळय ाच सनय एकि कल
मह र ज ानी क नहोजीसमरत मसलत कली ज रळीचय तय तरनतरिड अरणय त जम झ ललय
म रळय ाचय तकडय परत पगड रर पोहोचणय स अधीर झ लय होतय
तय ान आणखी सफरण य र महणन र ज ानी आपली एक योजन क नहोजीन स ातरगतली
परत पगड चय तीन ददि ान मह र ज ानी तीन ज ग एक च सप टीररील तरनरडलय
परत पगड चय प यथय प सन तय स रखय च अातर रर होतय
तरतथन म रळय ाचय तीन तकडय एक चरळी तरनघण र होतय
एक तकडीतील म रळय ान इतर तकडय ािददल म तरहती नदहती योगय ददरस ठरल
क नहोजीची तीन तररशव स म णस योजललय तीन ठ णय ारर पोचली
तय ानी िरोबिर योगय रळल इि र ददल आतरण फौज परत पगड कड तरनघ लय
परतयकजण अतरतिय अधीरतन झप टय न मह र ज ाकड लरकर त लरकर ज णय स तय
घनद ट अरणय तन तरनघ ल होत क ही क ळ गल आतरण क य आशचयव
तीनही तकडय रगरगळय म ग ानी एक च रळी गड रर पोहोचलय आतरण नमक
तय चरळस र ज तय ान स मोर आलसगळजण हषवभरीत झ ल
कषण -कोयनचय खो-य त मह र ज ाचय म रळय ानी कलल जयजयक र घमल
T3_L1
3
अस होत ह lsquo ज णत र ज rsquo (ही गोषट क लपतरनक आह)
ह स र तरिर जीमह र ज ानी कस घडरन आणल तमह ल समजन घय यच आह
तय स ठी आणखी क ही साकलपन परथम समजलय प तरहजत
T3_L1
4
ख लील आकतय ामधील जोडय पह
तय ाच फकत आक र(Shape) स रख आहत की आक रम न(size) की दोनही
िरोिर य परतयक जोडीतील आकतय ाच आक र तसच आक रम न दोनही सम न
आहत
T3_L1
समज य तील एक आक र उचलन दस-य रर तररतरिषट परक र ठरल तर क य त एकमक ािी
जळतील क कलपन करन ठरर
होय त एकमक ािी तातोतात जळतील
अि आकतय ान एकरप आकतय महणत त
5
आत भतरमतीतील एकरप आकतय ाचय जोडय पह
T3_L1
6
T3_L1
7
ख लील आकतय ातील कोणतय आकतय एकरप आहत र कोणतय न हीत त तरनरीकषण न ठरर
रष खाड
2) कोन T3_L1
8
3) एकरप रतवळ T3_L1
9
ख लील आकतीत द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क ढ र य जोडय ामधील दोनही तरिकोण टरस
पपररर क ढ आतरण तय आकतय एकमक ारर ठर तय आकतय एकमक ारर तातोतात जळत त
क त पह
(Answer should be see after click)
ररील दोनही आकतय ा मधील तरिकोण एकरप आहत क रण त एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (1) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह B बिद Q रर A बिद P रर C बिद R रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (2) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह A बिद D रर B बिद C रर E बिद F रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
T3_L1
10
एक आकती दस-य आकतीरर ठरण ह परतयक रळी िकय होण र न ही
महणन आकतय ाच आक र र म प सम न असणय च पडत ळ घणय स ठी दस-य पधदतीच
तररच र कर र ल गतो
आपण समरपत तरिकलो तदह तरिकोण ाचय तरिरोबिदातील एक स एक सागती य िददल
तरिकलो आहोत तीच साकलपन यथही र परण र आहोत क रण दोन तरिकोण एकमक ारर 6
रगरगळय परक र ठरत यत त
T3_L1
11
तय ल च आपण तरिरोबिदामधील एक स एक सागती महणतो ह तमह ल म तरहत
आह
जर ∆ABC आतरण ∆PQR ह ददलल दोन तरिकोण असतील तर तय ाचय तरिरोबिदामधय
सह परक र एक स एक सागती ल रत यत त तय सागती ख लीलपरम ण
T3_L1
12
ABC harr PQR ABCharr PRQ ABCharrQPR
ABC harr QRP ABCharr RPQ ABC harr RQP
तसच जदह दोन तरिकोण एकरप असत त तदह एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन
कोन ह दसर य तरिकोण चय तीन सागत ि ज र सागत कोन ािी एकरप असत त
ही वय खय कळलय रर अनक तररदय थय ापरम ण तमचय ही मन त आल असल की
दोन तरिकोण ािददल इतकी म तरहती नहमी किी तरमळण र
आतरण समज तरमळ लीच तर तय तन एकरपतखरीज तय तरिकोण ािददल आणखी नरीन
क य कळण र तमची िाक र सत आह
T3_L1
13
जर दोन तरिकोण ाचय तरिरोबिदामधील सह एक स एक सागतीपकी दकम न
एक एक स एक सागतीमधय एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन कोन
(सह घटक) अनकरम दसर य तरिकोण चय सागत ि ज र सागत कोन ािी
एकरप असतील तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
वय खय
जर ∆ABC ह ∆PQR िी ABC harr QRP य सागतीत तातोतात जळत असल
तर ∆ABCcong∆QRP अस तरलतरहत त
14
तरिकोण ाचय एकरपतचय कसोटय
T3_L2
तय चय उततर स ठी चल जर क ही सोपय कती कर तय मळ तरिकोण ाचय कमीत कमी दकती
घटक ाची म तरहती तरमळ ली की तय ाच उरलल घटक एकरप असत तच ह तमह ल कळल
एकरपतस ठी आरशयक म तरहती तय मळ वय खयपकष कमी होईल
रर द खतररलय परम ण तरिकोण क गद रर क ढन घय र त ि जाररन वयरतरसथतपण क पन घय
T3_L2_A1 1) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
15
a) ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
b) ि ज AC FD य ाची ल ािी मोज
c) angBAC angFDE तसच angBCA angFED य ाची म प मोज
d) आत य तरिकोण ाचय एकरप घटक ाची परथम ि जाचय जोडय र नातर कोन ाचय जोडय
य परम ण य दी कर
e) वय खयनस र ह तरिकोण एकरप आहत क य िददलच तमच तरनरीकषण तरलह
य मधय दोन ि जाची ल ािी र तय ानी सम तररषट कलल कोन य ाची म प सम न घतली र
तरिकोण क ढल
16
T3_L2_A1
तय ाच इतर सरव घटक एकरप असलय च आपण पडत ळ घतल
महणजच ह तरिकोण एकरपतचय वय खयतील सरव अटी पणव करत त
जरी तमही ि ज तसच सम तररषट कलल कोन य ाची म प िदलली तरीसधद तरिकोण एकरप
तरमळत त क ह करन प ह िकत
हच पनह पनह सतय असलय च ददसन आलय न ती एकरपतची कसोटी ठरली
तरतच न र rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo आह
अि आणखी तीन रगळय कसोटय आहत तय rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo चय आध र
तरसदध करत यत त पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
मग दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र rsquoि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटीrsquo
अस र पर
T3_L2_A1
17
आत तमह ल सरर तीचय तरिर जी मह र ज ाचय गोषटीतील सरव म रळ
रगरगळय ठठक ाण हन एक च रळी तरनघन तरिखर रर एक च रळी कस क य
पोहोचल य परशन च उततर स पडल
∆PMA ∆PMB ∆PMC ह ि -को-ि एकरपत कसोटीन एकरप आहत
तय मळ तय ाचय सागत ि ज एकरप असलय न PA =PB = PC
(कोणतही तीन बिद नहमीच एकपरतलीय असत त ह तमह ल म तरहत आहच)
there4सर ान सम न अातर चढ र ल गल तसच तय ाची गती सम न असण र
18
T3_L2_A1
िज रील आकतीत रख PM ह परत पगड च तरिखर आतरण
प यथय च बिद य ान जोडण र असन M बिदप सन
A B C ही तीन ठ णी सम न अातर रर आहत
रख PM ह रख AM रख BM रख CM ल लाि आह angPMA = angPMB = angPMC = 900
( ही गोषट क लपतरनक आह)
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
परकरण 3
तरिकोण ाची एकरपत
T3_L1
2
ऑकटोिर 1659 सरर जय रर फ र मोठ साकट अफझलख न चय रप न आलल होत
तररज परहन ख न न परचाड फौजतरनिी मह र षटर कड कच कलल होत
मह र ज ानी परत पगड रर र हनच ख न ल ज रळीचय खो-य त अाग रर घय यच ठरतररल
क नहोजी जधय ानी ि र म रळ तन म रळय ाच सनय एकि कल
मह र ज ानी क नहोजीसमरत मसलत कली ज रळीचय तय तरनतरिड अरणय त जम झ ललय
म रळय ाचय तकडय परत पगड रर पोहोचणय स अधीर झ लय होतय
तय ान आणखी सफरण य र महणन र ज ानी आपली एक योजन क नहोजीन स ातरगतली
परत पगड चय तीन ददि ान मह र ज ानी तीन ज ग एक च सप टीररील तरनरडलय
परत पगड चय प यथय प सन तय स रखय च अातर रर होतय
तरतथन म रळय ाचय तीन तकडय एक चरळी तरनघण र होतय
एक तकडीतील म रळय ान इतर तकडय ािददल म तरहती नदहती योगय ददरस ठरल
क नहोजीची तीन तररशव स म णस योजललय तीन ठ णय ारर पोचली
तय ानी िरोबिर योगय रळल इि र ददल आतरण फौज परत पगड कड तरनघ लय
परतयकजण अतरतिय अधीरतन झप टय न मह र ज ाकड लरकर त लरकर ज णय स तय
घनद ट अरणय तन तरनघ ल होत क ही क ळ गल आतरण क य आशचयव
तीनही तकडय रगरगळय म ग ानी एक च रळी गड रर पोहोचलय आतरण नमक
तय चरळस र ज तय ान स मोर आलसगळजण हषवभरीत झ ल
कषण -कोयनचय खो-य त मह र ज ाचय म रळय ानी कलल जयजयक र घमल
T3_L1
3
अस होत ह lsquo ज णत र ज rsquo (ही गोषट क लपतरनक आह)
ह स र तरिर जीमह र ज ानी कस घडरन आणल तमह ल समजन घय यच आह
तय स ठी आणखी क ही साकलपन परथम समजलय प तरहजत
T3_L1
4
ख लील आकतय ामधील जोडय पह
तय ाच फकत आक र(Shape) स रख आहत की आक रम न(size) की दोनही
िरोिर य परतयक जोडीतील आकतय ाच आक र तसच आक रम न दोनही सम न
आहत
T3_L1
समज य तील एक आक र उचलन दस-य रर तररतरिषट परक र ठरल तर क य त एकमक ािी
जळतील क कलपन करन ठरर
होय त एकमक ािी तातोतात जळतील
अि आकतय ान एकरप आकतय महणत त
5
आत भतरमतीतील एकरप आकतय ाचय जोडय पह
T3_L1
6
T3_L1
7
ख लील आकतय ातील कोणतय आकतय एकरप आहत र कोणतय न हीत त तरनरीकषण न ठरर
रष खाड
2) कोन T3_L1
8
3) एकरप रतवळ T3_L1
9
ख लील आकतीत द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क ढ र य जोडय ामधील दोनही तरिकोण टरस
पपररर क ढ आतरण तय आकतय एकमक ारर ठर तय आकतय एकमक ारर तातोतात जळत त
क त पह
(Answer should be see after click)
ररील दोनही आकतय ा मधील तरिकोण एकरप आहत क रण त एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (1) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह B बिद Q रर A बिद P रर C बिद R रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (2) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह A बिद D रर B बिद C रर E बिद F रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
T3_L1
10
एक आकती दस-य आकतीरर ठरण ह परतयक रळी िकय होण र न ही
महणन आकतय ाच आक र र म प सम न असणय च पडत ळ घणय स ठी दस-य पधदतीच
तररच र कर र ल गतो
आपण समरपत तरिकलो तदह तरिकोण ाचय तरिरोबिदातील एक स एक सागती य िददल
तरिकलो आहोत तीच साकलपन यथही र परण र आहोत क रण दोन तरिकोण एकमक ारर 6
रगरगळय परक र ठरत यत त
T3_L1
11
तय ल च आपण तरिरोबिदामधील एक स एक सागती महणतो ह तमह ल म तरहत
आह
जर ∆ABC आतरण ∆PQR ह ददलल दोन तरिकोण असतील तर तय ाचय तरिरोबिदामधय
सह परक र एक स एक सागती ल रत यत त तय सागती ख लीलपरम ण
T3_L1
12
ABC harr PQR ABCharr PRQ ABCharrQPR
ABC harr QRP ABCharr RPQ ABC harr RQP
तसच जदह दोन तरिकोण एकरप असत त तदह एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन
कोन ह दसर य तरिकोण चय तीन सागत ि ज र सागत कोन ािी एकरप असत त
ही वय खय कळलय रर अनक तररदय थय ापरम ण तमचय ही मन त आल असल की
दोन तरिकोण ािददल इतकी म तरहती नहमी किी तरमळण र
आतरण समज तरमळ लीच तर तय तन एकरपतखरीज तय तरिकोण ािददल आणखी नरीन
क य कळण र तमची िाक र सत आह
T3_L1
13
जर दोन तरिकोण ाचय तरिरोबिदामधील सह एक स एक सागतीपकी दकम न
एक एक स एक सागतीमधय एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन कोन
(सह घटक) अनकरम दसर य तरिकोण चय सागत ि ज र सागत कोन ािी
एकरप असतील तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
वय खय
जर ∆ABC ह ∆PQR िी ABC harr QRP य सागतीत तातोतात जळत असल
तर ∆ABCcong∆QRP अस तरलतरहत त
14
तरिकोण ाचय एकरपतचय कसोटय
T3_L2
तय चय उततर स ठी चल जर क ही सोपय कती कर तय मळ तरिकोण ाचय कमीत कमी दकती
घटक ाची म तरहती तरमळ ली की तय ाच उरलल घटक एकरप असत तच ह तमह ल कळल
एकरपतस ठी आरशयक म तरहती तय मळ वय खयपकष कमी होईल
रर द खतररलय परम ण तरिकोण क गद रर क ढन घय र त ि जाररन वयरतरसथतपण क पन घय
T3_L2_A1 1) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
15
a) ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
b) ि ज AC FD य ाची ल ािी मोज
c) angBAC angFDE तसच angBCA angFED य ाची म प मोज
d) आत य तरिकोण ाचय एकरप घटक ाची परथम ि जाचय जोडय र नातर कोन ाचय जोडय
य परम ण य दी कर
e) वय खयनस र ह तरिकोण एकरप आहत क य िददलच तमच तरनरीकषण तरलह
य मधय दोन ि जाची ल ािी र तय ानी सम तररषट कलल कोन य ाची म प सम न घतली र
तरिकोण क ढल
16
T3_L2_A1
तय ाच इतर सरव घटक एकरप असलय च आपण पडत ळ घतल
महणजच ह तरिकोण एकरपतचय वय खयतील सरव अटी पणव करत त
जरी तमही ि ज तसच सम तररषट कलल कोन य ाची म प िदलली तरीसधद तरिकोण एकरप
तरमळत त क ह करन प ह िकत
हच पनह पनह सतय असलय च ददसन आलय न ती एकरपतची कसोटी ठरली
तरतच न र rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo आह
अि आणखी तीन रगळय कसोटय आहत तय rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo चय आध र
तरसदध करत यत त पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
मग दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र rsquoि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटीrsquo
अस र पर
T3_L2_A1
17
आत तमह ल सरर तीचय तरिर जी मह र ज ाचय गोषटीतील सरव म रळ
रगरगळय ठठक ाण हन एक च रळी तरनघन तरिखर रर एक च रळी कस क य
पोहोचल य परशन च उततर स पडल
∆PMA ∆PMB ∆PMC ह ि -को-ि एकरपत कसोटीन एकरप आहत
तय मळ तय ाचय सागत ि ज एकरप असलय न PA =PB = PC
(कोणतही तीन बिद नहमीच एकपरतलीय असत त ह तमह ल म तरहत आहच)
there4सर ान सम न अातर चढ र ल गल तसच तय ाची गती सम न असण र
18
T3_L2_A1
िज रील आकतीत रख PM ह परत पगड च तरिखर आतरण
प यथय च बिद य ान जोडण र असन M बिदप सन
A B C ही तीन ठ णी सम न अातर रर आहत
रख PM ह रख AM रख BM रख CM ल लाि आह angPMA = angPMB = angPMC = 900
( ही गोषट क लपतरनक आह)
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
तरतथन म रळय ाचय तीन तकडय एक चरळी तरनघण र होतय
एक तकडीतील म रळय ान इतर तकडय ािददल म तरहती नदहती योगय ददरस ठरल
क नहोजीची तीन तररशव स म णस योजललय तीन ठ णय ारर पोचली
तय ानी िरोबिर योगय रळल इि र ददल आतरण फौज परत पगड कड तरनघ लय
परतयकजण अतरतिय अधीरतन झप टय न मह र ज ाकड लरकर त लरकर ज णय स तय
घनद ट अरणय तन तरनघ ल होत क ही क ळ गल आतरण क य आशचयव
तीनही तकडय रगरगळय म ग ानी एक च रळी गड रर पोहोचलय आतरण नमक
तय चरळस र ज तय ान स मोर आलसगळजण हषवभरीत झ ल
कषण -कोयनचय खो-य त मह र ज ाचय म रळय ानी कलल जयजयक र घमल
T3_L1
3
अस होत ह lsquo ज णत र ज rsquo (ही गोषट क लपतरनक आह)
ह स र तरिर जीमह र ज ानी कस घडरन आणल तमह ल समजन घय यच आह
तय स ठी आणखी क ही साकलपन परथम समजलय प तरहजत
T3_L1
4
ख लील आकतय ामधील जोडय पह
तय ाच फकत आक र(Shape) स रख आहत की आक रम न(size) की दोनही
िरोिर य परतयक जोडीतील आकतय ाच आक र तसच आक रम न दोनही सम न
आहत
T3_L1
समज य तील एक आक र उचलन दस-य रर तररतरिषट परक र ठरल तर क य त एकमक ािी
जळतील क कलपन करन ठरर
होय त एकमक ािी तातोतात जळतील
अि आकतय ान एकरप आकतय महणत त
5
आत भतरमतीतील एकरप आकतय ाचय जोडय पह
T3_L1
6
T3_L1
7
ख लील आकतय ातील कोणतय आकतय एकरप आहत र कोणतय न हीत त तरनरीकषण न ठरर
रष खाड
2) कोन T3_L1
8
3) एकरप रतवळ T3_L1
9
ख लील आकतीत द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क ढ र य जोडय ामधील दोनही तरिकोण टरस
पपररर क ढ आतरण तय आकतय एकमक ारर ठर तय आकतय एकमक ारर तातोतात जळत त
क त पह
(Answer should be see after click)
ररील दोनही आकतय ा मधील तरिकोण एकरप आहत क रण त एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (1) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह B बिद Q रर A बिद P रर C बिद R रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (2) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह A बिद D रर B बिद C रर E बिद F रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
T3_L1
10
एक आकती दस-य आकतीरर ठरण ह परतयक रळी िकय होण र न ही
महणन आकतय ाच आक र र म प सम न असणय च पडत ळ घणय स ठी दस-य पधदतीच
तररच र कर र ल गतो
आपण समरपत तरिकलो तदह तरिकोण ाचय तरिरोबिदातील एक स एक सागती य िददल
तरिकलो आहोत तीच साकलपन यथही र परण र आहोत क रण दोन तरिकोण एकमक ारर 6
रगरगळय परक र ठरत यत त
T3_L1
11
तय ल च आपण तरिरोबिदामधील एक स एक सागती महणतो ह तमह ल म तरहत
आह
जर ∆ABC आतरण ∆PQR ह ददलल दोन तरिकोण असतील तर तय ाचय तरिरोबिदामधय
सह परक र एक स एक सागती ल रत यत त तय सागती ख लीलपरम ण
T3_L1
12
ABC harr PQR ABCharr PRQ ABCharrQPR
ABC harr QRP ABCharr RPQ ABC harr RQP
तसच जदह दोन तरिकोण एकरप असत त तदह एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन
कोन ह दसर य तरिकोण चय तीन सागत ि ज र सागत कोन ािी एकरप असत त
ही वय खय कळलय रर अनक तररदय थय ापरम ण तमचय ही मन त आल असल की
दोन तरिकोण ािददल इतकी म तरहती नहमी किी तरमळण र
आतरण समज तरमळ लीच तर तय तन एकरपतखरीज तय तरिकोण ािददल आणखी नरीन
क य कळण र तमची िाक र सत आह
T3_L1
13
जर दोन तरिकोण ाचय तरिरोबिदामधील सह एक स एक सागतीपकी दकम न
एक एक स एक सागतीमधय एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन कोन
(सह घटक) अनकरम दसर य तरिकोण चय सागत ि ज र सागत कोन ािी
एकरप असतील तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
वय खय
जर ∆ABC ह ∆PQR िी ABC harr QRP य सागतीत तातोतात जळत असल
तर ∆ABCcong∆QRP अस तरलतरहत त
14
तरिकोण ाचय एकरपतचय कसोटय
T3_L2
तय चय उततर स ठी चल जर क ही सोपय कती कर तय मळ तरिकोण ाचय कमीत कमी दकती
घटक ाची म तरहती तरमळ ली की तय ाच उरलल घटक एकरप असत तच ह तमह ल कळल
एकरपतस ठी आरशयक म तरहती तय मळ वय खयपकष कमी होईल
रर द खतररलय परम ण तरिकोण क गद रर क ढन घय र त ि जाररन वयरतरसथतपण क पन घय
T3_L2_A1 1) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
15
a) ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
b) ि ज AC FD य ाची ल ािी मोज
c) angBAC angFDE तसच angBCA angFED य ाची म प मोज
d) आत य तरिकोण ाचय एकरप घटक ाची परथम ि जाचय जोडय र नातर कोन ाचय जोडय
य परम ण य दी कर
e) वय खयनस र ह तरिकोण एकरप आहत क य िददलच तमच तरनरीकषण तरलह
य मधय दोन ि जाची ल ािी र तय ानी सम तररषट कलल कोन य ाची म प सम न घतली र
तरिकोण क ढल
16
T3_L2_A1
तय ाच इतर सरव घटक एकरप असलय च आपण पडत ळ घतल
महणजच ह तरिकोण एकरपतचय वय खयतील सरव अटी पणव करत त
जरी तमही ि ज तसच सम तररषट कलल कोन य ाची म प िदलली तरीसधद तरिकोण एकरप
तरमळत त क ह करन प ह िकत
हच पनह पनह सतय असलय च ददसन आलय न ती एकरपतची कसोटी ठरली
तरतच न र rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo आह
अि आणखी तीन रगळय कसोटय आहत तय rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo चय आध र
तरसदध करत यत त पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
मग दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र rsquoि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटीrsquo
अस र पर
T3_L2_A1
17
आत तमह ल सरर तीचय तरिर जी मह र ज ाचय गोषटीतील सरव म रळ
रगरगळय ठठक ाण हन एक च रळी तरनघन तरिखर रर एक च रळी कस क य
पोहोचल य परशन च उततर स पडल
∆PMA ∆PMB ∆PMC ह ि -को-ि एकरपत कसोटीन एकरप आहत
तय मळ तय ाचय सागत ि ज एकरप असलय न PA =PB = PC
(कोणतही तीन बिद नहमीच एकपरतलीय असत त ह तमह ल म तरहत आहच)
there4सर ान सम न अातर चढ र ल गल तसच तय ाची गती सम न असण र
18
T3_L2_A1
िज रील आकतीत रख PM ह परत पगड च तरिखर आतरण
प यथय च बिद य ान जोडण र असन M बिदप सन
A B C ही तीन ठ णी सम न अातर रर आहत
रख PM ह रख AM रख BM रख CM ल लाि आह angPMA = angPMB = angPMC = 900
( ही गोषट क लपतरनक आह)
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
अस होत ह lsquo ज णत र ज rsquo (ही गोषट क लपतरनक आह)
ह स र तरिर जीमह र ज ानी कस घडरन आणल तमह ल समजन घय यच आह
तय स ठी आणखी क ही साकलपन परथम समजलय प तरहजत
T3_L1
4
ख लील आकतय ामधील जोडय पह
तय ाच फकत आक र(Shape) स रख आहत की आक रम न(size) की दोनही
िरोिर य परतयक जोडीतील आकतय ाच आक र तसच आक रम न दोनही सम न
आहत
T3_L1
समज य तील एक आक र उचलन दस-य रर तररतरिषट परक र ठरल तर क य त एकमक ािी
जळतील क कलपन करन ठरर
होय त एकमक ािी तातोतात जळतील
अि आकतय ान एकरप आकतय महणत त
5
आत भतरमतीतील एकरप आकतय ाचय जोडय पह
T3_L1
6
T3_L1
7
ख लील आकतय ातील कोणतय आकतय एकरप आहत र कोणतय न हीत त तरनरीकषण न ठरर
रष खाड
2) कोन T3_L1
8
3) एकरप रतवळ T3_L1
9
ख लील आकतीत द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क ढ र य जोडय ामधील दोनही तरिकोण टरस
पपररर क ढ आतरण तय आकतय एकमक ारर ठर तय आकतय एकमक ारर तातोतात जळत त
क त पह
(Answer should be see after click)
ररील दोनही आकतय ा मधील तरिकोण एकरप आहत क रण त एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (1) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह B बिद Q रर A बिद P रर C बिद R रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (2) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह A बिद D रर B बिद C रर E बिद F रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
T3_L1
10
एक आकती दस-य आकतीरर ठरण ह परतयक रळी िकय होण र न ही
महणन आकतय ाच आक र र म प सम न असणय च पडत ळ घणय स ठी दस-य पधदतीच
तररच र कर र ल गतो
आपण समरपत तरिकलो तदह तरिकोण ाचय तरिरोबिदातील एक स एक सागती य िददल
तरिकलो आहोत तीच साकलपन यथही र परण र आहोत क रण दोन तरिकोण एकमक ारर 6
रगरगळय परक र ठरत यत त
T3_L1
11
तय ल च आपण तरिरोबिदामधील एक स एक सागती महणतो ह तमह ल म तरहत
आह
जर ∆ABC आतरण ∆PQR ह ददलल दोन तरिकोण असतील तर तय ाचय तरिरोबिदामधय
सह परक र एक स एक सागती ल रत यत त तय सागती ख लीलपरम ण
T3_L1
12
ABC harr PQR ABCharr PRQ ABCharrQPR
ABC harr QRP ABCharr RPQ ABC harr RQP
तसच जदह दोन तरिकोण एकरप असत त तदह एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन
कोन ह दसर य तरिकोण चय तीन सागत ि ज र सागत कोन ािी एकरप असत त
ही वय खय कळलय रर अनक तररदय थय ापरम ण तमचय ही मन त आल असल की
दोन तरिकोण ािददल इतकी म तरहती नहमी किी तरमळण र
आतरण समज तरमळ लीच तर तय तन एकरपतखरीज तय तरिकोण ािददल आणखी नरीन
क य कळण र तमची िाक र सत आह
T3_L1
13
जर दोन तरिकोण ाचय तरिरोबिदामधील सह एक स एक सागतीपकी दकम न
एक एक स एक सागतीमधय एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन कोन
(सह घटक) अनकरम दसर य तरिकोण चय सागत ि ज र सागत कोन ािी
एकरप असतील तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
वय खय
जर ∆ABC ह ∆PQR िी ABC harr QRP य सागतीत तातोतात जळत असल
तर ∆ABCcong∆QRP अस तरलतरहत त
14
तरिकोण ाचय एकरपतचय कसोटय
T3_L2
तय चय उततर स ठी चल जर क ही सोपय कती कर तय मळ तरिकोण ाचय कमीत कमी दकती
घटक ाची म तरहती तरमळ ली की तय ाच उरलल घटक एकरप असत तच ह तमह ल कळल
एकरपतस ठी आरशयक म तरहती तय मळ वय खयपकष कमी होईल
रर द खतररलय परम ण तरिकोण क गद रर क ढन घय र त ि जाररन वयरतरसथतपण क पन घय
T3_L2_A1 1) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
15
a) ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
b) ि ज AC FD य ाची ल ािी मोज
c) angBAC angFDE तसच angBCA angFED य ाची म प मोज
d) आत य तरिकोण ाचय एकरप घटक ाची परथम ि जाचय जोडय र नातर कोन ाचय जोडय
य परम ण य दी कर
e) वय खयनस र ह तरिकोण एकरप आहत क य िददलच तमच तरनरीकषण तरलह
य मधय दोन ि जाची ल ािी र तय ानी सम तररषट कलल कोन य ाची म प सम न घतली र
तरिकोण क ढल
16
T3_L2_A1
तय ाच इतर सरव घटक एकरप असलय च आपण पडत ळ घतल
महणजच ह तरिकोण एकरपतचय वय खयतील सरव अटी पणव करत त
जरी तमही ि ज तसच सम तररषट कलल कोन य ाची म प िदलली तरीसधद तरिकोण एकरप
तरमळत त क ह करन प ह िकत
हच पनह पनह सतय असलय च ददसन आलय न ती एकरपतची कसोटी ठरली
तरतच न र rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo आह
अि आणखी तीन रगळय कसोटय आहत तय rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo चय आध र
तरसदध करत यत त पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
मग दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र rsquoि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटीrsquo
अस र पर
T3_L2_A1
17
आत तमह ल सरर तीचय तरिर जी मह र ज ाचय गोषटीतील सरव म रळ
रगरगळय ठठक ाण हन एक च रळी तरनघन तरिखर रर एक च रळी कस क य
पोहोचल य परशन च उततर स पडल
∆PMA ∆PMB ∆PMC ह ि -को-ि एकरपत कसोटीन एकरप आहत
तय मळ तय ाचय सागत ि ज एकरप असलय न PA =PB = PC
(कोणतही तीन बिद नहमीच एकपरतलीय असत त ह तमह ल म तरहत आहच)
there4सर ान सम न अातर चढ र ल गल तसच तय ाची गती सम न असण र
18
T3_L2_A1
िज रील आकतीत रख PM ह परत पगड च तरिखर आतरण
प यथय च बिद य ान जोडण र असन M बिदप सन
A B C ही तीन ठ णी सम न अातर रर आहत
रख PM ह रख AM रख BM रख CM ल लाि आह angPMA = angPMB = angPMC = 900
( ही गोषट क लपतरनक आह)
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
ख लील आकतय ामधील जोडय पह
तय ाच फकत आक र(Shape) स रख आहत की आक रम न(size) की दोनही
िरोिर य परतयक जोडीतील आकतय ाच आक र तसच आक रम न दोनही सम न
आहत
T3_L1
समज य तील एक आक र उचलन दस-य रर तररतरिषट परक र ठरल तर क य त एकमक ािी
जळतील क कलपन करन ठरर
होय त एकमक ािी तातोतात जळतील
अि आकतय ान एकरप आकतय महणत त
5
आत भतरमतीतील एकरप आकतय ाचय जोडय पह
T3_L1
6
T3_L1
7
ख लील आकतय ातील कोणतय आकतय एकरप आहत र कोणतय न हीत त तरनरीकषण न ठरर
रष खाड
2) कोन T3_L1
8
3) एकरप रतवळ T3_L1
9
ख लील आकतीत द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क ढ र य जोडय ामधील दोनही तरिकोण टरस
पपररर क ढ आतरण तय आकतय एकमक ारर ठर तय आकतय एकमक ारर तातोतात जळत त
क त पह
(Answer should be see after click)
ररील दोनही आकतय ा मधील तरिकोण एकरप आहत क रण त एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (1) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह B बिद Q रर A बिद P रर C बिद R रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (2) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह A बिद D रर B बिद C रर E बिद F रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
T3_L1
10
एक आकती दस-य आकतीरर ठरण ह परतयक रळी िकय होण र न ही
महणन आकतय ाच आक र र म प सम न असणय च पडत ळ घणय स ठी दस-य पधदतीच
तररच र कर र ल गतो
आपण समरपत तरिकलो तदह तरिकोण ाचय तरिरोबिदातील एक स एक सागती य िददल
तरिकलो आहोत तीच साकलपन यथही र परण र आहोत क रण दोन तरिकोण एकमक ारर 6
रगरगळय परक र ठरत यत त
T3_L1
11
तय ल च आपण तरिरोबिदामधील एक स एक सागती महणतो ह तमह ल म तरहत
आह
जर ∆ABC आतरण ∆PQR ह ददलल दोन तरिकोण असतील तर तय ाचय तरिरोबिदामधय
सह परक र एक स एक सागती ल रत यत त तय सागती ख लीलपरम ण
T3_L1
12
ABC harr PQR ABCharr PRQ ABCharrQPR
ABC harr QRP ABCharr RPQ ABC harr RQP
तसच जदह दोन तरिकोण एकरप असत त तदह एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन
कोन ह दसर य तरिकोण चय तीन सागत ि ज र सागत कोन ािी एकरप असत त
ही वय खय कळलय रर अनक तररदय थय ापरम ण तमचय ही मन त आल असल की
दोन तरिकोण ािददल इतकी म तरहती नहमी किी तरमळण र
आतरण समज तरमळ लीच तर तय तन एकरपतखरीज तय तरिकोण ािददल आणखी नरीन
क य कळण र तमची िाक र सत आह
T3_L1
13
जर दोन तरिकोण ाचय तरिरोबिदामधील सह एक स एक सागतीपकी दकम न
एक एक स एक सागतीमधय एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन कोन
(सह घटक) अनकरम दसर य तरिकोण चय सागत ि ज र सागत कोन ािी
एकरप असतील तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
वय खय
जर ∆ABC ह ∆PQR िी ABC harr QRP य सागतीत तातोतात जळत असल
तर ∆ABCcong∆QRP अस तरलतरहत त
14
तरिकोण ाचय एकरपतचय कसोटय
T3_L2
तय चय उततर स ठी चल जर क ही सोपय कती कर तय मळ तरिकोण ाचय कमीत कमी दकती
घटक ाची म तरहती तरमळ ली की तय ाच उरलल घटक एकरप असत तच ह तमह ल कळल
एकरपतस ठी आरशयक म तरहती तय मळ वय खयपकष कमी होईल
रर द खतररलय परम ण तरिकोण क गद रर क ढन घय र त ि जाररन वयरतरसथतपण क पन घय
T3_L2_A1 1) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
15
a) ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
b) ि ज AC FD य ाची ल ािी मोज
c) angBAC angFDE तसच angBCA angFED य ाची म प मोज
d) आत य तरिकोण ाचय एकरप घटक ाची परथम ि जाचय जोडय र नातर कोन ाचय जोडय
य परम ण य दी कर
e) वय खयनस र ह तरिकोण एकरप आहत क य िददलच तमच तरनरीकषण तरलह
य मधय दोन ि जाची ल ािी र तय ानी सम तररषट कलल कोन य ाची म प सम न घतली र
तरिकोण क ढल
16
T3_L2_A1
तय ाच इतर सरव घटक एकरप असलय च आपण पडत ळ घतल
महणजच ह तरिकोण एकरपतचय वय खयतील सरव अटी पणव करत त
जरी तमही ि ज तसच सम तररषट कलल कोन य ाची म प िदलली तरीसधद तरिकोण एकरप
तरमळत त क ह करन प ह िकत
हच पनह पनह सतय असलय च ददसन आलय न ती एकरपतची कसोटी ठरली
तरतच न र rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo आह
अि आणखी तीन रगळय कसोटय आहत तय rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo चय आध र
तरसदध करत यत त पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
मग दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र rsquoि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटीrsquo
अस र पर
T3_L2_A1
17
आत तमह ल सरर तीचय तरिर जी मह र ज ाचय गोषटीतील सरव म रळ
रगरगळय ठठक ाण हन एक च रळी तरनघन तरिखर रर एक च रळी कस क य
पोहोचल य परशन च उततर स पडल
∆PMA ∆PMB ∆PMC ह ि -को-ि एकरपत कसोटीन एकरप आहत
तय मळ तय ाचय सागत ि ज एकरप असलय न PA =PB = PC
(कोणतही तीन बिद नहमीच एकपरतलीय असत त ह तमह ल म तरहत आहच)
there4सर ान सम न अातर चढ र ल गल तसच तय ाची गती सम न असण र
18
T3_L2_A1
िज रील आकतीत रख PM ह परत पगड च तरिखर आतरण
प यथय च बिद य ान जोडण र असन M बिदप सन
A B C ही तीन ठ णी सम न अातर रर आहत
रख PM ह रख AM रख BM रख CM ल लाि आह angPMA = angPMB = angPMC = 900
( ही गोषट क लपतरनक आह)
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
आत भतरमतीतील एकरप आकतय ाचय जोडय पह
T3_L1
6
T3_L1
7
ख लील आकतय ातील कोणतय आकतय एकरप आहत र कोणतय न हीत त तरनरीकषण न ठरर
रष खाड
2) कोन T3_L1
8
3) एकरप रतवळ T3_L1
9
ख लील आकतीत द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क ढ र य जोडय ामधील दोनही तरिकोण टरस
पपररर क ढ आतरण तय आकतय एकमक ारर ठर तय आकतय एकमक ारर तातोतात जळत त
क त पह
(Answer should be see after click)
ररील दोनही आकतय ा मधील तरिकोण एकरप आहत क रण त एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (1) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह B बिद Q रर A बिद P रर C बिद R रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (2) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह A बिद D रर B बिद C रर E बिद F रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
T3_L1
10
एक आकती दस-य आकतीरर ठरण ह परतयक रळी िकय होण र न ही
महणन आकतय ाच आक र र म प सम न असणय च पडत ळ घणय स ठी दस-य पधदतीच
तररच र कर र ल गतो
आपण समरपत तरिकलो तदह तरिकोण ाचय तरिरोबिदातील एक स एक सागती य िददल
तरिकलो आहोत तीच साकलपन यथही र परण र आहोत क रण दोन तरिकोण एकमक ारर 6
रगरगळय परक र ठरत यत त
T3_L1
11
तय ल च आपण तरिरोबिदामधील एक स एक सागती महणतो ह तमह ल म तरहत
आह
जर ∆ABC आतरण ∆PQR ह ददलल दोन तरिकोण असतील तर तय ाचय तरिरोबिदामधय
सह परक र एक स एक सागती ल रत यत त तय सागती ख लीलपरम ण
T3_L1
12
ABC harr PQR ABCharr PRQ ABCharrQPR
ABC harr QRP ABCharr RPQ ABC harr RQP
तसच जदह दोन तरिकोण एकरप असत त तदह एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन
कोन ह दसर य तरिकोण चय तीन सागत ि ज र सागत कोन ािी एकरप असत त
ही वय खय कळलय रर अनक तररदय थय ापरम ण तमचय ही मन त आल असल की
दोन तरिकोण ािददल इतकी म तरहती नहमी किी तरमळण र
आतरण समज तरमळ लीच तर तय तन एकरपतखरीज तय तरिकोण ािददल आणखी नरीन
क य कळण र तमची िाक र सत आह
T3_L1
13
जर दोन तरिकोण ाचय तरिरोबिदामधील सह एक स एक सागतीपकी दकम न
एक एक स एक सागतीमधय एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन कोन
(सह घटक) अनकरम दसर य तरिकोण चय सागत ि ज र सागत कोन ािी
एकरप असतील तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
वय खय
जर ∆ABC ह ∆PQR िी ABC harr QRP य सागतीत तातोतात जळत असल
तर ∆ABCcong∆QRP अस तरलतरहत त
14
तरिकोण ाचय एकरपतचय कसोटय
T3_L2
तय चय उततर स ठी चल जर क ही सोपय कती कर तय मळ तरिकोण ाचय कमीत कमी दकती
घटक ाची म तरहती तरमळ ली की तय ाच उरलल घटक एकरप असत तच ह तमह ल कळल
एकरपतस ठी आरशयक म तरहती तय मळ वय खयपकष कमी होईल
रर द खतररलय परम ण तरिकोण क गद रर क ढन घय र त ि जाररन वयरतरसथतपण क पन घय
T3_L2_A1 1) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
15
a) ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
b) ि ज AC FD य ाची ल ािी मोज
c) angBAC angFDE तसच angBCA angFED य ाची म प मोज
d) आत य तरिकोण ाचय एकरप घटक ाची परथम ि जाचय जोडय र नातर कोन ाचय जोडय
य परम ण य दी कर
e) वय खयनस र ह तरिकोण एकरप आहत क य िददलच तमच तरनरीकषण तरलह
य मधय दोन ि जाची ल ािी र तय ानी सम तररषट कलल कोन य ाची म प सम न घतली र
तरिकोण क ढल
16
T3_L2_A1
तय ाच इतर सरव घटक एकरप असलय च आपण पडत ळ घतल
महणजच ह तरिकोण एकरपतचय वय खयतील सरव अटी पणव करत त
जरी तमही ि ज तसच सम तररषट कलल कोन य ाची म प िदलली तरीसधद तरिकोण एकरप
तरमळत त क ह करन प ह िकत
हच पनह पनह सतय असलय च ददसन आलय न ती एकरपतची कसोटी ठरली
तरतच न र rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo आह
अि आणखी तीन रगळय कसोटय आहत तय rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo चय आध र
तरसदध करत यत त पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
मग दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र rsquoि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटीrsquo
अस र पर
T3_L2_A1
17
आत तमह ल सरर तीचय तरिर जी मह र ज ाचय गोषटीतील सरव म रळ
रगरगळय ठठक ाण हन एक च रळी तरनघन तरिखर रर एक च रळी कस क य
पोहोचल य परशन च उततर स पडल
∆PMA ∆PMB ∆PMC ह ि -को-ि एकरपत कसोटीन एकरप आहत
तय मळ तय ाचय सागत ि ज एकरप असलय न PA =PB = PC
(कोणतही तीन बिद नहमीच एकपरतलीय असत त ह तमह ल म तरहत आहच)
there4सर ान सम न अातर चढ र ल गल तसच तय ाची गती सम न असण र
18
T3_L2_A1
िज रील आकतीत रख PM ह परत पगड च तरिखर आतरण
प यथय च बिद य ान जोडण र असन M बिदप सन
A B C ही तीन ठ णी सम न अातर रर आहत
रख PM ह रख AM रख BM रख CM ल लाि आह angPMA = angPMB = angPMC = 900
( ही गोषट क लपतरनक आह)
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
T3_L1
7
ख लील आकतय ातील कोणतय आकतय एकरप आहत र कोणतय न हीत त तरनरीकषण न ठरर
रष खाड
2) कोन T3_L1
8
3) एकरप रतवळ T3_L1
9
ख लील आकतीत द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क ढ र य जोडय ामधील दोनही तरिकोण टरस
पपररर क ढ आतरण तय आकतय एकमक ारर ठर तय आकतय एकमक ारर तातोतात जळत त
क त पह
(Answer should be see after click)
ररील दोनही आकतय ा मधील तरिकोण एकरप आहत क रण त एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (1) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह B बिद Q रर A बिद P रर C बिद R रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (2) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह A बिद D रर B बिद C रर E बिद F रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
T3_L1
10
एक आकती दस-य आकतीरर ठरण ह परतयक रळी िकय होण र न ही
महणन आकतय ाच आक र र म प सम न असणय च पडत ळ घणय स ठी दस-य पधदतीच
तररच र कर र ल गतो
आपण समरपत तरिकलो तदह तरिकोण ाचय तरिरोबिदातील एक स एक सागती य िददल
तरिकलो आहोत तीच साकलपन यथही र परण र आहोत क रण दोन तरिकोण एकमक ारर 6
रगरगळय परक र ठरत यत त
T3_L1
11
तय ल च आपण तरिरोबिदामधील एक स एक सागती महणतो ह तमह ल म तरहत
आह
जर ∆ABC आतरण ∆PQR ह ददलल दोन तरिकोण असतील तर तय ाचय तरिरोबिदामधय
सह परक र एक स एक सागती ल रत यत त तय सागती ख लीलपरम ण
T3_L1
12
ABC harr PQR ABCharr PRQ ABCharrQPR
ABC harr QRP ABCharr RPQ ABC harr RQP
तसच जदह दोन तरिकोण एकरप असत त तदह एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन
कोन ह दसर य तरिकोण चय तीन सागत ि ज र सागत कोन ािी एकरप असत त
ही वय खय कळलय रर अनक तररदय थय ापरम ण तमचय ही मन त आल असल की
दोन तरिकोण ािददल इतकी म तरहती नहमी किी तरमळण र
आतरण समज तरमळ लीच तर तय तन एकरपतखरीज तय तरिकोण ािददल आणखी नरीन
क य कळण र तमची िाक र सत आह
T3_L1
13
जर दोन तरिकोण ाचय तरिरोबिदामधील सह एक स एक सागतीपकी दकम न
एक एक स एक सागतीमधय एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन कोन
(सह घटक) अनकरम दसर य तरिकोण चय सागत ि ज र सागत कोन ािी
एकरप असतील तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
वय खय
जर ∆ABC ह ∆PQR िी ABC harr QRP य सागतीत तातोतात जळत असल
तर ∆ABCcong∆QRP अस तरलतरहत त
14
तरिकोण ाचय एकरपतचय कसोटय
T3_L2
तय चय उततर स ठी चल जर क ही सोपय कती कर तय मळ तरिकोण ाचय कमीत कमी दकती
घटक ाची म तरहती तरमळ ली की तय ाच उरलल घटक एकरप असत तच ह तमह ल कळल
एकरपतस ठी आरशयक म तरहती तय मळ वय खयपकष कमी होईल
रर द खतररलय परम ण तरिकोण क गद रर क ढन घय र त ि जाररन वयरतरसथतपण क पन घय
T3_L2_A1 1) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
15
a) ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
b) ि ज AC FD य ाची ल ािी मोज
c) angBAC angFDE तसच angBCA angFED य ाची म प मोज
d) आत य तरिकोण ाचय एकरप घटक ाची परथम ि जाचय जोडय र नातर कोन ाचय जोडय
य परम ण य दी कर
e) वय खयनस र ह तरिकोण एकरप आहत क य िददलच तमच तरनरीकषण तरलह
य मधय दोन ि जाची ल ािी र तय ानी सम तररषट कलल कोन य ाची म प सम न घतली र
तरिकोण क ढल
16
T3_L2_A1
तय ाच इतर सरव घटक एकरप असलय च आपण पडत ळ घतल
महणजच ह तरिकोण एकरपतचय वय खयतील सरव अटी पणव करत त
जरी तमही ि ज तसच सम तररषट कलल कोन य ाची म प िदलली तरीसधद तरिकोण एकरप
तरमळत त क ह करन प ह िकत
हच पनह पनह सतय असलय च ददसन आलय न ती एकरपतची कसोटी ठरली
तरतच न र rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo आह
अि आणखी तीन रगळय कसोटय आहत तय rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo चय आध र
तरसदध करत यत त पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
मग दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र rsquoि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटीrsquo
अस र पर
T3_L2_A1
17
आत तमह ल सरर तीचय तरिर जी मह र ज ाचय गोषटीतील सरव म रळ
रगरगळय ठठक ाण हन एक च रळी तरनघन तरिखर रर एक च रळी कस क य
पोहोचल य परशन च उततर स पडल
∆PMA ∆PMB ∆PMC ह ि -को-ि एकरपत कसोटीन एकरप आहत
तय मळ तय ाचय सागत ि ज एकरप असलय न PA =PB = PC
(कोणतही तीन बिद नहमीच एकपरतलीय असत त ह तमह ल म तरहत आहच)
there4सर ान सम न अातर चढ र ल गल तसच तय ाची गती सम न असण र
18
T3_L2_A1
िज रील आकतीत रख PM ह परत पगड च तरिखर आतरण
प यथय च बिद य ान जोडण र असन M बिदप सन
A B C ही तीन ठ णी सम न अातर रर आहत
रख PM ह रख AM रख BM रख CM ल लाि आह angPMA = angPMB = angPMC = 900
( ही गोषट क लपतरनक आह)
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
2) कोन T3_L1
8
3) एकरप रतवळ T3_L1
9
ख लील आकतीत द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क ढ र य जोडय ामधील दोनही तरिकोण टरस
पपररर क ढ आतरण तय आकतय एकमक ारर ठर तय आकतय एकमक ारर तातोतात जळत त
क त पह
(Answer should be see after click)
ररील दोनही आकतय ा मधील तरिकोण एकरप आहत क रण त एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (1) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह B बिद Q रर A बिद P रर C बिद R रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (2) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह A बिद D रर B बिद C रर E बिद F रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
T3_L1
10
एक आकती दस-य आकतीरर ठरण ह परतयक रळी िकय होण र न ही
महणन आकतय ाच आक र र म प सम न असणय च पडत ळ घणय स ठी दस-य पधदतीच
तररच र कर र ल गतो
आपण समरपत तरिकलो तदह तरिकोण ाचय तरिरोबिदातील एक स एक सागती य िददल
तरिकलो आहोत तीच साकलपन यथही र परण र आहोत क रण दोन तरिकोण एकमक ारर 6
रगरगळय परक र ठरत यत त
T3_L1
11
तय ल च आपण तरिरोबिदामधील एक स एक सागती महणतो ह तमह ल म तरहत
आह
जर ∆ABC आतरण ∆PQR ह ददलल दोन तरिकोण असतील तर तय ाचय तरिरोबिदामधय
सह परक र एक स एक सागती ल रत यत त तय सागती ख लीलपरम ण
T3_L1
12
ABC harr PQR ABCharr PRQ ABCharrQPR
ABC harr QRP ABCharr RPQ ABC harr RQP
तसच जदह दोन तरिकोण एकरप असत त तदह एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन
कोन ह दसर य तरिकोण चय तीन सागत ि ज र सागत कोन ािी एकरप असत त
ही वय खय कळलय रर अनक तररदय थय ापरम ण तमचय ही मन त आल असल की
दोन तरिकोण ािददल इतकी म तरहती नहमी किी तरमळण र
आतरण समज तरमळ लीच तर तय तन एकरपतखरीज तय तरिकोण ािददल आणखी नरीन
क य कळण र तमची िाक र सत आह
T3_L1
13
जर दोन तरिकोण ाचय तरिरोबिदामधील सह एक स एक सागतीपकी दकम न
एक एक स एक सागतीमधय एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन कोन
(सह घटक) अनकरम दसर य तरिकोण चय सागत ि ज र सागत कोन ािी
एकरप असतील तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
वय खय
जर ∆ABC ह ∆PQR िी ABC harr QRP य सागतीत तातोतात जळत असल
तर ∆ABCcong∆QRP अस तरलतरहत त
14
तरिकोण ाचय एकरपतचय कसोटय
T3_L2
तय चय उततर स ठी चल जर क ही सोपय कती कर तय मळ तरिकोण ाचय कमीत कमी दकती
घटक ाची म तरहती तरमळ ली की तय ाच उरलल घटक एकरप असत तच ह तमह ल कळल
एकरपतस ठी आरशयक म तरहती तय मळ वय खयपकष कमी होईल
रर द खतररलय परम ण तरिकोण क गद रर क ढन घय र त ि जाररन वयरतरसथतपण क पन घय
T3_L2_A1 1) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
15
a) ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
b) ि ज AC FD य ाची ल ािी मोज
c) angBAC angFDE तसच angBCA angFED य ाची म प मोज
d) आत य तरिकोण ाचय एकरप घटक ाची परथम ि जाचय जोडय र नातर कोन ाचय जोडय
य परम ण य दी कर
e) वय खयनस र ह तरिकोण एकरप आहत क य िददलच तमच तरनरीकषण तरलह
य मधय दोन ि जाची ल ािी र तय ानी सम तररषट कलल कोन य ाची म प सम न घतली र
तरिकोण क ढल
16
T3_L2_A1
तय ाच इतर सरव घटक एकरप असलय च आपण पडत ळ घतल
महणजच ह तरिकोण एकरपतचय वय खयतील सरव अटी पणव करत त
जरी तमही ि ज तसच सम तररषट कलल कोन य ाची म प िदलली तरीसधद तरिकोण एकरप
तरमळत त क ह करन प ह िकत
हच पनह पनह सतय असलय च ददसन आलय न ती एकरपतची कसोटी ठरली
तरतच न र rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo आह
अि आणखी तीन रगळय कसोटय आहत तय rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo चय आध र
तरसदध करत यत त पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
मग दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र rsquoि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटीrsquo
अस र पर
T3_L2_A1
17
आत तमह ल सरर तीचय तरिर जी मह र ज ाचय गोषटीतील सरव म रळ
रगरगळय ठठक ाण हन एक च रळी तरनघन तरिखर रर एक च रळी कस क य
पोहोचल य परशन च उततर स पडल
∆PMA ∆PMB ∆PMC ह ि -को-ि एकरपत कसोटीन एकरप आहत
तय मळ तय ाचय सागत ि ज एकरप असलय न PA =PB = PC
(कोणतही तीन बिद नहमीच एकपरतलीय असत त ह तमह ल म तरहत आहच)
there4सर ान सम न अातर चढ र ल गल तसच तय ाची गती सम न असण र
18
T3_L2_A1
िज रील आकतीत रख PM ह परत पगड च तरिखर आतरण
प यथय च बिद य ान जोडण र असन M बिदप सन
A B C ही तीन ठ णी सम न अातर रर आहत
रख PM ह रख AM रख BM रख CM ल लाि आह angPMA = angPMB = angPMC = 900
( ही गोषट क लपतरनक आह)
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
3) एकरप रतवळ T3_L1
9
ख लील आकतीत द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क ढ र य जोडय ामधील दोनही तरिकोण टरस
पपररर क ढ आतरण तय आकतय एकमक ारर ठर तय आकतय एकमक ारर तातोतात जळत त
क त पह
(Answer should be see after click)
ररील दोनही आकतय ा मधील तरिकोण एकरप आहत क रण त एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (1) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह B बिद Q रर A बिद P रर C बिद R रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (2) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह A बिद D रर B बिद C रर E बिद F रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
T3_L1
10
एक आकती दस-य आकतीरर ठरण ह परतयक रळी िकय होण र न ही
महणन आकतय ाच आक र र म प सम न असणय च पडत ळ घणय स ठी दस-य पधदतीच
तररच र कर र ल गतो
आपण समरपत तरिकलो तदह तरिकोण ाचय तरिरोबिदातील एक स एक सागती य िददल
तरिकलो आहोत तीच साकलपन यथही र परण र आहोत क रण दोन तरिकोण एकमक ारर 6
रगरगळय परक र ठरत यत त
T3_L1
11
तय ल च आपण तरिरोबिदामधील एक स एक सागती महणतो ह तमह ल म तरहत
आह
जर ∆ABC आतरण ∆PQR ह ददलल दोन तरिकोण असतील तर तय ाचय तरिरोबिदामधय
सह परक र एक स एक सागती ल रत यत त तय सागती ख लीलपरम ण
T3_L1
12
ABC harr PQR ABCharr PRQ ABCharrQPR
ABC harr QRP ABCharr RPQ ABC harr RQP
तसच जदह दोन तरिकोण एकरप असत त तदह एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन
कोन ह दसर य तरिकोण चय तीन सागत ि ज र सागत कोन ािी एकरप असत त
ही वय खय कळलय रर अनक तररदय थय ापरम ण तमचय ही मन त आल असल की
दोन तरिकोण ािददल इतकी म तरहती नहमी किी तरमळण र
आतरण समज तरमळ लीच तर तय तन एकरपतखरीज तय तरिकोण ािददल आणखी नरीन
क य कळण र तमची िाक र सत आह
T3_L1
13
जर दोन तरिकोण ाचय तरिरोबिदामधील सह एक स एक सागतीपकी दकम न
एक एक स एक सागतीमधय एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन कोन
(सह घटक) अनकरम दसर य तरिकोण चय सागत ि ज र सागत कोन ािी
एकरप असतील तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
वय खय
जर ∆ABC ह ∆PQR िी ABC harr QRP य सागतीत तातोतात जळत असल
तर ∆ABCcong∆QRP अस तरलतरहत त
14
तरिकोण ाचय एकरपतचय कसोटय
T3_L2
तय चय उततर स ठी चल जर क ही सोपय कती कर तय मळ तरिकोण ाचय कमीत कमी दकती
घटक ाची म तरहती तरमळ ली की तय ाच उरलल घटक एकरप असत तच ह तमह ल कळल
एकरपतस ठी आरशयक म तरहती तय मळ वय खयपकष कमी होईल
रर द खतररलय परम ण तरिकोण क गद रर क ढन घय र त ि जाररन वयरतरसथतपण क पन घय
T3_L2_A1 1) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
15
a) ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
b) ि ज AC FD य ाची ल ािी मोज
c) angBAC angFDE तसच angBCA angFED य ाची म प मोज
d) आत य तरिकोण ाचय एकरप घटक ाची परथम ि जाचय जोडय र नातर कोन ाचय जोडय
य परम ण य दी कर
e) वय खयनस र ह तरिकोण एकरप आहत क य िददलच तमच तरनरीकषण तरलह
य मधय दोन ि जाची ल ािी र तय ानी सम तररषट कलल कोन य ाची म प सम न घतली र
तरिकोण क ढल
16
T3_L2_A1
तय ाच इतर सरव घटक एकरप असलय च आपण पडत ळ घतल
महणजच ह तरिकोण एकरपतचय वय खयतील सरव अटी पणव करत त
जरी तमही ि ज तसच सम तररषट कलल कोन य ाची म प िदलली तरीसधद तरिकोण एकरप
तरमळत त क ह करन प ह िकत
हच पनह पनह सतय असलय च ददसन आलय न ती एकरपतची कसोटी ठरली
तरतच न र rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo आह
अि आणखी तीन रगळय कसोटय आहत तय rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo चय आध र
तरसदध करत यत त पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
मग दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र rsquoि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटीrsquo
अस र पर
T3_L2_A1
17
आत तमह ल सरर तीचय तरिर जी मह र ज ाचय गोषटीतील सरव म रळ
रगरगळय ठठक ाण हन एक च रळी तरनघन तरिखर रर एक च रळी कस क य
पोहोचल य परशन च उततर स पडल
∆PMA ∆PMB ∆PMC ह ि -को-ि एकरपत कसोटीन एकरप आहत
तय मळ तय ाचय सागत ि ज एकरप असलय न PA =PB = PC
(कोणतही तीन बिद नहमीच एकपरतलीय असत त ह तमह ल म तरहत आहच)
there4सर ान सम न अातर चढ र ल गल तसच तय ाची गती सम न असण र
18
T3_L2_A1
िज रील आकतीत रख PM ह परत पगड च तरिखर आतरण
प यथय च बिद य ान जोडण र असन M बिदप सन
A B C ही तीन ठ णी सम न अातर रर आहत
रख PM ह रख AM रख BM रख CM ल लाि आह angPMA = angPMB = angPMC = 900
( ही गोषट क लपतरनक आह)
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
ख लील आकतीत द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क ढ र य जोडय ामधील दोनही तरिकोण टरस
पपररर क ढ आतरण तय आकतय एकमक ारर ठर तय आकतय एकमक ारर तातोतात जळत त
क त पह
(Answer should be see after click)
ररील दोनही आकतय ा मधील तरिकोण एकरप आहत क रण त एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (1) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह B बिद Q रर A बिद P रर C बिद R रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
आकती (2) मधील तरिकोण ाची जोडी जदह A बिद D रर B बिद C रर E बिद F रर
ठरलय ररच एकमक ािी तातोतात जळल
T3_L1
10
एक आकती दस-य आकतीरर ठरण ह परतयक रळी िकय होण र न ही
महणन आकतय ाच आक र र म प सम न असणय च पडत ळ घणय स ठी दस-य पधदतीच
तररच र कर र ल गतो
आपण समरपत तरिकलो तदह तरिकोण ाचय तरिरोबिदातील एक स एक सागती य िददल
तरिकलो आहोत तीच साकलपन यथही र परण र आहोत क रण दोन तरिकोण एकमक ारर 6
रगरगळय परक र ठरत यत त
T3_L1
11
तय ल च आपण तरिरोबिदामधील एक स एक सागती महणतो ह तमह ल म तरहत
आह
जर ∆ABC आतरण ∆PQR ह ददलल दोन तरिकोण असतील तर तय ाचय तरिरोबिदामधय
सह परक र एक स एक सागती ल रत यत त तय सागती ख लीलपरम ण
T3_L1
12
ABC harr PQR ABCharr PRQ ABCharrQPR
ABC harr QRP ABCharr RPQ ABC harr RQP
तसच जदह दोन तरिकोण एकरप असत त तदह एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन
कोन ह दसर य तरिकोण चय तीन सागत ि ज र सागत कोन ािी एकरप असत त
ही वय खय कळलय रर अनक तररदय थय ापरम ण तमचय ही मन त आल असल की
दोन तरिकोण ािददल इतकी म तरहती नहमी किी तरमळण र
आतरण समज तरमळ लीच तर तय तन एकरपतखरीज तय तरिकोण ािददल आणखी नरीन
क य कळण र तमची िाक र सत आह
T3_L1
13
जर दोन तरिकोण ाचय तरिरोबिदामधील सह एक स एक सागतीपकी दकम न
एक एक स एक सागतीमधय एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन कोन
(सह घटक) अनकरम दसर य तरिकोण चय सागत ि ज र सागत कोन ािी
एकरप असतील तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
वय खय
जर ∆ABC ह ∆PQR िी ABC harr QRP य सागतीत तातोतात जळत असल
तर ∆ABCcong∆QRP अस तरलतरहत त
14
तरिकोण ाचय एकरपतचय कसोटय
T3_L2
तय चय उततर स ठी चल जर क ही सोपय कती कर तय मळ तरिकोण ाचय कमीत कमी दकती
घटक ाची म तरहती तरमळ ली की तय ाच उरलल घटक एकरप असत तच ह तमह ल कळल
एकरपतस ठी आरशयक म तरहती तय मळ वय खयपकष कमी होईल
रर द खतररलय परम ण तरिकोण क गद रर क ढन घय र त ि जाररन वयरतरसथतपण क पन घय
T3_L2_A1 1) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
15
a) ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
b) ि ज AC FD य ाची ल ािी मोज
c) angBAC angFDE तसच angBCA angFED य ाची म प मोज
d) आत य तरिकोण ाचय एकरप घटक ाची परथम ि जाचय जोडय र नातर कोन ाचय जोडय
य परम ण य दी कर
e) वय खयनस र ह तरिकोण एकरप आहत क य िददलच तमच तरनरीकषण तरलह
य मधय दोन ि जाची ल ािी र तय ानी सम तररषट कलल कोन य ाची म प सम न घतली र
तरिकोण क ढल
16
T3_L2_A1
तय ाच इतर सरव घटक एकरप असलय च आपण पडत ळ घतल
महणजच ह तरिकोण एकरपतचय वय खयतील सरव अटी पणव करत त
जरी तमही ि ज तसच सम तररषट कलल कोन य ाची म प िदलली तरीसधद तरिकोण एकरप
तरमळत त क ह करन प ह िकत
हच पनह पनह सतय असलय च ददसन आलय न ती एकरपतची कसोटी ठरली
तरतच न र rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo आह
अि आणखी तीन रगळय कसोटय आहत तय rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo चय आध र
तरसदध करत यत त पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
मग दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र rsquoि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटीrsquo
अस र पर
T3_L2_A1
17
आत तमह ल सरर तीचय तरिर जी मह र ज ाचय गोषटीतील सरव म रळ
रगरगळय ठठक ाण हन एक च रळी तरनघन तरिखर रर एक च रळी कस क य
पोहोचल य परशन च उततर स पडल
∆PMA ∆PMB ∆PMC ह ि -को-ि एकरपत कसोटीन एकरप आहत
तय मळ तय ाचय सागत ि ज एकरप असलय न PA =PB = PC
(कोणतही तीन बिद नहमीच एकपरतलीय असत त ह तमह ल म तरहत आहच)
there4सर ान सम न अातर चढ र ल गल तसच तय ाची गती सम न असण र
18
T3_L2_A1
िज रील आकतीत रख PM ह परत पगड च तरिखर आतरण
प यथय च बिद य ान जोडण र असन M बिदप सन
A B C ही तीन ठ णी सम न अातर रर आहत
रख PM ह रख AM रख BM रख CM ल लाि आह angPMA = angPMB = angPMC = 900
( ही गोषट क लपतरनक आह)
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
एक आकती दस-य आकतीरर ठरण ह परतयक रळी िकय होण र न ही
महणन आकतय ाच आक र र म प सम न असणय च पडत ळ घणय स ठी दस-य पधदतीच
तररच र कर र ल गतो
आपण समरपत तरिकलो तदह तरिकोण ाचय तरिरोबिदातील एक स एक सागती य िददल
तरिकलो आहोत तीच साकलपन यथही र परण र आहोत क रण दोन तरिकोण एकमक ारर 6
रगरगळय परक र ठरत यत त
T3_L1
11
तय ल च आपण तरिरोबिदामधील एक स एक सागती महणतो ह तमह ल म तरहत
आह
जर ∆ABC आतरण ∆PQR ह ददलल दोन तरिकोण असतील तर तय ाचय तरिरोबिदामधय
सह परक र एक स एक सागती ल रत यत त तय सागती ख लीलपरम ण
T3_L1
12
ABC harr PQR ABCharr PRQ ABCharrQPR
ABC harr QRP ABCharr RPQ ABC harr RQP
तसच जदह दोन तरिकोण एकरप असत त तदह एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन
कोन ह दसर य तरिकोण चय तीन सागत ि ज र सागत कोन ािी एकरप असत त
ही वय खय कळलय रर अनक तररदय थय ापरम ण तमचय ही मन त आल असल की
दोन तरिकोण ािददल इतकी म तरहती नहमी किी तरमळण र
आतरण समज तरमळ लीच तर तय तन एकरपतखरीज तय तरिकोण ािददल आणखी नरीन
क य कळण र तमची िाक र सत आह
T3_L1
13
जर दोन तरिकोण ाचय तरिरोबिदामधील सह एक स एक सागतीपकी दकम न
एक एक स एक सागतीमधय एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन कोन
(सह घटक) अनकरम दसर य तरिकोण चय सागत ि ज र सागत कोन ािी
एकरप असतील तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
वय खय
जर ∆ABC ह ∆PQR िी ABC harr QRP य सागतीत तातोतात जळत असल
तर ∆ABCcong∆QRP अस तरलतरहत त
14
तरिकोण ाचय एकरपतचय कसोटय
T3_L2
तय चय उततर स ठी चल जर क ही सोपय कती कर तय मळ तरिकोण ाचय कमीत कमी दकती
घटक ाची म तरहती तरमळ ली की तय ाच उरलल घटक एकरप असत तच ह तमह ल कळल
एकरपतस ठी आरशयक म तरहती तय मळ वय खयपकष कमी होईल
रर द खतररलय परम ण तरिकोण क गद रर क ढन घय र त ि जाररन वयरतरसथतपण क पन घय
T3_L2_A1 1) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
15
a) ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
b) ि ज AC FD य ाची ल ािी मोज
c) angBAC angFDE तसच angBCA angFED य ाची म प मोज
d) आत य तरिकोण ाचय एकरप घटक ाची परथम ि जाचय जोडय र नातर कोन ाचय जोडय
य परम ण य दी कर
e) वय खयनस र ह तरिकोण एकरप आहत क य िददलच तमच तरनरीकषण तरलह
य मधय दोन ि जाची ल ािी र तय ानी सम तररषट कलल कोन य ाची म प सम न घतली र
तरिकोण क ढल
16
T3_L2_A1
तय ाच इतर सरव घटक एकरप असलय च आपण पडत ळ घतल
महणजच ह तरिकोण एकरपतचय वय खयतील सरव अटी पणव करत त
जरी तमही ि ज तसच सम तररषट कलल कोन य ाची म प िदलली तरीसधद तरिकोण एकरप
तरमळत त क ह करन प ह िकत
हच पनह पनह सतय असलय च ददसन आलय न ती एकरपतची कसोटी ठरली
तरतच न र rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo आह
अि आणखी तीन रगळय कसोटय आहत तय rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo चय आध र
तरसदध करत यत त पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
मग दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र rsquoि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटीrsquo
अस र पर
T3_L2_A1
17
आत तमह ल सरर तीचय तरिर जी मह र ज ाचय गोषटीतील सरव म रळ
रगरगळय ठठक ाण हन एक च रळी तरनघन तरिखर रर एक च रळी कस क य
पोहोचल य परशन च उततर स पडल
∆PMA ∆PMB ∆PMC ह ि -को-ि एकरपत कसोटीन एकरप आहत
तय मळ तय ाचय सागत ि ज एकरप असलय न PA =PB = PC
(कोणतही तीन बिद नहमीच एकपरतलीय असत त ह तमह ल म तरहत आहच)
there4सर ान सम न अातर चढ र ल गल तसच तय ाची गती सम न असण र
18
T3_L2_A1
िज रील आकतीत रख PM ह परत पगड च तरिखर आतरण
प यथय च बिद य ान जोडण र असन M बिदप सन
A B C ही तीन ठ णी सम न अातर रर आहत
रख PM ह रख AM रख BM रख CM ल लाि आह angPMA = angPMB = angPMC = 900
( ही गोषट क लपतरनक आह)
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
जर ∆ABC आतरण ∆PQR ह ददलल दोन तरिकोण असतील तर तय ाचय तरिरोबिदामधय
सह परक र एक स एक सागती ल रत यत त तय सागती ख लीलपरम ण
T3_L1
12
ABC harr PQR ABCharr PRQ ABCharrQPR
ABC harr QRP ABCharr RPQ ABC harr RQP
तसच जदह दोन तरिकोण एकरप असत त तदह एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन
कोन ह दसर य तरिकोण चय तीन सागत ि ज र सागत कोन ािी एकरप असत त
ही वय खय कळलय रर अनक तररदय थय ापरम ण तमचय ही मन त आल असल की
दोन तरिकोण ािददल इतकी म तरहती नहमी किी तरमळण र
आतरण समज तरमळ लीच तर तय तन एकरपतखरीज तय तरिकोण ािददल आणखी नरीन
क य कळण र तमची िाक र सत आह
T3_L1
13
जर दोन तरिकोण ाचय तरिरोबिदामधील सह एक स एक सागतीपकी दकम न
एक एक स एक सागतीमधय एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन कोन
(सह घटक) अनकरम दसर य तरिकोण चय सागत ि ज र सागत कोन ािी
एकरप असतील तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
वय खय
जर ∆ABC ह ∆PQR िी ABC harr QRP य सागतीत तातोतात जळत असल
तर ∆ABCcong∆QRP अस तरलतरहत त
14
तरिकोण ाचय एकरपतचय कसोटय
T3_L2
तय चय उततर स ठी चल जर क ही सोपय कती कर तय मळ तरिकोण ाचय कमीत कमी दकती
घटक ाची म तरहती तरमळ ली की तय ाच उरलल घटक एकरप असत तच ह तमह ल कळल
एकरपतस ठी आरशयक म तरहती तय मळ वय खयपकष कमी होईल
रर द खतररलय परम ण तरिकोण क गद रर क ढन घय र त ि जाररन वयरतरसथतपण क पन घय
T3_L2_A1 1) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
15
a) ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
b) ि ज AC FD य ाची ल ािी मोज
c) angBAC angFDE तसच angBCA angFED य ाची म प मोज
d) आत य तरिकोण ाचय एकरप घटक ाची परथम ि जाचय जोडय र नातर कोन ाचय जोडय
य परम ण य दी कर
e) वय खयनस र ह तरिकोण एकरप आहत क य िददलच तमच तरनरीकषण तरलह
य मधय दोन ि जाची ल ािी र तय ानी सम तररषट कलल कोन य ाची म प सम न घतली र
तरिकोण क ढल
16
T3_L2_A1
तय ाच इतर सरव घटक एकरप असलय च आपण पडत ळ घतल
महणजच ह तरिकोण एकरपतचय वय खयतील सरव अटी पणव करत त
जरी तमही ि ज तसच सम तररषट कलल कोन य ाची म प िदलली तरीसधद तरिकोण एकरप
तरमळत त क ह करन प ह िकत
हच पनह पनह सतय असलय च ददसन आलय न ती एकरपतची कसोटी ठरली
तरतच न र rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo आह
अि आणखी तीन रगळय कसोटय आहत तय rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo चय आध र
तरसदध करत यत त पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
मग दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र rsquoि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटीrsquo
अस र पर
T3_L2_A1
17
आत तमह ल सरर तीचय तरिर जी मह र ज ाचय गोषटीतील सरव म रळ
रगरगळय ठठक ाण हन एक च रळी तरनघन तरिखर रर एक च रळी कस क य
पोहोचल य परशन च उततर स पडल
∆PMA ∆PMB ∆PMC ह ि -को-ि एकरपत कसोटीन एकरप आहत
तय मळ तय ाचय सागत ि ज एकरप असलय न PA =PB = PC
(कोणतही तीन बिद नहमीच एकपरतलीय असत त ह तमह ल म तरहत आहच)
there4सर ान सम न अातर चढ र ल गल तसच तय ाची गती सम न असण र
18
T3_L2_A1
िज रील आकतीत रख PM ह परत पगड च तरिखर आतरण
प यथय च बिद य ान जोडण र असन M बिदप सन
A B C ही तीन ठ णी सम न अातर रर आहत
रख PM ह रख AM रख BM रख CM ल लाि आह angPMA = angPMB = angPMC = 900
( ही गोषट क लपतरनक आह)
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
तसच जदह दोन तरिकोण एकरप असत त तदह एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन
कोन ह दसर य तरिकोण चय तीन सागत ि ज र सागत कोन ािी एकरप असत त
ही वय खय कळलय रर अनक तररदय थय ापरम ण तमचय ही मन त आल असल की
दोन तरिकोण ािददल इतकी म तरहती नहमी किी तरमळण र
आतरण समज तरमळ लीच तर तय तन एकरपतखरीज तय तरिकोण ािददल आणखी नरीन
क य कळण र तमची िाक र सत आह
T3_L1
13
जर दोन तरिकोण ाचय तरिरोबिदामधील सह एक स एक सागतीपकी दकम न
एक एक स एक सागतीमधय एक तरिकोण चय तीन ि ज र तीन कोन
(सह घटक) अनकरम दसर य तरिकोण चय सागत ि ज र सागत कोन ािी
एकरप असतील तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
वय खय
जर ∆ABC ह ∆PQR िी ABC harr QRP य सागतीत तातोतात जळत असल
तर ∆ABCcong∆QRP अस तरलतरहत त
14
तरिकोण ाचय एकरपतचय कसोटय
T3_L2
तय चय उततर स ठी चल जर क ही सोपय कती कर तय मळ तरिकोण ाचय कमीत कमी दकती
घटक ाची म तरहती तरमळ ली की तय ाच उरलल घटक एकरप असत तच ह तमह ल कळल
एकरपतस ठी आरशयक म तरहती तय मळ वय खयपकष कमी होईल
रर द खतररलय परम ण तरिकोण क गद रर क ढन घय र त ि जाररन वयरतरसथतपण क पन घय
T3_L2_A1 1) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
15
a) ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
b) ि ज AC FD य ाची ल ािी मोज
c) angBAC angFDE तसच angBCA angFED य ाची म प मोज
d) आत य तरिकोण ाचय एकरप घटक ाची परथम ि जाचय जोडय र नातर कोन ाचय जोडय
य परम ण य दी कर
e) वय खयनस र ह तरिकोण एकरप आहत क य िददलच तमच तरनरीकषण तरलह
य मधय दोन ि जाची ल ािी र तय ानी सम तररषट कलल कोन य ाची म प सम न घतली र
तरिकोण क ढल
16
T3_L2_A1
तय ाच इतर सरव घटक एकरप असलय च आपण पडत ळ घतल
महणजच ह तरिकोण एकरपतचय वय खयतील सरव अटी पणव करत त
जरी तमही ि ज तसच सम तररषट कलल कोन य ाची म प िदलली तरीसधद तरिकोण एकरप
तरमळत त क ह करन प ह िकत
हच पनह पनह सतय असलय च ददसन आलय न ती एकरपतची कसोटी ठरली
तरतच न र rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo आह
अि आणखी तीन रगळय कसोटय आहत तय rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo चय आध र
तरसदध करत यत त पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
मग दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र rsquoि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटीrsquo
अस र पर
T3_L2_A1
17
आत तमह ल सरर तीचय तरिर जी मह र ज ाचय गोषटीतील सरव म रळ
रगरगळय ठठक ाण हन एक च रळी तरनघन तरिखर रर एक च रळी कस क य
पोहोचल य परशन च उततर स पडल
∆PMA ∆PMB ∆PMC ह ि -को-ि एकरपत कसोटीन एकरप आहत
तय मळ तय ाचय सागत ि ज एकरप असलय न PA =PB = PC
(कोणतही तीन बिद नहमीच एकपरतलीय असत त ह तमह ल म तरहत आहच)
there4सर ान सम न अातर चढ र ल गल तसच तय ाची गती सम न असण र
18
T3_L2_A1
िज रील आकतीत रख PM ह परत पगड च तरिखर आतरण
प यथय च बिद य ान जोडण र असन M बिदप सन
A B C ही तीन ठ णी सम न अातर रर आहत
रख PM ह रख AM रख BM रख CM ल लाि आह angPMA = angPMB = angPMC = 900
( ही गोषट क लपतरनक आह)
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
14
तरिकोण ाचय एकरपतचय कसोटय
T3_L2
तय चय उततर स ठी चल जर क ही सोपय कती कर तय मळ तरिकोण ाचय कमीत कमी दकती
घटक ाची म तरहती तरमळ ली की तय ाच उरलल घटक एकरप असत तच ह तमह ल कळल
एकरपतस ठी आरशयक म तरहती तय मळ वय खयपकष कमी होईल
रर द खतररलय परम ण तरिकोण क गद रर क ढन घय र त ि जाररन वयरतरसथतपण क पन घय
T3_L2_A1 1) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
15
a) ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
b) ि ज AC FD य ाची ल ािी मोज
c) angBAC angFDE तसच angBCA angFED य ाची म प मोज
d) आत य तरिकोण ाचय एकरप घटक ाची परथम ि जाचय जोडय र नातर कोन ाचय जोडय
य परम ण य दी कर
e) वय खयनस र ह तरिकोण एकरप आहत क य िददलच तमच तरनरीकषण तरलह
य मधय दोन ि जाची ल ािी र तय ानी सम तररषट कलल कोन य ाची म प सम न घतली र
तरिकोण क ढल
16
T3_L2_A1
तय ाच इतर सरव घटक एकरप असलय च आपण पडत ळ घतल
महणजच ह तरिकोण एकरपतचय वय खयतील सरव अटी पणव करत त
जरी तमही ि ज तसच सम तररषट कलल कोन य ाची म प िदलली तरीसधद तरिकोण एकरप
तरमळत त क ह करन प ह िकत
हच पनह पनह सतय असलय च ददसन आलय न ती एकरपतची कसोटी ठरली
तरतच न र rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo आह
अि आणखी तीन रगळय कसोटय आहत तय rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo चय आध र
तरसदध करत यत त पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
मग दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र rsquoि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटीrsquo
अस र पर
T3_L2_A1
17
आत तमह ल सरर तीचय तरिर जी मह र ज ाचय गोषटीतील सरव म रळ
रगरगळय ठठक ाण हन एक च रळी तरनघन तरिखर रर एक च रळी कस क य
पोहोचल य परशन च उततर स पडल
∆PMA ∆PMB ∆PMC ह ि -को-ि एकरपत कसोटीन एकरप आहत
तय मळ तय ाचय सागत ि ज एकरप असलय न PA =PB = PC
(कोणतही तीन बिद नहमीच एकपरतलीय असत त ह तमह ल म तरहत आहच)
there4सर ान सम न अातर चढ र ल गल तसच तय ाची गती सम न असण र
18
T3_L2_A1
िज रील आकतीत रख PM ह परत पगड च तरिखर आतरण
प यथय च बिद य ान जोडण र असन M बिदप सन
A B C ही तीन ठ णी सम न अातर रर आहत
रख PM ह रख AM रख BM रख CM ल लाि आह angPMA = angPMB = angPMC = 900
( ही गोषट क लपतरनक आह)
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
तय चय उततर स ठी चल जर क ही सोपय कती कर तय मळ तरिकोण ाचय कमीत कमी दकती
घटक ाची म तरहती तरमळ ली की तय ाच उरलल घटक एकरप असत तच ह तमह ल कळल
एकरपतस ठी आरशयक म तरहती तय मळ वय खयपकष कमी होईल
रर द खतररलय परम ण तरिकोण क गद रर क ढन घय र त ि जाररन वयरतरसथतपण क पन घय
T3_L2_A1 1) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
15
a) ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
b) ि ज AC FD य ाची ल ािी मोज
c) angBAC angFDE तसच angBCA angFED य ाची म प मोज
d) आत य तरिकोण ाचय एकरप घटक ाची परथम ि जाचय जोडय र नातर कोन ाचय जोडय
य परम ण य दी कर
e) वय खयनस र ह तरिकोण एकरप आहत क य िददलच तमच तरनरीकषण तरलह
य मधय दोन ि जाची ल ािी र तय ानी सम तररषट कलल कोन य ाची म प सम न घतली र
तरिकोण क ढल
16
T3_L2_A1
तय ाच इतर सरव घटक एकरप असलय च आपण पडत ळ घतल
महणजच ह तरिकोण एकरपतचय वय खयतील सरव अटी पणव करत त
जरी तमही ि ज तसच सम तररषट कलल कोन य ाची म प िदलली तरीसधद तरिकोण एकरप
तरमळत त क ह करन प ह िकत
हच पनह पनह सतय असलय च ददसन आलय न ती एकरपतची कसोटी ठरली
तरतच न र rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo आह
अि आणखी तीन रगळय कसोटय आहत तय rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo चय आध र
तरसदध करत यत त पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
मग दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र rsquoि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटीrsquo
अस र पर
T3_L2_A1
17
आत तमह ल सरर तीचय तरिर जी मह र ज ाचय गोषटीतील सरव म रळ
रगरगळय ठठक ाण हन एक च रळी तरनघन तरिखर रर एक च रळी कस क य
पोहोचल य परशन च उततर स पडल
∆PMA ∆PMB ∆PMC ह ि -को-ि एकरपत कसोटीन एकरप आहत
तय मळ तय ाचय सागत ि ज एकरप असलय न PA =PB = PC
(कोणतही तीन बिद नहमीच एकपरतलीय असत त ह तमह ल म तरहत आहच)
there4सर ान सम न अातर चढ र ल गल तसच तय ाची गती सम न असण र
18
T3_L2_A1
िज रील आकतीत रख PM ह परत पगड च तरिखर आतरण
प यथय च बिद य ान जोडण र असन M बिदप सन
A B C ही तीन ठ णी सम न अातर रर आहत
रख PM ह रख AM रख BM रख CM ल लाि आह angPMA = angPMB = angPMC = 900
( ही गोषट क लपतरनक आह)
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
a) ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
b) ि ज AC FD य ाची ल ािी मोज
c) angBAC angFDE तसच angBCA angFED य ाची म प मोज
d) आत य तरिकोण ाचय एकरप घटक ाची परथम ि जाचय जोडय र नातर कोन ाचय जोडय
य परम ण य दी कर
e) वय खयनस र ह तरिकोण एकरप आहत क य िददलच तमच तरनरीकषण तरलह
य मधय दोन ि जाची ल ािी र तय ानी सम तररषट कलल कोन य ाची म प सम न घतली र
तरिकोण क ढल
16
T3_L2_A1
तय ाच इतर सरव घटक एकरप असलय च आपण पडत ळ घतल
महणजच ह तरिकोण एकरपतचय वय खयतील सरव अटी पणव करत त
जरी तमही ि ज तसच सम तररषट कलल कोन य ाची म प िदलली तरीसधद तरिकोण एकरप
तरमळत त क ह करन प ह िकत
हच पनह पनह सतय असलय च ददसन आलय न ती एकरपतची कसोटी ठरली
तरतच न र rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo आह
अि आणखी तीन रगळय कसोटय आहत तय rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo चय आध र
तरसदध करत यत त पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
मग दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र rsquoि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटीrsquo
अस र पर
T3_L2_A1
17
आत तमह ल सरर तीचय तरिर जी मह र ज ाचय गोषटीतील सरव म रळ
रगरगळय ठठक ाण हन एक च रळी तरनघन तरिखर रर एक च रळी कस क य
पोहोचल य परशन च उततर स पडल
∆PMA ∆PMB ∆PMC ह ि -को-ि एकरपत कसोटीन एकरप आहत
तय मळ तय ाचय सागत ि ज एकरप असलय न PA =PB = PC
(कोणतही तीन बिद नहमीच एकपरतलीय असत त ह तमह ल म तरहत आहच)
there4सर ान सम न अातर चढ र ल गल तसच तय ाची गती सम न असण र
18
T3_L2_A1
िज रील आकतीत रख PM ह परत पगड च तरिखर आतरण
प यथय च बिद य ान जोडण र असन M बिदप सन
A B C ही तीन ठ णी सम न अातर रर आहत
रख PM ह रख AM रख BM रख CM ल लाि आह angPMA = angPMB = angPMC = 900
( ही गोषट क लपतरनक आह)
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
जरी तमही ि ज तसच सम तररषट कलल कोन य ाची म प िदलली तरीसधद तरिकोण एकरप
तरमळत त क ह करन प ह िकत
हच पनह पनह सतय असलय च ददसन आलय न ती एकरपतची कसोटी ठरली
तरतच न र rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo आह
अि आणखी तीन रगळय कसोटय आहत तय rsquoि ndash को ndash ि एकरपत कसोटीrsquo चय आध र
तरसदध करत यत त पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
मग दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र rsquoि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटीrsquo
अस र पर
T3_L2_A1
17
आत तमह ल सरर तीचय तरिर जी मह र ज ाचय गोषटीतील सरव म रळ
रगरगळय ठठक ाण हन एक च रळी तरनघन तरिखर रर एक च रळी कस क य
पोहोचल य परशन च उततर स पडल
∆PMA ∆PMB ∆PMC ह ि -को-ि एकरपत कसोटीन एकरप आहत
तय मळ तय ाचय सागत ि ज एकरप असलय न PA =PB = PC
(कोणतही तीन बिद नहमीच एकपरतलीय असत त ह तमह ल म तरहत आहच)
there4सर ान सम न अातर चढ र ल गल तसच तय ाची गती सम न असण र
18
T3_L2_A1
िज रील आकतीत रख PM ह परत पगड च तरिखर आतरण
प यथय च बिद य ान जोडण र असन M बिदप सन
A B C ही तीन ठ णी सम न अातर रर आहत
रख PM ह रख AM रख BM रख CM ल लाि आह angPMA = angPMB = angPMC = 900
( ही गोषट क लपतरनक आह)
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
∆PMA ∆PMB ∆PMC ह ि -को-ि एकरपत कसोटीन एकरप आहत
तय मळ तय ाचय सागत ि ज एकरप असलय न PA =PB = PC
(कोणतही तीन बिद नहमीच एकपरतलीय असत त ह तमह ल म तरहत आहच)
there4सर ान सम न अातर चढ र ल गल तसच तय ाची गती सम न असण र
18
T3_L2_A1
िज रील आकतीत रख PM ह परत पगड च तरिखर आतरण
प यथय च बिद य ान जोडण र असन M बिदप सन
A B C ही तीन ठ णी सम न अातर रर आहत
रख PM ह रख AM रख BM रख CM ल लाि आह angPMA = angPMB = angPMC = 900
( ही गोषट क लपतरनक आह)
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
आत कोनम पक चय स ह यय न दोनही तरिकोण तील सह कोन ाची म प मोज र तय ापकी
एकरप कोन ाचय जोडय ाची य दी तरलह
य कतीतन आपलय ल क य कळल य रर तररच र कर
19
T3_L2_A2 2) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
ह तरिकोण एकरप आहत ह पटल क
तरिकोण क ढत न कोणत तीन घटक एकरप घतल य ररन कसोटीच न र क य असल त
तमह ल सचल क
ह तमह ल सचलल न र िरोिर आह
पण य च न र ची कसोटी समरप तरिकोण ास ठीही आह
दोनहीतील फरक कळ र महणन आपण य कसोटीच न र
rsquoि -ि -ि एकरपत कसोटीrsquo अस य पढ तरलह
20
T3_L2_A2
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
रर द खतररलय परम ण दोन तरिकोण क गद रर क ढन घय र त वयरतरसथतपण क पन घय
ह तरिकोण एकमक ारर रगरगळय सागतीत ठऊन पह
त कोणतय एक स एक सागतीत तातोतात जळल तय ची नोद कर
य तरिकोण ाचय उरललय ि जाची ल ािी मोज
तरतसर य जोडीतील कोन ाची म प मोजणय ची आरशयकत न ही
क रण त कोन न मोजत ही तय ाची म प तमह ल कळलीच असतील
यथही तरिकोण एकरपतचय अटी पणव करत त अस आढळल क 21
T3_L2_A3 3) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
22
T3_L2_A4 को ndash ि ndash को र ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
महणन ही नरीन कसोटी कळ ली तरतच न र rsquoको ndash ि ndash कोrsquo कसोटीrsquo
य कसोटीररनच आणखी एक कसोटी तरमळत ररील आकतय ामधील तरतसर य कोन ाची
जोडी एकरप असत ह आपण म गील परकरण त प तरहलच आह
जर ददललय ि जचय लगतचय आणखी एक कोन ऎरजी समोरचय कोन च म प ददल
तरीही तरिकोण एकरप असत त तरतच न र rsquo ि ndash को ndash को कसोटीrsquo
य कसोटय ापकी rsquo ि - को- ि कसोटीrsquo ही कसोटी गतरहतक महणन तरनरडली तर तरतचय
सह यय न इतर कसोटय ानस र तरिकोण एकरप तरसदध करत यत त
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
2) तरिकोण एकरपतची को ndash ि ndash को कसोटी
जर ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधील सम तररषट ि ज अनकरम
दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधील सम तररषट ि ज य ाचय िी एकरप असतील
तर त दोन तरिकोण एकरप असत त
23
T3_L2_A5 एकरपतचय कसोटय र परमय
1) तरिकोण एकरपतची ि ndashको -ि कसोटी
ददललय rsquoसागतीrsquo नस र जर एक तरिकोण चय दोन ि ज र तय मधील कोन अनकरम
दसर य तरिकोण चय दोन सागत ि ज र तय मधील सम तररषट कोन य ाचय िी एकरप
असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
तरिकोण एकरपतस ठी परि अटी महणजच तरिकोण rsquo एकरपचय कसोटय rsquo आहत
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
5) कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक दसर य क टकोन तरिकोण च कणव
र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन क टकोन तरिकोण परसपर ािी एकरप
असत त
24
T3_L2_A5
3) तरिकोण एकरपतची ि ndash को ndash को कसोटी
ददललय सागतीनस र एक तरिकोण च दोन कोन र तय मधय सम तररषट नसण री ि ज
अनकरम दसर य तरिकोण च दोन सागत कोन र तय मधय सम तररषट नसण री सागत ि ज
य चय िी एकरप असत त तदह त दोन तरिकोण एकरप असत त
4) तरिकोण एकरपतची ि ndash ि ndash ि कसोटी
ददललय सागतीनस र जर एक तरिकोण चय तीन ि ज अनकरम दसर य तरिकोण चय तीन
सागत ि जािी एकरप असत त तर त दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
ख ली ददललय परतयक जोडीतील तरिकोण एकरप आहत
तमही फकत परतयक ठठक णी कोणती कसोटी आध र महणन तरनरडण र त तरलह
र तरलतरहत न लकष त ठर की तय ाचय तरिरोबिदतील एक स एक सागती योगय असली
प तरहज
25
T3_L2_A6 कसोटय ारर आध ठरत उद हरण
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
3)
4)
26
T3_L2_A6
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
i) ∆BAE cong ∆DCG hellip(ि -ि -ि एकरपत कसोटी)
119842119842) ∆DECcong ∆FGH helliphellip(को-ि -को कसोटी)
iii) ∆IJK cong ∆QLS helliphelliphellip(ि -को- को कसोटी )
119842119855) ∆MPN cong ∆RST helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
कोणतय ही कसोटीनस र ककर परमय नस र दोन तरिकोण एकरप आहत ह कळल तर तय च
क य उपयोग करत यईल
27
कसोटय ारर आध ठरत उद हरण ाची उततर T3_L2_A6
तय मळ वय खयररन आपलय ल तय तरिकोण ाच इतर घटक ही एकरप
आहत ही म तरहती कळत ह फ र मोठ उपयोग होतो
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
28
T3_L3
तरिकोण ाचय एकरपतच गणधमव
ह गणधमव समरपतचय गणधम ापरम णच आहत
1) पर रतवनत परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो
2) समतरमतत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल तर दसर तरिकोण
पतरहलय तरिकोण िी एकरप असतो
3) साकरमकत जर पतरहल तरिकोण दस-य तरिकोण िी एकरप असल र दसर तरिकोण
तरतसर य तरिकोण िी एकरप असल तर पतरहल तरिकोण ह तरतसर य तरिकोण िी
एकरप असतो
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
िज रील आकतीत द खतररललय
तरिकोण ापकी कोणत तरिकोण एकरप
आहत र कोणत तरिकोण समरप
आहत त ठरर
एकरप र समरप तरिकोण ाचय
वय खय िघ
जर दोन तरिकोण परसपर ािी एकरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज एकरप असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
जर दोन तरिकोण परसपर ािी समरप असतील
तर
i) तय ाचय सागत ि ज परम ण त असत त
आतरण
ii) तय ाच सागत कोन एकरप असत त
य दोन वय खय ामधील स मय कोणत र फरक कोणत 29
तरिकोण ाची समरपत र एकरपत T3_L3_A1
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
म गील आकतय पनह पह
र जर दोन साखय सम न असतील तर तय ाचय मधील गणोततर =
य रर तररच र कर र पढील स रणी पणव कर
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
2 आक रम न helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
3 सागत कोन helliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphellip
4 सागति ज helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
hellip
helliphelliphelliphelliphelliphellip
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip helliphelliphelliphelliphelliphelliphellip
30
T3_L3_A1
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
अकर तरिकोण ािी सािातरधत ि िी समरप तरिकोण एकरप तरिकोण
1 आक र स रख स रख
2 आक रम न तरभनन सम न
3 सागत कोन एकरप एकरप
4 सागति ज परम ण त एकरप
5 सागत ि जाचय गणोततर ाची ककमत सम न पण 1 असण
आरशयक न ही
सम न पण 1 असण
आरशयक असतच
उततर
31
T3_L3_A1
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
सागत कोन ाचय जोडय एकरप असत त ही अट दोनही मधय स म ईक आह
जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर त समरप असत तच क रण त समरपतचय
वय खयतील दोनही अटी पणव करत त
पण दोन तरिकोण समरप असतील तर त एकरप असतीलच अस न ही
(क रण तय ाचय सागत ि जाचय ल ािीचय गणोततर ची ककमत 1 असलच अस न ही)
32
T3_L3_A1
ह आपलय ल अगदी स धय परक रही सच िकत
कस
समरपतच तरचनह र एकरपतची तरचनह य दषटीन सचक आहत
किी कर तररच र
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
अनक मल ान ि - ि - को अिी
कसोटी क नसत ह परशन पडतो
तय स ठी आपण एक रचन करन
प ह
∆ABC र∆PQR मधय
AB =PQ =5 समी
BC = QR = 4 समी
angBAC =angQPR= 50deg परथम AB = 5 समी तसच PQ = 5 समी क ढन घय
आत ∆PQR मधय P बिदिी 50degम प च कोन करण र दकरण क ढ नातर ∆ABC
मधय A बिदिी 50deg म प च कोन करण र दकरण क ढ Q क दर र 4 तरिजयन ररील
दकरण ल छदण र का स क ढ छदनबिदल R न र दय
आत B क दर र 4 तरिजयन ररील दकरण ल छदण र का स क ढ
अस स ातरगतलय रर क य झ ल त आकतीत द खतररल आह
तय ररन तमह ल क य समजल 33
ि ndash ि ndash को अिी कसोटी क नसत T3_L3_A2
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
जर दोन तरभनन बिद तरमळ ल तर तय च अथव दोन तरिकोण ददललय अटी पणव करण र आहत
पण ह दोनही तरिकोण महणज ∆ABC र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी एकरप आहत क य
न ही फकत ∆ABC ह एकच तरिकोण ∆PQR िी एकरप आह र ∆ABCrsquo ह ∆PQR िी
एकरप न ही
34
T3_L3_A2
य ररन ि -ि -को एकरपत कसोटी क नसत ह तमह ल कळल क
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
35
ओळख समतरददभज तरिकोण िी T3_L4
ख लील आकतय ाचय एकरप ि ज स रखय खण ानी द खतररलय आहत
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
ह गणधमव तमह ल परीप सनच म तरहत आह
पण आकती 4 मधील तरिकोण ािददल तमच तरनरीकषण क य आह
36
T3_L4
म गील आकतय ामधील पतरहलय तीन तरिकोण ाचय ि जाच रतरिटय कोणत ददसत
िरोिर पतरहलय तीन तरिकोण ाचय दोन ि ज एकरप आहत महणजच त
समतरददभज तरिकोण आहत
आत तय ाचय कोन ाच तरनरीकषण एकरप ि जाचय सादभ वत कर तमह ल क य आढळत
तय ाचय जय ि ज एकरप आहत तय ाचय समोरील कोन ाची म प सम न
आहतमहणजच त एकरप आहत
तय चय कोणतय ही दोन ि ज एकरप न हीत तो तररषमभज तरिकोण आह
तरिर य तय च कोणतही दोन कोन एकरप न हीत य मळ तमह ल अाद ज आल असल की एक च तरिकोण चय ि जाची एकरपत आतरण तय ाचय
समोरील कोन ाची एकरपत य ाचय त क हीतरी सािाध अस र
तो सािाध आत आपण िोधण र आहोत
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
समतरिभज तरिकोण च परमय
पण ∆ABC ह समतरिभज असलय न आणखी एख दय सागतीत तो सरतःिीच एकरप
द खरत यतो क य रर तररच र कर
तय स ठीच िज री तय ची आकती पण तरिरोबिद A र B य ाचय ज ग अदल िदल करन
द खतररली आह
37
T3_L4_A1
िज रील आकती ( I ) मधील ∆ABC मधय
रख CA cong रख CB महणजच ∆ ABC ह
समतरिभज तरिकोण आह
परतयक तरिकोण सरतःिी एकरप असतो ह
आपलय ल म तरहत आह
महणज ∆ABCcong ∆ABC ह कोणतय ही
तरिकोण स ठी सतय असतच
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
(एक परमय ल अनक तरसदधत अस िकत त ह तमह ल तमचय पसतक तील य गण धम वची
तरसदधत र चलीत की पटल)
य च एकरपतचय गणधम वचय आध र य परमय च वयतय स तरसदध करणय च परयतन पढील
ठरक मय ज ग भरन कर 38
T3_L4_A1 समतरिभज तरिकोण च परमय आत ∆ABC र ∆BACमधय
रख CA cong रख CB ( पकष )
angACB cong angBCA hellip(पर रतवनत गणधमव)
रख CBcong रख CA (पकष र समतरमतत गणधमव)
∆CABcong ∆CBA ( ि - को ndashि एकरपत
कसोटी)
angACB cong angBCA( एकरप तरिकोण ाच सागत
कोन)
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असतील तर तय ि जासमोरील
तय तरिकोण च दोन कोनही एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
समतरददभज तरिकोण चय परमय च वयतय स
तरसदधत 1) ∆RPQ र ∆RQP मधय
angRPQ cong ang RQP ( )
रख PQ cong रख ( पर रतवनत गणधमव)
ang cong angRPQ ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQ cong ∆RQP ( कसोटी)
2) रख cong रख RP ( एकरप तरिकोण ाचय ि ज)
39
T3_L4_A2
पकष ∆RPQमधय angRPQ cong ang RQP
स धय रख RQcongरख RP
तरनषकषव जर एक च तरिकोण च दोन कोन असतील
तर तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय दोन एकरप असत त
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
(अनक तररदय थी य दोन परमय च उपयोग करत न ह तररसरत त की ही परमय एक च
तरिकोण चय ि ज तसच कोन ािददल आहत दोन तरिकोण ाचय ि ज ककर कोन ास ठी न हीत) 40
T3_L4_A2
1) ∆RPQर ∆RQPमधय
angRPQ cong angRQP helliphelliphellip( पकष)
रख PQ cong रख QP helliphelliphellip( पर रतवनत गणधमव )
angRQP cong angRPQ helliphelliphellip ( पकष र समतरमतत गणधमव )
there4 ∆RPQcong ∆RQP helliphelliphellip ( को-ि -को कसोटी )
2) रख RQ cong रख RP helliphelliphellip ( एकरप तरिकोण ाच सागत ि ज )
उततर
तरनषकषव
जर एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप असतील तर तय कोन ासमोरील
तय तरिकोण चय दोन ि ज एकरप असत त
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
समतरददभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि
पकष ∆ABC मधय रख ACcong रख BC
रख CD perpप य AB (D मधय)
स धय 1) रख CD ह प य AB दभ गतो
(D ह प य AB च मधयबिद आह)
2) रख CD ह प य AB समोरील angACB दभ गतो
तरसदधत पढील परशन ाची उततर िोध महणज तरसदधत तय र होईल ती तरलहन क ढ
1रख CD perpप य AB ( D मधय) असलय मळ ∆CDA र ∆CDB कोणतय परक रच
आहत
2एकरपतचय कसोटय ानस र त एकरप द खतररत यतील क य रर तररच र कर
ककर
3क टकोन तरिकोण कोणतय परमय न एकरप द खतररत यत त
यथ ∆CDA र ∆CDB स ठी परमय र परत यईल क य रर तररच र कर 41
T3_L4_A3
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
4 जर दोन तरिकोण एकरप असतील तर तय ाचय सागत ि जािददल र सागत कोन ािददल
आपलय ल क य म तरहती आह
तय नस र स धय तील दोनही तररध न तरसदध होतील क य य रर तररच र कर
तरसदधत तरलहन पणव कर
तय ररन समतरिभज तरिकोण चय प य ररील तरिरोलाि च दोन गणधमव कळल त िबद त
तरलह
42
T3_L4_A3
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
तरसदधत
1) ∆CDA र ∆CDB य क टकोन तरिकोण ात
कणव CA congकणव CB hellip (पकष )
रख CD cong रख CD helliphellip( पर रतवनत गणधमव) ककर (परतयक रष खाड सरतःिी एकरप)
there4 ∆119810119811119808 cong ∆CDB hellip (कणव-भज परमय)
120784) there4 ि ज AD cong ि ज BD helliphellip(एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज एकरप)
महणजच D ह प य AB च मधयबिद आह ( A - D ndash B )
महणजच रख CD ह प य AB ल दभ गतो
120785) there4 ∆CDA cong ∆ CDB helliphellip(तररध न 1 ररन)
there4 angACDcong angACD hellip (एकरप तरिकोण ाच सागत कोन एकरप)
महणजच रख CD ह प य AB समोरील कोन angACB दभ गतो
43
T3_L4_A3
गणधमव समतरिभज तरिकोण चय प य रर सामख तरिरोबिदतन क ढलल लाि
प य ल दभ गतो (महणज तो लाि तरिकोण ची प य ररील मधयग ही आह)
र तरिकोण च प य सामख कोन दभ गतो
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
पकष ∆PQR मधय रख PQ cong रख PR
रख QD perp रख PR रख RE perp रख PQ
स धय रख QD cong रख RE
स धय तील रख QD र रख RE जय तरिकोण ाचय ि ज आहत अि तरिकोण ाचय आकतीत दोन
जोडय आहत तय ापकी तरिकोण ाची योगय जोडी अिी िोध की तय त पकष च उपयोग करत
यईल
ह तरिकोण कस एकरप द खतररत यतील य रर तररच र कर
(महणज तय ामधील एकरप घटक ाची य दी मन त तय र कर र तय ररन कसोटी ठरर )
एकरप तरिकोण ाच सागत घटक एकरप असत त य ररन स धय तरसदध कर 44
T3_L4_A4 3) समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जाररील तरिरोलाि ाच गणधमव
पढील परशन ाची उततर िोध र उततर ाचय सह यय न तरसदधत पणव कर
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
तरसदधत
120783) ∆PDQ र ∆PER मधय
रख PQ cong रख PR helliphellip(पकष )
angDPQ cong angEPR helliphellip (स म ईक कोन)
angPDQ cong angPER helliphelliphellip(परतयकी क टकोन)
there4∆ PDQ cong ∆ PER helliphelliphellip(ि -को-ि एकरपत कसोटी)
2) रख QD cong रख RE helliphellip (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
45
गणधमव
समतरिभज तरिकोण चय एकरप ि जारर क ढलल तरिरोलाि एकरप असत त
T3_L4_A4
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
एक च तरिकोण चय एकरप ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन एकरप असत त
एक च तरिकोण चय एकरप कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज एकरप असत त ह आपण
प तरहल
य च च दसर अथव अस की
एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसत त तय ि जासमोरील तय तरिकोण च कोन
एकरप नसत त
र एक च तरिकोण चय ज कोन एकरप नसत त तय कोन ासमोरील तय तरिकोण चय ि ज
एकरप नसत त
य तरिर य आपलय ल हही म तरहत आह की दोन साखय सम न नसतील तर तय ापकी पतरहली
साखय दसरीपकष मोठी असल न हीतर लह न असल
तय मळ आत तररच र कर की एक च तरिकोण चय जय ि ज एकरप नसतील तय ापकी
मोठय ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असण र अस आपलय ल
र टत त सतय आह की न ही त तरसदध करत यत क प ह 46
T3_L5
तरिकोण चय ि जामधील तसच कोन ामधील असम नत
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
1) एक सोप उद हरण प ह
6 + 3 = 9
य सम नतमधील 3 ही साखय क ढनच ट कली तर क य होईल
अथ वतच असम नत तरनम वण होईल
6 lt 9 ककर 9 gt 6 ह लकष त ठऊ
2) आणखी एक सोप उद हरण पह
अतरमतची उाची नह पकष ज सत आह आतरण नह ची उाची म नसीपकष ज सत आह य ररन
आपलय ल लगच कळत की अतरमतची उाची ही म नसीचय उाचीपकष ज सत आह
महणजच जर a gt b र b gt c असल तर a gt c
य ाच उपयोग आपण पढील तरसदधतत करण र आहोत
47
T3_L5
साखय ामधील असम नत सािाध
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
परमय एक च तरिकोण चय असम न ि ज र तय ाचय समोरील कोन
पकष ∆ABC मधय ि ज AC gt ि ज BC
स धय angABC gt angBAC
रचन ि ज AC gt ि ज BC असलय मळ रख AC रर D ह
बिद अस घतल की CD = BC
D र B बिद जोडल
तरसदधत -
1 AC gt BC hellip(पकष)
there4 AC gt DC ( रचननस र रख AC रर D ह बिद अस घतल की CD = BC )
there4 AC ndashDC gt 0
there4 AD gt 0 helliphellip( A - D ndash C )
48
T3_L5_A1
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
120784) ∆ADB च angCDB ह ि हयकोन आह र angDAB ह तय च दरसथ
आातरकोन आह
there4 mangCDB =mangDAB + mangDBAhelliphellip ( दरसथ आातरकोन च
परमय)
mangDBA ही धन साखय आह
mangCDB gt mangDAB महणजच mangCDB gt mangCAB
120785) ∆CDB मधय
रख CD cong रख CB helliphellip( रचन )
there4 mangCDB = mangCBD helliphellip( समतरिभज तरिकोण च परमय)
4) there4mangCBD gtmangCAB helliphellip ( तररध न 2 र 3 ररन)
5) mangABC = mangABD + mangCBD helliphellip(कोन ाचय िरजच गणधमव)
mangABD ही धन साखय आह
there4mangABC gt mangCBD 49
T3_L5_A1
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
6) there4mangABC gt mangCBD gt mangCAB helliphellip( तररध न 4 र 5 ररन)
there4mangABC gt mangCAB
50
T3_L5_A1
तरनषकषव एक च तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
ि जसमोरील कोन ह लह न ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
51
T3_L5_A2 दोन साखय ातील तरिभ जन गणधमव
समज x आतरण y ह दोन मल ाच एक परीकषतील गण आहत अस तय ाचय आय ानी ऎकल
तर लगच तय ाचय मन त x आतरण y ची तलन होत
तय त तीन पय वय असतील की
1) x gt y ककर 2) x lt y ककर 3) x = y
आत जर आपलय ल असही कळल की य ापकी x lt y आतरण x = y ह दोन पय वय असतय
आहत
मग आपल तरनषकषव क य असल x gt y ह सतय असल प तरहज
अस च तरनषकषव पढील तरसदधतत र परण र आहोत क रण आपण तय स ठी आरशयक परमय
तरसदध कलली आहत
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
पकष ∆PQR मधय angPQR gtangQPR
स धय ि ज PR gt ि ज QR
तरसदधत परतयक रष खाड ची ल ािी ही (धन) र सतर साखय असत
तय मळ ि ज PR र ि ज QR य ाचय ल ािीमधय तीन पय वय असत त र तय तील
नमक एकच सतय असतो
त पय वय अस -1) PR = QR ककर 2) PR lt QR ककर 3) PR gt QR
जर य तील पतरहल दोन पय वय आपलय ल असतय द खरत आल तर क य नरीन
कळल
तर मग पय वय (3) ह एकच पय वय उरल आतरण अथ वतच तो सतय होईल 52
T3_L5_A3 परमय एक च तरिकोण च असम न कोन र तय ाचय समोरील ि ज
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
1) समज PR = QR सतय आह
तय मळ ∆PQR ह समतरिभज तरिकोण होईल
there4 angPQRcong angQPR ( समतरिभज तरिकोण च
परमय)
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
(यथ ह लकष त घय की पकष िी तररसागत तररध न तरमळ ल महणन आपण पकष िदल िकत न ही
तसच समतरिभज तरिकोण च परमयही िदल िकत न ही)
तयाअथी PR = QR ह पय वय असतय आह
53
T3_L5_A3
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
तरनषकषव
एक च तरिकोण च दोन कोन एकरप नसतील तर तय ापकी मोठय
कोन समोरील ि ज ही लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत 54
T3_L5_A3
2) समज PR lt QRसतय आह
तय मळ ∆PQR मधय
angPQR lt angQPR( तरिकोण चय मोठय ि ज समोरील कोन ह लह न
ि जसमोरील कोन पकष मोठ असतो)
महणजच angQPR gtangPQR
परात ह तररध न पकष िी तररसागत आह क रण पकष नस र
angPQR gt angQPR
तय अथी PR lt QR ह पय वय असतय आह
तीनपकी दोन पय वय असतय ठरलय न उरलल एकमर पय वय सतय असल प तरहज
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
ख लील परतयक आकतीमधील कोन ाररन तय ाचय ि जामधील करमसािाध ककर ि जाररन
कोन ामधील सािाध ठरर आतरण तो तरचनह र परन चढतय करम न तरलह
55
T3_L5_A4
उद हरण
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
परमय क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती
य परशन च उततर ररचय परमय त तमह ल स पडल क
तय स ठी क टकोन तरिकोण तील मोठ कोन कोणत य रर
तररच र कर
पकष ∆PQR मधयangPQR ह क टकोन आह
स धय कणव PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह
पढील परशन ाची उततर िोधन तरसदधत तरलह
1) क टकोन तरिकोण तील क टकोन खरीज इतर दोनही कोन कोणतय परक रच असत त
2) क टकोन र लघकोन य ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
3) तय ररन ∆PQR मधील angPQR रangPRQय ातील करमसािाध तरचनह त तरलह
4) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
5) तय चपरम ण ∆PQR मधील angPQR रangRPQ य ातील करमसािाध तरचनह त सक रण तरलह
56
T3_L6
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
6) तय ररन तय ाचय समोरील ि जामधील करमसािाध तरचनह त तरलह
7) तररध न 4 र 6 ररन य तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज ठरर
57
T3_L6
तरसदधत
120783) ∆PQR मधील angPQR ह क टकोन रangPRQ ह लघकोन आह
angPQR gt angPRQ ( क टकोन ह लघकोन पकष मोठ असतो)
120784) there4 ∆PQR मधय
रख PR gt रख PQ (तरिकोण तील मोठय कोन समोरील ि ज ही लह न
कोन समोरील ि जपकष मोठी असत)
3) तय चपरम ण angPQR gtangRPQ
there4रख PR gt रख RQ
120786) there4रख PR ही ∆PQR ची सर वत मोठी ि ज आह( तररध न 2 र 3 ररन)
तरनषकषव क टकोन तरिकोण ची कणव ही सर वत मोठी ि ज असत
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
58
T3_L7 तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीतील सािाध
तरिकषक ानी रग वत स ातरगतल की तमही एक सोपी कती कर
तय स ठी घरन खर टय चय ककर का चय चय ि रीक क डय आण
दस-य ददरिी अनक ानी रगरगळय ल ािीचय क डय आणलय
पण नह न आपलय आईकडन क य आणल असल
तरतन िरय ाच तकड गोळ करन आणल क रण त तर क डय ापकष ही ि रीक होत आतरण तकड
कर यल सोप
मग तरिकषक ानी तय ान पढील क म ददल
परतयक न आपलय जरळील क डय ानी तरिकोण तय र करत यतो ककर न ही त िघ रय च
तरिकोण तरमळ ल ककर न ही तरमळ ल तरी परतयक रळी तरतनही क डय ाची ल ािी नोदरन
तय पढ तरिकोण तरमळ ल ककर तरमळ ल न ही त तरलहन ठर यच जय रळी तरिकोण तरमळल
तय रळी दोन लह न क डय ाचय ल ािीची िरीज र उरलली सर वत मोठय क डीची ल ािी
य ाचय त क य सािाध आह त िोध यच तमही सधद ही कती अरशय कर
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
नह चय रहीतील नोदी पह
िरय ाची (क डय ाची)
ल ािी
उतरतय करम न
तरिकोण तय र
झ ल क
दोन लह न
ि जाची िरीज
(a + b)
सर वत मोठय
ि जची ल िी
c
(a+b) र c
य तील सािाध
5समी 3समी 2समी न ही 3+2 =5 5 (a+b) =c
8समी 6समी 4समी होय 6+4 =10 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 5समी होय 6+5 = 11 8 (a+b) gt c
8समी 6समी 6समी होय (समतरिभज
तरिकोण)
6+6 = 12 8 (a+b) gt c
7समी 4समी 2समी न ही 4+2 =6 7 (a+b) lt c
59
T3_L7
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
ii) तमह ल य कतीतन तरिकोण चय तीन ि जाचय ल ािीमधील सािाध ािददल क य समजल
कलपन कर की
एक झ ड रर एक घ र िसलली आह आतरण तरतल झ ड प सन क ही
अातर रर जतरमनीरर एक स प सरपटत च ललल ददसत आह
अि रळस ती घ र झ ड चय एकक फ ादीररन मग खोड ररन च लत ख ली यईल की
तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल
िरोबिर घ र तरतचय ज गररन थट जतरमनीरर झप घईल आतरण स प ल पकडल
महणज घ रील ही ररील परशन (ii) च उततर म तरहत आह र टता
60
T3_L7
i) तरिकषक ानी लह न ि जाचीच िरीज कर यल क स ातरगतल असल
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
पकष ∆ABC ह कोणत ही तरिकोण आह
(महणज ह तररतरिषट परक रच न ही)
स धय AB+ AC gt BC
रचन दकरण BA रर D ह बिद अस घतल की AD = AC
D र C बिद जोडल
तरसदधत य स ठी पढील परशन ाची उततर तरमळतररणय च परयतन कर तय ाररन तमही तरसदधत तरलह
िक ल
i) जय दोन ि जाची िरीज स धय त प तरहज तय ि जान एक बिद स म ईक असल तरी
तय एकरषीय आहत क तय ाची िरीज दरमय नतन तरमळल क
ii) तय मळ रचन क य कली तय तील D बिद ची ज ग किी तरनरडली आह
iii) AB + AC = AB + AD = 61
T3_L7 परमय
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
iv) तय मळ आत स धय च रप ातर क य झ ल
v) ि ज BC आतरण ि ज BD य ानी कोणत तरिकोण तय र
झ ल आह
vi) तरिकोण ची एक ि ज दसरीपकष मोठी द खतररणय स ठी
तय ाचय समोरील कोन ाच कस उपयोग करत त
vii) तय स ठी ∆ BDC मधय कोणत कोन कोणतय कोन पकष मोठ तरसदध कर र ल गल
119855119842119842119842) angBDC महणजच angADC ह जय ∆ ADC च कोन आह तो ∆ADC कोणतय परक रच
आह angADC कोणतय कोन िी एकरप आह
119842119857) angACD र angBCD य ामधील मोठ कोन कोणत तो कोन र angADC य ामधील करमसािाध
कोणत क रण क य
x) आत परशन (vii) मधील करमसािाध तरसदध झ ल क य तय तन स धय कस तरसदध होईल
62
T3_L7
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
तरसदधत
120783) ∆ ADC मधय रख AC cong रख AD hellip(रचन )
angACD cong angADChelliphelliphelliphelliphelliphelliphellip (समतरददभज कोन चय
एकरप ि जासमोरील
कोन)
2) mangBCD = mangACD + m angBCAhellip(कोन ाचय िरजच
गणधमव)
there4mangBCD gt mangACD helliphelliphelliphelliphellip(mangBCA ही धन साखय
रगळलय न)
120785) there4mangBCD gt mangADC helliphellip(तररध न (1) र (2) ररन)
4) mangBCD gt mangBDC helliphelliphelliphellip(B-A-D)
ह एक च तरिकोण च कोन आहत
there4 ∆ BDC मधयBD gt BC helliphelliphellip(एक च तरिकोण त मोठय कोन समोरील ि ज ही
लह न कोन समोरील ि जपकष मोठी असत) 63
T3_L7
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
तरनषकषव
कोणतय ही तरिकोण चय दोन ि जाची िरीज ही उरललय ि जपकष मोठी असत
64
T3_L7
5) BD = BA + AD helliphelliphelliphelliphelliphellip(B-A-D)
120788) there4 BA + AD gt BC helliphelliphelliphelliphellip(तररध न (4) र (5) ररन)
there4 BA + AC gt BC helliphelliphelliphelliphelliphellip(रचननस र AD =AC)
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
लघततम रष खाड च परमय
आकतीत रष l चय ि हरील P बिदतन रष l पयात क ही रष खाड क ढलल आहत
तय ाचय ापकी रख PB च रतरिषटय क य स ागत यतील
रख PB perp रष l आह इतर कोणत ही रष खाड रष l ल लाि न ही
तसच तय चय ल ािील P बिद र रष l य ामधील अातर महणत त
आत य च लाि रष खाड च आणखी एक रतरिषटय िघ य
क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज कोणती ह आत आपण तरसदध कलल आह तय च यथ
तररच र करन पढील उततर िोधन तरलह 65
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील सरव तरिकोण कोणतय परक रच आहत
ii) तय ापकी कोणत ही एक तरिकोण तरनरड र तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध
तरचनह त तरलह
iii) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील इतर तरिकोण ामधय ररील परशन 2 च उततर िोध
तय च कणव आतरण रख PB य ाचय ल ािीतील सािाध तरचनह त तरलह
iv) आत ररील च रही परशन ाचय उततर ामधय क य स म ईक गणधमव ददसतो
66
T3_L8
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
i) रख PB ही ि ज असलल आकतीमधील क टकोन तरिकोण ∆PBA ∆PBC ∆PBD र
∆PBE आहत
119842119842) ∆PBA ह क टकोन तरिकोण घतलय स तय च कणव रख PA आह
कणव ही क टकोन तरिकोण ची सर वत मोठी ि ज असत there4PB lt PA
iii) तय चपरम ण ∆PBC मधय रख PC ह कणव आह
there4PB lt PC तय चपरम ण ∆PBD मधय there4PB lt PD
तय चपरम ण ∆PBE मधय there4PB lt PE
iv) य सरव तररध न ाररन आपलय ल कळत की रख PB ह रष खाड सर वत लह न आह
v) अस दकतीही रष खाड P बिदप सन रष l पयात क ढल तरी नहमी तय रषल लाि रष खाड ह
सर वत लह न (लघततम) असतो
67
T3_L8
तरनषकषव ददललय रषपयात तरतचय ि हरील कोणतय ही बिदतन क ढललय
सरव रष खाड ापकी तय रषल लाि असलल रष खाड ह सर वत लह न असतो
उततर
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
क टकोन तरिकोण ाची एकरपत द खतररणय स ठी म गील कसोटय ाखरीज आणखी एक
महतर ची रीत आह तय ल rsquoकणव-भज परमयrsquo महणत त
rsquoपरमय rsquo य िबद ररन तमह ल कळल असल की त आपण तरसदध कर िकतो
तय चय अटी क य
कणव-भज परमय
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम द स-य क टकोन
तरिकोण च कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी
एकरप असत त
य च परथम पडत ळ प ह पण आत तरिकोण क गद ररन क पन घणय ऎरजी
rsquoप यथ गोरसचय परमय rsquo न तरतस-य ि जाची ल ािी आपण आकडमोडीन ठरर
68
T3_L9 क टकोन तरिकोण ाची एकरपत
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
प यथ गोरसच परमय
कोणतय ही क टकोन तरिकोण त (कणव)2 = इतर दोन ि जाचय रग ाची िरीज
there4 ∆ABC मधय angCAB = 90deg
there4 (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 helliphellip( प यथ गोरसच परमय)
there4(6)2 = (48)2 + (AC)2
there4 (6)2-(48)2 = (AC)2
(6 + 48) ( 6 ndash 48) = (AC)2
there4 (108)(12) = (AC)2 69
T3_L9
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
there41296 = (AC)2
there4 (AC) = 36
य चपरक र ∆EDF मधय ED = 36 हीच ककमत तरमळत
आत य दोनही तरिकोण ाचय सागत ि जाचय तीनही जोडय एकरप आहत ह कळल
तय अथी ह तरिकोण ि -ि - ि एकरपतचय कसोटीन त एकमक ािी एकरप आहत ह कळल
70
T3_L9
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
य परमय चय तरसदधतत आपण एक नरीन पदधत तरिकण र आहोत
यथ आपण रचन करन अस एक तरतसर तरिकोण क ढण र आहोत की तो स धय तलय दोनही
तरिकोण िी एकरप तरसदध होईल
नातर साकरमकतचय गणधम वनस र स धय तील तरिकोण एकमक ािी एकरप तरसदध होतील
71
T3_L9 कणव-भज परमय
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम
angABC र angDEF ह क टकोन आहत
कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
रचन क ळजीपरवक िघ
72
T3_L9
रचन
दकरण FE रर G बिद अस घतल की F- E- G र EG = BC
रख DG क ढल
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
1) ∆DEG ह तय र झ लल तरिकोण जर ददललय दोनही तरिकोण ािी एकरप तरसदध कर यच
आह तर तो कोणतय परक रच असल प तरहज
2) त कस द खर ल
3) आत ∆DEG र ∆ABC य ाचय तील एकरप घटक ाची य दी कर
तय स ठी पकष र रचनतील एकरप ि ज कोन य ाची य दी कर 73
T3_L9
पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन कर ती उततर ओळीन तरलहन क ढ
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
74
4) ह तरिकोण कोणतय कसोटीन एकरप तरसदध करत यतील
5) एकरप तरिकोण ाचय सागत घटक ािददल आपलय ल क य म तरहती आह तय ररन
तय ाचय तील सागत ि जाची कोणती नरीन जोडी एकरप तरसदध होईल
6) ∆ ABC च कणव AC ह ∆DEG चय कोणतय ि जिी एकरप तरसदध होईल
7) पकष मधय कणव AC ह कोणतय ि जिी एकरप ददल आह
T3_L9
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
8) तररध न (vi) र (vii) ररन ∆DFG कोणतय परक रच तरिकोण आह ह तरसदध झ ल
9) तय मळ ∆DFG च कोणत कोन परसपर ािी एकरप आहत ह कळल
10)आत ∆DEF र ∆DEG ह परसपर ािी एकरप तरसदध करत यईल क कोणतय कसोटीन
11)आत तररध न (iv) र (x) च एकि तररच र कर तय तन एकरप तरिकोण ाची कोणती नरीन
जोडी तरमळल आत स धय झ ल आह क
य परशन ची उततर तमह ल तरमळ ली की तरसदधत तय र होईलच फकत ती ससि परक र तरलहन
क ढ 75
T3_L9
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
76
T3_L9
पकष ∆ABC र ∆DEF य तरिकोण त अनकरम angABC र angDEF
ह क टकोन आहत कणव AC cong कणव DF र रख AB cong रख DE
स धय ∆ ABC cong ∆DEF
रचन दकरण FE रर G बिद अस घतल की F-E-G र EG=BC
रख DG क ढल
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
77
1) F-E-G अिी दरमय नत आह (रचन )
there4 angDEF र angDEG रषीय जोडीतील कोन आहत
there4 mangDEF + mangDEG=180˚ (रषीय जोडीतील कोन ाच गतरहतक)
there4 90+ mangDEG=180˚ helliphellip (पकष mangDEF =90˚)
there4 mangDEG= 90 ∆DEG क टकोन तरिकोण आह
तरसदधत
कणव ndash भज परमय T3_L9
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
78
T3_L9
2) ∆DEG र ∆ABC मधय
रख DE cong रख AB hellip (पकष)
angDEG congangABC (परतयकी क टकोन)
रख EG cong रख BC (रचन )
∆DEG cong∆ABC (ि -को-ि एकरपत कसोटी)
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
79
3) there4 रख DG cong रख AC (एकरप तरिकोण ाचय सागत ि ज)
4) रख AC cong रख DF (पकष)
5) there4 रख DG cong रख DF (तररध न 3 र 4 ररन)
6) ∆DGF ह समतरिभज तरिकोण आह
there4 angDFG cong angDGF (समतरिभज तरिकोण च परमय )
महणजच angDFE cong angDGE
T3_L9
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
80
T3_L9
7) ∆DEF र ∆DEG मधय
रख DE cong रख DE (स म ईक ि ज)
angDEF cong angDEG (परतयक क टकोन)
angDFE cong angDGE (तररध न 6 ररन )
there4 ∆DEF cong DEG (ि -को-को कसोटी)
8) there4 ∆ABC cong ∆DEF (तररध न 2 र 7 ररन साकरमकतन)
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
तरनषकषव
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज अनकरम दसर य क टकोन
तरिकोण च कणव र सागत ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त दोन
तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
81
ह परमय तरिकलय नातर र ही आतरण नह य ाचय त एक ददरस र द झ ल आतरण तय ाचय इतर
मतरिणीतही तो र द पसरल मग तय ानी सगळय ानी तय ाचय तरिकषक ान च तय ि ितची िाक
तररच रली क य होत तय ाचय तील र द
T3_L9
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
ख लील आकतय क ळजीपरवक िघ
ह दोन क टकोन तरिकोण कणवभज परमय नस र एकरप आहत
क
दसर महणज ∆ABC च कणव BC ह ∆DEF चय ि ज DE िी एकरप आह
(दोनहीची ल ािी = 5) तय मळ rsquoकणव-भज परमय त स ातरगतलय परम ण ह तरिकोण
एकरप आहतचrdquo
82
T3_L9
नह च महणण होत की आकतीमधील तरिकोण कणव ndashभज परमय नस र एकरप
आहत क रण एकतर त क टकोन तरिकोण आहत जी परमय ची पतरहली अट आह
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
83
र हीच महणण rdquoआपण ह तरिकोण टरस पपररर क ढन घतल आतरण एकमक ारर ठरल तर त
एकमक ािी तातोतात जळत न हीत क रण मी तस करनच प तरहल आह तय अथी य परमय त क ही
तरी चकत आहrdquo
तय ाचय तरिकषक ानी तय ाचय तील र द कस सोडतररल असल
तररच र करन िघ तरिकषक ानी तय ान परमय च तरनषकषव परत एकद नीट र चणय स स ातरगतल
T3_L9
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
जर एक क टकोन तरिकोण च कणव र एक ि ज ह घटक अनकरम दस-य क टकोन तरिकोण च
कणव र एक ि ज य ाचय िी एकरप असतील तर त तरिकोण परसपर ािी एकरप असत त
य तररध न त अस स ातरगतल आह क एक क टकोन तरिकोण च कणव ह दस-य क टकोन
तरिकोण चय ि जिी एकरप असल प तरहज
न ही तररध न तील अनकरम य कड दोघीच दलवकष झ लय न तय ान चकीच तरनषकषव तरमळ ल
होत
84
T3_L9 कणव-भज परमय
क टकोन तरिकोण चय कण वररील मधयगची ल ािी कण वचय तरनममी असत य
परमय ची तरसदधत rsquoचौकोन rsquo हय परकरण त तरिकण र आहोत
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
एक तररिष क टकोन तरिकोण
तमचय का प सपटीत दोन गणय असत त त दोनही तररिष परक रच
असत त क रण तय चय लघकोन ाची म प र ि जाची ल ािी य त
तररिष सािाध असतो
तय ापकी जय चय लाि ि ज एकरप नसत त तय चय लघकोन ाची
म प मोजन पह
तय ाची म प 30deg र 60deg आहत
अि तरिकोण ल 30deg 60deg 90deg म प च तरिकोण महणत त
आकतीमधील ∆ABC मधील angABC ह क टकोन असन mangBAC = 30deg र mangACB = 60deg
अस तीन च र तरिकोण ि जाची ल ािी रगरगळी घऊन क ढन घय
परतयक च कणव पटटीन मोजन घय
नातर 30deg म प चय कोन समोरील ि जची ल ािी मोजन तरलहन ठर
85
T3_L10
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
तरनषकषव
30deg 60deg 90deg म प चय तरिकोण त 30deg म प चय कोन समोरील ि जची
ल ािी तय चय कण वचय तरनममी असत
86
T3_L10
तय ाररन BC र AC य ाचय ल ािीमधील सािाध िोध
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
जर एख दय क टकोन तरिकोण त सर वत लह न ि ज कण वचय तरनममय
ल ािीची असल तर तय ि जसमोरील कोन 30deg म प च असतो
87
T3_L11
य परमय च वयतय सही सतय असतो
30deg 60deg 90deg म प चय परमय च वयतय स
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
i) तरिकोण चय कोणतय ही दोन ि जाची ल ािी तरतसर य ि जपकष असत
ii) जर तरिकोण च कोणतही दोन कोन एकरप नसतील तर मोठय कोन समोरील ि ज असत
iii) रषि हरील बिदप सन रषरर क ढललय रष खाड पकीरष खाड सर वत लह न असतो
iv) जर तरिकोण चय दोन ि ज एकरप नसतील तर मोठय ि जसमोरील कोन ह असतो
v) क टकोन तरिकोण त कणव हीि ज असत
88
T3_L12 Exercise
1) ख लील तररध न सतय होणय स ठी ठरक मय ज ग भर
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
2) ददललय आकतीररन x आतरण y चय ककमती क ढ
िज रील आकतीत
रख PQ cong रख PR
आतरण रख QS cong रख RS
तर तरसदध कर की angPQS cong angPRS
3)
89
T3_L12
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
आकती मधय बिद O ह रष खाड AB र
रष खाड CD च मधयबिद आह
तरसदध कर की रख AD ∥ रख BC
4)
5) पकष आकतीमधय x gt y
स धय ि ज LM gt ि ज LN
हय तरसधदतस ठी पढील परशन ाची उततर िोधणय च परयतन
कर र योगय करम न तय ाची म ाडणी करन तरसधदत तरलह
परशन 1 स धय त ि ज LM gt ि ज LN द खर यल स ातरगतल
आह महणन तरिकोण चय असम नतचय सािाध कोणत परमय
र परल प तरहज 90
T3_L12
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
परशन 2 तय स ठी angLMN रangLNM मधय कोणत सािाध झ ल प तरहज
परशन 3 पकष तील x र y य ाच angLMN य ाच angLNM हय ाचय िी कोणत सािाध आह
परशन 4 x gt y य पकष तील म तरहतीररन (180-x) र (180-y) य मधील
करमसािाध च तरचनह ठरर
िीजगतरणत चय परकरण 2 मधील कोणत गणधमव र परल प तरहजत
6) a) ∆PQR आतरण ∆MNK मधय
ि ज PQ cong ि ज MN ि ज QR cong ि ज NK आतरण angQ gt angN
ि ज RP आतरण ि ज KM मधील सािाध तरलह
b) ∆ABC आतरण ∆XYZ मधय
ि ज BC cong ि ज YZ ि ज AC cong ि ज XZ आतरण angC lt angZ
ि ज AB आतरण ि ज XY मधील सािाध तरलह
91
T3_L12
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
7)
रख BA perp रख CA
रख EFperp रख DF ( B ndashD ndashC ndash E)
रख AB cong रख FE आतरण रख BD cong रख EC
तर तरसदध कर की रख AC cong रख FD
8) आकतीमधील एकरप तरिकोण कोणत कोणतय कसोटीन
i)
92
T3_L12
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
ii) iii)
iv)
93
T3_L12
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
Assessment
1) ख लील आकतय ामधय दोन तरिकोण ाच एकरप घटक स रखय तरचनह न द खतररलल आहत
तरिकोण ाचय एकरपतचय कोणतय कसोटीनस र दोन तरिकोण एकरप आहत त तरलह
a) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
b)
i) ि ndash ि - ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
94
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
c)
i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) को ndash ि ndash को एकरपत कसोटी
d) i) ि ndash ि ndash ि एकरपत कसोटी
ii) ि ndash को ndash ि एकरपत कसोटी
iii) ि ndash को ndash को एकरपत कसोटी
iv) कणव भज परमय
95
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
2) आकतीत द खतररलय परम ण रख AB = रख AC
आतरण angACD = 140O तर angA =
i) 500
ii) 400
iii) 1400
iv) 300
120785) ∆TPQ मधय angT=650 angP=950 ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) PQ lt TP lt TQ b) PQ lt TQ lt TP
c) TQ lt TP lt PQ d) TP lt PQ lt TQ
96
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13
120786) ∆ABC मधय AB=14 BC=19 आतरण AC=17
ख लील पकी कोणत तररध न सतय आह त तरलह
a) angB gt angC gt angA b) angA gt angB gt angC
c) angC gt angA gt angB d) angA gt angC gt angB
5) ख लील आकतीत रागतररललय तरिकोण िी एकरप असलल तरिकोण रागर आतरण तय ाची
साखय =
a) 36
b) 24
c) 12
d) 08
97
T3_L13