3 Producto Cartesiano

7/15/2019 3 Producto Cartesiano

http://slidepdf.com/reader/full/3-producto-cartesiano 1/9

.3 Producto Cartesiano. 3.3.1 Definición. Sean A y B conjuntos. Al conjunto formado por todos los pares ordenados deprimera componente en A y segunda componente en B, se le denota A x B y se le llama producto cartesiano de A y B. Simbólicamente:

A x B = {(x, y) / x Î A Ù y Î B}.

En consecuencia:

(x, y) Î A x B Û x Î A Ù y Î B

(x, y) Ï A x B Û x Ï A Ú y Ï B

En particular, siendo R el conjunto de los números reales, se tiene:

R x R = {(x, y) / x ÎR Ù y Î R }.

R x R es el conjunto de todas las parejas de números reales. La representación geométrica deR x R es el plano cartesiano llamado también plano numérico.

Se establece una relación biunívocaentreR x Ry el conjunto de los puntosdel plano geométrico, asociándose de esta forma el par ordenado (x, y) con el punto P(x,y).

Ejemplo 1:

Sean A = {1, 2} y B = {3, 4, 5} el producto cartesiano A x B será: A x B = {(1, 3),(1, 4),(1, 5),(2, 3),(2, 4),(2, 5)}.

Ejemplo 2:

Sean A = {x / x ÎR Ù1 < x £ 3 },

B = {x / x ÎR Ù-2 £ x < 2 }.

Su representación geométrica es:



A x B es el conjunto de los puntos interiores al rectángulo PQRS y los puntos que pertenecen alos segmentos PQ y QR.

Ejemplo 3:

Sean A = {x / x ÎNÙ1 £ x < 4}, B = {x / x ÎR Ù1 £ x £ 3}.

Representar A x B en el plano cartesiano.

Nota: La definición de producto cartesiano puede generalizarse al producto entre n conjuntos A1, A2,..., An. En este caso, al conjunto formado por todas las n-adas ordenadas (a1, a2,..., an)tales que ai Î Ai con i = 1, 2,..., n, se llama producto cartesiano de A1, A2,..., An y se denota A1 x A2 x ... x An.

3.3.2 Propiedades del producto cartesiano.

3.3.2.1 A Ì X Ù B Ì Y Û A x B Ì X x Y.3.3.2.2 A x B = 0 Û A = 0 Ú B = 0.

3.3.2.3 A ¹ B Ù A x B ¹ 0 Þ A x B ¹ B x A.

3.3.2.4 A x (B · C) = (A x B)( A x C).

3.3.2.5 A x ( B + C) = (A x B) + ( A x C ).

Demostración de 3.3.2.2: Suponga que A x B = 0. Razonando por reducción al absurdo, sí A ¹ 0 y B ¹ 0; entonces existenelementos a y b tales que a Î A y b Î B. Luego la pareja (a,b) Î A x B, en contradicción con la

hipótesis de que A x B = 0.Recíprocamente si A = 0, debe ser A x B = 0 pues si se llega a dar que Ax B ¹ 0, existirá (a, b) Î



A x B entonces a Î A en contradicción con la suposición de que A = 0. Análogamente se razona en el caso de que B = 0.

Demostración de 3.3.2.4: (x, y) Î A x (B · C) Û x Î A Ù y Î B · C. Û x Î A Ù ( y Î B Ù y Î C). Û ( x ÎA Ù y Î B) Ù (x Î A Ù y Î C). Û (x, y) Î A x B Ù (x, y) Î A x C. Û (x, y) Î (A x B) · (A x C).

3.3.3 Número de elementos del producto cartesiano. (Técnicas de conteo). Para conjuntosfinitos A y B se tiene:

½ A x B ½ = ½ A½ ½ B½ .

puesto que:

A x B = {(a, b): a Î A Ù b Î B}.

y para cada una de las ½ A ½ elecciones de a en A hay ½ B½ elecciones de b en B paraformar el par ordenado (a, b).

Ejemplo 4. Sea A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b, c}. Entonces A x B consta de 12 elementos, loscuales se pueden representar por medio de una tabla organizada en la siguiente forma:

Para el producto de más de dos conjuntos, se cumple una identidad semejante.

3.3.3.1 Reglas del producto.

Para conjuntos finitos A1, A2,..., Ak, se tiene:

k½ A1x A2x ... x An½= P ½ A j ½

j =1

De manera más general, suponga que un conjunto puede considerarse como unconjunto de k-adas ordenadas de la forma (a1, a2,..., ak) con la siguiente estructura. Hayn1 elecciones posibles de a1. Dado a1, hay n2 elecciones posibles de a2. Dados a1 y a2 hay n3 elecciones posibles de a3.

En general dados a1, a2,..., a j-1 hay n j elecciones posibles de a j. Entonces el conjuntotiene n1, n2,..., nk elementos.

Ejemplo 5: Calcular el número de maneras de seleccionar cinco cartas con reemplazo de una

baraja de 52 cartas.Solución: En este problema deben considerarse quintillas ordenadas de cartas de baraja. Con



reemplazo significa que cada carta se regresa a la baraja antes de sacar la nueva carta. Elconjunto de formas de seleccionar 5 cartas con reemplazo está en correspondencia uno a unocon:

D x D x D x D x D = D5.

Donde D es el conjunto de cartas con 52 elementos. Por la tanto el conjunto de cartas tiene 52 5 elementos.

Ejemplo 6: Calcular el número de maneras de seleccionar cinco cartas sin reemplazo de unabaraja de 52 cartas.

Solución: Esta vez la regla del producto no puede aplicarse puesto que no se permiten todaslas quintillas ordenadas en D5. Específicamente están prohibidas las quintillas donde se repitauna carta. Sin embargo es posible razonar de la forma siguiente: La primera carta puedeseleccionarse de 52 maneras. Una vez seleccionada, la segunda carta puede elegirse de 51maneras. La tercera carta puede escogerse de 50 formas, la cuarta de 49 y la quinta de 48. Deesta forma, pueden elegirse 5 cartas sin reemplazo de 52 · 51· 50 · 49 · 48 maneras diferentes.

Ejercicios 3.3

1) Encontrar en cada caso los valores de x e y que hacen verdaderas las siguientesigualdades:

(x + y, 1/2) = (1, x - y) (x + 2, y) = (3y, 2x)

2) Demostrar los teoremas 3.3.2.1, 3.3.2.3, 3.3.2.5.

3) Demostrar que (A x B) (C x D) = (A x D) (C x B).

4) ¿Cómo deben ser A y B para que en A x B existan parejas que tengan iguales las doscomponentes?.

5) Sean: A, el conjunto de todos los números reales que están entre 1 y 3 incluyendo el 1 y el3; B el conjunto de los números enteros entre 2 y 5, incluyendo al 2 y al 5. Hacer un diagramacartesiano de:

A x B y B x A.

6) Sea S = {100, 101,..., 999} así que ½ S½ = 900.

¿ Cuántos números en S tienen al menos un dígito que es un 3 o un 7? Ejemplos: 300,707, 736, 103, 997.

¿ Cuántos números en S tienen al menos un dígito que es 3 y al menos uno que es 7?Ejemplos: 736, 377.

7) Sea T = {1000, 1001, ..., 9999} ¿ Cuántos enteros en T tienen al menos un dígito que sea 0,al menos uno que sea 1 y al menos uno que sea 2? Ejemplo: 1072, 2101.

Sugerencia: Sea,

Ak = {n Î T: n no tiene dígito igual a k}, k = 0,1,2.

Entonces,



Ak' = {n Î T: tienen al menos un dígito igual a k}.

8) Sea: L = {a,b,c,d,e,f,g} ¿Cuántas palabras de longitud 5, pueden formarse con los elementos de L?. ( Aquí seentiende por palabra una sucesión cualquiera de signos de L).

S i f e s u n a f u n c i ó n r e a l , a c a d a p a r ( x , y ) = ( x , f ( x ) ) d e t e r m i n a d o p o r l a

f u n c i ó n f l e c o r r e s p o n d e e n e l p l a n o c a r t e s i a n o u n ú n i c o p u n t o P ( x , y ) = P ( x ,

f ( x ) ) . E l v a l o r d e x d e b e p e r t e n e c e r a l d o m i n i o d e d e f i n i c i ó n d e l a f u n c i ó n .

C o m o e l c o n j u n t o d e p u n t o s p e r t e n e c i e n t e s a l a f u n c i ó n e s i l i m i t a d o , s e

d i s p o n e n e n u n a t a b l a d e v a l o r e s a l g u n o s d e l o s p a r e s c o r r e s p o n d i e n t e s a p u n t o s

d e l a f u n c i ó n . E s t o s v a l o r e s , l l e v a d o s s o b r e e l p l a n o c a r t e s i a n o , d e t e r m i n a n p u n t o s

d e l a g r á f i c a . U n i e n d o e s t o s p u n t o s c o n l í n e a c o n t i n u a s e o b t i e n e l a

r e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a d e l a f u n c i ó n .

x 1 2 3 4 5

f ( x ) 2 4 6 8 1 0

G r a f o d e u n a f u n c i ó n

G r a f o d e u n a f u n c i ó n e s e l c o n j u n t o d e p a r e s f o r m a d o s p o r l o s v a l o r e sd e l a v a r i a b l e y s u s i m á g e n e s c o r r e s p o n d i e n t e s .

G ( f ) = { x , f ( x ) / x D ( f ) }



S i s t e m a d e c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s

U n s i s t e m a d e c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s e s u n p a r d e r e c t a s g r a d u a d a s ,p e r p e n d i c u l a r e s , q u e s e c o r t a n e n u n p u n t o O ( 0 , 0 ) , l l a m a d o o r i g e n d ec o o r d e n a d a s . A l a r e c t a h o r i z o n t a l s e l l a m a e j e d e a b s c i s a s , y a s u p e r p e n d i c u l a r p o r O , e j e d e o r d e n a d a s .

S e p u e d e r e p r e s e n t a r u n a f u n c i ó n e n e l p l a n o h a c i e n d o c o r r e s p o n d e r a c a d ap a r d e l g r a f o u n p u n t o d e t e r m i n a d o , m a r c a n d o e n e l e j e d e a b s c i s a s e l v a l o r d e s uv a r i a b l e y e n e l d e o r d e n a d a s , s u c o r r e s p o n d i e n t e i m a g e n .

Producto cartesiano

Un par ordenada consta de dos elementos y , donde nos interesa el orden en que aparecen los objetos. Llamemos a

esta pareja. Por ejemplo, , pero . En esencia nos gustaría que todo par ordenado

cumpliera la siguiente propiedad:

si y sólo si [ y ] (dos parejas ordenadas son iguales si y solo sí sus elementos son

iguales y aparecen en el mismo orden).

Podríamos definir el par ordenado como el objeto con la propiedad anterior. Pero aún mejor, podríamos invertir los

papeles (esto se hace frecuentemente en matemáticas): dar una definición conjuntista de y mostrar que, así definido, este

conjunto cumple la propiedad que queremos. Esto es lo que hacemos a continuación:

Definición 66 (Par ordenado) Dados elementos (o conjuntos!), definimos el par ordenado así:

es llamado ''el par coma '''', o simplemente `` coma ''.

Por ejemplo, es el conjunto , mientras que es el conjunto . Note

que, por ejemplo, , y por esto concluimos (como queríamos) que .

Antes de mostrar la propiedad que mencionamos anteriormente, vale la pena observar los siguientes hechos conjuntistas (cuya

demostración dejamos al lector), que utilizaremos constantemente:

1. si y sólo si no es un singleton (un singleton es, como su nombre se indica, un conjunto de un

elemento. Por ejemplo, es un singleton).

2. si y sólo si .



Teorema 67 (Propiedad del par ordenado) si y sólo si [ y ]

Demostración. [Prueba]

La dirección es inmediata por la definición de par ordenado. Probemos entonces la otra dirección. Suponga que

, esto es, . Hay 2 casos:

Caso 1: : en este caso

.

Pero esto implica que , lo cual a su vez implica que . Entonces

son el mismo elemento, y en particular podemos concluir y .

Caso 2: : Entonces tiene 2 elementos (¿por que?), lo cual implica que

(siendo el mismo conjunto) tiene 2 elementos. Pero esto implica (¿por qué?) que . Como

, entonces o . Pero la segunda

opción es imposible, luego , es decir, . Similarmente o

, pero la primera opción es imposible, así que . Esto implica que

o , pero la primera opción es imposible (pues y ), luego concluimos que .

Dados dos conjuntos y podemos formar el conjunto todas las parejas ordenadas , donde la primera coordenada (

) viene de , y la segunda coordenada ( ) viene de . A este conjunto lo llamamos el producto cartesiano de y

y lo notamos así: . Formalmente:

Definición 68 (Producto cartesiano) .

Notación: .

Ejemplo 69 (Ejemplos de producto cartesiano) A continuación unos ejemplos del producto cartesiano:

Si y , entonces

. tiene 2 elementos,

tiene 3, y tiene (de ahí la palabra ``producto'' en la definición).



Si , entonces es llamado el plano cartesiano. Las caricaturas y demás objetos

bidimensionales viven en : un círculo no es otra cosa que cierto subconjunto de (dé un ejemplo). Nosotros,

los seres tridimensionales, vivimos en ( para abreviar).

, sin importar qué conjunto sea (¿por qué?).

Lema 70 (Algunas propiedades del producto cartesiano)

1. .

2. Para conjuntos no vacíos, si y sólo si .

3. Para conjuntos no vacíos, si y sólo si

4. .

5. .

La prueba del anterior lema es dejada como ejercicio.

Así como hemos definido un par ordenado, podemos definir una -tupla ordenada ( natural positivo)

como un objeto tal que:

si y sólo si para todo , .

La definición de una -tupla es recursiva. Esto es, para definir una tupla recurrimos a la definición de una -tupla:

Definición 71 Para natural positivo, definimos recursivamente la -tupla así:

Para , .

Para , .

Para , .

Por ejemplo, . Como el lector se dará cuenta, toda -

tupla ( ) es un par ordenado! En el ejemplo, la -tupla es el par ordenado cuyas coordenadas son

y . Y similarmente, la -tupla es el par ordenado cuyas coordenadas son y .

Similarmente podemos generalizar el producto cartesiano y definir el producto de conjuntos así:



Cuando hayamos visto la noción de función veremos cómo podemos definir el producto de infinitos conjuntos.

.

EJERCICIOS:

1. ¿Cómo se comparan los siguientes conjuntos?

1. Vs. .

2. ¿Cómo se compara Vs. .

3. ¿Cómo se compara Vs. .

4. ¿Cómo se compara Vs..

5. Vs. .

2. Muestre que .

3. Si tiene elementos y tiene elementos ( naturales), ¿cuántas relaciones de a hay?

Documents

3 Producto Cartesiano