1. Perkalian  Skalar  ,  Sudut  Antara  Dua  Vektor  dan  Titik  Kolinier    a. Perkalian  Vektor  Dengan  Bilangan  Real  

 

       

b. Vektor  Satuan    Berdasarkan  defenisi  panjang  vektor  dan  panjang  vektor  satuan  maka    𝑎 = 𝑥ı+ 𝑦ȷ!!

= !!𝑥ı+ 𝑦ȷ

!!

= !!ı+ !

!ȷ

         

!!

= !!

!+ !

!

!

!!

= !!

! ! +!!

! !

!!

= !! ! 𝑥! + 𝑦!

!!

= !!

𝑥! + 𝑦!

!!

= !!𝑎

!!

= 1

 

   

     

       

Jika  𝑘  adalah  bilangan  real  dikalikan  dengan  vektor  𝑎 =𝑥𝑦 = 𝑥ı+ 𝑦ȷ  

hasilnya  adalah    

𝑘𝑎 = 𝑘𝑥𝑘𝑦 = 𝑘𝑥ı+ 𝑘𝑦ȷ  

Vektor  satuan  dari  vektor  𝑎 =𝑥𝑦 = 𝑥ı+ 𝑦ȷ  adalah  

 𝑎𝑎  

 

c. Perkalian  Titik  Antara  Dua  Vektor    

     i. Sifat  Komutatif  Perkalian  Titik    𝑎. 𝑏 = 𝑥!𝑥! + 𝑦!𝑦!           𝑏.𝑎 = 𝑥!𝑥! + 𝑦!𝑦!    Karena  sifat  komutatif  perkalian  𝑥!𝑥! = 𝑥!𝑥!  maka                    

ii. Perkalian  Titik  Vektor  Yang  Sama    𝑎.𝑎 = 𝑥!𝑥! + 𝑦!𝑦!𝑎.𝑎 = 𝑥!! + 𝑦!!

𝑎.𝑎 = 𝑥!! + 𝑦!!!

𝑎.𝑎 = 𝑎 !

   

               

   

Perkalian  titik/dot  antara  vektor      𝑎 =𝑥!𝑦! = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ      dan  vektor    

𝑏 =𝑥!𝑦! = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ      adalah    

 𝑎. 𝑏 = 𝑥!𝑥! + 𝑦!𝑦!  

Pada  perkalian  titik  berlaku  sifat  komutatif  perkalian    

𝑎. 𝑏 = 𝑏.𝑎  

Perkalian  titik  vektor  yang  sama  sama  dengan  kuadrat  dari  panjang  vektor  itu  sendiri    

𝑎.𝑎 = 𝑎 !  

 

iii. Perkalian  Titik  dan  Bilangan  Real    

Jika    𝑎 =𝑥!𝑦! = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ      maka  𝑘𝑎 =

𝑘𝑥!𝑘𝑦!

= 𝑘𝑥!ı+ 𝑘𝑦!ȷ  

 

Jika    𝑏 =𝑥!𝑦! = 𝑥!ı+ 𝑦!ȷ      maka  𝑘𝑏 =

𝑘𝑥!𝑘𝑦!

= 𝑘𝑥!ı+ 𝑘𝑦!ȷ  

     Substitusi           Substitusi    

𝑎. 𝑘𝑏 =𝑥!𝑦! . 𝑘𝑥!𝑘𝑦!

𝑎. 𝑘𝑏 = 𝑥!. 𝑘𝑥! + 𝑦!. 𝑘𝑦!𝑎. 𝑘𝑏 = 𝑘 𝑥!𝑥! + 𝑦!𝑦!𝑎. 𝑘𝑏 = 𝑘 𝑎. 𝑏

     

𝑘𝑎 . 𝑏 = 𝑘𝑥!𝑘𝑦!

.𝑥!𝑦!

𝑘𝑎 . 𝑏 = 𝑘𝑥!. 𝑥! + 𝑘𝑦!.𝑦!𝑘𝑎 . 𝑏 = 𝑘 𝑥!𝑥! + 𝑦!𝑦!𝑘𝑎 . 𝑏 = 𝑘 𝑎. 𝑏

 

                 

iv. Sifat  Distributif  Perkalian  Titik    Jika  𝑎 =

𝑥!𝑦!  ,  𝑏 =

𝑥!𝑦!  dan  𝑐 =

𝑥!𝑦!  maka  

 𝑎. 𝑏 = 𝑥!𝑥! + 𝑦!𝑦!         𝑎. 𝑐 = 𝑥!𝑥! + 𝑦!𝑦!        𝑏 + 𝑐 =

𝑥!𝑦! +

𝑥!𝑦!

𝑏 + 𝑐 = 𝑥! + 𝑥!𝑦! + 𝑦!

   

 Substitusi    𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 = 𝑥!𝑥! + 𝑦!𝑦! + 𝑥!𝑥! + 𝑦!𝑦!𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 = 𝑥!𝑥! + 𝑦!𝑦! + 𝑥!𝑥! + 𝑦!𝑦!𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 = 𝑥!𝑥! + 𝑥!𝑥! + 𝑦!𝑦! + 𝑦!𝑦!𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 = 𝑥! 𝑥! + 𝑥! + 𝑦! 𝑦! + 𝑦!𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 = 𝑎. 𝑏 + 𝑐

   

Pada  perkalian  titik  dengan  bilangan  real  berlaku    

𝑘𝑎 . 𝑏 = 𝑎. 𝑘𝑏 = 𝑘 𝑎. 𝑏  

 

   

     

   

d. Sudut  Antara  Dua  Vektor    

Gambar  18    

 Lihat  ∆𝑂𝐴𝐵  dengan  menggunakan  aturan  kosinus  dalam  pengurangan  maka    𝐴𝐵

!= 𝑂𝐴

!+ 𝑂𝐵

!− 2 𝑂𝐴

!𝑂𝐵

!cos𝛼

𝑏 − 𝑎!

= 𝑎 ! + 𝑏!− 2 𝑎 𝑏 cos𝛼

𝑏 − 𝑎 . 𝑏 − 𝑎 = 𝑎.𝑎 + 𝑏. 𝑏 − 2 𝑎 𝑏 cos𝛼𝑏. 𝑏 − 𝑎. 𝑏 − 𝑏.𝑎 + 𝑎.𝑎 = 𝑎.𝑎 + 𝑏. 𝑏 − 2 𝑎 𝑏 cos𝛼𝑏. 𝑏 − 2𝑎. 𝑏 + 𝑎.𝑎 = 𝑎.𝑎 + 𝑏. 𝑏 − 2 𝑎 𝑏 cos𝛼−2𝑎. 𝑏 = −2 𝑎 𝑏 cos𝛼𝑎. 𝑏 = 𝑎 𝑏 cos𝛼!.!! !

= cos𝛼

   

     

       

   

Pada  perkalian  titik  berlaku  sifat  ditributitif  perkalian    

𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 = 𝑎. 𝑏 + 𝑐  

Sudut  antara  dua  vektor  adalah    

cos𝛼 =𝑎. 𝑏𝑎 𝑏

 

 

e. Dua  Vektor  Tegak  Lurus    Kita  ketahui  sudut  antara  dua  vektor  yang  saling  tegak  lurus  adalah  90!  maka    cos𝛼 = !.!

! !

cos 90! = !.!! !

0 = !.!! !

0× 𝑎 𝑏 = 𝑎. 𝑏0 = 𝑎. 𝑏

   

                     

f. Dua  Vektor  Sejajar    Kita  ketahui  sudut  antara  dua  vektor  yang  sejajar  adalah  0!  maka    cos𝛼 = !.!

! !

cos 0! = !.!! !

1 = !.!! !

𝑎 𝑏 = 𝑎. 𝑏

   

         

   

Vektor  𝑎  dan  vektor  𝑏  saling  tegak  lurus  jika  dan  hanya  jika    

𝑎. 𝑏 = 0  

Vektor  𝑎  dan  vektor  𝑏  saling  sejajar  jika  dan  hanya  jika    

𝑎. 𝑏 = 𝑎 𝑏  

 

g. Perkalian  Bilangan  Real  Pada  Vektor  dan  Tiga  Titik  Segaris  (Kolinier)    Titik  𝑃  ,𝑄  dan  𝑅  segaris  atau  terletak  pada  garis  yang  sama  atau  kolinier  jika  dan  hanya  jika  ketiga  vektor  𝑃𝑄 ∥ 𝑄𝑅 ∥ 𝑃𝑅        

Gambar  19      Jika  𝑃𝑄 ∥ 𝑄𝑅  maka         Jika  𝑄𝑅 ∥ 𝑃𝑅  maka    𝑃𝑄.𝑄𝑅 = 𝑃𝑄 𝑄𝑅!".!"!"

= 𝑄𝑅          𝑄𝑅.𝑃𝑅 = 𝑄𝑅 𝑃𝑅!".!"!"

= 𝑄𝑅  

   Substitusi        !".!"!"

= 𝑄𝑅!".!"!"

= !".!"!"

!".!"!"

= !"!"

𝑃𝑅

𝑃𝑄 = !"!"

𝑃𝑅

           

 Jika  perbandingan  panjang   𝑃𝑄  dan   𝑃𝑅  adalah  𝑘 = !"

!"  maka  

   

   

Suatu  vektor  dikalikan  dengan  bilangan  real  𝑘  hasilnya  adalah  vektor  yang  saling  sejajar      Titik  𝑃  ,𝑄  dan  𝑅  terletak  pada  garis  yang  sama  atau  segaris  atau  kolinier  jika  dan  hanya  jika  berlaku    

𝑃𝑄 = 𝑘𝑃𝑅  

 

h. Perbandingan  Ruas  Garis      

Gambar  20    Titik  𝑃  ,𝑄  dan  𝑅  terletak  pada  garis  yang  sama  dan  titik  𝑄  terletak  di  antara  titik  𝑃  dan  𝑅  sehingga   𝑃𝑄 ∶ 𝑄𝑅 = 𝑚:𝑛  maka      𝑃𝑄 ∶ 𝑄𝑅 = 𝑚 ∶ 𝑛𝑞 − 𝑝 ∶ 𝑟 − 𝑞 = 𝑚 ∶ 𝑛𝑛 𝑞 − 𝑝 = 𝑚 𝑟 − 𝑞𝑛𝑞 − 𝑛𝑝 = 𝑚𝑟 −𝑚𝑞𝑛𝑞 +𝑚𝑞 = 𝑚𝑟 + 𝑛𝑝𝑚 + 𝑛 𝑞 = 𝑚𝑟 + 𝑛𝑝

𝑞 = !!!!!!!!

   

     Absis  dan  Ordinat  titik  𝑄  adalah  

 𝑥! − 𝑥! ∶ 𝑥! − 𝑥! = 𝑚 ∶ 𝑛𝑛 𝑥! − 𝑥! = 𝑚 𝑥! − 𝑥!𝑛𝑥! − 𝑛𝑥! = 𝑚𝑥! −𝑚𝑥!𝑛𝑥! +𝑚𝑥! = 𝑚𝑥! + 𝑛𝑥!𝑚 + 𝑛 𝑥! = 𝑚𝑥! + 𝑛𝑥!𝑥! = !!!!!!!

!!!

   

   

 

 Dengan  cara  yang  sama  akan  didapatkan  𝑦! =

!!!!!!!!!!

   

       

   

Jika  titik  𝑃  ,𝑄  dan  𝑅  terletak  pada  garis  yang  sama  dan  titik  𝑄  terletak  antara  titik  𝑃  dan  𝑅  dengan  perbandingan  𝑃𝑄 ∶ 𝑄𝑅 = 𝑚 ∶ 𝑛  maka    

𝑞 =𝑚𝑟 + 𝑛𝑝𝑚 + 𝑛  

 Koordinat  titik  𝑄  adalah    

𝑥! ,𝑦! =𝑚𝑥! + 𝑛𝑥!𝑚 + 𝑛   ,

𝑚𝑦! + 𝑛𝑦!𝑚 + 𝑛